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ESCOLA INDÍGENA PEDRO POTI
POTENCIAÇÃO,
RADICIAÇÃO
PRODUTOS NOTÁVEIS E
FATORAÇÃO
PROF. RONOALDO ESCOLA INDÍGENA PEDRO POTI
27
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Este módulo é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação.
Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão.
1ª PARTE: POTENCIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto
3.3.3.3 pode ser indicado na forma 4
3 . Assim, o símbolo n
a , sendo a um número
inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
  
fatoresn
n
aaaaa .......=
- a é a base;
- n é o expoente;
- o resultado é a potência.
Por definição temos que: aaea == 10
1
Exemplos:
a) 2733333
=⋅⋅=
b) ( ) 4222
2
=−⋅−=−
c) ( ) 82222
3
−=−⋅−⋅−=−
d)
16
9
4
3
4
3
4
3
2
=⋅=





CUIDADO !!
Cuidado com os sinais.
 Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
( ) 1622222
4
=−⋅−⋅−⋅−=−
( ) 9333
2
=−⋅−=−
 Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
27
( )
0;
..
≠=





=






=





−
bcom
b
a
b
a
baba
a
b
b
a
n
nn
nnn
nn
Ex. 1:
( ) 2222
3
−⋅−⋅−=−

=−⋅ 24 8−
 Se 2x = , qual será o valor de “ 2
x− ”?
Observe: ( ) 42
2
−=− , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
( ) 42x
22
−=−=− → os parênteses devem ser usados, porque o sinal
negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o
valor de x.
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
Quadro Resumo das Propriedades
( )
n
n
m
n
m n
nmnm
nm
n
m
nmnm
a
a
aa
aa
a
a
a
aaa
1
.
=
=
=
=
=
−
⋅
−
+
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
a)
nmnm
aaa +
=⋅ Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de
potências de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.
Ex. 1.:
22
222 +
=⋅ xx
Ex. 2.:
117474
aaaa ==⋅ +
Ex. 3.: 42
34 ⋅ → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois
multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.
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27
1296811634 42
=⋅=⋅
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos.
Assim: nmnm
aaa +
=⋅ ou nmnm
aaa ⋅=+ Exemplo: n7n7
aaa ⋅=+
b) nm
n
m
a
a
a −
= Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potências de
bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex. 1: x
x
−
= 4
4
3
3
3
Ex. 2:
154
5
4
−−
== aa
a
a
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja,
nm
n
m
a
a
a −
= ou
n
m
nm
a
a
a =−
Exemplo: x
x
a
a
a
4
4
=−
c) ( ) nmnm
aa ⋅
= Nesta propriedade temos uma potência elevada a outro expoente, para
resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes.
Ex. 1:
( ) 62323
444 == ⋅
Ex. 2:
( ) xxx
bbb ⋅⋅
== 444
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja,
( ) nmnm
aa ⋅
= ou ( )nmnm
aa =⋅ Ex.: ( ) ( )444
333 xxx
ou=
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27
(d) m
n
m n
aa = Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado
numa potência de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do
expoente.
Ex. 1: 2
1
2 1
xxx ==
Ex. 2: 3
7
3 7
xx =
Ex. 3: 52525 2
1
==
Ex. 4: 3 83
8
xx =
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
m
n
m n
aa = ou m nm
n
aa = Ex.: 52
5
aa =
e) 0bcom,
b
a
b
a
n
nn
≠=





Ex. 1:
9
4
3
2
3
2
2
22
==





Ex. 2:
25
1
5
1
5
1
2
22
==





Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
n
nn
b
a
b
a
=




 ou
n
n
n
b
a
b
a






= Ex.:
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
1
=





==
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27
f) ( ) nnn
baba ⋅=⋅
Ex. 1: ( ) 222
axax ⋅=⋅
Ex. 2:
( ) 3333
6444 xxx =⋅=
Ex. 3:
( ) ( ) 2242
4
4
4
2
1
4
4
4
4
8133333 xxxxxx =⋅=⋅=



⋅=⋅=
Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
( ) nnn
baba ⋅=⋅ ou ( )nnn
baba ⋅=⋅ Ex.: ( ) yxyxyxyx ⋅=⋅=⋅=⋅ 2
1
2
1
2
1
g)
n
n
a
1
a =−
Ex. 1:
33
33
3 111
aaa
a ==





=−
Ex. 2:
4
9
2
3
2
3
3
2
2
222
==





=





−
Ex. 3: ( )
4
1
4
1
4
1
1
−=





−=− −
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O sinal negativo no
expoente indica que a base
da potência deve ser
invertida e
simultaneamente devemos
eliminar o sinal negativo do
expoente.
27
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
n
n
a
1
a =−
ou
n
n
a
a
−
=
1
Ex.: a)
2
2
1 −
= x
x
b)
3
33
3
21
3
2
3
2 −
⋅=⋅= x
xx
CUIDADO !!!
 ( ) ( )
( ) 8
1
2
1
2
1
2
3
33
3 −
=
−
=





−=− −

( )
27
1
3
1
3
1
3 3
33
3
==





=
−
 3
3
333
a
1
a
1
a
a
1
==





=





−
Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do
expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências:
a) 2
6
b) (-6)2
c) -62
d) (-2)3
e) -23
f) 50
g) (-8)0
h)
4
2
3






i)
4
2
3






−
j)
3
2
3






−
k) 028
l) 132
m) (-1)20
n) (-1)17
o)
2
5
3






−
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Primeiro eliminamos o
sinal negativo do expoente
invertendo a base.
27
2. O valor de [47
.410
.4]2
: (45
)7
é:
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
3. Qual é a forma mais simples de escrever:
a) (a . b)3
. b . (b . c)2
b) 7
4523
....
y
xxyyx
4. Sendo 7.3.2 87
=a e 65
3.2=b , o quociente de a por b é:
a) 252
b) 36
c) 126
d) 48
e) 42
5. Calcule o valor da expressão:
212
4
1
2
1
3
2
−−−






−+





−





=A
6. Simplificando a expressão
2
3
3
1
.3
4
1
2
1
.3
2
2
−





−
+





−
, obtemos o número:
a)
7
6−
b)
6
7−
c)
7
6
d)
6
7
e)
7
5−
7. Quando 3be
3
1
a −=−= , qual o valor numérico da expressão 22
baba +− ?
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
a) 2-3
=
b) 10-2
=
c) 4-1
=
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Exemplos mais complexos:
(1) ( )
33232
3
2
1
3
2
13
yx4
1
x
1
xy4
1
1
x
xy4
1
x
xy4
1
x
xy4
=⋅==








=
−
(2) ( )
( ) 622.32232
22
3
23
y.x
1
y.x
1
y.x
1
xy
1
y.x ===







=
−
(3)
( ) ( ) 912
3.33.4
3
33343343
34
b.a
1
b.a
1
b.a
1
b.a
b.a
1
===







=





−
(4) ( )
( )
( ) ( )
682324
22
34
positivo.fica
par,expoente
aelevado
negativonº
682.32.42324
2
2
34
234
111
.
1
.
1
.
1
.
1
.
yayaya
ou
yayaya
ya
ya
==





 →
==
−
=





−=−
⋅⋅
−
(5) ( )
( ) ( ) 242222
2
22
22
2
22
a.y.64
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8 ===







=
−
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece
dentro dos parênteses.
(6)
3
4
1
2
−






+
729
64
9
4
9
4
4
9
4
18
4
1
2 3
33333
==





=





=




 +
=





+
−−−
(7)
( ) ( ) ( ) =
+++
=
+⋅+
=
+
=




 +
=





+
4
1c2c2c4
4
1c21c2
2
1c2
2
1c2
2
1
c
2
2
222
4
1c4c4 2
++
ou
=⋅+⋅+⋅+=





+⋅





+=





+
2
1
2
1
c
2
1
2
1
cc
2
1
c
2
1
c
2
1
c 2
2
4
1c4c4
4
1
cc
4
1
2
c2
c
4
1
2
c
2
c
c
2
222 ++
=++=++=+++=
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27
EXERCÍCIOS
9. Efetue:
a) =46
.aa
b) =3
8
a
a
c) =







⋅







322
3
2
2
b
ca
c
ab
d) =
















3
22
2
2
33
2
2
3
3
ba
xy
ba
yx
e) ( ) =4
3x
f) =53
)(x
g) =32
)2( x
h) ( ) =
332
5 ba
i) =





4
2
3
b
a
j) =







−2
4
3
5
2
x
ab
k) =





−
−4
2
3
1
a
10. Sabendo que
2
5
4
2
−






+−=a , determine o valor de a.
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões:
=
⋅
⋅
+1n33
n
28
42
Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes,
devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos
escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por
22
e 283
por .
=
⋅
⋅
+1n3
2n
22
22
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de
mesma base.
( )
==== −−++−+
+
+
++
+
2n32n2n32n
2n3
2n
1n31
2n
22
2
2
2
2 n2
2−
ou n2
2
1
EXERCÍCIOS
11. Simplifique as expressões:
a) 1n
n2n
33
33
E +
+
⋅
⋅
= b)
( )
( )1n
1nn
4
24
E +
−
⋅
= c) 1n
2n
5
10025
G +
+
⋅
=
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27
Essa propriedade mostra
que todo radical pode ser
escrito na forma de uma
potência.
2ª PARTE: RADICIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO.
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos
escrever:
( )1nenabba nn
≥Ν∈=⇔=
Ex. 1: 4224 2
== pois
Ex. 2: 8228 33
== pois
Na raiz n
a , temos:
- O número n é chamado índice;
- O número a é chamado radicando.
2. CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS
a) n
p
n p
aa ⇔
Ex. 1: 3
1
3
22 =
Ex. 2: 2
3
3
44 =
Ex. 3: 5
2
5 2
66 =
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27
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido
contrário, ou seja, n pn
p
aa = (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice
do radical).
Exemplo: 5 35
3
22 = .
b)
aaaa 1n
n
n n
=== Ex.:
2222 13
3
3 3
===
c) nnn
baba ⋅=⋅ Ex.: 23
6
3
3
3 63 33 63
babababa ⋅=⋅=⋅=⋅
d)
n
n
n
b
a
b
a
= Ex.:
5
3
2
5
3
2
5
2
6
5
6
5
6
b
a
ou
b
a
b
a
b
a
b
a
===
e)
( ) n
mm
n
m
n
m
n
mn
bbbbb ===





=
⋅⋅
1
11
1
Ex.:
( ) 2
3
1
3
2
1
3
2
13
2
13
55555 ===





=
⋅⋅
f) nmn m
aa ⋅
= Ex.: 6233 2
333 == ⋅
EXERCÍCIOS
12.Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:
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27
a) =
100
1
b) =−
16
1
c) =
9
4
d) =− 01,0
e) =81,0
f) =25,2
13. Calcule a raiz indicada:
a) 9 3
a
b) 3
48 c) 7
t
d) 4 12
t
14.Escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) =7
b) =4 3
2
c) =5 2
3
d) =6 5
a
15. Escreva na forma de radical:
a)
=5
1
2
b)
=3
2
4
c) =4
1
x
d) =
−
2
1
8
e) =7
5
a
f) ( ) =4
1
3
ba
g) ( ) =
−
5
1
2
nm
h) =
−
4
3
m
16.De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro
negativo?
a) 1
10−
b) 2
10−
c) 3
10−
d) 4
10−
e) 10
1−
2.2 RAÍZES NUMÉRICAS
Exemplos:
a) =⋅= 24
32144
123432
32
32
12
2
2
2
4
24
=⋅=⋅
=⋅
=⋅
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Devemos fatorar 144
14432
3
3
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
24
=⋅
Forma fatorada
de 144
2433
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5
=
Forma fatorada
de 243
27
b)
=⋅== 3 233 53
333243
=⋅3 23 3
33
3
2
3
3
33 ⋅
3
2
33⋅
ou
3 2
33⋅
ou
3
93 ⋅
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
2.3 RAÍZES LITERAIS
a) 2
9
9
xx =
Escrever o radical 9
x na forma de expoente fracionário 2
9
x
não resolve o
problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte
forma:
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz.
Assim teremos:
xxxxxxxxxx 42
8
818189
⋅=⋅=⋅=⋅== +
b) 3 2123 14
xx +
= pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
3 24
3 23
12
3 23 12
3 212
xx
xx
xx
xx
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
Outros Exemplos:
a) 3 633 6
x27x.27 ⋅=
PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
Resultados
possíveis
273
3
3
3
1
3
9
27
3
=
273
3
3
3
1
3
9
27
3
=
27
2
21
23
3
3
6
3 3
x3
x3
x3
3)pordivisívelé6(poisx3
=
⋅=
⋅=
⋅=
b) 3 63 433 64
yx48yx48 ⋅⋅=⋅⋅
3
3
2
2
2
2
EXERCÍCIOS
17.Calcule:
a) =3
125
b) =5
243
c) =36
d) =5
1
e) =6
0
f) =1
7
g) =−3
125
h) =−5
32
i) =−7
1
18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:
a) =3
32
b) =3
25
c) =4
27
d) =7
81
e) =8
512
f) =8
625
19. Calcule a raiz indicada:
a) =2
4a
b) =62
36 ba
c) =42
9
4
ba
d) =
100
2
x
e) =
25
16 10
a
f) =4 2
100x
g) =8
121
h) =5 105
1024 yx
i) =4
25
1
j) =3
3
6
b
a
k) =62
4
16
zy
x
20. Simplifique os radicais:
PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
486.23.2.2
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
33
==
27
a) =5 10
xa
b) =cba 24
c) =ba3
d) =xa4
25
e) =3
432
f) =45
3
1
3. OPERAÇÕES COM RADICAIS
3.1. Adição e Subtração
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los
a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1)
( ) 331324132343 ==⋅−+=−+
2)
( ) 55555
333232323332 =⋅−+=−+ 
externos
fatores
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que
apareceram em todos os termos da soma.
3)
( ) ( ) 
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224 −=−+−=−+−
4)
( ) ( ) 32247253425723 +−=−+⋅−=−−+
EXERCÍCIOS
21. Simplifique 1081061012 −− :
22. Determine as somas algébricas:
a) =−− 333
2
4
5
222
3
7
b) =−−+
3
5
5
5
2
5
6
5
c) =+−+− 3333
382423825
d) =−−+ 4545
610712678
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:
a) =+−− 452632203285 b) =−−+− 729501518138528
PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
27
c) =−+− 201010864812456
d) =−− 10
4
1
250
4
1
90
2
3
e) =+−+ 4444
24396248696
f) =+−+− 33333
4
5
8
2216256
5
2
325
g) =−− 555
248664
h) =−+ 333
125
24
10
729
375
81
64
81
4
24. Calcule as somas algébricas:
a) =−++− xxxx 6410
b) =+−− baba 144896814
c) =−− 333
1000827 aa
d) =+−− 4 944 5
3122 aaaaa
e) =−+− aaaxaxa 434 32
f) =−−− baba 835 44
g) =−+− x
xy
x
yx
81
10094
2
h) =−− 4
4 544 4
1682
c
a
cbca
25. Considere mcmbma 368,1002,9 −=== e determine:
a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c=
26. Simplifique a expressão 





−−− 10 1056 34 42
2
1
yaayya .
3.2 Multiplicação
Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada
um:
1º
CASO: Radicais têm raízes exatas.
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
Exemplo:
( ) 824816 3
−=−⋅=−⋅
2º
CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que
possível o resultado obtido.
Exemplos: a)
155353 =⋅=⋅
b) 3 423 43 23 yxyxyxyx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ = 3 53
yx ⋅ pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e
divisão:
3 23 23 33 233 233 53 33 53
yyxyyxyyxyxyxyx ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅ +
PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
27
c)
10652652325322 =⋅=⋅⋅⋅=⋅
3º
CASO: Radicais têm índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em
seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo
denominador).
Exemplos: a)
44 24 14 24
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4
18232323232323 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
b)
12 3412 312 412
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
43
xaxaxaxaxaxa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
ATENÇÃO:
- 2222 =+ , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de
dois.
- 222 =⋅ por que?
( ) ( )2222
2
==⋅
ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de
potência, então:
222222222 12
2
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
==== →⋅=⋅
+
+opotenciaçã
deregra
3.3Divisão
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Conservamos a base e
somamos os expoentes.
A ordem dos fatores não
altera o produto
(multiplicação)
Multiplicamos numerador e denominador da fração
por 2 e transformamos na fração equivalente
27
A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles:
1º
CASO: Os radicais têm raízes exatas.
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.
Exemplo:
33:927:81 3
==
2º
CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.
Exemplos:
y
x
xy
x
xy
x
xy:x
233
3
===
33
3
3
33
2
10
20
10
20
10:20 ===
3º
CASO: Radicais com índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as
operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .
Exemplo: 66
1
6
23
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3
2222
2
2
2
2
2:2 ======
−
−
4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar
uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar
ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que
racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os
radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
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Como os índices das raízes são
iguais, podemos substituir as duas
raízes por uma só!
27
( ) 3
34
3
34
3
3
3
4
3
4
2
==⋅=
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
(a) 3
x
2
Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2
x , pois 1 + 2 = 3.
x
x2
x
x2
x
x2
xx
x2
x
x
x
2 3 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 21
3 2
3 2
3 2
3
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=⋅
+
(b) 5 2
x
1
Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3
x , pois 2 + 3 = 5.
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
1 5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 2
===
⋅
=⋅
+
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
37
4
372
37
372
37
372
37
37
37
2
37
2
22
+
=
/
+/
=
−
+
=
−
+
=
+
+
⋅
−
=
−
EXERCÍCIOS
27. Calcule
a) =−+ 737576
b) =−+ 18250325
c) =++ 333
3524812
d) =⋅ 2354
e) =⋅55
223
f) =⋅ 3234
g) =
52
108
h) =
−−
2
4.1.455 2
i) =
−+
2
5.1.466 2
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O sinal deve ser contrário, senão a raiz
não será eliminada do denominador.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
3
2
7
2
37337
2
73737 −=−⋅+⋅−=+⋅−
27
28. Simplifique os radicais e efetue:
a) =+− 33
8822 xxxx
b) =+−− 3333
19224323434
c) =−++ 32
5334 xxxxyxy
29. Efetue:
a) =+−− 32
9423 xxaxxxa
b) =−−+ aaaaa 335
445
c) =+++−+ 3216450253842 xxx
d) =−−+− 32
373 aaaabab
30. Escreva na forma mais simplificada:
a) =xx.
b) =+ xx3
c) =− aa 7
d) =
x
x3
e) =2
3
x
x
f) =−− 43
.xx
g) =7
.xx
h) =⋅3 43
aa
i) =⋅ aa4
j) ( ) =⋅ 23
aa
k) =⋅ 42
5 b
31. Efetue as multiplicações e divisões:
a) =4 223 5
.. baaba
b) =223 2
4.4 xaxa
c) =xx .10 3
d) =yxyxxy 33 22
..
e) =⋅⋅ 43
aaa
f) =
3
3 5
a
a
32. Efetue:
a) =
8 3
4 2
a
a
b) =
4 5
6 23
ba
ba
c) =
3
4 32
xy
yx
d) =
⋅
4
6
9
272
e) =⋅⋅ 43
3
1
53 bbb
f) =4
6
25.5
125.3
33. Quando
3
2
−=x , o valor numérico da expressão 23 2
−− xx é:
a) 0
b) 1
c) –1
d)
3
1
e)
3
2
−
34. Se 6
3=x e 3
9=y :
a) x é o dobro de y;
b) 1=− yx
c) yx =
d) y é o triplo de x;
e) 1=+ yx
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27
35. Racionalize as frações:
a)
x
1
b)
4x
2
+
c)
x1
3
−
d) 3
x
4
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1ª Questão:
a) 36 h)
16
81 o)
25
9
b) 36 i)
16
81
c) –36 j)
8
27-
d) –8 k) 0
e) –8 l) 1
f) 1 m) 1
g) 1 n) -1
2ª Questão:
d)
3ª Questão:
a) 263
cba b) 8
x
4ª Questão:
a)
5ª Questão:
4
65
A =
6ª Questão:
a)
7ª Questão:
9
73
8ª Questão:
a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25
9ª Questão:
a) 10
a d)
4
3y
8x g) 6
8x j)
62
8
b4a
25x
b) 5
a e) 4
81x h) 96
ba125 k) 8
a81
c)
3
8
c
ba4 f) 15
x i)
8
4
b
a81
10ª Questão:
36
25
a =
11ª Questão:
a) E = 3n
b) F = 2n –3
c) G = 5 n + 4
. 2
12ª Questão:
a)
10
1 c)
3
2 e)
10
9
b)
4
1− d)
10
1- f)
10
15
13ª Questão:
a) 3
a b) 3
62 ⋅ c) tt3
⋅ d) 3
t
14ª Questão:
a)
2
1
7
c)
5
2
3
e)
3
2
x
b)
4
3
2
d)
6
5
a
f)
2
1
3
−
15ª Questão:
a) 5
2 c) 4
x e) 7 5
a g)
5 2
1
nm
b) 3 2
4 d)
8
1 f) 4 3
ba h)
4 3
m
1
16ª Questão:
c)
17ª Questão:
a) 5 c) 6 e) 0 g) -5
b) 3 d) 1 f) 7 h) –2
i) -1
18ª Questão:
a)
3
5
2
c)
4
3
3
e)
7
3
2
g)
8
9
2
b)
3
2
5
d)
4
3
5
f)
7
4
3
h)
2
1
5
19ª Questão:
a) 2ª d)
10
x g) 4
11 j)
b
a2
b) 3
6ab e)
5
4a5 h) 2
4xy k)
3
2
yz
4x
c) 2
ab
3
2
⋅
f) x10 i)
5
1
20ª Questão:
a) 52
xa c) aba ⋅ e) 3
26⋅
b) cba 2
d) xa 2
5 f) 5
21ª Questão:
102−
22ª Questão:
a) 3
2
12
11
⋅−
b)
5
15
2 c) 223
+ d) 45
6974 −−
23ª Questão:
a) 74 c) 52312 −− e) 44
32763 ⋅+⋅ g) 5
22⋅−
b) 292− d) 103 f) 3
410⋅ h) 3
344⋅
24ª Questão:
a) x− c) 3
123 a⋅− e) aaxa −− g)
xy
x
.
10
89
.
6
−
b) ba 8716 +− d) 42
)12( aaa ⋅− f) ba 132 4
−⋅− h) 4
c
8
bc
⋅
−
25ª Questão:
a) m25− b) m31 c) m65− d) m71
26ª Questão:
a
2
y
−
27ª Questão:
a) 78 c) 3
313⋅ e) 5
43⋅ g) 24
b) 214 d) 1012 f) 24 h) 1
i) 5
28ª Questão:
a) xx 22 b) 28 c) xxy )27( −
29ª Questão:
a) xxa )( + b) aaa )123( 2
−+ c) 25 +x d) )(4 aba −
30ª Questão:
a) X d)
6
1
x
g)
2
15
x
j)
2
7
a
b) x4 e) x h)
3
5
a
k) 5b4
c) a6− f) x -7
i)
4
3
a
31ª Questão:
a)
ba 3
8
⋅
c)
5
4
x
e) 12
aa ⋅
b) 3 2
42 xaax ⋅ d) 3 222
yxyx ⋅ f) 6
a
32ª Questão:
a)
8
1
a
c)
12
5
6
1
yx ⋅
e) 12 bb5
b)
12
1
4
3
ba ⋅
− d) 2 f)
5
3
33ª Questão:
a)
34ª Questão:
c)
35ª Questão:
a)
x
x b)
4x
42x2
−
− c)
x1
x33
−
+ d)
x
x4 3 2
⋅
5. PRODUTOS NOTÁVEIS
Resumo sobre produtos notáveis:
Quadrado da soma de dois termos
•
Quadrado da diferença de dois termos
•
Produto da soma pela diferença
•
Observação: Existem fórmulas para o cálculo do cubo da soma e da
diferença entre dois termos.
•
•
1 – Resolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
2 – Resolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
3 – Resolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
Exercícios complementares
1 – Efetue:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2 – Efetue:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3 – Desenvolva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4 – Desenvolva e reduza:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5 – Desenvolva e reduza:
a)
b)
c)
d)
FATORAÇÃO – EXERCÍCIOS
1) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples).
a) ax + ay + az =
b) 4m2
+ 6am =
c) 7xy2
– 21x2
y =
2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento)
a) ax + bx + am + bm =
b) 2x + 4y + mx + 2my =
3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados)
a) 9x2
– 16 =
b) 25 – 4a2
m6
=
c) 0, 81b4
– 36
d) (a + 3)2
– 9 =
e) (m + 1)2
– (k – 2)2
=
4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos
a) x2
– 4x + 4 =
b) x2
– 6x + 9 =
c) x2
– 10x + 25 =
d) m2
+ 8m + 16 =
e) p2
– 2p + 1 =
f) k4
+ 14k2
+ 49 =
g) (m + 1)2
– 6(m + 1) + 9 =
5) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos
a) a3
+ b3
=
b) m3
– 8n3
=
c) x6
+ 64 =
d) y3
– 125 =
6) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis:
a) m8
– 1 =
b) ax3
– 10ax2
+ 25ax =
c) 2m3
– 18m =
d) [(x -3)2
– 4(x – 3) + 4] – [(x – 3)2
+ 4(x – 3) + 4] =
Respostas: 1) a) a(x + y + z); b) 2m(2m 3ª); c) 7xy(y – 3x).
2) a) (a + b).(x + m); b) (x + 2y).(2 + m)
3) a) (3x – 4).(3x + 4); b) (5 – 2am3
.(5 + 2m3
); c) (0,9b2
– 6).(0,9b2
+ 6); d) a(a + 6); e) (m –
k +3).(m + k – 1)
4) a) (x – 2)2
= (x – 2).(x – 2); b) (x – 3)2
= (x - ).(x – 3); c)(x – 5)2
= (x – 5).(x – 5) d)(m +
4)2
= (m +4).(m+4) e) (p – 1)2
= (p – 1).(p – 1); f) (k2
+ 7)2
= (k2
+ 7).(k2
+ 7); g)
(m – 2)2
= (m – 2).(m – 2)
5) a) (a + b).(a2
– ab + b2
); b) (m – 2n)(m2
+ 2mn + 4n2
); c) (x2
+ 4).(x4
– 4x2
+ 16); d) (y –
5).(y2
+ 5y + 25)
6) a) (m – 1).(m + 1).(m2
+ 1).(m4
+ 1); b) ax(x – 5).(x – 5); c) 2m(m – 3).(m + 3); d) -8.(x –
3)
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO
1) Simplifique a expressão
a) 1
b) c + 3
c)
3
3
−
+
c
c
d) c²
e) c − 3
2) Fatore:
(a + 1)² + 2 (a + 1) + 1
a) a (a + 4)
b) (a + 1)²
c) (a + 2)²
d) (a - 2)²
e) (a + 1) (a + 1 + 1)
3) Fatore x² - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)
a) (x - 2) + 3 (x - 1)
b) (x - 2) (3x2 - 5)
c) 5x - 7
d) (x - 2) (4x + 1)
e) (2x - 2) (2x - 5)
4) Fatore (x² + 9)² - 36x2
a) 3 (x² - 12x² + 3)
b) (x + 3)² . (x - 3)²
c) (x + 3) . (x - 3)
d) (x - 3)² . (x - 3)²
e) (x + 3)²
5) Fatore:
x² + 6x + 9
a) (x - 3)²
b) (x + 3)²
c) x² + 3
d) (x - 9)²
e) 3 (x + 3)²
6) Fatore:
x4
– y4
a) (x² - y²) (x - y) (x - y)
b) (x² + y²) (x + y) (x + y)
c) (x² + y²) x²
d) (x² + y²2) y²
e) (x² + y²) (x + y) (x - y)
7) Se a² - b² = 2 . (a - b)², a diferente de b, então b =
a) a
b) 2a
c) 3a
d) 4a
e) n.d.a
8) Se x² + y² = 1681 e x . y = 360 calcule x + y, sabendo que x e y são números positivos.
a) 49
b) 62
c) 54
d) 81
e) 124
9) Seja a expressão P = (x -1) (x + 2) - 2 (x + 2) (x - 5).
Se Q = 2 (x + 2) (x - 5), simplifique o quociente p/q.
10) Fatore a expressão E = a² + ba + 2a + 2b
a) E = (a + b) (a + 2)
b) E = (a + b) (a - 2)
c) E = (a - b) (a - b)
d) E = (a + b) (a + b)
e) E = (a + 2b) (a - 2)
11) Fatore a expressão:
3xy + 3 - x - 9y
a) (x - 3) . (3y - 1)
b) (x - 3) . (x + 3)
c) (x + 9) . (x - 9)
d) (x - 3) . (9y + 1)
e) (x - 3) . (3y + 1)
12) Fatore a expressão:
abd - abe + acd - ace
a) a² . (d + e) (b + c)
b) a . (d + e) (b - c)
c) a . (d - e) (b + c²)
d) a . (d - e) (b² + c²)
e) a . (d - e) (b + c)
13) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x² + y²).
a) x4
– y4
b) x4
+ 4x²y² + y4
c) x4
- 2x²y² + y4
d) x4
+ y4
e) x4
+ 2x²y² + y4
14) Simplifique a expressão:
a) 78
b) 16
c) 4
d) 24
e) 64
15) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é:
16) Fatore:
9x² - 12x + 4
a) (x + 2)²
b) (6x + 3)²
c) (3x - 2)²
d) (3x + 2)²
e) 3 (3x² - 4x)
17) Fatore:
(x + y)² - 2 (x + y) + 1
a) (x + y)² - 2 (x + y)
b) (x + y + 1)²
c) (x - y)²
d) 2 (x + y) + 12
e) (x + y)² + (x - y)
18) Calcule
a) 100 . 50
b) 100 . 25
c) 2
d) 4
e) 25
19) Fatore:
x² - 2xy + y² - z²
a) (x - z + z) . (x - y - z)
b) (x - y)² - z²
c) (x - y)²
d) (x - y) (x - y - z)
e) (x - y - z)²
20) Fatore:
4x² - z² + 4xy + y²
a) (2x - y - z)²
b) (2x + z) (2x + y)
c) (2x + y + z)²
d) (2x + y)² - z²
e) (2x + y + z) (2x + y - z)
21) Se x = + 1, calcule x² - 2x + 1.
22) Se a . b = 3/5 e a + b = -1,2, a expressão
é igual a:
a) -0,6
b) -0,5
c) 0,5
d) 0,6
e) n.d.a.
23) Desenvolva (5x - 2y)²
a) 25x² - 4y²
b) 25x² + 4y²
c) 25x² - 10xy + 4y²
d) 25x² + 10xy + 4y²
e) 25x² - 20xy + 4y²
24) Simplifique .
25) Fatore:
a)
2
2
1
2 





−x
b)
2
8
1
2 





+x
c) (2x + 1)
d) 4 





−
2
12
x
e)
2
8
1
2 





−x
26) Fatore 3xy²z³ + 6xyz³ - 3xz².
a) 3xyz . (yz + 2yz + 1)
b) 3²x²y²z . (y²z + 2yz + 1)
c) 3xz² . (y²z + 2yz - 1)
d) 3x³ . (y²z + 2yz - 1)
e) 3xz³ . (y²z + 2yz + 1)
27) Fatore a expressão:
-5x² + 25x
a) -5x² . (x² + 5)
b) -5x. (x + 5)
c) -5x² . (x - 5)
d) -5x . (x² - 5)
e) -5x . (x - 5)
28) Fatore a expressão:
15xy² - 10x²y²
a) 10xy (3 + x)
b) 15x²y² (3 - x)
c) 5xy² (3 - x)
d) 5xy² (3 + x)
e) 5xy (3 - x)
29) Fatore a expressão:
27x³y³ + 81x²y²
a) 27x²y³ . (x + 3y)
b) 27x³y³ . (x + y)
c) 81xy . (x + 3y)
d) 81x²y² . (x - 3y)
e) 9x²y² . (x - 3y)
30) Fatore a expressão:
14a²b³ + 17b³
a) b . (7a² + 17)
b) b³ . (14a² + 17)
c) b³ . (7a² + 17)
d) b² . (14a + 17)
e) b² . (2a + 17)
31) Fatore a expressão:
11a³b² - 15a²b
a) ab . (11ab - 10)
b) a²b² . (11ab - 15)
c) a²b . (11ab - 15)
d) a²b . (11ab + 15)
e) a²b² . (11ab + 15)
32) Fatore a expressão:
ax + a + x + 1
a) (x - 1) . (a + x)
b) (x + 1) . (a + 1)
c) (x - 1) . (a + 1)
d) (x - 1) . (a - 1)
e) (x - 1) . (a - x)
33) Fatore a expressão:
3a + 6
a) 3a + 2
b) 3 . (a + 1)
c) 6 . (a + 2)
d) 3 . ( a + 2)
e) 3 . (a + 6)
34) Fatore a expressão:
-2a2 - 8a
a) 2a . (a + 4)
b) 2a . (a + 2)
c) -2a . (2a + 4)
d) -2a . (a + 4)
e) -8a . (a + 4)
35) Simplifique a expressão
36) Fatore:
16x4
- 25y²
a) (2x² + 5y) . (2x² + 5y)
b) (2x² + 5y) . (2x² - 5y)
c) (4x² + 5y) . (4x² - 5y)
d) (4x² - 5y) . (4x² - 5y)
e) (4x² + 5y) . (4x² + 5y)
37) Fatore:
144 – h²
a) (144 - h) (144 + h)
b) (144 - h) (144 - h)
c) (100 - h) (44 + h)
d) (12 + h) (12 - h)
e) (12 + h) (12 + h)
38) Fatore:
2y³ - 18y
a) (y + 3)² (y - 3)³
b) (y + 3)³ (y - 3)³
c) 2y . (y + 3) (y - 3)
d) 2y . (y + 3)³
e) 2y . (y + 3) (y + 3)
39) Fatore:
2t² - 288
a) (t + 12) (t - 12)
b) (t + 287) (t - 1)
c) 2 . (t + 12) (t - 12)
d) 2 . (t + 12) (t + 12)
e) 2 . (t - 12) (t - 12)
40) Fatore:
( x + y )² – z²
a) (x + y + z)² . (x + y + z)
b) (xyz)² + (x - y - z)²
c) (x - z) . (y - z)²
d) (x + y + z) . (x + y - z)
e) (x - y - z) . (x - y - z)
41) Fatore:
a² - b² + a + b
a) (a + b) . (a - b + 1)
b) (a + b) . (a - b)
c) (a - b) . (a - b)
d) (a + b)² . (a + b + 1)²
e) (a - b)² . (a - b -1)²
42) Se x e y são números reais distintos, então:
a) (x²+y²)/(x-y) = x+y
b) (x²-y²)/(x-y) = x+y
c) (x²+y²)/(x-y) = x-y
d) (x²-y²)/(x-y) = x-y
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
43) Fatorando a² - b² obtemos:
a) a. b+ 3 (a+ b+ c)
b) 3. a- b. c
c) (a + b) (a - b)
d) a. b+ c
e) n.d.a
44) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:
a) (2x - y ).(x - 2y +3)
b) ( x + y ) . (x + 2y + 1)
c) (2x + y) . (x + y -3 )
d) x + y (2. x .y)
e) 2x +y (x + 2y + 1)
45) Fatorando x²y - xy² obtemos:
a) y. x (2- 3)
b) x (x+ 5)
c) 5.x ( 3 - y )
d) xy (x - y)
e) N.d.a
46) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:
a) (2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
b) (a. b)( 3a. 2+ b)
c) ( 2+ a. b).(3.a . 2.b)
d) 2+ a. 3b (2+ a- 3.b)
e) (2 .a + 3b ) . (6 a b)
47) (Puc) -
Se Simplificando a expressão
Quanto vai obter?
48) Simplificando a seguinte expressão
obtemos:
a) -3
b) 5
c) 1
d) 2
e) -1
49) Fatorando 6a²b + 8a obtemos:
a) 2.a ( 3ab + 4 )
b) 4.a ( 6ab + 2 )
c) 2.a + b. 2
d) 2.a.b
e) 3.b (2. b+ a. 4)
50) Simplificando a seguinte expressão
obtemos:
Fatoração
Gabarito
Questão 1 C
Questão 2 C
Questão 3 D
Questão 4 B
Questão 5 B
Questão 6 E
Questão 7 C
Questão 8 A
Questão 9 C
Questão 10 A
Questão 11 A
Questão 12 E
Questão 13 A
Questão 14 E
Questão 15 A
Questão 16 C
Questão 17 B
Questão 18 C
Questão 19 A
Questão 20 E
Questão 21 A
Questão 22 C
Questão 23 E
Questão 24 D
Questão 25 A
Questão 26 C
Questão 27 E
Questão 28 C
Questão 29 A
Questão 30 B
Questão 31 C
Questão 32 B
Questão 33 D
Questão 34 D
Questão 35 B
Questão 36 C
Questão 37 D
Questão 38 C
Questão 39 C
Questão 40 D
Questão 41 A
Questão 42 B
Questão 43 C
Questão 44 B
Questão 45 D
Questão 46 E
Questão 47 A
Questão 48 C
Questão 49 A
Questão 50 C

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Potenciação e radiciação

  • 1. ESCOLA INDÍGENA PEDRO POTI POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO PROF. RONOALDO ESCOLA INDÍGENA PEDRO POTI
  • 2. 27 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Este módulo é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão. 1ª PARTE: POTENCIAÇÃO 1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode ser indicado na forma 4 3 . Assim, o símbolo n a , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:    fatoresn n aaaaa .......= - a é a base; - n é o expoente; - o resultado é a potência. Por definição temos que: aaea == 10 1 Exemplos: a) 2733333 =⋅⋅= b) ( ) 4222 2 =−⋅−=− c) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− d) 16 9 4 3 4 3 4 3 2 =⋅=      CUIDADO !! Cuidado com os sinais.  Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos: ( ) 1622222 4 =−⋅−⋅−⋅−=− ( ) 9333 2 =−⋅−=−  Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 3. 27 ( ) 0; .. ≠=      =       =      − bcom b a b a baba a b b a n nn nnn nn Ex. 1: ( ) 2222 3 −⋅−⋅−=−  =−⋅ 24 8−  Se 2x = , qual será o valor de “ 2 x− ”? Observe: ( ) 42 2 −=− , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. ( ) 42x 22 −=−=− → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. 2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO Quadro Resumo das Propriedades ( ) n n m n m n nmnm nm n m nmnm a a aa aa a a a aaa 1 . = = = = = − ⋅ − + A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: a) nmnm aaa + =⋅ Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potências de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes. Ex. 1.: 22 222 + =⋅ xx Ex. 2.: 117474 aaaa ==⋅ + Ex. 3.: 42 34 ⋅ → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 4. 27 1296811634 42 =⋅=⋅ Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: nmnm aaa + =⋅ ou nmnm aaa ⋅=+ Exemplo: n7n7 aaa ⋅=+ b) nm n m a a a − = Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potências de bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes. Ex. 1: x x − = 4 4 3 3 3 Ex. 2: 154 5 4 −− == aa a a Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja, nm n m a a a − = ou n m nm a a a =− Exemplo: x x a a a 4 4 =− c) ( ) nmnm aa ⋅ = Nesta propriedade temos uma potência elevada a outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes. Ex. 1: ( ) 62323 444 == ⋅ Ex. 2: ( ) xxx bbb ⋅⋅ == 444 Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja, ( ) nmnm aa ⋅ = ou ( )nmnm aa =⋅ Ex.: ( ) ( )444 333 xxx ou= PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 5. 27 (d) m n m n aa = Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potência de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. Ex. 1: 2 1 2 1 xxx == Ex. 2: 3 7 3 7 xx = Ex. 3: 52525 2 1 == Ex. 4: 3 83 8 xx = Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja m n m n aa = ou m nm n aa = Ex.: 52 5 aa = e) 0bcom, b a b a n nn ≠=      Ex. 1: 9 4 3 2 3 2 2 22 ==      Ex. 2: 25 1 5 1 5 1 2 22 ==      Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n nn b a b a =      ou n n n b a b a       = Ex.: 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 =      == PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 6. 27 f) ( ) nnn baba ⋅=⋅ Ex. 1: ( ) 222 axax ⋅=⋅ Ex. 2: ( ) 3333 6444 xxx =⋅= Ex. 3: ( ) ( ) 2242 4 4 4 2 1 4 4 4 4 8133333 xxxxxx =⋅=⋅=    ⋅=⋅= Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja ( ) nnn baba ⋅=⋅ ou ( )nnn baba ⋅=⋅ Ex.: ( ) yxyxyxyx ⋅=⋅=⋅=⋅ 2 1 2 1 2 1 g) n n a 1 a =− Ex. 1: 33 33 3 111 aaa a ==      =− Ex. 2: 4 9 2 3 2 3 3 2 2 222 ==      =      − Ex. 3: ( ) 4 1 4 1 4 1 1 −=      −=− − PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente.
  • 7. 27 Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n n a 1 a =− ou n n a a − = 1 Ex.: a) 2 2 1 − = x x b) 3 33 3 21 3 2 3 2 − ⋅=⋅= x xx CUIDADO !!!  ( ) ( ) ( ) 8 1 2 1 2 1 2 3 33 3 − = − =      −=− −  ( ) 27 1 3 1 3 1 3 3 33 3 ==      = −  3 3 333 a 1 a 1 a a 1 ==      =      − Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função. EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências: a) 2 6 b) (-6)2 c) -62 d) (-2)3 e) -23 f) 50 g) (-8)0 h) 4 2 3       i) 4 2 3       − j) 3 2 3       − k) 028 l) 132 m) (-1)20 n) (-1)17 o) 2 5 3       − PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.
  • 8. 27 2. O valor de [47 .410 .4]2 : (45 )7 é: a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 3. Qual é a forma mais simples de escrever: a) (a . b)3 . b . (b . c)2 b) 7 4523 .... y xxyyx 4. Sendo 7.3.2 87 =a e 65 3.2=b , o quociente de a por b é: a) 252 b) 36 c) 126 d) 48 e) 42 5. Calcule o valor da expressão: 212 4 1 2 1 3 2 −−−       −+      −      =A 6. Simplificando a expressão 2 3 3 1 .3 4 1 2 1 .3 2 2 −      − +      − , obtemos o número: a) 7 6− b) 6 7− c) 7 6 d) 6 7 e) 7 5− 7. Quando 3be 3 1 a −=−= , qual o valor numérico da expressão 22 baba +− ? 8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências: a) 2-3 = b) 10-2 = c) 4-1 = PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 9. 27 Exemplos mais complexos: (1) ( ) 33232 3 2 1 3 2 13 yx4 1 x 1 xy4 1 1 x xy4 1 x xy4 1 x xy4 =⋅==         = − (2) ( ) ( ) 622.32232 22 3 23 y.x 1 y.x 1 y.x 1 xy 1 y.x ===        = − (3) ( ) ( ) 912 3.33.4 3 33343343 34 b.a 1 b.a 1 b.a 1 b.a b.a 1 ===        =      − (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 682324 22 34 positivo.fica par,expoente aelevado negativonº 682.32.42324 2 2 34 234 111 . 1 . 1 . 1 . 1 . yayaya ou yayaya ya ya ==       → == − =      −=− ⋅⋅ − (5) ( ) ( ) ( ) 242222 2 22 22 2 22 a.y.64 1 a.y.8 1 a.y.8 1 a.y.8 1 a.y.8 ===        = − Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses. (6) 3 4 1 2 −       + 729 64 9 4 9 4 4 9 4 18 4 1 2 3 33333 ==      =      =      + =      + −−− (7) ( ) ( ) ( ) = +++ = +⋅+ = + =      + =      + 4 1c2c2c4 4 1c21c2 2 1c2 2 1c2 2 1 c 2 2 222 4 1c4c4 2 ++ ou =⋅+⋅+⋅+=      +⋅      +=      + 2 1 2 1 c 2 1 2 1 cc 2 1 c 2 1 c 2 1 c 2 2 4 1c4c4 4 1 cc 4 1 2 c2 c 4 1 2 c 2 c c 2 222 ++ =++=++=+++= PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 10. 27 EXERCÍCIOS 9. Efetue: a) =46 .aa b) =3 8 a a c) =        ⋅        322 3 2 2 b ca c ab d) =                 3 22 2 2 33 2 2 3 3 ba xy ba yx e) ( ) =4 3x f) =53 )(x g) =32 )2( x h) ( ) = 332 5 ba i) =      4 2 3 b a j) =        −2 4 3 5 2 x ab k) =      − −4 2 3 1 a 10. Sabendo que 2 5 4 2 −       +−=a , determine o valor de a. Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões: = ⋅ ⋅ +1n33 n 28 42 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 283 por . = ⋅ ⋅ +1n3 2n 22 22 Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base. ( ) ==== −−++−+ + + ++ + 2n32n2n32n 2n3 2n 1n31 2n 22 2 2 2 2 n2 2− ou n2 2 1 EXERCÍCIOS 11. Simplifique as expressões: a) 1n n2n 33 33 E + + ⋅ ⋅ = b) ( ) ( )1n 1nn 4 24 E + − ⋅ = c) 1n 2n 5 10025 G + + ⋅ = PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 11. 27 Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência. 2ª PARTE: RADICIAÇÃO 1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO. A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: ( )1nenabba nn ≥Ν∈=⇔= Ex. 1: 4224 2 == pois Ex. 2: 8228 33 == pois Na raiz n a , temos: - O número n é chamado índice; - O número a é chamado radicando. 2. CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO 2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS a) n p n p aa ⇔ Ex. 1: 3 1 3 22 = Ex. 2: 2 3 3 44 = Ex. 3: 5 2 5 2 66 = PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 12. 27 Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário, ou seja, n pn p aa = (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical). Exemplo: 5 35 3 22 = . b) aaaa 1n n n n === Ex.: 2222 13 3 3 3 === c) nnn baba ⋅=⋅ Ex.: 23 6 3 3 3 63 33 63 babababa ⋅=⋅=⋅=⋅ d) n n n b a b a = Ex.: 5 3 2 5 3 2 5 2 6 5 6 5 6 b a ou b a b a b a b a === e) ( ) n mm n m n m n mn bbbbb ===      = ⋅⋅ 1 11 1 Ex.: ( ) 2 3 1 3 2 1 3 2 13 2 13 55555 ===      = ⋅⋅ f) nmn m aa ⋅ = Ex.: 6233 2 333 == ⋅ EXERCÍCIOS 12.Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 13. 27 a) = 100 1 b) =− 16 1 c) = 9 4 d) =− 01,0 e) =81,0 f) =25,2 13. Calcule a raiz indicada: a) 9 3 a b) 3 48 c) 7 t d) 4 12 t 14.Escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) =7 b) =4 3 2 c) =5 2 3 d) =6 5 a 15. Escreva na forma de radical: a) =5 1 2 b) =3 2 4 c) =4 1 x d) = − 2 1 8 e) =7 5 a f) ( ) =4 1 3 ba g) ( ) = − 5 1 2 nm h) = − 4 3 m 16.De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo? a) 1 10− b) 2 10− c) 3 10− d) 4 10− e) 10 1− 2.2 RAÍZES NUMÉRICAS Exemplos: a) =⋅= 24 32144 123432 32 32 12 2 2 2 4 24 =⋅=⋅ =⋅ =⋅ PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti Devemos fatorar 144 14432 3 3 2 2 2 2 1 3 9 18 36 72 144 24 =⋅ Forma fatorada de 144 2433 3 3 3 3 3 1 3 9 27 81 243 5 = Forma fatorada de 243
  • 14. 27 b) =⋅== 3 233 53 333243 =⋅3 23 3 33 3 2 3 3 33 ⋅ 3 2 33⋅ ou 3 2 33⋅ ou 3 93 ⋅ Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical. 2.3 RAÍZES LITERAIS a) 2 9 9 xx = Escrever o radical 9 x na forma de expoente fracionário 2 9 x não resolve o problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. Assim teremos: xxxxxxxxxx 42 8 818189 ⋅=⋅=⋅=⋅== + b) 3 2123 14 xx + = pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz). 3 24 3 23 12 3 23 12 3 212 xx xx xx xx ⋅= ⋅= ⋅= ⋅= Outros Exemplos: a) 3 633 6 x27x.27 ⋅= PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti Resultados possíveis 273 3 3 3 1 3 9 27 3 = 273 3 3 3 1 3 9 27 3 =
  • 15. 27 2 21 23 3 3 6 3 3 x3 x3 x3 3)pordivisívelé6(poisx3 = ⋅= ⋅= ⋅= b) 3 63 433 64 yx48yx48 ⋅⋅=⋅⋅ 3 3 2 2 2 2 EXERCÍCIOS 17.Calcule: a) =3 125 b) =5 243 c) =36 d) =5 1 e) =6 0 f) =1 7 g) =−3 125 h) =−5 32 i) =−7 1 18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) =3 32 b) =3 25 c) =4 27 d) =7 81 e) =8 512 f) =8 625 19. Calcule a raiz indicada: a) =2 4a b) =62 36 ba c) =42 9 4 ba d) = 100 2 x e) = 25 16 10 a f) =4 2 100x g) =8 121 h) =5 105 1024 yx i) =4 25 1 j) =3 3 6 b a k) =62 4 16 zy x 20. Simplifique os radicais: PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti 486.23.2.2 3 2 2 2 2 1 3 6 12 24 48 33 ==
  • 16. 27 a) =5 10 xa b) =cba 24 c) =ba3 d) =xa4 25 e) =3 432 f) =45 3 1 3. OPERAÇÕES COM RADICAIS 3.1. Adição e Subtração Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais. Exemplos: 1) ( ) 331324132343 ==⋅−+=−+ 2) ( ) 55555 333232323332 =⋅−+=−+  externos fatores Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma. 3) ( ) ( )  reduzidamaisserpodenão 532256322456532224 −=−+−=−+− 4) ( ) ( ) 32247253425723 +−=−+⋅−=−−+ EXERCÍCIOS 21. Simplifique 1081061012 −− : 22. Determine as somas algébricas: a) =−− 333 2 4 5 222 3 7 b) =−−+ 3 5 5 5 2 5 6 5 c) =+−+− 3333 382423825 d) =−−+ 4545 610712678 23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: a) =+−− 452632203285 b) =−−+− 729501518138528 PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 17. 27 c) =−+− 201010864812456 d) =−− 10 4 1 250 4 1 90 2 3 e) =+−+ 4444 24396248696 f) =+−+− 33333 4 5 8 2216256 5 2 325 g) =−− 555 248664 h) =−+ 333 125 24 10 729 375 81 64 81 4 24. Calcule as somas algébricas: a) =−++− xxxx 6410 b) =+−− baba 144896814 c) =−− 333 1000827 aa d) =+−− 4 944 5 3122 aaaaa e) =−+− aaaxaxa 434 32 f) =−−− baba 835 44 g) =−+− x xy x yx 81 10094 2 h) =−− 4 4 544 4 1682 c a cbca 25. Considere mcmbma 368,1002,9 −=== e determine: a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c= 26. Simplifique a expressão       −−− 10 1056 34 42 2 1 yaayya . 3.2 Multiplicação Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 1º CASO: Radicais têm raízes exatas. Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: Exemplo: ( ) 824816 3 −=−⋅=−⋅ 2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido. Exemplos: a) 155353 =⋅=⋅ b) 3 423 43 23 yxyxyxyx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ = 3 53 yx ⋅ pode parar aqui! Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão: 3 23 23 33 233 233 53 33 53 yyxyyxyyxyxyxyx ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅ + PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 18. 27 c) 10652652325322 =⋅=⋅⋅⋅=⋅ 3º CASO: Radicais têm índices diferentes. O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador). Exemplos: a) 44 24 14 24 1 4 2 4 1 2 2 2 1 4 1 2 1 4 18232323232323 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅ ⋅ b) 12 3412 312 412 3 12 4 3 3 4 1 4 4 3 1 4 1 3 1 43 xaxaxaxaxaxa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ATENÇÃO: - 2222 =+ , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois. - 222 =⋅ por que? ( ) ( )2222 2 ==⋅ ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 222222222 12 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 ==== →⋅=⋅ + +opotenciaçã deregra 3.3Divisão PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti Conservamos a base e somamos os expoentes. A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação) Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração equivalente
  • 19. 27 A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 1º CASO: Os radicais têm raízes exatas. Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. Exemplo: 33:927:81 3 == 2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. Exemplos: y x xy x xy x xy:x 233 3 === 33 3 3 33 2 10 20 10 20 10:20 === 3º CASO: Radicais com índices diferentes. O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical . Exemplo: 66 1 6 23 3 1 2 1 3 1 2 1 3 3 2222 2 2 2 2 2:2 ====== − − 4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!
  • 20. 27 ( ) 3 34 3 34 3 3 3 4 3 4 2 ==⋅= 2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: (a) 3 x 2 Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2 x , pois 1 + 2 = 3. x x2 x x2 x x2 xx x2 x x x 2 3 2 3 3 3 2 3 21 3 2 3 21 3 2 3 2 3 2 3 ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ + (b) 5 2 x 1 Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3 x , pois 2 + 3 = 5. x x x x x x xx x x x x 1 5 3 5 5 5 3 5 32 5 3 5 32 5 3 5 3 5 3 5 2 === ⋅ =⋅ + 3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 37 4 372 37 372 37 372 37 37 37 2 37 2 22 + = / +/ = − + = − + = + + ⋅ − = − EXERCÍCIOS 27. Calcule a) =−+ 737576 b) =−+ 18250325 c) =++ 333 3524812 d) =⋅ 2354 e) =⋅55 223 f) =⋅ 3234 g) = 52 108 h) = −− 2 4.1.455 2 i) = −+ 2 5.1.466 2 PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 7 2 37337 2 73737 −=−⋅+⋅−=+⋅−
  • 21. 27 28. Simplifique os radicais e efetue: a) =+− 33 8822 xxxx b) =+−− 3333 19224323434 c) =−++ 32 5334 xxxxyxy 29. Efetue: a) =+−− 32 9423 xxaxxxa b) =−−+ aaaaa 335 445 c) =+++−+ 3216450253842 xxx d) =−−+− 32 373 aaaabab 30. Escreva na forma mais simplificada: a) =xx. b) =+ xx3 c) =− aa 7 d) = x x3 e) =2 3 x x f) =−− 43 .xx g) =7 .xx h) =⋅3 43 aa i) =⋅ aa4 j) ( ) =⋅ 23 aa k) =⋅ 42 5 b 31. Efetue as multiplicações e divisões: a) =4 223 5 .. baaba b) =223 2 4.4 xaxa c) =xx .10 3 d) =yxyxxy 33 22 .. e) =⋅⋅ 43 aaa f) = 3 3 5 a a 32. Efetue: a) = 8 3 4 2 a a b) = 4 5 6 23 ba ba c) = 3 4 32 xy yx d) = ⋅ 4 6 9 272 e) =⋅⋅ 43 3 1 53 bbb f) =4 6 25.5 125.3 33. Quando 3 2 −=x , o valor numérico da expressão 23 2 −− xx é: a) 0 b) 1 c) –1 d) 3 1 e) 3 2 − 34. Se 6 3=x e 3 9=y : a) x é o dobro de y; b) 1=− yx c) yx = d) y é o triplo de x; e) 1=+ yx PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 22. 27 35. Racionalize as frações: a) x 1 b) 4x 2 + c) x1 3 − d) 3 x 4 PROF. RONOALDO Escola Indígena Pedro Poti
  • 23. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1ª Questão: a) 36 h) 16 81 o) 25 9 b) 36 i) 16 81 c) –36 j) 8 27- d) –8 k) 0 e) –8 l) 1 f) 1 m) 1 g) 1 n) -1 2ª Questão: d) 3ª Questão: a) 263 cba b) 8 x 4ª Questão: a) 5ª Questão: 4 65 A = 6ª Questão: a) 7ª Questão: 9 73 8ª Questão: a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25 9ª Questão: a) 10 a d) 4 3y 8x g) 6 8x j) 62 8 b4a 25x b) 5 a e) 4 81x h) 96 ba125 k) 8 a81 c) 3 8 c ba4 f) 15 x i) 8 4 b a81 10ª Questão:
  • 24. 36 25 a = 11ª Questão: a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 2 12ª Questão: a) 10 1 c) 3 2 e) 10 9 b) 4 1− d) 10 1- f) 10 15 13ª Questão: a) 3 a b) 3 62 ⋅ c) tt3 ⋅ d) 3 t 14ª Questão: a) 2 1 7 c) 5 2 3 e) 3 2 x b) 4 3 2 d) 6 5 a f) 2 1 3 − 15ª Questão: a) 5 2 c) 4 x e) 7 5 a g) 5 2 1 nm b) 3 2 4 d) 8 1 f) 4 3 ba h) 4 3 m 1 16ª Questão: c) 17ª Questão: a) 5 c) 6 e) 0 g) -5 b) 3 d) 1 f) 7 h) –2 i) -1 18ª Questão: a) 3 5 2 c) 4 3 3 e) 7 3 2 g) 8 9 2 b) 3 2 5 d) 4 3 5 f) 7 4 3 h) 2 1 5 19ª Questão: a) 2ª d) 10 x g) 4 11 j) b a2 b) 3 6ab e) 5 4a5 h) 2 4xy k) 3 2 yz 4x c) 2 ab 3 2 ⋅ f) x10 i) 5 1 20ª Questão: a) 52 xa c) aba ⋅ e) 3 26⋅
  • 25. b) cba 2 d) xa 2 5 f) 5 21ª Questão: 102− 22ª Questão: a) 3 2 12 11 ⋅− b) 5 15 2 c) 223 + d) 45 6974 −− 23ª Questão: a) 74 c) 52312 −− e) 44 32763 ⋅+⋅ g) 5 22⋅− b) 292− d) 103 f) 3 410⋅ h) 3 344⋅ 24ª Questão: a) x− c) 3 123 a⋅− e) aaxa −− g) xy x . 10 89 . 6 − b) ba 8716 +− d) 42 )12( aaa ⋅− f) ba 132 4 −⋅− h) 4 c 8 bc ⋅ − 25ª Questão: a) m25− b) m31 c) m65− d) m71 26ª Questão: a 2 y − 27ª Questão: a) 78 c) 3 313⋅ e) 5 43⋅ g) 24 b) 214 d) 1012 f) 24 h) 1 i) 5 28ª Questão: a) xx 22 b) 28 c) xxy )27( − 29ª Questão: a) xxa )( + b) aaa )123( 2 −+ c) 25 +x d) )(4 aba − 30ª Questão: a) X d) 6 1 x g) 2 15 x j) 2 7 a b) x4 e) x h) 3 5 a k) 5b4 c) a6− f) x -7 i) 4 3 a 31ª Questão: a) ba 3 8 ⋅ c) 5 4 x e) 12 aa ⋅ b) 3 2 42 xaax ⋅ d) 3 222 yxyx ⋅ f) 6 a
  • 26. 32ª Questão: a) 8 1 a c) 12 5 6 1 yx ⋅ e) 12 bb5 b) 12 1 4 3 ba ⋅ − d) 2 f) 5 3 33ª Questão: a) 34ª Questão: c) 35ª Questão: a) x x b) 4x 42x2 − − c) x1 x33 − + d) x x4 3 2 ⋅ 5. PRODUTOS NOTÁVEIS Resumo sobre produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos
  • 27. • Quadrado da diferença de dois termos • Produto da soma pela diferença • Observação: Existem fórmulas para o cálculo do cubo da soma e da diferença entre dois termos. • • 1 – Resolva: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x)
  • 28. 2 – Resolva: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) 3 – Resolva: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s)
  • 29. Exercícios complementares 1 – Efetue: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 2 – Efetue: a) b) c) d) e) f) g) h) 3 – Desenvolva: a) b) c) d) e) f) 4 – Desenvolva e reduza: a)
  • 30. b) c) d) e) f) 5 – Desenvolva e reduza: a) b) c) d) FATORAÇÃO – EXERCÍCIOS 1) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples). a) ax + ay + az = b) 4m2 + 6am = c) 7xy2 – 21x2 y = 2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento) a) ax + bx + am + bm = b) 2x + 4y + mx + 2my = 3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados) a) 9x2 – 16 = b) 25 – 4a2 m6 = c) 0, 81b4 – 36 d) (a + 3)2 – 9 = e) (m + 1)2 – (k – 2)2 = 4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos a) x2 – 4x + 4 = b) x2 – 6x + 9 = c) x2 – 10x + 25 = d) m2 + 8m + 16 = e) p2 – 2p + 1 = f) k4 + 14k2 + 49 = g) (m + 1)2 – 6(m + 1) + 9 = 5) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos
  • 31. a) a3 + b3 = b) m3 – 8n3 = c) x6 + 64 = d) y3 – 125 = 6) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis: a) m8 – 1 = b) ax3 – 10ax2 + 25ax = c) 2m3 – 18m = d) [(x -3)2 – 4(x – 3) + 4] – [(x – 3)2 + 4(x – 3) + 4] = Respostas: 1) a) a(x + y + z); b) 2m(2m 3ª); c) 7xy(y – 3x). 2) a) (a + b).(x + m); b) (x + 2y).(2 + m) 3) a) (3x – 4).(3x + 4); b) (5 – 2am3 .(5 + 2m3 ); c) (0,9b2 – 6).(0,9b2 + 6); d) a(a + 6); e) (m – k +3).(m + k – 1) 4) a) (x – 2)2 = (x – 2).(x – 2); b) (x – 3)2 = (x - ).(x – 3); c)(x – 5)2 = (x – 5).(x – 5) d)(m + 4)2 = (m +4).(m+4) e) (p – 1)2 = (p – 1).(p – 1); f) (k2 + 7)2 = (k2 + 7).(k2 + 7); g) (m – 2)2 = (m – 2).(m – 2) 5) a) (a + b).(a2 – ab + b2 ); b) (m – 2n)(m2 + 2mn + 4n2 ); c) (x2 + 4).(x4 – 4x2 + 16); d) (y – 5).(y2 + 5y + 25) 6) a) (m – 1).(m + 1).(m2 + 1).(m4 + 1); b) ax(x – 5).(x – 5); c) 2m(m – 3).(m + 3); d) -8.(x – 3) EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 1) Simplifique a expressão a) 1 b) c + 3 c) 3 3 − + c c d) c² e) c − 3 2) Fatore: (a + 1)² + 2 (a + 1) + 1 a) a (a + 4) b) (a + 1)² c) (a + 2)² d) (a - 2)² e) (a + 1) (a + 1 + 1) 3) Fatore x² - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1) a) (x - 2) + 3 (x - 1) b) (x - 2) (3x2 - 5) c) 5x - 7
  • 32. d) (x - 2) (4x + 1) e) (2x - 2) (2x - 5) 4) Fatore (x² + 9)² - 36x2 a) 3 (x² - 12x² + 3) b) (x + 3)² . (x - 3)² c) (x + 3) . (x - 3) d) (x - 3)² . (x - 3)² e) (x + 3)² 5) Fatore: x² + 6x + 9 a) (x - 3)² b) (x + 3)² c) x² + 3 d) (x - 9)² e) 3 (x + 3)² 6) Fatore: x4 – y4 a) (x² - y²) (x - y) (x - y) b) (x² + y²) (x + y) (x + y) c) (x² + y²) x² d) (x² + y²2) y² e) (x² + y²) (x + y) (x - y) 7) Se a² - b² = 2 . (a - b)², a diferente de b, então b = a) a b) 2a c) 3a d) 4a e) n.d.a 8) Se x² + y² = 1681 e x . y = 360 calcule x + y, sabendo que x e y são números positivos. a) 49 b) 62 c) 54 d) 81 e) 124 9) Seja a expressão P = (x -1) (x + 2) - 2 (x + 2) (x - 5). Se Q = 2 (x + 2) (x - 5), simplifique o quociente p/q.
  • 33. 10) Fatore a expressão E = a² + ba + 2a + 2b a) E = (a + b) (a + 2) b) E = (a + b) (a - 2) c) E = (a - b) (a - b) d) E = (a + b) (a + b) e) E = (a + 2b) (a - 2) 11) Fatore a expressão: 3xy + 3 - x - 9y a) (x - 3) . (3y - 1) b) (x - 3) . (x + 3) c) (x + 9) . (x - 9) d) (x - 3) . (9y + 1) e) (x - 3) . (3y + 1) 12) Fatore a expressão: abd - abe + acd - ace a) a² . (d + e) (b + c) b) a . (d + e) (b - c) c) a . (d - e) (b + c²) d) a . (d - e) (b² + c²) e) a . (d - e) (b + c) 13) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x² + y²). a) x4 – y4 b) x4 + 4x²y² + y4 c) x4 - 2x²y² + y4 d) x4 + y4 e) x4 + 2x²y² + y4 14) Simplifique a expressão:
  • 34. a) 78 b) 16 c) 4 d) 24 e) 64 15) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é: 16) Fatore: 9x² - 12x + 4 a) (x + 2)² b) (6x + 3)² c) (3x - 2)² d) (3x + 2)² e) 3 (3x² - 4x) 17) Fatore: (x + y)² - 2 (x + y) + 1 a) (x + y)² - 2 (x + y) b) (x + y + 1)² c) (x - y)² d) 2 (x + y) + 12 e) (x + y)² + (x - y) 18) Calcule a) 100 . 50 b) 100 . 25 c) 2 d) 4 e) 25
  • 35. 19) Fatore: x² - 2xy + y² - z² a) (x - z + z) . (x - y - z) b) (x - y)² - z² c) (x - y)² d) (x - y) (x - y - z) e) (x - y - z)² 20) Fatore: 4x² - z² + 4xy + y² a) (2x - y - z)² b) (2x + z) (2x + y) c) (2x + y + z)² d) (2x + y)² - z² e) (2x + y + z) (2x + y - z) 21) Se x = + 1, calcule x² - 2x + 1. 22) Se a . b = 3/5 e a + b = -1,2, a expressão é igual a: a) -0,6 b) -0,5 c) 0,5 d) 0,6 e) n.d.a. 23) Desenvolva (5x - 2y)² a) 25x² - 4y² b) 25x² + 4y² c) 25x² - 10xy + 4y² d) 25x² + 10xy + 4y² e) 25x² - 20xy + 4y² 24) Simplifique .
  • 36. 25) Fatore: a) 2 2 1 2       −x b) 2 8 1 2       +x c) (2x + 1) d) 4       − 2 12 x e) 2 8 1 2       −x 26) Fatore 3xy²z³ + 6xyz³ - 3xz². a) 3xyz . (yz + 2yz + 1) b) 3²x²y²z . (y²z + 2yz + 1) c) 3xz² . (y²z + 2yz - 1) d) 3x³ . (y²z + 2yz - 1) e) 3xz³ . (y²z + 2yz + 1) 27) Fatore a expressão: -5x² + 25x a) -5x² . (x² + 5) b) -5x. (x + 5) c) -5x² . (x - 5) d) -5x . (x² - 5) e) -5x . (x - 5) 28) Fatore a expressão: 15xy² - 10x²y² a) 10xy (3 + x) b) 15x²y² (3 - x) c) 5xy² (3 - x) d) 5xy² (3 + x) e) 5xy (3 - x) 29) Fatore a expressão: 27x³y³ + 81x²y²
  • 37. a) 27x²y³ . (x + 3y) b) 27x³y³ . (x + y) c) 81xy . (x + 3y) d) 81x²y² . (x - 3y) e) 9x²y² . (x - 3y) 30) Fatore a expressão: 14a²b³ + 17b³ a) b . (7a² + 17) b) b³ . (14a² + 17) c) b³ . (7a² + 17) d) b² . (14a + 17) e) b² . (2a + 17) 31) Fatore a expressão: 11a³b² - 15a²b a) ab . (11ab - 10) b) a²b² . (11ab - 15) c) a²b . (11ab - 15) d) a²b . (11ab + 15) e) a²b² . (11ab + 15) 32) Fatore a expressão: ax + a + x + 1 a) (x - 1) . (a + x) b) (x + 1) . (a + 1) c) (x - 1) . (a + 1) d) (x - 1) . (a - 1) e) (x - 1) . (a - x) 33) Fatore a expressão: 3a + 6 a) 3a + 2 b) 3 . (a + 1) c) 6 . (a + 2) d) 3 . ( a + 2) e) 3 . (a + 6) 34) Fatore a expressão: -2a2 - 8a a) 2a . (a + 4) b) 2a . (a + 2) c) -2a . (2a + 4) d) -2a . (a + 4) e) -8a . (a + 4)
  • 38. 35) Simplifique a expressão 36) Fatore: 16x4 - 25y² a) (2x² + 5y) . (2x² + 5y) b) (2x² + 5y) . (2x² - 5y) c) (4x² + 5y) . (4x² - 5y) d) (4x² - 5y) . (4x² - 5y) e) (4x² + 5y) . (4x² + 5y) 37) Fatore: 144 – h² a) (144 - h) (144 + h) b) (144 - h) (144 - h) c) (100 - h) (44 + h) d) (12 + h) (12 - h) e) (12 + h) (12 + h) 38) Fatore: 2y³ - 18y a) (y + 3)² (y - 3)³ b) (y + 3)³ (y - 3)³ c) 2y . (y + 3) (y - 3) d) 2y . (y + 3)³ e) 2y . (y + 3) (y + 3) 39) Fatore: 2t² - 288 a) (t + 12) (t - 12) b) (t + 287) (t - 1) c) 2 . (t + 12) (t - 12) d) 2 . (t + 12) (t + 12)
  • 39. e) 2 . (t - 12) (t - 12) 40) Fatore: ( x + y )² – z² a) (x + y + z)² . (x + y + z) b) (xyz)² + (x - y - z)² c) (x - z) . (y - z)² d) (x + y + z) . (x + y - z) e) (x - y - z) . (x - y - z) 41) Fatore: a² - b² + a + b a) (a + b) . (a - b + 1) b) (a + b) . (a - b) c) (a - b) . (a - b) d) (a + b)² . (a + b + 1)² e) (a - b)² . (a - b -1)² 42) Se x e y são números reais distintos, então: a) (x²+y²)/(x-y) = x+y b) (x²-y²)/(x-y) = x+y c) (x²+y²)/(x-y) = x-y d) (x²-y²)/(x-y) = x-y e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. 43) Fatorando a² - b² obtemos: a) a. b+ 3 (a+ b+ c) b) 3. a- b. c c) (a + b) (a - b) d) a. b+ c e) n.d.a 44) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos: a) (2x - y ).(x - 2y +3) b) ( x + y ) . (x + 2y + 1) c) (2x + y) . (x + y -3 ) d) x + y (2. x .y) e) 2x +y (x + 2y + 1) 45) Fatorando x²y - xy² obtemos: a) y. x (2- 3) b) x (x+ 5) c) 5.x ( 3 - y ) d) xy (x - y) e) N.d.a 46) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos: a) (2 .a + 2b ) . (3.a .2b)
  • 40. b) (a. b)( 3a. 2+ b) c) ( 2+ a. b).(3.a . 2.b) d) 2+ a. 3b (2+ a- 3.b) e) (2 .a + 3b ) . (6 a b) 47) (Puc) - Se Simplificando a expressão Quanto vai obter? 48) Simplificando a seguinte expressão obtemos: a) -3 b) 5 c) 1 d) 2 e) -1 49) Fatorando 6a²b + 8a obtemos: a) 2.a ( 3ab + 4 ) b) 4.a ( 6ab + 2 ) c) 2.a + b. 2 d) 2.a.b e) 3.b (2. b+ a. 4) 50) Simplificando a seguinte expressão obtemos:
  • 42. Gabarito Questão 1 C Questão 2 C Questão 3 D Questão 4 B Questão 5 B Questão 6 E Questão 7 C Questão 8 A Questão 9 C Questão 10 A Questão 11 A Questão 12 E Questão 13 A Questão 14 E Questão 15 A Questão 16 C Questão 17 B Questão 18 C Questão 19 A Questão 20 E Questão 21 A Questão 22 C Questão 23 E Questão 24 D Questão 25 A Questão 26 C Questão 27 E Questão 28 C Questão 29 A Questão 30 B Questão 31 C Questão 32 B Questão 33 D Questão 34 D Questão 35 B Questão 36 C Questão 37 D Questão 38 C Questão 39 C Questão 40 D Questão 41 A Questão 42 B Questão 43 C Questão 44 B Questão 45 D Questão 46 E Questão 47 A Questão 48 C Questão 49 A Questão 50 C