O documento discute as propriedades de potenciação, definindo potência como uma expressão contendo uma base e um expoente. As propriedades incluem potências de expoente zero e um, multiplicação e divisão de potências com a mesma ou diferentes bases, potência de uma potência, e potências com expoentes negativos.

1. Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 1.3 - Potenciação
Amintas Paiva Afonso

2. POTÊNCIAS
Amintas Paiva Afonso

3. POTÊNCIAS
O que é uma Potência?
1. Potência de Expoente 0
2. Potência de Exponente 1
3. Multiplicação de Potências de Igual Base e Distinto Expoente
4. Multiplicação de Potências de Distinta Base e Igual Exponente
5. Divisão de Potências de Igual Base e Distintos Exponentes
6. Divisão de Potências de Distinta Base e Igual Expoente
7. Potência de uma Potência
8. Potência de Expoente Negativo
Potências de Bases 2 e 3.

4. O que é uma Potência?
Potência é uma expressão que consta de uma
BASE e um EXPOENTE.
O que é uma Base e um Expoente?
a
2
b
4
BASE EXPOENTE
(-5,3)
8
4



5


4

5. O qué significa uma Potência?
Potência é uma forma abreviada de escrever
uma multiplicação recorrente.
2
4
(-5,3)
5
2



5

4
= 2  2 22
O 2 se multiplica por si mesmo as
vezes que indica o expoente 4.
= (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3)




5

4



5


4
= 
Obs: O Expoente 1 não se
escreve. Se a base não tem
expoente se assume que é 1.
n
m
= n  n…n
n se multiplica por si memo as
vezes que indica o exponente m.
m vezes

6. Algo importante:
Leitura de uma Potência.
2 - Expoente 2, Quadrado. Ex:
6
3 - Expoente 3, Cubo. Ex:
6
- Em Geral se pode usar “ELEVADO A”.
Parênteses em uma Potência.
Não é o mesmo  32 e 2  3
3  3 33
9 9
2 x
3 g

7. 1 - Propriedade:
Potência de Expoente Zero.
0
2
= 1
0
2 - Propriedade:
Potência de Expoente Um.
1
2
= 2
Exceção
0
0
m = 1
Não Existe
1
n
= n

8. 3 - Propriedade:
Multiplicação de Potências de Base Igual
e Expoente Distinto.
Sabendo que: 2
4
= 2  2  2  2
4 veces
Qual será o resultado de?
3
4
 3
2
6
= 3
= 3
4+2
3333 3 =
4 vezes 2 vezes No Total são
3 333333
6 vezes
a
 n
n
b
= n
a+b
Em Geral

9. 3 - Propriedade:
Multiplicação de Potências de Base Igual
e Expoente Diferente.
Resolver usando a Propriedade da Potência:
5
2
3
 2

2
7
8
a) =

3

7


5


5


5
b) = 



4




4




4
3

5

-6



1



1



1
c) = 



2




2




2
2
5
 7
3
 2
2
2
d)  7 =
Ordene
  
 7
5
=
=
Resultado Final
2

10. 4 - Propriedade:
Multiplicação de Potências de Base
Distinta e Expoente Igual.
Sabendo que: 2
4
= 2  2 2 2
4 vezes
Qual será o resultado de?
2
 3
5
2
2
= 15
= 3)
5  5 3  =
3 (5 3)  (5  3)
2 vezes 2 vezes No Total são
2
2 vezes
(5 

a
 n
m
a
= (n • m)
a
Em Geral

11. 4 - Propriedade:
Multiplicação de Potências de Base
Distinta e Expoente Igual.
Resolver usando a Propriedade da Potência:
6
6
6
 2

4
56
4
6
a) =



4

4


5

2


4
b) = 



1




3




1
3

3

3



5


3


3
c) = 



3




2




1
8
3
 5
4
 7
3
d)  6 =
Ordene
  
 30
3
=
=
Resultado Final
4
4

12. 5 - Propriedade:
Divisão de Potências de Base Igual e
Expoente Distinto.
Sabendo que: 2
4
= 2  2 2 2
4 vezes
Qual será o resultado de?
4
: 3
3
2
4 vezes
4
2 = ______________ 3  3  3  3
3
= ─
3
3  3
2 vezes
4

e 1
4
3
_
3
=
3
_
3

3 3  
= 1  1  3  3 = 3
2
O anterior se pode
separar assim
─3
4 - 2
Mais Rápido = 3 =
2
3
2
3
4
a
: n
n
b
= n
a-b
Em Geral

13. 5 - Propriedade:
Divisão de Potências de Base Igual e
Expoente Distinto.
Resolver usando a Propriedade de Potência:
5
: 2
2
3
8
 
: d) a) =
5
8
b)  9
8
8 4
5 
12
c) 3 5 =
5 
12
e)
2
4
 2
 
2
1
2
1

3 6
10 
2
3 7
2 
10
  15 25 f) 9 9

14. 6 - Propriedade:
Divisão de Potências de Distintas Bases e
Igual Expoente.
Sabendo que: 2
4
= 2  2 2 2
4 vezes
Qual será o resultado de?
9
4
: 3
4
4 vezes
4
4 = ______________ 9  9  9  9
9
= ─
3
3  3
4 vezes
4

y 1
4
O anterior se pode
separar assim
9
3
= _
9
3
_ 
9 9
 
4
= 3  3  3  3 = 3
─9
Mais Rápido =
4
3
9 m
4
3
4
 3  3
_ _
3 3

 


4
3
a
: n
a
a
=(m : n)
Em Geral

15. 6 - Propriedade:
Divisão de Potências de Distintas Bases e
Igual Expoente.
Resolver usando a Propriedade da Potência:
3
: 10
5
3
3
 
: d) a) =
5
6
b)  5
12
3 4
15 
2
c) 3 4 =
5 
12
e)
2
4
 4
 
2
1
4
1

3 6
10 
2
6 3
4 
5
  25 25 f) 3 9

16. 7 - Propriedade:
Potência de uma Potência.
Sabendo que: 24
= 2  2 22
4 vezes
Qual será o resultado de?
5
2
) 6
=
2•6
12
= 15
( 5
2
5
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
     6 vezes
5  5
 5  5  5  5  5 5  5  5  5 5 = 5
12 veces
12
(m ) a b
a • b
=m
Em Geral

17. Resolver usando a Propriedade da Potência
2 )3 a) (
3
3 )1 b) (
3 )2 c) (


3
9 )0 d) (
4
2 )4 e) (
2
3 )4 f) (
7
5 )2 g) (


1

4

=
=
-4)-3 h) (
 2


2
1
=
=
=
=
=
=
7 - Propriedade:
Potência de uma Potência.

18. 8 - Propriedade:
Potência com Expoente Negativo.
Exemplos
- 4
2
0,6
- 3
- 10
(-7)
- 2




5


4

19. 8 - Propriedade:
Potência com Expoente Negativo.
- 4
2
- 3
0,6
=
__ 1
2
4
=
__ 1
0,6
3
4
=
__1_
(-5)
- =
7
__ 3
2
-
_3_
En General
a
a a
 a

1 
 m 
m



n
m
m
n




 








ó

20. 8 - Propriedade:
Potência com Expoente Negativo.
Assim, podemos aplicar a propriedade
várias vezes sobre um mesmo número.
7
2
=
__ 1
7
-2 7
2
=
__ 1
7
-2 =
7
-2
=
__ 1
7
2 7
-2
=
__ 1
7
2 =

21. 8 - Propriedade:
Potência com Expoente Negativo.
Exercicios: Trocar o sinal do expoente.
 6 4

3
1,12
1
6
4
3
1
1,12
   6 5

 





3
3
2
1

 6 5
3
2
3






22. Observe que
 10 2
 92
 82
 72
 6 2
 5 2
 4 2
 3 2
 2 2
 12
 02
1
2
2 1  
1
4
1
2   
2 2
2
1
8
1
3   
2 3
2
1
1
2 4   
2
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
4 16
1
1
2 5   
2
5 32
1
1
2 6   
2
6 64

23.  10 3
 93
 83
 73
 6 3
 5 3
 4 3
 3 3
 23
 13
 03
1
3
3 1  
1
9
1
2   
3 2
3
1
27
1
3   
3 3
3
1
1
3 4   
3
59049
19683
6561
2187
729
243
81
27
9
3
1
4 81
1
1
3 5   
3
5 243
1
1
3 6   
3
6 729
Observe que

24. Curiosidades
1) Dos números naturais, excluidos
o 1, são o 8 e o 27 os únicos cujyo
cubo dá exatamente algarismos que
somam 8 e 27, respectivamente.
8 3

512   
5 1 2 8
27 3

19683     
1 9 6 8 3 27
2) O número de dias do ano (365) é
igual à soma dos quadrados de três
números naturais consecutivos.
10 2  11 2 
122
100  121  144 
350
E de dois números consecutivos
13 2 
142
169  196 
350
2
1 1
2
11 
121
2
111 12321
2
1111 
1234321
2
11111 
123454321

3) 