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Msc. Alan de Oliveira Feitosa
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
UNIDADE I
INTRODUÇÃO À MECÂNICA GERAL E
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
João Pessoa, Agosto de 2013.
MECÂNICA GERAL
INTRODUÇÃO
Definição de Mecânica:
É o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de
repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças.
Mecânica dos corpos rígidos;
Mecânica dos corpos deformáveis;
Mecânica dos fluidos.
INTRODUÇÃO
Mecânica Geral:
Estática dos corpos rígidos, discutindo e estudando os
esforços internos (momento fletor, esforço cortante, esforço
normal e momento torsor) nas estruturas planas isostáticas
correntes na Engenharia Civil, como vigas, pórticos, grelhas e
treliças. Esses esforços internos são advindos de cargas
(esforços externos).
Considerações importantes:
Diagrama de corpo livre;
Considerar todas as forças que atuam sobre o corpo;
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Grandezas Escalares:
Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real.
Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a
massa, o volume, o comprimento, etc.
Intensidade;
Direção;
Grandezas Vetoriais:
Sentido.
Na Estática
Posição;
Força;
Momento.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Grandezas Vetoriais:
Representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de
fixação de um poste.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Lei dos Senos:
“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do
ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da
circunferência circunscrita”.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Lei dos Cossenos:
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois,
menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo
cosseno do ângulo que eles formam”.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Lei do Paralelogramo:
A resultante de duas forças concorrentes é igual à diagonal
principal do paralelogramo que tem como lados iniciais os
vetores destas forças.
R2 = F1
2+F2
2 – 2F1.F2.cosβ
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Regra do Triângulo:
Regra derivada da lei do paralelogramo.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Exercícios:
1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1
e F2.Determine o módulo e a direção da força resultante.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
Construir um esquema usando a regra do paralelogramo;
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o
triângulo de vetores;
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
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Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-se o módulo da
força resultante FR.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
O ângulo α é determinado a partir da lei dos senos, utilizando-
se o valor calculado para FR.
Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por:
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Exercícios:
2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se
encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a
força resultante é igual a 30kN, encontre suas componentes
nas direções AC e BC.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
Construir um esquema usando a regra do paralelogramo;
Aplicar lei dos senos;
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
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Resolvendo para FCA tem-se que:
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Forças Componentes:
Duas ou mais forças que atuam sobre uma partícula podem
ser substituídas por uma força única que tem o mesmo efeito
sobre a partícula. Essas forças são chamadas de componentes
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Para cada força F existe um número infinito de possíveis
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Forças Componentes:
Aplicando a lei dos senos ao triângulo ABC, tem-se:
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Forças Componentes:
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Forças Componentes:
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
MO = F.d
MA = 2000 NmMA = 800.2,5
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Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma
intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d.
O efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência de
rotação em um determinado sentido.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Binário:
Formulação escalar:
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RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
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Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo
momento.
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binários.
Formulação escalar:
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6) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na
figura. Substitua esse binário por um equivalente, composto
por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
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Aula 1 resultante de um sistema de forças

  • 1. Msc. Alan de Oliveira Feitosa CURSO DE ENGENHARIA CIVIL UNIDADE I INTRODUÇÃO À MECÂNICA GERAL E RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS João Pessoa, Agosto de 2013. MECÂNICA GERAL
  • 2. INTRODUÇÃO Definição de Mecânica: É o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Mecânica dos corpos rígidos; Mecânica dos corpos deformáveis; Mecânica dos fluidos.
  • 3. INTRODUÇÃO Mecânica Geral: Estática dos corpos rígidos, discutindo e estudando os esforços internos (momento fletor, esforço cortante, esforço normal e momento torsor) nas estruturas planas isostáticas correntes na Engenharia Civil, como vigas, pórticos, grelhas e treliças. Esses esforços internos são advindos de cargas (esforços externos). Considerações importantes: Diagrama de corpo livre; Considerar todas as forças que atuam sobre o corpo;
  • 6. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Grandezas Escalares: Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real. Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc. Intensidade; Direção; Grandezas Vetoriais: Sentido. Na Estática Posição; Força; Momento.
  • 7. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Grandezas Vetoriais: Representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação de um poste.
  • 8. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Lei dos Senos: “Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.
  • 9. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Lei dos Cossenos: “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”.
  • 10. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Lei do Paralelogramo: A resultante de duas forças concorrentes é igual à diagonal principal do paralelogramo que tem como lados iniciais os vetores destas forças. R2 = F1 2+F2 2 – 2F1.F2.cosβ
  • 11. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Regra do Triângulo: Regra derivada da lei do paralelogramo.
  • 12. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2.Determine o módulo e a direção da força resultante.
  • 13. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Construir um esquema usando a regra do paralelogramo;
  • 14. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o triângulo de vetores;
  • 15. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-se o módulo da força resultante FR.
  • 16. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: O ângulo α é determinado a partir da lei dos senos, utilizando- se o valor calculado para FR. Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por:
  • 17. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC.
  • 18. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Construir um esquema usando a regra do paralelogramo; Aplicar lei dos senos;
  • 19. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Resolvendo para FCA tem-se que: Resolvendo para FCB tem-se que:
  • 20. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Forças Componentes: Duas ou mais forças que atuam sobre uma partícula podem ser substituídas por uma força única que tem o mesmo efeito sobre a partícula. Essas forças são chamadas de componentes da força original F. Para cada força F existe um número infinito de possíveis conjuntos de componentes.
  • 21. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Forças Componentes: Aplicando a lei dos senos ao triângulo ABC, tem-se: Quando as forças F1 e F2 são perpendiculares x e y surge um caso particular, e a fórmula acima fornece: Rx = Rcosα; Ry = Rsenα
  • 22. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Forças Componentes:
  • 23. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Forças Componentes: A determinação da resultante de um sistema de forças F qualquer pode ser dada por: αi – ângulo que a força Fi faz com X; α – ângulo que a força R faz com X;
  • 24. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 3) Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura baixo. Determine a resultante das forças no parafuso.
  • 25. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Por trigonometria determinam-se as componentes x e y de cada força.
  • 26. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Momento de uma Força em relação a um Ponto: Definiremos momento de uma força F em relação a um ponto fixo O, como sendo o produto vetorial de r x F de acordo com a figura abaixo. MO = r x F O momento MO deve ser perpendicular ao plano que contem O e a força F.
  • 27. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Momento de uma Força em relação a um Ponto: Regra da mão direita – convenção de sinais: Rotação no sentido horário » Momento negativo Rotação no sentido anti-horário » Momento positivo MO = rF senθ = F.d
  • 28. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Momento de uma Força em relação a um Ponto: Exemplos de momentos: Momento no eixo z Momento no eixo x Não há momento no tubo
  • 29. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Momento de uma Força em relação a um Ponto: Teorema de Varignon “A soma dos momentos das componentes é igual ao momento da resultante”. r x (F1+F2+.....) = r x F1+ r x F2+.....
  • 30. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Momento de uma Força em relação a um Ponto: Teorema de Varignon
  • 31. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 4) Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das barras mostradas.
  • 32. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: a) MO = F.d MO = 100.2 = 200 Nm b) MO = F.d MO = 50.0,75 = 37,5 Nm
  • 33. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 5) Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C e D.
  • 34. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: MO = F.d MA = 2000 NmMA = 800.2,5 MB = 800.1,5 MB = 1200 Nm MC = 800.0 MC = 0 Nm MC = 800.0,5 MB = 400 Nm
  • 35. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Binário: Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d. O efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência de rotação em um determinado sentido.
  • 36. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Binário: Formulação escalar: Formulação vetorial:
  • 37. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Binários Equivalentes: Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento. O momento resultante de dois binários é obtido pela soma dos binários. Formulação escalar: Formulação vetorial:
  • 38. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 6) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
  • 39. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Momento do Binário: M = 24 NmM = 40.0,6 M = F.d Cálculo das forças: F = M/dAB F = 24/0,2 F = 120 N
  • 40. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Momento de uma Força em Relação a um Eixo: A força é perpendicular ao plano que contém os eixos. (x,y) = coordenadas do ponto onde F fura o plano xy.
  • 41. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Redução de um Sistema de Forças a outro Equivalente: Representa um sistema no qual a força e o momento resultantes produzam na estrutura o mesmo efeito que o carregamento original aplicado.
  • 42. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Exercícios: 7) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e um momento atuante no ponto A.
  • 43. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Cálculo da força resultante:
  • 44. RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS Resolução: Direção da força resultante: Momento resultante: Sistema equivalente: