Matematica unidade 08_seja

Matemática e suas Tecnologias • Matemática 1
Módulo 1 • Unidade 8
Potenciação e
radiciação
Para início de conversa...
Discutimos anteriormente as quatro operações aritméticas: adição,
subtração, multiplicação e divisão. Agora trabalharemos com mais duas:
a potenciação e a radiciação. Ambas são úteis em diversas situações, seja
para realizarmos representações numéricas, seja para efetuarmos cálculos
de forma mais rápida. Compreender essas operações e saber utilizá-las
para resolver problemas é importante para o entendimento de diversas
aplicações matemáticas. O problema abaixo retrata bem essa situação.
Com cerca de 51% de brasileiros, o Orkut, comunidade base-
ada em Redes Sociais criada pelo Google, é um campo fértil
para a boataria, ou para o Hoax, como são chamadas as men-
sagens de cunho duvidoso que circulam pela Internet.
Na disseminação desses boatos, duas características são im-
portantes: a densidade da rede do internauta e os graus de
separação. A densidade da rede do internauta significa, de for-
ma simples, quantos contatos esse internauta tem. Já o grau
de separação é a distância que separa você de outra pessoa
na rede social. Por exemplo, o grau de separação entre você e
seu amigo é um e entre você e
o amigo de seu amigo é dois.
Por um usuário de Orkut,
com muitos amigos, irá trafe-
gar a maioria das mensagens
que circulam entre os bra-
sileiros. Em outras palavras,
quem tem mais amigos no
Orkut também recebe mais
boatos por e-mail.

Isso porque o Orkut possibilita o envio de mensagens a seus amigos e aos ami-
gos dos seus amigos (grau um e grau dois, respectivamente).
Sendo assim, se você tem 10 amigos e cada amigo seu tem mais dez amigos, um
boato que circula no Orkut tem o potencial de atingir 100 pessoas. Felizmente, o
Orkut permite apenas a comunicação em até dois graus de separação. Se fosse
possível enviar mensagens para toda a minha rede em até cinco graus de separa-
ção, um boato como o de um sequestro, enviado por mim a meus 54 amigos do
Orkut, poderia atingir mais de um milhão de pessoas. Um pesadelo.
O texto foi adaptado. A versão completa pode ser encontrada em:
http://informatica.terra.com.br/interna/0,,OI359546-EI1684,00.html
Como você pensa que, ao final do texto, se chegou ao valor de um milhão de pessoas?
Objetivos de aprendizagem
ƒƒ Definir os conceitos de potenciação e radiciação.
ƒƒ Operar com potenciação e radiciação.
ƒƒ Verificar que as duas operações são inversas entre si.

Seção 1
Potenciação
Situação problema
Pensemos numa situação em que uma pessoa fica sabendo de um boato, não neces-
sariamente verdadeiro, e gasta 10 minutos para contar para os seus três melhores amigos.
Creio que é assim que as fofocas espalham-se. Imagine que cada um dos três amigos resolve
fazer a mesma coisa e 10 minutos depois contam a novidade para três colegas que ainda não
a conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia sempre a transmitia para três colegas de-
sinformados, gastando, para isso, 10 minutos.
Veja como a fofoca espalha-se e complete a tabela:

Tempo (minutos) Novos alunos que ouvem a fofoca
Representação em forma
de potência
10 3 31
20 3 x 3 32
30 3 x 3 x 3
40
50
60
70
a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no período entre 20 e 30 minutos?
b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato na primeira meia hora?
c) Se, na escola onde estudam, há 364 alunos, em quantos minutos todos os
alunos ficaram sabendo do boato? Lembre-se que a quantidade de pessoas
que ficam sabendo do boato acumula-se. Por exemplo, a partir do momen-
to que a primeira pessoa conta para outras três, já são quatro sabendo do
boato. No segundo momento, já são 1 + 3 +9 e assim sucessivamente.
Atividade
O caso da disseminação da fofoca mostra uma situação em que a potenciação
pode ser útil. Ela nos auxilia na representação de números grandes e, de certa forma, faci-
lita cálculos com esses números. Além disso, apresenta a evolução da ordem de grandeza
desses números.
A notação an
, onde a é um número real e n é um número natural diferente de zero, é a repre-
sentação de uma potência. a é chamado de base e n é o expoente, com n significando a quan-
tidade de vezes que a base aparece como fator de uma multiplicação.

Assim:
24
= 2 x 2 x 2 x 2
36
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
510
= 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Perceba que esta notação facilita a escrita, simplificando a comunicação e a
representação numérica.
Por definição, consideram-se verdadeiras as seguintes afirmações:
a1
= a
a0
= 1, para qualquer número a ≠ 0
a-n
=
1
n
a
, para qualquer número a ≠ 0 e para qualquer número inteiro n.
Fractal é uma forma geométrica irregular que normalmente está dividida em
partes e cada parte é uma cópia reduzida da forma toda. A palavra fractal vem do
latim fractus, que significa quebrado, partido ou, ainda irregular. Vários fractais são
verdadeiras obras de arte. Algumas pessoas chegam a duvidar que, por trás de tanta
beleza, haja fórmulas matemáticas avançadas. Veja alguns exemplos de fractais feitos
em computador, a partir de fórmulas matemáticas. São ou não são muito belas?

Além desses fractais, construídos com a utilização da Informática, outros mais
simples podem ser encontrados. Um deles é oTriângulo de Sierpinsky (descoberto pelo
matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construído a partir de um triângulo inicial e
uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte central. A cada triângulo
restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo:
Observe que, com base nesse desenho, podemos realizar algumas operações
matemáticas com a utilização da potenciação.
Fase Número de Triângulos
1 1 30
2 3 31
3 9 32
4
5
6
7
8
9
10

a) Escreva em forma de potência quantos triângulos haveria na fase 50?
_______________.
b) Que fração do triângulo da fase 1 permanece pintada na fase 5?
________________
c) E na fase 10? ________________.
A Água em Números
Estoque total de água do planeta: 1,5 bilhão de Km3
Volume mundial disponível para consumo: 9 mil de Km3
Superfície da Terra coberta pela água: 372 milhões de Km3
1,4 bilhão de pessoas carecem de acesso à água potável, o que corresponde
aproximadamente a um sexto da população mundial;
2.400 milhões dos habitantes do planeta não têm acesso a serviços de sanea-
mento adequados, ou seja, o equivalente a 40% dos habitantes do planeta;
Fonte: Departamento de Informação Pública da ONU, DPI/2283/Rev.1, Dezembro de 2002

a) Observe que aparecem diversos valores grandes. Veja alguns desses núme-
ros escritos de outras formas:
ƒƒ 1,5 bilhão de Km3
= 1.500.000.000 de km3
= 1,5 x 109
de km3
ƒƒ 9 mil de km3
= 9.000 de km3
= 9 x 103
de km3
ƒƒ 372 milhões de km3
= 372.000.000 de km3
= 3,72 x 108 de km3
b) No texto, aparecem ainda outros números. Escreva esses números, usando
outras representações:
a) 1,4 bilhão de pessoas =
b) 1100 milhões de pessoas =
c) 2400 milhões dos habitantes =
É normal o uso da notação científica, isto é a escrita de um número com auxílio
de potências de base 10. Geralmente, usa-se o seguinte formato:
A x 10n
Nessafórmula,Aéumnúmeromaiorque1emenorque10,enéoexpoentede10.
Para escrever um número muito grande em notação científica, procede-se
a divisão sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre
1 e 10, lembrando que ao dividirmos um número por 10 há um deslocamento da vír-
gula para a esquerda. A quantidade de divisões efetuadas, ou seja, a quantidade de
deslocamentos da vírgula é o expoente do 10. Observe o exemplo:
Hoje vivem na terra cerca de 6 bilhões de habitantes.
6 bilhões = 6.000.000.000 = 6 x 109

Você sabia que a massa da Terra é
aproximadamente 6,02 x 1024
kg? Isto repre-
senta 6.020.000.000.000.000.000.000.000 kg.
Como vê, a notação inicial é muito mais con-
veniente. Veja outros valores escritos em
notação científica e escreva-os em sua repre-
sentação decimal:
a) Raio da Terra: 6,40 x 106
m =
b) Massa da Lua: 7,44 x 1022
kg =
c) Distância Terra-Lua (centro a centro): 3,84 x 108
m =
Observe que até agora a notação científica foi utilizada para representar valores muito gran-
des. Acontece que ela também pode ser utilizada para representar valores muito pequenos.
Em Biologia, Química e tecnologias computacionais, costuma-se fazer muito uso desse tipo
de notação.
Para escrever um número muito pequeno em notação científica, procede-se a multiplicação
sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre 1 e 10, lembrando que ao multi-
plicarmos um número por 10 há um deslocamento da vírgula para a direita. A quantidade de
multiplicações efetuadas, ou seja, a quantidade de deslocamentos da vírgula é representada
por um número. Esse número com o sinal negativo é o expoente do 10.
O exemplo a seguir mostra porque o sinal do expoente é negativo. Para representar o número
0,000000000000000000000006 em notação científica, poderíamos pensar da seguinte forma:
−
= = = × 24
24
6 6
0,000000000000000000000006 6 10
1000000000000000000000000 10

Represente os valores seguintes em notação científica:
a) 34000000000000000
b) 1230000000000
c) 0,000000000123
d) 0,000000173
Represente os valores abaixo em notação decimal:
a) 1,23x108
b) 3,4x105
c) 5,3x10-6
d) 1,2x10-8
Seção 2
Radiciação
Situação problema 2:
Ainda com base no que você estudou na seção anterior, tente colocar nos quadrados
os valores que torne as igualdades verdadeiras:
2 3 4
a) = 9 a) = 27 a) = 16
2 3 4
b) = 64 b) = 1000 b) = 81
2 3 4
c) = 100 c) = 64 c) = 10000

Perceba que nessa atividade você conhecia o resultado da potenciação e queria des-
cobrir a base. Veja o exemplo:
2
= 9
Veja que aqui estávamos procurando um número que elevado ao quadrado (2) tem 9
como resultado. Nesse caso, dizemos que estamos realizando a operação inversa da poten-
ciação. É o que denominamos radiciação e dizemos que a raiz quadrada de 9 é o número que
poderia substituir o quadradinho, no caso 3.
Outro exemplo:
3
= 27
Aqui procuramos um número que elevado ao cubo (3) tem 27 como resultado. A raiz
cúbica de 27 é o número que poderia substituir o quadradinho, 3.
=3
27 3 porque =3
3 27
Generalizando: se um número A for elevado a um expoente n ( n
A ) resultando em um
valor B ( =n
A B ), então a raiz enésima de B ( n
B ) será A ( =n
B A ), logo:
=n
B A porque =n
A B
A, B e n devem ser números reais e n deve ser maior que zero.
Os elementos da radiciação possuem nomes específicos, na operação =n A B ,
n é o índice;
A é o radicando;
é o radical;
B é a raiz.
16 se escreve sem o índice, pois quando o índice é 2 ele não é representado.

Calcule os resultados das seguintes raízes:
16 =
=3
27
=4
256
=5
32
=6
1000000
Você sabe o que são números irracionais?
Nem sempre conseguimos encontrar um valor inteiro como resultado de uma raiz de um nú-
mero natural. Por exemplo 5 , onde precisaríamos encontrar um número que elevado ao qua-
drado (2) tem 5 como resultado. Em casos como esse, podemos utilizar a calculadora ou atribuir
uma aproximação para o resultado pretendido.
Números como esse pertencem ao conjunto dos números irracionais, isto é, números que não
podem ser escritos em forma de fração.
Coloque nos  os símbolos = ou ≠.
a) 25 + 16  41
b) +100 36  10 + 6
c) ⋅100 36  10 · 6
d) +2 2
10 6  10 + 6
e) +2 2
10 6  10 + 6
f) +2 2
10 6  136
7

Momento de reflexão
Potenciação, radiciação, notação científica. Pois é, muito cálculo e muita coisa para se
pensar. Esses assuntos foram tratados nessa unidade e cada um tem sua importância, seja
para resolver problemas, efetuar cálculos ou para representação numérica de forma diferen-
ciada. Muito disso já pode ter sido visto por você em outros momentos, porém pode ser que
isso já faça algum tempo. Mas, se tudo isso é novidade para você, não ser preocupe, o que
importar é saber reconhecer o que foi aprendido e o que ainda precisa ser reforçado, e escre-
ver sobre isso poder orientar você na busca de ampliação de seu conhecimento. É isso que
propomos aqui, pense e escreva sobre as seguintes questões:
ƒƒ O que foi mais difícil na discussão dos conteúdos tratados?
ƒƒ O que mais chamou a atenção?
ƒƒ Já deparou com esses conteúdos ao estudar outras disciplinas? O que especificamente?
Momento
de
reflexão

Voltando à conversa inicial...
As operações de Potenciação e Radiciação foram tratadas nessa unidade. Vimos que
a representação de números por meio das potências torna mais simples a representação de
quantidades muito grandes ou muito pequenas. Dizer 5x1012
é bem mais simples e econômi-
co do que escrever 5.000.000.000.000, da mesma forma que 3x10-7
é mais interessante de se
escrever do que 0,0000003.
A radiciação, como inversa da potenciação, foi trabalhada ao mesmo tempo em que
vimos a impossibilidade de se calcular diretamente algumas raízes cujo resultado são núme-
ros irracionais. Essas podem ser calculadas por aproximação, com o auxílio da calculadora.
Voltando ao problema apresentado inicialmente, sobre o Orkut, primeiramente é im-
portante dizer que quando o autor fala de dois graus de separação ele se refere aos seus
amigos e aos amigos de seus amigos. Considerando cinco graus de separação teremos:
Grau de
separação
Quantidade de novas pessoas
atingidas
Total de pessoas atingidas pelo
boato
1 54 54
2 54 x 20 = 1.080 1.080 + 54 = 1.134
3 1.080 x 20 = 21.600 21.600 + 1.134 = 22.734
4 21.600 x 20 = 432.000 432.000 + 22.734 = 454.734
5 432.000 x 20 = 8.640.000 8.640.000 + 454.734 = 9.094.734
São nove milhões, noventa e quatro mil, setecentos e trinta e quatro pessoas: muita
gente!
Você já pensou em um número que está em todo lugar. Que tal assistir a um filme e
pensar sobre isto? O filme é Número 23 dirigido por Joel Schumacher.
Ao assistir a esse filme, fique atento como a presença dos números influencia as diver-
sas ações da personagem principal.

Referências
Imagens
• http://www.sxc.hu/photo/789420
• http://www.flickr.com/photos/rosepetal236/2511852611/
• http://www.flickr.com/photos/craft_uas/1693597432/
• http://www.flickr.com/photos/49403380@N00/2437476071/
• http://www.flickr.com/photos/doodle_m/4678606798/
• http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1220957 • Ivan Prole.
• http://www.sxc.hu/985516_96035528.
Bibliografia consultada
PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemática. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa;
AMARAL, Ana Lúcia.. (Org.). ProJovem Urbano. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Na-
cional de Inclusão de Jovens, 2008, v. 1,2,3,4,5,6.
POZO, Juan Ignacio et al. (Org.); tradução de Beatriz Affonso Neves. A Solução de Pro-
blemas: Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.

Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
O que
perguntam
por aí?
Atividade 1 (ENEM 2010)
Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocor-
re pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados
com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 mi-
lhões (107
) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed.
93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através
dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em
litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?
a) 10-2
b) 103
c) 104
d) 106
e) 109

Atividade 2 (ENEM 2011)

Caia na
Rede!
Na onda dos fractais
Na atividade 1 desta unidade, falamos um pouco sobre os fractais, essas imagens sur-
preendentes realizadas a partir de padrões matemáticos. Se você ficou interessando em co-
nhecer mais sobre os fractais, tenho duas dicas para te dar.
A primeira dica é o site: www.fractarte.com.br.
Lá você poderá encontrar mais formas parecidas com
as vistas na atividade. Clique no link galeria e visite
as imagens que estão expostas. Caso queria aprender
um pouco mais sobre fractais e como eles são elabo-
rados, clique no link artigos, nele você vai encontrar
muita informação interessante.
Caso você queira ter um fractal só seu, a se-
gunda dica é baixar um arquivo de Excel, disponível
no site: info.abril.com.br/downloads/mandelbrot-
-macro. Com este arquivo você poderá gerar fractais
para salvar em seu computador.

Seção 1 – Potenciação
Situação problema
9 alunos
3 + 9 + 27 = 39 alunos
Em 50 minutos todos os alunos da escola ficam sabendo do boato. Observe:
Tempo (minutos) 10 20 30 40 50
Novos alunos que ouvem a fofoca 3 9 27 81 243
3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363
363 +1(o que cria a fofoca) = 364 (número de alunos)
Atividade 1
Fase Número de triângulos
1 1 30
2 3 31
3 9 32
4 27 33
5 81 34
6 243 35
7 729 36
8 2187 37
9 6561 38
10 19683 39
a) 349
triângulos
b)
 
 
 
4
3
4
c)
 
 
 
9
3
4

Fase Fração pintada
1 1
2
3
4
3
 
=  
 
2
9 3
16 4
4
 
=  
 
3
27 3
64 4
5
 
 
 
4
3
4
6
 
 
 
5
3
4
... ...
10
 
 
 
9
3
4
Atividade 2
a) 1,4 bilhão de pessoas = 1,4 x 109
de pessoas = 1.400.000.000 de pessoas
b) 1100 milhões de pessoas = 1,1 x 109
de pessoas = 1.100.000.000 de pessoas
c) 2400 milhões dos habitantes = 2,4 x 109
dos habitantes = 2.400.000.000 dos
habitantes
Atividade 3
a) 6.400.000 m
b) 74.400.000.000.000.000.000.000 Kg
c) 384.000.000 m
Atividade 4
a) 34000000000000000 = 3,4 x 1016
b) 1230000000000 = 1,23 x 1012
c) 0,000000000123 = 1,23 x 10-10
d) 0,000000173 = 1,73 x 10-7

Atividade 5
a) 1,23x108
=123000000
b) 3,4x105
= 340000
c) 5,3x10-6
=0,0000053
d) 1,2x10-8
= 0,000000012
Situação problema 2
2 3 4
a) 3 = 9 a) 3 = 27 a) 2 = 16
2 3 4
b) 8 = 64 b) 10 = 1000 b) 3 = 81
2 3 4
c) 10 = 100 c) 4 = 64 c) 10 = 10000
Seção 2 – Radiciação
Atividade 6
16 = 4
=3
27 3
=4
256 4
=5
32 2
=6
1000000 10
Atividade 7
a) 25 + 16 ≠ 41
b) +100 36 ≠ 10 + 6
c) ⋅100 36 = 10 · 6
d) +2 2
10 6 = 10 + 6

e) +2 2
10 6 ≠ 10 + 6
f) +2 2
10 6 = 136
O que perguntam por aí?
Atividade 1
Resposta: Letra E
Atividade 2
Resposta: Letra A

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