Double Triple Integrals (integrais duplas e triplas)

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Cálculo Vetorial Aplicado – Cálcuo III
Prof. Dr. Cleon S. Barroso
Universidade Federal do Ceará
Departamento de Matemática
Exercícios
Integrais Duplas e Triplas

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Integrais Duplas
x
y
z

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Motivação do Cálculo I: Áreas sob Curvas
a b
∆x
Uma soma de Riemann para
∫b
a
f (x)dx ≈
n
∑
i=1
f (x∗
i )∆xi
A área sob o gráfico de y = f (x) no intervalo
entre x = a and x = b é aproximada pelas So-
mas de Riemann
n
∑
i=1
f (x∗
i )∆x
onde:
∆x =
b −a
n
& xi = a +i∆x
x∗
i ∈ [xi−1,xi ]
x∗
i = xi−1 (extremo à esquerda )
x∗
i = xi (extremo à direita)
x∗
i =
xi−1 +xi
2
(ponto médio)

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Motivação do Cálculo I: Áreas sob Curvas
a b
A área exata sob o gráfico de f (x) entre x = a and
x = b é ∫b
a
f (x)dx = lim
n
n
∑
i=1
f (x∗
i )∆xi
O Teorema Fundamental do Cálculo garante que,
se f é contínua em [a,b], então
∫b
a
f (x)dx = F(b)−F(a)
para qualquer primitiva F of f .

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Cálculo III: Volumes sob Surperfícies
x
y
z
R
S
Problema. Encontrar o volume do sólido com-
preendido entre o retângulo
R = [a,b]×[c,d]
no plano xy e a superfície
S = {(x,y,z) : (x,y) ∈ R, z = f (x,y)}
sabendo que f é uma função contínua em R.
✓ Esquadrinhar R em n×n subretângulos Ri,j
✓ Para cada subretângulo Ri,j, constroi-se
um bloco de altura f (x∗
i ,y∗
j )
✓ Calcular os volumes dos n2 blocos

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Volumes sob Surperfícies
x
y
z
R
(x∗
i ,y∗
j )
R
Tome o retângulo Ri,j na grade, com área ∆A
Escolha um ponto (x∗
i ,y∗
j ) no retângulo
Forme um bloco de altura f (x∗
i ,y∗
j ) sobre Ri,j
O volume do bloco é Vij = f (x∗
i ,y∗
j )∆A
O volume do sólido sob o gráfico de f é apro-
ximado por
n
∑
i=1
n
∑
j=1
f (x∗
i ,y∗
j )∆A

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Volumes por Integração
Se R = [a,b]×[c,d] e
S = {(x,y,z) : z = f (x,y), (x,y) ∈ R}
então o volume entre R e S é dado por:
V = lim
n→∞
n
∑
i,j=1
f (x∗
i ,y∗
j )∆A =
x
R
f (x,y)dA
x
y
z
Exemplo. Calule
x
R
f (x,y)dA sabendo que
R = [−1,1]×[0,2] e f (x,y) =
p
1−x2
É possível fazer isso sem Cálculo?

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Integrais Iteradas
Quando estudamos técnicas de integração
no Cálculo II, primeiro aprendemos o cálculo
de primitivas para então calcular o valor de
uma integral definida.
No Cálculo III, as funções dependem de duas
ou mais variáveis e, por isso, algo diferente
se apresenta. Contudo, a essência das ideias
mantém-se e, de fato, várias técnicas ainda
subsistem. Primeiro, aprende-se o rito das
integrais iteradas que eficazmente instrui
um cálculo integral para funções em regiões
retângulares. Em seguida, aprende-se a
como lidar com regiões mais gerais. Sobre
isso, o Teorema de Fubini e suas variações
são ferramentas importantes.
Seja f : R → R uma função contínua, em que
R = [a,b]×[c,d]. Fixado x, calcula-se:
A(x) =
∫d
c
f (x,y)dy
que define uma função de x. Por exemplo,
se f (x,y) = x2y e R = [1,2]×[3,4], então:
∫4
3
(x2
y)dy =
x2y2
2
4
3
=
7
2
x2
Calcula-se em seguida
∫b
a A(x)dx. No caso
exemplificado, temos:
∫2
1
7
2
x2
dx =
7
6
x3
x=2
x=1
=
49
6

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Teorema de Fubini
Teorema. Se f é contínua no retângulo
R = {(x,y) : a ⩽ x ⩽ b, c ⩽ y ⩽ d}
então:
x
R
f (x,y)dA =
∫b
a
∫d
c
f (x,y)dy dx =
∫d
c
∫b
a
f (x,y)dx dy.
Importante destacar a invariância na ordem de integração, uma propriedade
exclusiva para regiões retangulares

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Exercícios
Calcule as Integrais Duplas
1.
x
R
x sec2
y dA, R = [0,2]×[0,π/4]
Sol.
x
R
x sec2
y dA =
∫2
0
∫π/4
0
x sec2
ydydx
=
∫2
0
xtgy
y=π/4
y=0
dx
=
∫2
0
x · tg(π/4)−tg(0)

dx
= 2
2.
x
R
xy2
x2 +1
dA, R = [0,1]×[−3,3]
Sol.
x
R
xy2
x2 +1
dA =
∫1
0
∫3
−3
xy2
x2 +1
dydx
=
1
3
∫1
0
xy3
x2 +1
y=3
y=−3
dx
=
54
3
∫1
0
x
x2 +1
dx
= 9ln(2)

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3.
x
R
1
1+x +y
dA, R = [1,3]×[1,2]
Resp.
x
R
1
1+x +y
dA = −2ln(2)+9ln(3)−5ln(5)

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4. Calcule
x
R
x2 +y2
4
dA, em que R = [−4,4]×[−4,4]
Sol.
x
R
x2 +y2
4
dA =
∫4
−4
∫4
−4
x2 +y2
4
dxdy
=
∫4
−4
x3
12
+
y2x
4
x=4
x=−4
dy
=
∫4
−4
32
3
+2y2

dy
=
32×8
3
+
44
3

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Integrais sobre Regiões Gerais
x
y
y = 4x/3
y = x/3
1 3
x
5. Calcule
x
D
(x +3y)dA,
em que
D = {1 ⩽ x ⩽ 3, x/3 ⩽ y ⩽ 4x/3}
Sol.
x
D
(x +3y)dA =
∫3
1
∫4x/3
x/3
(x +3y)dy
!
dx = ...

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Integrais sobre Regiões Gerais
x
y 6. Calcule ∫ ∫
D
1dA,
onde D é a região contornada pelas curvas
x = 2−y2
e
x = −2+y2
.
D = {−
√
2 ⩽ y ⩽
√
2, −2+y2
⩽ x ⩽ 2+y2
}
∫ ∫
D
1dA =
∫√
2
−
√
2
∫2−y2
−2+y2
1dx
!
dy = ...

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Exercícios
7. Considere a região
R = {(x,y): 0 ⩽ x ⩽ 1, 1−x ⩽ y ⩽ 1−x2
}
e calcule:
x
R
(x3
y −xy3
)dA
Sol.
x
R
(x3
y −xy3
)dA =
∫1
0
∫1−x2
1−x
(x3
y −xy3
)dydx
=
∫1
0
x3y2
2
−
xy4
4
y=1−x2
y=1−x
dx
=
∫1
0
−
x9
4
+x7
−
9x5
4
+
5x3
2

dx =
7
20
1 2
−1
−2
−1
−2
1
2
x
y
A região R indicada na cor rosa

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Exercícios
8. Calcule os volumes dos sólidos indicados abaixo:
x
y
z
z = 1−x2
y = 1−x x
z
z = 1−y
y =
√
x

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Advertências acerca de Integrais sobre Regiões Gerais
9. Considere a integral
∫2
0
∫2
y
e−x2
dxdy
Em vista das técnicas usuais de integração,
há uma dificuldade que se apresenta ao se
calcular a integral com respeito à x. Afinal,
qual o valor da primitiva:
∫
e−x2
dx = ?
No entanto, devido ao Teorema de Fubini,
uma alternativa é tentar trocar o sentido de
integração em relação às variáveis x e y.
Mas, algum cuidado é necessário pois isso
não pode ser feito de forma automática como
no caso de integração sobre retângulos.
Analisemos a região de integração:
R =
{
(x,y): 0 ⩽ y ⩽ 2, y ⩽ x ⩽ 2
}
Geometricamente, R é descrito abaixo:
y
2
2
x = y
y
y = x x
∫2
0
∫2
y
e−x2
dxdy =
∫2
0
∫x
0
e−x2
dydx =
1−e−4
2

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Exercícios
Calcule as integrais duplas abaixo:
10.
∫π
0
∫π
x
sen(y2
)dydx
11.
∫4
0
∫2
√
y
p
x3 +1dxdy

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Integrais Duplas e Coordenadas Polares
Até aqui aprendemos como proceder
para calcular integrais duplas sobre
regiões retangulares e até mesmo por
sobre regiões mais gerais. Há ainda
uma outra forma bastante eficaz de se
calcular integrais duplas que se aplica
à regiões polares, isto é, regiões R que
podem ser mapeadas por coordenadas
polares.
12. Use coordenadas polares e calcule
o volume do sólido compreendido entre
o parabolóide z = 4 − x2 − y2 e o plano
(x,y).
x y
z
z = 4−x2 −y2
4

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Revisão de Coordenadas Polares
x
y
x2 +y2 = r
x
y
x2 +y2 = r2
x2 +y2 = r1
x
y
r
θ
Sabemos que
r2
= x2
+y2
, tgθ =
y
x
e
x = r cosθ, y = r senθ.

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Retângulos Polares
r = a
r = b
θ = α
θ = β
Um retângulo polar é uma região da forma
R = {(r,θ) : a ⩽ r ⩽ b, α ⩽ θ ⩽ β}.
Tal como retângulos cartesianos, um retângulo
polar pode ser dividido em subrectângulos pola-
res
Um subretângulo possui área dada por:
∆A ≃ r ∆r ∆θ
∆r
r∆θ

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Integrais Duplas sobre Retângulos Polares
r = a
r = b
θ = α
θ = β
(r∗
i ,θ∗
j )
A integral
x
R
f (x,y)dA é um limite de Somas:
n
∑
i,j=1
f (r∗
i cosθ∗
j ,r∗
i sinθ∗
j )rj ∆r ∆θ
Cada retângulo polar Rij é dado por:
Rij = {(r,θ) : ri−1 ⩽ r ⩽ ri ,θj−1 ⩽ θ ⩽ θj}
ri = a +i∆r, θj = α+j∆θ,
onde:
∆r =
b −a
n
, ∆θ =
β−α
n
No limite, isso fornece a integral iterada:
∫β
α
∫b
a
f (r cosθ,r sinθ)r dr dθ

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Integrais sobre Retângulos Polares
Teorema.
A integral de uma função contínua f (x,y) sobre um retângulo polar R
dado por a ⩽ r ⩽ b, α ⩽ r ⩽ β, é
x
R
f (x,y)dA =
∫β
α
∫b
a
f (r cosθ,r sinθ)r dr dθ
13. Calcule
x
R
(2x −y)dA onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo
círculo x2 +y2 = 4 e as retas x = 0 e y = x.
14. Calcule
x
R
e−x2−y2
dA onde D é a região limitada pelo semicírculo x =
p
4−y2 e o
eixo-y.

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Exercícios
15. Calcule o volume do sólido inscrito no cilindro x2 + y2 = 1 que se encontra acima
do parabolóide z = 1−x2 −y2 e abaixo do plano z = 1.
x2 +y2 = 1
x
y
z
z = 1−x2 −y2
z = 1
z

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Valor Médio de Funções
O valor médio da função y = f (x) em [a,b] é
fav =
1
b −a
∫b
a
f (x)dx
Similarmente, o valor médio de z = f (x,y) em um retângulo R com área A(R) é
fav =
1
A(R)
x
R
f (x,y)dA
16. Encontre o valor médio de f (x,y) = x2y sobre o re-
tângulo de vértices (−1,0), (−1,5), (1,5), e (1,0).

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Uso de Integrais Duplas para Cálculo de Áreas
Veremos a seguir como integrais duplas
podem ser usadas no cálculo de áreas.
Suponha que tenhamos uma região
plana R de interesse, conforme ilustrado
abaixo.
R
A idéia para o cálculo da área da
região R é a de esquadrinhar toda
a região por subretângulos e fazer
aproximações por exaustão.
R

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Vamos considerar um subretângulo qualquer dessa partição, p.ex. o destacado
abaixo.
R ∆x
∆y
Note que a área ∆Ai de cada subretângulo
é dada por:
∆Ai = ∆xi ×∆yi
Somando-as todas obtém-se que:
R ≈
n
∑
i=1
∆xi ×∆yi
Daí segue por exaustão (i.e., limite) que:
R = lim
n→∞
n
∑
i=1
∆xi ×∆yi =
x
R
1dA

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Integrais Triplas e Volumes
A fim de introduzir integrais triplas, vejamos o seguinte exercício:
17. Calcule o volume do prisma situado no
primeiro octante e limitado pelos planos z = 4
e y = 6−3x.
Sol. Primeiro, notemos que: 4 =
∫4
0
1dz
Considerando que os pontos (x,y) na região
da base do prisma admitem a variação:
0 ⩽ x ⩽ 2 0 ⩽ y ⩽ 6−3x,
concluímos que:
V =
∫2
0
∫6−3x
0
4dydx =
∫2
0
∫6−3x
0
∫4
0
1dzdydx
x
y
z
z = 4
y = 6−3x

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