1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Paralelismo Resumo © antónio de campos, 2009.

2. recta – recta, geral: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via os paralelos das suas projecções frontal e horizontal.

3. Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2) r 1 r 2 s 1 s 2 x y ≡ z A 1 A 2 B 1 B 2 C 2 C 1

4. recta de perfil – recta de perfil: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via rectas auxiliares.

5. Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p ’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4). r 2 s 2 s 1 r 1 A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p. p’ 1 ≡ p’ 2 x y ≡ z N 2 M 1 M 2 N 1 A 1 A 2 B 1 B 2 p 1 ≡ p 2

6. recta – plano, geral: Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.

7. Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α , oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r , sabendo que f α faz, com o eixo x , um ângulo de 60º (a.d.). r 2 r 1 f α s 2 s 1 F 1 F 2 H 1 H 2 h α x y ≡ z A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2

8. recta – bissector β 1,3 : Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções simétricas.

9. Um plano de rampa, ρ , têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a , é paralela ao β 1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ . a 1 a 2 f α ≡ h α ≡ i 1 i 2 A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β 1,3 . Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i , definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i ) é o ponto I . x P 1 P 2 f ρ h ρ F 1 F 2 H 1 H 2 I 2 I 1

10. recta – bissector β 2,4 : Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções paralelas.

11. Um plano de rampa, ρ , têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a , é paralela ao β 1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ . a 1 a 2 f α ≡ h α ≡ i 1 i 2 A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β 1,3 . Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i , definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i ) é o ponto I . x P 1 P 2 f ρ h ρ F 1 F 2 H 1 H 2 I 2 I 1

12. recta de perfil – bissector β 1,3 : Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta de perfil do bissector, via rectas auxiliares.

13. Uma recta h , horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β 1,3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas. h 2 h 1 p 1 ≡ p 2 Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p ’, contido no β 1,3 . Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p ’ e do β 1,3 , A e B . Depois vêm as rectas r e s , paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p , o ponto S . p’ 1 ≡ p’ 2 r 1 r 2 s 1 s 2 Para determinar os traços do plano θ , recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h’ , paralela a h e concorrente com a recta p em S . h’ 2 h’ 1 f θ ≡ h θ A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – f θ fica definido por F e F’ (os traços frontais das rectas h e h’ ) e h θ é concorrente com f θ no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). Nota que os traços de θ ficam coincidentes. Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p , o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p , paralela ao β 1 ,3 , e os traços de p nos planos de projecção. x R 1 R 2 A 1 A 2 B 2 B 1 S 1 S 2 F 1 F 2 F’ 1 F’ 2

14. recta de perfil – bissector β 2,4 : Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta do bissector, via rebatimento.

15. Uma recta de perfil p é paralela ao β 2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços a recta p nos planos de projecção. p 1 ≡ p 2 ≡ h π ≡ f π ≡ i 1 ≡ i 2 ≡ e 2 ≡ f π r ≡ H 2 ≡ F 1 (e 1 ) ≡ h π r i r F r ≡ F 2 p r A solução passa pela utilização de um plano auxiliar de perfil π que contém a recta p . Depois uma recta auxiliar de perfil passante i , pertencente ao β 2,4 , rebatida, permite desenhar a recta p rebatida, para depois obter as projecções de F e H da recta p . x A 1 A 2 A r H 1 H r

16. plano – plano, geral: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com duas rectas concorrentes de um plano paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano, via os traços dos planos (frontal e horizontal) .

17. Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao f α e h α . Determina os traços de um plano δ , paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3). f α h α h 2 h 1 f δ h δ A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h , passando pelo ponto P , e portanto pertencente ao plano δ . x y ≡ z P 1 P 2 F 1 F 2

18. plano de rampa - plano de rampa: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com uma recta de um plano paralela a outra de outro plano, via rectas auxiliares.

19. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ , têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ , têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si. r 1 r 2 s 1 s 2 x f ρ h ρ f σ h σ F 1 F 2 H 1 H 2 H’ 1 H’ 2 F’ 1 F’ 2