1) O documento descreve como representar figuras planas em projeções ortogonais utilizando processos geométricos auxiliares como o rebatimento. 2) Explica como representar um triângulo no plano α utilizando o rebatimento do plano para o Plano Horizontal de Projeção. 3) Também explica como representar um quadrado no plano ψ utilizando o rebatimento do plano para o Plano Frontal de Projeção.

1. SOLUÇÕES
16
R EPRESENTAÇÃO DE F IGURA S P L ANA S III
180.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pelas
suas projecções, em função dos dados – o plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os
seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ponto A é um ponto de hα, que é
uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A recta h, horizontal (de nível),
com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar
as projecções do ponto B. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção,
pelo que o triângulo [A BC] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projec-
A
ção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A
é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de
traçados optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a char-
neira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da
charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa
rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para
tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati-
mento (note que se omitiu a representação do plano mas que este corresponde à per-
pendicular à charneira que passa por F1). Os traços do plano α são concorrentes num
ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao com-
passo, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à per-
pendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr. O traço frontal do plano α em
rebatimento (fαr) passa por Fr e é concorrente com hαr no eixo X (fαr está definido por
f f
dois pontos). A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectas horizontais de um plano
são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – hr está definida
por um ponto e uma direcção. Por B1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém
o arco do rebatimento de B) e determinou-se Br sobre hr (B é um ponto de h, pelo que Br tem de se situar sobre hr). A partir de Ar e Br, cons-
B
truiu-se o triângulo [A BC] em V.G., em rebatimento, determinando-se Cr. Para determinar as projecções do triângulo, inverteu-se o rebatimento
A
do plano α, invertendo o rebatimento de C. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelo ponto C – a recta f, frontal (de frente). A recta fr
passa por Cr e é paralela a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espa-
ço, em projecções e em rebatimento). A recta fr é concorrente com hαr em Hr – H é o traço horizontal de f e é um ponto da charneira, pelo que se
determinaram imediatamente as projecções de H (H1 ≡ Hr e H2 está no eixo X). Pelas projecções de H conduziram-se as projecções homónimas
H
de f (que é paralela a fα). Em seguida conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém o arco do rebatimento de C) – o ponto em que esta intersecta f1 é C1. C2 situa-se sobre f2, na linha de chamada de C1. A partir das pro-
jecções de C, construíram-se as projecções do triângulo [A BC].
A
181.
Em primeiro lugar representou-se o plano ψ, pelos seus traços, e os
pontos A e O, pelas suas projecções, em função dos dados. O pon-
to A é um ponto de f ψ, que é uma recta frontal (de frente) do plano
com afastamento nulo. A recta f, frontal (de frente), com 3 cm de
afastamento e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu
para determinar as projecções do ponto O. O plano ψ não é paralelo
a nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado [A B CD] A
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é
necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez
que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção, no sentido
de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ψ
para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr),
pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 2, pois A é um ponto da char-
neira. Para rebater o plano ψ há que rebater o seu traço horizontal,
o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto H
(traço horizontal da recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H,
o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento
(note que se omitiu a representação do plano mas que este corres-
ponde à perpendicular à charneira que passa por H2). Os traços do
plano ψ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que
é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazendo
centro nesse ponto e raio até H1, transportou-se essa distância até à
perpendicular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr. O traço
horizontal do plano ψ em rebatimento (h ψ r ) passa por H r e é
h
(Continua na página seguinte)
59

2. SOLUÇÕES
concorrente com f ψr no eixo X (hψr está definido por dois pontos). A recta f r passa por Hr e é paralela a f ψr (rectas frontais de um plano são
h
paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento) – f r está definida por um
ponto e uma direcção. Por O2 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o
arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre f r (O é um ponto de f, pelo que Or tem de se situar sobre f r). Com centro em Or e raio até
O
A r desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções
do quadrado, inverteu-se o rebatimento do plano ψ, invertendo o rebatimento de B, C e D. Para inverter o rebatimento de C conduziu-se, em
rebatimento, uma recta por C – a recta h, horizontal (de nível). A recta hr passa por Cr e é paralela a hψr (rectas horizontais de um plano são
paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta hr é con-
corrente com f ψr em Fr – F é o traço frontal de h e é um ponto da charneira, pelo que se determinaram imediatamente as projecções de F
(F2 ≡ Fr e F1 está no eixo X). Pelas projecções de F conduziram-se as projecções homónimas de h (que é paralela a hψ). Em seguida condu-
F
ziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de C) – o
ponto em que esta intersecta h2 é C2. C1 situa-se sobre h1, na linha de chamada de C2. Para inverter o rebatimento de B e D conduziu-se, em
rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta r. A recta r r passa por Br e Dr e é concorrente com hψr em H’r (H’ é o traço horizontal de r)
H
e é concorrente com f ψr em F’r (F’ é o traço frontal de r e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediata-
F
mente – F’2 ≡ F’r e F’1 está no eixo X). Por H’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se H’2 no eixo X – H’1 situa-se sobre hψ. Pelas projecções de F’ e H’ conduziram-se as
projecções homónimas da recta r. Por Br e Dr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à char-
neira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de B e D, sobre as projecções homónimas da recta
r. A partir das projecções de B, C e D, construíram-se as projecções do quadrado [A B CD]. Note que a inversão do rebatimento de B e D se
A
poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, à semelhança do efectuado para inverter o reba-
timento do vértice C. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a duas rectas para inverter o rebatimento
(uma recta por ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois a recta r contém os dois pontos.
182.
Em primeiro lugar representou-se o plano µ, pelos seus traços, e o ponto
O, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta h, horizontal
(de nível), com 3 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se
recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano µ não é para-
lelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se
projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o
recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano µ
para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hµ – hµ ≡ e1 ≡ hµr).
Para rebater o plano µ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa
rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por
exemplo. Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que
contém o arco do seu rebatimento (note que se omitiu a representação do
plano mas que este corresponde à perpendicular à charneira que passa
por F1). Os traços do plano µ são concorrentes num ponto fixo (um ponto
do eixo X, que é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso,
fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até
à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr. O traço frontal
do plano µ em rebatimento (fµr) passa por Fr e é concorrente com hµr no
f
eixo X (f µr está definido por dois pontos). A recta hr passa por Fr e é para-
f
lela a hµr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas
ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento)
– hr está definida por um ponto e uma direcção. Por O1 conduziu-se uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre hr (O é O
um ponto de h, pelo que Or tem de se situar sobre hr). Uma vez que um
dos vértices do polígono tem cota nula (situa-se sobre hµ) e o seu lado de maior cota é horizontal (paralelo a hµ), infere-se que a circunferência
circunscrita ao pentágono é tangente a hµ. Assim, com centro em Or desenhou-se uma circunferência tangente a hµr – um dos vértices do polí-
gono (o vértice A, por exemplo) é o ponto de tangência da circunferência com hµr. Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebati-
mento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente
A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. Para inverter o rebatimento de C e D conduziu-se, em rebatimento, uma recta pelos dois pontos – a recta h’,
horizontal (de nível). A recta h’r passa por Cr e Dr e é paralela a hµr e a hr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao
traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). A recta h’r é concorrente com f µr em F’r – F’ é o traço frontal de h’. Por
F’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e
determinou-se F’1 no eixo X – F’2 situa-se sobre f µ. Pelas projecções de F’ conduziram-se as projecções homónimas de h’ (que é paralela a hµ
e a h). Em seguida, por Cr e Dr conduziram-se perpendiculares à charneira (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm
os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta h’. O processo
repetiu-se para os pontos B e E. A recta h’’ é a recta horizontal (de nível) a que se recorreu para inverter o rebatimento dos dois pontos, e F’’ é
o seu traço frontal. A partir das projecções dos cinco pontos desenharam-se as projecções da figura. Note que a inversão do rebatimento de B,
C, D e E se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano, conforme exposto no relatório do exercí-
cio 180. Tal possibilidade resultaria, no entanto, na necessidade de se ter de recorrer a quatro rectas para inverter o rebatimento (uma recta por
ponto) o que, na situação apresentada, se evitou, pois cada recta contém dois pontos.
60

3. SOLUÇÕES
183.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e o
pontos P, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P é
um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com
cota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [PQ] do qua-
P
drado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um
ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais preci-
samente, está contido no plano α e não é possível representá-lo direc-
tamente em projecções. O plano α não é paralelo a nenhum dos
planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto P é um ponto do Plano Hori-
zontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados
optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a
charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1,
pois P é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que rebater
o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto A (A é um ponto qualquer de f α, escolhido aleatoriamente,
A
para rebater f α). Para tal conduziu-se, por A 1, uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém
o arco do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes
num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira) –
com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que
passa por A 1 e obteve-se A r. O traço frontal do plano α em rebatimento (f αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X (f αr está definido
f f
por dois pontos). Em rebatimento, a partir de Pr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [PQ] faz com hα – 30°) e determinou-se Qr
P
sobre f αr (o ponto Q tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f α). A partir de Pr e Qr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento,
obtendo R r e Sr. Para inverter o rebatimento de S conduziu-se, em rebatimento, uma recta por Sr – a recta f, frontal (de frente). A recta f r pas-
sa por Sr e é paralela a f αr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecções
e em rebatimento). A recta f r é concorrente com hαr em Hr – H é o traço horizontal de f. H é um ponto da charneira, pelo que as suas projec-
ções se determinam imediatamente – H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X. Pelas projecções de H conduziram-se as projecções homónimas de f
(que é paralela a f α). Em seguida, por Sr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém os arcos do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta f O processo repetiu-
-se para o ponto R. A recta f é a recta frontal (de frente) a que se recorreu para inverter o rebatimento de R e H’ é o seu traço horizontal.
A partir das projecções dos quatro pontos, desenharam-se as projecções do quadrado.
184. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os
pontos A e C, pelas suas projecções, em função dos dados – o plano α
é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao
eixo X. A recta f, frontal (de frente), com 2 cm de afastamento e pertencente
ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projecções do
ponto A. A recta f ’, frontal (de frente), com 5 cm de afastamento e perten-
cente ao plano, foi a recta a que se recorreu para determinar as projec-
ções do ponto C. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que o quadrado [A BCD] não se projecta em V.G. em ne-
A
nhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal
de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Para rebater o plano α há
que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto P (P é um ponto qualquer de fα, escolhido aleatoriamente,
P
para rebater f α). Para tal conduziu-se, por P1, uma perpendicular à char-
neira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorrentes no ponto M,
que é fixo (é um ponto da charneira) – com o recurso ao compasso, fazen-
do centro em M e raio até P2, transportou-se M2P2 para a perpendicular à
charneira que passa por P1 e obteve-se Pr. O traço frontal do plano α em
rebatimento (f αr ) passa por P r e é concorrente com h α r no ponto M r
f
(f αr está definido por dois pontos). Para rebater o ponto A, é necessário re-
f
bater uma recta a que o ponto pertença – a recta f, por exemplo. H, o tra-
ço horizontal de f é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Hr ≡ H1.
A recta f em rebatimento, fr, passa por Hr e é paralela a f αr (rectas frontais
de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no
espaço, em projecções e em rebatimento) – fr está definida por um ponto
e uma direcção. Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do
rebatimento de A) e determinou-se A r sobre fr (A é um ponto de f, pelo que A r tem de se situar sobre fr). O processo repetiu-se em relação à
A
recta f ’ (a recta que contém o ponto C), obtendo-se Cr sobre f ’r (H’ é o traço horizontal da recta f ’). A partir de A r e Cr construiu-se o quadrado
H
(Continua na página seguinte)
61

4. SOLUÇÕES
em VG., em rebatimento, obtendo Br e Dr. Para inverter o rebatimento de D conduziu-se, em rebatimento, uma recta por Dr – a recta r (note que
a recta r é a recta suporte do lado [CD] do quadrado). A recta rr passa por Cr e Dr e é concorrente com f αr em Fr (F é o traço frontal de r) e é
C F
concorrente com hαr em H’’r (H’’ é o traço horizontal de r e é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediata-
H
mente – H’’1 ≡ H’’r e H’’2 está no eixo X). Por Fr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F1 no eixo X – F2 situa-se sobre f α. Pelas projecções de F e H’’ conduziram-se as pro-
jecções homónimas da recta r (note que as projecções de r têm necessariamente de passar pelas projecções homónimas do ponto C, pois C
é um ponto da recta r). Por Dr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de D, sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento de B con-
duziu-se, em rebatimento, uma recta por Br – a recta s (note que a recta s é a recta suporte do lado [A B] do quadrado e é paralela à recta r). A
A
recta rr passa por A r e Br e é paralela à recta rr (o paralelismo verifica-se no espaço, em projecções e em rebatimento). As projecções da recta
s determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto A (que é um ponto da recta s) e são paralelas às projecções
homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas). Por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal
à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinaram-se as projecções de B, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir
das projecções dos quatro vértices do polígono, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento de B e D se poderia
ter processado, por exemplo, com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano, conforme exposto no relatório do exercício 182.
185.
Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto Q,
pelas suas projecções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β2/4,
pelo que tem os seus traços coincidentes. A recta h, horizontal (de nível), com
5 cm de cota e pertencente ao plano, foi a recta a que se recorreu para deter-
minar as projecções do ponto Q. O plano δ não é paralelo a nenhum dos pla-
nos de projecção, pelo que o hexágono não se projecta em V.G. em nenhum
dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de Projecção (a
charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço
frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço
frontal da recta h), por exemplo. Sobre o rebatimento de F, de fδ e de Q, ver
relatório do exercício 182, uma vez que os dois exercícios são semelhantes.
Com o compasso, fazendo centro em Qr e com 4 cm de raio (o raio da cir-
cunferência circunscrita ao hexágono é igual ao comprimento do lado do
hexágono) desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e cons-
truiu-se o hexágono em V.G., em rebatimento. Dois dos lados do hexágono
são horizontais (de nível), pelo que são paralelos ao traço horizontal do plano
(ou seja, em rebatimento são paralelos a hδr, pois rectas horizontais de um
plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no
espaço, em projecções e em rebatimento). Para inverter o rebatimento recor-
reu-se a rectas horizontais (de nível) do plano (as rectas suporte dos lados
horizontais do hexágono) – ver exercício 182. A partir das projecções de
todos os vértices do hexágono, desenharam-se as suas projecções.
186.
Em primeiro lugar representaram-se os planos δ e ρ, pelos respectivos
traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano δ, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β1/3, pelo que os
seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ponto A é um ponto
de f δ, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O
ponto B é um ponto de hδ, que é uma recta horizontal (de nível) do pla-
no com cota nula. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projec-
ção e que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, ao
nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do
plano δ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o Plano Frontal de
Projecção. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr), pelo que se tem imediata-
mente Br ≡ B1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano δ
há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto A, que é um ponto de f δ (ver relatório do exer-
cício 175). A partir de A r e de Br construiu-se o quadrado em V.G., em
(Continua na página seguinte)
62

5. SOLUÇÕES
rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento recorreu-se às rectas suporte de dois lados do quadrado – o lado [A B] e o lado
A
[CD]. A recta r r é a recta suporte do lado [A B], em rebatimento – as projecções de r determinaram-se imediatamente, a partir das projec-
C A
ções homónimas de A e B. Por Cr e Dr conduziu-se uma recta sr, que é a recta suporte do lado [CD] em rebatimento – sr é paralela a r r,
C
pois os dois lados em questão são paralelos. Hr é o ponto de concorrência de sr com hδr – H é o traço horizontal da recta s e é um ponto da
charneira, pelo que é fixo (H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X). Uma vez que as rectas r e s são paralelas, as suas projecções homónimas são
H
também paralelas entre si – as projecções da recta s determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas da recta r e pas-
sando pelas projecções homónimas de H, o seu traço horizontal (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr
e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos
arcos do rebatimento), determinaram-se C1 e D1 sobre s1 – C2 e D2 situam-se sobre s2, nas respectivas linhas de chamada. A partir das pro-
jecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado
com o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 182) ou com o recurso a recta frontais (de
frente) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 180), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o que
se processou com o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados. Para determinar as projecções
do segmento [R S], o segmento resultante da intersecção do plano ρ com o quadrado [A B CD] (que está contido no plano δ), é necessário
R A
determinar a recta de intersecção dos dois planos – a recta i. A recta i determinou-se a partir dos seus traços (trata-se do caso geral da
intersecção entre planos). F é o traço frontal da recta i e H’ é o seu traço horizontal. A recta i intersecta o lado [A D] do quadrado no ponto R
A
e intersecta o lado [CD] do quadrado no ponto S – o segmento [R S] é, assim, o segmento da recta i que se situa no quadrado [A B CD].
C R A
187. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções
de A e B conduziram-se as projecções homónimas da recta r, a
recta que passa por A e B, e determinaram-se os seus traços nos
planos de projecção – F e H. Uma vez que, de acordo com o
enunciado, a recta r é uma recta de maior inclinação do plano α,
por F (o traço frontal da recta r) conduziu-se fα, perpendicular a r2
– hα é concorrente com fα no eixo X e passa por H, o traço hori-
zontal da recta r. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Uma vez que F é um ponto do Plano Frontal
de Projecção e que H é um ponto do Plano Horizontal de Projec-
ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o reba-
timento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção ou para
o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para
o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr),
pelo que se tem imediatamente Hr ≡ H1, pois H é um ponto da
charneira. Para rebater o plano α há que rebater o seu traço fron-
tal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto
F, que é um ponto de fα (ver relatório do exercício 175). A recta rr
(a recta r em rebatimento) fica definida por Hr e Fr e o traço fron-
tal do plano, em rebatimento (fαr) é concorrente com hαr no eixo
f
X e passa por Fr (note que fαr é perpendicular a rr, pois r é uma
recta de maior inclinação do plano). Conduzindo, por A 1 e por
B1, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que
correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os
respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se Ar e Br so-
bre rr. A partir de Ar e Br construiu-se o quadrado em V.G., em re-
batimento, obtendo Cr e Dr. Após a construção do quadrado em
rebatimento, constata-se que dois dos lados do quadrado são
paralelos a fαr – este facto tem uma justificação científica, que em
seguida se apresenta. Recorde que rectas de maior inclinação de
um plano são perpendiculares ao traço frontal do plano (e a to-
das as rectas frontais do plano) – o lado [A B] do quadrado está contido numa recta de maior inclinação do plano (bem como o lado [CD], que é
A C
paralelo a [A B]). Uma vez que os lados [B C] e [AD] do quadrado são perpendiculares aos outros dois lados (que estão contidos em rectas de
A B A
maior inclinação do plano), então os lados [B C] e [AD] estão necessariamente contidos em rectas frontais (de frente) do plano e, por isso, são
B A
paralelos a fαr (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, no espaço, em projecção e em rebatimen-
to). Assim, por Ar e Dr conduziu-se uma recta fr, que é paralela a fαr – f é uma recta frontal (de frente) do plano e é a recta suporte do lado [AD]. A
A
recta fr é concorrente com hαr em H’r – H’ é o traço horizontal da recta f e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (H’1 ≡ H’r e H’2 situa-se no
H
eixo X). As projecções da recta f determinaram-se imediatamente, pois f é paralela a fα (a recta f está definida por um ponto e uma direcção).
Note que as projecções da recta f passam pelas projecções homónimas de A, que é um ponto da recta f. Conduzindo, por Dr, uma perpendicu-
lar à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinou-se D1 sobre f1 – D2 situa-se
sobre f2, na respectiva linha de chamada. O processo repetiu-se para o ponto C – f ’ é a recta frontal (de frente) que é a recta suporte do lado
[B C] e H’’ é o seu traço horizontal. As projecções da recta f ’ passam pelas projecções homónimas de B, que é um ponto da recta f ’. A partir das
B
projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projecções do polígono. Note que a projecção frontal do lado [CD] do quadrado
C
é perpendicular a fα (pois é o outro lado do quadrado que também está contido numa recta de maior inclinação do plano α).
63

6. SOLUÇÕES
188.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados. Uma vez que A tem afastamento nulo e B tem cota nula, sabe-se imedia-
tamente que A é um ponto do traço frontal do plano e que B é um ponto do traço
horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar f ρ e hρ. O triângulo não se projecta
em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum
dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto A é um ponto do
Plano Frontal de Projecção e que B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, no
sentido de uma maior economia de traçados é indistinto rebater o plano ρ para o Plano
Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se, no entanto,
por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é f ρ), pelo que se
tem imediatamente A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há
que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto B (que é um ponto de hρ). Para tal conduziu-se, por B, o plano ortogonal à
charneira que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil e, na pre-
sente situação, é o próprio plano YZ). O ponto B rebateu-se através do seu triângulo do
rebatimento. O é o ponto de intersecção do plano YZ com a charneira (note que não se
identificou o ponto O) e é o centro do arco do rebatimento de B. O triângulo do rebati-
mento de B é [OBB2], que é rectângulo em B2, e o comprimento da sua hipotenusa
O
([OB]) é a distância que nos permite rebater B. Construiu-se o triângulo do rebatimento
O
de B em V.G. (pelo rebatimento do plano YZ) – numa paralela à charneira (ou seja, no
próprio eixo X) representou-se o afastamento de B, obtendo Br1. O triângulo do rebati-
mento de B em V.G. é [OBr1B2] (recorde que não se identificou o ponto O, apesar de
O
se lhe fazer referência). Com centro em O transportou-se OBr1 para a perpendicular à
charneira que passa por B2 (que é Y ≡ Z), obtendo Br – hρr passa por Br e é paralelo ao
eixo X (e a f ρr). A partir de A r e Br construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de-
terminando Cr. Para determinar as projecções do triângulo inverteu-se o rebatimento do plano ρ, invertendo o rebatimento de C. Para tal con-
duziu-se, em rebatimento, uma recta r, do plano, passando por C – por economia de traçados optou-se por fazer com que a recta r seja a recta
suporte do lado [B C] do triângulo. Assim, a recta r, em rebatimento (rr), passa por Cr e Br. A recta rr é concorrente com f ρr no ponto Fr – F é o
B
traço frontal da recta r. F é um ponto da charneira (é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente Fr ≡ F2 – F1 situa-se no eixo X.
O ponto B é o próprio traço horizontal da recta r – as projecções da recta r desenharam-se imediatamente, passando pelas projecções homó-
nimas de F e B (a recta r está definida por dois pontos). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogo-
nal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta r.
A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
189.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A , pelas suas projecções,
em função dos dados. Uma vez que A tem cota nula, sabe-se imediatamente
que A é um ponto do traço horizontal do plano, o que nos permitiu desenhar hρ.
Por O e A conduziu-se uma recta r e determinou-se o seu traço frontal – F.
Por F conduziu-se f ρ, o traço frontal do plano. Note que A é, imediatamente, o
traço horizontal da recta r. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum
dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano. Uma vez que o ponto A é um
ponto do Plano Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia
de traçados optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Pro-
jecção (a charneira é hρ), pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1, pois A é
um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço
frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que é
um ponto de f ρ). Para tal conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento (que é um plano de perfil). O ponto F
rebateu-se através do seu triângulo do rebatimento. M é o ponto de intersec-
ção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do
rebatimento de F (note que não se identificou o ponto M no desenho) – M é o
centro do arco do rebatimento de F. O triângulo do rebatimento de F é
[MFF1], que é rectângulo em F1, e o comprimento da sua hipotenusa ([MF])
M M
é a distância que nos permite rebater F. Construiu-se o triângulo do rebati-
mento de F em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém o arco
do rebatimento de F) – numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo X)
representou-se a cota de F, obtendo Fr1. O triângulo do rebatimento de F em
V.G. é [MFr1F1] (recorde que não se identificou o ponto M, apesar de se lhe
M
(Continua na página seguinte)
64

7. SOLUÇÕES
fazer referência). Note que, devido a se ter efectuado o rebatimento do plano de perfil para a direita, Fr 1 ficou coincidente com A 2, mas que
tal não se verificaria caso se tivesse rebatido o plano de perfil para a esquerda. Com centro em M transportou-se M Fr 1 para a perpendicular
à charneira que passa por F1 (que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de F), obtendo Fr – f ρr passa por Fr e
é paralelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e A r conduziu-se uma recta, que é r r – a recta r em rebatimento. Por O1 conduziu-se uma perpendicular
à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O) e determinou-se Or sobre r r (O é um O
ponto de r, pelo que Or se situa sobre r r). Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita
ao quadrado em V.G., em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, em rebatimento. Note que o vértice Cr, do qua-
drado em rebatimento, se situa sobre a recta r r (a recta r é a recta suporte de uma diagonal do quadrado). Para inverter o rebatimento de C
conduziu-se, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento)
– o ponto em que esta intersecta r 1 é a projecção horizontal de C (C1), o que nos permitiu determinar C2, em seguida, sobre r 2. Para inverter
C
o rebatimento de B e D conduziu-se, em rebatimento, uma recta s, do plano, passando pelos dois pontos – a recta s é a recta suporte da
diagonal [BD] do quadrado. Assim, a recta s, em rebatimento (sr), passa por B r e Dr – uma vez que s é a recta suporte da diagonal [BD], ve-
B B
rifica-se que sr passa por Or. A recta sr é concorrente com hρr no ponto H’r – H’ é o traço horizontal da recta s. H’ é um ponto da charneira
(é fixo – roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente H’r ≡ H’1 – H’2 situa-se no eixo X. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto
F’r – F’ é o traço frontal da recta s. Para determinar as projecções de F’ conduziu-se, por F’r, uma perpendicular à charneira (que corresponde
ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F’1 sobre o eixo X – F’2 determinou-se em seguida,
sobre f ρ (F’ é um ponto de f ρ). A partir das projecções de H’ e de F’ desenharam-se as projecções da recta s (note que as projecções da
F
recta s passam necessariamente pelas projecções homónimas de O). Conduzindo, por B r e Dr, as perpendiculares à charneira que por
eles passam (que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) determinaram-se as
projecções de B e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se
as suas projecções.
190.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, e o pon-
to P, pelas suas projecções, em função dos dados. O ponto P é um
ponto de hρ, que é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com
cota nula. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [PQ] do qua-
P
drado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um
ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisa-
mente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directa-
mente em projecções. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Uma vez que o ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Pro-
jecção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por
rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ
– hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P1, pois P é um
ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço
frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A
(A é um ponto qualquer de f ρ, escolhido aleatoriamente, para rebater f ρ).
A
O ponto A rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício anterior
para o rebatimento de F. Por A r conduziu-se f ρr, paralelo a hρr (e ao eixo
X). Em rebatimento, a partir de Pr, mediu-se o ângulo dado (o ângulo
que o lado [PQ] faz com hρ – 30°) e determinou-se Qr, a 4 cm de Pr. A
P
partir de Pr e Qr construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, ob-
tendo R r e Sr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do
plano – as rectas r e s, que são as rectas suporte de dois lados do qua-
drado. A recta r r é, em rebatimento, a recta suporte do lado [PS] – Fr é o
P
ponto de concorrência entre r r e f ρr (F é o traço frontal da recta r). As
F
projecções de F determinaram-se conduzindo, por F r , uma perpen-
dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) – F1 situa-se no eixo X e F2 situa-se sobre f ρ. As projecções da recta r determinam-se imediatamente,
a partir das projecções homónimas de F e de P (P é o traço horizontal da recta r). Para determinar as projecções do ponto S conduziu-se,
P
por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – as projec-
ções de S estão sobre as projecções homónimas da recta r (o ponto S é um ponto da recta r). A recta sr é, em rebatimento, a recta suporte
do lado [Q R] – as rectas r r e sr são paralelas entre si. H’r é o ponto de concorrência da recta sr com hρr – H’ é o traço horizontal da recta s e
Q
é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente H’1 ≡ H’r e H’2 situa-se no eixo X. F’r é o
ponto de concorrência entre sr e f ρr (F’ é o traço frontal da recta s). As projecções de F’ determinaram-se de forma semelhante à exposta
F
para o ponto F. As projecções da recta s determinam-se imediatamente, a partir das projecções homónimas de F’ e de H’. Para determinar
as projecções dos pontos Q e R conduziram-se, por Qr e por R r, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem
aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) – as projecções de Q e R estão sobre as projecções
homónimas da recta s (Q e R são dois pontos da recta s). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas
Q
projecções. Note que o ponto F’ não é fundamental para a determinação das projecções da recta s, pois esta poderia estar definida por um
ponto (H’ o seu traço horizontal) e por uma direcção (a direcção da recta r, pois as duas rectas são paralelas).
H
65

8. SOLUÇÕES
191. Um plano de rampa paralelo ao β2/4 é necessariamente ortogonal ao β1/3,
pelo que o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Com
base no raciocínio acima apresentado, em primeiro lugar representou-se o pla-
no ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida constatou-se que
não é dada a medida do lado da figura. No entanto, sendo dado que o lado
[A B] pertence ao Plano Frontal de Projecção, sabe-se imediatamente que
A
[A B] tem afastamento nulo, pelo que A e B são dois pontos de fρ. Por outro
A
lado, uma vez que o lado [DE] pertence ao Plano Horizontal de Projecção,
D
sabe-se imediatamente que [DE] tem cota nula, pelo que D e E são dois pon-
D
tos de hρ. Por outro lado, ainda, sabendo que as diagonais [AE] e [BD] são de
A B
perfil, é possível, de forma imediata, representar os pontos A e E pelas respec-
tivas projec-ções, pois os dois pontos têm a mesma abcissa – não é possível
representar os pontos B e D, pois não é conhecida a medida do lado do hexá-
gono. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é
necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto
A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e o ponto E é um ponto do Plano
Horizontal de Projecção, no sentido de uma maior economia de traçados é in-
distinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano
Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizon-
tal de Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediata-
mente Er ≡ E1, pois E é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que
rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto A (A é um ponto de fρ). O ponto A rebateu-se conforme exposto no
A
relatório do exercício 189 para o rebatimento de F. Por Ar conduziu-se fρr, pa-
ralelo a hρr (e ao eixo X). Em rebatimento, já temos dois pontos do hexágono
em V.G. – Ar e Er são dois extremos de uma das diagonais menores do hexá-
gono, pelo que a construção do hexágono requer um raciocínio particular. Esse raciocínio é que a diagonal [AE] do hexágono faz, com a diago-
A
nal [AD], um ângulo de 30o (a diagonal [AD] contém dois vértices diametralmente opostos do hexágono e, por isso mesmo, contém o centro da
A A
figura). Por outro lado, sabe-se que D é um ponto de hρ. Assim, a partir de Ar mediram-se 30o em V.G. e obteve-se Dr sobre hρr – uma vez que a
diagonal [BD] é de perfil e B é um ponto de fρ, a determinação de Br, sobre fρr é imediata. As diagonais [AD] e [BE] bissectam-se no centro do
B A B
O
hexágono (que é o centro da circunferência circunscrita ao hexágono), o que nos permitiu determinar Or (O é o centro da figura). Com o
compasso, fazendo centro em Or e raio até Ar (ou até Br ou até Dr ou até Er, pois todos estes pontos estão equidistantes de Or), desenhou-se a
circunferência circunscrita ao hexágono (a circunferência passa pelos quatro pontos). Em seguida, construiu-se o hexágono em V.G., em rebati-
mento, obtendo Cr e Fr. Para determinar as projecções da figura, há que inverter o rebatimento, o que se processa invertendo o rebatimento de
cada um dos pontos. A inversão do rebatimento dos pontos D e B é imediata, com o recurso a uma perpendicular à charneira que contém os
dois pontos (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém os respectivos arcos do rebatimento, que é o mesmo plano). D1 ≡ Dr,
pois D é um ponto da charneira e D2 situa-se no eixo X. B 1 situa-se no eixo X, pois B é um ponto de f ρ (tem afastamento nulo) e B 2 situa-se
sobre f ρ. Os pontos C e F situam-se numa recta fronto-horizontal do plano ρ – essa recta é a recta g, que passa pelo centro da figura – (O). O
Assim, determinaram-se as projecções da diagonal [BE] (poderia ter-se recorrido à diagonal [AD]) e por O conduziu-se uma perpendicular à
B A
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), o que nos permitiu determinar as projec-
ções de O sobre as projecções da diagonal [BE]. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas da recta g – g está defini-
B
da por um ponto (o ponto O) e uma direcção (é fronto-horizontal). Por Cr e Fr conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam
(que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento) e determinaram-se as projecções de C e
F sobre as projecções homónimas da recta g (recorde que C e F são dois pontos da recta g). A partir das projecções dos seis vértices da figura,
desenharam-se as suas projecções.
192.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos da-
dos. Note que não é possível, de forma imediata, determinar as projecções do ponto
O, o centro da circunferência, pois apenas se sabe que a figura é tangente ao dois
planos de projecção – O está necessariamente equidistante dos dois traços do pla-
no. Este raciocínio permitir-nos-ia determinar as projecções de O com alguns traça-
dos auxiliares, mas optou-se por determinar o ponto O previamente em
rebatimento. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebati-
mento do plano para o Plano Horizontal de Projecção (ao nível da economia de tra-
çados, é indistinto rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção ou para o
Plano Frontal de Projecção), pelo que a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr. Para rebater o
plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto A (A é um ponto qualquer de f ρ, escolhido aleatoriamente,
A
para rebater f ρ). O ponto A rebateu-se conforme exposto no relatório do exercício
189 para o rebatimento de F. Por A r conduziu-se f ρr, paralelo a hρr (e ao eixo X). Em
rebatimento, determinou-se Or, equidistante de f ρr e de hρr (optou-se por localizar
Or no plano de perfil que contém A, mas tal não é essencial – tem vantagens ape-
nas ao nível da economia de traçados). Com centro em Or, desenhou-se a circunfe-
rência em V.G., em rebatimento, tangente a f ρr e a hρr (note que a circunferência é
(Continua na página seguinte)
66

9. SOLUÇÕES
tangente a f ρr em A r. As duas projecções da circunferência serão e l i p s e s, cujo desenho requer, no mínimo, oito dos seus pontos, para além
do paralelogramo envolvente e, de preferência, os seus dois eixos. Note que o diâmetro que não sofre deformação em projecção frontal é o
mesmo que também não sofre deformação em projecção horizontal (é o diâmetro fronto-horizontal da circunferência) – esse diâmetro é aque-
le que nos dará os eixos maiores das duas elipses. Por outro lado, o diâmetro da circunferência que sofre a deformação máxima em projec-
ção frontal é o mesmo que também sofre a deformação máxima em projecção horizontal (é o diâmetro de perfil da circunferência) – esse
diâmetro é aquele que nos dará os eixos menores das duas elipses. O eixo de homologia é a charneira, que é hρ. Assim, inscreveu-se a cir-
cunferência num quadrado de lados paralelos a hρ (o quadrado [PQRS]) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais (que se
P
bissectam duas a duas em Or). Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado dão-nos, imediatamente, os extremos dos
dois eixos das elipses – a mediana fronto-horizontal é o diâmetro cujas projecções são os eixos maiores das duas elipses, enquanto que a
mediana de perfil é o diâmetro cujas projecções são os eixos menores das duas elipses. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos vértices
do quadrado e determinaram-se as duas projecções da figura (o quadrado), a partir dos seus vértices – um dos lados do quadrado está con-
tido em hρ e outro lado está contido em f ρ. Note que as duas projecções do quadrado são rectângulos. Em seguida, desenharam-se, em pro-
jecções, as medianas e das diagonais do quadrado (as diagonais e as medianas dos dois rectângulos). Os pontos em que as medianas do
quadrado se apoiam nos seus lados (em projecções) são, imediatamente, quatro pontos de cada uma das elipses e são, também, os pontos
de tangência das elipses aos lados do quadrado (dos rectângulos que são as projecções do quadrado). Já temos quatro pontos para o dese-
nho de cada uma das elipses. Os outros quatro pontos são os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado – es-
tes transportaram-se para as projecções das diagonais através das perpendiculares à charneira que por eles passam (que correspondem aos
planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento). A partir dos oito pontos assim determinados, desenharam-
-se as duas elipses que são as projecções da circunferência pedida, atendendo às situações de tangência atrás referidas.
193. Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço hori-
zontal (o único que é dado, uma vez que o plano ρ está definido
pela sua orientação), bem como o ponto A, pelas suas projec-
ções, em função dos dados – A é um ponto de hρ, que é uma
recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O pla-
no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma
vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por
rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a char-
neira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr), pelo que se tem imediatamente Ar ≡ A1,
pois A é um ponto da charneira. Note ainda que não seria possí-
vel rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, pois não
é conhecido o seu traço frontal (que seria, nessa situação, a
charneira). Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço
frontal, mesmo sem este ser conhecido. Para rebater fρ é neces-
sário rebater um dos seus pontos – considerou-se um ponto P,
qualquer, pertencente a fρ. Uma vez que P será um ponto com
afastamento nulo, sabe-se imediatamente que P1 se situa no eixo
X. No sentido de uma maior economia de traçados, optou-se por
se situar o ponto P no plano de perfil que contém A, pelo que
se tem P1 ≡ A2. O plano de perfil que contém os dois pontos é o
plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento
de P e, por conseguinte, também contém o triângulo do rebati-
mento de P. O triângulo do rebatimento de P, no espaço, é o
triângulo [APP1] (note que A é o ponto de intersecção da char-
A
neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que A é
o centro do arco do rebatimento de P). O triângulo [APP1] é rec-
A
tângulo em P1 e a hipotenusa [A P] está contida numa recta de
A
perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de
perfil que contém o triângulo). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a mesma amplitude
que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Horizontal de Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa
[A P] faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um ângulo de 60o, sendo que P se situa no SPFS. Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento
A
de P directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com vértice em Ar mediu-se o ângulo de 60o com hfr, obtendo Pr1 no eixo X. Pr1
é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [ArP1Pr1] é o triângulo do rebatimento de P em V.G. – com o compasso,
A
fazendo centro em P1 e raio até Pr1 (o raio corresponde à cota de P) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo P2, pelo qual se con-
duziu fρ. Para rebater o ponto P, pelo rebatimento do plano ρ, com o recurso ao compasso, com centro em Ar (que é o centro do arco do rebati-
mento de P, no rebatimento do plano ρ) e raio até Pr1 (a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de P, em V.G.), desenhou-se um
arco até à perpendicular à charneira que passa por P1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
obtendo Pr. Por Pr conduziu-se fρr. A partir de todos os procedimentos efectuados, que consistiram em rebater o plano ρ que estava definido por
uma recta e pela sua orientação, passou-se à realização dos traçados necessários à determinação das projecções do quadrado [A BCD]. Note
A
que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] do quadrado faz com o traço horizontal do plano) é um ângulo real e não um ângulo em projec-
A
ções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções.
Esta situação é semelhante à do exercício 190, pelo que se aconselha o acompanhamento da restante resolução com a leitura daquele relatório.
67

10. SOLUÇÕES
194.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço
horizontal (o único dado concreto, uma vez que é referido
que os traços do plano distam, entre si, 9 cm, e essa medida
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projec-
ção), bem como o ponto A, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados – A é um ponto de h ρ, que é uma recta
horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula. O pla-
no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo
que é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-
liar. O ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
pelo que se rebateu o plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr) – tem-se imedia-
tamente Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Note que
não seria possível rebater o plano ρ para o Plano Frontal de
Projecção, pois não é conhecido o seu traço frontal (que se-
ria, nessa situação, a charneira). Para rebater o plano ρ há
que rebater o seu traço frontal, mesmo sem este ser conheci-
do. Para rebater fρ é necessário rebater um dos seus pontos
– considerou-se um ponto P, qualquer, pertencente a fρ. Uma
vez que P será um ponto com afastamento nulo, sabe-se
imediatamente que P1 se situa no eixo X. No sentido de uma
maior economia de traçados, optou-se por se situar o ponto
P no plano de perfil que contém A, pelo que se tem P1 ≡ A2.
O plano de perfil que contém os dois pontos é o plano orto-
gonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P e,
por conseguinte, também contém o triângulo do rebatimento
de P. O triângulo do rebatimento de P, no espaço, é o triân-
gulo [APP1] (note que A é o ponto de intersecção da char-
A
neira com o plano de perfil que contém o triângulo, pelo que
A é o centro do arco do rebatimento de P). O triângulo [APP1] é rectângulo em P1 e a hipotenusa [A P] está contida numa recta de perfil (que é a
A A
recta de intersecção do plano ρ com o plano de perfil que contém o triângulo) – [A P] mede 9 cm, que é a distância entre os dois traços do plano.
A
Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de P directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de perfil – com o recurso ao compasso,
fazendo centro em Ar e com 9 cm de raio (a distância entre os dois traços do plano) determinou-se Pr1 no eixo X (Pr1 está a 9 cm de Ar). Pr1 é o
P
ponto P rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [ArP1Pr1] é o triângulo do rebatimento de P em V.G. – com o compasso, fazen-
A
do centro em P1 e raio até Pr1 (o raio corresponde à cota de P) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo P2, pelo qual se conduziu
fρ. Para rebater o ponto P, pelo rebatimento do plano ρ, com o recurso ao compasso, com centro em Ar (que é o centro do arco do rebatimento
de P, no rebatimento do plano ρ) e raio até Pr1 (o raio é 9 cm, que é a medida da hipotenusa do triângulo do rebatimento de P), desenhou-se um
arco até à perpendicular à charneira que passa por P1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
obtendo Pr. Por Pr conduziu-se fρr. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] do triângulo faz com o traço horizontal do plano) é um ân-
A
gulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais precisamente, está contido no plano ρ e não é possível
representá-lo directamente em projecções. Esta situação é semelhante à do exercício 190, pelo que se aconselha o acompanhamento da restan-
te resolução com a leitura daquele relatório. Após a construção do triângulo [A BC] em V.G., em rebatimento, para determinar as projecções da
A
figura é necessário inverter o rebatimento, invertendo o rebatimento dos pontos B e C. Para tal recorreu-se a uma recta r, que contém os dois
pontos – a recta r é a recta suporte do lado [B C] do triângulo. A recta rr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [B C]. Hr é o ponto de concor-
B B
rência da recta rr com hρr – H é o traço horizontal da recta r e é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), pelo que se tem
imediatamente H1 ≡ Hr e H2 situa-se no eixo X. Fr é o ponto de concorrência entre rr e fρr (F é o traço frontal da recta r). As projecções de F
F
determinaram-se de forma semelhante à exposta para o ponto F no relatório do exercício 189. As projecções da recta r determinam-se imediata-
mente, a partir das projecções homónimas de F e de H. Para determinar as projecções dos pontos B e C conduziram-se, por Br e por Cr, as
perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do
rebatimento) – as projecções de B e C estão sobre as projecções homónimas da recta r (B e C são dois pontos da recta r). A partir das projec-
B
ções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
195.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto P. Para
determinar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o plano ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Na presente situa-
ção, não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de
traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto P
recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento. Assim, por P conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à
charneira que contém o arco do seu rebatimento) – O é o centro do arco do rebatimento de P (note que não se identificou o ponto O, que é o
ponto de intersecção da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P). O triângulo do rebatimento de
P é [OPP1], que é rectângulo em P1, e o comprimento da sua hipotenusa ([OP]) é a distância que nos permite rebater P. Construiu-se o triân-
O O
gulo do rebatimento de P em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém P, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco
(Continua na página seguinte)
68

11. SOLUÇÕES
do seu rebatimento) – numa paralela à charneira que passa por P1
representou-se a cota de P, obtendo Pr1. O triângulo do rebatimento
de P em V.G. é [OPr1P1]. Com centro em O transportou-se OPr 1 para
O
a perpendicular à charneira que passa por P1, obtendo Pr. A partir de
Pr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, de acordo com
os dados – Qr está no eixo X (Q é um ponto do eixo X), à direita de P,
Q
tal que Pr Qr = 6 cm (que é a medida do lado do polígono). A constru-
ção do quadrado em rebatimento permitiu-nos determinar também R r
e Sr. Para determinar as projecções do quadrado, há que inverter o
rebatimento e determinar as projecções de Q, R e S. Q é um ponto
da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é fixo), pelo que as suas
projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento
de S recorreu-se a uma recta do plano – a recta r, que é a recta su-
porte do lado [PS] do quadrado. A recta rr é a recta r em rebatimento
P
e passa por Pr e por Sr. A recta rr é concorrente com o eixo X (que é a
charneira) num ponto, que é fixo (roda sobre si próprio) – as projec-
ções da recta r determinaram-se imediatamente, a partir do seu ponto
de concorrência com o eixo X e das projecções do ponto P. Condu-
zindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
determinaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas
da recta r. Para inverter o rebatimento do ponto R recorreu-se a outra
recta do plano – a recta s, que é a recta suporte do lado [QR] do quadrado. A recta s é paralela à recta r. A recta sr passa por Qr e por R r e é
Q
paralela a rr. Q é o ponto de concorrência da recta s com o eixo X, e é fixo – as projecções da recta s desenharam-se imediatamente, pois a
recta está definida por um ponto (o ponto Q) e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por R r, uma perpendicular à charneira (que
corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de R sobre as projecções
homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.
196.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que
estão coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto A . Para
determinar as projecções do triângulo, há que rebater previamente o
plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano
ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Nesta situação
não há qualquer diferença quanto ao plano de projecção para o qual
se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de
traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o
ponto A recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento, o que consiste
no processo exposto no relatório do exercício anterior para o rebati-
mento do ponto P, pelo que se aconselha a leitura do respectivo rela-
tório. A partir de A r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,
de acordo com os dados – B r está no eixo X (B é um ponto do eixo X),
B
à direita de A , tal que A r B r = 7 cm (que é a medida do lado do polígo-
no). A partir de A r e de B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebati-
mento, e determinou-se C r . Para determinar as projecções do
triângulo, há que inverter o rebatimento e determinar as projecções de B e C. B é um ponto da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é
fixo), pelo que as suas projecções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento de C recorreu-se a uma recta do plano – a
recta s. A recta s é uma recta do plano ρ, paralela a uma outra recta do plano ρ – a recta r, que é a recta suporte do lado [A B] do triângulo.
A
A recta r r é a recta r em rebatimento e passa por A r e por B r. As projecções da recta r determinam-se imediatamente, a partir das projecções
homónimas de A e B (note que a recta r é apenas uma recta auxiliar, essencial à determinação das projecções da recta s). A recta sr passa
por Cr e é paralela a r r. A recta sr é concorrente com o eixo X num ponto que é fixo – as projecções da recta s determinam-se imediatamente,
a partir do seu ponto de concorrência com o eixo X, sendo paralelas às projecções homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas e
a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-
gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta s.
A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
69

12. SOLUÇÕES
197.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão
coincidentes com o eixo X) e pelas projecções do ponto P. Os dados do
enunciado permitiram-nos, ainda, determinar a projecção frontal do ponto
A. Para determinar a projecção horizontal de A recorreu-se a uma recta r,
do plano, passando por P e por A – as projecções da recta r (que é uma
recta passante) desenharam-se a partir da sua projecção frontal, que pas-
sa por P2 e por A2. A1 situa-se sobre r1, na linha de chamada de A2. Para
determinar as projecções do quadrado, há que rebater previamente o pla-
no ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não
se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é
paralelo a nenhum dos planos de projecção). Mais uma vez não há qual-
quer diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá reba-
ter o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se
por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira é fρ,
que é o próprio eixo X). Assim, por P conduziu-se uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o
arco do seu rebatimento) – O é o centro do arco do rebatimento de P
(note que não se identificou o ponto O, que é o ponto de intersecção da
charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebati-
mento de P). O triângulo do rebatimento de P é [OPP2], que é rectângulo
O
em P2, e o comprimento da sua hipotenusa ([OP]) é a distância que nos
O
permite rebater P. Construiu-se o triângulo do rebatimento de P em V.G.
(pelo rebatimento do plano de perfil que contém P, que é o plano ortogo-
nal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) – numa paralela à
charneira que passa por P2 representou-se o afastamento de P, obtendo Pr1. O triângulo do rebatimento de P em V.G. é [OPr1P2]. Com centro
O
em O transportou-se OPr1 para a perpendicular à charneira que passa por P2, obtendo Pr. A partir de Pr rebateu-se a recta r – rr fica definida por
Pr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo. Conduzindo, por A2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano or-
togonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Ar sobre rr (A é um ponto da recta r). Note que o ângulo dado (o ân-
A
gulo que o lado [A B] do triângulo faz com o eixo X) é um ângulo real e não um ângulo em projecções – esse ângulo existe no espaço ou, mais
A
precisamente, está contido no plano ρ e não é possível representá-lo directamente em projecções. Assim, em rebatimento, a partir de A r,
mediu-se o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] faz com o eixo X – 60o) e determinou-se Br, a 5 cm (a medida do lado do quadrado) de Ar.
A
A partir de Ar e Br construiu-se o quadrado em VG., em rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do
plano – as rectas a e b, que são as rectas suporte de dois lados do quadrado. A situação exposta é, assim, semelhante à utilizada para inverter o
rebatimento do plano ρ no exercício 195, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório.
198.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços
(que estão coincidentes com o eixo X). Uma vez que é dada a
orientação do plano ρ, não nos é possível determinar as pro-
jecções do ponto A – os dados do enunciado permitiram-nos,
apenas, determinar a projecção horizontal do ponto A. Para
determinar as projecções do triângulo, há que rebater previa-
mente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebati-
mento, pois o polígono não se projecta em V.G. em nenhum
dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum
dos planos de projecção). Mais uma vez não há qualquer dife-
rença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá
rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traça-
dos. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hρ, que é o próprio eixo X). Para reba-
ter o plano ρ é necessário rebater o ponto A , para o que é
necessário o recurso ao seu triângulo do rebatimento. O triân-
gulo do rebatimento de A, no espaço, é o triângulo [OAA1] – O
O
é o centro do arco do rebatimento de A e é o ponto de inter-
secção da charneira com o plano de ortogonal à charneira
que contém o triângulo do rebatimento de A . O triângulo
[OAA1] é rectângulo em A 1 e a hipotenusa [OA] está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de
O O
perfil que contém o triângulo do rebatimento de A). Sabe-se que o diedro que um plano de rampa (um plano passante é um plano de rampa)
faz com o Plano Frontal de Projecção tem a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil do plano fazem com o Plano Frontal de
(Continua na página seguinte)
70

13. SOLUÇÕES
Projecção – assim, sabe-se imediatamente que a hipotenusa [O A] faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 60°. Esse ângulo
O
estará em V.G. no ângulo que a hipotenusa do triângulo fará com o eixo X (sugere-se que tente visualizar a situação no espaço, para uma
melhor compreensão do exposto). Assim, desenhou-se o triângulo do rebatimento de A directamente em V.G., pelo rebatimento do plano de
perfil – com vértice em O mediu-se o ângulo de 60o, o que nos permitiu determinar A r com o eixo X (que corresponde a um ângulo de 30o
com o lado [O A1] do triângulo), obtendo A r 1 na paralela ao eixo X que passa por A 1 (note que o segmento [A r 1A 1] corresponde à cota de A ,
O A
que era desconhecida. A r 1 é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano de perfil e o triângulo [O A1A r 1] é o triângulo do rebatimento de A
O
em V.G. – com o compasso, fazendo centro em O e raio até A r 1 (a hipotenusa do triângulo do rebatimento de A , que é o raio do arco do
rebatimento de A ), desenhou-se um arco até à perpendicular à charneira que passa por A 1 (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento), obtendo A r. Note que todos os procedimentos atrás explicitados consistiram em rebater o plano ρ,
que estava definido por uma recta e pela sua orientação. Em seguida passou-se à realização dos traçados necessários à determinação das
projecções do triângulo [A B C], que se trata de uma situação semelhante à do exercício 196, pelo que se aconselha o acompanhamento da
A
resolução sequente com a leitura daquele relatório.
199.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S, pelas respectivas
projecções, em função dos dados – os dois pontos pertencem ao β1/3,
pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X (os dois
pontos têm cota igual ao afastamento, pois pontos do β1/3 têm coordenadas
iguais). Note que não é necessário representar os traços do β1/3 (que
estão coincidentes no eixo X, pois trata-se de um plano passante). Note
ainda que se trata de uma situação semelhante à do exercício anterior, se
bem que com alguns contornos diferentes – o β1/3 está igualmente definido
por uma recta (o eixo X) e pela sua orientação (faz diedros de 45o com os
dois planos de projecção). No entanto, ao contrário da situação anterior, foi
possível determinar, imediatamente, as d u a s p r o j e c ç õ e s dos pontos
dados. Para determinar as projecções do triângulo, há que rebater previa-
mente o β1/3 e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polí-
gono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o β1/3
não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer dife-
rença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o β1/3,
no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o
β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo X).
Assim, por S conduziu-se uma perpendicular à charneira (que correspon-
de ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento)
– So é o centro do arco do rebatimento de S (So é o ponto de intersecção
S
da charneira com o plano ortogonal à charneira que contém o arco do
rebatimento de S). O triângulo do rebatimento de S é [SoS S1], que é rec-
S
tângulo em S1, e o comprimento da sua hipotenusa ([SoS]) é a distância
S
que nos permite rebater S. Construiu-se o triângulo do rebatimento de S em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil que contém S, que é o
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento e, nesta siuação, é o próprio plano YZ) – numa paralela à charneira que
passa por S1 representou-se a cota de S, obtendo Sr 1. O triângulo do rebatimento de S em V.G. é [SoSr 1S1]. Note que [SoSr 1] é a hipotenusa
S S
do triângulo do rebatimento de S e o seu comprimento é o raio do arco do rebatimento de S – [SoS] está contido numa recta de perfil do
S
β1/3, pelo que [SoSr 1] faz um ângulo de 45o com o eixo X e um ângulo de 45o com [SoS1]). Com centro em So transportou-se SoSr 1 para a
S S
perpendicular à charneira que passa por S1, obtendo Sr. Para determinar R r, e para evitar a construção de novo triângulo do rebatimento,
recorreu-se a uma recta r, do β1/3 – a recta que passa por R e S (é uma recta passante, concorrente com o eixo X num ponto fixo). A recta r r
(a recta r em rebatimento) fica definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e por Sr. Conduzindo, por R 1, uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se R r sobre r r (R é um ponto
R
da recta r). A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Tr. Para inverter o rebatimento de T recorreu-se a
uma recta do plano – a recta s. A recta s é uma recta do β1/3 paralela à recta r. A recta sr passa por Tr e é paralela a r r. A recta sr é concor-
rente com o eixo X num ponto que é fixo – as projecções da recta s determinam-se imediatamente, a partir do seu ponto de concorrência
com o eixo X, sendo paralelas às projecções homónimas da recta r (as duas rectas são paralelas e a recta s está definida por um ponto e
uma direcção). Conduzindo, por Tr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do
seu rebatimento), determinaram-se as projecções de T sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices
do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
71

14. SOLUÇÕES
200.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços,
e os pontos A e B, pertencentes ao plano α, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. O plano α é ortogonal ao β2/4,
pelo que tem os seus traços coincidentes. O ponto A é um
ponto de hα, que é uma recta horizontal (de nível) do plano
com afastamento nulo. O ponto B é um ponto de f α, que é
uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo.
O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção,
pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizon-
tal de Projecção e que o ponto B é um ponto do Plano Frontal
de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto
efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Pro-
jecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por
rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a
charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente
Ar ≡ A1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano
α há que rebater o seu traço frontal, o que se processa reba-
tendo um dos seus pontos – o ponto B, que é um ponto de fα
(ver relatório do exercício 175). A partir de A r e de Br cons-
truiu-se o rectângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e
Dr. Para inverter o rebatimento recorreu-se à recta suporte
do lado [CD] do rectângulo – a recta r. A recta rr é a recta r em
C
rebatimento e passa por Cr e por Dr. Hr é o ponto de concor-
rência de rr com hαr – H é o traço horizontal da recta r e é um
ponto da charneira, pelo que é fixo (H1 ≡ Hr e H2 situa-se no
H
eixo X). Fr é o ponto de concorrência de rr com fαr – F é o tra-
ço frontal da recta r (é um ponto com afastamento nulo). Para
inverter o rebatimento de F conduziu-se, por F1, uma perpen-
dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F1 sobre o eixo X –
F2 situa-se sobre fα, pois F é um ponto de fα. As projecções da recta r estão definidas pelas projecções homónimas de F e H. Conduzindo, por
Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos
arcos do rebatimento), determinaram-se C1 e D1 sobre r1 – C2 e D2 situam-se sobre r2, nas respectivas linhas de chamada. A partir das projec-
ções dos quatro vértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado com
o recurso a rectas horizontais (de nível) do plano (à semelhança do efectuado no exercício 182) ou com o recurso a recta frontais (de frente) do
plano (à semelhança do efectuado no exercício 180), mas tal implicaria o recurso a duas rectas para inverter o rebatimento, o que se processou
com o recurso a, apenas, uma única recta, o que se traduziu em maior economia de traçados.
201.
Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus
traços, e determinaram-se as projecções do ponto O,
pertencente ao plano, em função dos dados. O plano θ é
ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coinciden-
tes. A recta h é a recta horizontal (de nível) do plano, com
4 cm de cota, a que se recorreu para determinar as pro-
jecções do ponto O. Para determinar as projecções da
circunferência, há que rebater o plano θ e construir a cir-
cunferência em V.G., em rebatimento, pois a figura não
se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção
(o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de pro-
jecção). Na presente situação, não há qualquer diferença
quanto ao plano de projecção para o qual se deverá
rebater o plano θ, no sentido de uma maior economia de
traçados. Optou-se por rebater o plano θ para o Plano
Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ). Para rebater
o plano θ há que rebater o seu traço frontal, o que se pro-
cessa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F
(o traço frontal da recta h), por exemplo. O rebatimento
de F e de fθ processou-se conforme exposto no relatório
do exercício 175. A recta hr é a recta h em rebatimento –
F
está definida por um ponto (Fr) e por uma direcção (é pa-
ralela a hθr, pois rectas horizontais de um plano são para-
lelas entre si e ao traço horizontal do plano, no espaço,
(Continua na página seguinte)
72

15. SOLUÇÕES
em projecções e em rebatimento). Conduzindo, por O1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém o arco do seu rebatimento), determinou-se Or sobre hr. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio,
desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento. Note que as duas projecções da circunferência serão elipses. Assim, tratando-se de
duas elipses, é necessário ter em conta que o desenho de cada uma requer alguns cuidados particulares, nomeadamente um mínimo de oito
pontos e, se possível, os dois eixos (de cada uma) e um paralelogramo envolvente. A relação mais directa é a que existe entre a circunferência
em V.G. e a elipse que é a sua projecção horizontal, sendo uma relação homológica cujo eixo de homologia é hθ (a charneira do rebatimento).
Tratemos, então, da elipse que é a projecção horizontal da circunferência. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado (o quadrado
[A BCD]) de lados paralelos ao eixo de homologia (que é hθ) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os extremos das media-
A
nas do quadrado são os pontos em que a circunferência é tangente aos quatro lados do quadrado e dão-nos, imediatamente, os extremos dos
dois eixos da elipse que é a projecção horizontal da circunferência. Assim, a projecção horizontal do diâmetro da circunferência que é paralelo a
hθr corresponderá ao eixo maior da referida elipse (por ser paralelo ao eixo de homologia e, assim, não sofrer qualquer deformação), enquanto
que a projecção horizontal do diâmetro que é perpendicular a hθr corresponderá ao eixo menor da elipse (por ser aquele que é perpendicular ao
eixo de homologia e, assim, sofrer a maior redução). As projecções horizontais dos extremos dos dois diâmetros referidos serão, imediatamente,
quatro pontos da elipse – os outros quatro pontos serão os pontos de intersecção da circunferência com as diagonais do quadrado em que
aquela se inscreve. Para determinar as projecções da circunferência começou-se, então, por inverter o rebatimento e construir as projecções do
quadrado [A BCD]. A recta h’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se recorreu para inverter o rebatimento dos pontos A e B – a recta h’ é
A
a recta suporte do lado [A B] do quadrado (ver exercício 182 e respectivo relatório). A recta h’’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se
A
recorreu para inverter o rebatimento dos pontos C e D – a recta h’’ é a recta suporte do lado [CD] do quadrado (ver exercício 182 e respectivo
C
relatório). A partir das projecções de A, B, C e D desenharam-se as duas projecções do quadrado envolvente da circunferência – a projecção
horizontal do quadrado é um rectângulo e a sua projecção frontal é um paralelogramo. Em projecções, desenharam-se as projecções das me-
dianas e das diagonais do quadrado, que se bissectam duas a duas sobre as projecções homónimas do ponto O. Os pontos em que as media-
nas do rectângulo (que é a projecção horizontal do quadrado) se apoiam nos lados do polígono são, imediatamente, quatro pontos da elipse
que é a projecção horizontal da circunferência e são, também, os extremos dos dois eixos da figura. Os pontos em que as medianas do para-
lelogramo (que é a projecção frontal do quadrado) se apoiam nos lados do polígono são, imediatamente, quatro pontos da elipse que é a
projecção frontal da circunferência – ao contrário da projecção horizontal, no entanto, estes quatro pontos não são os extremos dos dois
eixos da elipse. Já temos quatro pontos de cada uma das elipses. Conduzindo, pelos pontos em que a circunferência (em rebatimento) corta as
diagonais do quadrado [A BCD], as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira
A
que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções horizontais daqueles pontos – a partir das projecções horizon-
tais desses quatro pontos, determinaram-se as suas projecções frontais sobre as projecções frontais das diagonais do quadrado. Já temos oito
pontos para desenhar cada uma das duas curvas. No que respeita à elipse que é a projecção horizontal da circunferência, esta foi desenha-
da a partir dos seus dois eixos e atendendo às situações de tangência da curva em relação aos lados do rectângulo em que se inscreve. Já no
que respeita à elipse que é a projecção horizontal da circunferência, optou-se por desenhá-la imediatamente, a partir dos oito pontos determi-
nados e dos seus pontos de tangência ao paralelogramo envolvente. No entanto, este desenho carece do rigor da outra elipse, uma vez que não
foram determinados os seus dois eixos. Para tal bastaria, em rebatimento, determinar o diâmetro da circunferência que é paralelo a fθr e o outro
que lhe é perpendicular – a projecção frontal do primeiro seria o eixo maior dessa elipse e a projecção frontal do segundo seria o eixo menor
dessa mesma elipse. Esse procedimento dar-nos-ia mais quatro pontos da curva em cada uma das projecções, o que permitiria um desenho
ainda mais preciso das duas elipses (com um total de doze pontos). No entanto, optou-se por não efectuar esses procedimentos na solução
apresentada, uma vez que a quantidade de informação gráfica que tal iria provocar dificultaria, em muito, a leitura da resolução gráfica proposta.
202.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço horizontal
(o único que é conhecido), bem como os pontos A e B, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. Note que o lado [A B] do hexágono, porque
A
tem cota nula, se situa em hρ (que é uma recta horizontal do plano com
cota nula) e, atendendo a que hρ é uma recta fronto-horizontal, o segmento
[A B] projecta-se em V.G. em ambas as projecções. Os dados do enuncia-
A
do não nos permitem desenhar f ρ, mas é possível prosseguir com o exercí-
cio. O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo
processo do rebatimento, o que nos obriga a rebater o plano ρ para o Pla-
no Horizontal de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que
seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano ρ para o Pla-
no Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi hρ, pelo que se tem imedia-
tamente hρ ≡ e1 ≡ hρr – A r ≡ A 1 e B r ≡ B 1, pois A e B são dois pontos da
charneira. A partir de A r e B r efectuaram-se os traçados necessários à de-
terminação do centro da figura em rebatimento (o ponto Or) e à construção
do hexágono em V.G., em rebatimento. Sabe-se que os vértices D e E têm
afastamento nulo, pelo que é possível conduzir f ρr directamente por Dr e
por Er – D e E são dois pontos de f ρ. Tenha em conta que, sabendo que D
e E são dois pontos de f ρ é possível, de forma imediata, determinar as suas
projecções horizontais, que se situam no eixo X – conduzindo, por Dr e Er
as perpendiculares à charneira que por eles passam (e que correspondem
aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do
(Continua na página seguinte)
73

16. SOLUÇÕES
rebatimento), é possível determinar D1 e E1 no eixo X (D1 ≡ B 2 e E1 ≡ A 2). Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f ρ em primeiro
D
lugar, o que se processa invertendo o rebatimento de um dos seus pontos – o ponto D, por exemplo. Consideremos, então, o ponto D – o
triângulo do rebatimento de D está contido num plano ortogonal à charneira (que é o plano de perfil que contém a diagonal [BD] do hexá-
B
gono), plano esse que corta a charneira no ponto B. O ponto B é, assim, um dos vértices do triângulo do rebatimento de D e é o centro do
arco do rebatimento de D (o triângulo do rebatimento de D é o triângulo [BDD1], que é rectângulo em D1). Com o compasso, fazendo cen-
B
tro em B r e com raio até Dr (a hipotenusa do triângulo em rebatimento é [B r Dr], e o seu comprimento está em V.G. e é o raio do arco do
B
rebatimento de D) desenhou-se um arco de circunferência até ao eixo X, onde se situa Dr 1. Dr 1 é o ponto D rebatido pelo rebatimento do
B
plano de perfil e o triângulo [B r D1Dr 1] é o triângulo do rebatimento de D em V.G. – com o compasso, fazendo centro em D1 e raio até Dr 1 (o
raio corresponde à cota de D) inverteu-se o rebatimento do plano de perfil, obtendo D2, pelo qual se conduziu f ρ. Sobre a inversão do rebati-
mento dos restantes vértices do hexágono, a atendendo a que doravante esta situação é semelhante à situação do exercício 191, sugere-se
o acompanhamento da resolução sequente com a leitura daquele relatório. A recta r é a recta suporte da diagonal [A D] do hexágono. A recta
A
m é a recta fronto-horizontal que contém os vértices C e F do hexágono – é a recta suporte da diagonal [CF] do hexágono e é concorrente
C
com a recta r no ponto O.
203.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelo seu traço horizontal
(o único que é conhecido), bem como o ponto A, pelas suas projecções, em
função dos dados – A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de ní-
vel) do plano com cota nula. Os dados do enunciado não nos permitem de-
senhar f α – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano)
é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que está
contido no plano α) e não tem correspondência directa em projecções, pois
o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. No entanto, é
possível prosseguir com o exercício. O plano α não é paralelo a nenhum dos
planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geo-
métrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento, o que nos obriga a
rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção, pois não se conhe-
ce o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimen-
to do plano α para o Plano Frontal de Projecção). Assim, a charneira foi hα,
pelo que se tem imediatamente hα ≡ e1 ≡ hαr – A r ≡ A 1, pois A é um ponto da
charneira. Em rebatimento, com vértice no ponto de concorrência dos dois
traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a
partir de hαr, mediram-se os 70° (o ângulo entre os dois traços do plano)
em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar f αr. O vértice B, do
quadrado, tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto de f α – B r tem de
se situar sobre f αr. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 5 cm de
raio (a medida do lado do quadrado), determinou-se B r sobre f αr. A partir
de A r e B r construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo Cr e
Dr. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f α, o que se pro-
cessa determinando as projecções de um dos seus pontos – o ponto B, neste caso, que é o único ponto conhecido de f α (note que se
poderia, de qualquer forma, representar um outro ponto qualquer sobre f αr). Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corres-
ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se B1 no eixo X (B é um ponto com afastamento
B
nulo). Com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até B r, desenhou-se um arco
de circunferência até à linha de chamada de B 1, onde se situa B 2 – f α passa por B 2 e é concorrente com hα no eixo X. A inversão do rebati-
mento dos pontos Cr e Dr processou-se com o recurso a rectas frontais (de frente) do plano α, à semelhança do exercício 180, pelo que se
aconselha a leitura do respectivo relatório. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.
204.
Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados – O pertence ao β1/3, pelo que as suas projecções
são simétricas em relação ao eixo X (o ponto tem coordenadas iguais, pois pertence ao β1/3). Note que não é necessário representar os
traços do β1/3 (que estão coincidentes no eixo X, pois trata-se de um plano passante) – ver relatório do exercício 199. Para determinar as
projecções do pentágono, há que rebater previamente o β1/3 e construir o polígono em V.G., em rebatimento, pois o pentágono não se pro-
jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o β1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer diferença
quanto ao plano de projecção para o qual se deverá rebater o β1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o
β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é o próprio eixo X) – o ponto O rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do rebati-
mento, de forma semelhante à exposta para o rebatimento de S no relatório do exercício 199, pelo que se aconselha a leitura do respectivo
relatório. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono e cons-
truiu-se a figura, inscrita na circunferência, de acordo com os dados. Para determinar as projecções do pentágono, há que inverter o rebati-
mento, o que se processou com o recurso a rectas do plano, para evitar o recurso a cinco triângulos do rebatimento. Assim, começou-se
por desenhar, em rebatimento, três rectas do plano – a recta a (a recta suporte do lado [A B] do pentágono), a recta b (a recta suporte da
A
diagonal [CE] do pentágono, que é paralela à recta a) e a recta c (que é a recta paralela às rectas a e b e contém o vértice D do pentágono).
C
(Continua na página seguinte)
74

17. SOLUÇÕES
Para determinar as projecções destas três rectas recorreu-se a
uma outra recta, paralela às rectas a, b e c , que contenha um
ponto conhecido do plano – a recta r, que contém o ponto O. A
recta r r é paralela a ar, a br e a c r e passa por Or – as projecções
da recta r determinam-se imediatamente, pois a recta r é uma
recta passante (é concorrente com o eixo X num ponto fixo) e as
suas projecções passam pelas projecções homónimas do ponto
O. Em seguida, determinaram-se as projecções da recta a – estas
são paralelas às projecções homónimas da recta r e são concor-
rentes entre si num ponto do eixo X, que é o ponto fixo da recta
(o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é a charneira).
Conduzindo, por A r e por B r, as perpendiculares à charneira que
por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à
charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento),
determinaram-se as projecções de A e B sobre as projecções
homónimas da recta a. O processo descrito repetiu-se em relação
à recta b e aos pontos C e E, bem como em relação à recta c e
ao ponto D, o que nos permitiu determinar as projecções dos cinco
vértices do polígono e, em seguida, desenhar as projecções do
pentágono.
205.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços,
e o ponto A , pertencente ao plano, pelas suas projecções, em
função dos dados. O plano θ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem
os seus traços coincidentes. O ponto A é um ponto de f α, que
é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo.
Em seguida, há que determinar as projecções do ponto B .
Uma vez que o lado [A B] tem as suas projecções paralelas
A
entre si, para que tal se verifique B tem de ter afastamento
igual à cota de A (o lado [A B] está contido numa recta paralela
A
ao β2/4). Um outro processo para determinar as projecções de
B seria determinar, em primeiro lugar, a recta de intersecção do
plano α com o β2/4 (a recta i) – a recta suporte do lado [A B],
A
por ser paralela ao β2/4, seria paralela à recta i. Assim, pelas
projecções de A conduzir-se-iam as projecções homónimas de
uma recta paralela à recta i e B seria o traço horizontal dessa
recta. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em
nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a
um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um
ponto do Plano Frontal de Projecção e B é um ponto do Plano
Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é
indistinto rebater o plano α para o Plano Frontal de Projecção
ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater
o plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é
hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). B é um ponto da charneira, pelo que se tem
imediatamente B r ≡ B 1. Para rebater o plano α há que rebater o
seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto A. Sobre o rebatimento de A e de f α, ver relató-
rio do exercício 182. A partir de Ar e Br construiu-se o triângulo
[A B C] em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento
A
recorreu-se a uma recta horizontal (de nível) do plano – a recta
h, que contém o ponto C – ver exercício 182. A partir das pro-
jecções de todos os vértices do triângulo, desenharam-se as
suas projecções.
206.
Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados – O pertence ao β1/3, pelo que as suas projecções são
simétricas em relação ao eixo X (o ponto tem 4 cm de cota e 4 cm de afastamento, pois pontos do β1/3 têm coordenadas iguais). Note que não é
necessário representar os traços do β1/3 (que estão coincidentes no eixo X, pois trata-se de um plano passante) – ver relatório do exercício 199.
Para determinar as projecções do pentágono, há que rebater previamente o β1/3 e construir o polígono em V.G., em rebatimento, pois o pentágono
(Continua na página seguinte)
75

18. SOLUÇÕES
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o β1/3
não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Não há qualquer
diferença quanto ao plano de projecção para o qual se deverá reba-
ter o β1/3, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se
por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é
o próprio eixo X) – o ponto O rebateu-se com o recurso ao seu triân-
gulo do rebatimento, de forma semelhante à exposta para o rebati-
mento de S no relatório do exercício 199, pelo que se aconselha a
leitura do respectivo relatório. Com o compasso, fazendo centro em
Or, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono (que é
tangente ao eixo X) e construiu-se a figura, inscrita na circunferência,
A
de acordo com os dados (A tem cota nula, pelo que é um ponto do
eixo X –os pontos do β1/3 que têm cota nula situam-se todos no eixo
X, pelo que A é o ponto em que a circunferência é tangente ao eixo
X). Para determinar as projecções do pentágono, há que inverter o
rebatimento, o que se processou com o recurso a rectas do plano,
para evitar o recurso a quatro triângulos do rebatimento. Assim,
começou-se por desenhar, em rebatimento, a recta r – a recta r é
uma recta que contém o ponto O e que contém um vértice do pentá-
gono (o vértice C). A recta rr passa por Or e Cr – as projecções da
recta r determinam-se imediatamente, pois trata-se de uma recta
passante (é concorrente com o eixo X num ponto fixo) e as suas pro-
jecções passam pelas projecções homónimas do ponto O. Condu-
zindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homóni-
mas da recta r. A recta a é a recta suporte da diagonal [BE] do pen-
B
tágono – é uma recta fronto-horizontal. A recta ar passa por Br e Er e
é concorrente com rr no ponto Pr. As projecções de P determinaram-se imediatamente, sobre as projecções homónimas da recta r, recorrendo ao
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas da recta a –
a recta a está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é fronto-horizontal). Conduzindo, por Br e por Er, as perpendiculares à char-
neira que por eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determina-
ram-se as projecções de B e E sobre as projecções homónimas da recta a. A recta b é a recta suporte do lado [CD] do pentágono – é outra recta
C
fronto-horizontal. A recta br passa por Cr e Dr e é concorrente com rr em Cr. As projecções de C já são conhecidas. Pelas projecções de C
conduziram-se as projecções homónimas da recta b – a recta b está definida por um ponto (o ponto C) e por uma direcção (é fronto-horizontal).
Conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento),
determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta b. A é um ponto de charneira, que é o eixo X pelo que se tem ime-
diatamente Ar ≡ A1 ≡ A2. A partir das projecções dos cinco vértices do polígono, desenharam-se as projecções do pentágono.
207.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelo seu traço horizontal
(o único que é conhecido), bem como o ponto A , pelas suas projecções,
em função dos dados – A é um ponto de hα, que é uma recta horizontal (de
nível) do plano com cota nula. Os dados do enunciado não nos permitem
desenhar f α – note que o ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do
plano) é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que
está contido no plano α) e não tem correspondência directa em projec-
ções, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção.
Trata-se, portanto, de uma situação semelhante à do exercício 203, pelo
que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O plano α não é paralelo
a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um
processo geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal
de Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charnei-
ra, caso se efectuasse o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de
Projecção). Assim, a charneira foi h α, pelo que se tem imediatamente
hα ≡ e1 ≡ hαr – A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento,
com vértice no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um
ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hαr, mediram-se os
60o (o ângulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o
que nos permitiu desenhar f αr. O vértice B, do triângulo, tem afastamento
nulo, pelo que B é um ponto de f α – B r tem de se situar sobre f αr. Por outro
lado, o ângulo que o lado [A B] faz com hα é, também, um ângulo real que
A
está contido no próprio plano α (e que também não tem correspondência
(Continua na página seguinte)
76

19. SOLUÇÕES
directa em projecções). Uma vez que o plano α já está rebatido, esse ângulo já pode ser medido em V.G. (em rebatimento). Assim, com
vértice em A r e a partir de hαr, mediram-se os 60°, havendo duas hipóteses de o fazer – numa delas, o outro lado do ângulo fica paralelo a
f αr, pelo que o ponto B se situaria no infinito. Assim, das duas hipóteses para medir os 60°, apenas a apresentada é a solução pretendida –
o ponto B r situa-se sobre f αr. A partir de A r e de B r construiu-se o triângulo [A B C] em V.G., em rebatimento – note que, em função dos ângu-
A
los dados, o lado [B r Cr] é necessariamente paralelo a hαr (está contido numa recta horizontal do plano) e o lado [A r Cr] é necessariamente
B A
paralelo a f αr (está contido numa recta frontal do plano). Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f α, o que se processa determi-
nando as projecções de um dos seus pontos – o ponto B, neste caso, que é o único ponto conhecido de f α (note que se poderia, de qual-
quer forma, representar um outro ponto qualquer sobre f αr). Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano
ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se B 1 no eixo X (B é um ponto com afastamento nulo). Com o
B
compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até B r, desenhou-se um arco de circunfe-
rência até à linha de chamada de B 1, onde se situa B 2 – f α passa por B 2 e é concorrente com hα no eixo X. A inversão do rebatimento do
ponto Cr processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano α (a recta h, que é a recta suporte do lado [B C] do triân-
B
gulo), à semelhança do exercício 182, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que o ponto B é o traço frontal da recta
h. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções.
208.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelo seu traço hori-
zontal (o único dado concreto, uma vez que o enunciado é omisso
em relação ao traço frontal do plano), bem como o ponto C, pelas
suas projecções, em função dos dados – C é um ponto de hρ, que
é uma recta horizontal (fronto-horizontal) do plano com cota nula.
O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo
que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. O
ponto C é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que se
rebateu o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira
é hρ – hρ ≡ e1 ≡ hρr) – tem-se imediatamente Cr ≡ C1, pois C é um
ponto da charneira. Note que não seria possível rebater o plano ρ
para o Plano Frontal de Projecção, pois não é conhecido o seu tra-
ço frontal (que seria, nessa situação, a charneira). Não é possível
rebater o traço frontal do plano, pois aquele não é conhecido, mas
é possível prosseguir com o exercício. Consideremos, então, plano
ρ já rebatido e efectuemos os traçados necessários à construção
do quadrado em rebatimento. O ângulo dado entre a diagonal
[A C] e o traço horizontal do plano é um ângulo real, que existe no
A
espaço e não em projecções (esse ângulo está contido no plano
ρ) – ver exercício 190 e respectivo relatório. Assim, uma vez que o
plano está rebatido, esse ângulo está em V.G. – com vértice em Cr,
e a partir de hρr, mediram-se os 60° (o ângulo dado), garantindo
que A se situa à esquerda de C, e obtendo uma recta rr (a recta r é
a recta suporte da diagonal [A C] do quadrado). Sobre rr mediram-
A
-se os 8 cm (o comprimento da diagonal) e determinou-se Ar (note
que Ar se situa à esquerda de Cr – caso o ângulo se tivesse medido
para a direita, Ar situar-se-ia à direita de Cr). Por Ar conduziu-se fαr, paralelo a hρr (e ao eixo X) – note que é dado, no enunciado, que A tem afas-
tamento nulo, pelo que A é um ponto de fρ. A partir de Ar e Cr, construiu-se o quadrado [A BCD] em V.G., em rebatimento. Para determinar as
A
projecções do polígono, há que inverter o rebatimento. Comecemos por determinar fρ – para tal é necessário inverter o rebatimento de um ponto
de fρ, que é o ponto A. Por Ar conduziu-se uma perpendicular à charneira, que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento (que é um plano de perfil, que também contém o triângulo do rebatimento de A) e determinou-se A1 no eixo X (A tem afasta-
A
mento nulo). O triângulo do rebatimento de A, no espaço, é o triângulo [OAA1] – note que O é o ponto de intersecção da charneira com o plano
O
de perfil que contém o triângulo, pelo que O é o centro do arco do rebatimento de A (O é um ponto fixo do qual não se assinalaram as projec-
O
ções, por questões de simplificação da leitura da resolução gráfica apresentada). O triângulo [OAA1] é rectângulo em A1 e a hipotenusa [OA]
O O
está contida numa recta de perfil (que é a recta de intersecção do plano ρ com o plano de perfil que contém o triângulo). Com o compasso,
fazendo centro em O e raio até Ar ([OA] é a hipotenusa do triângulo do rebatimento de A e está em V.G. no rebatimento do plano ρ) desenhou-
O
-se um arco de circunferência até ao eixo X, onde se situa Ar1 – o triângulo do rebatimento de A está em V.G. (pelo rebatimento do plano de perfil
que o contém) no triângulo [OA1Ar1]. Note que A1Ar1 é a cota de A – com o compasso, fazendo centro em A1 e raio até Ar1, desenhou-se um
O
arco de circunferência até à perpendicular à charneira que passa por Ar (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento bem como o seu triângulo do rebatimento) e determinou-se A2. O traço frontal do plano ρ, fρ, passa por A2 e é paralelo ao
eixo X. Para inverter o rebatimento dos pontos B e D recorreu-se a duas rectas do plano, paralelas à recta r – a recta a e a recta b. A recta ar
passa por Br e é paralela a rr – Hr é o ponto de concorrência de ar com hρr e é um ponto da charneira (é fixo), pelo que se tem imediatamente
H1 ≡ Hr (H2 situa-se no eixo X). As projecções da recta a determinaram-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas de H e parale-
H
las às projecções homónimas da recta r – a recta a está definida por um ponto (H) e por uma direcção (é paralela à recta r). Note que as projec-
H
ções da recta a se poderiam ter determinado a partir dos seus dois traços, à semelhança da situação do exercício 190. Conduzindo, por Br, uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projec-
ções de B sobre as projecções homónimas da recta a. O processo exposto repetiu-se para o vértice D – a recta b é a recta paralela à recta r que
contém D e H’ é o seu traço horizontal. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções.
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