O documento descreve um problema de probabilidades proposto por Pascal ao Conde de Méré sobre a divisão de 60 pistolas em um jogo interrompido. Pascal interessou-se pelo problema e iniciou uma correspondência com Fermat para analisar a situação, marcando o início da Teoria das Probabilidades.

1. Probabilidades 9º Ano

2. Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo)
viajava com Pascal ( homem que estudava religião
e Matemática – inventor da máquina de calcular)
e colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma
mensagem urgente nos obrigou a interromper o
jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada
um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o
primeiro que obtivesse 3 vezes o número que
escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha
escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já
tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha
escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?

3. Probabilidades 9º Ano
Pascal interessou-se por este problema e
iniciou uma correspondência com o seu
amigo Fermat para analisar a situação.
Essa correspondência marca o início da
Teoria das Probabilidades.
Blaise Pascal
Fermat
Vídeo: É uma banda desenhada
canadiana, com legendas em
português, e que de uma forma muito
interessante explica a área de estudo
das Probabilidades.
http://www.youtube.com/watch?v=tJz8sKHHisI

4. Probabilidades 9º Ano
Importância do estudo da Teoria das
Probabilidades
METEREOLOGIA
É pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROS
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta
paga mais seguro?
JOGOS
Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

5. Todos os dias somos confrontados com situações, que nos
conduzem a utilizar, intuitivamente, a noção de
probabilidade:
• Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar o
totoloto;
• O político deseja saber qual a sua probabilidade de ganhar
as eleições;
• Dizemos que existe uma grande probabilidade de não
chover num dia de verão;
• O médico interroga-se sobre qual a probabilidade de um
doente, tratado com um novo medicamento sobreviver.

6. ATIVIDADE 1: A Matemática e os jogos de azar
Considera as seguintes situações:
• O boletim do totoloto que o Vítor preencheu está representado na figura
seguinte. Em qual das apostas terá maior probabilidade de ganhar?
• Um árbitro de futebol atirou uma moeda ao ar seis semanas seguidas e obteve
sempre face.
Vai atirá-la uma sétima vez. É mais provável sair face comum ou face nacional?

7. ATIVIDADE 2: Tipos de experiências
Considera as seguintes experiências:
Situação 1: Situação 2:
Abrir a mão e largar a moeda Lançar uma moeda e verificar se sai cara
 Na primeira experiência já sabemos o que acontece mesmo antes de a realizar –
a moeda cai ao chão (trata-se de uma experiência determinista).
 Na segunda experiência só é possível conhecer o resultado depois de a
realizarmos (trata-se de uma experiência aleatória).
Faz uma pequena reflexão sobre o que poderá acontecer em cada uma das situações.

8. Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Experiências
• Lançamento de uma moeda
• Lançamento de um dado
• Totoloto
• Estado do tempo para a
semana
• Extracção de uma carta
• Tempo que uma lâmpada irá
durar
• Furar um balão cheio
• Deixar cair um prego
num copo de água
• Calcular a área de
quadrado de lado 9 cm
À partida não sabemos o
resultado
À partida já conhecemos o
resultado

9. Probabilidades 9º Ano
Importância do estudo da Teoria das
Probabilidades
A Teoria da Probabilidade prende-se com o estudo de modelos
matemáticos especiais, a que chamamos modelos
probabilísticos, para descrever fenómenos aleatórios.

10. Atividade 3:
Para cada uma das situações seguintes indica o cartão que associavas à
frase:
i. A próxima semana tem oito dias
ii. O António estudou a matéria e vai tirar Muito Bom no teste.
iii. O Pedro jogou na lotaria e vai ganhar um prémio.
iv. Este ano tem 52 semanas.
v. Ao domingo há jogos de futebol.
Certo
ImpossívelProvável
Pouco
Provável

11. ATIVIDADE 4: Jogo do dado
Considera a experiência que consiste em lançar o dado uma vez e
anotar o número de pontos da face voltada para cima.
I. Quantos são os casos possíveis? Escreve todos os casos possíveis.
II. Quantos são os casos favoráveis ao acontecimento:
A: Sair número par
B: Sair um quadrado perfeito
III. Define e classifica os seguintes acontecimentos:
A: Sair divisor de 10
B: Sair um número par e primo
C: Sair o número 7
D: Sair um número menor do que 7.

12. Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Espaço de Resultados
Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados
possíveis de uma experiência aleatória.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço de resultados = E = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

13. Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa
Espaço de resultados = E = { R, T, D, P }
IMPOSSÍVEL CERTO
“ Sair a letra X ” “ Sair uma
consoante ”
PROVÁVEL
“ Sair a letra T ”

14. Probabilidades 9º Ano
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento
ELEMENTAR COMPOSTO
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
B: “ Sair um nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um elemento
Acontecimento
CERTO IMPOSSÍVEL
C: “ Sair um nº menor que 7 ”
C={1,2,3,4,5,6 }
Coincide com o espaço de resultados
D: “ Sair o nº 8 ”
D={ }

15. Probabilidades 9º Ano
PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
A primeira definição de probabilidade (definição
clássica de probabilidade) foi enunciada pelo
matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-
1827) e publicada num tratado, em 1812, designado
por "Théorie analytique des probabilités" (Teoria
Analítica das Probabilidades) e que unificou na
altura todos os seus trabalhos sobre probabilidades.

16. ATIVIDADE 5:
Antes de jogares, responde às seguintes questões:
I. Quem pensas que vai ganhar, o A ou o B? Têm ambos as mesmas
hipóteses de ganhar?
II. Qual a probabilidade de sair face com número primo?

17. Probabilidades 9º Ano
Lei de LAPLACE
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado
E = { 1,2,3,4,5,6 }O dado tem 6 faces:
Qual é a probabilidade de sair face com número primo?
 
possíveiscasosdeNúmero
favoráveiscasosdeNúmero
"º" primonsairP
Nº casos favoráveis = 3
Nº casos possíveis = 6
  %505,0
2
1
6
3
primo"número" sairP

18. Probabilidades 9º Ano
Cálculo de Probabilidades
Calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos:
  %1717,0
6
1
AP
A: “ Sair o número 3 “1)
2) B: “ Sair um número maior que 3 “
  %505,0
2
1
BP
A probabilidade de um acontecimento pode ser representada sob
a forma de fracção, dízima ou de percentagem.

19. Probabilidades 9º Ano
Propriedades das probabilidades
1) A probabilidade de um acontecimento impossível é 0.
2) A probabilidade de um acontecimento certo é 1.
3) A probabilidade de um acontecimento varia sempre entre 0 e 1.
  0"7º" nsairP
  1"7quemenor" númerosairP
1)(0  AP
Acontecimento CertoAcontecimento Impossível
Acontecimento possível mas não certo

20. Probabilidades 9º Ano
Propriedades das probabilidades
4) Acontecimentos que não podem ocorrer em simultâneo.
Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos
  )()(Bu BpApoAP 
Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75
vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade,
numa extração, sair bola amarela ou verde?

21. Probabilidades 9º Ano
Propriedades das probabilidades
Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75
vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade,
numa extração, não sair bola vermelha?
5) Acontecimento contrário.
Acontecimento complementar
  1)(  ApAP

22. Probabilidades 9º Ano
Problemas de contagem – Tabelas de Dupla entrada
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
I. Quantos são os casos possíveis?
II. Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 3?
9 1
36 4
P  

23. 9º Ano
Problemas de contagem– Diagramas de árvores
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
 Arroz de
frango
 Bife grelhado
 Lampreia
Sobremesa:
 Fruta da época
 Pudim
Prato:
Entrada
:
 Sopa
 Canja
1) Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um
prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições
diferentes!

24. 2) Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade
de comer bife ou fruta?
Cálculo de Probabilidades
9º Ano

25. 9º Ano
Cálculo de Probabilidades
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
3
2
12
8
P
Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta?
Resposta:

26. Probabilidades 9º Ano
Ténis Xadrez
3
610 6
25 - 3 = 22
16 + 12 = 28
Meio: 28 - 22 = 6
Só Ténis: 16 - 6 = 10
Só Xadrez: 12 - 6 = 6
Processo de Contagem – Diagrama de Venn
Numa turma de 25 alunos fez-se um inquérito e
após a análise dos seus desportos favoritos,
registaram-se as seguintes conclusões:
-16 alunos sabem jogar ténis;
-12 alunos sabem jogar xadrez;
-3 não sabem jogar ténis nem xadrez.

27. Probabilidades 9º Ano
c) jogar ténis?
Ténis Xadrez
3
610 6
P = 10
25
b) jogar só ténis?
= 2
5
P = 16
25
Escolhendo um aluno ao acaso
qual é a probabilidade de saber:
a) jogar ténis e xadrez?
P =
25
6

28. Face
Frequência
absoluta
Frequência relativa
Frequência
absoluta
Frequência relativa
Frequência
absoluta
Frequência relativa
Nacional 62 165 244
Comum 38 135 256
100 300 500
 
62
0,62 62%
100  
165
0,55 55%
300
 
244
0,488 48,8%
500
 
38
0,38 38%
100
 
135
0,45 45%
300
 
256
0,512 51,2%
500
O João realizou 3 experiências ao lançar uma moeda ao ar: 100 vezes na
1ª experiência, 300 vezes na segunda e 500 vezes na terceira experiência.
Experiência 3Experiência 2Experiência 1
À medida que o número de lançamentos aumenta, compara a
frequência relativa de cada acontecimento com a sua
probabilidade. Que observas?
Frequência Relativa e Probabilidade

29. Frequência relativa e probabilidade
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