O documento descreve métodos geométricos auxiliares para mudança de diedros de projeção em geometria descritiva. Explica a nomenclatura dos novos planos de projeção e como transformar figuras geométricas de um plano a outro através de exemplos.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Métodos Geométricos Auxiliares I
Mudança de Diedros de Projecção

2. GENERALIDADES
Quando se utiliza o método da mudança do diedro de projecção é necessário
designar os planos de projecção e as projecções novas dos pontos com uma
nomenclatura específica.
O plano xy (o Plano Horizontal de Projecção) passa a ser designado por plano
1, com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A1,
como normalmente o é.
O plano xz (o Plano Frontal de Projecção) passa a ser designado por plano 2,
com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A2, como
normalmente o é.
O plano yz (o Plano Perfil de Projecção) passa a ser designado por plano 3,
com a projecção de um ponto A nesse plano a ser identificado como A3, como
normalmente o é.
Os novos planos que vão substituir planos existentes passam a ser designados
por plano 4, plano 5, etc.; com a projecção de um ponto A nesses planos a
serem identificados como A4, A5, etc., respectivamente.

3. A relação entre um novo plano de projecção e um existente deve sempre ser de
ortogonalidade entre os dois planos.
plano 2
A2
plano 4
A4
B2 A
α
C2
C C4 B4
B
x’
x
C1
A1
B1
plano 1

4. O método da mudança do diedro de projecção desenvolve-se com as partes
seguintes:
1 – Escolher o plano a ser substituído;
2 – Escolher a posição do novo plano de projecção a ser introduzido;
3 – Manter a projecção do objecto sobre o plano de projecção que se mantém,
mantendo as restectivas coordenadas;
4 – Determinar a nova projecção do objecto sobre o novo plano de projecção
a ser introduzido, com novas coordenadas.

5. TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA HORIZONTAL
Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a
transformação num segmento de recta horizontal.
plano 2
B2
B2 2
4
A2
B
A2
A B4 2
x 1
plano 4
B4
x
A4
A1 V .G .
x’ A4
A1
B1
plano 1
B1

6. TRANSFORMAÇÃO DE UM SEGMENTO DE RECTA
OBLÍQUO NUM SEGMENTO DE RECTA FRONTAL
Pretende-se determinar a V.G. do segmento de recta oblíquo [AB], via a
transformação num segmento de recta frontal.
plano 2
plano 4
B2
B2
B4
A2 V.G
A .
A4 B
4
A2 x’ B
4
2
A x 1
x A1
A1
B1
4
plano 1
1
B1

7. TRANSFORMAÇÃO DE UMA RECTA HORIZONTAL
NUMA RECTA DE TOPO
Pretende-se transformar a de recta horizontal h numa recta de topo.
plano 2
4
1
plano 4
A2
h2 A2
h2
A4 ≡ (h4) A
h
2
(h )
x 1
4
A ≡
4
x h1
h1 A1
plano 1
A1
x’

8. É dado um
segmento de recta
oblíquo [AB],
sendo A (1; 2; 4) e y≡ z
B (-3; 1; 2).
x’
Determina a V.G.
A2
do segmento de
recta [AB],
transformando-o B2
num segmento de
A
recta horizontal 4
2
com 2 cm de cota. x 1
V.G B
. 4 B1
A1
2
4

9. É dado um
segmento de recta
oblíquo [AB],
sendo A (1; 2; 4) e y≡ z
B (-3; 1; 2).
A4
V.G.
Determina a V.G. A2 B4
4
do segmento de 1
recta [AB],
transformando-o B2
num segmento de
recta frontal com 3 2
cm de x 1
x’
afastamento. B1
A1

10. É dada uma recta
frontal f, que passa
pelo ponto A (2; 3)
e faz um ângulo de
30º (a.d.) com o
x’
Plano Horizontal de f2
Projecção.
Transforma a recta
f numa recta A2
vertical.
A4
2
≡(
x 1
f 4)
A1
f1
2
4

11. É dada uma recta
horizontal h, com
3 cm de cota e faz
um ângulo de 45º
(a.e.) com o Plano
Frontal de x’
Projecção.
h2 A2
Transforma a
recta h numa recta
A4
de topo.
≡
(h 4
)
2
x 1
A1
4
1
h1

12. É dada uma recta
oblíqua r, que passa
pelo ponto R (2; 1).
r2
A projecção horizontal
da recta r faz um
ângulo de 25º (a.d.)
com o eixo x. P2
S2
A projecção frontal da
recta r faz um ângulo r4
x’ S P4
de 35º (a.d.) com o R2
4
R
eixo x. 4
2
Desenha as projecções x 1
de um segmento de
recta [RS], com 4 cm
R1
de comprimento,
situado no 1.º diedro e
S1 4
contido na recta r. P1
1
r1

13. TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO VERTICAL NUM
PLANO FRONTAL
Pretende-se determinar a V.G. de um triângulo contido num plano vertical α,
via a transformação do plano α num plano frontal.
plano 2 fα
B2
fα B2
plano 4
C2 B4
α x’ C2 B
4
B A
A2 A4 A2 4
C4 V.
G.
C
A
C
4
2
x’ x 1
x A1
A1
B1
C1
4
hα B1 1
C1
plano 1
hα

14. TRANSFORMAÇÃO DE UM PLANO DE TOPO NUM
PLANO HORIZONTAL
Pretende-se a transformação de um plano de topo γ num plano horizontal.
fγ
2
4
fγ
plano 2
plano 4
γ
)
4γ
(h
(h4γ)
x’ 2
x 1
x
plano 1
hγ x’
hγ

15. É dado um triângulo
[PQR], contido num
plano de topo,
2
sendo P (2; 3; 1), Q y≡ z fα 4
(-2; 4; 4) e R (1; 3).
Determina a V.G. do
triângulo. Q2
R2
P2 R4
2
x G. Q 4 1
R1 V.
P4
P1
x’ Q1
hα

16. É dado um rectângulo
[ABCD], contido num fγ
plano vertical γ. O i2
plano γ faz um diedro
de 60º (a.e.) com o C2 B2
Plano Frontal de
4
Projecção.
1
A diagonal [AC] está
contida no β1,3, sendo
que A tem 2 cm de D2 A2
4
cota e C tem 6 cm de
B
afastamento.
2
O lado [AB] do x 1
4
A
polígono é vertical e o
.
V.G
lado [BC] é horizontal.
A1 ≡ B1
Desenha as
4
C
projecções do
rectângulo e 4
D
determina a sua V.G.
C1 ≡ D1
x’
h γ ≡ i1

17. É dado um plano
vertical δ, que faz um
diedro de 30º (a.d.)
com o Plano Frontal fδ
de Projecção.
São dados dois
pontos A (1; 4) e B (2;
0), pertencentes ao A
A2 4
plano δ. x’
C2
Os pontos A e B são
vértices de um V.G
.
C
4
triângulo equilátero
[ABC], contido no 2
plano δ. x B2
B
1
4
Desenha as A1
projecções do B1
triângulo, construindo
C1 4
a figura em V.G., após 1
transformar o plano δ hδ
num plano frontal com
2 cm de afastamento.

18. É dado um plano θ,
Trata-se de um plano de topo (um
definido por duas plano projectante frontal), pois as
rectas, r e s, projecções frontais das duas
rectas estão coincidentes.
concorrentes no ponto
P (1; 3).
r2 ≡ s2
As projecções da
recta r são paralelas
x’ F2
entre si, e a sua
projecção horizontal P2
faz um ângulo de 40º
F
(a.d.) com o eixo x. 4
P
A recta s é passante, 4
R1 ≡ R2 2
e a sua projecção x F1 1
frontal está
P1 R
coincidente com a 4
projecção frontal de r. s1
De que plano se s
4
trata?
r
4
Transforma o plano θ r1 2
4
num plano horizontal
com 2,5 cm de cota.