O documento discute séries de Fourier, que representam funções periódicas como uma soma de funções trigonométricas simples. Apresenta a definição formal de séries trigonométricas e discute como determinar os coeficientes de Fourier de uma função periódica através da integração. Também aborda propriedades especiais de séries de funções pares e ímpares e de funções com períodos diferentes de 2π.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise boosts blood flow, releases endorphins, and promotes changes in the brain which help enhance one's emotional well-being and mental clarity.
1) O documento apresenta a definição da transformada de Fourier, expressando a integral de Fourier de uma função f em sua forma complexa. Isto é feito representando f(x) como uma integral sobre funções exponenciais complexas.
2) A transformada de Fourier de f é definida como a função f que associa a cada função absolutamente integrável f de R em R a função f de R em C dada por uma expressão envolvendo integrais de f.
3) A transformada de Fourier inversa é definida como a função que recupera f(x) a partir de f(
This document defines and provides examples of metric spaces. It begins by introducing metrics as distance functions that satisfy certain properties like non-negativity and the triangle inequality. Examples of metric spaces given include the real numbers under the usual distance, the complex numbers, and the plane under various distance metrics like the Euclidean, taxi cab, and maximum metrics. It is noted that some functions like the minimum function are not valid metrics as they fail to satisfy all the required properties.
1) La tabla presenta las derivadas e integrales de varias funciones comunes. Proporciona fórmulas para derivar e integrar funciones constantes, variables, sumas, productos, cocientes, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y sus inversas.
2) Se usan letras como u, v, x, a, n para representar funciones y constantes. Para cada función, se da su derivada o integral correspondiente.
3) La tabla es útil para derivar e integrar funciones compuestas de manera sistemática usando las reg
Séries fourier cap_3 Exemplos de Séries de FourierCiro Marcus
1) O documento apresenta exemplos de cálculo de séries de Fourier para diferentes funções periódicas, como onda quadrada, onda triangular e onda dente de serra.
2) São mostrados os passos de cálculo dos coeficientes de Fourier a_n e b_n para cada função por meio das fórmulas de Euler-Fourier.
3) Os resultados são expressos como séries infinitas que aproximam cada função periódica original.
O documento descreve transformações de funções incluindo deslocamentos verticais e horizontais, simetrias em relação aos eixos x e y, esticar a função na horizontal, e módulo de funções. Estas transformações modificam o gráfico da função de maneiras previsíveis como adicionar ou subtrair um valor constante ou refletir o gráfico em um eixo.
The document summarizes key concepts in vector calculus and linear algebra including:
- The gradient of a scalar field describes the direction of steepest ascent/descent and is defined as the vector of partial derivatives.
- Curl describes infinitesimal rotation of a 3D vector field and is defined as the cross product of the del operator and the vector field.
- Divergence measures the magnitude of a vector field's source or sink and is defined as the del operator dotted with the vector field.
- Solenoidal fields have zero divergence and irrotational fields have zero curl. The curl of a gradient is always zero and the divergence of a curl is always zero.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise boosts blood flow, releases endorphins, and promotes changes in the brain which help enhance one's emotional well-being and mental clarity.
1) O documento apresenta a definição da transformada de Fourier, expressando a integral de Fourier de uma função f em sua forma complexa. Isto é feito representando f(x) como uma integral sobre funções exponenciais complexas.
2) A transformada de Fourier de f é definida como a função f que associa a cada função absolutamente integrável f de R em R a função f de R em C dada por uma expressão envolvendo integrais de f.
3) A transformada de Fourier inversa é definida como a função que recupera f(x) a partir de f(
This document defines and provides examples of metric spaces. It begins by introducing metrics as distance functions that satisfy certain properties like non-negativity and the triangle inequality. Examples of metric spaces given include the real numbers under the usual distance, the complex numbers, and the plane under various distance metrics like the Euclidean, taxi cab, and maximum metrics. It is noted that some functions like the minimum function are not valid metrics as they fail to satisfy all the required properties.
1) La tabla presenta las derivadas e integrales de varias funciones comunes. Proporciona fórmulas para derivar e integrar funciones constantes, variables, sumas, productos, cocientes, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y sus inversas.
2) Se usan letras como u, v, x, a, n para representar funciones y constantes. Para cada función, se da su derivada o integral correspondiente.
3) La tabla es útil para derivar e integrar funciones compuestas de manera sistemática usando las reg
Séries fourier cap_3 Exemplos de Séries de FourierCiro Marcus
1) O documento apresenta exemplos de cálculo de séries de Fourier para diferentes funções periódicas, como onda quadrada, onda triangular e onda dente de serra.
2) São mostrados os passos de cálculo dos coeficientes de Fourier a_n e b_n para cada função por meio das fórmulas de Euler-Fourier.
3) Os resultados são expressos como séries infinitas que aproximam cada função periódica original.
O documento descreve transformações de funções incluindo deslocamentos verticais e horizontais, simetrias em relação aos eixos x e y, esticar a função na horizontal, e módulo de funções. Estas transformações modificam o gráfico da função de maneiras previsíveis como adicionar ou subtrair um valor constante ou refletir o gráfico em um eixo.
The document summarizes key concepts in vector calculus and linear algebra including:
- The gradient of a scalar field describes the direction of steepest ascent/descent and is defined as the vector of partial derivatives.
- Curl describes infinitesimal rotation of a 3D vector field and is defined as the cross product of the del operator and the vector field.
- Divergence measures the magnitude of a vector field's source or sink and is defined as the del operator dotted with the vector field.
- Solenoidal fields have zero divergence and irrotational fields have zero curl. The curl of a gradient is always zero and the divergence of a curl is always zero.
Fourier series and its applications by md nazmul islamMd Nazmul Islam
The document provides an introduction to Fourier series and their applications. It begins with defining a Fourier series as an expansion of a periodic function in terms of an infinite sum of sines and cosines. It then gives the general formula for a Fourier series representing a function f(x) within the interval [-L, L]. Several examples are shown, including finding the Fourier series for the function f(x)=x from 0 to 2π. Applications of Fourier series discussed include expanding periodic functions outside their intervals, noise cancellation, analyzing oscillating functions, simplifying waves, mapping heat distribution, and signal processing. Electrical circuits are described as equivalent to Fourier series representations of voltage sources. Fourier series are also used in signal processing to represent non
Apresentamos uma breve introdução de limite, derivada e integral, necessária
para apoiar o estudo das grandezas cinemáticas utilizadas na descrição
do movimento de um corpo. Exploramos no texto os aspectos geométricos
das definições. Não apresentamos demonstrações rigorosas dos
resultados no texto.
Mat coordenadas polares, cilíndricas e esféricastrigono_metria
1) O documento apresenta as coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, incluindo como representar pontos e converter entre os sistemas.
2) Nas coordenadas polares, um ponto é representado por sua distância até a origem (ρ) e o ângulo formado com o eixo polar (θ).
3) Nas coordenadas cilíndricas, adiciona-se a coordenada z do sistema cartesiano às coordenadas polares (ρ, θ).
O documento descreve um experimento no qual o número de bactérias dobra a cada meia hora. Inicialmente havia 8 bactérias e após 6 horas o número de bactérias será 215.
Questões Corrigidas, em Word: Estudo dos Gases - Conteúdo vinculado ao blog...Rodrigo Penna
[1] O documento apresenta questões resolvidas sobre gases, abordando tópicos como trabalho de gases, transformações gasosas, termodinâmica e teoria cinética de gases. [2] Inclui gráficos de pressão versus volume e temperatura para ilustrar diferentes transformações gasosas como expansões isobáricas e isotérmicas. [3] Resolve exercícios envolvendo cálculos de trabalho, pressão, volume e temperatura usando a equação dos gases ideais.
A regra de L'Hôpital estabelece que, se f(x)/g(x) tem uma forma indeterminada como 0/0, ∞/∞ ou -∞/-∞ quando x tende a um valor c, e se g'(c) ≠ 0, então o limite pode ser calculado como lim[f'(x)/g'(x)] quando x tende a c. O documento fornece exemplos para ilustrar a aplicação da regra, como calcular limites indeterminados substituindo as funções por suas derivadas.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
The document discusses inner product spaces and orthonormal bases. It defines an inner product space as a vector space with an inner product defined on it. An orthonormal basis is introduced as a set of orthogonal unit vectors that form a basis. The Gram-Schmidt process is presented as a method for transforming a basis into an orthonormal basis. Properties of inner products, such as the Cauchy-Schwarz inequality and orthogonal projections, are covered.
This document contains exercises and solutions for line integrals from a chapter on the topic. It includes 6 exercises evaluating line integrals over various curves defined parametrically or through equations. It also contains exercises using Green's Theorem and evaluating line integrals for conservative vector fields. The solutions provide the parametrizations needed to set up and evaluate the line integrals.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas relacionados à lei da indução de Faraday. O problema 33 trata de um bastão se movendo em um campo magnético não uniforme gerado por uma corrente elétrica. Ele é resolvido em 5 etapas: (1) calcular a fem induzida no bastão, (2) calcular a corrente induzida, (3) calcular a taxa de dissipação de energia, (4) calcular a força externa necessária para manter o movimento do bastão e (5) comparar esta força com a taxa
The document discusses periodic functions and their properties. The key points are:
- A periodic function f(x) satisfies f(x) = f(x + T) for some fixed period T and all real x.
- Periodic functions repeat their values at intervals of their period, including integer multiples of the period.
- Functions are defined as even if f(-x) = f(x) and odd if f(-x) = -f(x).
- Several important formulas are provided for integrating exponential and trigonometric functions.
I made this presentation for my own college assignment and i had referred contents from websites and other presentations and made it presentable and reasonable hope you will like it!!!
We discussed most of what one wishes to learn in vector calculus at the undergraduate engineering level. Its also useful for the Physics ‘honors’ and ‘pass’ students.
This was a course I delivered to engineering first years, around 9th November 2009. But I have added contents to make it more understandable, eg I added all the diagrams and many explanations only now; 14-18th Aug 2015.
More such lectures will follow soon. Eg electromagnetism and electromagnetic waves !
O documento discute os principais conceitos da óptica geométrica, incluindo:
1) A luz se propaga em linha reta em meios transparentes e homogêneos;
2) A reflexão e refração da luz ao atravessar interfaces entre meios;
3) Exemplos de aplicação dos princípios como a formação de sombras e eclipses.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
O efeito fotoelétrico ocorre quando elétrons são ejetados de uma placa metálica quando exposta à radiação eletromagnética de alta frequência, como luz. Apesar de preverem que a energia seria gradualmente absorvida, os elétrons eram ejetados imediatamente. Além disso, o efeito só ocorria acima de uma frequência limite, contrariando a visão clássica de que deveria ocorrer para qualquer frequência.
The document discusses the chain rule and Euler's theorem.
It explains the chain rule for functions of single, multiple, and general variables. The chain rule gives rules for finding the derivative of a composite function.
It also explains that if a function is homogeneous of degree k, its partial derivatives will be homogeneous of degree k-1. Euler's theorem relates the values of a homogeneous function to the values of its partial derivatives. The theorem is extended to functions of multiple variables.
O documento descreve séries de Taylor e de Maclaurin, que são expansões em séries de potências de uma função em torno de um ponto. Também discute séries de Fourier, que são expansões em séries trigonométricas de uma função periódica. Fornece definições e fórmulas para calcular os coeficientes dessas séries.
O documento resume os principais conceitos de cálculo utilizando MATLAB, incluindo:
1) A derivada aproximada por meio de secantes e a definição matemática de derivada.
2) A interpolação polinomial para aproximar funções através de polinômios.
3) Métodos de integração numérica como trapézios para calcular integral definida.
Fourier series and its applications by md nazmul islamMd Nazmul Islam
The document provides an introduction to Fourier series and their applications. It begins with defining a Fourier series as an expansion of a periodic function in terms of an infinite sum of sines and cosines. It then gives the general formula for a Fourier series representing a function f(x) within the interval [-L, L]. Several examples are shown, including finding the Fourier series for the function f(x)=x from 0 to 2π. Applications of Fourier series discussed include expanding periodic functions outside their intervals, noise cancellation, analyzing oscillating functions, simplifying waves, mapping heat distribution, and signal processing. Electrical circuits are described as equivalent to Fourier series representations of voltage sources. Fourier series are also used in signal processing to represent non
Apresentamos uma breve introdução de limite, derivada e integral, necessária
para apoiar o estudo das grandezas cinemáticas utilizadas na descrição
do movimento de um corpo. Exploramos no texto os aspectos geométricos
das definições. Não apresentamos demonstrações rigorosas dos
resultados no texto.
Mat coordenadas polares, cilíndricas e esféricastrigono_metria
1) O documento apresenta as coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, incluindo como representar pontos e converter entre os sistemas.
2) Nas coordenadas polares, um ponto é representado por sua distância até a origem (ρ) e o ângulo formado com o eixo polar (θ).
3) Nas coordenadas cilíndricas, adiciona-se a coordenada z do sistema cartesiano às coordenadas polares (ρ, θ).
O documento descreve um experimento no qual o número de bactérias dobra a cada meia hora. Inicialmente havia 8 bactérias e após 6 horas o número de bactérias será 215.
Questões Corrigidas, em Word: Estudo dos Gases - Conteúdo vinculado ao blog...Rodrigo Penna
[1] O documento apresenta questões resolvidas sobre gases, abordando tópicos como trabalho de gases, transformações gasosas, termodinâmica e teoria cinética de gases. [2] Inclui gráficos de pressão versus volume e temperatura para ilustrar diferentes transformações gasosas como expansões isobáricas e isotérmicas. [3] Resolve exercícios envolvendo cálculos de trabalho, pressão, volume e temperatura usando a equação dos gases ideais.
A regra de L'Hôpital estabelece que, se f(x)/g(x) tem uma forma indeterminada como 0/0, ∞/∞ ou -∞/-∞ quando x tende a um valor c, e se g'(c) ≠ 0, então o limite pode ser calculado como lim[f'(x)/g'(x)] quando x tende a c. O documento fornece exemplos para ilustrar a aplicação da regra, como calcular limites indeterminados substituindo as funções por suas derivadas.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
The document discusses inner product spaces and orthonormal bases. It defines an inner product space as a vector space with an inner product defined on it. An orthonormal basis is introduced as a set of orthogonal unit vectors that form a basis. The Gram-Schmidt process is presented as a method for transforming a basis into an orthonormal basis. Properties of inner products, such as the Cauchy-Schwarz inequality and orthogonal projections, are covered.
This document contains exercises and solutions for line integrals from a chapter on the topic. It includes 6 exercises evaluating line integrals over various curves defined parametrically or through equations. It also contains exercises using Green's Theorem and evaluating line integrals for conservative vector fields. The solutions provide the parametrizations needed to set up and evaluate the line integrals.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas relacionados à lei da indução de Faraday. O problema 33 trata de um bastão se movendo em um campo magnético não uniforme gerado por uma corrente elétrica. Ele é resolvido em 5 etapas: (1) calcular a fem induzida no bastão, (2) calcular a corrente induzida, (3) calcular a taxa de dissipação de energia, (4) calcular a força externa necessária para manter o movimento do bastão e (5) comparar esta força com a taxa
The document discusses periodic functions and their properties. The key points are:
- A periodic function f(x) satisfies f(x) = f(x + T) for some fixed period T and all real x.
- Periodic functions repeat their values at intervals of their period, including integer multiples of the period.
- Functions are defined as even if f(-x) = f(x) and odd if f(-x) = -f(x).
- Several important formulas are provided for integrating exponential and trigonometric functions.
I made this presentation for my own college assignment and i had referred contents from websites and other presentations and made it presentable and reasonable hope you will like it!!!
We discussed most of what one wishes to learn in vector calculus at the undergraduate engineering level. Its also useful for the Physics ‘honors’ and ‘pass’ students.
This was a course I delivered to engineering first years, around 9th November 2009. But I have added contents to make it more understandable, eg I added all the diagrams and many explanations only now; 14-18th Aug 2015.
More such lectures will follow soon. Eg electromagnetism and electromagnetic waves !
O documento discute os principais conceitos da óptica geométrica, incluindo:
1) A luz se propaga em linha reta em meios transparentes e homogêneos;
2) A reflexão e refração da luz ao atravessar interfaces entre meios;
3) Exemplos de aplicação dos princípios como a formação de sombras e eclipses.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
O efeito fotoelétrico ocorre quando elétrons são ejetados de uma placa metálica quando exposta à radiação eletromagnética de alta frequência, como luz. Apesar de preverem que a energia seria gradualmente absorvida, os elétrons eram ejetados imediatamente. Além disso, o efeito só ocorria acima de uma frequência limite, contrariando a visão clássica de que deveria ocorrer para qualquer frequência.
The document discusses the chain rule and Euler's theorem.
It explains the chain rule for functions of single, multiple, and general variables. The chain rule gives rules for finding the derivative of a composite function.
It also explains that if a function is homogeneous of degree k, its partial derivatives will be homogeneous of degree k-1. Euler's theorem relates the values of a homogeneous function to the values of its partial derivatives. The theorem is extended to functions of multiple variables.
O documento descreve séries de Taylor e de Maclaurin, que são expansões em séries de potências de uma função em torno de um ponto. Também discute séries de Fourier, que são expansões em séries trigonométricas de uma função periódica. Fornece definições e fórmulas para calcular os coeficientes dessas séries.
O documento resume os principais conceitos de cálculo utilizando MATLAB, incluindo:
1) A derivada aproximada por meio de secantes e a definição matemática de derivada.
2) A interpolação polinomial para aproximar funções através de polinômios.
3) Métodos de integração numérica como trapézios para calcular integral definida.
1) O documento discute cálculo aproximado de integrais numéricas usando interpolação polinomial.
2) Métodos como a regra dos trapézios, regra de Simpson 1/3 e regra de Simpson 3/8 aproximam a integral de uma função através de um polinômio de interpolação.
3) Erros ocorrem na interpolação e integração numérica devido à diferença entre a função real e seu polinômio de aproximação.
1) O documento discute cálculo aproximado de integrais numéricas usando interpolação polinomial.
2) Métodos como a regra dos trapézios, regra de Simpson 1/3 e regra de Simpson 3/8 aproximam a integral de uma função através de um polinômio de interpolação.
3) Erros ocorrem na interpolação polinomial e na integração numérica, e a fórmula do resto de Lagrange fornece uma estimativa do erro de interpolação.
1) O documento discute a teoria de interpolação para estimar valores desconhecidos entre pontos de dados conhecidos.
2) A interpolação polinomial é o método mais comum, onde um polinômio é ajustado aos pontos de dados para aproximar valores intermediários.
3) O teorema de Weierstrass garante que polinômios podem aproximar funções contínuas com qualquer grau de precisão aumentando o grau do polinômio.
O documento descreve a interpolação polinomial, que aproxima uma função desconhecida f(x) por um polinômio g(x). Apresenta duas formas de representar o polinômio interpolador: a forma de Lagrange, que expressa g(x) como uma combinação linear de polinômios elementares; e a forma de Newton, que usa o conceito de diferenças divididas.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
Este documento descreve os conceitos fundamentais da interpolação polinomial. Apresenta as fórmulas para interpolação linear e quadrática, bem como a fórmula geral de Lagrange para interpolação polinomial de grau n. Explica também como calcular o erro de truncatura cometido ao aproximar uma função por um polinômio interpolador.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
O documento discute séries de potências e séries de Taylor. Séries de potências dependem de um parâmetro e convergem dependendo da distância desse parâmetro de um ponto no plano complexo. Séries de Taylor aproximam funções através de polinômios gerados pelas derivadas da função em um ponto. O documento fornece exemplos e fórmulas para calcular raios de convergência, polinômios de Taylor e restos.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
Livro boyce e diprima 9 th edicao capitulo 5Bruna Brito
1) O documento discute a utilização de séries de potências para construir soluções fundamentais de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis.
2) É revisado o conceito de convergência de séries de potências, incluindo o teste da razão para convergência absoluta.
3) É mostrado como séries de potências podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas, e como derivar séries termo a termo para obter novas séries.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1) O documento discute técnicas de interpolação e modelagem de dados, especificamente interpolação linear, polinomial e spline cúbica.
2) Aborda o critério dos mínimos quadrados para ajustar modelos paramétricos a dados observacionais, considerando ou não pesos relacionados aos erros de medida.
3) Explica como maximizar a verossimilhança leva ao critério dos mínimos quadrados ponderados, com pesos inversamente proporcionais aos erros.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos para ilustrar como derivar funções e interpretar geometricamente a derivada como a inclinação da reta tangente.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
O documento discute os conceitos fundamentais de limites e derivadas. Apresenta como Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de tangente e a necessidade de reformular o conceito de traçar uma tangente a uma curva. Também discute como conceitos como variável, constante e parâmetro foram introduzidos por Leibniz, dando origem ao cálculo diferencial.
1) O documento apresenta a definição formal de integral definida e explica como ela calcula a área sob a curva de uma função contínua entre dois limites.
2) A integral definida pode ser interpretada geometricamente como a área da região delimitada pelo gráfico da função, eixo x e os limites do intervalo.
3) O Teorema Fundamental do Cálculo fornece uma maneira mais fácil de calcular muitas integrais definidas ao invés de usar diretamente a definição.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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54 99956-3050
Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
Workshop Gerdau 2023 - Soluções em Aço - Resumo.pptx
Fourier
1. 5
SÉRIES DE FOURIER
Em 1822 o matemático francês Joseph Fourier1
apresentou sua obra Theorie Analytique
de la Chaleur, onde apresenta um tratamento matemático sobre o problema da condução térmica.
Desde o século XVII, com o desenvolvimento do cálculo diferencial, físicos e matemáticos
conseguiram descrever inúmeros fenômenos por meio das equações diferenciais. Em seu tratado,
Fourier não apenas apresenta uma solução para a equação do calor, mas também uma forma para
resolver inúmeras equações diferenciais parciais.
5.1 Séries de Fourier
Uma série de Fourier, é a representação de uma função periódica como uma soma de
funções periódicas simples, particularmente, co-seno e seno. Para que possamos escrever uma
função periódica com os resultados discutidos por Fourier, definiremos primeiro uma série
trigonométrica.
5.1.1 Definição
Chama-se série trigonométrica a uma série da forma:
........)2()2cos()()cos(
2
2211
0
+++++ xsenbxaxsenbxa
a
ou, sob uma forma mais compacta:
∑
∞
=
++
1
0
))()cos((
2 n
nn nxsenbnxa
a
(1)
As constantes nn baa ,,0 (n = 1,2,3,...) são os coeficientes da série trigonométrica.
Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que
sen(nx) e cos(nx) são funções periódicas de período 2π. Neste livro, não trataremos sobre
1
FOURIER,Jean Baptiste Joseph. (1768 – 1830). Estudou a teoria matemática de condução do calor. Estabeleceu
equações diferenciais parciais referentes à difusão do calor e solucionou-as usando séries de funções
trigonométricas.
2. convergência ou divergência de séries, tal estudo, demandaria um capítulo específico para tal.
5.1.2 Determinação dos coeficientes da série
Suponhamos que a função f(x), periódica e de período 2π, pode ser representada por
uma série trigonométrica convergente para f(x) no intervalo (-π,π), isto é, que seja a soma desta
série:
∑
∞
=
++=
1
0
))()cos((
2
)(
n
nn nxsenbnxa
a
xf (2)
Suponhamos que a integral da função do primeiro membro desta igualdade é igual à
soma das integrais dos termos da série (2), isto é possível desde que a série proposta convirja
absolutamente. A série pode então ser integrada termo a termo de -π a π:
∫∑ ∫∫∫ −
∞
= −−−
++=
π
π
π
π
π
π
π
π
))()cos((
2
)(
1
0
dxnxsenbdxnxadx
a
dxxf n
n
n (3)
Calculando as integrais separadamente, obtemos:
dx
a
∫−
π
π
2
0
= 0.aπ 0))cos( =∫−
π
π
dxnxan 0))( =∫−
π
π
dxnxsenbn
Assim:
0
0
.
2
)( adx
a
dxxf π
π
π
π
π
== ∫∫ −−
∫−
=
π
π
π
dxxfa )(
1
0
Para calcular os outros coeficientes da série, utilizaremos as seguintes integrais
auxiliares; se n e k forem inteiros e se n ≠ k, tem-se:
∫
π
π-
cos(nx).cos(kx) dx = 0 ∫
π
π-
cos(nx).sen(kx) dx = 0 ∫
π
π-
sen(nx).sen(kx) dx = 0
3. E se n = k:
∫
π
π-
cos2
(kx) dx = π ∫
π
π-
sen(kx).cos(kx) dx = 0 ∫
π
π-
sen2
(kx) dx = π
Para determinar ka para 0≠k , multipliquemos os dois membros da igualdade abaixo
por cos(kx):
∫∑ ∫∫∫ −
∞
= −−−
++=
π
π
π
π
π
π
π
π
))()cos((
2
)(
1
0
dxnxsenbdxnxadx
a
dxxf n
n
n
∫∑ ∫∫∫ −
∞
= −−−
++=
π
π
π
π
π
π
π
π
))cos()()cos()cos(()cos(
2
)cos()(
1
0
dxkxnxsenbdxkxnxadxkx
a
dxkxxf n
n
n
∫∫ −−
==
π
π
π
π
π.)(cos)cos()( 2
kk adxkxadxkxxf
∫−
=
π
π
π
dxkxxfak )cos()(
1
De modo análogo, ao multiplicarmos a expressão (3) por sen(kx), obtém-se:
∫−
=
π
π
π
dxkxsenxfbk )()(
1
Ex.1: Dada uma função periódica de período 2π definida como segue: f(x) = x2
onde -π < x < π,
calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica:
ao =
π
1
∫
π
π-
x2
dx =
π
1
.
π
π−
3
3
x
=
π
1
+
33
33
ππ
=
π
π
3
2 3
=
3
2 2
π
an =
π
1
∫
π
π-
x2
cos(nx)dx =
π
1 ( ) π
π−
− ∫ xdx
n
nx
n
nx
x 2.
)sen(sen
.2
=
π
1 ( ) π
π−
−+ )sen(
2)cos(2sen
. 32
2
nx
nn
nxx
n
nx
x
an =
π
1
2
)cos(4
n
nππ
=
=
=−
...6,4,2,n
n
4
53,1,n
4
2
2
n
4. bn =
π
1
∫
π
π-
x2
sen(nx) dx =
π
1
π
π−
++− )cos(
2)(2)cos(
. 32
2
nx
nn
nxxsen
n
nx
x = 0
f(x) = x2
= )...4cos(
4
4
)3cos(
3
4
)2cos(
2
4
)1cos(
1
4
3 2222
2
xxxx +−+−
π
Ex.2: Dada uma função periódica de período 2π definida como segue, calcular os coeficientes de
Fourier e escrever a série trigonométrica:
f(x) =
≤<
≤≤−
π
π
xx
xx
0,2
0,
ao =
π
1
∫
π
π-
f(x)dx =
π
1
.
+ ∫∫−
π
π 0
0
2xdxxdx =
π
1
+
−
π
π
0
2
02
2
x
x
=
π
1
+− 2
2
2
π
π
=
π
π
2
2
=
2
π
an =
π
1
+ ∫∫−
π
π 0
0
)cos(2)cos( dxnxxdxnxx =
π
1 0
22
1
)cos(
1
π
π
−
−
n
n
n
= - 2
2
nπ
, n = 1, 3, 5, ….
bn =
π
1
+ ∫∫−
π
π 0
0
)sen(2)sen( dxnxxdxnxx =
π
1
n
nππ cos3−
=
n3
n3
− ...6,4,2
...5,3,1
=
=
n
n
f(x) = ....)2(
2
3
)3cos(
9
2
)(3)cos(
2
+−−+− xsenxxsenx
ππ
π
5.1.3 Propriedade
Indiquemos a propriedade seguinte de uma função f(x) de período 2π:
∫∫
+
−
=
πλ
λ
π
π
ϕϕ
2
)()( dxxdxx λ - número qualquer
A propriedade mencionada significa: A integral de uma função periódica ϕ(x) sobre um
segmento arbitrário de comprimento igual ao período tem sempre o mesmo valor.
5. Como resultado da propriedade acima, temos a simplificação de alguns cálculos:
a0 =
π
1
∫
+ πλ
λ
2
)( dxxf bn =
π
1
∫
+ πλ
λ
2
)sen()( dxnxxf an =
π
1
∫
+ πλ
λ
2
)cos()( dxnxxf
Ex.: f(x) = x de período 2π sobre o segmento 0 ≤ x ≤ 2π
ao=
π
1
2
2
2
0
x
xdx =∫
π
π
π
2
0
1
= 2π
an=
π
1
=∫ dxnxx )cos(
2
0
π
π
1
π2
0
2
)cos()sen(
.
−
n
nx
n
nx
x = 0
bn =
π
1
=∫ dxnxx )sen(
2
0
π
-
n
2
f(x) = π - sen(x) -
2
2
sen(2x) -
3
2
sen(3x) -
4
2
sen(4x) - …
5.1.4 Séries de Fourier de funções pares e ímpares
Se tivermos o desenvolvimento de Fourier de uma função f(x) ímpar, o produto
f(x).cos(nx) é uma função ímpar e f(x).sen(nx) uma função par, logo:
a0 =
π
1
∫−
π
π
dxxf )( = 0
an =
π
1
∫−
π
π
)cos()( nxxf = 0
bn =
π
1
∫−
=
π
π π
2
)()( nxsenxf dxnxsenxf∫
π
0
)()(
Em conseqüência do exposto acima, a série de Fourier de uma função ímpar apenas
contém senos e a série de Fourier de uma função par apenas contém co-senos.
6. 5.1.5 Séries de Fourier de funções de período 2
Como uma grande parte dos problemas práticos que envolvem as séries de Fourier trata
de períodos que envolvem números inteiros, procuramos nesta seção abordar períodos quaisquer 2
. Assim, os coeficientes de Fourier podem ser generalizados como:
ao =
1
∫−
dxxf )(
an =
1
∫−
dx
xn
xf
π
cos)(
bn =
1
∫−
dx
xn
senxf
π
)(
∑
∞
=
++=
1
0
))()cos((
2
)(
n
nn
xn
senb
xn
a
a
xf
ππ
Como exemplo, apresentamos o desenvolvimento em série de Fourier da função periódica f(x) =
|x|, de período 2 = 6, definida no intervalo [ 3− ,3].
|x| =
2
- 2
4
π
.
++
2
3
3
cos
1
cos
xx ππ
=
2
3
- 2
3.4
π
.
++ 2
3
3
3
cos
1
3
cos
xx ππ
5.1.6 Séries de Fourier somente em senos e co-senos
Nesta seção apresentamos os coeficientes de Fourier para uma função f(x) qualquer,
podendo desenvolvê-la à vontade, numa série de senos ou de co-senos, válida no intervalo de (0,π).
Para o desenvolvimento em co-senos, os coeficientes an se determinam pela fórmula:
an = dxnxxf∫
π
π 0
)cos()(
2
Para o desenvolvimento em senos, os coeficientes bn são dados por:
bn = dxnxsenxf∫
π
π 0
)()(
2
Devido a esta abrangência para o desenvolvimento de funções em séries de Fourier,
podemos concluir que uma função f(x), que não seja nem par nem ímpar, pode ser desenvolvida no
7. intervalo (0,π) numa série de senos ou de co-senos, ou ainda numa série de senos e co-senos. É
importante notar, entretanto, que a série de Fourier em senos e co-senos correspondentes à f(x) no
intervalo de (-π,π) é única, o mesmo não acontece quando o intervalo se reduz a (0,π), neste caso há
uma infinidade de séries em senos e co-senos juntos, que satisfazem a função.
Apresentamos, a seguir, dois exemplos de desenvolvimento de Fourier, apenas em séries
de senos ou de co-senos.
Ex. 1: f(x) = x [0, π] em séries de senos.
x = 2
+−
2
2
1
xsensenx
Ex. 2: f(x) = x [0, π] em séries de co-senos.
x =
π
π 4
2
−
+− 2
3
3cos
1
cos xx
5.1.7 Aplicações das séries de Fourier
Torna-se relevante notarmos que podemos fazer aproximações de funções por séries, até
mesmo porque muitas vezes nem chegamos a conhecer a função em sua forma analítica quando
trabalhamos com experimentos, sejam eles em campo, laboratório, trabalho ou no dia-a-dia. Cabe,
no entanto, ressaltarmos que quando desejamos uma aproximação muito boa para uma função nas
vizinhanças de um ponto, a série de Taylor, vista no capítulo 3, seria uma boa escolha, porém, a
função em questão deve obedecer algumas restrições, como ser suave, no sentido que podemos
derivá-la até uma determinada ordem. Além disso, esta aproximação é local, e não global como no
caso das séries de Fourier. Para funções periódicas a série de Fourier é muito mais adequada para
fazermos tais aproximações.
A seguir, utilizamos uma ferramenta computacional para representar uma função, que
chamamos onda quadrada:
f( )x .4
π
sin( )x
sin( ).3 x
3
sin( ).5 x
5
sin( ).7 x
7
8. 0 5 10
2
1
0
1
2
f( )x
x
Notar que, com quatro parcelas, já ocorre uma aproximação da função desejada. Se
fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita para a representação da função:
f(x) =
π
π
<≤
<<−−
x
x
0,1
0,1
Em cursos de engenharia ou tecnologia na área elétrica, por exemplo, consideramos a
onda um sinal elétrico, sendo que a primeira parcela sendo nula, indica que o sinal estaria acima e
abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal.
A segunda parcela [(4/π). sen(x)] tem o mesmo período ou mesma freqüência (inverso do período)
do sinal. Por esta igualdade, é chamada oscilação fundamental do sinal. As parcelas seguintes têm
freqüências múltiplas [(4/3π).sen(3x), (4/5π).sen(5x), ...] da fundamental e são chamadas oscilações
harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal. Portanto, pode-se dizer que todo sinal
periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação fundamental
e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental.
Os coeficientes an e bn são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico. Notar que só
existem harmônicos ímpares neste exemplo e, se consideramos o componente contínuo no sinal
quadrado, ele deixa de ser uma função ímpar e, portanto, nem todos os ak precisam ser nulos.
Os sinais periódicos se transmitem pelos meios físicos como um conjunto de
componentes senoidais conforme respectivas séries de Fourier. Se o sinal é senoidal, o processo é
facilitado por existir somente o componente fundamental. Se não é, haverá em geral infinitos
harmônicos. Nenhum dispositivo real tem resposta de freqüência em uma faixa infinita. Assim, os
circuitos de transmissão e recepção de sinais devem ter largura de banda suficiente para a passagem
dos harmônicos mais significativos, de forma a permitir a reconstituição mais próxima possível do
sinal original. Em alguns casos, harmônicos são indesejáveis. Num processo usado para variar
iluminação em residências, por exemplo, onde o controle de algumas centenas de watts, isso não
representa problema. Já num equipamento industrial, de dezenas ou centenas de quilowatts,
9. harmônicos na faixa de megahertz podem ter intensidade suficiente para produzir interferências em
outros aparelhos eletrônicos. Neste caso, ligam-se ou desligam-se seqüências de ciclos inteiros e o
que se varia é a quantidade deles. Portanto, a forma senoidal é preservada, evitando harmônicos.
Exercícios Resolvidos 5.1
Apresentamos, a seguir, o desenvolvimento de algumas funções em séries de Fourier e, em seguida,
o gráfico destas séries com algumas parcelas:
1. f(x) = 3x + 1 0 < x < 6
Em série de senos:
bn = ( )
+∫ 6
13
6
1.2 6
0
xn
senx
π
= ( )
( ) ( ) 6
0
6
cos
186
cos
136
6
1.2
++− ∫ dx
n
xn
n
xn
x
π
π
π
π
= ( )
( )
( )
6
0
2
6
1086
cos
136
6
1.2
++−
xn
sen
nn
xn
x
π
ππ
π
=
( )
( )
( )
( )
−++− 0.
1086108cos114
6
1.2
22
ππ
π
ππ
π
nn
nsen
nn
n
=
πn
20.2
n = 1, 3, ...
=
πn
18.2
n = 2, 4, ...
f(x) = 3x + 1 =
−
+
−
6
3
3
40
6
2
2
36
6
40 x
sen
x
sen
x
sen
π
π
π
π
π
π
10. 0 7.5 15 22.5 30
20
10
0
10
20
f( )x
x
2. f(x) = x p/ 0 < x ≤ 1 0 < x < 2
2 – x p/ 1 < x < 2
Em série de senos:
bn= 2 .
2
1
−+
∫∫ dx
xn
senxdx
xn
xsen
2
)2(
2
2
1
1
0
ππ
bn = ( )
2
1
1
0
2
4
cos
2
4
2
cos2
2
2
2
cos
2
2
cos
2
−
−
+
+
−
∫∫ d
x
n
xn
x
n
dx
x
n
xn
n
x π
π
π
π
π
π
π
π
bn =
( )
( )
( )
2
1
2
1
0
2
2
4
2
cos2
2
2
4
2
cos
2
−
−
+
+
− xn
sen
n
xn
x
n
xn
sen
n
xn
n
x π
π
π
π
π
π
π
π
bn =
( ) ( )
−
−
+
+
−
2
4
)
2
cos(
2
2
4
2
cos
2
22
π
π
π
π
π
π
π
π
n
sen
n
n
n
n
sen
n
n
n
x
bn =
( )2
8
πn
sen
2
πn
=
( )2
8
πn
n = 1, 5, 9, …
-
( )2
8
πn
n = 3, 7, 11, …
f(x) = 2
8
π
sen
2
1 πx
-
( )2
3
8
π
sen
2
3 πx
+
( )2
5
8
π
sen
2
5 πx
-
( )2
7
8
π
sen
2
7 πx
+ ……..
0 2.5 5 7.5 10
2
1
0
1
2
f( )x
x
11. 3. f(x) = x -3 < x < 3
ao =
3
1
∫∫ −−
=
3
3
2
3
3 2
x
dxx = 0
an = 0 (a função é ímpar, apresenta apenas o coeficiente bn)
bn =
3
1
3
3
3
3 3
cos
3
3
cos.
3
.
3
1
3 −
−
+
−=
∫∫ dx
xn
n
xn
n
x
dx
xn
senx
π
π
π
π
π
bn =
3
1
( )
3
3
2
3
9
3
cos.
3
.
−
+
−
xn
sen
n
xn
n
x π
π
π
π
bn =
3
1
( )
( )
( )
−
−
π
π
π
π
n
n
n
n
cos
9
cos.
9
. 2
bn =
3
1
( )
−
π
π
n
n
cos.
18
.
bn =
πn
6
− n = 2, 4
πn
6
n = 1, 3
f(x) = +
π
6
sen
3
1 πx
-
π2
6
sen
3
2 πx
+
π3
6
sen
3
3 πx
-
π4
6
sen
3
4 πx
...
12. 0 5 10 15 20
4
2
0
2
4
f( )x
x
Exercícios 5.1
1. Desenvolver em séries de Fourier válida de -π a π as funções abaixo:
a) f(x) = 2x
b) g(x) = x – 4
c) h(x) = 3x2
2. Desenvolver em séries de senos para 0 < x < π as funções:
a) f(x) = -3x
b) g(x) = 3 – x
3. Desenvolver em séries de Fourier f(x), sendo:
f(x) = 3 no intervalo de (-π,0)
4 no intervalo de [0, π)
4. Desenvolver em séries de Fourier:
a) f(x) = x, para -3< x < 3
b) f(x) = 2, para -20< x < 0
1, para 0 ≤ x < 20
5. Achar a série de Fourier a cada função dada:
a) f(x) = x + 1 , -1 ≤ x < 0
1 – x , 0 ≤ x ≤ 1 f(x+2) = f(x)
b) g(x) = x2
– 1 de [-π,π]
6. Desenvolver:
a) f(x) = x2
, -π< x < π
b) f(x) = x2
, -4< x < 4
c) f(x) = x2
, em série de senos de 0 a π.
7. Desenvolver em séries de senos:
f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1
1 , 1 ≤ x ≤ 2
13. 8. Desenvolver em séries de co-senos:
g(x) = 1 – x , com 0 ≤ x ≤ 3
9. Através da série de Fourier para a onda quadrada, mostrar que:
.......
7
1
5
1
3
1
1
4
+−+−=
π
10. Desenvolver em séries de Fourier de [-π,π]:
f(x) = 2x – 7
11. Através da série de Fourier para a onda triangular, mostrar que:
.......
5
1
3
1
1
8 22
2
+++=
π
12. Desenvolver em séries de Fourier:
f(x) = 0 , -4 < x < 0
ex
, 0 < x < 4.