Notas de aula 2 cinematica mecanismos

Prof. MSc. Adry Lima
Universidade Federal do Pará
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Vibrações e Acústica
Notas de Aula 2
Disciplina:Cinemática e Dinâmica dos
Mecanismos
Carga Horária: 90 horas

Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
OBJETIVOS:
 Estudar o movimento de corpos rígidos e
mecanismos no plano (translação e rotação).
 Estudar o movimento relativo (velocidade e
aceleração relativa, centro instantâneo de velocidade
nula)
 Estudar o movimento relativo de sistemas articulados
(referenciais em rotação).

TRANSLAÇÃO:
Ocorre quando todo segmento de reta no corpo mantém-se paralelo à sua
direção inicial, durante o movimento.
TRANSLAÇÃO RETILÍNEA:
Quando as trajetórias de quaisquer
dois pontos do corpo ocorrem ao longo
de retas eqüidistantes.
TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA:
Quando as trajetórias se dão ao longo
de linhas curvas que são eqüidistantes.
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)

ROTAÇÃO:
Ocorre Quando um corpo rígido gira em torno
de um eixo fixo. Assim, todos os seus pontos,
exceto os situados no eixo de rotação, movem-
se ao longo de trajetórias circulares.
MOVIMENTO PLANO GERAL:
Ocorre quando o corpo executa uma
combinação de uma translação e de uma
rotação.
A translação ocorre num dado plano de
referência e a rotação ocorre em torno de um
eixo perpendicular a esse plano de referência.

Translação
Curvilínea
Movimento
Plano Geral
Translação
Retilínea
Rotação em Torno
de um Eixo

TRANSLAÇÃO
ABAB /rrr +=
ABAB /rrr  +=
AB vv =
a) Deslocamento
b) Velocidade
AB aa =
c) Aceleração
OBSERVAÇÃO: todos os pontos
de um corpo rígido em movimento
de translação têm a mesma
velocidade e a mesma aceleração.

Os ocupantes deste brinquedo estão submetidos a uma
translação curvilínea, pois o veículo se move numa trajetória
circular, mantendo sempre sua posição na horizontal.
Todos os ocupantes estão com a mesma velocidade e sentem a
mesma aceleração.

ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Posição Angular de r
É definida pelo ângulo θ, medido de uma linha de referência
fixa até r.
Deslocamento Angular
É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um
vetor de infinitesimal dθ.
Velocidade Angular (ω)
É a taxa de variação da posição angular.
(rad/s)θ
θ
ω ==
dt
d

Aceleração Angular (α)
Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular.
dt
dω
=α

dt
dθ
ω =
dt
dω
=α
ωω=θα dd

ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE
tdtddtd
dt
d
c
t
occc α+ω=ω⇒α=ω⇒α=ω⇒
ω
=α ∫∫
ω
ω 0
0
Velocidade angular em função do tempo:
Posição angular em função do tempo:
22
)(
2
00
2
00
000
0
t
t
t
t
tdtdtddttdt
dt
d
cc
t
oc
t
occ
α+ω+θ=θ⇒α+ω=θ−θ
α+ω=θ⇒α+ω=θ⇒α+ω=
θ
=ω ∫∫∫
θ
θ
Velocidade angular em função da posição angular:
)(2
)()(
2
1
0
2
0
2
0
2
0
2
00
θ−θα+ω=ω
θ−θα=ω−ω⇒θα=ωω⇒θα=ωω ∫∫
θ
θ
ω
ω
c
ccc dddd

Velocidade do Ponto P
A velocidade de P tem módulo que pode ser
obtido a partir de suas coordenadas polares
θ== θ
 rvrvr
Como r é constante, a componente radial vr
=0 e, portanto
θ== θ
rvv
Pelo fato de que , entãoθ=ω 
rv ω=
Como mostram as figuras, a direção de v é
tangente à trajetória circular.

Da definição de produto vetorial, vemos que o vetor v também
pode ser obtido pelo produto vetorial de ω por r
rωrv ×== 
O sentido de v é estabelecido pela
regra da mão direita
A ordem dos vetores no produto deve
ser mantida. A ordem trocada fornece
r×ω=-v

Aceleração do Ponto P
A aceleração de P pode ser expressa em termos
de suas componentes normal e tangencial
ra
dt
rd
dt
dv
a tt α=∴
ω
==
)(
O vetor at representa a taxa de variação temporal da
velocidade escalar. Se a velocidade escalar de P
está aumentando então at tem sentido de v. Se a
velocidade está diminuindo at tem sentido oposto
de v. Se a velocidade é constante at é zero.
O vetor an representa a taxa de variação temporal da
direção da velocidade. Este vetor é sempre voltado
para o centro O.
ra
r
rv
a nn
2
22
)(
ω=∴
ω
=
ρ
=

Usando formulação vetorial, a aceleração de P também pode ser
definida diferenciando o vetor velocidade:
Pode ser mostrado que a equação acima reduz-se a:
r-rαaaa 2
ωnt ×=+=
O módulo de a é dado por: 22
nt aaa +=
rrωωa
rαa
2
)( ω−=××=
×=
n
t
( ) 





×+





×=×==
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d r
ωr
ω
rω
v
a
vωrαa ×+×=
( )rωωrαa ××+×=

PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
Movimento Angular:
- Estabeleça um sentido positivo ao longo do eixo de rotação
- Conhecendo uma relação entre duas das quatro variáveis α, ω, θ e t, uma
terceira variável pode ser determinada usando-se uma das seguintes
equações cinemáticas que relacionam todas as variáveis:
dt
dθ
=ω
dt
dω
=α ωω=θα dd
- Se a aceleração do corpo for constante, então as seguintes equações
podem ser usadas:
tcα+ω=ω 0
2
2
00
t
t cα+ω+θ=θ )(2 0
2
0
2
θ−θα+ω=ω c

Movimento de P:
- Em muitos casos, a velocidade de P e os dois componentes da sua
aceleração podem ser determinados pelas equações escalares:
rv ω= rat α= ran
2
ω=
- Se a geometria do problema for de difícil visualização, as seguintes
equações vetoriais poderão ser usadas:
rωv ×= rαa ×=t rrωωa 2
)( ω−=××=n
O vetor r está contido no plano de movimento de P. Qualquer um desses
vetores, bem como ω e α, devem ser expressos em termos de seus
componentes i, j, k.

Características do Movimento em alguns Elementos de Máquinas
2211 rrvP ω=ω=
A velocidade escalar é dada por:
A aceleração tangencial do ponto P no
contato entre as engrenagens também é
a mesma para as duas engrenagens:
2211 rrat α=α=
Características do movimento de um ponto P localizado no contato entre
as engrenagens

Polias e Correias
Um comprimento s da correia deve se desenrolar tanto para a polia
maior quanto para a polia menor num mesmo intervalo de tempo
(desde que a correia não escorregue). Logo:
2211
2211
rrv
rrs
ω=ω=
θ=θ=
2211 rrat α=α=
A velocidade do ponto P na correia é a
mesma para cada ponto na correia.
A aceleração tangencial do ponto P na correia é a mesma
para cada ponto na correia.

EXERCÍCIO
Enrola-se um cabo em torno de um disco
inicialmente em repouso, como indica a
figura. Aplica-se uma força ao cabo, que
então adquire uma aceleração a=(4t)m/s2
,
onde t é dado em segundos. Determine como
funções do tempo:
(a)a velocidade angular do disco e
(b)a posição angular do segmento OP, em
radianos.

SOLUÇÃO
1)Dados do Problema:
2) Pede-se:
mrtae PPt
2,0;4;00 00 =∗=== ωθ
?? == PP e θω
2
/20
2,0
*4
* srd
t
r
a
ra P
P
P
PPPP
t
t
=∴==∴= ααα
∫ ∫∫ =∴==∴=∴=
t t
P
t
PPP
P
P srdtttdtdtd
dt
d
0 0
2
0
2
0
/10
2
20
20 ωωαω
ω
α
ω
∫ ∫∫ =∴==∴=∴=
t t
P
t
PPP
P
P rdtttdtdtd
dt
d
0 0
3
0
3
0
33,3
3
10
10 θθωθ
θ
ω
θ

EXERCÍCIO
Usa-se o motor para girar uma roda
com suas pás no interior do
equipamento mostrado na foto.
Os detalhes estão na figura abaixo à
direita.
Se a polia A conectada ao motor inicia
seu movimento a partir do repouso,
com uma aceleração angular αA=2
rad/s2
, determine os módulos da
velocidade e da aceleração do ponto P
da roda B, após esta ter completado
uma revolução.
Suponha que a correia de transmissão
não escorregue na polia e nem na

SOLUÇÃO
Dados do Problema:
Pede-se:
00;4,015,0
1;/2;00
00
00
2
====
====
BBBA
AAAA
emrmr
revsrde C
θω
θαωθ
?? == PP aev
rdA 28,62*1 == πθ
rd
r
r
rr B
B
A
ABBBAA 36,2
4,0
15,0
.28,6. =∴==∴= θθθθθ
Como não há deslizamento da correia:
2
/885,0
4,0
15,0
.36,2. srd
r
r
rr CCCCC B
B
A
ABBBAA =∴==∴= ααααα

( )00
222
BBBBB C
θθαωω −+=
smvvrv PPBBP /82,04,0*044,2 ≅∴=∴= ω
A velocidade do ponto P é:
222
/67,14,0*044,2 smara nn PBBP =∴== ω
Sendo a aceleração angular constante, tem-se:
srdBBBB C
/044,236,2*885,0*22 ≅∴== ωθαω
A aceleração do ponto P é obtida das duas componentes de aceleração:
2
/354,04,0*885,0 smara tCt PBBP =∴== α
22222
/71,167,1354,0 smaaaa PPPP nt
≅∴+=+=

EXERCÍCIO
O mecanismo para movimentação
do vidro da janela de um carro é
mostrado na figura ao lado.
Quando a manivela é acionada
gera-se o movimento da
engrenagem C, que gira a
engrenagem S, fazendo com que
a barra AB nela conectada eleve o
vidro D. Se a manivela gira a 0,5
rd/s, determine a velocidade dos
pontos A e E, nas suas trajetórias
circulares e a velocidade Vw da
janela quando igual a 30 graus.ϴ

SOLUÇÃO
Dados do Problema:
Pede-se:
mmBA
mmrmmrsrd SCC
200
;50;20;/5,0 2
=
===ω
?? === wEA vevv tt
srd
r
r
rr S
S
C
CSSSCC /2,0
50
20
.5,0. =∴==∴= ωωωωω
Como a velocidade tangencial nas engrenagens é a mesma:
smvvvv AASEA /04,02,0*2,0 =∴=∴== BA*ω
Como os pontos A e E têm movimento de translação
circular, suas velocidades são:
smvvv WAW /035,0)04,0)cos(* ≅∴== o
cos(30*θ

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