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pontos médios dos lados do 1º triângulo. Depois
           REMEMBER II                                      forma-se um 3ºtriângulo eqüilátero unindo-se os
                                                            pontos médios dos lados do 2ºtriângulo, e assim por
01. M é percentualmente maior que N, em:                    diante. O limite da soma dos perímetros de todos os
                                                            triângulos assim desenhados vale:
                                                            a) infinito b) 5 ¼ a c) 2 a d) 6 a e) 4 ½ a.
a) 100(M – N) b) 100(M – N)          c) M – N
       M               N                 N                  10. Das afirmações abaixo, assinale a incorreta:
d) M -N     e) 100(M + N)                                   a) dobrando-se a base de um ∆, dobra-se a área.
     M              N                                       b) dobrando-se a altura de um ∆, dobra-se a área.
                                                            c) dobrando-se o raio de um círculo, dobra-se a área.
02. Um campo retangular tem comprimento o dobro             d) dobrando-se o denominador de uma fração e
da largura e é cercado por uma cerca de x metros. A         dividindo-se o numerador por 2 altera-se o quociente.
área desse campo é:                                         e) dobrando-se certa quantia pode-se torná-la menor
a) x² / 2 b) 2x²    c) 2x² / 9 d) x² / 18 e) x² / 72.       do que ela era originalmente.

03. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é           11. O limite da soma de um número infinito de
a + b, então a área do quadrado é:                          termos de uma P.G. é a / (1 – q) onde a é o primeiro
a) (a + b)² b) ½ (a + b)² c) a² + b² d)1/2 (a²+b²)          termo e - 1 < q < 1 denota a razão. O limite da soma
e) n.r.a.                                                   dos quadrados desses termos é:
                                                            a) a²     b) a²       c) a²      d) 4 a²     d) n.r.a.
04. Um depósito possui um telhado plano e formato            (1 – q)²     1 + q²       1 – q²      1 + q²
retangular, medindo 10m de largura, 13m de
comprimento e 5m de altura. Este deverá ser pintado         12. Às 02h15min, os ponteiros de um relógio formam
por dentro, por fora e no forro, mas não no chão nem        um ângulo de:
no telhado. A área total (em m²) a ser pintada é:           a) 30° b) 5° c) 22 ½° d) 7 ½° e) 28°
a) 360 b) 460      c) 490     d) 590     e) 720.
                                                            13. A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho. B é
05. A possui uma casa no valor de R$ 10.000,00. Ele         50% mais eficiente que A. O número de dias que B
a vendeu para B com 10% de lucro. Mais tarde, B             deverá demorar a fazer a mesma peça é:
vendeu novamente a casa para A com 10% de                   a) 13 ½ b) 4 ½ c) 6        d) 3 e) n.r.a.
prejuízo.
a) A não ganhou nem perdeu dinheiro                         14. Tendo em mente a noção de prova (ou
b) A fez R$ 1.100,00 de lucro no negócio                    demonstração) em geometria, indique qual das
c) A fez R$ 1.000,00 de lucro no negócio                    afirmações abaixo é incorreta:
d) A perdeu R$ 900,00 no negócio                            a) algumas afirmações são aceitas sem prova
e) A perdeu R$ 1.000,00 no negocio.                         (demonstração)
                                                            b) em algumas situações existe mais de uma maneira
06. As áreas da parte frontal, lateral, e inferior de uma   de se provar um certo resultado
caixa retangular são conhecidas. O produto dessas           c) cada termo usado em uma prova deve ter sido
áreas é igual:                                              definido previamente
a) ao volume da caixa b) à raiz quadrada do volume          d) não é possível chegar através de um raciocínio
c) ao dobro do volume d) ao quadrado do volume              correto a uma conclusão verdadeira se, entre os
e) ao cubo do volume.                                       dados, existir uma afirmação falsa.
                                                            e) a prova indireta pode ser usada sempre que houver
07. Uma medida de um comprimento de 10 cm foi               duas ou mais proposições contrárias.
feita com 0,02 cm de erro, enquanto que uma medida
de um comprimento de 100 cm foi feita com 0,2 cm            15. O maior número pelo qual a expressão n³ - n é
de erro. O erro relativo a 2ª medida comparado ao da        divisível, tornando-se n no conjunto dos números
1ª medida é:                                                inteiros, é:
a) maior em 0,18cm        b) igual c) menor d) 10           a) 2    b) 3     c) 4   d) 5   e) 6
vezes maior        e) descrito corretamente em a) e d).
                                                            16. Se ao resolvermos a equação quadrática
08. O preço de um dado artigo é diminuído em 10%.           f(x) = ax² + bx +c = 0, resultar que c = b² / 4.a, então
Para retornar ao valor antigo, o novo preço deve ser        o gráfico de y = f(x), certamente:
aumentado em:                                               a) terá um máximo        b) terá um mínimo
a) 10% b) 9% c) 11 1/9% d) 11% e) n.r.a.                    c) tangenciará o eixo dos x
                                                            d)tangenciará o eixo dos y e) ficará restrito a um
09. Desenha-se um triângulo eqüilátero de lado a.           único quadrante.
Forma-se um novo triângulo eqüilátero unindo-se os
                                                            17. Indique em qual das equações abaixo y não é nem
                                                            diretamente nem inversamente proporcional a x:
                                                            a) x + y = 0 b) 3xy = 10 c) x = 5y d) 3x + y = 10
                                                            e) x / y = √ 3.

                                                            18. A expressão 21 x² + ax + 2 deve ser fatorada em
                                                            dois fatores binomiais primos e lineares com
                                                            coeficientes inteiros. Isto pode ser feito se a for:
                                                            a) qualquer número ímpar b) algum número ímpar
                                                            c) qualquer número par        d) algum número par
                                                            e) zero.




                                                                                                                  1
19.Qualquer número de seis dígitos e formado com               c) as razões entre as três medianas
repetição de um número de três algarismos; por                 d) a razão entre a altura e a base correspondente
exemplo: 256.256 ou 678.678, etc. é sempre divisível           e) dois ângulos.
por:
a) 7 somente     b) 11 somente        c) 13 somente            30. Se duas estacas de 20 cm e 80 cm de altura estão
d) 101       e) 1.001.                                         a 100 cm de distância, então a altura da interseção das
                                                               retas que ligam o topo de cada estaca com a base da
20. A expressão (x + y)-1 (x-1 + y-1), depois de               outra, em cm, é:
simplificada e expressa com expoentes negativos, fica          a) 50 b) 40 c) 16           d) 60      e) n.r.a.
assim:
a) x-2 + 2x-1 y-1 + y-2       b) x-2 + 2-1 x-1 y-1 + y-2       31. Um total de 28 apertos de mão foi dado ao final
    -1 -1               -2 -2
c) x y             d) x + y                  e) 1 / x-1 y-1.   de uma festa. Assumindo que cada participante foi
                                                               igualmente polido com relação aos demais, o número
21. Dados x > 0, y > 0, x > y e z 2 0, a desigualdade          de pessoas na festa era:
que não é sempre correta é:                                    a) 14     b) 28      c) 56    d) 8      e) 7
a) x + z > y + z    b) x - z > y – z      c) xz > yz
d) x / z² > y / z²   e) x z² > y z²                            32. Se o ∆ ABC está inscrito no semicírculo cujo
                                                               diâmetro é AB, então AC + BC deve ser:
22. Os valores de a que satisfazem a equação                   a) igual a AB    b) igual a AB √ 2    c) ≥ AB √ 2
log10 (a² - 15 a) = 2 , são:                                   d) ≤ AB √ 2       e) (AB)².
a){ 15 ± √ 233 } b){20;-5} c){15 ± √ 305}d){± 20}
       2                              2                        33. As raízes da equação x² - 2x = 0 pode ser obtida
e) n.r.a.                                                      graficamente encontrando-se os pontos de interseção
                                                               de cada um dos pares de equação, exceto o par:
23.O raio de uma caixa cilíndrica mede 8cm e sua               a) y = x² e y = 2x            b) y = x² - 2x e y = 0
altura 3cm. O comprimento que deve ser                          c) y = x e y = x – 2     d) y = x² - 2x + 1 e y = 1
acrescentado ao raio ou a altura para resultar no               e) y = x² - 1 e y = 2x – 1.
mesmo aumento não nulo em volume é:
a) 1 b) 5 1/3 c) qualquer número                               34. O valor de 10 log10 7 é:
 d)não existente    e)n.r.a.                                   a) 7    b) 1 c) 10           d) log10 7   e) log7 10.

                                                               35. Se a x = c q = b e c y = a z = d, então:
24. A expressão 2 n+4 – 2(2n) , quando simplificada, é:
                                                               a) x y = q z     b) x / y = q / z   c) x + y = q + z
                 2. ( 2 n + 3)
                                                               d) x – y = q – z       e) x y = q z
a) 2 n+1 – 1/8   b) – 2 n+1      c) 1 – 2n      d) 7/8
                                                               36. Qual dos seguintes métodos não serve para provar
e) 7/4.
                                                               que uma figura geométrica é um certo lugar
                                                               geométrico (L.G)?
25. O apótema de um quadrado cuja área é
                                                               a) cada ponto do L.G. satisfaz as condições e cada
numericamente igual ao perímetro é comparado com
                                                               ponto fora do L.G. não satisfaz as condições;
o apótema de um triângulo eqüilátero cuja área é
                                                               b) cada ponto não satisfazendo as condições não está
igual ao perímetro. O primeiro apótema será:
                                                               no L.G. e cada ponto no LG satisfaz as condições;
a) igual ao segundo                b) 4/3 do segundo
                                                               c) cada ponto que satisfaz as condições está no LG e
c) 2/√ 3 do segundo            d) √ 2/√ 3 do segundo
                                                               cada ponto no LG satisfaz as soluções;
e) não relacionável ao segundo
                                                               d) cada ponto não pertencente ao LG não satisfaz as
                                                               condições e cada ponto não satisfazendo as condições
26. Na equação x( x – 1 ) – ( m + 1 ) = x as raízes            não está no LG;
                   ( x – 1 )( m – 1 )   m                      e) cada ponto satisfazendo as condições está no LG e
são iguais quando:                                             cada ponto não satisfazendo as condições não está no
a) m = 1 b) m = ½ c) m = 0 d) m = -1 e) m = -1/2               LG.

27. Por um ponto interior a um triângulo, são traçados         37. Um número que ,quando dividido por 10 deixa
3 segmentos ligando os vértices aos lados opostos,             resto 9, quando dividido por 9 deixa resto 8, quando
formando assim seis seções triangulares. Nestas                dividido por 8 deixa resto 7, etc., até que, quando
condições:                                                     dividido por 2 deixa resto 1, é:
a) pares opostos formam triângulos semelhantes                 a) 59     b) 419 c) 1259         d) 2519   e) n.r.a.
b) pares opostos formam triângulos congruentes
c) pares opostos formam triângulos iguais em área              38. É preciso uma elevação de 600m para que uma
d) são formados 3 quadriláteros semelhantes                    linha ferroviária cruze uma montanha. A inclinação
e) n.r.a                                                       do leito da estrada pode ser mantida pequena
                                                               alongando-se a estrada e fazendo-a circular pelo pico
28. A pressão (P) do vento sobre um barco à vela               da montanha. Para se reduzir a inclinação da estrada
cresce com a área A da vela e com o quadrado da                de 3% para 2% deve-se alongar a estrada, em metros;
velocidade (V) do vento. A pressão sobre 1m² é 1 kgf           a) 10.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 12.000 e) n.r.a.
quando a velocidade é 16 km/h. A velocidade do
vento quando a pressão sobre 1m² for 36 kgf, deverá            39. Uma pedra é deixada cair dentro de um poço. O
ser em km/h:                                                   barulho da pedra atingindo a água é ouvido 7,7
a) 10 2/3   b) 96    c) 32    d) 1 2/3 e)16                    segundos após. Suponha que a pedra cai 5t² metros
                                                               em t segundos e a velocidade do som é 350 metros
29. O único dos conjuntos de dados abaixo que não              por segundo. A profundidade do poço é em metros:
que não determina o formato de um triângulo é:                 a) 245    b) 24,5     c) 29,6    d)296,45 e) n.r.a.
a) a proporção entre 2 lados e o ângulo entre eles
b) as razões entre as três alturas
                                                               40. ( x + 1 ) ² ( x² - x + 1)² ² . (x – 1)² (x² + x + 1)² ²



                                                                                                                         2
( x³ + 1)²                      ( x³ - 1)²      Pedro andando a 5 km/h. Depois de certa distância,
a) ( x + 1 )4         b) ( x³ + 1 )4               c) 1    Paulo desceu do carro e caminhou a 5 km/h enquanto
d)[( x³ + 1)( x³ - 1)] ²         e) [( x³ - 1)²]²          José voltou em direção a Pedro e, colocando-o no
                                                           carro, foi com ele até o destino chegando a ele
41. A fórmula que expressa a relação entre x e y na        juntamente com Paulo. O número de horas
tabela abaixo é:                                           necessárias para essa corrida foi:
               x 2 3 4 5            6                      a) 5 b) 6 c) 7         d) 8    e) impossível calcular
               y 0 2 6 1            20
                                 2                                       GABARITO
a) y = 2x – 4 b) y = x² - 3x + 2 c) y = x³ - 3x² + 2x
d) y = x² - 4x      e) y = x² - 4.

42. Se x = √ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . , então:
a) x = 1         b) 0 < x < 1          c) 1 < x < 2
d) x é infinito   e) x > 2, porém infinito.

43. Das afirmações abaixo, a única incorreta é:
a)Uma igualdade permanece verdadeira se somarmos,
subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos (por
nº.n0) pela mesma quantidade positiva.
b) a média aritmética de duas quantidades positivas
distintas é maior que a média geométrica dessas
mesmas quantidades.
c) dada à soma de duas quantidades positivas, o
produto das mesmas é máximo quando as mesmas
são iguais.
d) se a e b são positivos e distintos, então ½ (a² + b²)
é maior que [1/2 (a + b)]².
e) se o produto de duas quantidades é dado, sua soma
é máxima quando essas quantidades são iguais.

44. Se xy = a ,      xz = b e yz = c, onde a, b e c
      x+y          x+z         y+z
são não nulos, então x é igual a:                          SOLUÇÕES
a)   abc         b) 2abc          c) 2abc____
     ab + ac + bc     ab + ac + bc         ab + ac - bc
        2 abc               2abc___                        O1(B) A importância pedagógica deste problema
d)                     e)
                                                           extremamente simples pode ser aumentada com uma
    ab + bc – ac        ac + bc – ab
                                                           discussão sobre as restrições que se deve impor sobre
45.Dado que log 8 = 0,9031 e log 9 = 0,9542 então o
                                                           M e N, a possibilidade de que M e N sejam negativos
único logaritmo que não pode ser achado sem uso de
                                                           e assim por diante.
tabelas é:
a) log 17    b) log (5/4)     c) log 15 d) log 600
                                                           02(D) Sejam L e 2L a largura e o comprimento do
e) log 0,4.
                                                           campo. Então 6L = x ∴ L = x /6 → 2L = x / 3.
46. AB é o diâmetro de um círculo cujo centro é 0. A       Logo a área = x/6. x/3 = x²/18.
partir de um ponto qualquer C qualquer no círculo, é
traçada uma corda CD perpendicular a AB. Então, à          03(B) Aq = L² = (d / √ 2 )² = ½ (a + b)².
medida que C descreve um semicírculo, o ângulo
bissetor OCD corta o círculo em um ponto que               04(D) Área á ser pintada = 1xforro + 2x(2xFr +
sempre:                                                    2xLat.) = 1x(13x10) + 2x[ 2x(10x5) + 2x(13x5)]=590
a) bisseta o arco AB               b) trisseta o arco AB
c) varia             d) dista tanto de AB quanto de D      05(B) V1 = 10.000 + 1.000 = 11.000(Preço de venda)
e) é eqüidistante de B e C.                                  1.B    11.    21.     31.     41.B
                                                                    C      C       D
47. Se r e s são raízes da equação ax² + bx + c = 0, o       2.D    12.    22.B 32.        42.C
valor de 1 / r² + 1 / s² é:                                         C              D
a) b² - 4ac      b) (b² - 4ac) / 2.a c) (b² - 4ac) / c²      3.B    13.    23.B 33.        43.E
d) (b² - 2ac) / c²       e) n.r.a.                                  C              C
                                                             4.D    14.    24.     34.     44.E
48. A área de um quadrado inscrito num semicírculo                  C      D       A
está para a área do quadrado inscrito no círculo todo,       5.B    15.E 25.       35.     45.A
assim como:                                                                A       A
a) 1 : 2    B0 2 : 3    c) 2 : 5    d) 3: 4 e) 3 : 5.        6.D    16.    26.E 36.B 46.A
                                                                    C
49. As medianas de um triângulo retângulo traçadas           7.B    17.    27.E 37.        47.D
dos vértices com ângulos agudos medem 5 e √ 40. O                   D              D
valor da hipotenusa é:                                       8.C    18.    28.     38.     48.C
a) 10 b) 2 √ 40        c) √ 13 d 2 √ 13 e) n.r.a.                   D      C       A
                                                             9.D    19.E 29.       39.     49.D
50. José, Pedro e Paulo deram início a uma corrida de                      D       A
100 km. José e Paulo foram de automóvel, a 25 km/h;          10.    20.    30.     40.     50.D
                                                             C      C      C       C


                                                                                                              3
V2 = 11.000 – 1.100 = 9.900 (Pr. de compra)           16(C) A condição de c = b² / 4 a ocorre se ∆(delta)
      V1 – V2 = 1.100 ∴ (B) é a resposta correta.           = 0, o que implica raízes reais e iguais para f(x) = 0,
                                                            com coeficientes reais, i.e., a curva toca o eixo dos x
06(D) Sejam: C= comprimento, L= largura e A=                em um ponto apenas. Logo o gráfico (a parábola) é
altura de uma caixa retangular. O produto dessas            tangente ao eixo x.
áreas = CL x LA x AC = C².L².A² = (C.L.A)² =
quadrado do volume da caixa.                                17(D) As alternativas (A),(B),(C) e (E) são da forma
                                                            y = kx (Diretamente Proporcional) ou         xy = k
07(B) Sabendo-se que: Erro relativo = erro / medida,        (Inversamente Proporcional), mas (D) não.
temos; Erro rel. da 1ª medida = 0,02 / 10 = 0,002.
       Erro rel. da 2ª medida = 0,2 / 100 = 0,002.          18(D) Sejam Ax + B e CX + D os fatores. Então:
       ∴ são iguais.                                         (Ax + B) (Cx + D) = A.Cx²+(A.D + B.C) x + B.D =
                                                                               = 21 x² + ax + 21.
08( C) Seja M o preço marcado no artigo.                    ∴ A.C = 21 e B.D = 21.
Novo preço (com abatimento) = M – 10%M=                     Como 21 é impar, seus dois fatores também o são, ou
M – 0,1M = 0,9 M.                                           seja, os números A e C são números ímpares, bem
Para que o preço volte a ser M → devemos somar              como B e D. Como o produto de dois números
0,9M + 0,1M = M. Deve-se observar que: 0,1 M =              ímpares é um número ímpar, temos que a soma de
1/9 (0,9M) ,ou seja: 100/9 % = 11 1 /9%.                    dois números ímpar , logo a = A.C + B.D é um
Nota: Podemos calcular a taxa do aumento por:               número par.
      0,9 M → 100% ∴ x = 100% . 0,1M ∴                      19(E) Um número desse tipo tem a forma:
     0,1 M → x                    0,9 M                     P. 10³ + P = P (10³ + 1) = P (1.001), onde P é o
                              x = 11 1/9%.                  número com 3 algarismos que se repete. Portanto a
                                                            alternativa (E) é a correta.
09(D) Seja Pk o perímetro do k-ésimo triângulo. Pela
figura abaixo se pode usar que: P k+1 = ½ . P k             20(C) Usando-se propriedade potências a-n = 1/an,
Os perímetros dos ∆ formam uma PG infinita de               temos: (x + y)-1 (x-1 + y-1) =
razão ½, 1ºtermo = P1 = 3 a e cuja soma S é:
                                                            = 1 ( 1/x + 1/y) = 1 (x + y) = 1 / xy = x-1y-1.
  S = P1 + P2 + P3 + . . . = 3a+ ½.3a+ ½. ½.3a+ . . .=
                                                             x+y                 x+y          xy
    = 3 a (1 + ½ + ¼ +. . .) = 3 a . 1      = 6 a.
                                    1–½                     21(C) Não é correta sempre, já que, para z < 0,
                                                            xz < yz.

                                                            22(B) Usando a def. de logaritmos temos:
        a               a                                   log10 (a² - 15 a) = 2 → a² - 15 a =10²= 100
                                                              que tem como raízes da eq. do 2°grau {-5;20}e
                a/2
                                                            ambas satisfazem a condição do nº. do logaritmo.
         60° 60°
            a/2
                                                            23(B) Usando a fórmula volume do cilindro que é
10(C) Sabendo-se que a área do círculo de raio R é:         V = πr²h, devemos ter que: π( r + x)²h= πr²(h + x)
          A = πR², temos que, se um outro círculo de        ∴ x = ( r² - 2rh)/ h. Para r = 8 e h = 3,temos x = 5
                                                            1/3.
raio dobrado R1 = 2R, sua área A1 = π(2R)² = π.4R² =
4.A. Portanto a área inicial é quadruplicada e (C ) é a
                                                            24(D) Usando prop. multiplicação de potências de
alternativa incorreta.
                                                            mesma base ( a m+n = am . a n ) , teremos que:
                                                            2 n+ 4 – 2(2 n) = 2 n. 2 4 - 2 . 2 n = 2.2 n( 2³ - 1) =
11(C) A nova série é: a² + a²q² + a²q4 + ...; que é uma
PG infinita e sua soma é: S = a² / (1 – q²).                   2( 2 n+3 )      2 . 2 n . 2³         2 . 2 n . 2³
                                                            = 7/8.
12(C) Em 15 minutos, o ponteiro das horas se desloca
¼ de 30° = 7 ½ °. (Verifique que em 1 hora o                25(A) Sendo L1=lado do quadrado; a1=seu apótema
ponteiro das horas se desloca 30° e o dos minutos           tem-se que área do quadrado = seu perímetro ∴
360°= uma volta). Portanto, o ângulo formado pelos          L1² = 4L1;e como (2a1 )²=L1teremos 4 a1² = 8 a1
ponteiros nesta hora é: 30° - 7 ½° = 22 ½°.                 ∴ a1 = 2.
                                                            Seja L2=lado ∆ eqüilátero; h=sua altura; a2= seu
13(C) Em um dia, A faz 1 / 9 do trabalho. Como B é          apótema; temos que h = √ 3/2 L2 e AT= seu perímetro,
50% mais eficiente, B fará 3/2. 1/9 = 1/6 do trabalho       então: L2². √ ¾ = 3 L2. Como h = 3 a2 e L2=2h / √ 3 =
em um dia. Logo, B necessita de 6 dias para                 6 a2 / √ 3 temos 36 a2² / 3 . √ 3 / 4 =
completar o trabalho.                                       3. 6. a2 / √ 3 ∴ a 2 = 2 = a 1 .

14(C) é incorreta uma vez que alguns termos (os             26(E) Após simplificação, temos:
primitivos) devem permanecer indefinidos.                   x² - x – m(m + 1) = 0. para termos raízes iguais, o
                                                            discriminante = D = 1 + 4m(m + 1) = (2m + 1)² = 0
15(E) Vamos fatorar a expressão dada:                       ∴ m = - 1 / 2.
n³ - n = n(n² - 1) = (n – 1) . n . (n + 1) . Para valores
inteiros de n, representam o produto de 3 inteiros          27(E) Podemos eliminar (A) e (D) provando que os
consecutivos. Como em um par de números inteiros            ângulos correspondentes não são iguais. Se (A) é
consecutivos, existe sempre um divisível por 2, então       falso, (B) é certamente falso. Podemos eliminar (C)
em um terno, existirá um divisível por 3. Logo, n³ - n      colocando o ponto muito próximo de um dos lados do
é divisível por 2, por 3 e, portanto é também por 6.        ∆. Portanto, nenhuma das 4 afirmações é verdadeira.




                                                                                                                   4
28(C) Temos que: P = k.A.V².Tirando dados do
problema: 1 = k.1 .16² ∴ k = 1 / 16².                    37(D) Seja N o número procurado. Pelos dados do
Para cálculo da velocidade: 36 / 9 = (1/16)².1. V² ∴     problema temos:
V = 32 km/h.                                             N = 10q9 + 9 = 9q8 + 8 = . . . = 2q1 + 1.
                                                         Adicionando-se 1 a cada membro da equação, temos:
29(D) Seja r a proporção entre a altura e a base. Os ∆   N + 1 = 10q9 + 10 = 9q8 + 9 = . . . = 2q2 + 2 =
na figura satisfazem a condição (D) mas tem formas               = 10(q9 + 1) = 9(q8 + 1) = . . . = 2(q2 + 1), ou
diferentes. Portanto (D) não determina a forma dos ∆     seja: N + 1 é divisível por 10, 9, 8, . . . , 3, 2 cujo
                                                         mínimo múltiplo comum é : 2³.3².5.7 = 2520 ∴
                                                         N = 2519.
                     rb
                                     rb                  38(A) Inicialmente vamos calcular os alongamentos
                                                         relativos a 2% e 3% de 600m.
                                                         Sendo: 2 % de a1 = 600 m ∴ a1 = 30.000 m
                                                                 3% de a2 = 600 m ∴ a2 = 20.000 m
30(C) Veja a figura abaixo, e usando semelhança          Temos então que, com a mudança de 2% para 3%
entre os triângulos temos:                               deve-se alongar a estrada em: a1 – a2 = 10.000 m.
1°modo: 1 = 1 + 1          ∴ x = 16 cm
           x    20     80                                39(A) A distância percorrida pela pedra ao cair
                                                         (queda) é a mesma percorrida pelo som (subida):
2º modo: 20 = x ∴ y = 5x                                  d = vq. tq = vs. ts. Logo, os tempos de percurso são
          100        y                                   inversamente proporcionais às velocidades, ou seja:
          80 =            x___        ∴ 80 =   x_____    vq / vs = ts / tq (I)
          100       100 – y            100   100 – 5y    Temos que: vq = 5tq²/tq = 5tq; vs = 350 m/s; tq + ts =
                                                         7,7s ∴ ts = 7,7 – tq: daí escrevemos em (I):
          ∴ x = 16 cm.                                   5tq / 350 = (7,7 – tq ) / tq ∴ tq= 7 seg.e ts = 0,7seg.
                                                         Portanto, a profundidade do poço é:
                                                80        d = vs . ts = 350 . 0,7 = 245m.

                                                         40(C) Dado que: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) e que
 20             x                                        x³ - 1 = (x – 1)(x² + x + 1), então podemos simplificar
                                                         a expressão a 1, feitas as devidas restrições aos
      100 – y                    y                       valores de x.

31(D) 1ºmodo: Seja n = nº. de pessoas presentes à        41(B) Devemos verificar alternativa a alternativa e aí
festa. Sendo P uma pessoa qualquer desse grupo, P        então temos a correta.
deve ter apertado a mão de (n – 1) pessoas, e isso é
verdade para cada uma das n pessoas presentes. Mas       42(C) Iniciamos quadrando a equação, de onde
para não contarmos duas vezes o aperto de mão dado       temos:
por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nº. de         x² = 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . ∴ x² = 1 + x ∴
apertos como n(n – 1) / 2 = 28, o que dá n = 8.                     x² - x – 1 = 0.
2º modo: Calculando na forma de combinações              Logo x L 1,62, ou seja : 1 < x < 2.
simples: C n, 2 = n !     = n (n – 1) = 28 ∴ n = 8.
                    2!(n-2)!              2              43(E) A alternativa (E) é incorreta porque, sendo
                                                         conhecido o produto de duas quantidades positivas, a
32(D) O ∆ inscrito de perímetro máximo, é o ∆            soma das mesmas é mínima quando essas
retângulo isósceles (altura = raio), cujos lados         quantidades são iguais. Para provar isso, seja x uma
(catetos) medem AB √ 2 / 2, cada um. Logo, de uma        dessas quantidades, e vamos escrever a 2ª quantidade
forma geral:     AC + BC ≤ AB √ 2.                       como (x + h), com h podendo ser negativo.
                                                         Então se x (x+h) = p ∴ x² + hx – p = 0 ∴
33(C) Temos ( x² - 2x= 0)  (x² = 2x)  (x² ±1 = 2x       x = -h + √ h² + 4p ∴ x + x + h = √ h² + 4p cujo o
±1) ∴ a alternativa correta é a (C).                                 2
                                                         valor é mínimo quando h = 0.
34(A) Em geral, usando uma das propriedades dos
logaritmos, temos alogaN = N, com as devidas             44(E) Calculando a inversa das expressões dadas
condições para N > 0 e 0 < a c 1. Logo 10 log107 = 7.    temos o seguinte conjunto de equações:
                                                             (I)1/y + 1/x = 1/a; (II) 1/z + 1/x = 1/b;
35(A) Usando prop. de potência com expoente                                    (III)1/y + 1/z= 1/c.
fracionário, temos:                                      Fazendo: (I)-(III) = (IV) = 1/x – 1/z = 1/a – 1/c e
c y = a z ∴ c = a z/y, logo c q = a (z/y)q = a x                 (IV)+(II) = 2/x = 1/a + 1/b – 1/c ∴
∴ x = (z/y)q ou xy = zq.                                           x=        2abc____
                                                                          ac + bc – ab
36(B) Para se provar que certa figura é um lugar
geométrico, é essencial:                                 45(A) Usando a definição e algumas propriedades de
1º) que ela contenha todos os pontos do lugar.           logaritmos temos:
2º) que ela não contenha nenhum dos pontos que não       i)log 8 = log 2³ = 3.log 2 ∴ log 2 = 1 / 3 . log8
seja do lugar.
                                                         ii)log 9 = log 3² = 2.log 3 ∴ log 3 = 1 / 2 . log 9
Por este critério, (B) não é suficiente, já que não
                                                         iii)log 10 = 1;
satisfaz a condição (1), ou seja, a condição (B) não
                                                         iv)log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 - log2.
garante que todo ponto que satisfaça às condições
                                                            Portanto, todos os logaritmos das alternativas desta
está no lugar geométrico.
                                                         questão, podem ser representados por um produto de



                                                                                                               5
potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único         ___________________________________________
número da lista não representável nessa forma.            ___________________________________________
Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C).      ___________________________________________
                                                          ___________________________________________
                                       C
46(A) Em primeiro lugar
deve-se construir um
círculo conforme dados
no       problema(figura     A          o       B
abaixo).Vamos estender
CO até encontrar o
círculo no ponto E.
Como CE é diâmetro,              D          E
                                        P
CD ⊥ DE. A bissetriz do
ângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arco
DP = arco PE. Independente da posição de C, a corda
correspondente DE é sempre paralelo a AB e,
portanto P sempre corta ao meio o arco AB.



47(D) Temos: 1 + 1 = r² + s² = (r + s)² - 2rs
                r²      s²    r²s²       (rs)²
e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que:
   1/r² + 1/s² = b² - 2ac
                   c²
48(C) A área do quadrado
menor é 4r²/5 e a área do
quadrado maior é 2r², onde r é
o raio do círculo. Portanto a
proporção entre as áreas é 2: 5


49(D) Do enunciado podemos
afirmar que, para no ∆ retângulo ABC,
(a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 ∴ a² = 36 e b² = 16.
 ∴ c² = a² + b² = 52 ∴ c = 2 √ 13.


   A

                           AD = 5 e BE = √ 40 .
  b/2

    E              5         c


  b/2


    C        a/2       D         a/2       B



50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas,
respectivamente, dos seguintes trechos da corrida;
- a corrida até que o carro pára para descida de Paulo.
- a volta até alcançar Pedro
- o resto do trajeto até o ponto final.
Podemos então escrever:
25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro)
5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro)
25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo)
O sistema acima de equações é equivalente a:
t1 -t2 + t3 = 4
t1 + t2 – 5t3 = 20
5t1 + t2 + t3 = 20
Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo total
do percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.

ANOTAÇÕES
________________________________________
___________________________________________



                                                                                                   6
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MAPA - BEDU - ATIVIDADE FÍSICA E QUALIDADE DE VIDA - 51/2024
 

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  • 1. pontos médios dos lados do 1º triângulo. Depois REMEMBER II forma-se um 3ºtriângulo eqüilátero unindo-se os pontos médios dos lados do 2ºtriângulo, e assim por 01. M é percentualmente maior que N, em: diante. O limite da soma dos perímetros de todos os triângulos assim desenhados vale: a) infinito b) 5 ¼ a c) 2 a d) 6 a e) 4 ½ a. a) 100(M – N) b) 100(M – N) c) M – N M N N 10. Das afirmações abaixo, assinale a incorreta: d) M -N e) 100(M + N) a) dobrando-se a base de um ∆, dobra-se a área. M N b) dobrando-se a altura de um ∆, dobra-se a área. c) dobrando-se o raio de um círculo, dobra-se a área. 02. Um campo retangular tem comprimento o dobro d) dobrando-se o denominador de uma fração e da largura e é cercado por uma cerca de x metros. A dividindo-se o numerador por 2 altera-se o quociente. área desse campo é: e) dobrando-se certa quantia pode-se torná-la menor a) x² / 2 b) 2x² c) 2x² / 9 d) x² / 18 e) x² / 72. do que ela era originalmente. 03. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é 11. O limite da soma de um número infinito de a + b, então a área do quadrado é: termos de uma P.G. é a / (1 – q) onde a é o primeiro a) (a + b)² b) ½ (a + b)² c) a² + b² d)1/2 (a²+b²) termo e - 1 < q < 1 denota a razão. O limite da soma e) n.r.a. dos quadrados desses termos é: a) a² b) a² c) a² d) 4 a² d) n.r.a. 04. Um depósito possui um telhado plano e formato (1 – q)² 1 + q² 1 – q² 1 + q² retangular, medindo 10m de largura, 13m de comprimento e 5m de altura. Este deverá ser pintado 12. Às 02h15min, os ponteiros de um relógio formam por dentro, por fora e no forro, mas não no chão nem um ângulo de: no telhado. A área total (em m²) a ser pintada é: a) 30° b) 5° c) 22 ½° d) 7 ½° e) 28° a) 360 b) 460 c) 490 d) 590 e) 720. 13. A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho. B é 05. A possui uma casa no valor de R$ 10.000,00. Ele 50% mais eficiente que A. O número de dias que B a vendeu para B com 10% de lucro. Mais tarde, B deverá demorar a fazer a mesma peça é: vendeu novamente a casa para A com 10% de a) 13 ½ b) 4 ½ c) 6 d) 3 e) n.r.a. prejuízo. a) A não ganhou nem perdeu dinheiro 14. Tendo em mente a noção de prova (ou b) A fez R$ 1.100,00 de lucro no negócio demonstração) em geometria, indique qual das c) A fez R$ 1.000,00 de lucro no negócio afirmações abaixo é incorreta: d) A perdeu R$ 900,00 no negócio a) algumas afirmações são aceitas sem prova e) A perdeu R$ 1.000,00 no negocio. (demonstração) b) em algumas situações existe mais de uma maneira 06. As áreas da parte frontal, lateral, e inferior de uma de se provar um certo resultado caixa retangular são conhecidas. O produto dessas c) cada termo usado em uma prova deve ter sido áreas é igual: definido previamente a) ao volume da caixa b) à raiz quadrada do volume d) não é possível chegar através de um raciocínio c) ao dobro do volume d) ao quadrado do volume correto a uma conclusão verdadeira se, entre os e) ao cubo do volume. dados, existir uma afirmação falsa. e) a prova indireta pode ser usada sempre que houver 07. Uma medida de um comprimento de 10 cm foi duas ou mais proposições contrárias. feita com 0,02 cm de erro, enquanto que uma medida de um comprimento de 100 cm foi feita com 0,2 cm 15. O maior número pelo qual a expressão n³ - n é de erro. O erro relativo a 2ª medida comparado ao da divisível, tornando-se n no conjunto dos números 1ª medida é: inteiros, é: a) maior em 0,18cm b) igual c) menor d) 10 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 vezes maior e) descrito corretamente em a) e d). 16. Se ao resolvermos a equação quadrática 08. O preço de um dado artigo é diminuído em 10%. f(x) = ax² + bx +c = 0, resultar que c = b² / 4.a, então Para retornar ao valor antigo, o novo preço deve ser o gráfico de y = f(x), certamente: aumentado em: a) terá um máximo b) terá um mínimo a) 10% b) 9% c) 11 1/9% d) 11% e) n.r.a. c) tangenciará o eixo dos x d)tangenciará o eixo dos y e) ficará restrito a um 09. Desenha-se um triângulo eqüilátero de lado a. único quadrante. Forma-se um novo triângulo eqüilátero unindo-se os 17. Indique em qual das equações abaixo y não é nem diretamente nem inversamente proporcional a x: a) x + y = 0 b) 3xy = 10 c) x = 5y d) 3x + y = 10 e) x / y = √ 3. 18. A expressão 21 x² + ax + 2 deve ser fatorada em dois fatores binomiais primos e lineares com coeficientes inteiros. Isto pode ser feito se a for: a) qualquer número ímpar b) algum número ímpar c) qualquer número par d) algum número par e) zero. 1
  • 2. 19.Qualquer número de seis dígitos e formado com c) as razões entre as três medianas repetição de um número de três algarismos; por d) a razão entre a altura e a base correspondente exemplo: 256.256 ou 678.678, etc. é sempre divisível e) dois ângulos. por: a) 7 somente b) 11 somente c) 13 somente 30. Se duas estacas de 20 cm e 80 cm de altura estão d) 101 e) 1.001. a 100 cm de distância, então a altura da interseção das retas que ligam o topo de cada estaca com a base da 20. A expressão (x + y)-1 (x-1 + y-1), depois de outra, em cm, é: simplificada e expressa com expoentes negativos, fica a) 50 b) 40 c) 16 d) 60 e) n.r.a. assim: a) x-2 + 2x-1 y-1 + y-2 b) x-2 + 2-1 x-1 y-1 + y-2 31. Um total de 28 apertos de mão foi dado ao final -1 -1 -2 -2 c) x y d) x + y e) 1 / x-1 y-1. de uma festa. Assumindo que cada participante foi igualmente polido com relação aos demais, o número 21. Dados x > 0, y > 0, x > y e z 2 0, a desigualdade de pessoas na festa era: que não é sempre correta é: a) 14 b) 28 c) 56 d) 8 e) 7 a) x + z > y + z b) x - z > y – z c) xz > yz d) x / z² > y / z² e) x z² > y z² 32. Se o ∆ ABC está inscrito no semicírculo cujo diâmetro é AB, então AC + BC deve ser: 22. Os valores de a que satisfazem a equação a) igual a AB b) igual a AB √ 2 c) ≥ AB √ 2 log10 (a² - 15 a) = 2 , são: d) ≤ AB √ 2 e) (AB)². a){ 15 ± √ 233 } b){20;-5} c){15 ± √ 305}d){± 20} 2 2 33. As raízes da equação x² - 2x = 0 pode ser obtida e) n.r.a. graficamente encontrando-se os pontos de interseção de cada um dos pares de equação, exceto o par: 23.O raio de uma caixa cilíndrica mede 8cm e sua a) y = x² e y = 2x b) y = x² - 2x e y = 0 altura 3cm. O comprimento que deve ser c) y = x e y = x – 2 d) y = x² - 2x + 1 e y = 1 acrescentado ao raio ou a altura para resultar no e) y = x² - 1 e y = 2x – 1. mesmo aumento não nulo em volume é: a) 1 b) 5 1/3 c) qualquer número 34. O valor de 10 log10 7 é: d)não existente e)n.r.a. a) 7 b) 1 c) 10 d) log10 7 e) log7 10. 35. Se a x = c q = b e c y = a z = d, então: 24. A expressão 2 n+4 – 2(2n) , quando simplificada, é: a) x y = q z b) x / y = q / z c) x + y = q + z 2. ( 2 n + 3) d) x – y = q – z e) x y = q z a) 2 n+1 – 1/8 b) – 2 n+1 c) 1 – 2n d) 7/8 36. Qual dos seguintes métodos não serve para provar e) 7/4. que uma figura geométrica é um certo lugar geométrico (L.G)? 25. O apótema de um quadrado cuja área é a) cada ponto do L.G. satisfaz as condições e cada numericamente igual ao perímetro é comparado com ponto fora do L.G. não satisfaz as condições; o apótema de um triângulo eqüilátero cuja área é b) cada ponto não satisfazendo as condições não está igual ao perímetro. O primeiro apótema será: no L.G. e cada ponto no LG satisfaz as condições; a) igual ao segundo b) 4/3 do segundo c) cada ponto que satisfaz as condições está no LG e c) 2/√ 3 do segundo d) √ 2/√ 3 do segundo cada ponto no LG satisfaz as soluções; e) não relacionável ao segundo d) cada ponto não pertencente ao LG não satisfaz as condições e cada ponto não satisfazendo as condições 26. Na equação x( x – 1 ) – ( m + 1 ) = x as raízes não está no LG; ( x – 1 )( m – 1 ) m e) cada ponto satisfazendo as condições está no LG e são iguais quando: cada ponto não satisfazendo as condições não está no a) m = 1 b) m = ½ c) m = 0 d) m = -1 e) m = -1/2 LG. 27. Por um ponto interior a um triângulo, são traçados 37. Um número que ,quando dividido por 10 deixa 3 segmentos ligando os vértices aos lados opostos, resto 9, quando dividido por 9 deixa resto 8, quando formando assim seis seções triangulares. Nestas dividido por 8 deixa resto 7, etc., até que, quando condições: dividido por 2 deixa resto 1, é: a) pares opostos formam triângulos semelhantes a) 59 b) 419 c) 1259 d) 2519 e) n.r.a. b) pares opostos formam triângulos congruentes c) pares opostos formam triângulos iguais em área 38. É preciso uma elevação de 600m para que uma d) são formados 3 quadriláteros semelhantes linha ferroviária cruze uma montanha. A inclinação e) n.r.a do leito da estrada pode ser mantida pequena alongando-se a estrada e fazendo-a circular pelo pico 28. A pressão (P) do vento sobre um barco à vela da montanha. Para se reduzir a inclinação da estrada cresce com a área A da vela e com o quadrado da de 3% para 2% deve-se alongar a estrada, em metros; velocidade (V) do vento. A pressão sobre 1m² é 1 kgf a) 10.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 12.000 e) n.r.a. quando a velocidade é 16 km/h. A velocidade do vento quando a pressão sobre 1m² for 36 kgf, deverá 39. Uma pedra é deixada cair dentro de um poço. O ser em km/h: barulho da pedra atingindo a água é ouvido 7,7 a) 10 2/3 b) 96 c) 32 d) 1 2/3 e)16 segundos após. Suponha que a pedra cai 5t² metros em t segundos e a velocidade do som é 350 metros 29. O único dos conjuntos de dados abaixo que não por segundo. A profundidade do poço é em metros: que não determina o formato de um triângulo é: a) 245 b) 24,5 c) 29,6 d)296,45 e) n.r.a. a) a proporção entre 2 lados e o ângulo entre eles b) as razões entre as três alturas 40. ( x + 1 ) ² ( x² - x + 1)² ² . (x – 1)² (x² + x + 1)² ² 2
  • 3. ( x³ + 1)² ( x³ - 1)² Pedro andando a 5 km/h. Depois de certa distância, a) ( x + 1 )4 b) ( x³ + 1 )4 c) 1 Paulo desceu do carro e caminhou a 5 km/h enquanto d)[( x³ + 1)( x³ - 1)] ² e) [( x³ - 1)²]² José voltou em direção a Pedro e, colocando-o no carro, foi com ele até o destino chegando a ele 41. A fórmula que expressa a relação entre x e y na juntamente com Paulo. O número de horas tabela abaixo é: necessárias para essa corrida foi: x 2 3 4 5 6 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) impossível calcular y 0 2 6 1 20 2 GABARITO a) y = 2x – 4 b) y = x² - 3x + 2 c) y = x³ - 3x² + 2x d) y = x² - 4x e) y = x² - 4. 42. Se x = √ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . , então: a) x = 1 b) 0 < x < 1 c) 1 < x < 2 d) x é infinito e) x > 2, porém infinito. 43. Das afirmações abaixo, a única incorreta é: a)Uma igualdade permanece verdadeira se somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos (por nº.n0) pela mesma quantidade positiva. b) a média aritmética de duas quantidades positivas distintas é maior que a média geométrica dessas mesmas quantidades. c) dada à soma de duas quantidades positivas, o produto das mesmas é máximo quando as mesmas são iguais. d) se a e b são positivos e distintos, então ½ (a² + b²) é maior que [1/2 (a + b)]². e) se o produto de duas quantidades é dado, sua soma é máxima quando essas quantidades são iguais. 44. Se xy = a , xz = b e yz = c, onde a, b e c x+y x+z y+z são não nulos, então x é igual a: SOLUÇÕES a) abc b) 2abc c) 2abc____ ab + ac + bc ab + ac + bc ab + ac - bc 2 abc 2abc___ O1(B) A importância pedagógica deste problema d) e) extremamente simples pode ser aumentada com uma ab + bc – ac ac + bc – ab discussão sobre as restrições que se deve impor sobre 45.Dado que log 8 = 0,9031 e log 9 = 0,9542 então o M e N, a possibilidade de que M e N sejam negativos único logaritmo que não pode ser achado sem uso de e assim por diante. tabelas é: a) log 17 b) log (5/4) c) log 15 d) log 600 02(D) Sejam L e 2L a largura e o comprimento do e) log 0,4. campo. Então 6L = x ∴ L = x /6 → 2L = x / 3. 46. AB é o diâmetro de um círculo cujo centro é 0. A Logo a área = x/6. x/3 = x²/18. partir de um ponto qualquer C qualquer no círculo, é traçada uma corda CD perpendicular a AB. Então, à 03(B) Aq = L² = (d / √ 2 )² = ½ (a + b)². medida que C descreve um semicírculo, o ângulo bissetor OCD corta o círculo em um ponto que 04(D) Área á ser pintada = 1xforro + 2x(2xFr + sempre: 2xLat.) = 1x(13x10) + 2x[ 2x(10x5) + 2x(13x5)]=590 a) bisseta o arco AB b) trisseta o arco AB c) varia d) dista tanto de AB quanto de D 05(B) V1 = 10.000 + 1.000 = 11.000(Preço de venda) e) é eqüidistante de B e C. 1.B 11. 21. 31. 41.B C C D 47. Se r e s são raízes da equação ax² + bx + c = 0, o 2.D 12. 22.B 32. 42.C valor de 1 / r² + 1 / s² é: C D a) b² - 4ac b) (b² - 4ac) / 2.a c) (b² - 4ac) / c² 3.B 13. 23.B 33. 43.E d) (b² - 2ac) / c² e) n.r.a. C C 4.D 14. 24. 34. 44.E 48. A área de um quadrado inscrito num semicírculo C D A está para a área do quadrado inscrito no círculo todo, 5.B 15.E 25. 35. 45.A assim como: A A a) 1 : 2 B0 2 : 3 c) 2 : 5 d) 3: 4 e) 3 : 5. 6.D 16. 26.E 36.B 46.A C 49. As medianas de um triângulo retângulo traçadas 7.B 17. 27.E 37. 47.D dos vértices com ângulos agudos medem 5 e √ 40. O D D valor da hipotenusa é: 8.C 18. 28. 38. 48.C a) 10 b) 2 √ 40 c) √ 13 d 2 √ 13 e) n.r.a. D C A 9.D 19.E 29. 39. 49.D 50. José, Pedro e Paulo deram início a uma corrida de D A 100 km. José e Paulo foram de automóvel, a 25 km/h; 10. 20. 30. 40. 50.D C C C C 3
  • 4. V2 = 11.000 – 1.100 = 9.900 (Pr. de compra) 16(C) A condição de c = b² / 4 a ocorre se ∆(delta) V1 – V2 = 1.100 ∴ (B) é a resposta correta. = 0, o que implica raízes reais e iguais para f(x) = 0, com coeficientes reais, i.e., a curva toca o eixo dos x 06(D) Sejam: C= comprimento, L= largura e A= em um ponto apenas. Logo o gráfico (a parábola) é altura de uma caixa retangular. O produto dessas tangente ao eixo x. áreas = CL x LA x AC = C².L².A² = (C.L.A)² = quadrado do volume da caixa. 17(D) As alternativas (A),(B),(C) e (E) são da forma y = kx (Diretamente Proporcional) ou xy = k 07(B) Sabendo-se que: Erro relativo = erro / medida, (Inversamente Proporcional), mas (D) não. temos; Erro rel. da 1ª medida = 0,02 / 10 = 0,002. Erro rel. da 2ª medida = 0,2 / 100 = 0,002. 18(D) Sejam Ax + B e CX + D os fatores. Então: ∴ são iguais. (Ax + B) (Cx + D) = A.Cx²+(A.D + B.C) x + B.D = = 21 x² + ax + 21. 08( C) Seja M o preço marcado no artigo. ∴ A.C = 21 e B.D = 21. Novo preço (com abatimento) = M – 10%M= Como 21 é impar, seus dois fatores também o são, ou M – 0,1M = 0,9 M. seja, os números A e C são números ímpares, bem Para que o preço volte a ser M → devemos somar como B e D. Como o produto de dois números 0,9M + 0,1M = M. Deve-se observar que: 0,1 M = ímpares é um número ímpar, temos que a soma de 1/9 (0,9M) ,ou seja: 100/9 % = 11 1 /9%. dois números ímpar , logo a = A.C + B.D é um Nota: Podemos calcular a taxa do aumento por: número par. 0,9 M → 100% ∴ x = 100% . 0,1M ∴ 19(E) Um número desse tipo tem a forma: 0,1 M → x 0,9 M P. 10³ + P = P (10³ + 1) = P (1.001), onde P é o x = 11 1/9%. número com 3 algarismos que se repete. Portanto a alternativa (E) é a correta. 09(D) Seja Pk o perímetro do k-ésimo triângulo. Pela figura abaixo se pode usar que: P k+1 = ½ . P k 20(C) Usando-se propriedade potências a-n = 1/an, Os perímetros dos ∆ formam uma PG infinita de temos: (x + y)-1 (x-1 + y-1) = razão ½, 1ºtermo = P1 = 3 a e cuja soma S é: = 1 ( 1/x + 1/y) = 1 (x + y) = 1 / xy = x-1y-1. S = P1 + P2 + P3 + . . . = 3a+ ½.3a+ ½. ½.3a+ . . .= x+y x+y xy = 3 a (1 + ½ + ¼ +. . .) = 3 a . 1 = 6 a. 1–½ 21(C) Não é correta sempre, já que, para z < 0, xz < yz. 22(B) Usando a def. de logaritmos temos: a a log10 (a² - 15 a) = 2 → a² - 15 a =10²= 100 que tem como raízes da eq. do 2°grau {-5;20}e a/2 ambas satisfazem a condição do nº. do logaritmo. 60° 60° a/2 23(B) Usando a fórmula volume do cilindro que é 10(C) Sabendo-se que a área do círculo de raio R é: V = πr²h, devemos ter que: π( r + x)²h= πr²(h + x) A = πR², temos que, se um outro círculo de ∴ x = ( r² - 2rh)/ h. Para r = 8 e h = 3,temos x = 5 1/3. raio dobrado R1 = 2R, sua área A1 = π(2R)² = π.4R² = 4.A. Portanto a área inicial é quadruplicada e (C ) é a 24(D) Usando prop. multiplicação de potências de alternativa incorreta. mesma base ( a m+n = am . a n ) , teremos que: 2 n+ 4 – 2(2 n) = 2 n. 2 4 - 2 . 2 n = 2.2 n( 2³ - 1) = 11(C) A nova série é: a² + a²q² + a²q4 + ...; que é uma PG infinita e sua soma é: S = a² / (1 – q²). 2( 2 n+3 ) 2 . 2 n . 2³ 2 . 2 n . 2³ = 7/8. 12(C) Em 15 minutos, o ponteiro das horas se desloca ¼ de 30° = 7 ½ °. (Verifique que em 1 hora o 25(A) Sendo L1=lado do quadrado; a1=seu apótema ponteiro das horas se desloca 30° e o dos minutos tem-se que área do quadrado = seu perímetro ∴ 360°= uma volta). Portanto, o ângulo formado pelos L1² = 4L1;e como (2a1 )²=L1teremos 4 a1² = 8 a1 ponteiros nesta hora é: 30° - 7 ½° = 22 ½°. ∴ a1 = 2. Seja L2=lado ∆ eqüilátero; h=sua altura; a2= seu 13(C) Em um dia, A faz 1 / 9 do trabalho. Como B é apótema; temos que h = √ 3/2 L2 e AT= seu perímetro, 50% mais eficiente, B fará 3/2. 1/9 = 1/6 do trabalho então: L2². √ ¾ = 3 L2. Como h = 3 a2 e L2=2h / √ 3 = em um dia. Logo, B necessita de 6 dias para 6 a2 / √ 3 temos 36 a2² / 3 . √ 3 / 4 = completar o trabalho. 3. 6. a2 / √ 3 ∴ a 2 = 2 = a 1 . 14(C) é incorreta uma vez que alguns termos (os 26(E) Após simplificação, temos: primitivos) devem permanecer indefinidos. x² - x – m(m + 1) = 0. para termos raízes iguais, o discriminante = D = 1 + 4m(m + 1) = (2m + 1)² = 0 15(E) Vamos fatorar a expressão dada: ∴ m = - 1 / 2. n³ - n = n(n² - 1) = (n – 1) . n . (n + 1) . Para valores inteiros de n, representam o produto de 3 inteiros 27(E) Podemos eliminar (A) e (D) provando que os consecutivos. Como em um par de números inteiros ângulos correspondentes não são iguais. Se (A) é consecutivos, existe sempre um divisível por 2, então falso, (B) é certamente falso. Podemos eliminar (C) em um terno, existirá um divisível por 3. Logo, n³ - n colocando o ponto muito próximo de um dos lados do é divisível por 2, por 3 e, portanto é também por 6. ∆. Portanto, nenhuma das 4 afirmações é verdadeira. 4
  • 5. 28(C) Temos que: P = k.A.V².Tirando dados do problema: 1 = k.1 .16² ∴ k = 1 / 16². 37(D) Seja N o número procurado. Pelos dados do Para cálculo da velocidade: 36 / 9 = (1/16)².1. V² ∴ problema temos: V = 32 km/h. N = 10q9 + 9 = 9q8 + 8 = . . . = 2q1 + 1. Adicionando-se 1 a cada membro da equação, temos: 29(D) Seja r a proporção entre a altura e a base. Os ∆ N + 1 = 10q9 + 10 = 9q8 + 9 = . . . = 2q2 + 2 = na figura satisfazem a condição (D) mas tem formas = 10(q9 + 1) = 9(q8 + 1) = . . . = 2(q2 + 1), ou diferentes. Portanto (D) não determina a forma dos ∆ seja: N + 1 é divisível por 10, 9, 8, . . . , 3, 2 cujo mínimo múltiplo comum é : 2³.3².5.7 = 2520 ∴ N = 2519. rb rb 38(A) Inicialmente vamos calcular os alongamentos relativos a 2% e 3% de 600m. Sendo: 2 % de a1 = 600 m ∴ a1 = 30.000 m 3% de a2 = 600 m ∴ a2 = 20.000 m 30(C) Veja a figura abaixo, e usando semelhança Temos então que, com a mudança de 2% para 3% entre os triângulos temos: deve-se alongar a estrada em: a1 – a2 = 10.000 m. 1°modo: 1 = 1 + 1 ∴ x = 16 cm x 20 80 39(A) A distância percorrida pela pedra ao cair (queda) é a mesma percorrida pelo som (subida): 2º modo: 20 = x ∴ y = 5x d = vq. tq = vs. ts. Logo, os tempos de percurso são 100 y inversamente proporcionais às velocidades, ou seja: 80 = x___ ∴ 80 = x_____ vq / vs = ts / tq (I) 100 100 – y 100 100 – 5y Temos que: vq = 5tq²/tq = 5tq; vs = 350 m/s; tq + ts = 7,7s ∴ ts = 7,7 – tq: daí escrevemos em (I): ∴ x = 16 cm. 5tq / 350 = (7,7 – tq ) / tq ∴ tq= 7 seg.e ts = 0,7seg. Portanto, a profundidade do poço é: 80 d = vs . ts = 350 . 0,7 = 245m. 40(C) Dado que: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) e que 20 x x³ - 1 = (x – 1)(x² + x + 1), então podemos simplificar a expressão a 1, feitas as devidas restrições aos 100 – y y valores de x. 31(D) 1ºmodo: Seja n = nº. de pessoas presentes à 41(B) Devemos verificar alternativa a alternativa e aí festa. Sendo P uma pessoa qualquer desse grupo, P então temos a correta. deve ter apertado a mão de (n – 1) pessoas, e isso é verdade para cada uma das n pessoas presentes. Mas 42(C) Iniciamos quadrando a equação, de onde para não contarmos duas vezes o aperto de mão dado temos: por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nº. de x² = 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . ∴ x² = 1 + x ∴ apertos como n(n – 1) / 2 = 28, o que dá n = 8. x² - x – 1 = 0. 2º modo: Calculando na forma de combinações Logo x L 1,62, ou seja : 1 < x < 2. simples: C n, 2 = n ! = n (n – 1) = 28 ∴ n = 8. 2!(n-2)! 2 43(E) A alternativa (E) é incorreta porque, sendo conhecido o produto de duas quantidades positivas, a 32(D) O ∆ inscrito de perímetro máximo, é o ∆ soma das mesmas é mínima quando essas retângulo isósceles (altura = raio), cujos lados quantidades são iguais. Para provar isso, seja x uma (catetos) medem AB √ 2 / 2, cada um. Logo, de uma dessas quantidades, e vamos escrever a 2ª quantidade forma geral: AC + BC ≤ AB √ 2. como (x + h), com h podendo ser negativo. Então se x (x+h) = p ∴ x² + hx – p = 0 ∴ 33(C) Temos ( x² - 2x= 0)  (x² = 2x)  (x² ±1 = 2x x = -h + √ h² + 4p ∴ x + x + h = √ h² + 4p cujo o ±1) ∴ a alternativa correta é a (C). 2 valor é mínimo quando h = 0. 34(A) Em geral, usando uma das propriedades dos logaritmos, temos alogaN = N, com as devidas 44(E) Calculando a inversa das expressões dadas condições para N > 0 e 0 < a c 1. Logo 10 log107 = 7. temos o seguinte conjunto de equações: (I)1/y + 1/x = 1/a; (II) 1/z + 1/x = 1/b; 35(A) Usando prop. de potência com expoente (III)1/y + 1/z= 1/c. fracionário, temos: Fazendo: (I)-(III) = (IV) = 1/x – 1/z = 1/a – 1/c e c y = a z ∴ c = a z/y, logo c q = a (z/y)q = a x (IV)+(II) = 2/x = 1/a + 1/b – 1/c ∴ ∴ x = (z/y)q ou xy = zq. x= 2abc____ ac + bc – ab 36(B) Para se provar que certa figura é um lugar geométrico, é essencial: 45(A) Usando a definição e algumas propriedades de 1º) que ela contenha todos os pontos do lugar. logaritmos temos: 2º) que ela não contenha nenhum dos pontos que não i)log 8 = log 2³ = 3.log 2 ∴ log 2 = 1 / 3 . log8 seja do lugar. ii)log 9 = log 3² = 2.log 3 ∴ log 3 = 1 / 2 . log 9 Por este critério, (B) não é suficiente, já que não iii)log 10 = 1; satisfaz a condição (1), ou seja, a condição (B) não iv)log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 - log2. garante que todo ponto que satisfaça às condições Portanto, todos os logaritmos das alternativas desta está no lugar geométrico. questão, podem ser representados por um produto de 5
  • 6. potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único ___________________________________________ número da lista não representável nessa forma. ___________________________________________ Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C). ___________________________________________ ___________________________________________ C 46(A) Em primeiro lugar deve-se construir um círculo conforme dados no problema(figura A o B abaixo).Vamos estender CO até encontrar o círculo no ponto E. Como CE é diâmetro, D E P CD ⊥ DE. A bissetriz do ângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arco DP = arco PE. Independente da posição de C, a corda correspondente DE é sempre paralelo a AB e, portanto P sempre corta ao meio o arco AB. 47(D) Temos: 1 + 1 = r² + s² = (r + s)² - 2rs r² s² r²s² (rs)² e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que: 1/r² + 1/s² = b² - 2ac c² 48(C) A área do quadrado menor é 4r²/5 e a área do quadrado maior é 2r², onde r é o raio do círculo. Portanto a proporção entre as áreas é 2: 5 49(D) Do enunciado podemos afirmar que, para no ∆ retângulo ABC, (a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 ∴ a² = 36 e b² = 16. ∴ c² = a² + b² = 52 ∴ c = 2 √ 13. A AD = 5 e BE = √ 40 . b/2 E 5 c b/2 C a/2 D a/2 B 50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas, respectivamente, dos seguintes trechos da corrida; - a corrida até que o carro pára para descida de Paulo. - a volta até alcançar Pedro - o resto do trajeto até o ponto final. Podemos então escrever: 25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro) 5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro) 25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo) O sistema acima de equações é equivalente a: t1 -t2 + t3 = 4 t1 + t2 – 5t3 = 20 5t1 + t2 + t3 = 20 Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo total do percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas. ANOTAÇÕES ________________________________________ ___________________________________________ 6