O documento descreve métodos para determinar sombras projetadas de figuras planas nos planos de projeção, incluindo: 1) Método das sombras virtuais para determinar sombras de vértices de polígonos 2) Método do plano luz/sombra passante para localizar pontos de quebra de sombras 3) Normas para traçar sombras em desenhos a papel

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sombras – Figuras Planas

2. MÉTODO DAS SOMBRAS VIRTUAIS
Para determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção,
pode-se recorrer à determinação da sombra real ou sombra virtual dos pontos
(vértices) da figura plana.
xz l’
θ l’’
A
B l’’’
l
As
Av
Bs
C
Bv
x Cs
xy

3. MÉTODO PLANO LUZ/SOMBRA PASSANTE
Outra forma de determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de
projecção, é através de um plano luz-sombra passante que localiza os pontos que a
figura plana projecta sobre o eixo x, ou seja os pontos de quebra da sombra. Direcção
luminosa no lado esquerdo, e foco luminoso no lado direito.
xz xz
l
Bs
As A As A
Bs B B λ
λ
Qs Q L
Q Qs
P ν P ν
Ps
i Ps i
x C x C
Cs
Cs
xy xy

4. MÉTODO PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOMBRA PRÓPRIA
NUMA FIGURA PLANA
Apesar de na maioria das vezes ser aparente a face da figura plana que está
sombreada, existe um método para determinar a sombra própria numa figura plana.
Considerar um movimento rotativo qualquer e analisar a partir do mesmo vértice, a
sequência na figura e na figura-sombra. Se as duas sequências apresentam a mesma
ordem, a face visível está iluminada.
xz l’
θ l’’
A
B l’’’
l
As
Av
Bs
C
Bv
x Cs
xy

5. NORMAS PARA OS TRACEJADOS DAS SOMBRAS
Apesar do desenho digital possibilitar um sombreado regular, existem normas
consensuais para a indicação de sombras em desenho a papel, utilizando um tracejado
com as seguintes situações:
Sombra própria - tracejado paralelo ao eixo x, em ambas as projecções;
Sombra projectada nos planos de projecção, via direcção luminosa – tracejado
perpendicular à direcção luminosa, em ambas as projecções;
Sombra projectada nos planos de projecção, via foco luminoso – tracejado a 45º
(a.d.) em ambas as projecções, ou seja perpendicular às projecções da direcção
convencional da luz.

6. FIGURAS PLANAS
CONTIDAS EM L2
PLANOS PARALELOS
A UM DOS PLANOS DE
Bs2
B2
PROJECÇÃO
A2 As2
No caso dos polígonos, a
sombra será semelhante à
C2
figura, mas com tamanho Cs2
diferente, excepto se houver D2
pontos de quebra.
x Ds
A1 D1 B1 C1
Pretende-se a sombra (hφ)
projectada do quadrado [ABCD]
nos planos de projecção, situado
no 1.º diedro e contido num
plano frontal φ, considerando um
foco luminoso L.
L1

7. É dado um quadrado
[ABCD] contido num
y≡ z
plano frontal, com os
C2
pontos A (-2; 3; 1) e C
(0; 3; 6) como vértices
Cs2 B2
opostos do polígono.
Bs2
Determina a sombra do D2
quadrado [ABCD] nos
planos de projecção, Ds2 A2
considerando uma
Qs Q’s
direcção luminosa,
x
com a projecção As1
horizontal a fazer um
ângulo de 50º (a.d.) com
o eixo x, e com a
(hφ) D1 C1 A1 B1
projecção frontal a fazer
um ângulo de 30º (a.d.)
com o eixo x.

8. Determinar a parte Determinar a parte da sombra que se situa
Círculos Contidos em da sombra que se
situa no SPHA, que
no SPFS, que será uma elipse; através de um
quadrado que inscreve o círculo na projecção
Planos Paralelos a um será um segmento
de círculo.
horizontal, transpondo o círculo para o
paralelograma na projecção frontal para
dos Planos de Projecção desenhar a sombra.
l2
No caso dos círculos, primeiro é
averiguar se a sombra tem (fν ) ≡ i2 I2 C2 ≡ H2 O2 ≡ D2 E2≡ F2 B2≡ K2 ≡ L2
pontos de quebra, através do A2 ≡ J2 ≡ M2 ≡ G2
Ds2 Ks2
Js2
método do plano luz/sombra Es2
Cs2
passante. Se a recta de
intersecção do plano luz/sombra Ov1
Os2
passante com o plano que
contém o círculo, é exterior ao
círculo, não há pontos de x Ps Hv2 Q
Fs2 s
J1 D1 K1
quebra. Mv2 Gv2 Lv2
C1 E1
Pretende-se a sombra
projectada do círculo nos planos A1 B1
O1
de projecção, situado no 1.º
diedro e contido num plano i1 I1 P1 Q1
H1 F1
horizontal ν, considerando M1 L1
G1
direcção convencional da luz.
l1

9. É dado um círculo contido num plano frontal, com 3 cm de raio e centro no ponto O (3;
4). Determina a sombra produzida pela figura nos planos de projecção, considerando a
direcção luminosa convencional.
Averiguar se a sombra
tem pontos de quebra,
através do método do
plano luz/sombra
passante. Se a recta de l2
intersecção do plano
luz/sombra passante
A2 O2 B2
com o plano que contém
o círculo, é exterior ao i2 I2
círculo, não há pontos Q2 Q’2
de quebra. E2
C2
Os2 ≡ N2
Determinar a parte
M2 D2
da sombra que se Av1 Bv1
situa no SPFS, que
será um segmento x Qs2 Q’s2
de círculo. Cs1
Es1
Ms1
Ns1
Ds1
(hφ) ≡ i1 I1 A1 ≡ M1 C1 O1≡ D1 E1 B1 ≡ N1
l1
Determinar a parte da sombra que se situa no SPHA,
que será uma elipse; através de um rectângulo que
inscreve a metade do círculo na projecção frontal,
transpondo a metade círculo para o paralelograma na
projecção horizontal para desenhar a sombra.

10. FIGURAS PLANAS
CONTIDAS EM L2
PLANOS NÃO fα ≡ h α
PARALELOS AOS
PLANOS DE B2
PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra
A2 Av1 C2
projectada do triângulo As2 Bs2 Bv1
[ABC] nos planos de x Qs Q’s
projecção, situado no 1.º A1
diedro e contido num plano
oblíquo α, considerando
um foco luminoso L.
Cs1
B1
C1
Determinar as sombras reais dos três vértices
do trângulo.
Como as sombras reais existem em planos
diferentes, há pontos de quebra, que serão L1
obtidos via o método das sombras virtuais
(como opção).

11. É dado um quadrado
[ABCD], situado no fδ ≡ e2 ≡ fδr
1.º diedro e contido Cr
num plano vertical δ, C2
que faz um diedro de
45º (a.d.) com o D2
Dr Cs2
Plano Frontal de
Projecção. O lado
[AB] do quadrado
mede 5 cm e faz um
ângulo de 20º com o Br B2
Plano Horizontal de Bs2
Projecção, sendo A A2
Ar
(4; 2). O afastamento Ds2
de B é inferior a A.
Determina a sombra (e1)
do quadrado [ABCD] x ≡ hδr
B1
nos planos de
projecção, C1 As1
Av2
considerando uma
direcção luminosa,
com as suas
projecções a fazerem A1
ambas um ângulo de D1
60º (a.e.) com o eixo
x. hδ

12. É dado um plano vertical δ, que faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. O
plano δ contém um círculo com 2,5 cm de raio, cujo centro é o ponto O (3; 4). Determina a sombra
projectada do círculo nos planos de projecção, considerando a direcção luminosa
convencional. fδ ≡ e ≡ f 2 δr
Ar A2 i2
ir
Br H2 B2
Hr
Ir I2
Mr
M2
Cr O2 Hs2
Gr
Or G2 C2
As2
Gs2
Fr
Nr Dr F2 D2
N2
E2 Bs2
Er
(e1) Fs2
x ≡ hδr Ns Ms
G1 Cs1
H 1 ≡ F1 Es1
N1 Ds1
O1 ≡ A1 ≡ E1
B1 ≡ D1
M1 C1
I1
hδ ≡ i1