O documento descreve o movimento harmônico simples (MHS) de uma partícula. (1) A função x(t) que descreve a projeção do movimento é periódica e oscila entre -A e A. (2) O movimento é chamado de MHS quando x(t) tem a forma x(t) = Acos(ωt + φ0), onde A é a amplitude, ω é a frequência angular e φ0 é a fase inicial. (3) As expressões para a velocidade e aceleração escalares também seguem funções senoidais.

1. Seja P a projeção do movimento da partícula sobre o eixo 0x. A coordenada x de P varia com o tempo segundo a função: x = Acos(  ) como  =  t +  0 temos, x = Acos(  t +  0 ) Observe que a função x é periódica, com período T e limitada entre as abcissas -A e A . O movimento descrito pela projeção P é chamado Movimento Harmônico Simples ou M.H.S . Podemos dizer então que uma partícula executa um M.H.S quando sua funçao horária dos espaços x(t) é da forma: x(t) = Acos(  t +  0 ), onde: y x A -A  x A -A P

2. x(t) = A cos(  t +  0 ) A : amplitude do movimento; A  t +  0 : fase do movimento;  t +  0  : pulsação ou freqüência angular do movimento;   0 : fase inicial do movimento.  0 É importante lembrar que: e Portanto, Unidades No Sistema Internacional de Unidades ( SI ): [x] = metro (m); [t] = segundo (s); [f] = hertz (s -1 ou Hz); [  ] = radiano (rad); [  ] = hertz (s -1 ou Hz) *. * Por uma questão didática, usamos habitualmente [  ] como rad/s ou rad.s -1 .

3. Velocidade e aceleração escalares do M.H.S. Em um dado instante t , a partícula ocupa uma posição angular  e possui uma velocidade vetorial de intensidade V dada por: V =  A Note que V tem sentido oposto ao do Eixo 0X. Daí o sinal negativo que surge na expressão de V. r  P V V Traçamos sobre a partícula, uma reta auxiliar r , paralela ao eixo 0x. O ângulo formado entre V e a perpendicular a r é  . Projetando-se V sobre r , obtemos a componente na direção 0x de V . A intensidade V dessa componente é dada por: V = V sen  Como, V =  A e  =  t +  0 , temos: V =  Asen(  t +  0   Observe agora a projeção P da partícula sobre o eixo 0x. Como vimos, P realiza um M.H.S. . A velocidade escalar V de P coincide com a componente em 0x de V . Obtemos assim a função da velocidade escalar V de P : V = -  sen(  t +  0 ) y x - A A V

4. Velocidade e aceleração escalares do M.H.S. a = a cp cos  Como a cp =  2 A e  =  t +  0 temos: a = a cp cos  a =  2 Acos(  t +  0 ) Note que a tem sentido oposto ao do Eixo 0X. Daí o sinal negativo que surge na expressão de a.  y x - A A  Como a partícula executa M.C.U ., ela possui tão somente aceleção centripeta a cp de intensidade: a cp =  2 A a cp r Traçamos a reta auxiliar r pela extremidade de a cp e paralela ao eixo 0x. O ângulo formado entre a cp e r é  . Obtemos a componente de a cp na direção 0x fazendo sua progeçao sobre r : a A projeção P da partícula sobre o eixo 0x executa um M.H.S . e sua aceleração escalar coincide com a componente na direção 0x de a cp . Portanto: a= -  2 Acos(  t +  0 ) P a Unidades No Sistema Internacional de Unidades ( SI ): [v] = m/s ou m.s -1 ; [a] = m/s 2 ou m.s -2 .

5. Gráficos  0 = 0 x = Acos(  t +  0 ) V = -A  sen(  t +  0 ) a = -  2 Acos(  t +  0 ) T/4 T/2 3T/4 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T x t V t a t A -A   A  A  A   A

6. Observe na tabela a seguir, alguns valores notáveis para as grandezas escalares estudadas até aqui: abcissa fase velocidade aceleração 0  /2 0 -  A A 0 0 -  2 A -A  0  2 A 0 3  /2 0  A A 0 -A 0

7. x = Acos(  t +  0 ) Relações paramétricas: (V;x) V = -A  sen(  t +  0 ) x = Acos(  t +  0 ) V = -A  sen(  t +  0 ) +

8. Relações paramétricas: (a;x) x = Acos(  t +  0 ) a = -  2 Acos(  t +  0 ) a = -  2 Acos(  t +  0 ) a = -  2 x Gráficos a = -  2 Acos(  t +  0 ) x = Acos(  t +  0 ) y x -A A a -A A  2 A  2 A x V x x y -A A A -A  A  A

9. Osciladores V:hmm02an1

10. Freqüência do sistema massa-mola A força resultante qua atua no sistema é a força elástica. Do Princípio Fundamental da Dinâmica temos, F RES = F EL ma = kx (1) Como o sistema executa um M.H.S .: a =  2 x (2) Substituindo (2) em (1) temos, ma = kx ma = kx m  2 x = kx m  2 x = kx m  2 = k m  2 = k Como  = 2  f temos,

11. Energia no sistema massa-mola Sendo o sistema conservativo, a energia mecânica é constante: E MEC = E POT + E CIN Para x = A ou x = -A então V = 0 , assim: Na verdade, para qualquer M.H.S., Unidades No Sistema Internacional de Unidades ( SI ): [E] = joule ou J. J = kgm 2 /s 2 ou kgm 2 .s -2 .

12. Gráficos Como temos, energia x -A A E POT E CIN E MEC