O documento descreve séries de Taylor e de Maclaurin, que são expansões em séries de potências de uma função em torno de um ponto. Também discute séries de Fourier, que são expansões em séries trigonométricas de uma função periódica. Fornece definições e fórmulas para calcular os coeficientes dessas séries.

1. Séries de Taylor e de Maclaurin
Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo
contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em
x = a é
( ) ...
( ) ( )
x a f a f a x a f a x a f a
( ) ... ( )
!
( ) ( ) ´( )( ) ´´( )
2!
f a
!
2
0
( )
- = + - + - + + - n
+ =
å¥
n
k
k
k
x a
n
k
A série de Maclaurin gerada por f é
å¥
=
... (0)
(0) ´(0) ´´(0)
= + + + + +
0
( )
2
( )
...,
!
2!
(0)
!
k
n
n
k
k
x
n
x f f x f x f
k
f
a série de Taylor gerada por f em x = 0.
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum
intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0
a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
P x = f a + f a x - a + f a x -a + + f a - + + -
( ) .
n
x a f a
( ) ... ( )
!
( ) ... ( )
!
( ) ( ) ´( )( ) ´´( )
2!
( ) ( )
2 k
n
k
n x a
n
k
Resto de um Polinômio de Taylor
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma
função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um
resto Rn(x) definido por
f (x) P (x) R (x) n n = +
O valor absoluto R (x) f (x) P (x) n n = - é chamado de erro associado à
aproximação.

2. Teorema de Taylor
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a,
então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que
f ( x ) f ( a ) f ´( a )( x a ) f ´´( a ) x a f a ( )
n
( ) ( ),
( ) ... ( )
!
2!
( )
2 x a R x
n
n
n
= + - + - + + - +
onde
( 1)
R x f c
( ) = ( ) n
1
( ) .
( 1)
+
+
-
+
n
n x a
n
Teorema da Estimativa do Resto
Se existirem constantes positivas M e r tais que f (n+1) (t) £Mr n+1 para todo t
entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a
desigualdade
.
-
( 1)!
( )
1 1
+
£
+ +
n
r x a
R x M
n n
n
Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do
Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).
Combinando Séries de Taylor
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem
ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os
resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é
a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a
enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.

3. Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na
série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A
série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para
sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de
todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.
Séries de Fourier
å¥
b n x
a n x
0 cos sen .
2
=
ö çè
÷ø
= + æ +
1
( )
n
n L
n L
a
f x p p (1)
Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A
equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).
Coeficientes na Expansão em Série de Fourier
cos npx 0
= L
L
1) ò-
dx
L
sen npx 0
= L
L
2) ò-
dx
L
0,
3) ò- î í ì
m ¹
n
m x
n x
L
dx
= L L m =
n
L
L
,
cos p cos p
sen npx cos m p x
0
= L
L
4) ò-
dx
L
L
0,
5) ò- î í ì
m ¹
n
m x
n x
l
dx
= L L m =
n
L
L
,
sen p sen p
Cálculo de a0
Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as
operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter
dx b n x
¥
( ) p p (2)
dx a n x
= + + L
L
ò ò å ò å ò -
0 cos sen .
2
=
-
¥
- -
=
n
L
n L
n
L
n L
L
L
dx
L
L
a
f x dx
1 1
Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da
equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,

4. .
a x L
ò = ò = ù - -
0 0 La
( ) 0
2 2
L
dx
a
f x dx L
L
L
L
=
- úû
Então, obtemos a0:
a = 1 L
( ) .
0
ò-
L
f x dx
L
Cálculo de am
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por cos(mpx / L) , m > 0, e
integramos o resultado de – L a L:
dx a m x
f x m x
p p
ò ò
2
( ) cos
- -
a n x
å ò
1
¥
p p
b n x
å ò
=
-
¥
=
-
+
+
=
1
0
cos cos
cos
m x
m x
sen cos .
n
L
n L
n
L
n L
L
L
L
L
dx
L
L
dx
L
L
dx
L
L
p p
(4)
A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela
dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação
para
f (x) cos mpx dx a cos m p x
cos m p x
.
L
= L
= L
ò ò - -
m L m dx La
L
L
L
Portanto,
a = 1 L
( ) cos p .
ò-
f x m x
m L dx
L
L
Cálculo de bm

5. Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por sen(mpx / L) , m > 0, e
integramos o resultado de – L a L:
dx a m x
f x m x
p p
ò ò
2
( ) sen
- -
a n x
å ò
1
¥
p p
b n x
å ò
=
-
¥
=
-
+
+
=
1
0
cos sen
sen
m x
m x
sen sen .
n
L
n L
n
L
n L
l
L
L
L
dx
L
L
dx
L
L
dx
L
L
p p
Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos
f (x) sen mpx sen p sen p
m x
dx b m x
L
= L
= L
ò ò - -
m L m dx Lb
L
L
L
Portanto,
b = 1 L
( ) sen p . (6)
ò-
f x m x
m L dx
L
L
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas
equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada
de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As
constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.
Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
å¥
b n x
a n x
0 cos sen .
2
=
ö çè
÷ø
= + æ +
1
( )
n
n L
n L
a
f x p p
a = 1 òL
f ( x ) dx
.
0
L
-
L
ò-
a = 1 L
( ) cos p .
f x n x
n L dx
L
L
b = 1 L
( ) sen p .
ò-
f x n x
n L dx
L
L

6. Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por sen(mpx / L) , m > 0, e
integramos o resultado de – L a L:
dx a m x
f x m x
p p
ò ò
2
( ) sen
- -
a n x
å ò
1
¥
p p
b n x
å ò
=
-
¥
=
-
+
+
=
1
0
cos sen
sen
m x
m x
sen sen .
n
L
n L
n
L
n L
l
L
L
L
dx
L
L
dx
L
L
dx
L
L
p p
Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos
f (x) sen mpx sen p sen p
m x
dx b m x
L
= L
= L
ò ò - -
m L m dx Lb
L
L
L
Portanto,
b = 1 L
( ) sen p . (6)
ò-
f x m x
m L dx
L
L
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas
equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada
de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As
constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.
Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
å¥
b n x
a n x
0 cos sen .
2
=
ö çè
÷ø
= + æ +
1
( )
n
n L
n L
a
f x p p
a = 1 òL
f ( x ) dx
.
0
L
-
L
ò-
a = 1 L
( ) cos p .
f x n x
n L dx
L
L
b = 1 L
( ) sen p .
ò-
f x n x
n L dx
L
L