Introdução às probabilidades para o ensino secundário profissional. Regra de Laplace, Espaço amostral, acontecimento impossível, acontecimento certo, cálculo de probabilidades.

1. Probabilidades - 9º ano

2. Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem
que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e
colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente
nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30
pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o
primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no
lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi
interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha
escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?

3. Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma
correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a
situação. Essa correspondência marca o início da Teoria
das Probabilidades.
Pascal
Fermat

4. A importância das probabilidades na sociedade
METEREOLOGIA
É pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROS
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta
paga mais seguro?
JOGOS
Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?

5. Termos e conceitos
Experiência
• Lançamento de uma moeda
• Lançamento de um dado
• Totoloto
• Estado do tempo para a semana
• Extracção de uma carta
• Tempo que uma lâmpada irá durar
• Furar um balão cheio
• Deixar cair um prego
num copo de água
• Calcular a área de
quadrado de lado 9 cm
À partida o resultado é
desconhecido
À partida já conhecemos
o resultado

6. Termos e conceitos
Espaço de Resultados ou Espaço Amostral
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados
possíveis de uma experiência aleatória.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }

7. Termos e conceitos
Acontecimentos
Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento A: “Sair um nº par”
A = { 2, 4, 6 }
Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2”
B = { 3, 4, 5, 6 }

8. Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
ELEMENTAR COMPOSTO
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
B: “ Sair o nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um
elemento

9. Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa
Espaço Amostral = S = { R, T, D, P }
IMPOSSÍVEL CERTO
“ Sair a letra X ” “ Sair uma
consoante ”
POSSÍVEL
“ Sair a letra T ”

10. Modos de definir probabilidade de um acontecimento
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
Definição clássica de probabilidade

11. Lei de LAPLACE
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
S = { F, V }
A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso
Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?
 
possíveis
casos
de
Número
favoráveis
casos
de
Número

F
P
Nº casos favoráveis = 1
Nº casos possíveis = 2
  %
50
5
,
0
2
1



F
P
Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma
probabilidade

12. Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
 
6
1
possíveis
casos
de
nº
favoráveis
casos
de
nº


A
P
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:
A: “ Sair o número 5 “
1) Só há uma
face “5”
Um dado
tem 6 faces
2) B: “ Sair um número maior que 2 “
Nº casos favoráveis = 4
Nº casos possíveis = 6
 
3
2
6
4


B
P
B = { 3, 4, 5, 6 }

13. Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Qual é o espaço de resultados?
Qual é a probabilidade de sair dois números
maiores que 4?
9
1
36
4


P

14. Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
 Arroz de
frango
 Bife grelhado
 Lampreia
Sobremesa:
 Fruta da época
 Pudim
Prato:
Entrada
:
 Sopa
 Canja
Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma
entrada, um prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições
diferentes!

15. Cálculo de Probabilidades
Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de
comer arroz ou fruta?
3
2
12
8


P
Qual é a probabilidade
de não comer
Lampreia nem Pudim?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
3
1
12
4


P

16. Como determinar a probabilidade de
um acontecimento a partir da
experiência
 Lançamento de um dado perfeito 100
vezes
Frequência absoluta ou
efectivo de um
acontecimento é o
número de vezes que
esse acontecimento se
verifica

17. Frequência absoluta ou
efectivo
 E se o número de efectivos
aumentar?
 Vamos investigar o que se passa:
 * lançando o dado perfeito um maior nº de vezes.
 * comparando os resultados obtidos
Frequência relativa de um
acontecimento é o
quociente entre a frequência
absoluta e o nº total de
observações.

18. Lei dos grandes números
Esta experiência entre outras
confirmam a LEI DOS GRANDES
NÚMEROS:
 Para um grande nº de experiências a
frequência relativa de um
acontecimento A é um valor
aproximado da sua probabilidade:
p(A)= Frequência relativa de A

19. Conclusão
 Se numa experiência aleatória os
resultados se prevêem equiprováveis,
podes determinar a probabilidade de um
acontecimento:
 Previamente (antes de realizar a
experiência), aplicando a Lei de Laplace.
 Empiricamente (realizando a experiência),
aplicando a Lei dos Grandes Números.