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12. Os diâmetros de dois círculos têm 8 e 12 cm
                                                                respectivamente. A razão entre a área do menor e a
                                                                área do maior é:
                                                                a) 2/3   b) 4/9   c) 9/4   d) ½     e) nra

REMEMBER IV                                                     13. Um triângulo e um trapézio têm áreas iguais e
                 Cód. 953                                       alturas iguais. Se a base do triângulo tem 18 cm, a
                                                                mediana do trapézio deverá ter:
01. Um rapaz compra 3 laranjas a R$ 0,10. Ele as                a) 36 cm     b) 9 cm      c) 18 cm   d) não é possível
vende a R$ 0,20 cada 5 laranjas. Para ter um lucro de           de se calcular a partir destes dados e) nra.
R$ 1,00 ele precisa vender quantas laranjas?
 a) 67      b) 150       c) 200        d) um número             14. Dados dois círculos, o maior de centro P e raio p
infinito    e) nra.                                             e o menor de centro Q e raio q. Traçando PQ, qual
                                                                das seguintes afirmações é falsa?
02. Um refrigerador é oferecido a R$ 250,00 menos               a) p – q pode ser igual a PQ. b) p + q pode ser igual
dois descontos sucessivos de 20% e 15%. O preço de              a PQ             c) p + q pode ser menor que PQ
venda do refrigerador é:                                        d) p – q pode ser menor que PQ        e) nra.
a) 35% de descontos sobre R$ 250,00     b) 65% de
R$250,00      c) 77% de R$ 250,00 d) 68% de R$                  15. Uma peça circular de metal de máxima área é
250,00       e) nra.                                            retirada de um retalho quadrado e depois uma peça
                                                                quadrada de máxima área é retirada da peça circular.
03. Os fatores da expressão x² + y² são:                        A quantidade de metal jogado fora é:
a) (x + y)(x – y)     b) (x + y)²    c) (x2/3 + y2/3)(x4/3 +    a) ¼ da área do quadrado         b) ½ do quadrado
 4/3
y )        d) (x + iy)(x – iy) e) nra                           original     c) ½ da peça circular    d) ¼ da peça
                                                                circular     e) nra
04. As raízes de x(x² + 8x + 16)(4 – x) = 0 são:
a) 0      b) 0 e 4      c) 0; 4 e -4    d) 0; 4; -4 e-4         16. Adão espera obter um lucro de 10% no preço de
e)nra                                                           venda de um artigo e suas despesas são de 15% das
                                                                vendas. A percentagem de remarcação sobre um
05. Se log4 x = 2,5 então o valor de x é:                       artigo vendido por R$ 5,00 é:
a) 90 b) 36       c) 36√6    d) 0,5     e) nra                  a) 20% b) 25%        c) 30%   d) 33 1/3 % e) 35%

06. Carlos tem 5q + 1 moedas de 25 centavos e                   17. Um homem tem parte de R$ 4.500,00 investido a
Ricardo, q + 5 destas moedas. A diferença de                    4% e o resto a 6% ao ano. Se o retorno anual sobre
dinheiro entre ambos, calculado em moedas de 10                 esses dois investimentos é o mesmo, então o juro
centavos é:                                                     médio que ele recebe sobre os R$ 4.500,00 é:
a) 10 (q – 1)     b) 2/5 (4q – 4)   c) 2/5 (q – 1)              a) 5%      b) 4,8%     c) 5,2%     d) 4,6% e) nra
d) 5/2 (q – 1)    e) nra
                                                                18. Um dos fatores de x² + 4 é:
                                                                a) x² + 2   b) x + 1       c) x² - 2x + 2      d) x² - 4
07. A fração √a² + x² - (x² - a²) / √a² + x² se reduz a:        e) nra
                             a² + x²
a) 0           b) 2 a² / (a² + x²)      c) 2 x² / (a² +x²)3/2   19. Se na expressão x.y², os valores são ambos
                    3/2
d) 2 a² / (a² + x²)            e) 2 x² / (a² + x²)              diminuídos em 25% , então o valor da expressão fica:
                                                                a) diminuído em 50%     b) diminuído em 75%
08. O valor de x na interseção das curvas y = 8 / (x² +         c) diminuído 37/64 do seu valor d) diminuído 27/64
4) e x + y = 2 é:                                               do seu valor    e) nra
a) -2 + √5    b) -2 - √5 c) 0 d) 2        e) nra
                                                                20. Se y = x + 1/x então x4 + x³ - 4x² + x + 1 = 0 se
09. O número de litros de água necessário para se               torna:
reduzir 9 litros de loção de barba contendo 50% de              a) x² (y² +y -2) = 0    b) x² (y² +y -3) = 0
álcool para uma loção contendo 30% de álcool é:                 c) x² (y² +y -4) = 0   d) x² (y² +y -6) = 0 e) nra
a) 3 b) 4 c) 5        d) 6   e) 7
                                                                21. Se log10 (x² - 3x + 6) = 1, então o valor de x é:
10. O número de voltas que uma roda de centro fixo e            a) 10 ou 2    b) 4 ou -2       c) 3 ou -1     d)4 ou -1
diâmetro 5 m deve dar para que um ponto situado a 3             e) nra
m do centro do centro percorra a distância de 1.200m
é:                                                              22. O logarítmo de 27 4√9 3√9 na base 3 é:
a) 200 b) 100 / π     c) 200 / π    d) 100 π e) nra
                                                                a) 8 ½      b) 4 1/6  c) 5    d) 3      e) nra
11. Uma pista de corrida é formada por dois círculos
concêntricos. Sua largura é de 10m. Os perímetros               23. A equação √x + 10 -           6         = 5 tem:
dos dois círculos diferem aproximadamente:                                                     √x + 10
a) 10m b) 30m c) 60m           d) 100m e) nra                   a) Uma raiz falsa entre -5 e -1 b) Uma raiz falsa
                                                                entre -10 e -6   c) Uma raiz verdadeira entre 20 e 25
                                                                d) Duas raízes verdadeiras      e) Duas raízes falsas




                                                                                                                      1
a) (2 + √2 )p        b) (2 - √2 )p       c) (3 -2√2 ) p²
24. Se a, b e c são inteiros positivos menores que 10,              d) (1 - √2 ) p²      e) (3 + 2√2 ) p²
então (10a + b)(10a + c) é igual a 100a(a + 1) + bc,
se:                                                       34. Se o lado de um ∆ mede 12 cm e o ângulo oposto
a) b + c =10 b) b = c c) a + b = 10        d) a = b       é de 30° então o diâmetro da circunferência
e) a + b + c = 10.                                        circunscrita é de:
                                                          a) 18 cm        b)30 cm   c) 24 cm      d) 20 cm
25. Em uma progressão geométrica cujos termos são         e) nra
positivos, qualquer termo é igual à soma dos dois
termos seguintes. Neste caso, a razão é:                  35. Se f(x) = x( x – 1), então f(x + 2) é igual a:
a) 1     b) aproximadamente √5 / 2       c) (√5 -1) / 2                     2
d) (1 - √5) / 2   e) 2 / √5                               a) f(x) + f(2)   b) (x + 2) f(x)     c) x(x + 2) f(x)
26. A base de um triângulo tem 15 cm. São traçadas        d) x . f(x)        e) (x + 2) f(x + 1)
duas linhas paralelas à base e terminando nos lados         x–2                       x
do triângulo, dividindo assim o triângulo em 3 partes
de áreas iguais. O comprimento do traço mais              36. Determine m de tal forma que 4x² - 6x + m seja
próximo da base é:                                        divisível por x – 3. O valor de m é divisor exato de:
a) 5√6 cm b) 10 cm         c) 4√3 cm d) 7,5 cm e)         a) 12     b) 20      c) 36     d) 48     e) 64
nra
                                                          37. A base de um ∆ isósceles mede 6 cm e um de
27. O raio de um primeiro círculo é 1 cm, de um           seus lados iguais, 12 cm. O raio do círculo que passa
segundo, 0,5 cm, de um terceiro, 0,25 cm e assim por      pelos vértices do triângulo é:
diante. A soma das áreas destes círculos é:               a) 7√15 / 5     b) 4 √3     c) 3 √5   d) 6 √3 e)nra
a) 3π/4    b) 1,3π c) 2π       d) 4π/3      e) nra
                                                          38. Se f(a) = a – 2 e F(a, b) = b² + a, então F[3, f(4)]
28. Num triângulo ABC, os lados a, b e c são opostos      é:
aos ângulos A, B e C respectivamente. AD                  a) a² - 4a+ 7     b) 28     c) 7   d) 8     e) 11
bissecciona o ângulo A, encontrando BC no ponto D.
Então se x = CD e y = BD, a proporção entre eles é        39. O produto logab . logba é igual a:
expressa por:                                             a) 1    b) a    c) b       d) ab       e) nra
a) x / a = a / (b + c) b) x / b = a / (a + c)
c) y / c = c / (b + c) d) y / c = a / (b + c)             40. A negação da frase “todos os homens são
e) x / y = c / b                                          honestos” é:
                                                          a) nenhum homem é honesto b) todos os homens são
29. O número de dígitos significativos na medida do       honestos     c) alguns homens são honestos    d)
lado de um quadrado cuja área calculada é 1,1025cm²       nenhum homem é honesto      e) alguns homens são
(e arredondada para a casa do décimo de milésimo          honestos
mais próximo) é:
a) 2    b) 3     c) 4    d) 5       e) 1                  41. Um acampamento para meninas fica localizado a
                                                          300m de uma estrada reta. Nesta estrada, um
30. Um carro valendo R$ 9.000,00 é vendido por A          acampamento para meninos fica localizado a 500m
para B com 10% de prejuízo. B vende a casa                do acampamento das meninas. Deseja-se construir
novamente para A com 10% de lucro. O resultado            uma cantina na estrada que fique à mesma distância
dessas transações é:                                      de cada acampamento. Essa distância em metros é:
a) A não perde nem ganha   b) B ganha R$ 900,00           a) 400 b) 250      c) 87,5    d) 200    e) nra
c) A perde R$ 900,00      d) A perde R$ 810,00
e) B ganha R$ 1.710,00                                    42. Os centros de dois círculos estão distantes 41cm.
                                                          O círculo menor tem raio 4 cm e o maior, 5cm. O
31. Os trilhos de uma estrada de ferro têm 30m de         comprimento do segmento de reta tangente
comprimento. Quando um trem passa pelo ponto de           internamente a ambos é:
ligação de dois trilhos, ouve-se um ruído. A              a) 41 cm    b) 39 cm     c) 39,8 cm    d) 40,1 cm
velocidade do trem em Km/h é aproximadamente o            e) 40 cm
número de ruídos que se ouve em:
a) 1,8 min     b) 2 min    c) 1 ½ min c) 5 min            43. Se o preço de um artigo é aumentado p por cento,
e) nra                                                    então o decréscimo percentual de vendas deve ser d
                                                          por cento. Para produzir o mesmo volume de vendas
32. Cada ângulo de um retângulo é trissectado. As         e nestas condições o valor de d é:
interseções dos pares de trissectores adjacentes a um     a) 1 / (1 + p) b) 1 / (1 – p) c) p / (1 + p)
mesmo lado formam:                                        d) p / (p – 1)  e) (1 – p) / (1 + p)
a) um quadrado           b) um retângulo c) um
paralelogramo com lados de comprimentos diferentes        44. Na solução de um problema envolvendo uma
d) um romboedro e) um quadrilátero sem                    equação de 2º grau um estudante comete um erro no
propriedades especiais.                                   termo constante da equação e obtém como raízes os
                                                          valores 8 e 2 como raízes. Um outro estudante
33. O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é     comete um erro no coeficiente do termo do 1º grau e
2p. Sua área é:                                           encontra -9 e -1 como raízes. A equação correta era:




                                                                                                                  2
a) x² -10x +9 = 0                  b) x² + 10x + 9 = 0     Cálculo do número(n) de laranjas à vender para lucrar
c) x² -10x + 16 = 0       d) x² - 8x – 9 = 0 e) nra        R$1,00:       n.L = 1 ∴ n.(0,02/3) = 1 ∴ n = 3/0,02
                                                           ∴ n = 150 laranjas.
45. Dois segmentos de reta medem respectivamente a
e b. Então a relação correta entre eles é:                 02(D) Vejamos dois modos para esse cálculo.
a) (a + b) > √ab b)(a + b) < √ab        c) (a + b) = √ab   1°modo: Preço com 1ºDesc. = P – 20%P = 80%P.
       2                   2                    2                    Preço com 2ºDesc. = 80 %P – 15%(80%)P
                                                           = 68% P , onde P é o preço inicial(Venda).
d) (a + b) ≤ √ab      e) (a + b) ≥ √ab
                                                           2ºmodo: D(total) = D1 + D2 – D1. D2 = 20 + 15 – 3 = 32.
      2                     2
                                                                   Pr.Venda = 250 – (32%)250 = (68%) 250.
46. Em lugar de caminhar pelos lados de um
                                                           03(D) x² + y² não tem fatores lineares no campo dos
retângulo, um garoto preferiu tomar o atalho da
                                                           reais, apenas no campo dos números complexos
diagonal, economizando assim metade do maior lado.
                                                           onde: x² + y² = (x + iy) (x – iy).
Então, a razão entre o menor e o maior lado do
retângulo é:
                                                           04(D) Igualando cada um dos fatores a zero e
a) 1 / 2   b) 2 / 3 c) 1 / 4 d) 3 / 4  e) 2 / 5
                                                           resolvendo cada equação, temos como conjunto
                                                           solução as raízes: 0, -4 e 4.
47. Se x > 0, então a relação correta é:
                                                           Obs.: o fator x² + 8x + 16 = (x + 4)² = 0 tem duas
a) log(1 + x) = x / (1 + x) b) log(1 + x) < x / (1 + x)
                                                           raízes reais e iguais, -4 e 4.
c) log(1 + x) > x       d) log(1 + x) < x e) nra
                                                           05(C) Temos que: log6 x = 2,5 ∴ x = 6 2,5 = 6 ² + 0,5 =
48. Se a base maior de um trapézio isóscele é igual a
                                                           = 6².61/2 = 36 √6 .
diagonal e a base menor igual a sua altura, então a
razão entre a base menor e a base maior é:
                                                           06(A) A diferença entre eles com moedas de 0,25 =
a) 1 / 2    b) 2 / 3   c) 3 /4    d) 3 / 5 e) 2 / 5
                                                           (5q + 1) – ( q + 5) = 4q – 4 = 4(q – 1)∴0,25 = 4(q-1)
49. Dados os pontos: A (5, 5), B (2, 1) e C (0 k). O       A diferença entre eles em moedas de 0,10 =
valor de k que faz AC + BC ser mínimo é:                   = 0,10. 0,25 = 0,10. 4(q – 1) = 10 (q – 1).
a) 3    b) 4 1/3   c) 3 6/7  d) 4 5/6   e) 2 1/7                  0,25    0,25

50. Um dos lados de um triângulo é dividido em             07(D) Multiplicando-se numerador e denominador da
segmentos de comprimentos 6 e 8 por um ponto de            fração por √a² + x² (fator racionalizante) e
tangência de um círculo inscrito. Se o raio do círculo     simplificando, obtemos (D).
é 4, então o comprimento do lado menor do ∆ é:
a) 12 b) 13      c) 14     d) 15    e) 16                  08(C) No ponto de interseção 8 / (x² + 4) = 2 – x
                                                           (igualamos os dois valores de y) ∴ x³-2x² +4x = x(x²
GABARITO                                                   -2x + 4) = 0 ∴ x = 0.
01.B 11.C          21.     31.     41.E
                   D       A                               09(D) Nos 9 litros de loção, temos:
02.        12.B    22.B    32.     42.E                    Água → 4,5 litros = 50% e álcool = 4,5 litros = 50%
D                          D                               Para o novo loção:
03.        13.B    23.B    33.C    43.C                    (Sendo x o nº. de litros de água)
D                                                          Água = (4,5 + x) litros → 70%
04.        14.E    24.     34.C    44.A
                                                           Álcool = 4,5 litros → 30% ∴ 30%(4,5 + x)=70%.4,5
D                  A
                                                           ∴ 13,5 + 3x = 31,5 ∴ x = 6
05.C       15.B    25.C    35.E    45.E
06.        16.     26.     36.C    46.D
                                                           10(C) O raio(r) = 3m ∴Seu perímetro (comprimento)
A          D       A
                                                           = 2πr = 6π
07.        17.B    27.     37.E    47.D
D                  D                                       ∴Nº. de voltas (N) = distância a percorrer / perímetro
08.C       18.C    28.     38.C    48.D                    de uma volta ∴       N = 1200 / 6π = 200 / π.
                   D
09.        19.C    29.     39.     49.E                    11(C) Denominando de: Perímetro do 1ºcírculo
D                  D       A                               (interno) = C1 = 2πr; Perímetro do 2º círculo
10.C       20.     30.     40.C    50.B                    (externo) C2 = 2π (r + 10) então: C2 – C1 = 20π 60 m
           D       D
                                                           12(B) Área do círculo → A = πr² ∴
                                                           A menor / A maior = π4² / π6² = 4 / 9.
SOLUÇÕES
                                                           13(B) Como as áreas são iguais, temos: A ∆ = A trap ∴
01(B) Para cada laranja vendida:                           ½ b.h = ½ h.(b1 + b2) ∴ b1 + b2 = b = 18.
Lucro(L) = Pr. de Venda(V) – Pr. de Custo(C) ∴             Mediana do trapézio = ½ (b1 + b2) = 18 / 2 = 9.
L = 0,20 / 5 – 0,10 / 3 = 0,04 – 0,10 / 3 = (0,12 –
0,10) / 3 ∴ L = 0,02 / 3.                                  14(E) Cada afirmação da questão está esquematizada
                                                           na figura abaixo. Observe que nenhuma das
                                                           afirmações é falsa.



                                                                                                                3
Q     (B)
                                                           (10a+b).(10a+c) = 100a² +10ac+10ab + bc =
                                                           =100 a² + 10 a(b + c) + bc e que:
                         P                                 100 a(a + 1) + bc = 100 a² + 100 a + bc.
                                                           Para que ocorra a igualdade é preciso ter: b + c = 10.

                                                           25(C) Sendo a P.G. de termos positivos (. . . , aq n,
                Q        Q              Q                  aqn+1, aqn+2, . . .). Pelo dado do problema temos:
             (D)             (A)             (C)           aqn = aqn+1 + aqn+2 ; (dividindo-se a equação por a)
                                                           → q² + q = 1 ∴ q² + q + 1 = 0 ∴ q = (-1 ∓ √5 )/ 2.
15(B) Seja L o lado do quadrado inicial. Então o raio      Nas condições iniciais do problema q > 0 ∴
do círculo inscrito é r = L/2. O lado do 2º quadrado       q = (-1 + √5 )/2 ou q = (√5 – 1) / 2.
inscrito no círculo, é L2 = r √2 = L√2 / 2. Portanto a
área do 2º quadrado é = (L√2 / 2)² = L² / 2 = metade       26(A) Seja x o comprimento pedido. Então
da área do 1º quadrado, logo a alternativa B é a certa.    x² / 15² = 2 / 3 ∴ x² = 150 ∴ x = 5√6 .
16(D) Temos então a seguinte equação:                      27(D) A área de um círculo = πr². Temos então que:
V = preço de venda = custo + lucro + despesas =
                                                           A1 = π.1²= π; A2 = π .(1/2)² = π/4; A3 = π.(1/4)²=π/16
  = C + 10%V + 15% V ∴ V – 0,1V – 0,15V = C ∴
                                                           onde ( π, π/4, π/16, ...) é uma P.G. infinita de razão
∴ V = 4/3 C = 33 1/3 % C.
                                                           q=1/4 e a1 = π cuja soma é dada por: S = a1 / (1 – q) .
                                                           Logo: S = π / (1 – 1/4) = 4π / 3.
17(B) Temos os capitais C e 4500 – C. O 1º investido
a 4% a.a e o 2º a 6% a.a correndo o mesmo juro.
                                                           28(D) Considere o ∆ABC da figura abaixo:
Como j = C.i.t então: C.4%.1 = (4500 – C).6%.1
∴ C = R$ 2.700,00. Vamos calcular o juro total:
                                                                                   B
j t = 0,04. 2 700 + 0,06. 1 800 = R$ 216,00.                                           y
A taxa média (i m) dos juros: j t = C(total). i m. t
                                                                        c                  D       a
∴ i m = j t / C(total) . t ∴ i m = 216 / 4 500 = 4,8%                       â/2                x

                                                                             â/2
                                                                    A              b               C
18(C) Vamos completar o quadrado da soma de dois
termos e em seguida uma das propriedades dos
produtos notáveis:       x4 + 4 = (x4 + 4x² + 4) – 4x² =   Nota: A bissetriz (ângulo interno) de um ∆ divide o
(x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2).            lado oposto ao ângulo em segmentos proporcionais
                                                           aos outros dois lados, ou seja: y / c = x / b. Podemos
19(C) Como x e y diminuem em 25% = ¼ , temos:              então usar pelas propriedades das proporções que:
¾ x. (3/4 y)² = 27/64 xy². Portanto o decréscimo é:         x / b = y / c = (x + y) / (b + c) = a / (b + c). Temos
xy² - 27/64 xy² = 37/64 xy².                               então que: y / c = a / (b + c), logo (D) é a correra.
20(D) De início vamos fatorar e agrupar;
                                                           29(D) Temos que Área = L² ∴ L = √1,1025 = 1,0500
x4 + x³ - 4x² + x + 1 = x²[ (x² + 1/x²) + (x + 1/x) – 4]
                                                           Lado arredondado até casa do décimo de milésimo
Como (x + 1/x)² = x² +2 +1/x² ∴x²+1/x²= (x+1/x)²- 2        mais próximo possui cinco algarismos significativos.
Substituindo então acima, temos:                           N.T.: Para um completo entendimento da questão é
x²(y² - 2 + y – 4) = x²(y² + y – 6) = 0.                   necessário conhecimento de cálculo, assunto que foge
                                                           do escopo (objetivo) do exame.
21(D) Aplicando a definição dos logarítmos temos:
x² - 3x + 6 = 10 ∴ x² - 3x – 4 = 0 ∴ x = 4 ou x = -1.      30(D) B paga a A =9 000 – 10%.9 000 =R$ 8.100,00.
Nota: Verificando a condição de existência (C.E) do              A paga a B =8 100 + 10%.8 100 =R$ 8 910,00.
logarítmo, x² - 3x + 6 > 0, os dois valores de x           Portanto A perdeu 8910 – 8100 = R$ 810,00.
satisfazem.
                                                           31(A) Caso a velocidade fosse de 30m/s ouve-se 1
22(B) Temos que: 27.4√9. ∛9 = 3³. 31/2. 32/3 = 325/6.      ruído por segundo (1 ruído/s).
Aplicando a propriedade das potências nos log , vem:       Se V = 30 m/s = 30x3600/1000 km/h=108km/h .
log3 325/6 = 25/6 . log3 3 = 35/6 . 1 = 4 1/6.             Assim: 30 m/s → 1 ruído/s → 108 km/h ∴
                                                           1 km/h → 1 / 108 ruído / s ( 1 ruído a cada 108 s) ∴
23(B) Temos uma equação irracional com radical de
                                                           Velocidade a x km/h ouve-se x ruído a cada 108 s =
índice par. Deve-se lembrar a C.E. do radicando que
                                                           1min 48seg = 1,8 min.
no caso é: x + 10 > 0.
Iniciamos a resolução da equação multiplicando os
                                                           32(D) As diagonais de um quadrilátero gozam de
membros da equação por √x + 10 , temos então:
                                                           duas propriedades: são perpendiculares entre si e
x + 10 – 6 = 5 √x + 10 . Quadrando os membros desta
                                                           passam pelo ponto médio dos lados dos lados do
equação e operando os termos semelhantes obtemos:
                                                           retângulo. Elas têm comprimentos diferentes e se
x² - 17x – 234 = 0 ∴ x = 26 e x = -9 (Não satisfaz a
                                                           bissectam mutuamente. Portanto a figura é um
C.E.).A alternativa correta é (B) pois -9 é a raiz
                                                           romboedro. Procure fazer um esboço .
estranha.
                                                           33(C) Seja L a medida do lado congruente do ∆,
24(A) Temos que:
                                                           então: Perímetro = 2p = L +L +L√2∴L =2p / (2+√2).



                                                                                                                4
Área do ∆ = A = b.h / 2 = L² / 2 = [2p / (2 +√2)]² / 2       MC = x (distância pedida). Veja figura e considere os
Racionalizando a fração e operando o quadrado,               ∆GOC e ∆GOM como ∆ retângulos.
temos: A = p² ( 3 - 2√2).                                    Temos que: OM = 400 m ∴ OC = 400 - x
                                                             No ∆GOC: x² = 300² + (400 –x)²
                                                             ∴ 800 x = 250 000 ∴ x = 312,5 m.
34(C) Temos um problema (ver figura) de ângulo                          O     C    X       M
inscrito em uma circunferência (<ABC = 30º) →
                                                                          300
<AOC = 60° e como dados AC = 12 cm ∴ AC = r =                                        X
12 pois ∆AOC é eqüilátero ∆ ∴ 2 r = d = 2.12 = 24
cm.
                                                                          G



                                                             42(E) Considerar dois círculos de centros C1 e C2 de
  B                                                          raios r1 = C1A = 4 cm e r2 = C2B = 5 cm. Temos que
             30°                                             C1C2 = 41 cm e o comprimento da tangente AB= t
                   r                                         = ?. Construindo duas figuras, temos:
               0            C                                         A                                     A            B'
                   60°                                           r1
                           12                                    C1                               C2        C1       C2
      120°             A                                                      t =?           r2                  t

                                                                                         B
                                                                                                       A’            B
 35(E) Usando a função f(x) = x (x – 1) / 2 temos:           No quadrilátero AB’BA’temos: AA’ = B’B = r 1 + r2 =
f (x + 2) = (x + 2)(x + 2 – 1) / 2 ∴                         9 ; AB’ = A’B = C1C2 = 41; AA’ // B’B;
f(x + 2) = (x + 2)(x + 1) / 2 (i) e:                         AB’ //A’B e formando um ∆ABB’, que é retângulo
f(x + 1) = (x + 1)(x + 1 – 1) / 2 ∴                          em B pois B é ponto de tangência, nós temos usando
f(x + 1) = (x + 1).x / 2 ∴(x + 1) / 2 = f(x + 1) / x (ii).   o teorema de Pitágoras:
Substituindo (ii) em (i), temos:                             (AB’)² = (AB)² + (B’B)² ∴ 41² = t² + 9² ∴
f(x + 2) = (x + 2) f(x + 1) / x.                             t² = 41² - 9² = 40² ∴ t = AB = 40 cm.

36(C) Teorema do resto na divisão de polinômios              43(C) Considerando os símbolos:
com binômio ,temos:                                          Preço de venda = v; Nº. de artigos vendidos = n;
Resto = P(3) = 0 ∴ 4. 3² - 6.3 + m = 0 ∴18 + m = 0           Volume ou total de vendas = n.v. ( i )
∴ m = 18. Logo (C) é a alternativa correta.                  Sendo p% o aumento no preço de venda = p.v
                                                             Sendo d% decréscimo do nº de artigos vendidos = d.n
37(E) Seja x a distância do centro do círculo a base         Temos então que:
do ∆ ABC. Seja h = x + r a altura desse ∆.                   Novo preço de venda = v + p.v = v (1 + p)
Então h² + 3² = 12² ∴ h = √135.             C
                                                             Novo nº. de artigos vendidos = n – d.n = n (1 – d)
Pode-se usar que: r² = 3² + x² = 9                           Novo volume de vendas = [v(1 + p)].[n(1- d)] ( ii )
                                              r
+(h – r)² == 9 + h²- 2hr + r² ∴                              Como ( i ) = ( ii ), temos:
∴ r = (9 + h²) / 2h =                    r    x              v(1 + p). n(1 – d) = n.v (dividindo igualdade por n.v)
                                          3
= (9 + 135) / 2 √135 = 144/2 √135 A             B            1 – d + p – pd = 1 ∴ d = p / (1 + p).
∴ r = 8 √15/5.
                                                             44(A) Vamos considerar que seja x² + bx + c = 0 a
                                                             equação correta.
38(C) Temos que f(a) = a – 2 e que F[a, b] = b² + a,
                                                             Considerando que a equação obtida pelo primeiro
então: F[3, f(4)] = (f(4))² + 3 = (4 – 2)² + 3 = 2² + 3 =
                                                             estudante seja x² + bx + c’ = 0 e a obtida pelo
7.
                                                             segundo estudante seja x² + b’x + c = 0.
                                                             Pelos dados do problema temos:
39(A) Usaremos uma mudança de base de logarítmos
considerando que 0 < a c 1 e 0 < b 1 e a, b  R.             x² + bx + c’ = x² - 10x + 16 = 0 →(Eq.1º estudante)
loga b . logb a = loga b . loga a / loga b = loga a = 1.     x² + b’x + c = x² + 10x + 9 = 0 → (Eq.2º estudante)
N.T.:Usamos mudança de base logb a para base a.              Das duas equações temos que os verdadeiros são:
                                                             b = -10 e c = 9 ∴ x² + bx + c = x² - 10x + 9 = 0.
40(C) Temos aqui uma questão de lógica. A negação
de “todos os homens são honestos” pode ser: “não é           45(E) Para a 4 b, a Média Aritmética > Média
verdade que todos os homens são honestos”, ou                Geométrica.
“existem homens que não são honestos”, ou ainda “            Para a = b, a Média Aritmética = Média Geométrica.
alguns homens não são honestos”.Logo alternativa             ∴ (a + b)/2 ≥ √ab ∴M.A. ≥ M.G.
(C) é a correta.                                             Dem: Sejam a D b reais temos que: (a – b)² > 0 ∴
Em símbolos temos a sentença: ∀x [x  M / x é                a² + b² > 2ab → a² + 2ab + b² > 2ab + 2ab ∴
honesto] tem como negação: ~∀x [x  M / x é                  (a + b)² > 4ab ∴ a + b > 2√ab ∴ (a + b)/2 > √ab ∴
desonesto].                                                  M.A. > M.G. se a Mb.
                                                             Para o caso de a = b, temos: M.A. = (a + a) /2 = a e
41(E) Vamos considerar os símbolos: G =Posição do            M.G. = √a.a = √a² = a ∴ M.A. = M.G. daí então:
acamp. das garotas; M = posição do acamp. dos                M.A. ≥ M.G.
garotos; C = posição da cantina; OM = estrada; GC =




                                                                                                                          5
46(D) Considerando um retângulo de lado maior b e                ∴ 4( x + 14) = √ 48x.(x + 14) (quadrando a equação)
menor a, temos: (diagonal) d² = a² + b² ∴d = √a² + b²            (x + 14)² = 3x.(x + 14) ∴ x + 14 = 3x ∴ x = 7.
(i); e pelo enunciado do problema: d = a + b/2(ii).                           ∴ O menor lado é c = 6 + 7 = 13.
Fazendo (i) = (ii) temos: √a² + b² = a + b/2 que                 Outra maneira de solucionar o problema.
quadrando a equação se obtém: a² + b² = a² + ab + b²/
4 → b² - b²/4 = ab ∴ a / b = 3 / 4.

47(D) Temos um problema sobre logarítmos.
Para todo x > 0 → 1 + x < 10 x ∴ log (1 + x) < x.




48(D)                     A       s            B

                          s               t


                 C (t – s)/2 E        s       F (t – s)/2 D




No trapézio isóscele ABCD temos o ∆AED retângulo em E.
Usando o Teorema de Pitágoras neste ∆ temos:
AD² = AE² + DE² ∴ t² = s² + [s + (t – s)/2]² ∴ t² = s²+
[(t+s)/2]² ∴ 5 s² + 2 ts – 3 t² = 0 .
Vamos considerar a equação de 2ºgrau em s. Temos daí que:
(Delta)∆ = (2t)² - 4.5.(-3t) ∴ ∆ = 64 t².
∴ s = (-2t ∓ √64t²) / 10 ∴ s = (-2t ∓ 8t) / 10
Então temos: s1 = (-2 t – 8 t) / 10 ∴ s = - t (Não
satisfaz as condições do problema).
s2 = (-2t + 8t) / 10 ∴ s = 6t / 10 ∴ s / t = 3 / 5.

49(E) O menor valor possível de AC + BC é obtido
com o alinhamento dos três pontos. Como C(0,k)
eixo y, usaremos para a condição de alinhamento o
oposto do ponto B(2,1) em relação ao eixo y que é o
ponto B’(-2,1) e pode-se verificar que B’C = BC.
Para que os três pontos estejam alinhados, ou
pertençam a uma mesma reta, o determinante
formado por suas coordenadas = 0, e assim
determinamos o valor de k.
  5    5
  0 k = 0 ∴ 7k – 15 = 0 ∴ k = 15 / 7 = 2 1/7
  -2 1
  5    5


50(B)                 B

             6                6



        8                         x
                  r

    C       8               x       A
Denominando os lados do ∆ por a, b e c, observamos que:
a = 8 + 6; b = 8 + x e c = x + 6 ∴ Perímetro = 2p = a + b + c
= 2x + 28 ∴ Semi-perímetro = p = x + 14. O raio = r = 4.
A área de um ∆ em função do círculo inscrito = semi-
perímetro x raio do círculo inscrito → AT = p. r. ( i )
A área do ∆ em função dos lados =
AT = √ p (p – a) (p - b) (p –c) (ii), onde p = semi-perímetro.
Fazendo (i) = (ii), temos:
 p . r = √ p (p – a) (p - b) (p –c)




                                                                                                                       6

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Remember 04

  • 1. 12. Os diâmetros de dois círculos têm 8 e 12 cm respectivamente. A razão entre a área do menor e a área do maior é: a) 2/3 b) 4/9 c) 9/4 d) ½ e) nra REMEMBER IV 13. Um triângulo e um trapézio têm áreas iguais e Cód. 953 alturas iguais. Se a base do triângulo tem 18 cm, a mediana do trapézio deverá ter: 01. Um rapaz compra 3 laranjas a R$ 0,10. Ele as a) 36 cm b) 9 cm c) 18 cm d) não é possível vende a R$ 0,20 cada 5 laranjas. Para ter um lucro de de se calcular a partir destes dados e) nra. R$ 1,00 ele precisa vender quantas laranjas? a) 67 b) 150 c) 200 d) um número 14. Dados dois círculos, o maior de centro P e raio p infinito e) nra. e o menor de centro Q e raio q. Traçando PQ, qual das seguintes afirmações é falsa? 02. Um refrigerador é oferecido a R$ 250,00 menos a) p – q pode ser igual a PQ. b) p + q pode ser igual dois descontos sucessivos de 20% e 15%. O preço de a PQ c) p + q pode ser menor que PQ venda do refrigerador é: d) p – q pode ser menor que PQ e) nra. a) 35% de descontos sobre R$ 250,00 b) 65% de R$250,00 c) 77% de R$ 250,00 d) 68% de R$ 15. Uma peça circular de metal de máxima área é 250,00 e) nra. retirada de um retalho quadrado e depois uma peça quadrada de máxima área é retirada da peça circular. 03. Os fatores da expressão x² + y² são: A quantidade de metal jogado fora é: a) (x + y)(x – y) b) (x + y)² c) (x2/3 + y2/3)(x4/3 + a) ¼ da área do quadrado b) ½ do quadrado 4/3 y ) d) (x + iy)(x – iy) e) nra original c) ½ da peça circular d) ¼ da peça circular e) nra 04. As raízes de x(x² + 8x + 16)(4 – x) = 0 são: a) 0 b) 0 e 4 c) 0; 4 e -4 d) 0; 4; -4 e-4 16. Adão espera obter um lucro de 10% no preço de e)nra venda de um artigo e suas despesas são de 15% das vendas. A percentagem de remarcação sobre um 05. Se log4 x = 2,5 então o valor de x é: artigo vendido por R$ 5,00 é: a) 90 b) 36 c) 36√6 d) 0,5 e) nra a) 20% b) 25% c) 30% d) 33 1/3 % e) 35% 06. Carlos tem 5q + 1 moedas de 25 centavos e 17. Um homem tem parte de R$ 4.500,00 investido a Ricardo, q + 5 destas moedas. A diferença de 4% e o resto a 6% ao ano. Se o retorno anual sobre dinheiro entre ambos, calculado em moedas de 10 esses dois investimentos é o mesmo, então o juro centavos é: médio que ele recebe sobre os R$ 4.500,00 é: a) 10 (q – 1) b) 2/5 (4q – 4) c) 2/5 (q – 1) a) 5% b) 4,8% c) 5,2% d) 4,6% e) nra d) 5/2 (q – 1) e) nra 18. Um dos fatores de x² + 4 é: a) x² + 2 b) x + 1 c) x² - 2x + 2 d) x² - 4 07. A fração √a² + x² - (x² - a²) / √a² + x² se reduz a: e) nra a² + x² a) 0 b) 2 a² / (a² + x²) c) 2 x² / (a² +x²)3/2 19. Se na expressão x.y², os valores são ambos 3/2 d) 2 a² / (a² + x²) e) 2 x² / (a² + x²) diminuídos em 25% , então o valor da expressão fica: a) diminuído em 50% b) diminuído em 75% 08. O valor de x na interseção das curvas y = 8 / (x² + c) diminuído 37/64 do seu valor d) diminuído 27/64 4) e x + y = 2 é: do seu valor e) nra a) -2 + √5 b) -2 - √5 c) 0 d) 2 e) nra 20. Se y = x + 1/x então x4 + x³ - 4x² + x + 1 = 0 se 09. O número de litros de água necessário para se torna: reduzir 9 litros de loção de barba contendo 50% de a) x² (y² +y -2) = 0 b) x² (y² +y -3) = 0 álcool para uma loção contendo 30% de álcool é: c) x² (y² +y -4) = 0 d) x² (y² +y -6) = 0 e) nra a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 21. Se log10 (x² - 3x + 6) = 1, então o valor de x é: 10. O número de voltas que uma roda de centro fixo e a) 10 ou 2 b) 4 ou -2 c) 3 ou -1 d)4 ou -1 diâmetro 5 m deve dar para que um ponto situado a 3 e) nra m do centro do centro percorra a distância de 1.200m é: 22. O logarítmo de 27 4√9 3√9 na base 3 é: a) 200 b) 100 / π c) 200 / π d) 100 π e) nra a) 8 ½ b) 4 1/6 c) 5 d) 3 e) nra 11. Uma pista de corrida é formada por dois círculos concêntricos. Sua largura é de 10m. Os perímetros 23. A equação √x + 10 - 6 = 5 tem: dos dois círculos diferem aproximadamente: √x + 10 a) 10m b) 30m c) 60m d) 100m e) nra a) Uma raiz falsa entre -5 e -1 b) Uma raiz falsa entre -10 e -6 c) Uma raiz verdadeira entre 20 e 25 d) Duas raízes verdadeiras e) Duas raízes falsas 1
  • 2. a) (2 + √2 )p b) (2 - √2 )p c) (3 -2√2 ) p² 24. Se a, b e c são inteiros positivos menores que 10, d) (1 - √2 ) p² e) (3 + 2√2 ) p² então (10a + b)(10a + c) é igual a 100a(a + 1) + bc, se: 34. Se o lado de um ∆ mede 12 cm e o ângulo oposto a) b + c =10 b) b = c c) a + b = 10 d) a = b é de 30° então o diâmetro da circunferência e) a + b + c = 10. circunscrita é de: a) 18 cm b)30 cm c) 24 cm d) 20 cm 25. Em uma progressão geométrica cujos termos são e) nra positivos, qualquer termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Neste caso, a razão é: 35. Se f(x) = x( x – 1), então f(x + 2) é igual a: a) 1 b) aproximadamente √5 / 2 c) (√5 -1) / 2 2 d) (1 - √5) / 2 e) 2 / √5 a) f(x) + f(2) b) (x + 2) f(x) c) x(x + 2) f(x) 26. A base de um triângulo tem 15 cm. São traçadas d) x . f(x) e) (x + 2) f(x + 1) duas linhas paralelas à base e terminando nos lados x–2 x do triângulo, dividindo assim o triângulo em 3 partes de áreas iguais. O comprimento do traço mais 36. Determine m de tal forma que 4x² - 6x + m seja próximo da base é: divisível por x – 3. O valor de m é divisor exato de: a) 5√6 cm b) 10 cm c) 4√3 cm d) 7,5 cm e) a) 12 b) 20 c) 36 d) 48 e) 64 nra 37. A base de um ∆ isósceles mede 6 cm e um de 27. O raio de um primeiro círculo é 1 cm, de um seus lados iguais, 12 cm. O raio do círculo que passa segundo, 0,5 cm, de um terceiro, 0,25 cm e assim por pelos vértices do triângulo é: diante. A soma das áreas destes círculos é: a) 7√15 / 5 b) 4 √3 c) 3 √5 d) 6 √3 e)nra a) 3π/4 b) 1,3π c) 2π d) 4π/3 e) nra 38. Se f(a) = a – 2 e F(a, b) = b² + a, então F[3, f(4)] 28. Num triângulo ABC, os lados a, b e c são opostos é: aos ângulos A, B e C respectivamente. AD a) a² - 4a+ 7 b) 28 c) 7 d) 8 e) 11 bissecciona o ângulo A, encontrando BC no ponto D. Então se x = CD e y = BD, a proporção entre eles é 39. O produto logab . logba é igual a: expressa por: a) 1 b) a c) b d) ab e) nra a) x / a = a / (b + c) b) x / b = a / (a + c) c) y / c = c / (b + c) d) y / c = a / (b + c) 40. A negação da frase “todos os homens são e) x / y = c / b honestos” é: a) nenhum homem é honesto b) todos os homens são 29. O número de dígitos significativos na medida do honestos c) alguns homens são honestos d) lado de um quadrado cuja área calculada é 1,1025cm² nenhum homem é honesto e) alguns homens são (e arredondada para a casa do décimo de milésimo honestos mais próximo) é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 41. Um acampamento para meninas fica localizado a 300m de uma estrada reta. Nesta estrada, um 30. Um carro valendo R$ 9.000,00 é vendido por A acampamento para meninos fica localizado a 500m para B com 10% de prejuízo. B vende a casa do acampamento das meninas. Deseja-se construir novamente para A com 10% de lucro. O resultado uma cantina na estrada que fique à mesma distância dessas transações é: de cada acampamento. Essa distância em metros é: a) A não perde nem ganha b) B ganha R$ 900,00 a) 400 b) 250 c) 87,5 d) 200 e) nra c) A perde R$ 900,00 d) A perde R$ 810,00 e) B ganha R$ 1.710,00 42. Os centros de dois círculos estão distantes 41cm. O círculo menor tem raio 4 cm e o maior, 5cm. O 31. Os trilhos de uma estrada de ferro têm 30m de comprimento do segmento de reta tangente comprimento. Quando um trem passa pelo ponto de internamente a ambos é: ligação de dois trilhos, ouve-se um ruído. A a) 41 cm b) 39 cm c) 39,8 cm d) 40,1 cm velocidade do trem em Km/h é aproximadamente o e) 40 cm número de ruídos que se ouve em: a) 1,8 min b) 2 min c) 1 ½ min c) 5 min 43. Se o preço de um artigo é aumentado p por cento, e) nra então o decréscimo percentual de vendas deve ser d por cento. Para produzir o mesmo volume de vendas 32. Cada ângulo de um retângulo é trissectado. As e nestas condições o valor de d é: interseções dos pares de trissectores adjacentes a um a) 1 / (1 + p) b) 1 / (1 – p) c) p / (1 + p) mesmo lado formam: d) p / (p – 1) e) (1 – p) / (1 + p) a) um quadrado b) um retângulo c) um paralelogramo com lados de comprimentos diferentes 44. Na solução de um problema envolvendo uma d) um romboedro e) um quadrilátero sem equação de 2º grau um estudante comete um erro no propriedades especiais. termo constante da equação e obtém como raízes os valores 8 e 2 como raízes. Um outro estudante 33. O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é comete um erro no coeficiente do termo do 1º grau e 2p. Sua área é: encontra -9 e -1 como raízes. A equação correta era: 2
  • 3. a) x² -10x +9 = 0 b) x² + 10x + 9 = 0 Cálculo do número(n) de laranjas à vender para lucrar c) x² -10x + 16 = 0 d) x² - 8x – 9 = 0 e) nra R$1,00: n.L = 1 ∴ n.(0,02/3) = 1 ∴ n = 3/0,02 ∴ n = 150 laranjas. 45. Dois segmentos de reta medem respectivamente a e b. Então a relação correta entre eles é: 02(D) Vejamos dois modos para esse cálculo. a) (a + b) > √ab b)(a + b) < √ab c) (a + b) = √ab 1°modo: Preço com 1ºDesc. = P – 20%P = 80%P. 2 2 2 Preço com 2ºDesc. = 80 %P – 15%(80%)P = 68% P , onde P é o preço inicial(Venda). d) (a + b) ≤ √ab e) (a + b) ≥ √ab 2ºmodo: D(total) = D1 + D2 – D1. D2 = 20 + 15 – 3 = 32. 2 2 Pr.Venda = 250 – (32%)250 = (68%) 250. 46. Em lugar de caminhar pelos lados de um 03(D) x² + y² não tem fatores lineares no campo dos retângulo, um garoto preferiu tomar o atalho da reais, apenas no campo dos números complexos diagonal, economizando assim metade do maior lado. onde: x² + y² = (x + iy) (x – iy). Então, a razão entre o menor e o maior lado do retângulo é: 04(D) Igualando cada um dos fatores a zero e a) 1 / 2 b) 2 / 3 c) 1 / 4 d) 3 / 4 e) 2 / 5 resolvendo cada equação, temos como conjunto solução as raízes: 0, -4 e 4. 47. Se x > 0, então a relação correta é: Obs.: o fator x² + 8x + 16 = (x + 4)² = 0 tem duas a) log(1 + x) = x / (1 + x) b) log(1 + x) < x / (1 + x) raízes reais e iguais, -4 e 4. c) log(1 + x) > x d) log(1 + x) < x e) nra 05(C) Temos que: log6 x = 2,5 ∴ x = 6 2,5 = 6 ² + 0,5 = 48. Se a base maior de um trapézio isóscele é igual a = 6².61/2 = 36 √6 . diagonal e a base menor igual a sua altura, então a razão entre a base menor e a base maior é: 06(A) A diferença entre eles com moedas de 0,25 = a) 1 / 2 b) 2 / 3 c) 3 /4 d) 3 / 5 e) 2 / 5 (5q + 1) – ( q + 5) = 4q – 4 = 4(q – 1)∴0,25 = 4(q-1) 49. Dados os pontos: A (5, 5), B (2, 1) e C (0 k). O A diferença entre eles em moedas de 0,10 = valor de k que faz AC + BC ser mínimo é: = 0,10. 0,25 = 0,10. 4(q – 1) = 10 (q – 1). a) 3 b) 4 1/3 c) 3 6/7 d) 4 5/6 e) 2 1/7 0,25 0,25 50. Um dos lados de um triângulo é dividido em 07(D) Multiplicando-se numerador e denominador da segmentos de comprimentos 6 e 8 por um ponto de fração por √a² + x² (fator racionalizante) e tangência de um círculo inscrito. Se o raio do círculo simplificando, obtemos (D). é 4, então o comprimento do lado menor do ∆ é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 08(C) No ponto de interseção 8 / (x² + 4) = 2 – x (igualamos os dois valores de y) ∴ x³-2x² +4x = x(x² GABARITO -2x + 4) = 0 ∴ x = 0. 01.B 11.C 21. 31. 41.E D A 09(D) Nos 9 litros de loção, temos: 02. 12.B 22.B 32. 42.E Água → 4,5 litros = 50% e álcool = 4,5 litros = 50% D D Para o novo loção: 03. 13.B 23.B 33.C 43.C (Sendo x o nº. de litros de água) D Água = (4,5 + x) litros → 70% 04. 14.E 24. 34.C 44.A Álcool = 4,5 litros → 30% ∴ 30%(4,5 + x)=70%.4,5 D A ∴ 13,5 + 3x = 31,5 ∴ x = 6 05.C 15.B 25.C 35.E 45.E 06. 16. 26. 36.C 46.D 10(C) O raio(r) = 3m ∴Seu perímetro (comprimento) A D A = 2πr = 6π 07. 17.B 27. 37.E 47.D D D ∴Nº. de voltas (N) = distância a percorrer / perímetro 08.C 18.C 28. 38.C 48.D de uma volta ∴ N = 1200 / 6π = 200 / π. D 09. 19.C 29. 39. 49.E 11(C) Denominando de: Perímetro do 1ºcírculo D D A (interno) = C1 = 2πr; Perímetro do 2º círculo 10.C 20. 30. 40.C 50.B (externo) C2 = 2π (r + 10) então: C2 – C1 = 20π 60 m D D 12(B) Área do círculo → A = πr² ∴ A menor / A maior = π4² / π6² = 4 / 9. SOLUÇÕES 13(B) Como as áreas são iguais, temos: A ∆ = A trap ∴ 01(B) Para cada laranja vendida: ½ b.h = ½ h.(b1 + b2) ∴ b1 + b2 = b = 18. Lucro(L) = Pr. de Venda(V) – Pr. de Custo(C) ∴ Mediana do trapézio = ½ (b1 + b2) = 18 / 2 = 9. L = 0,20 / 5 – 0,10 / 3 = 0,04 – 0,10 / 3 = (0,12 – 0,10) / 3 ∴ L = 0,02 / 3. 14(E) Cada afirmação da questão está esquematizada na figura abaixo. Observe que nenhuma das afirmações é falsa. 3
  • 4. Q (B) (10a+b).(10a+c) = 100a² +10ac+10ab + bc = =100 a² + 10 a(b + c) + bc e que: P 100 a(a + 1) + bc = 100 a² + 100 a + bc. Para que ocorra a igualdade é preciso ter: b + c = 10. 25(C) Sendo a P.G. de termos positivos (. . . , aq n, Q Q Q aqn+1, aqn+2, . . .). Pelo dado do problema temos: (D) (A) (C) aqn = aqn+1 + aqn+2 ; (dividindo-se a equação por a) → q² + q = 1 ∴ q² + q + 1 = 0 ∴ q = (-1 ∓ √5 )/ 2. 15(B) Seja L o lado do quadrado inicial. Então o raio Nas condições iniciais do problema q > 0 ∴ do círculo inscrito é r = L/2. O lado do 2º quadrado q = (-1 + √5 )/2 ou q = (√5 – 1) / 2. inscrito no círculo, é L2 = r √2 = L√2 / 2. Portanto a área do 2º quadrado é = (L√2 / 2)² = L² / 2 = metade 26(A) Seja x o comprimento pedido. Então da área do 1º quadrado, logo a alternativa B é a certa. x² / 15² = 2 / 3 ∴ x² = 150 ∴ x = 5√6 . 16(D) Temos então a seguinte equação: 27(D) A área de um círculo = πr². Temos então que: V = preço de venda = custo + lucro + despesas = A1 = π.1²= π; A2 = π .(1/2)² = π/4; A3 = π.(1/4)²=π/16 = C + 10%V + 15% V ∴ V – 0,1V – 0,15V = C ∴ onde ( π, π/4, π/16, ...) é uma P.G. infinita de razão ∴ V = 4/3 C = 33 1/3 % C. q=1/4 e a1 = π cuja soma é dada por: S = a1 / (1 – q) . Logo: S = π / (1 – 1/4) = 4π / 3. 17(B) Temos os capitais C e 4500 – C. O 1º investido a 4% a.a e o 2º a 6% a.a correndo o mesmo juro. 28(D) Considere o ∆ABC da figura abaixo: Como j = C.i.t então: C.4%.1 = (4500 – C).6%.1 ∴ C = R$ 2.700,00. Vamos calcular o juro total: B j t = 0,04. 2 700 + 0,06. 1 800 = R$ 216,00. y A taxa média (i m) dos juros: j t = C(total). i m. t c D a ∴ i m = j t / C(total) . t ∴ i m = 216 / 4 500 = 4,8% â/2 x â/2 A b C 18(C) Vamos completar o quadrado da soma de dois termos e em seguida uma das propriedades dos produtos notáveis: x4 + 4 = (x4 + 4x² + 4) – 4x² = Nota: A bissetriz (ângulo interno) de um ∆ divide o (x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2). lado oposto ao ângulo em segmentos proporcionais aos outros dois lados, ou seja: y / c = x / b. Podemos 19(C) Como x e y diminuem em 25% = ¼ , temos: então usar pelas propriedades das proporções que: ¾ x. (3/4 y)² = 27/64 xy². Portanto o decréscimo é: x / b = y / c = (x + y) / (b + c) = a / (b + c). Temos xy² - 27/64 xy² = 37/64 xy². então que: y / c = a / (b + c), logo (D) é a correra. 20(D) De início vamos fatorar e agrupar; 29(D) Temos que Área = L² ∴ L = √1,1025 = 1,0500 x4 + x³ - 4x² + x + 1 = x²[ (x² + 1/x²) + (x + 1/x) – 4] Lado arredondado até casa do décimo de milésimo Como (x + 1/x)² = x² +2 +1/x² ∴x²+1/x²= (x+1/x)²- 2 mais próximo possui cinco algarismos significativos. Substituindo então acima, temos: N.T.: Para um completo entendimento da questão é x²(y² - 2 + y – 4) = x²(y² + y – 6) = 0. necessário conhecimento de cálculo, assunto que foge do escopo (objetivo) do exame. 21(D) Aplicando a definição dos logarítmos temos: x² - 3x + 6 = 10 ∴ x² - 3x – 4 = 0 ∴ x = 4 ou x = -1. 30(D) B paga a A =9 000 – 10%.9 000 =R$ 8.100,00. Nota: Verificando a condição de existência (C.E) do A paga a B =8 100 + 10%.8 100 =R$ 8 910,00. logarítmo, x² - 3x + 6 > 0, os dois valores de x Portanto A perdeu 8910 – 8100 = R$ 810,00. satisfazem. 31(A) Caso a velocidade fosse de 30m/s ouve-se 1 22(B) Temos que: 27.4√9. ∛9 = 3³. 31/2. 32/3 = 325/6. ruído por segundo (1 ruído/s). Aplicando a propriedade das potências nos log , vem: Se V = 30 m/s = 30x3600/1000 km/h=108km/h . log3 325/6 = 25/6 . log3 3 = 35/6 . 1 = 4 1/6. Assim: 30 m/s → 1 ruído/s → 108 km/h ∴ 1 km/h → 1 / 108 ruído / s ( 1 ruído a cada 108 s) ∴ 23(B) Temos uma equação irracional com radical de Velocidade a x km/h ouve-se x ruído a cada 108 s = índice par. Deve-se lembrar a C.E. do radicando que 1min 48seg = 1,8 min. no caso é: x + 10 > 0. Iniciamos a resolução da equação multiplicando os 32(D) As diagonais de um quadrilátero gozam de membros da equação por √x + 10 , temos então: duas propriedades: são perpendiculares entre si e x + 10 – 6 = 5 √x + 10 . Quadrando os membros desta passam pelo ponto médio dos lados dos lados do equação e operando os termos semelhantes obtemos: retângulo. Elas têm comprimentos diferentes e se x² - 17x – 234 = 0 ∴ x = 26 e x = -9 (Não satisfaz a bissectam mutuamente. Portanto a figura é um C.E.).A alternativa correta é (B) pois -9 é a raiz romboedro. Procure fazer um esboço . estranha. 33(C) Seja L a medida do lado congruente do ∆, 24(A) Temos que: então: Perímetro = 2p = L +L +L√2∴L =2p / (2+√2). 4
  • 5. Área do ∆ = A = b.h / 2 = L² / 2 = [2p / (2 +√2)]² / 2 MC = x (distância pedida). Veja figura e considere os Racionalizando a fração e operando o quadrado, ∆GOC e ∆GOM como ∆ retângulos. temos: A = p² ( 3 - 2√2). Temos que: OM = 400 m ∴ OC = 400 - x No ∆GOC: x² = 300² + (400 –x)² ∴ 800 x = 250 000 ∴ x = 312,5 m. 34(C) Temos um problema (ver figura) de ângulo O C X M inscrito em uma circunferência (<ABC = 30º) → 300 <AOC = 60° e como dados AC = 12 cm ∴ AC = r = X 12 pois ∆AOC é eqüilátero ∆ ∴ 2 r = d = 2.12 = 24 cm. G 42(E) Considerar dois círculos de centros C1 e C2 de B raios r1 = C1A = 4 cm e r2 = C2B = 5 cm. Temos que 30° C1C2 = 41 cm e o comprimento da tangente AB= t r = ?. Construindo duas figuras, temos: 0 C A A B' 60° r1 12 C1 C2 C1 C2 120° A t =? r2 t B A’ B 35(E) Usando a função f(x) = x (x – 1) / 2 temos: No quadrilátero AB’BA’temos: AA’ = B’B = r 1 + r2 = f (x + 2) = (x + 2)(x + 2 – 1) / 2 ∴ 9 ; AB’ = A’B = C1C2 = 41; AA’ // B’B; f(x + 2) = (x + 2)(x + 1) / 2 (i) e: AB’ //A’B e formando um ∆ABB’, que é retângulo f(x + 1) = (x + 1)(x + 1 – 1) / 2 ∴ em B pois B é ponto de tangência, nós temos usando f(x + 1) = (x + 1).x / 2 ∴(x + 1) / 2 = f(x + 1) / x (ii). o teorema de Pitágoras: Substituindo (ii) em (i), temos: (AB’)² = (AB)² + (B’B)² ∴ 41² = t² + 9² ∴ f(x + 2) = (x + 2) f(x + 1) / x. t² = 41² - 9² = 40² ∴ t = AB = 40 cm. 36(C) Teorema do resto na divisão de polinômios 43(C) Considerando os símbolos: com binômio ,temos: Preço de venda = v; Nº. de artigos vendidos = n; Resto = P(3) = 0 ∴ 4. 3² - 6.3 + m = 0 ∴18 + m = 0 Volume ou total de vendas = n.v. ( i ) ∴ m = 18. Logo (C) é a alternativa correta. Sendo p% o aumento no preço de venda = p.v Sendo d% decréscimo do nº de artigos vendidos = d.n 37(E) Seja x a distância do centro do círculo a base Temos então que: do ∆ ABC. Seja h = x + r a altura desse ∆. Novo preço de venda = v + p.v = v (1 + p) Então h² + 3² = 12² ∴ h = √135. C Novo nº. de artigos vendidos = n – d.n = n (1 – d) Pode-se usar que: r² = 3² + x² = 9 Novo volume de vendas = [v(1 + p)].[n(1- d)] ( ii ) r +(h – r)² == 9 + h²- 2hr + r² ∴ Como ( i ) = ( ii ), temos: ∴ r = (9 + h²) / 2h = r x v(1 + p). n(1 – d) = n.v (dividindo igualdade por n.v) 3 = (9 + 135) / 2 √135 = 144/2 √135 A B 1 – d + p – pd = 1 ∴ d = p / (1 + p). ∴ r = 8 √15/5. 44(A) Vamos considerar que seja x² + bx + c = 0 a equação correta. 38(C) Temos que f(a) = a – 2 e que F[a, b] = b² + a, Considerando que a equação obtida pelo primeiro então: F[3, f(4)] = (f(4))² + 3 = (4 – 2)² + 3 = 2² + 3 = estudante seja x² + bx + c’ = 0 e a obtida pelo 7. segundo estudante seja x² + b’x + c = 0. Pelos dados do problema temos: 39(A) Usaremos uma mudança de base de logarítmos considerando que 0 < a c 1 e 0 < b 1 e a, b  R. x² + bx + c’ = x² - 10x + 16 = 0 →(Eq.1º estudante) loga b . logb a = loga b . loga a / loga b = loga a = 1. x² + b’x + c = x² + 10x + 9 = 0 → (Eq.2º estudante) N.T.:Usamos mudança de base logb a para base a. Das duas equações temos que os verdadeiros são: b = -10 e c = 9 ∴ x² + bx + c = x² - 10x + 9 = 0. 40(C) Temos aqui uma questão de lógica. A negação de “todos os homens são honestos” pode ser: “não é 45(E) Para a 4 b, a Média Aritmética > Média verdade que todos os homens são honestos”, ou Geométrica. “existem homens que não são honestos”, ou ainda “ Para a = b, a Média Aritmética = Média Geométrica. alguns homens não são honestos”.Logo alternativa ∴ (a + b)/2 ≥ √ab ∴M.A. ≥ M.G. (C) é a correta. Dem: Sejam a D b reais temos que: (a – b)² > 0 ∴ Em símbolos temos a sentença: ∀x [x  M / x é a² + b² > 2ab → a² + 2ab + b² > 2ab + 2ab ∴ honesto] tem como negação: ~∀x [x  M / x é (a + b)² > 4ab ∴ a + b > 2√ab ∴ (a + b)/2 > √ab ∴ desonesto]. M.A. > M.G. se a Mb. Para o caso de a = b, temos: M.A. = (a + a) /2 = a e 41(E) Vamos considerar os símbolos: G =Posição do M.G. = √a.a = √a² = a ∴ M.A. = M.G. daí então: acamp. das garotas; M = posição do acamp. dos M.A. ≥ M.G. garotos; C = posição da cantina; OM = estrada; GC = 5
  • 6. 46(D) Considerando um retângulo de lado maior b e ∴ 4( x + 14) = √ 48x.(x + 14) (quadrando a equação) menor a, temos: (diagonal) d² = a² + b² ∴d = √a² + b² (x + 14)² = 3x.(x + 14) ∴ x + 14 = 3x ∴ x = 7. (i); e pelo enunciado do problema: d = a + b/2(ii). ∴ O menor lado é c = 6 + 7 = 13. Fazendo (i) = (ii) temos: √a² + b² = a + b/2 que Outra maneira de solucionar o problema. quadrando a equação se obtém: a² + b² = a² + ab + b²/ 4 → b² - b²/4 = ab ∴ a / b = 3 / 4. 47(D) Temos um problema sobre logarítmos. Para todo x > 0 → 1 + x < 10 x ∴ log (1 + x) < x. 48(D) A s B s t C (t – s)/2 E s F (t – s)/2 D No trapézio isóscele ABCD temos o ∆AED retângulo em E. Usando o Teorema de Pitágoras neste ∆ temos: AD² = AE² + DE² ∴ t² = s² + [s + (t – s)/2]² ∴ t² = s²+ [(t+s)/2]² ∴ 5 s² + 2 ts – 3 t² = 0 . Vamos considerar a equação de 2ºgrau em s. Temos daí que: (Delta)∆ = (2t)² - 4.5.(-3t) ∴ ∆ = 64 t². ∴ s = (-2t ∓ √64t²) / 10 ∴ s = (-2t ∓ 8t) / 10 Então temos: s1 = (-2 t – 8 t) / 10 ∴ s = - t (Não satisfaz as condições do problema). s2 = (-2t + 8t) / 10 ∴ s = 6t / 10 ∴ s / t = 3 / 5. 49(E) O menor valor possível de AC + BC é obtido com o alinhamento dos três pontos. Como C(0,k) eixo y, usaremos para a condição de alinhamento o oposto do ponto B(2,1) em relação ao eixo y que é o ponto B’(-2,1) e pode-se verificar que B’C = BC. Para que os três pontos estejam alinhados, ou pertençam a uma mesma reta, o determinante formado por suas coordenadas = 0, e assim determinamos o valor de k. 5 5 0 k = 0 ∴ 7k – 15 = 0 ∴ k = 15 / 7 = 2 1/7 -2 1 5 5 50(B) B 6 6 8 x r C 8 x A Denominando os lados do ∆ por a, b e c, observamos que: a = 8 + 6; b = 8 + x e c = x + 6 ∴ Perímetro = 2p = a + b + c = 2x + 28 ∴ Semi-perímetro = p = x + 14. O raio = r = 4. A área de um ∆ em função do círculo inscrito = semi- perímetro x raio do círculo inscrito → AT = p. r. ( i ) A área do ∆ em função dos lados = AT = √ p (p – a) (p - b) (p –c) (ii), onde p = semi-perímetro. Fazendo (i) = (ii), temos: p . r = √ p (p – a) (p - b) (p –c) 6