Apostila de pmf 2012 (1)

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA
COORDENADORIA DE PROJETOS MECÂNICOS
APOSTILA DE PROJETO DE MÁQUINAS-FERRAMENTA - PMF
PROF. FRANCISCO DE ASSIS TOTI
PROF. ELVIO F. DE CAMARGO ARANHA
PROF. HELENA S. D. M. ESPÍNDOLA
JUNHO DE 2012

Coordenadoria de Projetos Mecânicos
DPM: 001-2010 – 3ª Revisão
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I. Introdução
O material didático proposto tem por objetivo apresentar a teoria contida na ementa da disciplina de
Máquinas-Ferramenta para Projetos, reunindo textos, ilustrações e gráficos de diversas literaturas
condizentes, com exemplos e exercícios focados na área de projeto de máquina-ferramenta, mais
especificamente, no projeto de variador de velocidade. Cabe ressaltar que, o material didático
proposto encontra-se em sua segunda versão e alguns tópicos, deverão ser melhorados ao longo do
tempo, bem como abrangência nas explicações definidas.
Máquinas para uma única e determinada operação são projetadas com velocidades únicas.
Entretanto, no projeto de máquinas que serão utilizadas em várias aplicações prevê um campo de
velocidades que atenda as necessidades de serviço. No caso de máquinas-ferramenta, os valores de
velocidades requeridas dependem de fatores técnicos e econômicos, ressaltando que, quanto maior a
variedade de materiais usados para ferramentas, maior o campo de velocidades necessárias. A tarefa
das caixas de transmissão com rodas dentadas é a regulagem da velocidade por meio de
transmissões graduadas [01].
As caixas de transmissão dividem-se:
a) Conforme o princípio de mudança:
- em rodas dentadas móveis
- em embreagens e acoplamentos
- em rodas dentadas intercambiáveis
b) Conforme a quantidade árvores (eixo-árvore, eixo principal):
- de duas árvores
- de muitas árvores
Os principais requisitos para o projeto das caixas de transmissão são:
- garantir a quantidade necessária de rotações no eixo-árvore acionado.
- suficiente coeficiente de rendimento
- fácil manejo, montagem e regulagem
II. Variador de Velocidade
A velocidade de rotação de uma máquina-ferramenta está diretamente relacionada ao tipo de
operação que se deseja realizar, determinando tanto a velocidade de corte, quanto, a velocidade de
avanço. A partir disso, uma máquina-ferramenta deve atender as diversas solicitações de velocidade
para cada tipo de operação, como efeito, surge a necessidade da existência de um variador de
velocidade. Quanto melhor for a precisão com que a velocidade ótima é alcançada para uma
determinada situação, melhor será a eficiência do processo.
As velocidades de corte e avanço podem ser relativas tanto aos movimentos rotativos como
os lineares, porem nesta disciplina, abordaremos somente os movimentos rotativos.
Para se transmitir à rotação do motor para a máquina há a necessidade do emprego de
elementos de máquinas intermediários como acoplamentos, polias e correias, rodas dentadas e
correntes de rolos, rodas de atrito, engrenagem etc. Todos sempre interligados em eixos, chavetas,
rolamentos, entre outros. Para um variador de velocidade é usual emprego de pares de engrenagens.
As figuras 1 e 2 mostram variadores de velocidades de duas máquinas-ferramentas (tornos

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Universais)
Figura 1 – Variador de velocidades do Torno Universal ROMI
Figura 2 – Variador de velocidades de Torno Universal 1E610 [01].

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III. Campo de Rotações
A rotação de uma máquina é dada pela velocidade de corte para um determinado diâmetro do
elemento em rotação.
Onde:
V: velocidade [m/min]
D: diâmetro [mm]
n: rotação [rpm]
ou seja; a velocidade (V) é dada por:
Obs: - velocidade de corte, diâmetro e rotação da peça no torneamento.
- velocidade de corte, diâmetro e rotação da ferramenta no fresamento,
mandrilhamento, furação e retificação.
A máquina-ferramenta deve ser projetada para atender a usinagem de peças de diferentes
diâmetros com diferentes velocidades de corte. Para isso é necessário que a rotação n seja variável e
seja definido o campo de rotações da máquina, como segue:
Para trabalhar com um Dmax e um Dmin e em função do material que a máquina vai operar,
tem-se a Vmax e uma Vmin. Assim sendo, a combinação de um Dmin de peça, sendo usinada com
uma ferramenta que necessita a Vmax, define a nmax da máquina, tendo assim:
Para efeito de projeto o valor da relação entre os diâmetros comumente adotado é 4,
mas pode chegar até o valor de 20.
A Figura 3 ilustra o campo de rotações para as possíveis combinações entre velocidade e diâmetro.

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Figura 03- campo de rotações para as possíveis combinações entre velocidade e diâmetro.

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IV. Escalonamento das Rotações
A variação de rotações da árvore e do mecanismo de avanço de máquina-ferramenta pode
ser executada por sistemas mecânicos, dentre outros, e o escalonamento das rotações podem ser em
progressão aritmética ou geométrica.
A- SEQÜÊNCIA REAL
É toda função que cada número natural n associa um único número real an.
B- PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Dados os números a e r, define-se (a1, a2, ..., a n) é uma Progressão Aritmética.
a1 = a n
a n+1 = a n + r
Termo geral: a n = a1 + (n – 1) x r
r é a razão da Progressão Aritmética
a1 é a primeira rotação
n é o número de rotações
Classificação:
Se (a n) é uma Progressão Aritmética, então:
a) (a n) é estritamente crescente r > 0
b) (a n) é estritamente decrescente r < 0
c) (a n) é constante r = 0
C- PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Dados os números a e q, define-se (a1, a2, ..., a n) é uma Progressão Geométrica.
a1 = a n
a n+1 = a n x q
Termo geral: a n = a1 x q n-1
q é a razão da Progressão Geométrica
Classificação:
Se (a n) é uma Progressão Geométrica, então:

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Tabela 1: Rotações obtidas por Progressão Aritmética
a) (a n) é estritamente crescente
a1 > 0 se q > 1
a1 < 0 se 0 < q < 1
b) (a n) é estritamente decrescente
a1 > 0 se 0 < q < 1
a1 < 0 se q > 1
c) (a n) é constante r = 0
Exemplo:
Um torno mecânico com 6 rotações variando de 8 a 256 rpm
a1 = 8 rpm
a6 = 256 rpm
n = 6 rotações
Progressão Aritmética
256 = 8 + (6 – 1) . r
r = (256 – 8) / (6 – 1)
r = 49,6
a1 = 8 rpm
a2 = 57,6 rpm
a3 = 107,2 rpm
a4 = 156,8 rpm
a5 = 206,4 rpm
a6 = 256 rpm
Dividindo em série de rotações inferior e superior
Progressão Geométrica
256 = 8 . q (6 – 1)
q 5
= 256 / 8
q = 5
√ 32
q = 2
a1 = 8 rpm
a2 = 16 rpm
Série Inferior Série Superior
a1 = 8 rpm a4 = 156,8 rpm
a2 = 57,6 rpm a5 = 206,4 rpm
a3 = 107,2 rpm a6 = 256 rpm

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Tabela 2: Rotações obtidas por Progressão Geométrica
a3 = 32 rpm
a4 = 64 rpm
a5 = 128 rpm
a6 = 256 rpm
Observando o escalonamento construído a partir das progressões aritmética e geométrica,
nota-se que, no primeiro caso os valores são inconstantes, já no segundo caso a série superior é
exatamente igual a série inferior multiplicado por 8. Isso resulta em um projeto de caixa de
transmissão mais simples, compacta e com rotações previstas.
Exercício proposto 01
Construa a série inferior e superior em Progressão Aritmética e em Progressão Geométrica
para um variador de velocidade para um torno com 12 rotações, onde:
 a menor rotação = 40 rpm
 a maior rotação = 2500 rpm
V. Queda de Velocidade (A)
Como visto anteriormente, a velocidade está diretamente ligada à rotação e ao diâmetro da
peça a ser usinada. Conseqüentemente, essas são variantes que levam a uma queda de velocidade,
que pode ser medida em porcentagem através de:
 Progressão Aritmética:
 Progressão Geométrica:
Para cada rotação é possível a partir de uma velocidade especifica encontrar os diâmetros
equivalentes dentro do campo de rotações.
Série Inferior Série Superior
a1 = 8 rpm a4 = 64 rpm
a2 = 16 rpm a5 = 128 rpm
a3 = 32 rpm a6 = 256 rpm

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Exemplo:
Tomando as rotações encontradas por Progressão Aritmética do exercício anterior e a
adotando a velocidade de corte de 25 m/min para o aço rápido (HSS), tem-se a seguinte tabela:
Tabela 3- Rotações e diâmetros relativos. [02].
A partir disso, há como construir o diagrama de serra progressão aritmética, o qual a figura 4
ilustra a inconstante queda de velocidade que ocorre no variador calculado por progressão
aritmética.
Figura 4- Diagrama de Serra de uma Progressão Aritmética
VI. Representação de Variadores de Velocidade
Para o estudo de variadores de velocidade utilizam-se o desenho não-projetivo*
(esquematização) e/ou os gráficos reticulados, que possibilitam a leitura de um variador de
velocidade, indicando as variações que ocorre, dizendo se haverá uma redução, ou se haverá uma
ampliação da velocidade entre os eixos que constituem a caixa, ou se simplesmente se mantém
constante. As figuras 5 e 6 mostram respectivamente a esquematização de um par de engrenagens
com eixos paralelos e a três relações (redução, ampliação e constante).
* em geral o desenho não-projetivo corresponde a desenhos resultantes dos cálculos algébricos e são utilizados para
representação das diversas formas de gráficos, diagramas, esquemas, ábacos, fluxogramas, organogramas, dentre outros.
RPM Diâmetro (mm)
8 995
57,6 138
107,2 74
156,8 51
206,4 38
256 31

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Figura 5 - Esquematização de um par de engrenagens com eixos paralelos.
Figura 6 - Representação das relações por Gráfico Reticulado
A figura 8 mostra a esquematização de dois pares de engrenagens – ECDR, montadas em
três eixos paralelos e seu respectivo gráfico reticulado.
Figura 7- Esquematização das engrenagens de um variador e o seu Gráfico Reticulado.

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Verifica-se pelo Gráfico Reticulado que no primeiro par há uma redução de rotação, já no
segundo par há uma ampliação. Além disso, a partir do gráfico reticulado é possível saber quantas
rotações de saída é proporcionada pelo variador.
Exemplo:
Um variador com 4 pares de engrenagens.
Figura 8 – Esquematização de variador de velocidade com 4 pares de engrenagens - ECDR.
Considerando que esse variador tem uma rotação de entrada em seu primeiro eixo (Eixo I),
pelas diversas combinações é possível obter 4 rotações de saída no último eixo (Eixo III).
Tabela 4 - Rotações resultantes das diversas combinações entre os pares de engrenagens
Rotações (n) Combinações de engrenagens
Rotação 1 (n1) Engrenagem 3 com Engrenagem 4 e Engrenagem 5 com Engrenagem 6
A figura 10 ilustra o Gráfico Reticulado desse tipo de variador de velocidade com quatro
rotações no eixo de saída.

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Figura 9 - Gráfico Reticulado do variador com 4 rotações no eixo de saída
Elaborar uma caixa de engrenagens com 5 pares de engrenagens, 3 eixos e 6 rotações de
saída distintas. Construir o esquema das engrenagens e o Gráfico Reticulado.
VII. Determinação do número de dentes das engrenagens (Z)
Tomando como exemplo o variador com 4 pares de engrenagens - ECDR e adotando uma
rotação mínima de 300 rpm e uma rotação máxima de 800 rpm. A partir disso, para determinação
do número de dentes que cada engrenagem deve conter é necessário determinar o valor de φ, que é
a razão da seqüência numérica, ou seja, o escalonamento das rotações.
φ = o valor e proveniente da razão de uma P.G. = q = an-1
√ (n máx/ n min)
Lembrando que an é a quantidade de rotações que o variador pode combinar, sendo assim;
obs: Esse valor φ deve ser aproximado de acordo com os valores padronizados conforme mostrado
na Tabela 4 [02].

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Tabela 4 - Divisão do número de dentes com Ztotal de 37 à 104.
φ 1,06 1,12 1,19 1,26 1,33 1,41 1,5 1,58 1,68 1,78 1,88 2 2,11 2,24 2,37 2,51 2,65 2,82 2,99 3,16 3,35
Z1 + Z2
37 18/19
38 18/20
39 19/20
40 19/21
41 20/21 18/23
42 18/24
43 21/22 19/24
44 20/24 19/25
45 22/23 20/25 18/27
46 21/25 19/27
47 23/24 22/25 20/27 19/28
48 22/26 20/28 18/30
49 23/26 21/28 19/30
50 23/27 22/28 20/30 18/32
51 24/27 22/29 21/30 19/32
52 23/29 21/31 20/32 18/34
53 25/28 22/31 19/34
54 24/30 23/31 21/33 20/34 18/35
55 26/29 25/30 23/32 22/33 19/36
56 27/29 25/31 24/32 21/35 20/36 18/38
57 27/30 26/31 23/34 22/35 19/38
58 28/30 25/33 24/34 21/37 21/37 20/38 18/40
59 28/31 27/32 26/33 23/36 22/37 19/40
60 29/31 25/35 24/36 23/37 21/39 20/40
61 28/33 27/34 26/35 22/39 21/40 19/42 18/43
62 30/32 29/33 25/37 24/38 23/39 20/42 19/43
63 29/34 28/35 27/36 26/37 22/41 21/42 18/45
64 31/33 30/34 29/35 24/40 23/41 22/42 19/45
65 29/36 28/37 27/38 26/39 25/40 21/44 20/45
66 32/34 31/35 30/36 29/37 23/43 22/44 21/45 19/47 18/48
67 28/39 27/40 25/42 24/43 24/43 23/44 20/47 19/48
68 33/35 32/36 31/37 30/38 29/39 28/40 27/41 22/46 21/47 20/48 18/50
69 26/43 25/44 24/45 23/46 22/47 19/50 18/51
70 34/36 33/37 32/38 31/39 30/40 29/41 28/42 27/43 26/44 25/45 20/50 19/51
71 23/48 22/49 21/50 20/51 18/53
72 35/37 34/38 33/39 32/40 31/41 30/42 29/43 28/44 27/45 26/46 25/47 24/48 23/49 22/50 19/53 18/54
73 30/43 29/44 28/45 27/46 21/52 20/53 19/54
74 36/38 35/39 34/40 33/41 24/50 23/51 22/52 21/53 20/54
75 34/41 33/42 32/43 31/44 30/45 29/46 28/47 27/48 26/49 25/50 24/51 23/52 19/56 18/57
76 37/39 36/40 35/41 20/56 19/57
77 36/41 35/42 34/43 33/44 32/45 31/46 30/47 29/48 24/53 23/54 22/55 21/56 20/57
78 38/40 37/41 31/47 30/48 29/49 28/50 27/51 26/52 25/53 24/54 23/55 22/56 18/60
79 37/42 36/43 35/44 34/45 33/46 20/59 19/60 18/61
80 39/41 38/42 34/46 33/47 32/48 31/49 30/50 29/51 26/52 23/57 22/58 21/59 20/60 19/61

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φ 1,06 1,12 1,19 1,26 1,33 1,41 1,5 1,58 1,68 1,78 1,88 2 2,11 2,24 2,37 2,51 2,65 2,82 2,99 3,16 3,35
Z1 + Z2
81 38/43 37/44 36/45 35/46 30/51 29/52 28/53 27/54 26/55 25/56 24/57 23/58 22/59 21/60
82 40/42 36/46 35/47 34/48 33/49 32/50 19/63
83 40/43 39/44 38/45 37/46 33/50 32/51 31/52 30/53 29/54 21/62 20/63 19/64
84 41/43 37/47 36/48 35/49 30/54 29/55 28/56 27/57 26/58 25/59 24/60 23/61 22/62 21/63 20/64
85 41/44 40/55 39/56 35/50 34/51 33/52 32/53 26/59 25/60 24/61 23/62
86 42/44 39/47 38/48 37/49 33/53 32/54 31/55 29/57 20/66
87 42/45 41/46 40/47 37/50 36/51 35/52 34/53 30/57 29/58 28/59 27/60 26/61 25/62 24/63 23/64 22/65 21/66 20/67
88 43/45 40/48 39/49 38/50 35/53 34/54 33/55 28/60 27/61 26/62 25/63 24/64 23/65 22/66 21/67 20/68
89 43/46 42/47 41/48 38/51 37/52 33/56 32/57 31/58 30/59
90 44/46 41/49 40/50 37/53 36/54 35/55 31/59 30/60 29/61 28/62
91 44/47 43/45 40/51 39/52 38/53 35/56 34/57 33/58 29/62 28/63 27/64 26/65 25/66 24/67 23/68 22/69 21/70
92 45/47 43/49 42/50 41/51 38/54 37/55 33/59 32/60 31/61 27/65 26/66 25/67 24/68 23/69 22/70 21/71
93 45/48 44/49 41/52 40/53 37/56 36/57 35/58 32/61 31/62 30/63 29/64
94 45/49 44/50 43/51 40/54 39/55 38/56 35/59 34/60 30/64 29/65 28/66 27/67
95 46/49 45/50 42/53 41/54 38/57 37/58 34/61 33/62 32/63 28/67 27/68 26/69 25/70 24/71 23/72 22/73
96 45/51 44/52 41/55 40/56 37/59 36/60 33/63 32/64 31/65 26/70 25/71 24/72 23/73 22/74
97 47/50 46/51 44/53 43/54 40/57 37/38 36/61 35/62 31/66 30/67 29/68
98 46/52 45/53 42/56 39/59 38/60 35/63 34/64 33/65 30/68 29/69 28/70 27/71
99 48/51 47/52 45/54 44/55 41/58 40/59 39/60 37/62 34/65 33/66 32/67 28/71 27/72 26/73 25/74 24/75 23/76
100 47/53 46/54 44/56 43/57 41/59 40/60 49/61 37/63 36/64 35/65 32/68 31/69 26/74 25/75 24/76 23/77
101 49/52 46/55 45/56 43/58 42/59 39/62 38/63 36/65 35/66 34/67 31/70 30/71 29/72 24/77 23/78
102 48/54 45/57 44/58 42/60 41/61 38/64 37/65 34/68 33/69 30/72 29/73 28/74 27/75
103 50/53 47/56 44/59 43/60 41/62 40/63 37/66 36/67 33/70 32/71 28/75 27/76 26/77 25/78
104 49/55 46/58 43/61 42/62 40/64 39/65 36/68 35/69 32/72 31/73 27/77 26/78 25/79 24/80
De acordo com a tabela de divisão de dentes o φ que mais se aproxima do valor encontrado
de 1,386 é o φ = 1,41.
O valor de números de dentes das engrenagens menores (pinhões) se dá pela seguinte
relação:
O φ encontrado foi entre as rotações de saída do variador velocidade, e muitos casos esse φ
não acaba sendo apropriado para todas as outras rotações como a de entrada e as duas
intermediárias do Eixo II sendo necessário mais de um φ, tendo assim, mais de um escalonamento
de número de dentes entre os pares de engrenagens. Para isso, deve-se encontrar uma relação
dependendo de uma redução ou ampliação, que divida ou multiplique o φ por uma rotação final de
um eixo a fim de se encontrar a rotação inicial, ou vice e versa.
 Redução: Rotação Inicial = Rotação Final x φ
 Ampliação: Rotação Inicial = Rotação Final / φ

14
XIII. Números Normalizados
Em todos os setores onde é possível o emprego de número, surge a necessidade de se fixar,
para cada característica, a série de valores numéricos capaz de cobrir todas as necessidades com o
menor número possível de termos [03].
As dimensões lineares normais aplicáveis a medidas de comprimentos, larguras, espessuras,
profundidades, diâmetros, etc., foram determinadas com base na teoria dos números normais.
A norma Brasileira NB - 71 fixou as séries, ou progressões, dos números normalizados para
fins industriais. São chamadas séries de bases e são quatro séries geométricas que contém as
potências inteiras de dez, cujas razões são:
5
√10, 10
√10, 20
√10, 40
√10
São representadas respectivamente e denominadas por R5, R10, R20 e R40 em homenagem
a Charles Renard (Matemático Inglês do século XVIII).
 R5: série de razão 5
√10 = 1,5849  1,6
√10 = 1,2589  1,26
√10 = 1,1220  1,12
√10 = 1,0592  1,06
- A preferência na escolha das séries deve obedecer a ordem: R5, R10, R20 e R40.
- Os termos das séries expressos com 5 algarismos são os chamados números Calculados.
- Os valores aproximados dos números calculados são números normalizados [02].
IX. Rotações Normalizadas
Subentendem-se como rotações normalizadas as rotações em carga, as quais são valores
arredondados das séries de base dos números normalizados. As rotações em carga servem para os
eixos principais das máquinas-ferramenta, com o motor de acionamento a plena carga.
Os valores nominais das rotações normalizadas são indicados na tabela do número de
rotações, ou na escala de ajuste da máquina, e são também empregados no cálculo do tempo de
fabricação da peça.
São números normalizados em escalonamento geométrico segundo a série fundamental R20,
com escalonamento φ = 1,12, bem como as séries derivadas R20 / 2, R 20 / 3, R 20/ 4 e R20/6 com
escalonamento φ = 1,25; φ = 1,41; φ = 1,68 e φ = 2. A Tabela 5 mostra as rotações normalizadas
segundo a DIN 804 [02].

15

16
X. Cálculo do Módulo
Para a fabricação de uma engrenagem deve se determinar, dentre outros cálculos, o valor do
Módulo (m), que é o espaço entre os dentes no Sistema Internacional (SI), sendo as unidades
calculadas em milímetros. No sistema USCS, a proximidade entre os dentes é medida por uma
quantidade chamada de passo diametral ou diametral pitch (Pd )*. O módulo e o “diametral pitch”
são dimensões que não são diretamente medidas numa engrenagem. Eles são utilizados como
valores de referência para cálculos de outras dimensões das engrenagens que, por sua vez, são
mensuráveis. Em alguns casos o módulo é obtido através da relação (Dp / Z), onde Dp é o diâmetro
primitivo da engrenagem (ou seja, o diâmetro de contato entre os dentes de duas engrenagens) e Z é
o número de dentes. Contudo, essa relação se emprega no caso de um diâmetro já definido. Caso
contrário esse módulo, deve ser determinado através de outros fatores, como o do critério de
cisalhamento no pé do dente da engrenagem, que considera:
Mt: Momento torçor [kgf . mm]
q: Fator de correção de engrenamento
σadm: Tensão admissível do material da engrenagem [kgf/mm²]
Z: Número de dentes da engrenagem
B: Largura da engrenagem [mm]
O fator de correção “q” depende do tipo de engrenamento e do número de dentes da
engrenagem e deve ser adotado, conforme mostrado na Tabela 6
Tabela 6 – Fator de correção para engrenamento externo e interno
Esse fator é levado em conta também para a análise de resistência da engrenagem. O esforço
que ocorre no engrenamento causa no dente da engrenagem forças cortante e normal, tal que o
material escolhido para a fabricação da engrenagem deve ter uma tensão admissível que atenda a
solicitação.
Obs: não consideramos neste estudo o modo de falha de engrenagem por fadiga de contato
(“pitting”).
* este nome é mantido em inglês na literatura por tratar-se de medida inglesa, refere-se à variável determinante de dentes por
polegada do diâmetro primitivo. Corresponde ao módulo do sistema métrico.
Fator de Correção (q) para Engrenamento Externo
Z (nº de Dentes) 12 13 15 17 20 30 40 50 >60
q 4,5 4,3 3,9 3,6 3,3 3,1 2,9 2,7 2,6
Fator de Correção (q) para Engrenamento Interno
Z (nº de Dentes) 20 30 40 50 100 >200
q 1,7 1,9 2 2,1 2,3 2,4

17
Além da tensão admissível, é levada em consideração a dureza do material, pois na análise
do desgaste do flanco do dente, a dureza é um fator de grande importância. A Tabela 7 mostra a
relação de dureza e tensão admissível entre alguns materiais e alguns tratamentos térmicos usuais na
fabricação de engrenagens.
Tabela 7 – Relação entre dureza e σ adm de materiais para construção de engrenagens.
A largura da engrenagem em variador usualmente varia entre 15 e 25 mm, contudo isso
pode ser dimensionado. A partir disso o valor encontrado para o módulo deve ser aproximado a um
valor de módulos padronizados conforme mostra a Tabela 8 [04].
Tabela 8 – Módulos padronizados conforme Norma DIN (Deutsches Institut Normug e V.)
Obs: O número de dentes num par de engrenagens é distinto para cada engrenagem, sendo
assim, necessário calcular o módulo para cada quantia de dentes e seu respectivo fator “q” e
interpolar os resultados se aproximando de um módulo normalizado que atenda ambas engrenagens.
XI. Critério de Desgaste
Este critério utiliza a formulação de Hertz para dois cilindros em contato, chegando-se a
seguinte expressão:
B x D² ≥ 4,5 x 106
x N x (i ± 1)
K x n x i1
Onde;
N: potência do motor [CV]
i: relação de transmissão
B: largura da engrenagem [mm]
D: diâmetro da engrenagem [mm]
Material Tratamento Térmico σ adm (kgf / mm²) HB (kgf / mm²)
SAE 1020 B.L 21
SAE 1045 Normalizado 13 170
SAE 1045 Temperado Total 15 250
SAE 1045 Temperado Superficial 13 170 – 450
SAE 8620 Cementado 15 600
FoFo - 4 150
Módulos Normalizados – DIN 780
0,3 [0,35] 0,4 [0,45] 0,5 [0,55] 0,6 [0,65]
0,7 0,8 0,9 1 1,25 1,5 1,75 2
2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4
4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 18
20 22 24 27 30 33 36 39
42 45 50 55 60 65 70 75

18
 i +1 = engrenamento externo
 i –1 = engrenamento interno
O produto entre B e D elevado ao quadrado representa o volume mínimo que a engrenagem
necessita ter para ser capaz de transmitir a potência “N”, a uma determinada rotação “n”, sob uma
pressão “K”.
Essa pressão “K” é representada por uma expressão que contém a dureza do flanco do dente
em relação ao material, à rotação, e à vida da engrenagem.
Onde;
HB: dureza em Brinell [kgf/mm²]
ln: vida útil da engrenagem [horas]
E1, 2: módulo de elasticidade do material de cada engrenagem do par [kgf/mm²]
Obs.: o módulo de elasticidade para os aços é de 21000 kgf/mm²
A partir de uma relação prática entre B e D é possível determinar um ou o outro através do
critério de desgaste, e assim com a largura ou o diâmetro determinado é possível chegar ao módulo
necessário para fabricação da engrenagem [04].
 Com apoio bilateral rígido: B/D  1,2
 Com apoio unilateral (em balanço): B/D  0,75
XII. Critério de Resistência
Este critério utiliza a resistência dos materiais para a sua análise. O esforço no engrenamento
“Ph” causa na base do dente, momento fletor, força cortante e normal; como falado no capítulo X;
fazendo com que a tensão admissível do material seja inferior a encontrada na seguinte expressão:
O módulo (m) que para a análise de resistência no dente, já deve estar definido.
O fator “e” corresponde à um fator de carga que varia em relação ao regime de trabalho das
engrenagens.
 e = 0,8: utilização contínua e carga máxima.
 e = 1,5: utilização parcial.

19
XIII. Danos ocorrentes nos dentes de engrenagem
O formato dos dentes de uma engrenagem é definido matematicamente e usinado com
precisão, de acordo com Normas padronizadas possuem inúmeras fórmulas que permitem calcular,
ou melhor, estimar quais são os esforços que uma determinada engrenagem sofre em uma dada
condição de operação. Com isto é possível dimensionar as engrenagens para suportarem as cargas
de operação. Entretanto, esforços calculados não são necessariamente esforços reais [05]. Dudley
sugere que a melhor maneira de se descobrir o quanto de carregamento que uma engrenagem pode
suportar é construindo e testando um protótipo da mesma. As figuras 11 e 12 mostram dois
protótipos de uma engrenagem sendo construída pelos métodos de adição e remoção de material
respectivamente [06], os quais serão abordados mais adiante.
Figura 10 – Construção pelo método de deposição de material fundido - Fused Deposition
Modeling (FDM).
Figura 11 – Construção pelo método de remoção de material.
Vários são os fatores que influenciam na durabilidade das engrenagens, os mais
compreensíveis são aqueles relacionados ao tipo de material e à macro-geometria das engrenagens,
composta pelos seguintes valores: distância entre centros, ângulo de pressão, largura dos dentes e
ângulo de hélice (para o caso de engrenagens helicoidais), entre outros. Contudo, alguns outros

20
fatores, tais como, concentradores de tensões (raio de arredondamento na raiz do dente), tensões
residuais associadas ao processo de fabricação e o acabamento superficial do dente, influenciam na
durabilidade de uma engrenagem, porém seu efeito é mais difícil ser estimado teoricamente. O
desalinhamento entre dois dentes em contato ocasiona uma distribuição de carregamentos não
uniforme o que também influencia na durabilidade dos dentados [05].
Para dentes de engrenagens de dentes retos o valor do ângulo de pressão comumente
utilizado é o de 20°, pois apresenta um bom compromisso em termos de capacidade de carga e
transmissão de potência de maneira suave e silenciosa. Além disso, o ângulo de pressão de 20°
permite a construção de engrenagens com um número reduzido de dentes evitando problemas como
o “undercutting”, problemas estes mais freqüentes com ângulos de pressão menores [07]. Alguns
efeitos de se aumentar o valor do ângulo de pressão são abordados a seguir [08]:
• O número limite de dentes necessários para se evitar o “undercutting”é reduzido.
• A forma do dente torna-se mais pontuda.
• O flanco do dente torna-se mais curvo.
• A velocidade relativa de escorregamento é reduzida.
• O grau de recobrimento é reduzido*;
• A capacidade de carga do dente aumenta.
Para evitar concentrações de tensões na raiz do dente o raio mínimo do perfil básico deve ser
de 0,209/Pd e 0,235/Pd para engrenagens com ângulos de pressão (θ) de 14,5º e 20º
respectivamente [09]. A figura 13 mostra o carregamento de dente de engrenagem e as figuras 14 e
15 mostram as curvas após interpolação de fatores de concentração de tensão no raio da raiz do
dente.
Figura 12 – carregamento de dente de engrenagem [09].
* O grau de recobrimento, ou o número de dentes em contato, é o quociente do arco de ação dividido pelo arco entre
sucessivos dentes de engrenagem. O grau de recobrimento é um outro fator importante para o projeto de engrenagens.

21
Figura 13 - Fatores de concentração de tensão Kt para dente de engrenagem com ângulo de pressão
de 14,5º [09].

22
Figura 14 - Fator de concentração de tensão Kt para dente de engrenagem com ângulo de pressão de
20º [09].
Existem três maneiras genéricas segundo as quais um elemento de máquina, pode deixar de cumprir
as funções para as quais foi projetado:
- Deformação plástica excessiva
- Escoamento ou deformação plástica excessiva
- Fratura

23
Para executar um bom projeto é importante ter-se conhecimento dos tipos mais comuns de
falhas possíveis de ocorrer, porque é sempre necessário relacionar as cargas e dimensões do
componente com alguns parâmetros de significância para o material, que limita a capacidade do
componente para suportar uma carga [10]. A seguir alguns exemplos de fratura em engrenagens:
Danos por ruptura:
 Ruptura violenta no pé do dente, devida a cargas bruscas na transmissão.
Solução: Mediante proteção contra as sobrecargas ou por investigação prévia das
sobrecargas possíveis, consideras no cálculo dos valores admissíveis de carga.
 Ruptura por fadiga no pé do dente, devida à sobrecarga repetida superior à
resistência à fadiga ou temporária, sendo que nesse caso, representam um papel
importante os defeitos do material, do tratamento térmico e da fabricação e,
sobretudo, o maior ou menor efeito de concentração de tensões no pé do dente
(arredondamento insuficiente, raias, fissuras provenientes da têmpera, limitação da
zona temperada no pé do dente, ou o pipocamento no pé do dente).
Solução: Elevação da capacidade de carga no pé do dente, por exemplo;
beneficiamento ou têmpera, pelo uso de um módulo maior ou de maior ângulo de
engrenamento de serviço (deslocamento do perfil), por reforçamento da zona de
transição no pé do dente (jato de esferas de aço), por eliminação dos pontos de
concentração de tensões, por maior chanframento dos dentes nas faces laterais; já
que, em geral, a ruptura dos dentes se inicia nas faces laterais; e finalmente
evitando ou elevando em consideração, no cálculo dos valores de carga admissíveis,
as forças adicionais.
 Ruptura de canto de dente, em conseqüência de distribuição desigual da carga sobre
a largura do dente, como exemplo, por desalinhamentos axiais, por erro na direção
do dente ou por deformação elástica considerável do pinhão sujeito a carga (flexo-
torção).
Solução: Por eliminação ou consideração dos defeitos indicados na fabricação, por
aumento da convexidade dos flancos (encurvamento lateral dos dentes), por redução
da largura do dente (principalmente em pinhões em balanço), e pelas medidas
citadas no item anterior.
 Estilhaçamento na cabeça do dente em engrenagens temperadas (principalmente em
engrenagens de câmbios), ou devidas a carregamentos com choques.
Solução: Emprego de um material mais tenaz (convenientemente ligado) e redução
das forças de choque.
Danos nos flancos. Algo que se deseja é um aspecto uniformemente liso e sedoso nos
flancos dos dentes amaciados, nos quais, a linha da circunferência de rolamento apenas seja
fracamente visível. É recomendável o amaciamento dos flancos dos dentes com óleos EP (óleos
hipóides), a fim de se obter uma boa distribuição da carga e um alisamento suficiente dos flancos
dos dentes. Os danos mais freqüentes são:
 Formação de crateras (cavitação). Trata-se de uma espécie de desmoronamento na
zona da circunferência de rolamento e debaixo dela, em conseqüência da pressão
local excessiva na presença de lubrificante. Há as cavidades de amaciamento,

24
semelhantes a cabeças de alfinetes, que freqüentemente aparecem durante o
amaciamento e que não progridem quando o amaciamento melhora suficientemente a
distribuição das pressões, e as cavidades ou crateras progressivas, que são produzidas
por uma sobrecarga local contínua, durante um tempo que varia de 0,1 a 20 milhões
de ciclos em plena carga, e que ocasionam desprendimentos progressivamente
maiores e mais numerosos nos flancos.
Segundo o estado atual das pesquisas, a cavitação durante o rolamento deve ser
interpretada como um fenômeno de fadiga, no qual, além de ser ultrapassada a alta
pressão nas fissuras capilares, ajuda a destacar fragmentos do material, em geral,
pode-se dizer que quanto menor for a força de atrito tangencial nos flancos dos
dentes, tanto maior será a capacidade de carga dos flancos. Conseqüentemente, uma
maior capacidade de carga pode ser conseguida por menor rugosidade, maior
velocidade tangencial e maior viscosidade nominal do óleo. A cavitação é mais
freqüente em aço beneficiado ou temperado, enquanto que em aço de menor dureza
geralmente é encoberto pelo desgaste por deslizamento e pela formação plástica. A
cavitação é favorecida pelo escorregamento negativo (que ocorre no pé do dente),
provavelmente porque, nesse caso, os flancos dos dentes entram na zona de tensão de
tração tangencial (devido à força de atrito) e torna possível a penetração do
lubrificante, a pressão elevada nas fissuras capilares.
Solução: Redução da sobrecarga local (carregamento uniforme nos flancos dos
dentes), elevação da resistência nos flancos e a redação da força de atrito e emprego
de um óleo mais viçoso.
 Zona estriada na região da circunferência de rolamento que é produzida
predominantemente em aços de dureza excessivamente baixa com limite de
escoamento demasiadamente baixo.
Solução: Depende das respectivas causas (tratamento térmico defeituoso, fissuras da
têmpera, fissuras da retifica ou defeitos do material).
 Formação de fissuras nos flancos dos dentes, que podem causar desmoronamentos
locais progressivos e rupturas nos pés dos dentes.
 Formação de sulcos e zonas de engripamento a partir da ruptura repetida da película
do lubrificante, sendo que também o contato das arestas dos dentes, no inicio do
engrenamento, represente um fator importante.
Solução: Emprego de um óleo mais viscoso e mais refrigerado e principalmente de
óleos EP; além disso, emprego de engrenamentos com menor relação por
encurtamento das cabeças dos dentes, ou por rebaixamento correspondente dos
flancos na cabeça do dente, ou ainda, pelo emprego de um módulo menor.
 Aquecimento dos flancos por trabalho de atrito excessivo, ou por refrigeração
insuficiente.
Solução: Lubrificação e refrigeração mais eficientes (lubrificação por jato
convenientemente disposto) e redução da potência de atrito (polimento dos flancos).
Luis Agostinho recomenda a aplicação de uma rugosidade superficial para flancos
de engrenagens de 0,3 .m.
 Desgaste por deslizamento, isto é, perda excessiva de material nos flancos dos

25
dentes, devida a uma associação inadequada dos materiais, a flancos de dente
insuficientemente lisos, ou lubrificação escassa. Este fenômeno é observado
especialmente em engrenagens de módulo relativamente grande e baixa velocidade
tangencial, nas quais, a pressão reduzida do lubrificante e a baixa velocidade
tangencial devem ser levadas em conta. O desgaste de deslizamento será grande,
principalmente, se o lubrificante possuir impurezas minerais e os flancos dos dentes
forem ásperos.
Solução: O desgaste é mínimo em flancos de dentes temperados; vale 2 a 3 vezes o
valor mínimo na associação de engrenagens, das quais, uma é temperada e a outra
não e 7 a 10 vezes o valor mínimo com ambas engrenagens não temperadas.
Consegue-se também reduzir o desgaste pelo uso de um lubrificante mais viscoso,
por meio de aditivos para polimento, e pelo emprego de óleos EP.
 Formação de rebarbas na cabeça do dente ou outras deformações plásticas que
indicam dureza insuficiente do material, em relação ao carregamento.
 Superfície ondulada (que não seja proveniente do processo de fabricação) ou
destacamentos consideráveis dos flancos de dentes cementados. Em geral, a causa é
ultrapassagem do limite de escoamento na zona de transição da têmpera.
[04]
As figuras 15, 16 e 17 mostram alguns exemplos das avarias que podem ocorrer nas
engrenagens.
Figura 15 - Engrenagem cônica com ruptura nos cantos do dentes [11].

26
Figura 16 - Engrenagem cilíndrica de dentes retos com ruptura na raiz do dente [11].
Figura 17 - Engrenagem Coroa / Sem Fim apresentando desgaste e fratura nos dentes [06].
XIV. Engrenagem à Evolvente
A curva evolvente é utilizada, exclusivamente, por engrenagens que tem como função básica
transmitir potência [11]. A curva evolvente atende todos os requisitos construtivos de um perfil de
dente de engrenagem conjugado. A introdução às propriedades do perfil evolvente é focada em
engrenagens cilíndricas de dentes retos. Cabe ressaltar que, engrenagens cilíndricas de dentes
helicoidais ou quaisquer outros tipos de engrenagens, que transmitem potência, utilizam a curva
evolvente como sendo seu formato de perfil. A evolvente pode ser descrita como a curva gerada
pela extremidade de um fio esticado que é desenrolado da circunferência de um determinado
círculo, como indicado na Figura 18. O círculo do qual o fio é desenrolado é conhecido como
círculo base [12].

27
Figura 18 – Curva Evolvente [12]
O contato entre duas curvas evolventes ocorre no ponto onde as tangentes destas curvas
coincidem. As tangentes de ambas as evolventes são sempre perpendiculares às suas linhas de
geração. As duas tangentes se coincidem apenas quando a linha de geração de uma é continuação da
linha de geração da outra [1]. Portanto, o local dos pontos de contato entre duas evolventes é a
tangente comum aos dois círculos base. Quando uma evolvente é girada com um movimento
uniforme, o comprimento da linha de geração de seu ponto de tangência ao círculo base até o ponto
Pt, conforme indicado pela Figura 19, muda uniformemente.
Figura 19 - Ação de uma evolvente sobre outra evolvente [12].
A distância entre estas evolventes, medida ao longo de qualquer linha tangente ao círculo
base, é sempre a mesma como indicado pela Figura 20.
Figura 20- Formação de dentes de engrenagens pelas curvas evolventes [12].

28
Na construção de máquinas para engrenagens frontais e cônicas, usa-se quase que somente o
engrenamento por evolvente, pois, nesse caso:
 O engrenamento pode ser fabricado com precisão por meio de uma ferramenta
simples (de flancos retos), pelo processo de geração;
 Um erro na distância entre eixos afeta o funcionamento;
 As condições para engrenagens de séries são facilmente satisfeitas;
 Com a mesma ferramenta podem também ser fabricados engrenamentos com perfil
deslocado;
 A direção da força normal ao dente permanece constante. [04]
Figura 21: Perfil ampliado da engrenagem à evolvente
Para engrenagens com menos de 55 dentes depois de traçados os círculos representativos
dos diâmetros primitivos (pitch), interno e externo, traça-se uma linha inclinada a 75º sobre a linha
de centro e passando pelo ponto F, que é o ponto de intersecção entre a linha do círculo do
diâmetro primitivo com a linha de centro vertical dos círculos.
Descreve-se um círculo K-K tangente com a linha inclinada a 75º. Esse círculo toma o nome
de círculo base.
Acha-se o ponto G no meio dos pontos H e F. O ponto H é o ponto de intersecção entre a
linha do círculo do diâmetro externo com a linha de centro vertical dos círculos. O ponto C se
localiza no meio do ponto G, e do ponto A, sendo que esse último é o ponto central dos círculos.
Fazendo centro em C, descreve-se um arco que se origina do ponto G indo até, se
interseccionar com a linha do círculo base, gerando nessa intersecção o ponto J.
O ponto J será o centro de um segundo arco que será gerado, cuja qual, será traçado para
construção da cabeça do dente. Esse arco terá um raio R2 que atinge o ponto G.

29
Acha-se o ponto E entre os pontos F e D. O ponto D é o ponto de intersecção entre a linha
do círculo base com a linha de centro vertical dos círculos. O ponto E esta a ⅔ de distância do
ponto F.
O ponto B localiza no meio do ponto E, e do ponto A. Fazendo centro em B, descreve-se um
arco que se origina do ponto E indo até, se interseccionar com a linha do círculo base, gerando
nessa intersecção o ponto I.
O ponto I será o centro de um arco que será gerado para traçar a parte do perfil
compreendida entre o círculo do diâmetro primitivo e o círculo base. Esse arco terá um raio R4 que
deverá atingir tangentemente o arco construído com o centro no ponto J. Concluindo assim, o perfil
aproximado do dente da engrenagem traçada com arcos evolventes de círculos.
Figura 22: Arcos evolventes de círculos.

30
Figura 23: Perfil básico aproximado do dente da engrenagem.
Originando-se do ponto A uma linha inclinada (negrito na Figura 24); a uma distância
equivalente a ¼ de t (passo), a partir da intersecção entre o perfil do dente e o círculo do diâmetro
primitivo; encontra-se a metade do perfil do dente da engrenagem.

31
Figura 24: Localização da metade do perfil do dente da engrenagem
A geração efetiva dos flancos de dentes em uma engrenagem, com engrenamento de
evolventes, é feita em geral, com uma ferramenta que possui o perfil do engrenamento plano e que
rola sobre a engrenagem a fabricar durante o movimento de trabalho (movimento de brochamento,
de fresamento, ou de retificação), de modo que os flancos dos dentes resultam como evolventes da
ferramenta [05].
Equações:
 Ponto G:

32
Onde:
Dex: Diâmetro externo da engrenagem [mm]
Dp: Diâmetro primitivo da engrenagem [mm]
 Ponto C;
 Ponto E;
Onde:
Cbs: Círculo base [mm]
 Ponto B;
 Passo T;
T = m x π
Onde:
m: módulo da ferramenta [mm]
 Dp = m x Z
 De = m x (Z + 2)
 Di = m x (Z – 2,33)
Traçar, com o auxilio de um software CAD 3D, uma engrenagem cilíndrica de dentes retos –
ECDR com arcos evolventes de círculos, calculando os pontos necessários para a geração da
mesma.
Diâmetro externo = 88 mm
Diâmetro primitivo = 84 mm
Diâmetro interno = 79,34 mm
Módulo = 2 mm
Z = 42 dentes

33
XV. Dimensionamento de eixos-árvores
Para o cálculo de eixos utiliza-se grande parte dos conhecimentos adquiridos nas disciplinas
de Resistência dos Materiais e de Elementos de Máquinas. O termo eixo usualmente se refere a um
componente rotativo, relativamente longo de seção transversal circular que gira e transmite
potência. Sobre ele estão montados elementos tais como rodas dentadas, polias, cames, rolamentos,
entre outros, e são usualmente conectados por meio de pinos, chavetas, anéis e outros dispositivos.
Um eixo não necessariamente tem uma seção circular e também, não necessariamente gira.
Ele pode ser estacionário e servir de suporte para elementos girantes. Surge daí, dois termos
comumente utilizados: eixos e árvores, cuja diferença encontra-se essencialmente no tipo de
carregamento a que estão sujeitos. Uma árvore é um elemento rotativo ou estacionário, geralmente
de seção circular, que tem montados sobre si elementos para a transmissão de potência. As árvores
podem estar submetidas a esforços de flexão, torção, tração ou compressão axial, atuando
isoladamente ou em conjunto [13].
Quando esses esforços atuam de maneira combinada deve-se considerar a resistência a
fadiga e as cargas estáticas como fatores importantes no projeto já que, a árvore poderá estar
submetida a tensões estáticas, a tensões completamente reversíveis e a tensões repetidas, todas
atuando simultaneamente. Um eixo, por sua vez, é um elemento rotativo ou estacionário não sujeito
a carga de torção. A figura 25 mostra exemplos esquemáticos de eixos e árvores.
Figura 25 – Exemplos de eixos e árvores [13].
Todos os conhecimentos necessários ao cálculo de eixos e árvores à resistência já foram
abordados para em outras disciplinas. Entretanto, a verificação à rigidez contempla em geral, dois
aspectos:
- rigidez à torção – aos ângulos de torção são limitados a certos valores estabelecidos
empiricamente.
- rigidez à flexão - as flechas são limitadas a certos valores máximos que condicionam o
bom funcionamento dos elementos montados sobre eles.
Para o cálculo de eixo-árvore à rigidez à torção deve-se considerar:
Mt = 716200 . (N / n) [kgf.mm]
Ou

34
Mt = 7162 . (N / n) [N.m]
Onde:
N: potência transmitida [cv]
n: rotação [rpm]
Dado um eixo-árvore submetido à torção pura é possível identificar a tensão de
cisalhamento que ocorre no momento torsor e ainda é possível saber qual será o ângulo que formará
na torção desse eixo.
A tensão máxima de cisalhamento é dada por:
Onde;
D: diâmetro do eixo [m]
A torção de um eixo-árvore é quantificada pelo ângulo de torção θ, obtido é pela expressão
matemática, conforme ilustra a figura 27:
θ = _____Mt x L____ [radianos]
G x [(π x D4
) / 32]
Onde;
L: comprimento do eixo [m]
D: diâmetro do eixo [m]
G: módulo de elasticidade transversal [N/m]
Figura 26 – Torção numa barra sólida.
A equação [(π x D4
) / 32] é referente ao momento de inércia polar (J) para eixos cilíndricos e
maciços, para eixos com formas diferentes, devem-se consultar as equações de momento de inércia
polar referente a cada forma.
Obs.: o módulo de elasticidade transversal para os aços é de 80.000 MPa.

35
Entretanto, usualmente os ângulos de torção são limitados em termos relativos ao
comprimento, ou seja, θ/L. Os limites a serem considerados para valor encontrado de θ/L dependem
do projeto a ser desenvolvido. No caso de projeto de máquinas-ferramentas adota-se geralmente
θ/L = 0,25º/m. Em aplicações onde o fator de rigidez à torção é menos importante, pode-se
considerar θ/L = 2º/m.
O teste de torção não encontrou a aceitação geral nem o uso que tem sido creditado ao teste
de tração. Entretanto, é um teste útil em muitas aplicações de engenharia e também em estudos
teóricos do escoamento plástico. Durante o teste de torção são feitas medidas do MT e do θ. As
propriedades elásticas em torção podem ser obtidas pelo uso do torque no limite proporcional ou em
algum ângulo convencionado, frequentemente 0,000004 rad/mm [10].
Em um segundo caso onde um eixo é escalonado, conforme mostra a figura 27, o θ deverá
ser calculado por adição dos ângulos de torção relativos ao comprimento de cada andar a equação
do ângulo de torção é dada por:
Figura 27 – Eixo-árvore escalonado.
Calcular o diâmetro menor “d” para um eixo com as seguintes características:
 D = 80 mm; Lbc = 80 mm; Lcd = 90; θ / L = 0,15 º/m
 Potência transmitida = 10 cv
 Rotação = 150 rpm
XVI. Dimensionamento de eixos-árvores pela condição de rigidez do conjunto
eixo-rolamentos.
Os desvios do eixo de rotação podem ocorrer quando o eixo-árvore suporta cargas estáticas
ou dinâmicas, sendo devidos principalmente às deformações elásticas do eixo-árvore, dos
rolamentos e outras partes componentes do conjunto. Forças atuantes no ponto de corte da
ferramenta ou no redutor de acionamento poderão originar vibrações, cujas amplitudes podem ser
consideráveis na condição de ressonância [14]. Este fenômeno ocorre quando a velocidade de
rotação em serviço é próxima da velocidade crítica de rotação do eixo-árvore. No final desta
apostila serão abordados alguns métodos de cálculo de velocidades críticas de eixos-árvores. As

36
deformações provenientes dos rolamentos poderão ser muito importantes a menos que sejam
selecionados rolamentos com pequena deformação.
XVII. Distância Ideal de Rolamentos
O comprimento de um eixo pode ser justificado pela distância ideal que deve existir entre os
rolamentos, através de faixas recomendadas pelo fabricante de rolamentos, os quais analisam o tipo
de esforço, o tipo de carregamento, o vão entre mancais, o desalinhamento angular do eixo, entre
outros, para verificação e garantia de uma vida útil satisfatória do rolamento, e uma rigidez estática
de funcionamento da máquina ferramenta, isenta de falhas, imprecisões, ruídos e outras avarias
decorrentes de uma máquina instável.
A Figura 28 mostra um gráfico com determinadas faixas de seleção de rolamento, em
relação ao tipo de escalonamento e suas características.
Figura 28- Faixas de Recomendações para aplicação de rolamentos.

37
Onde:
L: distância entre os rolamentos
a: distância entre o rolamento e força aplicada no eixo
d: diâmetro menor do eixo
 Faixa 1: Rolamento rígido de esfera
 Faixa 2: Rolamento autocompensador de esfera
 Faixa 3: Rolamento autocompensador de rolos
Exemplo:
O eixo da figura 29 tem as seguintes dimensões abaixo. Determine a faixa recomendável de
rolamentos
 L = 200 mm
 a = 100 mm
 d = 60 mm
Figura 29 – conjunto eixo/rolamentos.
 a / d = 100 / 60  1,66
 λ = 200 / 100 = 2
R: o
Para um eixo com as dimensões abaixo, determine a faixa recomendada de rolamentos
 L = 300 mm
 λ = 1,4
 d = 30 mm

38
Obs.: o exemplo e o exercício proposto não estão considerando o tipo de esforço e o tipo de
carregamento.
XVIII. Vida Útil de Rolamentos
A vida útil de um rolamento é um fator importante dentro da analise do projeto de
máquinas-ferramenta. E esse fator depende de outras variáveis para pode saber qual a solicitação
que o rolamento deve atender.
Onde;
Lr: vida em milhões rotações [rpm]
C: capacidade dinâmica do rolamento [kgf]
P: carga equivalente, ou resultante [kgf]
n = 3, para rolamento de esferas.
n = 10/3, para rolamento de rolos.
Segundo Niemann [05], máquinas operatrizes sujeitas a cargas radiais e axiais devem ter
uma vida útil de 10.000 a 15.000 horas. A vida em milhões de rotações é dada por:
A carga equivalente é a carga que resulta da somatória das cargas radiais (Pr) e axiais (Pa),
multiplicada por seus respectivos coeficientes X e Y, os quais, variaram a cada rolamento.
(consultar catálogos).
 Para rolamentos radiais a carga equivalente é dada por:
P = X . Pr + Y . Pa
 Para rolamentos Axiais a carga equivalente é dada por:
P = Pa + X . Pr
Também se pode obter a carga P através da resultante vetorial das forças atuantes nos apoios
(Mancais) do eixo nos planos horizontal e vertical. Atualmente através de softwares matemáticos,
ou softwares próprios do fabricante de rolamento, ou até mesmo de catálogos eletrônicos, acaba
tornando-se mais simples o cálculo da vida útil de um rolamento.
Lr = Lh . 60 . n
1000000

39
XIX. Ajustes de Rolamentos
Para haver um funcionamento satisfatório dos rolamentos de uma máquina deve ser ter um
ajuste adequado. A escolha do ajuste depende primordialmente de uma fixação segura e de um
apoio uniforme dos anéis, da facilidade de montagem e desmontagem, e da possibilidade de
deslocamento axial do rolamento, e esse deslocamento depende das condições de serviços impostas
ao rolamento. A Tabela 9 apresenta alguns ajustes de eixos aplicados em rolamentos radiais para
máquinas-ferramentas, para cada diâmetro do eixo (mm).
Tabela 9: Ajustes de eixos para rolamentos radiais [03].
Rolamentos de Esferas Rolamentos de rolos
cilíndricos e cônicos
Rolamentos de rolos
autocompensador
Ajustes
18 mm – – h5
(18) ... 100 mm 40 mm 40 mm j6/j5*
(100) ... 200 mm (40) ... 140 mm (40) ... 100 mm k6/k5*
– (140) ... 200 mm (100) ... 200 mm m6/m5*
*Ajuste para aplicação com maior precisão.
Obs.: Para ajustes em outras aplicações consultar catálogos de fabricantes ou literaturas
referentes.
Em rolamentos radiais os anéis não devem deslizar em seus assentos, eixo ou caixa, por isso
há a necessidade de um ajuste firme, a norma recomenda um ajuste K6 para o alojamento de
rolamento em máquinas-ferramenta. Contudo, esse ajuste deve ser reconsiderado se haver uma
carga muito grande ou ocorrências de choques, pois isso pode levar a uma deformação dos anéis
tornando a fixação frouxa. Já em rolamentos axiais o ajuste deve ser firme em relação ao eixo. O
anel da caixa deve receber um ajuste com folga.
Havendo a necessidade que um dos anéis do rolamento possa se deslocar em sentido axial,
deve-se analisar qual dos dois anéis deverá receber ajuste deslizante. Para isso, é necessário definir
a carga que atua no rolamento, se é fixa ou rotativa. A carga é fixa quando não varia a posição do
anel com a sua rotação. No caso de transmissão por engrenagens haverá uma carga rotativa no anel
interno, pois o eixo está girando, para uma carga rotativa se exige um ajuste mais apertado, em
relação ao anel externo haverá uma carga fixa atuando, permitindo um ajuste deslizante entre ele e a
caixa, ou seja, nesse caso o assento do rolamento é o eixo.
A movimentação de duas superfícies, anel e assento, ocasionariam na erosão e
conseqüentemente na destruição dos assentos.

40
XX. Rigidez Estática
A rigidez é muitas vezes, mais importante no projeto de máquinas-ferramenta do que a
capacidade de carga, pois, as tensões que correspondem às deformações permissíveis são muito
menores que aquelas permissíveis para os materiais em geral, ou seja, muitas vezes um material
pode suportar com folga a carga que lhe é aplicada, porém, sua deformação, mesmo que elástica,
acaba sendo indesejada por levar a máquina a outras avarias, que não seja a ruptura. Entre as
deformações estáticas, as mais agravantes talvez sejam; as conseqüentes dos esforços de flexão e de
torção, os quais provocam danos como desalinhamentos e deslocamentos dos elementos, atribuindo
assim, instabilidade e imprecisão na máquina-ferramenta. Em vários casos as deformações
decorrentes da tração e da compressão acabam também sendo inconvenientes para garantia de
rigidez.
A primeira idéia de usar a rigidez estática como um parâmetro de análise para projetos de
máquinas-ferramenta foi de Krug onde a rigidez estática é dada por:
Essa carga seria composta por uma força referente ao peso peça-obra, juntamente com uma
força de corte. Todavia, o que é visto atualmente, é que essa força de corte não atua simplesmente
como uma carga estática, por ser uma força com pulsação acaba se enquadrando entre as cargas
dinâmica que influenciam na rigidez.
Contudo, esse tipo de carga relacionada com a deformação não é o único fator que condena
a rigidez estática em uma máquina. Essa também depende também do macro sistema da máquina, e
de todos os outros elementos que compõe esse macro sistema. Haja vista, elementos que conecta
outros elementos, como parafusos, chavetas, anéis elásticos, e até os flancos de dentes de
engrenagem, entre outros, necessitam ter ajustes corretos para garantir que não ocorram folgas ou
jogos dentro do sistema. Uma deformação nas esferas dos rolamentos, ou nos rolos, pode levar à
instabilidade de um eixo, bem com, uma deformação na pista ou nos anéis do rolamento, ou até
mesmo na película de óleo dos mancais, e não pode deixar de analisar também as paredes que
suportam o mancal e toda a sua estrutura, pois, uma falha dimensional ou de fabricação pode
comprometer todo o sistema de mancal e eixo da máquina.
Como comentado anteriormente, há dois agravantes primordiais para a rigidez, os esforços
fletor e torçor, assim, pode-se dizer que, uma máquina necessita ter uma rigidez torcional e uma
rigidez flexional contra esses agravantes.
A rigidez torcional e a rigidez flexional podem ser dadas por:
Rigidez torcional:
Onde:
Mt: momento torçor [kgf.mm]
θ: ângulo de torção [radianos]

41
E:
Rigidez flexional:
Onde;
E: módulo de elasticidade do material [kgf/mm²]
J: momento de inércia [mm4
]
Por muitas vezes para os elementos que suportam os esforços se deve ter uma atenção com
qualquer descontinuidade no material; tanto estrutural, ou seja, estruturas resultantes de tratamentos
térmicos e do teor de carbono, e que influem nas propriedades mecânicas do material; quanto
geométrica, por exemplo, entalhes, escalonamentos, e secções transversais constantes ao longo do
elemento. Os efeitos da descontinuidade atingem diretamente a rigidez estática. A figura 30 mostra
os resultados de ensaios de rigidez flexional e torcional em um tubo de secção quadrada.
Figura 30 – Resultados de ensaios de rigidez em um tubo de secção quadrada [14].

42
Na Figura 30, são mostrados resultados sobre ensaios de rigidez em um tubo de secção
quadrada, realizados pelo Laboratório de Máquinas-ferramenta da Escola Técnica Superior de
Aachen. No primeiro nível o tubo atinge resultados de 100% sobre os ensaios de rigidez flexional
em ambos os eixos de simetria e também no ensaio de rigidez torcional. Já em um segundo nível foi
feito um furo oblongado em uma das suas faces e foi aplicado novamente aos mesmos ensaios. O
efeito, principalmente sobre a visão da rigidez torcional, foi drástico. Em um terceiro nível o
oblongo é tampando por uma chapa e parafusado ao seu contorno. Tanto em relação as rigidez de
flexão, como em relação à rigidez de torção, a melhora com a tampa foi muito baixa. E mesmo no
quarto nível; no qual, o tubo foi fechado e parafusado por uma tampa com um rebaixo para se
encaixar corretamente ao oblongo; também a melhora não foi alta. Em suma, após ter sido feito o
furo oblongado no tubo, esse não conseguiu mais recuperar de modo satisfatório sua rigidez
torcional, e mesmo tendo uma perca pouco significativa em sua rigidez flexional, esse tubo se
tornou inadequado para a maioria das possíveis aplicações.
Reforços convenientes no elemento, como nervuras, abas, apoios e até mesmos simples
calços podem melhorar a rigidez estática. Entretanto, deve-se tomar cuidado com os tipos operações
a serem realizadas em um elemento. Todas devem ser estudadas e analisadas incansavelmente para
garantir que o elemento não será prejudicado como no exemplo do tubo.
Em síntese, não adianta garantir uma ótima rigidez em um eixo de uma máquina se não
garantir que todos os outros elementos que atuam em parceria ao eixo estejam estáveis e
otimamente rígidos também. Tudo deve estar trabalhando harmonicamente formando um sistema
único como de um barramento de torno com seu cabeçote fixo e seu contra ponto, ou a base de uma
furadeira radial com a sua coluna, ou ainda, as engrenagens de um variador de velocidade junto com
seus eixos e seus mancais.
XXI. Rigidez Dinâmica
A rigidez dinâmica é resultado da ação de cargas inerciais com forças pulsatórias (forças de
corte) como comentado no capítulo XVIII, que causam vibrações nos elementos que integram o
sistema todo da máquina.
A rigidez dinâmica, por vezes, ocorre devido ao aumento da velocidade de trabalho da
máquina ferramenta. Muitas vezes por motivos como a demanda, ou necessidade de acabamento.
Ademais, máquinas sujeitas a choques acabam gerando o que se chama de vibração livre. E
há também as forças pulsatórias, ou seja, forças oscilantes, por vezes harmônicas, e por outras, não
harmônicas, que causam vibrações forçadas.
Sistemas de vibração com mais de um grau de liberdade surgem na máquina-ferramenta
como um todo e também nos elementos que a constituem. Como efeito, há diferença de fase entre
as amplitudes de vibração em pontos diferentes de um mesmo elemento e em elementos diferentes,
uns com os outros. Qualquer mudança dessas condições é de grande importância, pois, as
influências mútuas afetam as freqüências naturais, o amortecimento, as amplitudes de vibração e os
ângulos de fase, sendo esse alguns dos fatores que agem no comportamento vibratório, assim como
a massa, e até a própria rigidez estática.
Essas vibrações tiram a estabilidade, e principalmente a precisão exigida por uma máquina
ferramenta de usinagem.

43
XXII. Referências Bibliográficas
[01] RESHETOV, N. D. Atlas de Construção de Máquinas. Editora Hemus, 2005.
[02] ROSA, C. L. Apostila de Máquinas Ferramentas II. Faculdade de Tecnologia de Sorocaba.
Departamento de Mecânica, FATEC-SO. 2002.
[03] AGOSTINHO, L. O. Tolerâncias, Ajustes, Desvios e Análise de Dimensões. Editora Edgard
Blücher. 8ª Edição. São Paulo, 2005.
[04] NIEMANN, G. Elementos de Máquinas - Volume II. Editora Edgard Blücher Ltda. 7ª
Edição. São Paulo, 2004.
[05] CASTRO, M. R. Critério de Projeto para Engrenagens Helicoidais Aplicadas em
Transmissões Mecânicas Veicular. Dissertação de Mestrado Profissionalizante. Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo – USP-São Paulo, 2005.
[06] TOTI, A. F. Aplicação de Metodologia para Integração das Ferramentas 3D no sistema
CAD 2D, na Área de Projetos nas Pequenas e Médias Empresas. Regime de Jornada
Integral – RJI, Faculdade de Tecnologia de Sorocaba. Fatec-So, Dezembro de 2009.
[07] DUDLEY, D. W. Handbook of Practical Gear Design. Lancaster, Technomic, 1994.
[08] MAITRA, G. M. Handbook of Gear Design. New Delhi, Editor Tata McGraw- Hill, 1985.
[09] PETERSON, E. R. Stress Concentration Design Factors. John Wiley & Sons, Inc, New
Work. 5a
Edição, August of 1966.
[10] DIETER, E. G. Metalurgia Mecânica. Editora Guanabara koogan S.A., RJ. 2ª edição 1981.
[11] CATERPILLAR TRACTOR CO. Analyzing Gear Failures. SEBD0520. U.S.A., 1979.
[12] BUCKINGHAM, E. Analytical Mechanics of Gears. New York, Dover Publications, 1988.
[13] OGLIARI, A. Eixos e Árvores. Universidade Federal de Santa Catarina. UFSC - SC, 2001.
[14] ROSA, C. L. Dimensionamento de Eixos-Árvores pela Condição de Rigidez do Conjunto
Eixo-Rolamentos. Fatec-So, outubro de 1982.
[15]NOBILIONI, G. Álgebra I. Coleção Objetivo. CERED. São Paulo. 2002.
[16] ESQUERDO L. A. J. Apostila de Resistências Mecânica dos Materiais. Faculdade de
Tecnologia de Sorocaba. Departamento de Mecânica, FATEC-SO. 2005.
[17] SKF. Catálogo Geral SKF. Catálogo 3000 PB. April, 1977.

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