1. O documento descreve os conceitos fundamentais da cinemática de uma partícula que se move em duas dimensões, incluindo: posição, velocidade, aceleração e suas decomposições em componentes tangencial e normal. Fornece exemplos de movimentos retilíneos e curvilíneos uniformes e uniformemente variados.

1. 1.1. Cinemática da
partícula em movimento
a duas dimensões

2. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Referencial cartesiano e posição num referencial
Em cada instante, a posição P de uma partícula pode
ser dada pelas coordenadas cartesianas x, y, z, nesse
referencial tridimensional
  
x y z
r xe ye ze
  
x y z
r r r r
r
ou através do vetor posição, , cuja origem coincide com
a origem O do referencial e cuja extremidade coincide
com a posição da partícula.
O módulo do vetor posição dado por:
2 2 2
  
r x y z

3. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Referencial cartesiano e posição num referencial
 
x y
r x e y e
Se o movimento for retilíneo, é suficiente
um referencial cartesiano unidimensional:
Se o movimento for curvilíneo num plano, é
suficiente um referencial cartesiano a duas
dimensões:
 x
r xe
 x
r r ou
 
x y
r r r ou
A posição de uma partícula, num dado instante, pode ser indicada por um vetor posição, ,
cuja origem coincide com a origem O do referencial e cuja extremidade coincide com a
posição da partícula (ou centro de massa do corpo), nesse instante.
r

4. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Equações paramétricas de um movimento a duas dimensões
     
 
x y
r t x t e y t e
As equações paramétricas do movimento indicam como variam as coordenadas de
posição, em função do tempo.
Um movimento a duas dimensões pode ser interpretado como a composição de dois
movimentos a uma dimensão.
 

x x t
 ( )
r r t com e  

y y t
Equação vetorial do movimento que traduz a Lei do movimento ou
Lei das posições

5. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Equações paramétricas de um movimento a duas dimensões
Num movimento retilíneo uniforme:
Um movimento retilíneo uniforme pode ser identificado pela dependência
temporal (linear em t) da equação paramétrica.
  0
 
x t x vt
A equação do movimento é linear em t; é a equação de uma reta.

6. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Equações paramétricas de um movimento a duas dimensões
Num movimento retilíneo uniformemente variado:
Um movimento retilíneo uniformemente variado pode ser identificado pela
dependência temporal (com um termo em t2) da equação paramétrica.
  2
0 0
1
2
  
x t x v t at
A equação do movimento é quadrática em t; é a equação de uma parábola.

7. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Trajetória e gráficos posição-tempo
A trajetória de uma partícula é a linha definida pelas sucessivas posições
ocupadas pela partícula no seu movimento.
Em alguns casos, é possível obter a equação da trajetória a partir das equações
paramétricas, e , por eliminação do parâmetro tempo, t, no sistema
constituído por essas equações.
 

x x t  

y y t

8. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Posição e deslocamento
Um mesmo deslocamento pode
corresponder a diferentes trajetórias.
O vetor posição, , depende da origem do referencial escolhido.
O vetor deslocamento, , não depende da origem do referencial escolhido, é um vetor
com origem na posição inicial da partícula e extremidade na posição final.
   
2 1 2 1
x y
r x x e y y e
     
r
r

1 1 1
2 2 2
e
x y
x y
r x e y e
r x e y e
 
 

9. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Velocidade média e velocidade
Velocidade média,
A velocidade, , é a derivada temporal do vetor posição.
É sempre tangente à trajetória e o seu módulo indica a rapidez do movimento.
v
m
v



m
r
v
t
Velocidade instantânea ou simplesmente
velocidade, v
 
d
d
r
v
t
d d
e e
d d
x y
x y
v
t t
 

d
d
y
y
v
t

d
d
x
x
v
t
e

10. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Aceleração média e aceleração
Aceleração média,
A aceleração, , é a derivada temporal da velocidade.
a
m
a



m
v
a
t
Aceleração instantânea ou simplesmente
aceleração,a

d
d
v
a
t
 
d
d
d d
y
x
x y
v
v
a e e
t t

d
d
x
x
v
a
t

d
d
y
y
v
a
t
e

11. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Componente tangencial e normal da aceleração
 
t t n n
a a e a e
 
t n
a a a
O vetor aceleração, , pode ser decomposto, em qualquer ponto da trajetória,
numa componente tangencial, , e numa componente normal à trajetória, .
a
t
a n
a

12. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
A componente tangencial da aceleração, , está associada à variação
temporal do módulo da velocidade.
t
a
t
d
d
v
a
t

at = 0 Movimentos uniformes
at = constante Movimentos uniformemente variados
at  constante Movimentos variados

13. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
A componente normal da aceleração, , está associada à variação
temporal da direção da velocidade.
n
a
2
n
v
a
r

an = 0 Movimentos retilíneos
an  0 Movimentos curvilíneos
A componente normal da aceleração, ,
só existe em movimentos curvilíneos.
n
a
A componente tangencial da aceleração, , mede a
variação temporal do módulo da velocidade e a
componente normal da aceleração, , mede a variação
temporal da direção da velocidade.
t
a
n
a
2
t n
d
d
v v
a e e
t r
 

14. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
O modulo da aceleração, , é dado por:
a
x y
a a a
 
2 2
Componente tangencial e normal da aceleração
ou t n
a a a
 
2 2

15. 1.1. Cinemática da partícula em movimento a duas dimensões
Segunda Lei de Newton (no referencial fixo Oxy e no referencial ligado à partícula)

R
F ma
• Considerando um referencial cartesiano
fixo Oxy:
R t t n n
F F e F e
  e t t n n
a a e a e
 
onde 
t t
F ma e n n
F ma

• Considerando um referencial associado à
partícula:
R x x y y
F F e F e
  e x x y y
a a e a e
 
onde 
x x
F ma e 
y y
F ma

16. 1. As posições de uma partícula que se move no plano Oxy são definidas pelo seguinte
lei do movimento:
1.1. Para um dado instante t, determine:
1.1.1. as equações paramétricas;
1.1.2. a equação cartesiana da trajetória;
1.1.3. a velocidade;
1.1.4. a aceleração;
1.1.5. as componentes normal e tangencial da aceleração.
1.2. Para o instante t = 1,0 s, determine:
1.2.1. o raio de curvatura da trajetória;
1.2.2. o ângulo formado pelos vetores velocidade e aceleração.
   
   2
2 4 4 SI
x y
r t e t e
Exercício

17. 1. As posições de uma partícula que se move no plano Oxy são definidas pelo seguinte
lei do movimento:
1.1. Para um dado instante t, determine:
1.1.1. as equações paramétricas;
1.1.2. a equação cartesiana da trajetória;
1.1.3. a velocidade;
   
2
2 4 4
   SI
x y
r t e t e
 
 




2
2 4
SI
4
x t
y t
 
 



 
 
  
 
  

  
  
  
  
  

2 2
2
4
_________
2 4 2
SI
4
4 4
4
2
x
t
x t
x
y t y x
y
 
   
d
2 8 SI
d
x y
r
v v e t e
t
Exercício – resolução

18. 1.1.4. a aceleração;
1.1.5. as componentes normal e tangencial da aceleração.
 

   2
d
8 m s
d
y
v
a a e
t
 
    
  

 
           
 

 
 

 
 
2
2 2
t t 2
2
2 2
2 2 2 2
t n t n n t n 2
n 2
t n
2 2
2 8 2 1 16
d 32
d 1 16
32
8
1 16
8
1 16
32 8
1 16 1 16
v t v t
v t
a a
t t
t
a a a a a a a a a a
t
a
t
t
a e e
t t
Exercício – resolução

19. 1.2. Para o instante t = 1,0 s, determine:
1.2.1. o raio de curvatura da trajetória;
1.2.2. o ângulo formado pelos vetores velocidade e aceleração.
     
   
  
    
  
 
  
2 2
n
n
2 2
2
n n
2
1,0 4 1 16 1,0 1,0 64
8 8
1,0 1,0
17
1 16 1,0
64
33 m
8
17
v v
a r
r a
v v
a a
r r
       
   
   
 
 

    
   

1,0 1,0
1,0 1,0 1,0 1,0 cos cos
1,0 1,0
64
cos 83
64 8
v a
v a v a
v a
Exercício – resolução