1) O documento descreve os passos para representar as projeções de sólidos geométricos tridimensionais, incluindo pirâmides e pentágonos, utilizando processos geométricos auxiliares como rebatimentos de planos. 2) Inclui exemplos detalhados com explicações passo-a-passo para construir as projeções de uma pirâmide sobre um quadrado e de uma pirâmide sobre um pentágono. 3) Fornece detalhes sobre como determinar os contornos aparentes das projeções e qu

1. SOLUÇÕES
18
R EPRESENTAÇÃO DE S ÓLIDOS III
338.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os
pontos A e C, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, em
função dos dados. O plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus
traços são simétricos em relação ao eixo X. A é um ponto de hα,
que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A e C
situam-se no mesmo plano de perfil (situam-se na mesma recta de
perfil), pelo que têm a mesma abcissa e C é um ponto de f α, que é
uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Uma
vez que o quadrado [A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum
A
dos planos de projecção, para construir as suas projecções da
base da pirâmide, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de
Projecção – a charneira foi hα e tem-se imediatamente A r ≡ A 1. Note
que, em termos de economia de traçados, seria indistinto o rebati-
mento para qualquer dos dois planos de projecção, pois o ponto C
é um ponto do Plano Frontal de Projecção. O ponto C foi o ponto
que nos permitiu rebater f α. Em rebatimento, construiu-se o quadra-
do [A BCD] em V.G. e determinou-se Or, o centro do quadrado em
A
rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a rectas
frontais (de frente) do plano, obtendo-se as projecções de B e D
(ver exercício 180) – note que se omitiram as notações referentes às
rectas frontais (de frente) que nos permitiram inverter o rebatimento
de Br e Dr, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução
gráfica apresentada. A partir das projecções dos quatro vértices do
quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções
do sólido). As projecções de O determinaram-se directamente a partir do desenho das projecções das diagonais do quadrado. Em seguida,
pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide.
Note que a recta p é uma recta passante nesta situação particular. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 6 cm de O. Como a recta p é
oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o
O
recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano γ) para o Plano Horizontal de
Projecção – a charneira foi hγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrência
com o eixo X (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). A recta pr fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X
(note que Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Sobre pr, a partir de Or1, mediram-se os 6 cm (a altura da
pirâmide), obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as pro-
jecções homónimas da recta p. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o con-
torno aparente frontal é [A 2B2V2C2D2] e o contorno aparente horizontal é [A 1V1B1C1D1]. Em projecção frontal, todos os vértices integram o
A A
contorno aparente frontal. No entanto, a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [B CV] pelo que a aresta [B C] da base é a única
B B
aresta invisível em projecção frontal (as restantes arestas são todas visíveis). Também em projecção horizontal se tem que todos os vértices
integram o contorno aparente horizontal. Também nesta projecção a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [A BV] pelo que a
A
aresta [A B] da base é a única aresta invisível em projecção horizontal (as restantes arestas são todas visíveis).
A
339.
Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos da-
dos. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 2 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-
ções do ponto O. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dos
planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano δ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo
X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à
perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – f δr passa por Fr e é concorrente com hδr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é para-
lela a hδr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebati-
mento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu
rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Uma vez que a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente a hδ, com centro em Or dese-
nhou-se uma circunferência tangente a hδr – o vértice A do polígono, porque tem cota nula, é o ponto de tangência da circunferência com hδr.
Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A é
um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. A inversão do rebatimento dos pontos B, C, D e E
(Continua na página seguinte)
127

2. SOLUÇÕES
processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível)
do plano que por eles passam, obtendo-se as suas projec-
ções (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se
omitiram as notações referentes às rectas horizontais (de ní-
vel) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos,
com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfi-
ca apresentada. A partir das projecções dos cinco pontos,
desenharam-se as projecções do pentágono (a traço leve,
pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-
cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas pro-
jecções de O conduziram-se as projecções homónimas de
uma recta p, ortogonal a δ – a recta p é a recta suporte do
eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p,
a 8 cm (a altura da pirâmide) de O. Como a recta p é oblíqua
aos dois planos de projecção, o segmento [OV] não se pro-
O
jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.
Optou-se por rebater o plano projectante frontal da recta p
(o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi
fγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos
seus pontos – o ponto O e o seu traço horizontal, H. A recta pr
fica definida por Or1 (Or1 é o ponto O no seu segundo rebati-
O
mento – o rebatimento do plano γ) e por Hr. Sobre pr, a partir
de Or1, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendo-
se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o
rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as
projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de
todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contor-
nos aparentes – o contorno aparente frontal é [A2V2D2E2] e
A
o contorno aparente horizontal é [B1V1E1D1C1]. Em projec-
B
ç ã o f r o n t a l, há dois vértices que não integram o contorno
aparente – C e D. Estes são os vértices de menor afastamento
do sólido, pelo que são invisíveis (bem como todas as ares-
tas que neles convergem). A base do sólido é invisível, bem
como as faces laterais [A BV], [B CV] e [CDV]. A aresta lateral [EV] é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces late-
A B C E
rais [AEV] e [DEV]. Em projecção horizontal, o vértice A é o único vértice que não integra o contorno aparente horizontal – este é invisível (por
A D
ser o vértice de menor cota), bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, a base do sólido é invisível, tal como
as faces laterais [A BV] e [AEV]. As restantes faces laterais são visíveis, bem como as restantes arestas.
A A
340.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto do Plano Frontal de
Projecção (A tem afastamento nulo), pelo que é um ponto de f α. O ponto B é
A
B
um ponto do Plano Horizontal de Projecção (B tem cota nula), pelo que é um
ponto de hα. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coinci-
dentes – estes estão coincidentes na recta que passa por A 2 e por B1. O triân-
gulo [A B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção
A
(o plano que o contém – o plano α – é oblíquo a ambos os planos de projec-
ção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Em
termos de economia de traçados, é indistinto o plano de projecção para o
qual se processe o rebatimento do plano α, pois temos um ponto de cada
plano de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Hori-
zontal de Projecção – a charneira é hα e B r ≡ B 1, pois B é um ponto da char-
neira. É necessário rebater f α, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto A . Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que
corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati-
mento) – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos tra-
ços do plano e raio até A 2, transportou-se essa distância para a perpendicular
à charneira que passa por A 1, obtendo A r. O traço frontal do plano rebatido
(f αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r cons-
f
truiu-se o triângulo [A B C] em V.G., em rebatimento e, com vista à determina-
A
ção das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro –
o ponto O. A inversão do rebatimento dos pontos O e C processou-se com
(Continua na página seguinte)
128

3. SOLUÇÕES
o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 183 e respectivo relatório. A recta f é a recta frontal (de frente)
que nos permitiu determinar as projecções de C. A recta f ’ é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de O. A
partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar
para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas
de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque tem cota nula, é o traço ho-
rizontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partir
das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [B2V2C2] e o B
contorno aparente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A . Este é
A
o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisí-
vel, bem como as faces laterais [A BV] e [ACV]. Em projecção horizontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, as
A A
faces laterais [A BV] e [B CV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [BV] (a aresta que separa aquelas faces) é invisível. Já a aresta [A C] da
A B B A
base é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – a base e a face lateral [ACV].
A
341.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus
traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente
ao plano, em função dos dados. O plano α tem os seus
traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h,
horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 4 cm de
cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar
as projecções do ponto O. O plano α não é paralelo a ne-
nhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não
se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção
– é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-
liar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizon-
tal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Para
rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que
se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F
(traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-
-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corres-
ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorren-
tes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto
da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo cen-
tro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distân-
cia até à perpendicular à charneira que passa por F1 e
obteve-se Fr – f αr passa por Fr e é concorrente com hαr no
eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectas
horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas
ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e
em rebatimento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charnei-
ra que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio,
desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de
acordo com os dados – o lado [A B] é horizontal (é paralelo a hαr), sendo A o vértice de maior afastamento e C o vértice de menor cota
A
(o vértice que se situa mais próximo de hαr). Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas
horizontais (de nível) do plano que por eles passam (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentes
às rectas horizontais (de nível) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolu-
ção gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-
-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se
as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque
tem afastamento nulo, é o traço frontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qual-
quer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno
aparente frontal é [B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno
B A
aparente – o vértice A . Este é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele convergem).
A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [A BV] e [ACV] (a face lateral [B CV] é a única face invisível em projecção frontal). Em
A A B
projecção horizontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é
invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face lateral [A BV] é a única face visível em projecção horizontal – a base e as
A
restantes faces são invisíveis.
129

4. SOLUÇÕES
342.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A ,
pelas respectivas projecções, em função dos dados, e
desenharam-se as projecções da recta r. Em seguida, uma
vez que A é o traço frontal da recta r, foi possível desenhar
imediatamente f ψ, passando por A 2 e perpendicular a r 2.
Para determinar hψ poder-se-ia determinar o traço horizon-
tal da recta r, mas optou-se por conduzir, por O, uma recta
frontal (de frente) f, do plano (paralela a f ψ) – H é o traço
horizontal da recta f. O traço horizontal do plano, hψ, passa
por H1 e é concorrente com f ψ no eixo X. O plano ψ não é
paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o
quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos
de projecção – é necessário o recurso a um processo geo-
métrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Pla-
no Frontal de Projecção, com vista a uma maior economia
de traçados, optou-se por rebater o plano ψ para o Plano
Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr e tem-
-se imediatamente A r ≡ A 2). Para rebater o plano ψ há que
rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebaten-
do um dos seus pontos – o ponto H (traço horizontal da
recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H2, uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-
gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento).
Os traços do plano ψ são concorrentes num ponto fixo
(um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com
o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e
raio até H1, transportou-se essa distância até à perpendi-
cular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr – hψr
passa por Hr e é concorrente com f ψr no eixo X. A recta f r
passa por Hr e é paralela a f ψr. Conduzindo, por O2, uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-
gonal à charneira que contém o seu arco do rebatimento) determinou-se Or sobre f r. A recta r r fica definida por A r e por Or. Note que não se-
ria possível rebater o ponto O exclusivamente através do rebatimento da recta r, o que justifica o facto de se ter recorrido a uma recta frontal
(de frente) do plano, passando por O. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao
quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. A inversão do rebatimento dos pontos B e D efec-
tuou-se com o recurso à recta frontal (de frente) f, que passa por O, pois os dois pontos pertencem à mesma recta. A inversão do rebati-
mento do ponto C processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano, passando por C – note que se omitiram as
notações referentes à projecção frontal da recta horizontal (de nível) que nos permitiu inverter o rebatimento de Cr, com vista a não sobre-
carregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Omitiu-se a representação da projecção horizontal da recta horizontal (de nível), pois
C é um ponto da recta r e, assim, as projecções de C situam-se sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos
quatro pontos, desenharam-se as projecções do polígono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício,
que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o quadrado [A B CD] é uma base de um prisma situado no 1o Diedro,
A
pelo que se infere que se trata da base inferior do sólido. Assim, em seguida conduziu-se, por C, uma recta p, ortogonal ao plano ψ – a recta p é
a recta suporte da aresta lateral [CC’] do prisma, que mede 5 cm (a altura do prisma). Como a recta p é oblíqua aos dois planos de projec-
C
ção, o segmento [CC’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geo-
C
métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano α) para o Plano Horizontal de Projecção – a
charneira foi hα (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto C e H’, o seu traço horizontal. A recta pr fica
definida por Cr 1 e H’r (note que Cr 1 é o ponto C no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano α). Sobre pr, a partir de Cr 1, medi-
ram-se os 5 cm (a altura do prisma), obtendo-se C’r (garantindo que C’ se situa no 1º Diedro). Inverteu-se o rebatimento de α, obtendo-se
as projecções de C’, sobre as projecções homónimas da recta p. As projecções de A’, B’ e D’, os restantes vértices da base superior, deter-
minaram-se atendendo a que os lados do quadrado [A’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A B CD] e que os
A A
seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a ψ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções
de C’, conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta suporte da
B
aresta lateral [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de C’, e ainda para A’, a partir de
B
B’ ou de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente
f r o n t a l é [B 2C2D2D’2A’2B’2] e o contorno aparente horizontal é [A 1D1C1C’1B’1A’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não in-
B A
tegram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele
convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em
p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota,
pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem
como todas as arestas que nele convergem). A base [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a base [A B CD] é invisível em ambas as
A A
projecções.
130

5. SOLUÇÕES
343.
Em primeiro lugar representou-se o plano λ, pelos seus
traços, e os pontos R e S, pelas suas projecções e perten-
centes ao plano, em função dos dados. O ponto R é um
ponto de h λ, pois tem cota nula. A recta h , horizontal
(de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota, foi a
recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-
ções do ponto S. O plano λ não é paralelo a nenhum dos
planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta
em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é neces-
sário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Com
vista a uma maior economia de traçados, e uma vez que o
ponto R é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
optou-se por rebater o plano λ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hλ – hλ ≡ e1 ≡ hλr e tem-se imedia-
tamente Rr ≡ R1). Para rebater o plano λ há que rebater o
seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por
exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular
à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-
neira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços
do plano λ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do
eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao
compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2,
transportou-se essa distância até à perpendicular à char-
neira que passa por F1 e obteve-se Fr – fλr passa por Fr e
é concorrente com hλr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é
paralela a hλr. Por S1 conduziu-se uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Sr sobre hr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,
obtendo Tr. A inversão do rebatimento de T processou-se com o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por T (recta f). A partir
das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do
exercício, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o triângulo [R’S’T’] é a base superior do prisma, pelo que se
R
infere que o triângulo [RST] é sua base inferior. Por outro lado, sabe-se que o vértice S’, da base superior, tem afastamento nulo – assim, em
R
seguida conduziu-se, por S, uma recta p, ortogonal ao plano λ (a recta p é a recta suporte da aresta lateral [SS’] do prisma). O ponto S’ é ime-
S
diatamente o traço frontal da recta p. As projecções de R’ e T’, os restantes vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que os
lados do triângulo [R’S’T’] são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST] e que os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais
R R
a λ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções de S’ conduziram-se as projecções da recta suporte
do segmento [R’S’], paralelas às projecções homónimas de [RS], até encontrarem as projecções homónimas da recta p’ (a recta suporte da
R R
aresta lateral [R R ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é R’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de S’ (a recta suporte da aresta
R
lateral [T T’] é a recta p’’). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno
T
aparente frontal é [R 2S2S’2T’2R’2] e o contorno aparente horizontal é [S1T1T’1R’1S’1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não
R S
integra o contorno aparente – o vértice T’, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que
nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de
menor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base [RST] é visível em projecção frontal e invisível em
R
projecção horizontal. A base [R’S’T’] é visível em projecção horizontal (a aresta [S’T’] da base é visível) e invisível em projecção frontal (a
R S
aresta [R’S’] da base é invisível).
R
344.
Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos
dados. O plano γ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cm
de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geo-
métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hγ – hγ ≡ e1 ≡ hγr). Para rebater o plano γ
há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo.
Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do pla-
no (que é um ponto fixo) e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo-se Fr. O tra-
ço frontal do plano rebatido, f γr, passa por Fr e é concorrente com hγr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hγr (rectas horizontais
de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira e determi-
nou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e
construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de acordo com os dados – o lado [A B] é frontal (é paralelo a
A
f γr), sendo A o vértice de maior cota. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas frontais
(de frente) do plano que por eles passam (ver exercício 187 e respectivo relatório). A partir das projecções dos três vértices do triângulo,
desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do
(Continua na página seguinte)
131

6. SOLUÇÕES
sólido) – note que o lado [A B ] é frontal
A
(paralelo a f γ), o lado [B C ] é horizontal
B
(paralelo a h γ) e o lado [A C] é de perfil.
A
Em seguida conduziu-se, por C, uma recta
c, ortogonal ao plano γ – a recta c é a rec-
ta suporte da aresta lateral [CC’] do pris-
C
ma, que mede 4 cm (a altura do prisma).
Como a recta c é oblíqua aos dois planos
de projecção, o segmento [C C ’ ] não se
C
projecta em V.G. em nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o re-
curso a um processo geométrico auxiliar.
Optou-se por rebater o plano projectante
horizontal da recta c (o plano α) para o
Plano Frontal de Projecção – a charneira
foi f α (recta e’). A recta c rebateu-se com o
recurso a dois dos seus pontos – o ponto
C e F’, o seu traço frontal. A recta c r fica
definida por C r 1 e F’ r (note que C r 1 é o
ponto C no seu segundo rebatimento – no
rebatimento do plano α). Sobre c r, a partir
de C r 1, mediram-se os 4 cm (a altura do
prisma), obtendo-se C’ r (garantindo que
C’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o re-
batimento de α, obtendo-se as projecções
de C’ sobre as projecções homónimas da
recta c. As projecções de A’ e B’, os ou-
tros dois vértices da base superior, deter-
minaram-se atendendo a que os lados do
triângulo [A’B’C’] são paralelos aos lados
A
correspondentes do triângulo [A B C] e que
A
os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a γ (paralelas à recta c) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projec-
ções de C’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a rec-
B
ta suporte da aresta lateral [BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para A’ – pelas projecções de C’
B
conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta a (a recta suporte
A
da aresta lateral [A A ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é A’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-
A
se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2A’2B’2B 2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1B’1C’1C1]. Em
A A
projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C’, que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo
que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não integra o contor-
no aparente – o vértice A’, que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. A
base [A’B’C’] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal. A base [A B C] é visível em projecção frontal e invisível em
A A
projecção horizontal – a aresta [A B] da base é visível em projecção frontal e a aresta [B C] da base é invisível em projecção horizontal.
A B
345.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano α, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados. O ponto A é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O ponto B é um ponto de hα, que é
uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário
o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto B é um pon-
to do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Frontal
de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção
(a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que re-
bater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A , que é um ponto de f α. Para tal conduziu-se, por A 1,
uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo) e
raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por A 1, obtendo-se A r. O traço frontal do plano rebatido,
f αr, passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Para inverter o re-
batimento dos pontos C e D, recorreu-se à recta suporte do lado [CD] do quadrado – a recta s. A recta sr passa por Cr e Dr e é paralela à
C
recta r r, que é a recta que passa por A r e B r (a recta r é a recta suporte do lado [A B] do quadrado). As projecções da recta r determinam-se
A
imediatamente – estão definidas pelas projecções homónimas de A e B. A recta sr é concorrente com hαr no ponto Hr – H é o traço horizon-
tal da recta s. As projecções de H determinam-se imediatamente, pois H é um ponto da charneira (é fixo). A recta s fica definida por um pon-
to (H) e por uma direcção (é paralela à recta r ), o que nos permitiu desenhar as projecções da recta s – passam pelas projecções
H
homónimas de H e são paralelas às projecções homónimas da recta r. Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por
(Continua na página seguinte)
132

7. SOLUÇÕES
eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se
as projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-
-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em
seguida conduziu-se, por A , uma recta a, ortogonal ao plano α – a recta a é a recta suporte da aresta [A A ’] do cubo, cujo comprimento será
A
igual ao lado do quadrado [A r B r Cr Dr]. Como a recta a é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [A A ’] não se projecta em V.G.
A A
em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano pro-
jectante horizontal da recta a (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ (recta e’). A recta a rebateu-se com o recurso
a dois dos seus pontos – o ponto A (que é o seu traço frontal) e um ponto P, qualquer, da recta. A recta ar fica definida por A r 1 e Pr (note
que A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Transportou-se a medida do lado do quadrado [A r B r Cr Dr] A
para ar, a partir de A r 1, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções
de A’ sobre as projecções homónimas da recta a. As projecções de B’, C’ e D’, os outros três vértices da face superior do cubo, determina-
ram-se atendendo a que os lados do quadrado [A’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A B CD] e que os seus
A A
vértices estão sobre as rectas ortogonais a α (paralelas à recta a) que contêm as respectivas arestas. Assim, pelas projecções de A’ condu-
ziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a recta suporte da
A
aresta [BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’ – pelas projecções de A’ conduziram-se as
B
projecções da recta suporte do segmento [A’D’], até encontrarem as projecções homónimas da recta d (a recta suporte da aresta [DD’]) e o
A D
ponto de concorrência das duas rectas é D’. Por fim, repetiu-se uma vez mais o processo descrito para C’ – pelas projecções de B’ (ou de D’)
conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’] (ou do segmento [C’D’]), até encontrarem as projecções homónimas da
B C
recta c (a recta suporte da aresta [CC’]) e o ponto de concorrência das duas rectas é C’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido,
C
desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [B 2B’2A ’2D’2D2C2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é
B
[A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de
A
maior afastamento do cubo, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor
afastamento do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem
dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota do cubo, pelo que é visível bem como todas
as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que
nele convergem). A face [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a face [A B CD] é invisível em ambas as projecções.
A A
133

8. SOLUÇÕES
346.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e T, pelas
suas projecções, em função dos dados. Em seguida, dese-
nharam-se os traços do plano ρ – T tem cota nula, pelo que
hρ passa por T1, e R tem afastamento nulo, pelo que f ρ passa
por R 2. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos
planos de projecção – para construir as suas projecções é
necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma
vez que o ponto R é um ponto do Plano Frontal de Projecção
e que o ponto T é um ponto do Plano Horizontal de Projec-
ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o
rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou
para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o
plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi
hρ. Tr ≡ T1, pois T é um ponto da charneira. Para rebater o
plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa
rebatendo um dos seus pontos – o ponto R (que é um ponto
de f ρ), por exemplo. Para tal conduziu-se, por R , uma perpen-
dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à
charneira que contém o arco do seu rebatimento) – com o
compasso, fazendo centro em R 1 e raio até R 2 (o raio é a cota
de R ) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos
permitiu construir o triângulo do rebatimento de R em V.G. e
determinar Rr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em
rebatimento, f ρr, passa por R r e é paralelo ao eixo X (e a hρr).
A partir de R r e Tr construiu-se o quadrado em V.G., em reba-
timento, determinando Sr e Ur, bem como Or (O é o centro da
O
circunferência circunscrita ao quadrado). Para inverter o reba-
timento de Sr conduziu-se, por Sr , uma recta sr, paralela à
recta r r – a recta r é a recta que passa por R e T, cujas projec-
ções se determinaram imediatamente. O traço horizontal da
recta s é fixo (é um ponto da charneira), pelo que as suas
projecções se determinaram imediatamente (note que não se
identificou o traço horizontal da recta s, nem em projecções
nem em rebatimento, de forma a não sobrecarregar visual-
mente a resolução gráfica apresentada). A recta s, em projecções, fica definida por um ponto (o seu traço horizontal) e por uma direcção (é
paralela à recta r), o que nos permitiu desenhar imediatamente as suas projecções, paralelas às projecções homónimas da recta r. Condu-
zindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), de-
terminaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta s. Repetiu-se o processo para o ponto U – a recta m é a recta
paralela à recta r que passa por U e está igualmente definida por um ponto e uma direcção (as projecções do ponto U determinaram-se a
partir das projecções da recta m). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço
leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). As projecções do ponto O determina-
ram-se a partir das duas diagonais do quadrado – O2 é o ponto de concorrência das projecções frontais das duas diagonais do quadrado e
O1 é o ponto de concorrência das projecções horizontais das duas diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de O, conduzi-
ram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está
definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a
recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos
seus traços, F e H). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares
no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm de O (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] O
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se
pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e ’ ). A recta i r fica definida por Fr e Hr. Note que o
ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (Or 1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do
O
plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir de Or 1, mediram-se os 8 cm, obtendo-se Vr (garantindo
que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do
sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [S2T2U2V2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é
S
[R 1S1V1U1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de menor afastamento
R
do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não
integra o contorno aparente – o vértice T, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele
convergem. A aresta lateral [TV] é visível em projecção frontal, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces laterais [STV]
T S
e [TUV]. A aresta lateral [R V] é visível em projecção horizontal, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – as faces laterais
T R
[RSV] e [RUV].
R R
134

9. SOLUÇÕES
347.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação
ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as projecções de A e B – A tem cota nula, pelo que é um
ponto de hρ e B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f ρ. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pelo que se situam na mesma
linha de chamada. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projec-
ções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que
o ponto B é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para
o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou--se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projec-
ção – a charneira foi hρ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se proces-
sa rebatendo um dos seus pontos – o ponto B (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por B, uma perpendicular à
charneira – com o compasso, fazendo centro em B 1 e raio até B 2 (a cota de B) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permi-
tiu construir o triângulo do rebatimento de B em V.G. e determinar B r (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa
por B r e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, determinando Cr (garantindo que
C é o vértice de menor abcissa, ou seja, o vértice que se situa mais à direita) e Or (O é o centro do triângulo). Para inverter o rebatimento de
O
Or conduziu-se, por Or e por B r, uma recta r r – r r é concorrente com hρr no ponto Hr (H é o traço horizontal da recta r e B é o seu traço fron-
H
tal). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente, o que nos permitiu, em seguida, determinar
as projecções da recta r, passando pelas projecções homónimas de H e B. Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira, determina-
ram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de r. Cr situa-se na recta fronto-horizontal que passa por Or e cujas projecções
se determinaram a partir das projecções homónimas de O – conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram--se as pro-
jecções de C sobre as projecções homónimas da recta fronto-horizontal. A partir das projecções dos três vértices do triângulo,
desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do
sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo
da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é orto-
gonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersec-
ção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F e H’). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a
recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 7 cm de O
(a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o
O
recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi
f π (recta e’). A recta i r fica definida por Fr e H’r. Note que o ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (Or 1 é o
O
ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir
de Or 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projec-
ções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente fron-
tal é [A 2B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno
A A
aparente – no entanto, a base é invisível em projecção frontal, tal como a face lateral [B CV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta
B
[B C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos
B
os vértices da pirâmide integram também o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral
[ACV]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na
A A
parte visível do sólido).
135

10. SOLUÇÕES
348.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos
seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem
os seus traços simétricos em relação ao eixo X,
pois é ortogonal ao β1/3. A recta r é a recta do plano
a que se recorreu para determinar as projecções do
ponto Q (a recta r está definida pelos seus traços,
H e F). Uma vez que o triângulo não se projecta em
V.G. em nenhum dos planos de projecção, para
construir as suas projecções é necessário o recurso
a um processo geométrico auxiliar. Note que o ân-
gulo dado (o ângulo que um dos lados do triângulo
faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano
(trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem
correspondência directa em projecções, pois o pla-
no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de pro-
jecção. Ao nível da economia de traçados é
indistinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de
Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção.
Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizon-
tal de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H
(o traço horizontal da recta r) é um ponto da char-
neira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu
traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r),
por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma per-
pendicular à charneira – com o compasso, fazendo
centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-
-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu
construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e
determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do
plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é para-
lelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e Hr conduziu-se r r –
conduzindo, por Q1, uma perpendicular à charneira
(que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Qr sobre r r. Com centro em Qr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângu-
lo e construiu-se o polígono, em V.G., inscrito na circunferência e de acordo com os dados. O ângulo que um lado do triângulo faz com hρ
pode, agora, em rebatimento, ser medido em V.G. – o lado [A B] é o lado do triângulo que faz, com hρ, um ângulo de 20o e o vértice C será,
A
assim, o vértice de menor cota do triângulo. Note que caso se tratasse da outra situação possível, em que C seria o vértice de maior cota do
polígono, C não se situaria no espaço do 1o Diedro, o que implica que a situação apresentada é a única solução do problema. Para inverter o
rebatimento de A r e Cr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta sr – sr é concorrente com hρr em H’r (H’ é o traço horizontal da recta s) e é
H
concorrente com f ρr em F’r (F’ é o traço frontal da recta s). A recta s é a recta suporte do lado [A C] do triângulo. H’ é um ponto da charneira,
F A
pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente. As projecções de F’ determinaram-se conduzindo, por F’r uma perpendicular
à charneira – F’ é um ponto de f ρ. A partir das projecções de F’ e H’, desenharam-se as projecções da recta s. Conduzindo, por A r e Cr, as
perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e C sobre as projecções homónimas de s. Para in-
verter o rebatimento de B r conduziu-se, por A r e B r, uma recta mr – mr é concorrente com f ρr em F’’r (F’’ é o traço frontal da recta m). A recta
F
m é a recta suporte do lado [A B] do triângulo. As projecções de F’’ determinaram-se conduzindo, por F’’r uma perpendicular à charneira – F’’
A
é um ponto de f ρ. A partir das projecções de A e F’’, desenharam-se as projecções da recta m. Conduzindo, por B r, uma perpendicular à
charneira, determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas de m. A partir das projecções dos três vértices do triângu-
lo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções
do sólido). Sobre a determinação das projecções de V, o vértice da pirâmide, ver relatório do exercício anterior. A partir das projecções de
todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2C2B 2V2] e o contorno apa-
A
rente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a base é in-
A
visível em projecção frontal, tal como a face lateral [A BV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta [A B] da base é invisível (as restantes
A A
arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram tam-
bém o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral [ACV]. Assim, em projecção hori-
A
zontal, apenas a aresta [A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido).
A
136

11. SOLUÇÕES
349.
Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as
projecções de B – o lado [A B] é fronto-horizontal e projecta-se em V.G. em ambos os planos de projecção. A recta g é a recta fronto-hori-
A
zontal que passa por A e B. O plano está definido por um ponto (o ponto A ) e pela sua orientação (é dada a amplitude do diedro que o pla-
no faz com o Plano Horizontal de Projecção). O primeiro problema que o exercício nos coloca é a determinação dos traços do plano, o que
poderia ser resolvido com o recurso a uma recta de perfil do plano, passando por A , e com o rebatimento do plano de perfil que contivesse
a recta. No entanto, optou-se por uma situação diferente – o recurso a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num
plano de topo. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (plano 2) por um novo plano de projecção (plano 4), ortogonal ao plano ρ
p p
– o novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 (o Plano Horizontal de Projecção, que se manteve) com o plano 4 e é per-
pendicular ao eixo X. As projecções de A e B no plano 4 determinaram-se em função da sua cota (que é a mesma), que se manteve, o que
nos permitiu, também, determinar a projecção da recta g no plano 4 – a recta g, no novo diedro de projecção, é uma recta de topo, razão
pela qual se assinalou g4 entre parêntesis. O plano ρ, no novo diedro de projecção, é um plano de topo e o diedro que o plano faz com o
Plano Horizontal de Projecção projecta-se em V.G. no plano 4 – assim, o traço do plano ρ no plano 4 (f 4ρ) passa por A 4 (e por B 4) e faz,
f
com o eixo X’, um ângulo de 40o (o ângulo dado). Uma vez que os dois traços do planos são concorrentes no eixo X’, pelo ponto em que f 4ρ
intersecta o eixo X conduziu-se uma paralela ao eixo X inicial, que é hρ. Em seguida, recorrendo a um ponto M, do plano (e com afastamen-
to nulo no diedro de projecção inicial), determinou-se f ρ (o traço frontal do plano ρ no diedro de projecção inicial) – M é um ponto de f ρ. O
triângulo não se projecta em V.G., pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Aproveitando a mudança do diedro de projecção efectuada, procedeu-se ao rebatimento do plano ρ como plano projec-
tante (no novo diedro de projecção, o plano ρ é um plano de topo). A charneira foi hρ (hρ ≡ e1 ≡ hρr) que, no novo diedro de projecção, é
h
uma recta de topo – a projecção da charneira no plano 4 é um ponto (e4), que se assinalou devidamente entre parêntesis. Para rebater o
f
traço frontal do plano (f ρ) efectuou-se o rebatimento do ponto M (que é um ponto de f ρ), pelo rebatimento do plano de topo (sugere-se que
o aluno ponha a folha de papel com o eixo X’ na horizontal, para melhor entendimento deste processo), obtendo M r – f ρr passa por M r e é
paralelo a hρr. Também através do rebatimento do plano de topo se rebateram os pontos A e B. A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo
[A B C], em V.G., em rebatimento, e determinou-se ainda Or, o centro do triângulo. Para determinar as projecções de C conduziu-se, por Cr
A
uma recta r r – a recta r é a recta suporte do lado [A C] do triângulo. A recta r r é concorrente com hρr em Hr (H é o traço horizontal da recta r)
A H
(Continua na página seguinte)
137

12. SOLUÇÕES
e é concorrente com f ρr em Fr (F é o traço frontal da recta r). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram ime-
F
diatamente. As projecções de F determinaram-se conduzindo, por Fr, uma perpendicular à charneira – F é um ponto de f ρ. A partir das pro-
jecções de F e H, desenharam-se as projecções da recta r (note que as projecções da recta r passam pelas projecções homónimas do
ponto A , que é um ponto da recta – bastaria o traço horizontal da recta e o ponto A para desenhar as projecções da recta). Conduzindo, por
Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas de r. Para inverter o rebatimento
de Or conduziu-se, por Or, uma recta mr, fronto-horizontal – mr é concorrente com r r num ponto Pr, cujas projecções se determinaram ime-
diatamente, sobre as projecções homónimas da recta r. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas de m. Conduzin-
do, por Or , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de m. A partir das
projecções dos três vértices do triângulo [A B C], desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o
A
objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). O problema seguinte consiste em determinar as projecções do vértice D (o quarto
vértice do tetraedro), pois não é conhecida a altura do sólido – apenas se sabe que as suas arestas têm todas o mesmo comprimento.
Assim, o ponto D situa-se numa recta ortogonal ao plano ρ que passa por O, estando equidistante dos outros três vértices do sólido. A recta
ortogonal ao plano ρ que passa por O é uma recta de perfil (recta p) e a aresta [CD] também é de perfil, pelo que é possível resolver o exer-
C
cício em rebatimento, recorrendo ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas (a recta p e a recta suporte da aresta [CD]).
C
No entanto, atendendo à mudança do diedro de projecção efectuada, há que reconhecer que o plano 4 é paralelo à aresta [CD], pelo que
C
esta se projecta em V.G. no plano 4. Por outro lado, na mudança do diedro de projecção efectuada, o plano ρ é um plano de topo e a orto-
gonalidade entre a recta p e o plano ρ também é directa. Assim, o processo mais simples consiste, efectivamente, em recorrer à mudança
do diedro de projecção, para concluir o exercício. Em primeiro lugar, determinaram-se as projecções de O e C no plano 4, através das
linhas de chamada (perpendiculares ao eixo X’) que passam por O1 e C1 – O4 e C4 situam-se sobre f 4ρ, pois no novo diedro de projecção, o
plano ρ é projectante frontal. A projecção da recta p, no plano 4, passa por O4 e é perpendicular a f 4ρ. Com o compasso, fazendo centro em
C4 e com 6 cm de raio (a medida da aresta do tetraedro, que é a medida do lado do triângulo [A B C]), determinou-se D4 sobre p4. D1 teve
A
determinação directa, a partir de D4, e D2 determinou-se através da cota de D (que se manteve). A partir das projecções de todos os vértices
do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2B 2D2] e o contorno aparente horizontal é
A
[A 1C1B 1D1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é o vértice de menor afastamento
A
do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a face [A B D] é a única face visível em projecção
A
frontal. Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a face [A B C] é invisível em pro-
A
jecção horizontal, tal como a face [A B D]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A B] é invisível.
A A
350. Resolução
(Relatório na página seguinte)
138

13. SOLUÇÕES
350. Relatório
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se o traço hori-
zontal do plano ρ – B tem cota nula, pelo que hρ passa por B1. Por A e B conduziu-se uma recta r, do plano, e determinou-se o seu traço
frontal – f ρ passa por F2. Uma vez que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas pro-
jecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
ao nível da economia de traçados é preferível efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (economiza-se o re-
batimento de um ponto). Rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. B r ≡ B 1, pois B é um ponto da
charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que é
um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raio
até F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e de-
terminar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A recta r r está de-
finida por B r e por Fr. Conduzindo, por A 1, uma perpendicular à charneira, determinou-se A r sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se o
quadrado em V.G., em rebatimento, determinando Cr e Dr. Para inverter o rebatimento de Cr e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta
sr, paralela à recta r r. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto F’r (F’ é o traço frontal da recta s). Note que o traço horizontal da recta s se
F
situa fora dos limites do desenho. Conduzindo, por F’r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ – F’ é um pon-
to de f ρ. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’ e são paralelas às projec-
ções homónimas da recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira
que por eles passam, determinaram-se as projecções de C e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos
quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-
cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de A conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a
recta p é a recta suporte da aresta lateral [A A ’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é orto-
A
gonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e
determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F’’ e H). A recta i contém o ponto A (que é
um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto A . Por outro lado, ο vértice A’ situa-se sobre
p, a 7 cm de A (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [A A ’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção,
A
recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta i r fica definida por F’’r e Hr.
Note que o ponto A r 1 tem também de se situar sobre i r, pois A é um ponto da recta i (A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no
A
rebatimento do plano π). A recta pr passa por A r 1 e é perpendicular a i r em A r 1. Sobre pr, a partir de A r 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se
A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’
desenharam-se as projecções do quadrado [A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A BCD] – B’, C’ e D’
A A
estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, respectivamente. Assim, pelas projecções de A’ conduziram-se as projec-
ções homónimas da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contém a aresta
A
lateral [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de A’, e ainda para C’, a partir de B’ ou
B
de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é
[A 2B 2C2C’2D’2A’2] e o contorno aparente horizontal é [A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o
A A
contorno aparente – o vértice B’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem)
e o vértice D (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção
h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é
visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todas
as arestas que nele convergem). Note que a base [A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a base [A’B’C’D’] é visível em ambas
A A
as projecções. Em projecção horizontal, as faces laterais [CC’D’D] e [AA’D’D] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção
C A
frontal. Já as faces [A A ’ B ’ B] e [BB’C’C], são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal.
A B
139

14. SOLUÇÕES
351.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. Por R e S conduziu-se uma recta r, do plano,
e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – pelos traços
da recta conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Uma vez que o
triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção,
para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal
de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H (o traço horizontal da
recta r) é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o
seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o
ponto F (o traço frontal da recta r, que é um ponto de f ρ), por exemplo.
Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o com-
passo, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-se
essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do
rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal
do plano ρ em rebatimento, fρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr).
A recta rr está definida por Hr e por Fr. Conduzindo, por R 1 e por S1, as
perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se R r e
Sr sobre rr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo equilátero [R rSrTr]
R
em V.G., em rebatimento, determinando Tr. Para inverter o rebatimento de
Tr conduziu-se, pelo ponto, uma recta sr, paralela à recta rr. A recta sr é
concorrente com f ρr no ponto F’r (F’ é o traço frontal da recta s) e é con-
F
corrente com hρr no ponto H’r (H’ é o traço horizontal da recta s). Condu-
H
zindo, por F’ r , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as
projecções de F’ – F’ é um ponto de f ρ. H’r ≡ H’1, pois H’ é um ponto da
charneira. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente –
passam pelas projecções homónimas de F’ e H’ (e são paralelas às pro-
jecções homónimas da recta r). Conduzindo, por Tr, uma perpendicular
à charneira, determinaram-se as projecções de T sobre as projecções
homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices do triân-
gulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de
um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do
sólido). Em seguida, pelas projecções de R conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta
lateral [RR’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – R – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação das projec-
R
ções do ponto R’, o extremo superior da aresta lateral [RR’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto A’.
R
O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i (definida por F’’ e por H’’) é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ.
Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – ir fica definida por F’’r e por H’’r (e passa por R r1). A recta pr é perpendicular a ir em
R r1. R’r situa-se sobre pr a 6 cm de R r1 (a altura do prisma). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R’. A partir das
projecções de R’ desenharam-se as projecções do triângulo [R’S’T’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST]
R R
– S’ e T’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm S e T, respectivamente. Assim, pelas projecções de R’ conduziram-se as projec-
ções homónimas da recta suporte do segmento [R’S’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contem a aresta lateral
R
[SS’] – o ponto de concorrência das duas rectas é S’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de R’. A partir das projecções de todos os vértices
S
do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [S2S’2R’2T’2T2] e o contorno aparente horizontal é
S
R
[R 1S1S’1T’1T1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de menor afasta-
mento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não inte-
gra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Note
que a base [RST] é invisível em ambas as projecções e que a base [R’S’T’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces
R R
laterais [RR’S’S] e [RR’T’T] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção frontal. Já a face lateral [S S’T’T] é visível em
R R S
projecção frontal e invisível em projecção horizontal.
352.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços
são simétricos em relação ao eixo X. Uma vez que a circunferência circunscrita ao rectângulo [A BCD] é tangente aos dois planos de projec-
A
ção, sabe-se que a circunferência é tangente aos dois traços do plano. Por outro lado, uma vez que a diagonal [A C] do plano é de perfil e que
A
A tem cota nula, sabe-se que a circunferência será tangente a hρ em A. É possível, imediatamente, determinar as projecções de A (que é um
ponto de hρ). Por outro lado, atendendo a que C será o outro extremo da diagonal, C terá de ser o ponto em que a circunferência será tangente
a f ρ – este raciocínio permite-nos, imediatamente, determinar as projecções de C (que é um ponto de f ρ com a mesma abcissa de A). Só é pos-
sível desenhar a circunferência em V.G., com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que C é um ponto
do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Pro-
jecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Ar ≡ A1,
pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto C, por exemplo. Para tal, conduziu-se, por C, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em C1 e raio até C2
(Continua na página seguinte)
140

15. SOLUÇÕES
(a cota de C), transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos
permitiu construir o triângulo do rebatimento de C em V.G. e determinar
Cr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr,
passa por Cr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). Em rebatimento, deter-
minou-se o ponto médio de [A r Cr] (com o recurso à construção da
A
mediatriz de um segmento de recta) e, com centro nesse ponto e raio
até A r (ou Cr), desenhou-se a circunferência circunscrita ao rectângulo,
em V.G., em rebatimento (note que a circunferência é tangente a f ρr
em Cr e é tangente a hρr em A r). Em rebatimento, efectuou-se a cons-
trução do rectângulo, inscrito na circunferência, de acordo com os
dados. Tenha em conta que o ângulo dado (o ângulo que o lado [A B] A
do rectângulo faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano
(trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência
directa em projecções, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos
planos de projecção. O ângulo que [A B] faz com hρ pode, em rebati-
A
mento, ser medido em V.G. – com vértice em A r, mediram-se os 25o
com hρr, com abertura para a direita, garantindo que o vértice B se si-
tua à direita de A (note que Br tem de se situar sobre a circunferência).
A partir de B r , determinou-se D r , sobre a circunferência e no
extremo oposto do diâmetro que passa por Br. Para inverter o rebati-
mento de Br e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta rr (a recta r
é a recta suporte da diagonal [BD]). A recta rr é concorrente com f ρr no
B
ponto Fr (F é o traço frontal da recta r) e é concorrente com hρr no ponto
F
Hr (H é o traço horizontal da recta r). Conduzindo, por Fr, uma perpen-
H
dicular à charneira, determinaram-se as projecções de F – F é um ponto
de f ρ. Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. As projecções da recta
r determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homóni-
mas de F e H. Conduzindo, por Br e Dr, as perpendiculares à charneira
que por eles passam, determinaram-se as projecções de B e D sobre
as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos quatro
vértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço
leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de A
conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [A A ’] (sendo [A’B’C’D’] a face superior
A A
do paralelepípedo) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação das
projecções do ponto A’, o extremo superior da aresta [AA’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 350. O plano π é o plano
A
de perfil que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (note que a recta i está definida por A e por C, que
são os seus traços nos planos de projecção – A é o traço horizontal de i e C é o seu traço frontal). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal
de Projecção – ir fica definida por A r1 e por Cr1 (note que A r1 e Cr1 são, respectivamente, os pontos A e C rebatidos pelo seu segundo rebati-
mento – o rebatimento do plano π). A recta pr é perpendicular a ir em A r1. A’r situa-se sobre pr a 4 cm de A r1 (a altura do sólido). Invertendo o
rebatimento, determinaram-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do rectângulo [A’B’C’D’], cujos
A
lados são paralelos aos lados correspondentes do rectângulo [A BCD] – B’, C’ e D’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D,
A
respectivamente (ver relatório do exercício 350). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos
aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2B2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [C1D1D’1A’1B’1B1]. Em projecção frontal,
A C
existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice A’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como
todas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas
que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é
o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota,
pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a
A
face [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces [CC’D’D] e [BB’C’C] são visíveis – no entanto, estas faces
A C B
são invisíveis em projecção frontal. Já as faces [AA’B’B] e [AA’D’D] são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal.
A A
353.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto A . Uma vez que o triângulo
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X).
O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 195 e respectivo relatório). Em rebatimento, construiu-se o triângulo equi-
látero [A B C] em V.G., em função dos dados. O ângulo que o lado [A B] faz com o eixo X é o ângulo r e a l, no espaço, e não em projecções,
A A
pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento. Por A r conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 45o com o eixo X,
de forma a que B r se situe nessa recta à esquerda de A e tenha cota inferior a A – essa recta é r r, que é a recta suporte do lado [A B] emA
rebatimento. Sobre r r mediram-se os 5 cm (o lado do triângulo) e determinou-se B r, sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo equi-
látero [A r B r Cr] em V.G., em rebatimento, e determinou-se Or, o centro do triângulo. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano, inver-
A
tendo o rebatimento dos pontos Cr e Or, com o recurso a rectas oblíquas do plano (que são rectas passantes). As projecções da recta r
determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto A e são concorrentes entre si no ponto de concorrência
(Continua na página seguinte)
141

16. SOLUÇÕES
da recta r com o eixo X. Conduzindo, por Br, uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções
de B sobre as projecções homónimas da recta r. A recta sr é a recta
paralela à recta r r que passa por Or – as projecções da recta s
determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homó-
nimas da recta r. A recta s está definida por um ponto (o seu ponto
de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção
(é paralela à recta r). Conduzindo, por Or, uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que
contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções
de O sobre as projecções homónimas da recta s. A recta mr é a
recta paralela às rectas rr e sr que passa por Cr – as projecções da
recta m determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções
homónimas das rectas r e s. A recta m está definida por um ponto
(o seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma
direcção (é paralela às rectas r e s). Conduzindo, por Cr, uma per-
pendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-
neira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as
projecções de C sobre as projecções homónimas da recta m.
A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-
-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado
auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido).
Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções
de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – O – e
pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano
de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto O e pelo seu ponto de concorrência com o
eixo X, pois trata-se de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as
duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p e, uma vez que tem cota nula, será o traço
horizontal da recta p. A determinação do traço horizontal da recta p implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebati-
mento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e’). A recta ir fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência
com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr
O
passa por Or1 e é perpendicular a ir em Or1. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta p, que é Vr – invertendo o rebatimento,
determinaram-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o
contorno aparente frontal é [A2V2B2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices do sólido
A A
integram o contorno aparente frontal. No entanto, a base da pirâmide é invisível, bem como a face lateral [A BV], pelo que a única aresta invisí-
A
vel em projecção frontal é a aresta [A B] da base. Em projecção horizontal, todos os vértices integram, igualmente, o contorno aparente hori-
A
zontal. No entanto, ao contrário da projecção frontal, a base é visível, bem como a face lateral [ACV] – as faces laterais [A BV] e [B CV] são
A A B
ambas invisíveis em projecção horizontal, pelo que a aresta lateral [BV] é a única aresta invisível, em projecção horizontal. Note que a base do
B
sólido é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal, pois o plano ρ é um plano em tensão.
354.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X) e pelo ponto O. Uma vez que o quadrado
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (que é o próprio eixo X).
O ponto O rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 195 e respectivo relatório). Em rebatimento, com o compasso, fazendo
centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado [A B CD] em V.G., em
A
função dos dados. O ângulo que o lado [A B] faz com o eixo X é o ângulo real, no espaço, e não em projecções, pelo que só é possível medir
A
esse ângulo em V.G., em rebatimento. A diagonal [A C] faz um ângulo de 45o com o lado [A B] que, por sua vez, faz um ângulo de 20o com o
A A
eixo X – a diagonal [A C] faz, assim, um ângulo de 65o com o eixo X (20o+45o = 65o). Este raciocínio permitiu-nos efectuar a construção do
A
quadrado, em rebatimento. Note que se garantiu que A é o vértice de menor afastamento do quadrado (é o vértice mais próximo do eixo X)
e que se situa à direita de B. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano, invertendo o rebatimento dos vértices do quadrado, com o re-
curso a rectas oblíquas do plano (que são rectas passantes). A recta rr é a recta suporte da diagonal [BD] do quadrado em rebatimento – note
B
que rr passa por Or. As projecções da recta r determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de O e são concorrentes
entre si no ponto de concorrência da recta r com o eixo X. Conduzindo, por Br e Dr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (e
que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções de
B e D sobre as projecções homónimas da recta r. A recta sr é a recta suporte do lado [A B] do quadrado, em rebatimento. As projecções da
A
recta s determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de B e são concorrentes entre si no ponto de concorrência da
recta s com o eixo X. Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o
arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de A sobre as projecções homónimas da recta s. A recta mr é a recta suporte do
lado [CD] do quadrado, em rebatimento – note que mr é paralela a sr. As projecções da recta m determinam-se imediatamente – passam
C
(Continua na página seguinte)
142

17. SOLUÇÕES
pelas projecções homónimas de D e são paralelas às projecções homónimas da recta s (a recta m está definida por um ponto (o ponto D) e
por uma direcção (é paralela à recta s) – note que o ponto de concorrência da recta m com o eixo X se situa fora dos limites do desenho, mas
que já tínhamos as projecções do ponto D. Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-
neira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das
projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o ob-
jectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogo-
nal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – O – e pela sua direcção – é
ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determi-
nou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto O e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se
de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são per-
pendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p e, uma vez que tem afastamento nulo, será o traço frontal da
recta p. A determinação do traço frontal da recta p implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π
para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta ir fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X,
que é fixo, pois é um ponto da charneira (Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por Or1 e
O
é perpendicular a ir em Or1. Em rebatimento, determinou-se o traço frontal da recta p, que é Vr – invertendo o rebatimento, determinaram-se as
projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente
frontal é [A 2B2V2D2] e o contorno aparente horizontal é [A 1D1C1B1V1]. Em projecção frontal, existe um único vértice que não integra o con-
A A
torno aparente frontal – o vértice C, que é o vértice de maior afastamento da pirâmide, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele
convergem. Note que a base da pirâmide é visível em projecção frontal, bem como as faces laterais [B CV] e [CDV]. Já as faces laterais [ADV]
B C A
e [A BV] são invisíveis, pelo que a única aresta invisível em projecção frontal é a aresta lateral [AV]. Em projecção horizontal, todos os vértices
A A
da pirâmide integram o contorno aparente horizontal. No entanto, por oposição à projecção frontal, a base é invisível em projecção horizontal,
bem como a face lateral [A BV] – a aresta [A B] da base é a única aresta invisível da pirâmide, em projecção horizontal. Note que as faces late-
A A
rais [ADV], [CDV] e [B CV] são visíveis em projecção horizontal. Note que a base do sólido é invisível em projecção horizontal e visível em pro-
A C B
jecção frontal, pois o plano ρ é um plano em tensão.
143

18. SOLUÇÕES
355.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços e pelo
ponto A. Uma vez que o quadrado [A BCD] não se projecta em V.G.
A
em nenhum dos planos de projecção (o plano ρ não é paralelo a
nenhum dos planos de projecção), para construir as suas projec-
ções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Op-
tou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de
Projecção – a charneira foi fρ (que é o próprio eixo X). O ponto A re-
bateu-se pelo triângulo do rebatimento. O ângulo que o lado [A B] A
faz com o eixo X é o ângulo real, no espaço, e não em projecções,
pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento.
Por A r conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 30° com o eixo
X, de forma a que Br se situe nessa recta à direita de A e tenha afas-
tamento superior a A – Br tem de estar mais distante do eixo X do
que A r . Sobre essa recta, a partir de A r , mediram-se os 5 cm (a
aresta do cubo), obtendo Br. A partir de A r e Br, construiu-se o qua-
drado [A BCD] em V.G., em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento
A
do plano ρ, com o recurso às rectas suportes dos lados [AD] e [B C]
A B
do quadrado, que são rectas passantes. A recta rr é, em rebatimen-
to, a recta suporte do lado [AD] do quadrado – as projecções da rec-
A
ta r determinaram--se imediatamente (passam pelas projecções
homónimas de A e são concorrentes entre si no ponto de concorrên-
cia da recta r com o eixo X). Conduzindo, por Dr, uma perpendicular
à charneira, determinaram-se as projecções de D sobre as projec-
ções homónimas da recta r. A recta sr é, em rebatimento, a recta
suporte do lado [B C] do quadrado (sr é paralela a rr) – as projecções
B
da recta s determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções
homónimas da recta r. A recta r está definida por um ponto (o seu
ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção
(é paralela à recta r). Conduzindo, por Br e Cr, as perpendiculares à
charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de B
e C sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções
(a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções
de A conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [AA’] (considerando que o quadrado
A
[A’B’C’D’] é a face superior o sólido) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A
A
recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de
intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto A e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma recta de
perfil passante). A recta i contém o ponto A (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no
ponto A. Por outro lado, ο vértice A’ situa-se sobre p, a 5 cm de A (a aresta do cubo). Atendendo a que o segmento [AA’] não se projecta em
A
V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta
e’). A recta ir fica definida por A r1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (A r1 é o ponto A no
A
seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por A r1 e é perpendicular a ir em A r1. Sobre pr, a partir de A r1, medi-
ram-se os 5 cm, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de A’. A
partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do quadrado [A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do
A
quadrado [A BCD] – B’, C’ e D’ situam-se nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, respectivamente. Assim, pelas projecções de
A
A’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que con-
A
tem a aresta [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de A’, e para C’, a partir de B’ ou de
B
D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é
[A 2B2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [B1C1D1D’1A’1B’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o
A B
contorno aparente – o vértice A’ (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele
convergem) e o vértice C (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem).
Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior cota do
sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é
invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A BCD] é invisível em projecção horizontal e visível em projecção
A
frontal (o plano ρ é um plano em tensão), enquanto que a face [A’B’C’D’] é invisível em projecção frontal e visível em projecção horizontal.
A
144

19. SOLUÇÕES
356.
Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados – O é um ponto do β1/3, pelo que as suas coorde-
nadas são iguais. Note que o β1/3 não carece de representação. Uma vez que o pentágono regular [A BCDE] não se projecta em V.G. em
A
nenhum dos planos de projecção (o β1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), para construir as suas projecções é necessário o
recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do β1/3 para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi o próprio eixo X.
O ponto O rebateu-se pelo triângulo do rebatimento. Com centro em Or e 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono,
em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, de acordo com os dados – o seu lado mais à esquerda é de perfil
(ou seja, é perpendicular ao eixo X) Note que a ordem dos vértices é arbitrária, pois o enunciado é omisso. Para inverter o rebatimento do β1/3
recorreu-se a rectas do plano (poder-se-ia, também, ter recorrido ao triângulo do rebatimento, mas trata-se de um processo mais moroso e me-
nos rigoroso). A recta rr é, em rebatimento, uma recta do β1/3 que passa por Or, e que é paralela ao lado [ArBr] do pentágono em rebatimento –
A
a recta r é uma recta passante, cujas projecções se determinam imediatamente, pois são concorrentes entre si no ponto de concorrência da rec-
ta com o eixo X e passam pelas projecções homónimas do ponto O (a recta r fica definida por dois pontos – o ponto O e o seu ponto de con-
corrência com o eixo X). Note que as projecções da recta r são simétricas em relação ao eixo X. A recta ar é outra recta do β1/3 que passa por
A r e Br – a recta a é a recta suporte do lado [A B] do pentágono e é necessariamente paralela à recta r. As projecções da recta a determinam-se
A
imediatamente, pois está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (é paralela à recta r). Condu-
zindo, por A r e Br, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e B sobre as projecções homóni-
mas da recta a. A recta br é, em rebatimento, a recta suporte da diagonal [CE] do pentágono (br é paralela a rr e a ar) – as projecções da recta
C
b determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas das rectas r e a. A recta b está definida por um ponto (o seu ponto de
concorrência com o eixo X, que é fixo) e por uma direcção (é paralela às rectas r e a). Conduzindo, por Cr e Er, as perpendiculares à charneira
que por eles passam, determinaram-se as projecções de C e E sobre as projecções homónimas da recta b. A recta mr é, em rebatimento, a
recta fronto-horizontal do β1/3 que passa por Dr – a recta mr é concorrente com a recta ar no ponto Pr. As projecções do ponto P determinam-se
imediatamente, sobre as projecções homónimas da recta a, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por Pr. Pelas projecções de
P conduziram-se as projecções homónimas da recta m – conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções
de D sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das projecções dos cinco vértices do pentágono, desenharam-se as suas projec-
ções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). É dado que existe um
único vértice do prisma com cota nula. Uma vez que o prisma se situa no 1o Diedro, esse vértice será o vértice de menor cota do sólido – será o
vértice da base [A’B’C’D’E’] correspondente ao vértice E (que é o vértice de menor cota da base [A BCDE]). Assim, pelas projecções de E con-
A A
duziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [EE’] e é uma recta de perfil (que está definida
E
(Continua na página seguinte)
145

20. SOLUÇÕES
por um ponto – E – e pela sua direcção – é ortogonal ao β1/3). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do β1/3. Para definir a recta p conduziu-se,
pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelo ponto E e pelo seu ponto de
concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma recta de perfil passante). A recta i contém o ponto E (que é um ponto dos dois planos) e a rec-
ta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto E. Por outro lado, ο vértice E’ será o ponto da recta p que tiver cota nula – será o tra-
ço horizontal da recta p. A determinação do traço horizontal da recta p requer o recurso a outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo
rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e’). A recta ir fica definida por Er1 e pelo seu ponto de concor-
rência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (Er1 é o ponto E no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta
E
pr passa por Er1 e é perpendicular a ir em Er1. E’r é o traço horizontal da recta p em rebatimento – invertendo o rebatimento, determinaram-se as
projecções do ponto E’. A partir das projecções de E’ desenharam-se as projecções do pentágono [A’B’C’D’E’], cujos lados são paralelos aos
A
lados correspondentes do pentágono [A BCDE] – A’, B’, C’ e D’ situam-se nas rectas de perfil ortogonais ao β1/3 que contêm A, B, C e D, respec-
A
tivamente. Assim, pelas projecções de E’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [E’D’], até encontrarem as projecções ho-
E
mónimas da recta de perfil que contem a aresta [DD’] – o ponto de concorrência das duas rectas é D’. Repetiu-se o processo para A’, a partir de
D
E’, bem como para B’ (a partir de A’) e para C’ (a partir de B’). Note que, uma vez que o lado [C’D’] é de perfil, não seria possível determinar D’ a
C
partir de C’, sem o recurso a outro processo geométrico auxiliar. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus
contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A2B2C2C’2D’2E’2A’2] e o contorno aparente horizontal é [A1E1D1C1C’1B’1A’1]. Note que
A A
a face lateral [CC’D’D] do prisma é de perfil, que é duplamente projectante, pelo que não há invisibilidades a assinalar nesta face – as arestas in-
C
visíveis estão ocultas por arestas visíveis. Ao nível dos restantes vértices do sólido, em projecção frontal, existem dois vértices que não
integram o contorno aparente – o vértice E (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que
nele convergem) e o vértice B’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele conver-
gem). Sem referir os vértices da face de perfil (pelas razões já indicadas), em projecção horizontal, também existem dois vértices que não inte-
gram o contorno aparente – o vértice B (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele
convergem) e o vértice E’ (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note
que a base [A BCDE] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal (o β1/3 é um plano em tensão), enquanto que a base
A
[A’B’C’D’E’] é visível em projecção frontal e invisível em projecção horizontal.
A
357.
Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e os
pontos P e Q, pelas respectivas projecções, em função dos dados.
O plano γ é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coinciden-
tes. O ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Projecção (P tem P
cota nula), pelo que é um ponto de hγ. A recta h é a recta horizontal
(de nível) do plano, com 4 cm de cota, a que se recorreu para deter-
minar as projecções do ponto Q. O triângulo [PQR] não se projecta
P
em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano que o con-
tém – o plano γ – é oblíquo a ambos os planos de projecção) pelo
que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. O
ponto P é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que,
atendendo a uma maior economia de traçados, se optou por reba-
ter o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi
h e Pr ≡ P1, pois P é um ponto da charneira. É necessário rebater f ,
o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F
(o traço frontal da recta h). Por F1 conduziu-se uma perpendicular à
charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrên-
cia dos traços do plano e raio até F2, transportou-se essa distância
para a perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo Fr .
f
O traço frontal do plano rebatido (f γr) passa por Fr e é concorrente
com hγr no eixo X. Por Fr conduziu-se a recta hr, paralela a hγr. Con-
duzindo, por Q1, uma perpendicular à charneira, determinou-se Qr
sobre hr . A partir de Pr e de Qr, construiu-se o triângulo [PQR] em
P
VG., em rebatimento e, com vista à determinação das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro – o ponto O. A inversão do
rebatimento dos pontos O e R processou-se com o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 183 e respectivo
relatório. A recta f é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de R. A recta f ’ é a recta frontal (de frente) que nos
permitiu determinar as projecções de O. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve,
pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduzi-
ram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a γ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da
pirâmide, porque tem afastamento nulo, é o traço frontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o
recurso a qualquer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o
contorno aparente frontal é [P2V2Q2] e o contorno aparente horizontal é [Q1R 1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o
P Q
contorno aparente – o vértice R, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele con-
vergem). A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [PRV] e [QRV] (a face lateral [PQV] é a única face invisível em projecção frontal).
P Q P
Em projecção horizontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice P, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é
invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisível, bem como as faces laterais [P R V] e [PQV] (a face
P P
lateral [QRV] é a única face visível em projecção frontal). Note que o plano γ é um plano em tensão, o que justifica o facto de a base ser invi-
Q
sível em projecção horizontal e ser visível em projecção frontal.
146

21. SOLUÇÕES
358.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus
traços, em função dos dados. O plano α tem os seus
traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal
ao β1/3. O plano α é oblíquo aos dois planos de projec-
ção, pelo que o triângulo equilátero [A B C ] não se
A
projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção
– é necessário o recurso a um processo geométrico
auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o
Plano Horizontal de Projecção. Note que, uma vez que
é dado que a circunferência circunscrita ao triângulo
[A B C] é tangente aos dois planos de projecção, sabe-
A
-se que a circunferência é tangente aos dois traços do
plano – este dado não nos permite, de forma directa,
determinar as projecções do centro da circunferência, o
ponto O, pelo que é necessário, antes de mais, rebater
o plano. Para rebater o plano α há que rebater o seu
traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto P (que é um ponto qualquer de f α).
Para tal, conduziu-se, por P 1 , uma perpendicular à
charneira. Os traços do plano α são concorrentes num
ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da
charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo cen-
tro nesse ponto e raio até P2, transportou-se essa dis-
tância até à perpendicular à charneira que passa por P1
e obteve-se Pr – f αr passa por Pr e é concorrente com
hαr no eixo X. Em rebatimento, determinou-se o ponto
que está a 4 cm de f αr e de hαr – esse ponto é Or, que é
o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, em
rebatimento. Com o compasso fazendo centro em Or e
com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência cir-
cunscrita ao triângulo, que é necessariamente tangente
a hρr e a f ρr. Em seguida, procedeu-se à construção do
triângulo, de acordo com os dados – C tem cota nula,
pelo que é um ponto de hα, e o lado [A B] é horizontal
A
(de nível), pelo que é paralelo a hα. Cr é, assim, o ponto
de tangência da circunferência a hαr. O lado [A r B r] tem de ser paralelo a hαr, o que implica que um dos seus extremos (B r na resolução
A B
apresentada) tem de se situar necessariamente sobre f αr (é o ponto de tangência da circunferência com f αr). Em seguida, procedeu-se à in-
versão do rebatimento do plano α. O ponto C é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinam imediatamente – C1 ≡ Cr
e C2 situa-se no eixo X. O ponto B é um ponto de f α, pelo que as suas projecções também se determinam imediatamente – conduzindo, por
B r, uma perpendicular à charneira, obtém-se B 1 no eixo X e B 2 situa-se sobre f α, na linha de chamada de B 1. A recta h é a recta horizontal
(de nível) que é a recta suporte do lado [A B] do triângulo – as projecções da recta h determinam-se imediatamente (a recta h está definida
A
por um ponto – o ponto B e por uma direcção – é paralela a hα). Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as
projecções de A sobre as projecções homónimas da recta h. A recta h’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se recorreu para inver-
ter o rebatimento de O – h’r passa por Or e é concorrente com f αr em Fr (F é o traço frontal de h’). Conduzindo, por Fr, uma perpendicular à
F
charneira, determinaram-se as projecções de F (F é um ponto de f α). Pelas projecções de F conduziram-se as projecções homónimas da
F
recta h’. Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas da rec-
ta h’. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado au-
xiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Atendendo a que um tetraedro toma a forma aparente de uma pirâmide
triangular regular, sabe-se que o eixo do sólido (relativo à face [A B C]) passa por O e é ortogonal ao plano α – assim, pelas projecções de O
A
conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α. A recta é necessariamente uma recta do β1/3 (é uma recta passan-
te). O quarto vértice do sólido, o vértice D, situa-se sobre p, equidistante de A , de B e de C. Nenhuma das arestas [A D], [BD] e [CD] se pro-
A B C
jecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante
horizontal da recta p – o plano γ. Note que o plano γ contém simultaneamente o eixo do sólido (relativo à face [A B C]) bem como a aresta
A
[CD], sendo esta que nos permitirá determinar o vértice D do sólido. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira
C
foi f γ (recta e’) – rebatendo O e A . Or 1 e A r 1 são os pontos O e A , rebatidos no seu segundo rebatimento (no rebatimento do plano γ). O pon-
to de concorrência da recta p com o eixo X é fixo (é um ponto da charneira) – pr passa por esse ponto e por Or 1. Uma vez que as arestas do
sólido são todas iguais e que Dr tem de se situar sobre pr, com o compasso, fazendo centro em A r 1 e com raio A r B r = B r Cr = A r Cr determi-
nou-se Dr sobre pr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de D sobre as projecções homónimas da recta p. A partir das
projecções de todos os vértices do sólido, desenharam--se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2V2C2] e o con-
A
torno aparente horizontal é [A 1B1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice B. Este é o vérti-
A
ce de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face [A B C] do sólido é invisível,
A
bem como as faces [A B D] e [B CD] (a face [ACD] é a única face visível em projecção frontal). Em projecção horizontal, há um vértice que
A B A
não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que
nele convergem). A face [A B D] é a única face visível em projecção horizontal – as restantes faces são invisíveis em projecção horizontal.
A
147

22. SOLUÇÕES
359.
Em primeiro lugar representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se os traços da recta r nos
planos de projecção (F é o traço frontal da recta r e o ponto A é o próprio traço horizontal da recta) pelos quais se conduziram os traços ho-
F
mónimos do plano α – hα passa por A 1 e é perpendicular a r 1 (a recta r é uma recta de maior declive do plano) e f α passa por F2 e é concor-
rente com hα no eixo X. O plano α é oblíquo aos dois planos de projecção, pelo que o triângulo equilátero [A B C] não se projecta em V.G.
A
em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α – uma
vez que o ponto A é um ponto de hα, com vista a uma maior economia de traçados, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projecção
(a charneira foi hα e tem-se imediatamente Ar ≡ A1 pois A é um ponto da charneira). Para rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o
que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpen-
dicular à charneira. Os traços do plano α são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso
ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-
-se Fr – fαr passa por Fr e é concorrente com hαr no eixo X. A recta rr fica definida por Ar e por Fr. A utilidade da recta r para rebater o ponto O é
nula, pelo que se recorreu a uma recta horizontal (de nível) h, do plano, passando por O – F’ é o traço frontal da recta h. As rectas h e r são con-
correntes em O. Conduzindo, por F’1, uma perpendicular à charneira, determinou-se Fr sobre fαr. Por F’r conduziu-se hr, paralela a hαr – Or é o
ponto de concorrência de hr com rr. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triân-
gulo em V.G., em rebatimento, e construiu-se o triângulo em rebatimento. O lado [BrCr] é paralelo à recta hr, o que significa que está contido
B
noutra recta horizontal (de nível do plano. Inverteu-se o rebatimento desta recta (conforme exposto no relatório do exercício anterior), o que
nos permitiu determinar as projecções de B e C (ver exercício anterior e respectivo relatório). Note que se omitiram as notações referentes à
recta horizontal (de nível) que contém o lado [B C] do triângulo, bem como as referentes ao seu traço frontal, com vista a não sobrecarregar em
B
demasia a resolução gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço
leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação do vértice D
do tetraedro, ver exercício anterior e respectivo relatório. O plano γ é o plano vertical que contém a recta p e o vértice A do tetraedro. Reba-
teu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a recta p rebateu-se a partir do rebatimento de O e de H, o seu traço horizontal. A partir das
projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A2V2B2] e o contorno
A
aparente horizontal é [B 1C1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de
B
menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face [A B C] do sólido é invisível, bem
A
como as faces [A C D] e [B CD] (a face [A B D] é a única face visível em projecção frontal). Em projecção horizontal, há um vértice que não
A B A
integra o contorno aparente – o vértice A . Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que
nele convergem). A face [B CD] é a única face visível em projecção horizontal – as restantes faces são invisíveis em projecção horizontal.
B
148

23. SOLUÇÕES
360.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas
projecções, em função dos dados. A é um ponto com cota nula,
pelo que é um ponto de hρ, o que nos permitiu desenhar imediata-
mente hρ. Para determinar o traço frontal do plano poder-se-ia con-
duzir, por A e B , uma recta do plano e determinar o seu traço
frontal, mas este situa-se fora dos limites do papel, pelo que se
optou por prosseguir com o exercício, mesmo sem determinar f ρ.
O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo
que o quadrado [A B CD] não se projecta em VG. – é necessário o
A
recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebati-
mento do plano ρ. Uma vez que f ρ não é conhecido e que A é um
ponto de hρ, optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal
de Projecção – a charneira foi hρ e A r ≡ A 1 pois A é um ponto da
charneira. O ponto B rebateu-se com o recurso ao seu triângulo do
rebatimento. A partir de A r e Br, construiu-se o quadrado [A B CD]
A
em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a
duas rectas do plano – as rectas suporte dos lados [A D] e [B C] do
A B
quadrado. A recta r r é, em rebatimento, a recta suporte do lado
[B C] do quadrado. A recta r r é concorrente com hρr em Hr (H é o
B H
traço horizontal da recta r). H é um ponto da charneira, pelo que é
fixo – as projecções de H determinam-se imediatamente. A partir
das projecções de B e H, foi possível desenhar as projecções da
recta r e determinar o seu traço frontal, F. O traço frontal do plano,
f ρ, passa por F2. Conduzindo, por F1, uma perpendicular à charneira,
determinou-se Fr sobre r r – f ρr passa por Fr. Em seguida, conduziu-
-se, por Cr, uma perpendicular à charneira e determinaram-se as
projecções de C sobre as projecções homónimas da recta r. Para
inverter o rebatimento de Dr recorreu-se à recta sr – esta é, em
rebatimento, a recta suporte do lado [A D] do quadrado. A recta sr
A
é concorrente com hρr em A r (A é o próprio traço horizontal da recta s) e é concorrente com f ρr em F’r (F’ é o traço frontal da recta s). Con-
A F
duzindo, por F’r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ (F’ é um ponto de f ρ). As projecções da recta s ficam
F
definidas pelas projecções de A e F’. Conduzindo, por Dr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de D sobre as
projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço
leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, efectuaram-se as cons-
truções necessárias à determinação das projecções dos vértices da face superior do cubo (a face [A’B’C’D’]), conforme exposto no relatório
A
do exercício 352, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A recta p é a recta ortogonal ao plano ρ que passa por A (é a recta
suporte da aresta [A A ’]). O plano π é o plano que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. F’’ é o traço
A
frontal da recta i e A é o seu traço horizontal. As rectas p e i são perpendiculares em A. A r1 é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento
– o rebatimento do plano π. O ponto A’r é um ponto de pr tal que A’r Ar1= Ar Br = Ar Dr = Br Cr = Cr Dr (que é a medida da aresta do cubo).
A partir das projecções de A’ desenharam-se as projecções do quadrado [A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes
A
do quadrado [A B CD]. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno
A
aparente frontal é [A 2B 2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente horizontal é [B 1C1D1D’1A’1B’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices
A B
que não integram o contorno aparente – o vértice C (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas
as arestas que nele convergem) e o vértice A’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as ares-
tas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que
é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de me-
nor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [A B CD] é invisível em ambas as
A
projecções e a face [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções.
A
361.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo X), e o ponto O, pela sua projecção horizontal (a
única que os dados do exercício nos permitem localizar de forma directa). O plano está definido pela sua orientação – é necessário, antes de
mais, definir totalmente o plano e determinar a projecção frontal do ponto O. O diedro que o plano ρ faz com o Plano Horizontal de Projecção tem
a mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil de ρ fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, conduziu-se, por O, um plano
de perfil π – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. A recta i é uma recta de perfil passante – está definida por um ponto (o
seu ponto de concorrência com o eixo X) e por uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Rebateu-se o plano
π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fπ (recta e). O ângulo que a recta i faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a
mesma amplitude) ao ângulo que a recta i faz com hπ e esse ângulo está em V.G. em rebatimento – em rebatimento, desenhou-se ir, fazendo um
ângulo de 30o com hπr e passando pelo seu ponto fixo (o ponto de concorrência com o eixo X). Rebatendo o ponto O a partir da sua projecção
horizontal, determinou-se Or sobre ir – invertendo o rebatimento, determinou-se O2. Note que o ponto O é um ponto do 1o Diedro e se garantiu
que a recta ir passa pelo quadrante em que Or se situa (o plano ρ atravessa os 1o e 3o Diedros). Em seguida, procedeu--se à construção do triân-
gulo [A BC] – este está contido no plano ρ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. nenhum
A
(Continua na página seguinte)
149

24. SOLUÇÕES
dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano ρ para
o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hρ, que é o próprio eixo X). O ponto O rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, obtendo-se
Or1 (Or1 é o ponto O rebatido no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano ρ). Com o compasso, fazendo centro em Or1, desenhou-se
O
a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados (o lado [A B] é fronto-hori-
A
zontal e C é o vértice de maior cota do triângulo, ou seja, o vértice mais distante do eixo X). Para inverter o rebatimento do plano ρ, recorreu-se a
rectas do plano (poder-se-ia, também, ter recorrido ao triângulo do rebatimento, mas trata-se de um processo mais moroso e menos rigoroso). A
recta rr é, em rebatimento, uma recta do plano ρ que passa por Or e que é paralela ao lado [ArCr] do triângulo em rebatimento – a recta r é uma
A
recta passante, cujas projecções se determinam imediatamente, pois são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta com o eixo X
e passam pelas projecções homónimas do ponto O (a recta r fica definida por dois pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrência com o
eixo X). A recta sr é outra recta do plano ρ e passa por Ar e Cr – a recta s é a recta suporte do lado [A C] do triângulo e é necessariamente parale-
A
la à recta r. As projecções da recta s determinam-se imediatamente, pois está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X)
e por uma direcção (é paralela à recta r). Conduzindo, por Ar e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as pro-
jecções de A e C sobre as projecções homónimas da recta s. A recta mr é, em rebatimento, a recta fronto-horizontal que passa por Ar e é a recta
suporte do lado [A B] do triângulo – as projecções da recta m determinam-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas do ponto A
A
(a recta m está definida por um ponto – A – e por uma direcção – é fronto-horizontal). Conduzindo, por Br, uma perpendicular à charneira, deter-
minaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas da recta m. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-
-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em
seguida, pelas projecções de C conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta [CC’] (consi-
C
derando que o triângulo [A’B’C’] é a base superior do sólido) e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – C – e pela sua direcção
A
– é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ.
Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π (é o
plano de perfil com o qual se iniciou o exercício) e determinou-se a
recta de intersecção de π com ρ – a recta i (que é a recta inicialmente
determinada). A recta i contém o ponto C (que é um ponto dos dois
planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no
ponto C. Por outro lado, ο vértice C’ situa-se sobre p, a 6 cm de C (a
altura do prisma). Atendendo a que o segmento [CC’] não se projecta
C
em V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebati-
mento já efectuado do plano π para o Plano Frontal de Projecção. A
recta ir já estava definida e Cr1 é um ponto de ir (Cr1 é o ponto C no
C
seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr é
perpendicular a ir em Cr1. Sobre pr, a partir de Cr1, mediram-se os 6
cm, obtendo-se C’r (garantindo que C’ se situa no 1o Diedro). Inver-
teu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de C’. A partir
das projecções de C’ desenharam-se as projecções do triângulo
[A’B’C’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do
A
triângulo [A BC] – ver exercício 355 e respectivo re-
A
latório. A partir das projecções de todos os vérti-
ces do sólido, desenharam-se os seus contornos
aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é
[A2B2B’2C’2A’2] e o contorno aparente horizontal
A
é [B1C1A1A’1B’1]. Em projecção frontal, existe um
B
vértice que não integra o contorno aparente – o
vértice C (que é o vértice de maior afastamento do
sólido, pelo que é visível bem como todas as ares-
tas que nele convergem). Em projecção horizon-
ta l, também existe um vértice que não integra o
contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice
de maior cota do sólido, pelo que é visível bem
como todas as arestas que nele convergem). Note
que a base [A BC] é invisível em projecção hori-
A
zontal e visível em projecção frontal (o plano ρ é
um plano em tensão), enquanto que a base
[A’B’C’] é invisível em projecção frontal e visível
A
em projecção horizontal.
362.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelo seu traço horizontal (o único que é dado) e o ponto A, pelas suas projecções, em função dos
dados. O ponto A é um ponto com cota nula, pelo que é um ponto de hα. Os dados do enunciado não nos permitem desenhar f α – note que o
ângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano) é o ângulo real, que existe no espaço (ou, mais correctamente, que está contido no pla-
no α) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Trata-se, portanto,
de uma situação semelhante à do exercício 203, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O plano α não é paralelo a nenhum
dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de
Projecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano α para o Plano Frontal de
(Continua na página seguinte)
150

25. SOLUÇÕES
Projecção). Assim, a charneira foi hα, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento, com vértice no
ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hαr, mediram-se os 70o (o ân-
gulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar f αr. O vértice B, do triângulo, tem afastamento nulo,
pelo que B é um ponto de f α – Br situa-se sobre f αr, a 6 cm (a medida do lado do triângulo) de A r. A partir de A r e de Br construiu-se o triângulo
[A BC] em V.G., em rebatimento e determinou-se o ponto Or (o centro do triângulo, em rebatimento), com vista à determinação das projecções
A
da pirâmide. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar f α, o que se processa determinando as projecções de um dos seus pontos –
o ponto B, neste caso, que é um ponto de f α. Por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se B1 no eixo X (B é um ponto
B
com afastamento nulo). Com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até Br, dese-
nhou-se um arco de circunferência até à linha de chamada de B1, onde se situa B2 – f α passa por B2 e é concorrente com hα no eixo X. A inver-
são do rebatimento dos pontos Cr e Or processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível) do plano α que por eles passam (e cujas
notações se omitiram). A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de
um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação do vértice da pirâmide, ver exercício
339 e respectivo relatório. A recta p, passando por O, é a recta ortogonal ao plano α que contém o eixo da pirâmide. O plano γ é o plano pro-
jectante horizontal da recta p. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ (recta e’). A recta p rebateu-se com o
recurso a dois dos seus pontos – O e F, o seu traço frontal (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). Or1 é o ponto O rebatido pelo seu se-
gundo rebatimento – o rebatimento do plano γ. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes
– o contorno aparente frontal é [A2C2V2] e o contorno aparente horizontal é [A1C1V1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o
A A
contorno aparente – o vértice B (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele conver-
gem). Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A (que é o vértice de menor cota do sóli-
do, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a base [A BC] é invisível em ambas as projecções.
A
363.
Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelo seu traço frontal (o único que é conhecido), e o ponto A, pela sua projecção frontal (a única
que os dados do exercício nos permitem localizar de forma directa). O plano está definido pela sua orientação – é necessário, antes de mais, de-
finir totalmente o plano e determinar a projecção horizontal do ponto A. O diedro que o plano ρ faz com o Plano Horizontal de Projecção tem a
mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil de ρ fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, conduziu-se, por A, um plano de
perfil π – a recta i é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. A recta i é uma recta de perfil que está definida por um ponto (o seu traço
frontal F) e por uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projec-
ção – a charneira foi fπ (recta e). O ponto F é um ponto fixo, pois situa-se na charneira. O ângulo que a recta i faz com o Plano Horizontal de Pro-
jecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta i faz com hπ e esse ângulo está em V.G. em rebatimento – em rebatimento,
desenhou-se ir, fazendo um ângulo de 30o com hπr e passando pelo seu ponto fixo (Fr). A é o traço horizontal da recta i, o que nos permitiu
F
(Continua na página seguinte)
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26. SOLUÇÕES
determinar imediatamente Ar. Invertendo o rebatimento, determinou-se A1 – por A1 conduziu-se hρ. Note que o ponto A é um ponto com afasta-
mento positivo, e é pedido expressamente que o traço horizontal do plano tenha afastamento positivo (A é um ponto de hρ pois tem cota nula).
A
Em seguida, procedeu-se à construção do triângulo [A BC] – este está contido no plano ρ, que não é paralelo a nenhum dos planos de projec-
A
ção, pelo que não se projecta em V.G. nenhum dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-
liar – optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fρ – recta e’). O triângulo do rebatimento de A já
está em V.G. no triângulo [FrA2Ar] – a hipotenusa do triângulo do rebatimento é, assim, [FrAr], que já está em V.G., no rebatimento do plano π.
F F
Assim, com o recurso ao compasso, fazendo centro em Fr e raio até Ar, desenhou-se o arco do rebatimento de A (pelo rebatimento do plano π)
e determinou-se Ar1 (Ar1 é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano ρ). Note que o ângulo dado (o ângulo que
A
o lado [A B] do quadrado faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano (trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência
A
directa em projecções, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Esse ângulo pode, em rebatimento, ser medido em
V.G. – o lado [A B] faz, com hρ, um ângulo de 30o e o vértice B situa-se à direita de A. Com vértice em Ar1 e a partir de hρr, mediram-se os 30o, ob-
A
tendo a recta suporte do lado [A B] em rebatimento – sobre essa recta mediram-se os 5 cm (o lado do quadrado) e determinou-se Br. A partir de
A
Ar1 e Br construiu-se o quadrado [A BCD] em V.G, em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do plano – as rectas
A
suporte dos lados [AD] e [B C] do quadrado. A recta rr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [AD] do quadrado. A recta rr é concorrente
A B A
com hρr em Ar1 (A é o traço horizontal da recta r) e é concorrente com fρr em F’r (F’ é o traço frontal da recta r). F’ é um ponto da charneira, pelo
A F
que é fixo – as projecções de F’ determinam-se imediatamente. As projecções de A já são conhecidas. A partir das projecções de F’ e A, foi pos-
sível desenhar as projecções da recta r. Em seguida conduziu-se, por Dr, uma perpendicular à charneira e determinaram-se as projecções de D
sobre as projecções homónimas da recta r. Para inverter o rebatimento de Br e Cr recorreu-se à recta sr – esta é, em rebatimento, a recta suporte
do lado [B C] do quadrado. A recta sr é paralela à recta rr. A recta sr é concorrente com fρr em F’’r (F’’ é o traço frontal da recta s). As projecções
B F
de F’’ determinaram-se imediatamente, pois é um ponto da charneira. As projecções da recta s determinam-se imediatamente – passam pelas
projecções homónimas de F’’ e são paralelas às projecções homónimas da recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Con-
duzindo, por Br e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de B e C sobre as projecções homó-
nimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um
traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação das projecções do prisma, ver exercício 350
e respectivo relatório. Com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por conduzir a recta p pelo ponto A, uma vez que existe uma
quantidade significativa de traçados precedentes que nos permite economizar traçado. A recta p é a recta ortogonal a ρ que passa por A (é a
recta suporte da aresta lateral [AA’] do prisma. A recta p está definida por um ponto (o ponto A) e por uma direcção (é ortogonal a ρ). A recta i
A
(já determinada no início do exercício) é a recta
de intersecção do plano π com o plano ρ. Resol-
veu-se a questão da altura do prisma em rebati-
mento, no rebatimento previamente efectuado do
plano π – a recta pr é perpendicular à recta ir em
Ar. Sobre pr, a partir de Ar, mediram-se os 8 cm
(a altura do prisma), obtendo A’r. Invertendo o
rebatimento, determinaram-se as projecções de
A’ – a partir destas, determinaram-se as projec-
ções dos restantes vértices da base superior do
sólido (ver exercício 350 e respectivo relatório).
A partir das projecções de todos os vértices do
sólido, desenharam-se os seus contornos apa-
rentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é
[A 2B 2B’2C’2D’2D2] e o contorno aparente hori-
A
z o n t a l é [C 1 D 1 D ’ 1 A ’ 1 B ’ 1 B 1 ]. Em p r o j e c ç ã o
C
f r o n t a l, existem dois vértices que não integram
o contorno aparente – o vértice A’ (que é o vér-
tice de maior afastamento do sólido, pelo que é
visível bem como todas as arestas que nele
convergem) e o vértice C (que é o vértice de
menor afastamento do sólido, pelo que é invisí-
vel bem como todas as arestas que nele con-
vergem). Em p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l , também
existem dois vértices que não integram o contor-
no aparente – o vértice C’ (que é o vértice de
maior cota do sólido, pelo que é visível bem
como todas as arestas que nele convergem) e o
vértice A (que é o vértice de menor cota do sóli-
do, pelo que é invisível bem como todas as ares-
tas que nele convergem).
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