1) Os operadores R e H são invertíveis e representam reflexões, enquanto S não é invertível pois mapeia todos os vetores para o eixo y. 2) A base de Ker(F) é {(1,0,0)}, a base de Im(F) é {(1,1,0), (0,0,2)}, e Ker(F) ∩ Im(F) é {0}. 3) F não é um isomorfismo pois mapeia R3 em um subespaço de R4, ou seja, F não é injetora.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 4 - Parte 2 - Transformações Lineares
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Considere os seguintes operadores lineares do R2
:
(a) R(x, y) = (−x, y)
(b) S(x, y) = (x, 0)
(c) H(x, y) = (−x, −y)
Quais deles são invertíveis? Em caso armativo, determine sua inversa. Por último, interprete
geometricamente esses operadores, por exemplo, note que R(x, y) é a reexão de um vetor (x, y)
em torno do eixo-y.
2. Seja F : R3
→ R3
tal que F(1, 0, 0) = (1, 1, 0), F(0, 1, 0) = (1, 1, 2), F(0, 1, 0) = (0, 0, 2).
Determine uma base dos seguintes espaços vetoriais:
(a) Ker(F)
(b) Im(F)
(c) Ker(F) ∩ Im(F)
(d) Ker(F) + Im(F)
3. Prove que não existe uma aplicação linear do R5
em R2
cujo núcleo é igual a
{(x, y, z, w, t} ∈ R5
: x = 3y e z = w = t}
(Dica: Use o Teorema do Núcleo e da Imagem.)
4. Mosque que F : R3
→ R4
dada por F(x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) é injetora mas não é um
isomorsmo.
5. Mostre que o operador linear T : R3
→ R3
dado por T(x, y, z) = (x + z, x − z, y) é um
automorsmo. Determine T−1
.
(Observação: Um automorsmo é isomorsmo onde o domínio é igual ao contradomínio.)
6. Mostre que o R2
é isomorfo a qualquer espaço de dimensão 2 do R3
.
7. Sejam V um espaço vetorial de dimensão nita e S, T ∈ L(V ). Prove que S ◦ T é invertível se,
e somente se, S e T são ambas invertíveis.
8. Sejam {e1, ..., en} a base canônica do Rn
. Considere o operador linear T : Rn
→ Rn
dado por
T(e1) = e2, T(e2) = e3, ..., T(en) = e1. Determine T(x1, ..., xn). Decida se T é invertível. Em
caso armativo, determine sua inversa T−1
.