Lista de exercicios elementos de máquinas

UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANÁ
ERIC LUIZ CAETANO
FELIPE TOLEDO DE ALMEIDA
HELENA LORUSSO
JÚLIO CÉSAR DROSZCZAK
LISTA DE EXERCÍCIOS – ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CURITIBA
2015

ERIC LUIZ CAETANO
FELIPE TOLEDO DE ALMEIDA
HELENA LORUSSO
JÚLIO CÉSAR DROSZCZAK
LISTA DE EXERCÍCIOS – ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia
Mecânica, da Universidade Tuiuti do Paraná,
como requisito avaliativo do 1º bimestre da
disciplina de Elementos de Maquinas I.
Professor: Paulo Lagos
CURITIBA
2015

SUMÁRIO
MOVIMENTO CIRCULAR..............................................................................8
EXERCÍCIO 01 –.........................................................................................8
EXERCÍCIO 1.1 (Eric) –..............................................................................9
EXERCÍCIO 1.2 (Felipe) –........................................................................10
EXERCÍCIO 1.3 (Helena) - .......................................................................11
EXERCÍCIO 1.4 (Júlio) –..........................................................................11
EXERCÍCIO 02 –.......................................................................................12
EXERCÍCIO 2.1 (Eric) –............................................................................13
EXERCÍCIO 2.4 (Júlio) –..........................................................................15
EXERCÍCIO 03 –.......................................................................................16
EXERCÍCIO 3.1 (Eric) –............................................................................17
EXERCÍCIO 3.4 (Júlio) –..........................................................................18
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO...................................................................19
EXECÍCIO 04 – .........................................................................................19
EXERCÍCIO 4.1 (Eric) –............................................................................21
EXERCÍCIO 4.4 (Júlio) –..........................................................................26
EXERCÍCIO 05 –.......................................................................................27
EXERCICIO 5.1 (Eric) –............................................................................30
EXERCICIO 5.2 (Felipe) –........................................................................32
EXERCÍCIO 5.4 (Júlio) –..........................................................................36
TORÇÃO SIMPLES .....................................................................................39
EXERCÍCIO 06 –.......................................................................................39
EXERCÍCIO 6.1 (Eric) –............................................................................39
EXERCÍCIO 6.4 (Júlio) –..........................................................................40
EXERCÍCIO 07 –.......................................................................................41
EXERCÍCIO 7.1 (Eric) –............................................................................41

EXERCÍCIO 7.4 (Júlio) –..........................................................................43
TORQUE NAS TRANSMISSÕES ................................................................43
EXERCÍCIO 08 –.......................................................................................43
EXERCÍCIO 8.1 (Eric) –............................................................................44
EXERCÍCIO 8.4 (Júlio) –..........................................................................46
POTÊNCIA ...................................................................................................47
EXERCÍCIO 09 –.......................................................................................47
EXERCÍCIO 9.1 (Eric) –............................................................................48
EXERCÍCIO 9.4 (Júlio) –..........................................................................50
EXERCÍCIO 10 –.......................................................................................51
EXERCÍCIO 10.1 (Eric) –..........................................................................51
EXERCICIO 10.2 (Felipe) –......................................................................52
EXERCÍCIO 10.3 (Helena) - .....................................................................53
EXERCÍCIO 10.4 (Júlio) –........................................................................53
EXERCÍCIO 11 –.......................................................................................54
EXERCÍCIO 11.1 (Eric) –..........................................................................54
EXERCÍCIO 11.4 (Júlio) –........................................................................56
EXERCÍCIO 12 –.......................................................................................56
EXERCÍCIO 12.1 (Eric) –..........................................................................57
EXERCÍCIO 12.4 (Júlio) –........................................................................58
EXERCÍCIO 13 –.......................................................................................59
EXERCÍCIO 13.1 (Eric) –..........................................................................61
EXERCÍCIO 13.4 (Júlio) –........................................................................67
EXERCÍCIO 14 –.......................................................................................69
EXERCÍCIO 14.1 (Eric) –..........................................................................72

EXERCÍCIO 14.4 (Júlio) –........................................................................81
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS .............................84
EXERCÍCIO 15 –.......................................................................................84
EXERCÍCIO 15.1 (Eric) –..........................................................................87
EXERCICIO 15.2 (Felipe) -.......................................................................89
EXERCÍCIO 15.3 (Helena) –.....................................................................91
EXERCÍCIO 15.4 (Júlio) –........................................................................93
REFERÊNCIAS ............................................................................................97

ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1 .......................................................................................................8
FIGURA 2 .......................................................................................................9
FIGURA 3 .....................................................................................................10
FIGURA 4 .....................................................................................................11
FIGURA 5 .....................................................................................................12
FIGURA 6 .....................................................................................................13
FIGURA 7 .....................................................................................................14
FIGURA 8 .....................................................................................................14
FIGURA 9 .....................................................................................................15
FIGURA 10 ...................................................................................................16
FIGURA 11 ...................................................................................................18
FIGURA 12 ...................................................................................................18
FIGURA 13 ...................................................................................................19
FIGURA 14 ...................................................................................................21
FIGURA 15 ...................................................................................................23
FIGURA 16 ...................................................................................................24
FIGURA 17 ...................................................................................................26
FIGURA 18 ...................................................................................................28
FIGURA 19 ...................................................................................................30
FIGURA 20 ...................................................................................................32
FIGURA 21 ...................................................................................................34
FIGURA 22 ...................................................................................................37
FIGURA 23 ...................................................................................................39
FIGURA 24 ...................................................................................................40
FIGURA 25 ...................................................................................................41
FIGURA 26 ...................................................................................................42
FIGURA 27 ...................................................................................................42
FIGURA 28 ...................................................................................................43
FIGURA 29 ...................................................................................................43
FIGURA 30 ...................................................................................................44
FIGURA 31 ...................................................................................................45
FIGURA 32 ...................................................................................................46
FIGURA 33 ...................................................................................................47
FIGURA 34 ...................................................................................................48
FIGURA 35 ...................................................................................................49
FIGURA 36 ...................................................................................................50
FIGURA 37 ...................................................................................................50
FIGURA 38 ...................................................................................................51
FIGURA 39 ...................................................................................................52
FIGURA 40 ...................................................................................................52
FIGURA 41 ...................................................................................................53
FIGURA 42 ...................................................................................................56
FIGURA 43 ...................................................................................................57
FIGURA 44 ...................................................................................................58
FIGURA 45 ...................................................................................................59
FIGURA 46 ...................................................................................................61
FIGURA 47 ...................................................................................................63

FIGURA 48 ...................................................................................................67
FIGURA 49 ...................................................................................................69
FIGURA 50 ...................................................................................................73
FIGURA 51 ...................................................................................................75
FIGURA 52 ...................................................................................................81
FIGURA 53 ...................................................................................................84
FIGURA 54 ...................................................................................................89
FIGURA 55 ...................................................................................................94

MOVIMENTO CIRCULAR
EXERCÍCIO 01 –
A roda da figura possui d = 300 mm e gira com velocidade angular ω = 10π
rad/s.
FIGURA 1
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica. Ano 2009.
Determine:
a) Período (T)
𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑇 =
2𝜋
10𝜋
𝑇 =
1
5
𝑠 = 0,2 𝑠
b) Frequência (f)
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,2
= 5 𝐻𝑧
c) Rotação (n)
𝑛 = 60𝑓
𝑛 = 60 . 5
𝑛 = 300 𝑟𝑝𝑚
d) Velocidade Periférica (𝒱p)
𝑟 =
𝑑
2
𝑟 =
0,3
2
𝑟 = 0,15 𝑚
𝒱𝑝 = 𝜔. 𝑟
𝒱𝑝 = 10𝜋 . 0,15

𝒱𝑝 = 1,5𝜋 𝑚/𝑠 = 4,71 𝑚/
EXERCÍCIO 1.1 (Eric) –
Uma partícula se movendo em MCU (Movimento Circular Uniforme)
completa uma volta a cada 10 segundos em uma circunferência de diâmetro d= 10
cm. Determine:
FIGURA 2
FONTE: Autor Júlio César Droszczak.
a) Período (T)
O enunciado nos diz que a partícula completa uma volta a cada 10 segundos, logo o
período (T)= 10 s.
b) Velocidade angular (𝜔)
𝑇 =
2𝜋
𝜔

10 =
2𝜋
𝜔

𝜔 =
2𝜋
10
= 0,2𝜋 rad/s

c) Frequência (f)

𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
10
= 0,1 𝐻𝑧

d) Rotação (n)
𝑛 = 60𝑓
𝑛 = 60 . 0,1 = 6 𝑟𝑝𝑚
e) Velocidade Periférica (Vp)
𝑟 =
𝑑
2

𝑟 =
10
2
= 5𝑐𝑚 = 0,05𝑚
𝑉𝑝 = 𝜔. 𝑟
𝑉𝑝 = 0,2𝜋 . 0,05 = 0,01𝜋 𝑚 𝑠⁄ 𝑜𝑢 0,031 𝑚/𝑠
EXERCÍCIO 1.2 (Felipe) –
Uma polia que gira no sentido horário e cujo diâmetro é d = 500mm, sua
rotação é de n = 600rpm. Determine: a) Frequência; b) Velocidade periférica;
Velocidade angular e d) Período.
FIGURA 3
FONTE: http://www.casadaspolias.com.br/produtos/especificacoes-tecnicas.html
a) Frequência (𝑓)
𝑛 = 60. 𝑓
600 = 60. 𝑓
𝑓 =
600
60
= 10 𝐻𝑍
b) Velocidade periférica (𝑉𝑝)
𝑟 =
𝑑
2
=
500
2
= 250 𝑚𝑚
𝑟 = 0,25 𝑚
( 𝑉𝑝) = 20 . 0,25 = 5𝜋
𝑚
𝑠
𝑜𝑢 15,7
𝑚
𝑠
c) Período (𝑇)
𝑇 =
1
𝑓
=
1
10
= 0,1𝑠
d) Velocidade angular (ω)
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
0,1
= 62,83
𝑟𝑎𝑑
𝑠

EXERCÍCIO 1.3 (Helena) -
A roda trabalha numa rotação n=1710rpm. Determine:
a) Velocidade Angular (𝜔)
𝜔 =
1710𝜋
30
𝜔 =
1710𝜋
30
𝜔 = 57𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Período (T)
𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑇 =
2𝜋
57𝜋
𝑇 = 0.035𝑠
c) Frequência (𝑓)
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,035
𝑓 = 28,5 𝐻𝑧
EXERCÍCIO 1.4 (Júlio) –
Uma pedra de esmeril de d = 120 mm e acionada por um motor de rotação n
= 1200 rpm. Determine:
FIGURA 4
FONTE: http://www.vegamaquinas.com.br/retifica-para-torno-pr-1313-229827.htm
a) Velocidade angular (ω)
𝜔 =
𝜋𝑛
30
𝜔 =
𝜋1200
30

b) Velocidade Periférica (𝒱p)
𝒱𝑝 = 40𝜋. 0.06
𝒱𝑝 = 2.4𝜋 𝑚/𝑠
c) Período (T)
𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑇 =
2𝜋
40𝜋
𝑇 =
1
20
= 0,05 𝑠
d) Frequência (f)
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,05
𝑓 = 20 𝐻𝑧
EXERCÍCIO 02 –
O motor elétrico possui como característica de desempenho a rotação n =
1740rpm. Determine as seguintes características de desempenho do motor:
FIGURA 5
a) Velocidade Angular (ω)
𝜔 =
𝜋𝑛
30
𝜔 =
1470𝜋
30
b) Período (T)

𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑇 =
2𝜋
58𝜋
𝑇 =
1
29
= 0,0345 𝑠
c) Frequência (f)
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,0345
𝑓 = 29 𝐻𝑧
(Cefet-SP) Um motor executa 600 rpm. Determine a frequência e o período
no SI. Determine também a velocidade angular.
FIGURA 6
a) Frequência (f)
𝑛 = 60𝑓
600 = 60𝑓
𝑓 =
600
60
= 10 𝐻𝑧
b) Período (T)
𝑓 =
1
𝑇
10 =
1
𝑇
𝑇 =
1
10
= 0,1 𝑠
c) Velocidade Angular (ω)

𝑇 =
2𝜋
𝜔

0,1 =
2𝜋
𝜔
 =
2𝜋
0,1
= 20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Um motor elétrico tem como característica um período de T= 0,029s.
Determine as seguintes características de desempenho deste motor: a) Frequência
(𝑓); b) Rotação (𝑛) e c) Velocidade angular ().
FIGURA 7
a) Frequência (𝑓)
𝑓 =
1
𝑇
= 0,029 = 34,48 𝐻𝑧
b) Rotação (𝑛)
𝑛 = 60. 𝑓
𝑛 = 60.34,48 = 2069 𝑟𝑝𝑚
c) Velocidade angular (𝑤)
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
0,029
= 216,7
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑜𝑢 68,96 𝑟𝑎𝑑/𝑠
O motor elétrico possui como característica de desempenho a rotação n =
2730rpm. Determine as seguintes características de desempenho do motor:
FIGURA 8
d) Velocidade Angular (ω)

𝜔 =
𝜋𝑛
30
𝜔 =
2730𝜋
30
e) Período (T)
𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑇 =
2𝜋
91𝜋
𝑇 =
1
45.5
= 0,022 𝑠
f) Frequência (f)
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,022
𝑓 = 45.45 𝐻𝑧
O pneu de um carro gira a uma rotação por minuto de n = 793 rpm .
Determine as seguintes características de desempenho do carro:
FIGURA 9
FONTE: http://pt.clipartlogo.com/premium/detail/car-or-truck-tire-line-art_109442720.html
a) Velocidade Angular (ω)
𝜔 =
𝜋𝑛
30
𝜔 =
𝜋793
30
𝜔 =
793𝜋
30
𝑟𝑎𝑑/𝑠

b) Período (T)
𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑇 =
2𝜋
793𝜋
30
𝑇 = (2𝜋)(
30
793𝜋
)
𝑇 =
60
793
= 0,0756 𝑠
c) Frequência (f)
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,0756
𝑓 = 13,23 𝐻𝑧
EXERCÍCIO 03 –
O ciclista monta uma bicicleta aro 26 (d = 660 mm), viajando com um
movimento que faz com que as rodas girem n = 240 rpm. Qual a velocidade do
ciclista?
FIGURA 10
Velocidade Periférica (𝒱p)
𝒱p =
𝜋. 𝑛. 𝑟
30
𝒱p =
𝜋. 240.0,33
30
𝒱p = 8,29𝑚/𝑠
Transformando para km/h:
𝒱p = 8,29 𝑥 3,6
𝒱p = 30𝑘𝑚/ℎ

Um carrinho de rolimã foi construído com rodas de raio = 15 cm. Em uma
descida, as rodas do carrinho atingiram 600 rpm. Determine a velocidade que o
carrinho atingiu à essa rotação.
𝑉 =
𝜋. 𝑛. 𝑟
30
𝑉 =
𝜋 . 600 . 0,15
30
𝑉 = 9,42 𝑚/𝑠
Ou
𝑉 = 33,91 𝑘𝑚/ℎ
Um motoqueiro passeia em sua moto, sendo que o diâmetro de suas rodas é
de (d= 720 mm), neste trajeto o movimento que faz com que as rodas girem a uma
frequência de 6,83 HZ. Qual é a velocidade do motoqueiro? E qual é a sua rotação?
𝑛 = 60. 𝑓
𝑛 = 60 . 6,83 = 410 𝑟𝑝𝑚
𝑇 =
1
𝑓
=
1
6,83
= 0,146𝑠
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
0,146
= 43,03 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑉𝑝 = 𝑤. 𝑟
𝑟 =
720
2
=
360
1000
= 0,36 𝑚
𝑉𝑝 = 43,03 .0,36 = 15,49
𝑚
𝑠
𝑜𝑢 55,76 𝑘𝑚/ℎ
Um ventilador de D = 522mm, trabalhando com um movimento circular que
faz com que as pás girem a n = 28500 rpm. Qual a velocidade periférica do
ventilador?

FIGURA 11
FONTE: http://portuguese.alibaba.com/product-gs/hot-new-products-for-2015-kitchen-outer-rotor-
450mm-ac-axial-fan-60210360658.html
𝒱p =
𝜋. 𝑛. 𝑟
30
𝒱p =
𝜋. 2850.0,261
30
𝒱p = 77,9𝑚/𝑠
Transformando para km/h:
𝒱p = 77,9 𝑥 3,6
𝒱p = 280,42𝑘𝑚/ℎ
Uma Roda D’água de diâmetro D = 236,22in, gira com uma rotação de n =
27 rpm. Qual a velocidade da Roda D’água? (1in = 25,4mm).
FIGURA 12
FONTE: http://www.cepa.if.usp.br/energia/energia1999/Grupo2B/Hidraulica/roda.htm.
Transformando Polegadas em metros:
1in = 25,4mm
236,22 x 25,4 = 5999,999mm ≅ 6m

𝒱 =
𝜋. 𝑛. 𝑟
30
𝒱 =
𝜋. 27.3
30
𝒱 =
81𝜋
30
𝒱 = 8,48 𝑚/𝑠
𝒱 = 30,54 𝑘𝑚/ℎ
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO
EXECÍCIO 04 –
A transmissão por correias é composta por duas polias com os seguintes
diâmetros, respectivamente:
Polia 1 (motora) – d1=100mm
Polia 2 (movida) – d2=180mm
FIGURA 13
A polia 1 atua com velocidade angular ω1 = 39π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 (T1)
𝑇1 =
2𝜋
𝜔
𝑇1 =
2𝜋
39𝜋
𝑇1 = 0,051𝑠
b) Frequência da polia 1 (f1)
𝑓1 =
1
𝑇1
𝑓1 =
1
0,051
𝑓1 = 19,5 𝐻𝑧

c) Rotação da polia 1 (n1)
𝑛1 = 60. 𝑓1
𝑛1 = 60 . 19,5
𝑛1 = 1170 𝑟𝑝𝑚
d) Velocidade Angular da polia 2 (ω2)
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
39𝜋 . 100
180
𝜔2 = 21,67𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Frequência da polia 2 (f2)
𝑓2 =
1
𝑇2
𝑓2 =
1
0,092
𝑓2 ≅ 10,835 𝐻𝑧
f) Período da polia 2 (T2)
𝑇2 =
2𝜋
𝜔2
𝑇2 =
2𝜋
21,67𝜋
𝑇2 ≅ 0,092 𝑠
g) Rotação da polia 2 (n2)
𝑛2 = 60. 𝑓2
𝑛2 = 60 . 10,835
𝑛2 = 650 𝑟𝑝𝑚
h) Velocidade periférica da transmissão (𝒱p)
𝒱𝑝 ≅ 21,67𝜋 . 0,09
𝒱𝑝 ≅ 6,127 𝑚/𝑠
i) Relação de transmissão (i)

𝐼 =
𝑑2
𝑑1
𝐼 =
180
100
𝐼 = 1,8
Uma transmissão por correias ampliadora de velocidade possui as seguintes
características:
Polia 1 motora 𝑑1 = 160 𝑚𝑚
Polia 2 movida 𝑑2 = 140 𝑚𝑚
A polia 1 atua com velocidade angular 𝜔1 = 50𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
FIGURA 14
FONTE: Autor Eric Luiz Caetano.
Determine:
a) Período da polia 1 (𝑇1)
𝑇1 =
2𝜋
𝜔1
𝑇1 =
2𝜋
50𝜋
=
2
50
𝑠 𝑜𝑢 0,04 𝑠
b) Frequência da polia 1 (𝑓1)
𝑓1 =
1
𝑇1
𝑓1 =
1
0,04
= 25 𝐻𝑧
c) Rotação da polia 1 (𝑛1)
𝑛1 = 60𝑓1
𝑛1 = 60 . 25 = 1500 𝑟𝑝𝑚
d) Velocidade angular da polia 2 (𝜔2)

𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
50𝜋 . 160
140
= 57,14𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Frequência da polia 2 (𝑓2)
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
57,14𝜋
2𝜋
= 28,57 𝐻𝑧
f) Período da polia 2 (𝑇2)
𝑇2 =
2𝜋
𝜔2
𝑇2 =
2𝜋
57,14𝜋
= 0,035 𝑠
g) Rotação da polia 2 (𝑛2)
𝑛2 =
𝑛1 𝑑1
𝑑2
𝑛2 =
1500 . 160
140
= 1714,28 𝑟𝑝𝑚
h) Velocidade periférica da transmissão (Vp)
𝑉𝑝 = 𝜔1 𝑟1
𝑉𝑝 = 50𝜋 . 0,08 = 4𝜋 𝑚 𝑠⁄ 𝑜𝑢 12,56 𝑚/𝑠
𝐼 =
𝑑2
𝑑1
𝐼 =
140
160
= 0,875
A transmissão por correias é composta por duas polias, cujo seus diâmetros
são:
Polia 1 Motora d1 = 50 mm
Polia 2 Movida d2 = 80 mm

FIGURA 15
a) Período da polia (𝑇1)
𝑇1 =
2𝜋
𝜔1
=
2𝜋
28𝜋
= 0,0714 𝑠
b) Frequência da polia ( 𝑓1):
𝑓1 =
1
𝑇1
=
28
2
= 14 𝐻𝑧
c) Rotação da polia (𝑁1):
𝑁1 = 60. 𝑓1
𝑁1 = 60 . 14 = 840 𝑟𝑝𝑚
d) Velocidade angular da polia 2 (𝜔2):
𝜔2 = 𝜔1.
𝑑1
𝑑2
= 28𝜋.
50
80
= 17,5 𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
e) Frequência da polia 2 (𝑓2):
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
=
17,5𝜋
2𝜋
= 8,75 𝐻𝑧
f) Período da polia 2 (𝑇2):
𝑇2 =
2𝜋
17,5𝜋
= 0,114 𝑠
g) Rotação da polia 2 (𝑛2):
𝑛2 = 𝑛1.
𝑑1
𝑑2
=
840.50
80
= 525 𝑟𝑝𝑚
h) Velocidade periférica (𝑉𝑝):

𝑉𝑝 = 𝜔1.
𝑑1
2
=
28.0,05
2
= 0,7
i) Relação de transmissão (𝑖)
𝑖 =
𝑑2
𝑑1
=
80
50
= 1,6
Uma transmissão por correias composta por duas polias:
Polia 1 – d1=120mm
Polia 2 – d2=220mm
A polia 1 atua com rotação n=1140rpm. Determine:
FIGURA 16
FONTE: Autor Júlio César Droszczak
a) Velocidade Angular da polia 1 (𝜔1)
𝜔1 =
𝜋𝑛
30
𝜔1 =
1140𝜋
30
𝜔1 = 38𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
1
𝑇1
𝑇1 =
2𝜋
𝜔1
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
38𝜋
2𝜋
𝑓1 = 19 𝐻𝑧
c) Período da polia 1 (𝑇1)

𝑇1 =
2𝜋
𝜔1
𝑇1 =
2𝜋
38𝜋
𝑇1 = 0,0526𝑠
d) Velocidade Angular da polia 2 (𝜔2)
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
38𝜋 . 120
220
𝜔2 =
38𝜋 . 120
220
𝜔2 = 20,727𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Período da polia 2 (𝑇2)
𝑇2 =
2𝜋
𝜔2
𝑇2 =
2𝜋
20,727𝜋
𝑇1 = 0,096𝑠
f) Frequência da polia 2 (𝑓2)
𝑓2 =
1
𝑇2
𝑓2 =
1
0,096
𝑓2 = 10,36 𝐻𝑧
g) Rotação da polia 2 (𝑛2)
𝑛2 = 60𝑓
𝑛2 = 60 . 10,36
𝑛2 = 621,6𝑟𝑝𝑚
h) Velocidade periférica da transmissão (Vp)
𝑉𝑝 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑝 = 38𝜋 . 0,06
𝑉𝑝 = 7,16 𝑚/𝑠
i) Relação de transmissão (I)

𝐼 =
𝑑2
𝑑1
𝐼 =
220
120
𝐼 = 1,83
Um motor que esta chavetado a uma polia de d1=160mm de diâmetro,
desenvolve n1=1200 rpm e move um eixo de transmissão cuja polia tem d2=300mm
de diâmetro. Calcule:
FIGURA 17
a) Frequência da polia 1 (f1)
𝑛1 = 60. 𝑓1
1200 = 60 . 𝑓1
𝑓1 =
1200
60
𝑓1 = 20 𝐻𝑧
b) Período da polia 1 (T1)
𝑓1 =
1
𝑇1
20 =
1
𝑇1
𝑇1 =
1
20
𝑇1 = 0.05 𝑠
c) Velocidade Angular da polia 1 (ω 1)
𝜔1 =
𝜋. 1200
30
𝜔1 =
𝜋. 1200
30
d) Velocidade Angular da polia 2 (ω2)

𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
40𝜋 . 160
300
𝜔2 = 21.33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Período da polia 2 (T2)
𝑇2 =
2𝜋
𝜔2
𝑇2 =
2𝜋
21,33𝜋
𝑇2 ≅ 0,094 𝑠
f) Frequência da polia 2 (f2)
𝑓2 =
1
𝑇2
𝑓2 =
1
0,094
𝑓2 ≅ 10,638 𝐻𝑧
g) Rotação da polia 2 (n2)
𝑛2 = 60. 𝑓2
𝑛2 = 60 . 10,638
𝑛2 = 638.28 𝑟𝑝𝑚
h) Velocidade periférica da transmissão (𝒱p)
𝒱𝑝 ≅ 21,33𝜋 . 0,15
𝒱𝑝 ≅ 10,05 𝑚/𝑠
𝐼 =
𝑑2
𝑑1
𝐼 =
300
160
𝐼 = 1,875
EXERCÍCIO 05 –
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que
aciona simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador: d1 = 120 mm
[Motor]; d2 = 90 mm [Bomba D`água]; d3 = 80 mm [Alternador]. A velocidade
econômica do motor ocorre a rotação de n1 = 2800 rpm.

FIGURA 18
Nessa condição pode-se determinar:
Polia 1 (Motor).
a) Velocidade angular (ω1)
𝜔1 =
𝜋𝑛1
30
𝜔1 =
𝜋2800
30
𝜔1 = 93,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑜𝑢 293,2 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Frequência (f1)
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
93,33𝜋
2𝜋
𝑓1 = 46,665 𝐻𝑧
Polia 2 (Bomba D`água).
c) Velocidade angular (ω2)
𝜔2 =
𝑑1 𝜔1
𝑑2
𝜔2 =
120𝑥93,33𝜋
90
𝜔2 = 124,44𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
d) Frequência (f2)

𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
124,44𝜋
2𝜋
𝑓2 = 62,22 𝐻𝑧
e) Rotação (n2)
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥62,22
𝑛2 = 3733,2 𝑟𝑝𝑚
Polia 3 (Alternador).
f) Velocidade angular (ω3)
𝜔2 =
𝑑1 𝜔1
𝑑3
𝜔2 =
120𝑥93,33𝜋
80
g) Frequência (f3)
𝑓2 =
𝜔3
2𝜋
𝑓2 =
140𝜋
2𝜋
𝑓2 = 70 𝐻𝑧
h) Rotação (n3)
𝑛2 = 60𝑓3
𝑛2 = 60𝑥70
𝑛2 = 4200 𝑟𝑝𝑚
Transmissão
i) Velocidade periférica (𝒱p)
𝒱p = 𝜔1. 𝑟1
𝒱p = 93,33𝜋. 0,06
𝒱p ≅ 17,59 𝑚/𝑠
j) Relação de transmissão (Motor/Polia 1) (i1)
𝑖1 =
𝑑1
𝑑2

𝑖1 =
120
90
𝑖1 = 1,33
k) Relação de transmissão (Polia 2/Polia 3) (i3)
𝑖3 =
𝑑2
𝑑3
𝑖3 =
120
80
𝑖3 = 1,5
EXERCICIO 5.1 (Eric) –
Uma transmissão por correias de um automóvel possui as seguintes
características:
Polia 1 motor 𝑑1 = 160 𝑚𝑚
Polia 2 bomba d’ água 𝑑2 = 120 𝑚𝑚
Polia 3 alternador 𝑑3 = 110 𝑚𝑚
FIGURA 19
Para a rotação constante de 3000 rpm do motor, determine:
a) Velocidade angular da polia 1 (𝜔1)
𝜔1 =
𝜋𝑛1
30
𝜔1 =
𝜋 . 3000
30
= 100𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 𝑜𝑢 314,15 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
100𝜋
2𝜋
= 50 𝐻𝑧

c) Velocidade angular da polia 2 (𝜔2)
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
100𝜋 . 160
120
= 133,3𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 𝑜𝑢 418,8 𝑟𝑎𝑑/𝑠
d) Frequência da polia 2 (𝑓2)
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
133,3𝜋
2𝜋
= 66,5 𝐻𝑧
e) Rotação da polia 2 (𝑛2)
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60 . 66,5 = 3990 𝑟𝑝𝑚
f) Velocidade angular da polia 3 (𝜔3)
𝜔3 =
𝜔1 𝑑1
𝑑3
𝜔3 =
100𝜋 . 160
110
= 145,4𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 𝑜𝑢 456,9 𝑟𝑎𝑑/𝑠
g) Frequência da polia 3 (𝑓3)
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
145,4𝜋
2𝜋
= 72,7 𝐻𝑧
h) Rotação da polia 3 (𝑛3)
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60 . 72,7 = 4362 𝑟𝑝𝑚
i) Velocidade Periférica (Vp)
𝑉𝑝 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑝 = 100𝜋 . 0,08 = 8𝜋 𝑚 𝑠⁄ 𝑜𝑢 25,13 𝑚/𝑠
j) Relação de Transmissão (𝑖1)
𝑖1 =
𝑑1
𝑑2

𝑖1 =
160
120
= 1,33 𝑜𝑢 33%
k) Relação de Transmissão (𝑖2)
𝑖2 =
𝑑1
𝑑3
𝑖2 =
160
110
= 1,45 𝑜𝑢 45%
l) Relação de Transmissão (𝑖3)
𝑖3 =
𝑑2
𝑑3
𝑖3 =
120
110
= 1,09 𝑜𝑢 9%
EXERCICIO 5.2 (Felipe) –
Uma transmissão por correias de um motor.
FIGURA 20
d1: 150 mm (motor)
d2: 100 mm (Bomba d`água)
d3: 90 mm (alternador)
Sabe-se que a velocidade econômica do motor ocorre a uma rotação de n=
3000 rpm. Nessa condição podemos determinar:
a) Velocidade angular da polia 1 (𝜔1):
𝜔1 =
𝜋. 𝑛1
30
𝜔1 =
𝜋 . 3000
30
= 100𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄

b) Frequência da polia 1 (𝑓1):
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
100𝜋
2𝜋
= 50 𝐻𝑧
c) Velocidade angular da polia 2 (𝜔2):
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
150 . 100𝜋
100
d) Frequência da polia 2 (𝑓2):
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
150𝜋
2𝜋
= 75 𝐻𝑧
e) Rotação da polia 2 (𝑛2):
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60 .75 = 4500 𝑟𝑝𝑚
f) Velocidade angular da polia 3 (𝜔3):
𝜔3 =
𝜔1 𝑑1
𝑑3
𝜔3 =
100𝜋 . 150
90
= 166,66𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
g) Frequência na polia 3 (𝑓3):
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
166,66𝜋
2𝜋
= 83,33 𝐻𝑧
h) Rotação da polia 3 (𝑛3):
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60 . 83,33 = 4999,8 𝑟𝑝𝑚

i) Velocidade periférica (𝑉𝑝):
𝑉𝑝 = 100𝜋. 0,075 = 7,5𝜋 𝑚/𝑠
j) Relação de Transmissão (i1):
𝑖1 =
𝑑1
𝑑2
𝑖1 =
150
100
= 1,5
k) Relação de Transmissão (𝑖2)
𝑖2 =
𝑑1
𝑑3
𝑖2 =
150
90
= 1,667
l) Relação de Transmissão (𝑖3)
𝑖3 =
𝑑2
𝑑3
𝑖3 =
100
90
= 1,111
As polias de um motor à combustão são acionadas simultaneamente.
Polia 1 (motor) – d1=100mm
Polia 2 (bomba d’agua) – d2=80mm
Polia 3 (alternador) – d3=60mm
O motor trabalha numa rotação n=2000rpm.
FIGURA 21

Determine:
a) Velocidade angular na polia 1 (𝜔1)
𝜔1 =
2000𝜋
30
𝜔1 = 66,67𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Frequência na polia 1 (𝑓1)
𝑓1 =
1
𝑇
𝑓1 =
𝜔
2𝜋
𝑓1 =
66,67𝜋
2𝜋
𝑓1 = 33,3 𝐻𝑧
c) Velocidade angular na polia 2 (𝜔2)
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
66,67𝜋 . 100
80
𝜔2 = 83,34𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
d) Frequência na polia 2 (𝑓2)
𝑓2 =
1
𝑇
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
83,34𝜋
2𝜋
𝑓2 = 41,67 𝐻𝑧
e) Rotação na Polia 2 (𝑛2)
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60 . 41,47
𝑛2 = 2500,125 𝑟𝑝𝑚
f) Velocidade angular na polia 3 (𝜔3)
𝜔3 =
𝜔2 𝑑2
𝑑3
𝜔3 =
83,34𝜋 . 80
60

𝜔3 = 111,12𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
g) Frequência na polia 3 (𝑓3)
𝑓3 =
1
𝑇
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
111,12𝜋
2𝜋
𝑓3 = 55,56 𝐻𝑧
h) Rotação na Polia 3 (𝑛3)
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60 . 55,56
𝑛3 = 3333,6 𝑟𝑝𝑚
i) Velocidade Periférica (Vp)
𝑉𝑝 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑝 = 66,67𝜋. 0,5
𝑉𝑝 = 10,47 𝑚/𝑠
j) Relação de Transmissão (𝐼1)
𝐼1 =
𝑑1
𝑑2
𝐼1 =
100
80
𝐼1 = 1,25
k) Relação de Transmissão (𝐼2)
𝐼2 =
𝑑1
𝑑3
𝐼2 =
100
60
𝐼2 = 1,67
Um sistema de transmissão por correias de uma determinada máquina
movida por um motor elétrico chavetado a uma polia, move simultaneamente duas
outras polias de diâmetros d3=80mm; d2=100mm, com rotações n1=2700 e n2=8100
rpm. Determine:

FIGURA 22
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Polia 1 (Motor):
a) Diâmetro Polia 1 (Motor) [d1]
𝑑1 =
𝑑2. 𝑛2
𝑛1
𝑑1 =
100.8100
2700
𝑑1 = 300𝑚𝑚
b) Velocidade angular (ω1)
𝜔1 =
𝜋𝑛1
30
𝜔1 =
𝜋. 2700
30
c) Frequência (f1)
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
90𝜋
2𝜋
𝑓1 = 45 𝐻𝑧
Polia 2:
d) Velocidade angular (ω2)
𝜔2 =
𝑑1 𝜔1
𝑑2

𝜔2 =
300.90𝜋
100
e) Frequência (f2)
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
270𝜋
2𝜋
𝑓2 = 135 𝐻𝑧
f) Rotação (n2)
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60.135
𝑛2 = 8100 𝑟𝑝𝑚
Polia 3:
g) Velocidade angular (ω3)
𝜔3 =
𝑑1 𝜔1
𝑑3
𝜔3 =
300.90𝜋
80
𝜔3 = 337,5𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
h) Frequência (f3)
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
337,5𝜋
2𝜋
𝑓3 = 168,75 𝐻𝑧
i) Rotação (n3)
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60.168,75
𝑛3 = 10125 𝑟𝑝𝑚
Características de transmissão:
j) Velocidade periférica (𝒱p)
𝒱p = 𝜔1. 𝑟1
𝒱p = 90𝜋. 0,15

𝒱p ≅ 42,41 𝑚/𝑠
k) Relação de transmissão (Motor/Polia 1) (i1)
𝑖1 =
𝑑1
𝑑2
𝑖1 =
300
100
𝑖1 = 3
l) Relação de transmissão (Polia 2/Polia 3) (i3)
𝑖3 =
𝑑2
𝑑3
𝑖3 =
100
80
𝑖3 = 1,25
TORÇÃO SIMPLES
EXERCÍCIO 06 –
Determinar torque de aperto na chave que movimenta as castanhas da placa
do torno. A carga aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da
haste é L = 200mm.
FIGURA 23
Ano 2009.
𝑀 𝑇 = 2. 𝐹. 𝑆
𝑀 𝑇 = 2𝑥80𝑥100
𝑀 𝑇 = 16000𝑁. 𝑚𝑚
𝑀 𝑇 = 16𝑁. 𝑚
Para se ter um torque correto no parafuso do volante de um motor 1.8 AP é
necessário aproximadamente 80 Nm. Com uma chave com hastes de 25 cm,
determine a força necessária que se deve aplicar nas duas extremidades da chave.
𝑀𝑡 = 2 . 𝐹 . 𝑆 

80 = 2 . 𝐹 . 0,25
𝐹 =
80
0,5
= 160 𝑁
Determine o torque de aperto na chave que realiza a abertura e fechamento
do parafuso por onde é retirado o óleo de uma motocicleta de uso urbano comum.
Sabendo que a carga aplicada nas extremidades da haste é 50 N, e o comprimento
da haste é de L=280 mm.
𝑀 𝑇 = 2 . 𝐹𝑠
𝑀 𝑇 = 2 . 50 . 140
𝑀 𝑇 = 14000 𝑁𝑚
Ou
𝑀 𝑇 = 14 𝑁𝑚
Um mecânico precisa fazer a manutenção de um motor. Para abri-lo ele
precisará aplicar uma força de 30N numa chave de 150mm de comprimento.
Determine o torque aplicado pelo mecânico:
𝑀 𝑇 = 2 . 𝐹 . 𝑆 
𝑀 𝑇 = 2 . 30 . 0,15
𝑀 𝑇 = 9 𝑁𝑚
A figura representa a força aplicada na vertical, sobre uma chave de boca,
por um motorista de caminhão tentando desatarraxar uma das porcas que fixa uma
roda.
FIGURA 24
FONTE: http://pt.slideshare.net/CentroApoio/exercequilibrio-corpo-rigido.
O ponto de aplicação da força dista 150mm do centro da porca e o módulo
da força máxima aplicada é F = 400N. Nesta situação, suponha que o motorista está
próximo de conseguir desatarraxar a porca. Em seguida, o motorista acopla uma
extensão à chave de boca, de forma que o novo ponto de aplicação da força 750mm
do centro da porca. Calcule o novo valor do módulo da força F’, em Newtons,
necessária para que o motorista novamente esteja próximo de desatarraxar a porca.

𝑀 𝑇1
= 2. 𝐹1. 𝑆1
𝑀 𝑇1
= 2𝑥400𝑥150
𝑀 𝑇1
120000𝑁𝑚𝑚
𝑀 𝑇2
= 2. 𝐹2. 𝑆2
𝑀 𝑇2
= 2𝑥𝐹2 𝑥750
𝑀 𝑇2
= 1500𝐹2
𝑀 𝑇2
= 𝑀 𝑇1
1500𝐹2 = 120000
𝐹2 =
120000
1500
𝐹2 = 80𝑁
EXERCÍCIO 07 –
Determinar torque (MT) no parafuso da roda do automóvel. A carga aplicada
pelo operador em cada braço da chave é F = 120N. O comprimento dos braços é L =
200 mm.
FIGURA 25
𝑀 𝑇 = 2. 𝐹. 𝑆
𝑀 𝑇 = 2𝑥120𝑥100
𝑀 𝑇 = 48000 𝑁. 𝑚𝑚
𝑀 𝑇 = 16 𝑁. 𝑚
O manual de um certo veículo determina que o torque ideal para os
parafusos da roda é de 100 nm. A chave de roda que estava no conjunto do veículo
tem braços de 30 cm. Determine a força necessária que deve-se aplicar nas duas
extremidades da chave.

FIGURA 26
𝑀 𝑇 = 2 . 𝐹 . 𝑆
100 = 2 . 𝐹 . 0,3
𝐹 =
100
0,6
= 166,6 𝑁
Dada à figura, determine o torque de aperto (𝑀 𝑇) no parafuso no trilho de
um elevador. A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é de F= 180
N, e o comprimento dos braços da chave são de L= 210 mm.
FIGURA 27
FONTE: Autor Felipe Toledo.
𝑀 𝑇 = 2 . F . L
𝑀 𝑇 = 2 . 180.210
𝑀 𝑇 = 75600 Nm
ou
𝑀 𝑇 = 75,6 Nm
Para trocar o pneu de um carro é necessário levantá-lo com um “macaco”.
Dado o torque de 20Nm e o comprimento L= 200mm da manivela de acionamento
do levantador, determine a força aplicada na operação:

𝑀 𝑇 = 2 . 𝐹 . 𝐿 
20 = 2 . 𝐹 . 0,20
𝐹 =
20
0,4
= 50 𝑁
Para a figura abaixo calcule o torque provocado pela manivela de
comprimento L = 250mm, em relação ao centro do eixo e considerando a carga de
acionamento igual a F = 600N.
FIGURA 28
FONTE: http://formacaopiloto.blogspot.com.br/2014_06_01_archive.html.
𝑀 𝑇 = 2. 𝐹. 𝑆
𝑀 𝑇 = 2𝑥600𝑥250
𝑀 𝑇 = 300000 𝑁. 𝑚𝑚
𝑀 𝑇 = 300 𝑁. 𝑚
TORQUE NAS TRANSMISSÕES
EXERCÍCIO 08 –
A transmissão por correia é composta pela polia motora (1) que possui
diâmetro d1 = 100mm e a polia movida (2) que possui diâmetro d2 = 240mm. A
transmissão é acionada por uma força tangencial FT = 600N. Determinar:
FIGURA 29
Ano 2009.
a) Torque na Polia (1)
𝑟1 =
𝑑1
2

𝑟1 =
100
2
𝑟1 = 50𝑚𝑚
𝑟1 = 0.05𝑚
𝑀 𝑇 = 𝐹 𝑇. 𝑟1
𝑀 𝑇 = 600𝑥0,05
𝑀 𝑇 = 30𝑁𝑚
b) Torque na Polia (2)
𝑟1 =
𝑑2
2
𝑟1 =
240
2
𝑟1 = 120𝑚𝑚
𝑟1 = 0.12𝑚
𝑀 𝑇 = 𝐹 𝑇. 𝑟1
𝑀 𝑇 = 600𝑥0,12
𝑀 𝑇 = 72𝑁𝑚
Uma transmissão por correia ampliadora de velocidade é movimentada por
uma força inicial tangencial de FT = 500 N. A polia motora dessa transmissão possui
um diâmetro de 150 mm e a polia movida possui um diâmetro de 100 mm.
Determine o torque na polia motora e na polia movida.
FIGURA 30
FONTE: Autor Júlio César Droszczak
𝑀𝑡1 = 𝐹𝑡. 𝑟1
𝑀𝑡1 = 500 . (
0,15
2
)
𝑀𝑡1 = 37,5 𝑁𝑚
𝑀𝑡2 = 𝐹𝑡. 𝑟2
𝑀𝑡2 = 500 . (
0,1
2
)

𝑀𝑡2 = 25 𝑁𝑚
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia
motora 1 que possui diâmetro de d1= 230 mm e a polia movida 2 possui diâmetro
d2= 500 mm. A transmissão será acionada por uma força tangencial 𝐹 𝑇=850 N.
FIGURA 31
COM ALTERAÇÃO DO AUTOR.
Determine o torque na polia 1:
Determine o torque na polia 2:
RESOLUÇÃO:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
𝑟1 =
𝑑1
2
=
230
2
= 115 𝑚𝑚
𝑟1 = 115 𝑚𝑚 𝑜𝑢 𝑟1 = 0,115𝑚
Torque na polia:
𝑀 𝑇1
= 𝐹 𝑇. 𝑟1
𝑀 𝑇1
= 850𝑁 . 0,115𝑚
𝑀 𝑇1
= 97,75 𝑁𝑚
b) Torque na polia 2:
Raio da polia 2:
𝑟2 =
𝑑2
2
=
500
2
= 250 𝑚𝑚
𝑟2 = 250𝑚𝑚 𝑜𝑢 𝑟2 = 0,25𝑚
Torque na polia

𝑀 𝑇2
= 𝐹 𝑇. 𝑟2
𝑀 𝑇2
= 850 .0,25 = 212,5 𝑁𝑚
Uma transmissão por correia é movimentada por uma força inicial tangencial
de FT = 300N. A polia motora dessa transmissão possui um diâmetro de 250 mm e a
polia movida trabalha com um torque de 75Nm. Determine:
a) Torque na polia motora
𝑀 𝑇1
= 𝐹 𝑇. 𝑟1
𝑀 𝑇1
= 300 . (
0,25
2
)
𝑀 𝑇1
= 37,5 𝑁𝑚
b) Diâmetro da polia movida.
𝑀 𝑇1
= 𝐹 𝑇 . (
𝐷2
2
)
75 = 300 . (
𝐷2
2
)
𝐷2 = 0,50𝑚 = 500𝑚𝑚
A transmissão por correia é composta pela polia motora (A) que possui
diâmetro d1 = 80mm e a polia movida (B) que possui diâmetro d2 = 210mm. A
transmissão é acionada por uma força tangencial FT = 730N. Determinar:
FIGURA 32
FONTE: http://www.vdl.ufc.br/solar/aula_link/lfis/semestre01/Fisica_I/Aula_03/02.html
a) Torque na Polia (A)
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑟1 =
80
2
𝑟1 = 40𝑚𝑚

𝑟1 = 0.04𝑚
𝑀 𝑇 = 𝐹 𝑇. 𝑟1
𝑀 𝑇 = 730𝑥0,04
𝑀 𝑇 = 29,2𝑁𝑚
b) Torque na Polia (B)
𝑟1 =
𝑑2
2
𝑟1 =
210
2
𝑟1 = 105𝑚𝑚
𝑟1 = 0.105𝑚
𝑀 𝑇 = 𝐹 𝑇. 𝑟1
𝑀 𝑇 = 730𝑥0,105
𝑀 𝑇 = 76,65𝑁𝑚
POTÊNCIA
EXERCÍCIO 09 –
O elevador projetado para transportar carga máxima CMÁX. = 7000N (10
pessoas). O peso do elevador é PE = 1KN e o contrapeso possui a mesma carga CP
= 1KN. Determine a potência do motor M para que o elevador se desloque com
velocidade constante V = 1m/s.
FIGURA 33
Resolução:

O peso do elevador é compensado pelo contrapeso, eliminando o seu efeito.
Portanto. Para dimensionar a potência do motor, a carga a ser utilizada é CMÁX. =
7000N
Potência do motor (PMOTOR)
𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 𝐹. 𝑉
𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 7000𝑥1
𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 7000𝑊
𝑃𝐶𝑉 =
𝑃 𝑊
735,5
𝑃𝐶𝑉 =
7000
735,5
𝑃𝐶𝑉 ≅ 9,5 𝐶𝑉
Um elevador de veículos tem a capacidade máxima de 4800 N (cerca de 6
pessoas com massas de 80 kg). O elevador tem sem peso irrelevante, pois há um
contrapeso que possui o mesmo peso do elevador. O elevador possui uma
velocidade constante de 5 m/s. Determine a potência do motor que movimenta este
elevador.
FIGURA 34
FONTE: http://www.gpmotorsbrasil.com.br/info1.html
(Força de tração no cabo é igual à força peso da capacidade máxima:
4800N)
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝐹𝑐𝑎𝑏𝑜 . 𝑉
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 7000 .5
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 35000 𝑊 𝑜𝑢 35 𝐾𝑊
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 =
35000
735,5
= 47,28 𝐶𝑣

Em um elevador comum, cuja seu projeto tem como especificação de carga
máxima 560 kg (70 kg/por pessoa). Sabendo que o contra peso e a cabina possuem
a mesma carga de 1 kN.
Determine a potência do motor M para que o elevador de desloque com
velocidade constante de V= 2,5 m/s. Determine a potencia do motor.
FIGURA 35
FONTE: http://seguranca-na-construcao.dashofer.pt/?s=modulos&v=capitulo&c=7655
𝐾𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 = 𝐾𝑔. 100 = 560. 10 = 5600 𝑁
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝐹𝑐𝑎𝑏𝑜. 𝑉
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 5600 .2,5
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 14000 w
𝑊 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶𝑉 =
𝑃( 𝑊)
735,5
=
14000
735,5
= 19 𝐶𝑉
Um elevador de carga foi projetado para transportar carga máxima CMÁX. =
10kN. O peso do elevador é PE = 1,4KN e o contrapeso possui a mesma carga CP =
1,4KN. Determine a potência do motor M para que o elevador se desloque com
velocidade constante V = 0,8m/s.

FIGURA 36
FONTE:
http://www.pauluzzi.com.br/alvenaria.php?PHPSESSID=ccd0dd0c90aa9901b2a2e49d3182897c
𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 10000𝑥0,8
𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 8000𝑊
𝑃𝐶𝑉 =
𝑃 𝑊
735,5
𝑃𝐶𝑉 =
8000
735,5
𝑃𝐶𝑉 ≅ 10,88 𝐶𝑉
Cada um dos dois motores a jato de um avião Boeing 767 desenvolve uma
propulsão (força que acelera o avião) igual a F = 197000N. Quando o avião esta
voando a V = 250m/s, qual a potência instantânea que cada motor desenvolve? Em
W e CV.
FIGURA 37
FONTE: http://pt.wikipedia.org/wiki/Turbina_aeron%C3%A1utica
𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 197000.250

𝑃 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 = 49250000𝑊
𝑃𝐶𝑉 =
𝑃 𝑊
735,5
𝑃𝐶𝑉 =
49250000
735,5
𝑃𝐶𝑉 ≅ 66961,25 𝐶𝑉
EXERCÍCIO 10 –
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso PC =
200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h = 8m, o tempo de subida é t =
20s. Determine a potência útil do trabalho do operador.
FIGURA 38
R = Como a carga esta sendo elevada com movimento uniforme, conclui-se
que a aceleração do movimento é nula, portanto:
𝐹 𝑂𝑃𝐸𝑅𝐴𝐷𝑂𝑅. = 𝐹𝐶 = 200𝑁
𝑉𝑆𝑈𝐵𝐼𝐷𝐴 =
ℎ
𝑡
8
20
𝑉𝑆𝑈𝐵𝐼𝐷𝐴 = 0,04 𝑚/𝑠
Potência útil do operador.
𝑃 = 𝐹 𝑂𝑃.. 𝑉𝑆𝑈𝐵.
𝑃 = 200𝑥0,4
𝑃 = 80𝑊
Um motor de 5 KW está posicionado no quinto andar de um prédio e
trabalha para puxar uma carga P = 750N através de uma corda e uma polia.
Determine a velocidade de subida dessa carga.

FIGURA 39
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝐹𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 . 𝑉
5000 = 750 . 𝑉
𝑉 =
5000
750
= 6,66 𝑚/𝑠
Em um canteiro de obra um servente de pedreiro ergue um balde de cimento
com peso 𝑃𝑐 = 10 𝐾𝑔. Considerando que tanto a polia quanto a corda serão
consideradas como ideais. A altura em que será levantado é de h= 5 metros, e sua
velocidade de subida de 0,556 m/s. Determine qual será o tempo de subida, e qual
será a potência útil do trabalho do operador.
FIGURA 40
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica. Ano
2009.COM ALTERAÇÃO DO AUTOR.
𝐾𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 = 10 . 10 = 100𝑁
𝐹𝑜 𝑝
= 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑃𝑐 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐹𝑜 𝑝
= 𝐹𝑐 = 100𝑁
Tempo total de subida: (𝑡 𝑆)
𝑡 𝑠 =
ℎ
𝑉𝑠
=
5 𝑚
0,556 𝑚/𝑠
= 9 𝑠

Potência útil do operador:
𝑃 = 𝐹𝑜 𝑝
. 𝑉𝑠
𝑃 = 100 𝑁 .0,556
𝑚
𝑠
𝑃 = 55,56 𝑊
Uma pessoa fazendo uma mudança para o segundo andar de um prédio
cujas escadas são muito estreitas, precisa puxar o sofá de peso P = 5000N pela
parte de fora do prédio. Dados altura até a janela h=12m e o tempo para colocar
para dentro de 2min, determine a potência útil do trabalho aplicado pela pessoa.
𝑉𝑆 =
ℎ
𝑡
𝑉𝑆 =
12
120
𝑉𝑆 = 0,1 𝑚/𝑠
Potencia útil
𝑃 = 𝐹𝑃𝐸𝑆... 𝑉𝑆𝑈𝐵.
𝑃 = 500𝑥0,1
𝑃 = 50𝑊
Uma pessoa erguendo um balde de água de um andar a outro com um peso
de P = 300N. A altura do andar é de h = 6m, o tempo necessário para erguer o balde
desde o andar de baixo até o andar de cima é de t = 27s. Determine a potência útil
de trabalho da pessoa. Considerando a corda e a polia como sendo ideais.
FIGURA 41
FONTE:http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=58360&tipo=ob
&cp=780031&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20M%EF
%BF%BDdio&n4=F%EF%BF%BDsica&b=s.
𝐹𝑃𝐸𝑆𝑆𝑂𝐴. = 𝐹𝐶 = 300𝑁

ℎ
𝑡
8
20
𝑉𝑆𝑈𝐵𝐼𝐷𝐴 = 0,22 𝑚/𝑠
Potência útil do operador.
𝑃 = 𝐹𝑃𝐸𝑆... 𝑉𝑆𝑈𝐵.
𝑃 = 300𝑥0,22
𝑃 = 66,660𝑊
EXERCÍCIO 11 –
Um motor elétrico com potência P = 0,25W esta erguendo uma lata de
concreto com peso PC = 200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h =
8m. Determine:
a) Velocidade de subida da lata de concreto (VSUB.).
𝐹 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅. = 𝐹𝐶 = 200𝑁
𝑃 = 250𝑊
𝑃 = 𝐹 𝑀𝑂𝑇.. 𝑉𝑆𝑈𝐵.
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
𝑃
𝐹 𝑀𝑂𝑇.
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
250
200
𝑉𝑆𝑈𝐵. = 1,25𝑚/𝑠
b) Tempo de subida da lata (tSUB.).
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
ℎ
𝑡 𝑆𝑈𝐵.
𝑡 𝑆𝑈𝐵. =
ℎ
𝑉𝑆𝑈𝐵.
8
1,25
𝑡 𝑆𝑈𝐵. = 6,4𝑠
Para empurrar uma caixa, duas pessoas aplicam uma força de 800N de
modo que a caixa se move com velocidade constante em uma distância de 10
metros no tempo de 5 segundos. Desconsiderando o atrito, determinar a velocidade
em que a caixa se move e a potência útil das duas pessoas.
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡

𝑣𝑚 =
10
5
= 2 𝑚/𝑠
𝑃ú𝑡𝑖𝑙 = 𝐹 . 𝑣𝑚
𝑃ú𝑡𝑖𝑙 = 800 .2
𝑃ú𝑡𝑖𝑙 = 1600 𝑊
Seguindo a mesmo raciocínio do exercício anterior, substituiremos o
servente de pedreiro por um motor elétrico com potência de 0,43 KW. Determine:
a) Velocidade de subida do balde de concreto: ( 𝑉𝑠)
𝐾𝑊 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑊 = 𝐾𝑊 . 1000 = 0,43 . 1000 = 430 𝑊
𝐾𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 = 10 . 10 = 100𝑁
𝑉𝑠 =
𝑃 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
𝐹𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎
=
430𝑊
100𝑁
= 4,5 𝑚/𝑠
b) Tempo de subida do balde: ( 𝑡 𝑠)
𝑡 𝑠 =
ℎ
𝑉𝑠
=
5
4,5
= 1,11 𝑠
Um andaime elétrico é acionado através de um motor de potencia P.
Considerando a altura h = 50m, velocidade v = 0,8m/s e o peso P = 200N,
determine:
a) Tempo de subida do andaime
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
ℎ
𝑡 𝑆𝑈𝐵.
ℎ
𝑉𝑆𝑈𝐵.
50
0,8
𝑡 𝑆𝑈𝐵. = 62,5𝑠
b) Potencia do motor
𝐹 𝑚𝑜𝑡. =
𝑃
𝑉𝑠𝑢𝑏.
𝐹 𝑚𝑜𝑡. =
200
0,8

𝐹 𝑚𝑜𝑡. = 250𝑊
(UNESP-SP) Um motor de potência útil P = 125W, funcionando como
elevador, eleva a altura h = 10m, com velocidade constante, um corpo de peso igual
a 50N.
FIGURA 42
FONTE: http://fisicaevestibular.com.br/exe_din_15.htm.
a) Velocidade de subida da lata de concreto (VSUB.).
𝐹 𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅. = 𝐹𝐶 = 50𝑁
𝑃 = 125𝑊
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
𝑃
𝐹 𝑀𝑂𝑇.
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
125
50
𝑉𝑆𝑈𝐵. = 2,5 𝑚/𝑠
b) Tempo de subida da lata (tSUB.).
𝑉𝑆𝑈𝐵. =
ℎ
𝑡 𝑆𝑈𝐵.
ℎ
𝑉𝑆𝑈𝐵.
10
2,5
𝑡 𝑆𝑈𝐵. = 4𝑠
EXERCÍCIO 12 –
Uma pessoa empurra o carrinho de supermercado, aplicando uma carga de
F = 150N, deslocando-se em um percurso de 42m no tempo de 1min. Determine a
potência que movimenta o veículo.

FIGURA 43
Ano 2009.
𝑉𝐶𝐴𝑅. =
𝑆
𝑡
𝑉𝐶𝐴𝑅. =
42
60
𝑉𝐶𝐴𝑅. = 0,7𝑚/𝑠
𝑃 = 𝐹. 𝑉𝐶𝐴𝑅.
𝑃 = 150𝑥0,7
𝑃 = 105𝑊
Dois trabalhadores estão puxando do terceiro andar de um prédio uma caixa
com várias latas de concreto. O total em peso das latas e da caixa é de 800 N.
Supondo que não há perdas de potência pela corda e que a caixa sobe a uma
velocidade constante de 1,2 m/s, determine a potência útil de cada trabalhador,
supondo que ambos trabalham com a mesma intensidade.
𝑃 =
𝐹
2
. 𝑉𝑠
𝑃 =
800
2
. 1,2
𝑃 = 480 𝑊
Um cilindro hidráulico aplica a força de F= 320 N sobre um carro de
ferramentas em uma determinada fábrica, seu deslocamento durante um percurso
de 70 metros no tempo de 54 segundos. Determine a velocidade deste carrinho, e
qual será a potência que movimentará este carro de ferramentas.
1) Velocidade do carro de ferramentas: (𝑉𝑐)
𝑉𝑐 =
𝑠
𝑡
=
70𝑚
54𝑠
= 1,296
𝑚
𝑠
2) Potência do carro: ( 𝑃)
𝑃 = 𝐹 . 𝑉𝑐

𝑃 = 320 𝑁 . 1,296
𝑚
𝑠
𝑃 = 414,72 𝑊
Uma diarista precisa movimentar um móvel 2,5 metros para conseguir fazer
a limpeza. Levando em consideração que ela fez isso em 15s e aplicou uma força de
100N, determine:
a) Velocidade deslocamento: (𝑉𝑑)
𝑉𝑑 =
𝑠
𝑡
=
2,5
15
= 0,167𝑚/𝑠
b) Potência do movimento: ( 𝑃)
𝑃 = 𝐹 . 𝑉𝑑
𝑃 = 100 . 0,167
𝑃 = 16,7 𝑊
Um trabalhador precisa movimentar um carrinho de mão cheio de pedras por
100m para descarregar, para isso ele aplica uma carga P = 350N, a potência que
movimenta o veículo é de 270W. Quanto tempo ele levará para chegar ao local
especificado para descarga?
FIGURA 44
FONTE:http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=58360&tipo=ob&cp=780
031&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=Ensino%20M%EF%BF%B
Ddio&n4=F%EF%BF%BDsica&b=s
𝑃 = 𝐹. 𝑉𝐶𝐴𝑅.
𝑉𝐶𝐴𝑅. =
𝑃
𝐹
𝑉𝐶𝐴𝑅. =
270
350
𝑉𝐶𝐴𝑅. = 0,771 𝑚/𝑠
𝑉𝐶𝐴𝑅. =
𝑆
𝑡

𝑡 =
𝑆
𝑉𝐶𝐴𝑅.
𝑡 =
100
0,771
𝑡 = 129,7𝑠
EXERCÍCIO 13 –
A transmissão por Corrêa é acionada por um motor elétrico com potência de
P = 5,5KW, com rotação de n = 1720 rpm, chavetado a polia (1) do sistema. As
polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: d1 = 120mm [Polia (1)
Motora]; d2 = 300mm [Polia (2) Movida]. Desprezar as perdas. Determinar para a
transmissão:
FIGURA 45
a) Velocidade angular da polia (1) [ω1]
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
1720𝜋
30
𝜔1 = 57,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Frequência da polia (1) [f1]
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
1720
60
𝑓1 = 28,66 𝐻𝑧
c) Torque da polia (1) [MT1]
A rotação da polia (1) é a mesma rotação do motor, pois a polia esta
chavetada no eixo-árvore do motor.
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
5500
57,33𝜋

𝑀 𝑇1
= 30,5𝑁𝑚
d) Velocidade angular da polia (2) [ω2]
𝜔2 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑2
𝜔2 =
120𝑥53,33𝜋
300
𝜔2 = 22,93𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Frequência da polia (2) [f2]
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
22,93𝜋
2𝜋
𝑓2 = 11,465 𝐻𝑧
f) Torque da polia (2) [MT2]
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇1
=
5500
22,93𝜋
𝑀 𝑇1
= 76,3𝑁𝑚
g) Rotação da polia (2) [n2]
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥11,465
𝑛2 = 688 𝑟𝑝𝑚
h) Relação de transmissão [i]
𝑖 =
𝑑2
𝑑1
𝑖 =
300
120
𝑖 = 2,5
i) Velocidade periférica da transmissão [VP]
A velocidade periférica da transmissão é a mesma da polia (1) com a da
polia (2), portanto podemos utilizar:
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 = 𝜔2. 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1

𝑉𝑃 = 57,33𝜋𝑥0,06
𝑉𝑃 = 3,44𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 10,8 𝑚/𝑠
j) Força tangencial [FT]
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
𝑀 𝑇2
𝑟2
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
30,5
0,06
𝐹 𝑇 = 508,3𝑁
O pinhão de uma transmissão de uma moto é movimentado por um motor de
25 cv de potência. O pinhão possui um diâmetro de 100 mm e a coroa possui um
diâmetro de 200 mm. Para uma rotação de 2400 rpm, determine:
FIGURA 46
a) Velocidade angular do pinhão
𝜔1 =
𝑛 . 𝜋
30
𝜔1 =
2400 . 𝜋
30
𝜔1 = 80𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
b) Frequência do pinhão
𝑓1 =
𝑛
60
𝑓1 =
2400
60
𝑓1 = 40 𝐻𝑧

c) Torque do pinhão
𝑀𝑡 =
𝑃
𝜔1
𝑀𝑡 =
𝑃
80𝜋
𝑃 = 𝑃𝐶𝑣 .735,5
𝑃 = 25 .735,5
𝑃 = 18387,5 𝑊
𝑀𝑡 =
18387,5
80𝜋
𝑀𝑡 = 73,16 𝑁𝑚
d) Velocidade angular da coroa
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
80𝜋 . 100
200
𝜔2 = 40𝜋
e) Frequência da coroa
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
40𝜋
2𝜋
𝑓2 = 20 𝐻𝑧
f) Torque da coroa
𝑀𝑡 =
𝑃
𝜔2
𝑀𝑡 =
18387,5
40𝜋
𝑀𝑡 = 146,32 𝑁𝑚
g) Rotação da coroa
𝑛2 = 60 . 𝑓2
𝑛2 = 60 . 20
𝑛2 = 1200 𝑟𝑝𝑚
h) Relação de transmissão
𝑖 =
𝑑2
𝑑1

𝑖 =
200
100
𝑖 = 2
i) Velocidade periférica
𝑉𝑝 = 𝜔1 . 𝑟1
𝑉𝑝 = 80𝜋 . 0,05
𝑉𝑝 = 12,57 𝑚/𝑠
j) Força tangencial da transmissão
𝐹𝑡 =
𝑀𝑡1
𝑟1
𝐹𝑡 =
73,16
0,05
𝐹𝑡 = 1463,2 𝑁
É dada uma transmissão por correias, representada na figura, é acionada
por um motor elétrico com potência P= 4 kW com rotação n=1400 rpm, tendo em
vista que a rotação 𝑛1 será a mesma do motor pois a polia encontra-se chavetada ao
eixo arvore do motor. Como representada na figura a seguir:
FIGURA 47
Diâmetros das polias:
𝑑1 = 100 𝑚𝑚( 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑎 1)
𝑑2 = 280 𝑚𝑚 (𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑎 2)
Determinar para transmissão:
a) Velocidade angular da polia 1 ( 𝜔1)
b) Frequência da polia 1 ( 𝑓1)
c) Torque da polia 1(𝑀 𝑇1
)
d) Velocidade angular da polia 2 ( 𝜔2)
e) Frequência da polia 2 ( 𝑓2)

f) Rotação da polia 2 ( 𝑛2)
g) Torque da polia 2 (𝑀 𝑇2
)
h) Relação de transmissão (i)
i) Velocidade periférica da transmissão (𝑉𝑝)
j) Força tangencial da transmissão( 𝐹 𝑇)
Resolução:
a) Velocidade angular da polia 1 ( 𝜔1)
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
=
1400𝜋
30
= 146.6
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑜𝑢 46,6𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Frequência da polia 1 ( 𝑓1)
𝑓1 =
𝑛1
60
=
1400
60
= 23,33 𝐻𝑧
c) Torque da polia 1(𝑀 𝑇1
)
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝑤1
=
4000
146,6
= 27,28 𝑁𝑚
d) Velocidade angular da polia 2 ( 𝜔2)
𝜔2 =
𝑑1
𝑑2
. 𝑤1 =
100.146,6
280
= 52,35
𝑟𝑎𝑑
𝑠
e) Frequência da polia 2 ( 𝑓2)
𝑓2 =
𝑤2
2𝜋
=
52,35
6,283
= 8,33 𝐻𝑧
f) Rotação da polia 2 ( 𝑛2)
𝑛2 = 60. 𝑓2 = 60 . 8,33 = 499,8 𝑟𝑝𝑚
g) Torque da polia 2 (𝑀 𝑇2
)
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝑤2
=
4000𝑊
52,35𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 76,4 𝑁𝑚
h) Relação de transmissão (i)
𝑖 =
𝑑2
𝑑1
=
280
100
= 2,8

i) Velocidade periférica da transmissão (𝑉𝑝)
𝑉𝑝 = 𝑤1. 𝑟1 𝑜𝑢 𝑤2. 𝑟2
𝑟1 =
100
2
= 50 =
50
1000
= 0,05𝑚
𝑉𝑝 = 146,6. 0,05 = 7,33
𝑚
𝑠
j) Força tangencial da transmissão( 𝐹 𝑇)
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
27,28
0,05
= 545,6 𝑁
Uma transmissão é acionada por um motor elétrico com potência de P =
8KW, com rotação de n = 1720 rpm, chavetado a polia motora (1) do sistema. Dados
os diâmetros: d1 = 210mm; d2 = 450mm. Determine para a transmissão:
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
1720𝜋
30
𝜔1 = 57,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
1720
60
𝑓1 = 28,66 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
8000
57,33𝜋
𝑀 𝑇1
= 44,42𝑁𝑚
𝜔2 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑2
𝜔2 =
210𝑥57,33𝜋
450

𝜔2 = 26,75𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
26,75𝜋
2𝜋
𝑓2 = 13,377 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇1
=
8000
26,75𝜋
𝑀 𝑇1
= 95,2𝑁𝑚
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥13,377
𝑛2 = 802,62 𝑟𝑝𝑚
𝑖 =
𝑑2
𝑑1
𝑖 =
450
210
𝑖 = 2,14
A velocidade periférica da transmissão é a mesma da polia (1) com a da polia (2),
portanto podemos utilizar:
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 = 𝜔2. 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 57,33𝜋𝑥0,105
𝑉𝑃 = 6,02𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 18,9 𝑚/𝑠
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
𝑀 𝑇2
𝑟2

𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
95,2
0,105
𝐹 𝑇 = 906,67𝑁
Um conjunto de transmissão por correias possui na polia movida um
diâmetro d2 = 200mm, e sabendo que a polia motora de diâmetro d1 = 100mm está
acoplada a um motor com potência de 1/2cv que gira a 1750 rpm. Como segue na
imagem abaixo.
FIGURA 48
FONTE: http://www.blogdaengenharia.com/wp-content/uploads/2013/05/PoliaseCorreias.pdf
Determine:
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
1750𝜋
30
𝜔1 = 58,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
1750
60
𝑓1 = 29,166 𝐻𝑧
Antes devo transformar a pot6encia de CV para W.

𝑃𝐶𝑉 =
𝑃 𝑊
735,5
𝑃 𝑊 = 𝑃𝐶𝑉. 735,5
𝑃 𝑊 = 0.5𝑥735,5
𝑃 𝑊 = 367,75𝑊
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
367,75
58,33𝜋
𝑀 𝑇1
= 2,01𝑁𝑚
𝜔2 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑2
𝜔2 =
100𝑥58,33𝜋
200
𝜔2 = 29,165𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
29,165𝜋
2𝜋
𝑓2 = 14,58 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇1
=
367,75
29,165𝜋
𝑀 𝑇1
= 4,01𝑁𝑚
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥14,58
𝑛2 = 874,8 𝑟𝑝𝑚
𝑖 =
𝑑2
𝑑1

𝑖 =
200
100
𝑖 = 2
A velocidade periférica da transmissão é a mesma da polia (1) com a da
polia (2), e sempre utilizar o raio em metros, portanto podemos utilizar:
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 = 𝜔2. 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 58,33𝜋𝑥0,1
𝑉𝑃 = 5,833𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 18,33 𝑚/𝑠
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
𝑀 𝑇2
𝑟2
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
2,01
0,1
𝐹 𝑇 = 20,1𝑁
EXERCÍCIO 14 –
A esquematização da figura representa um motor a combustão para
automóvel, que aciona simultaneamente as polias da bomba D`água e do alternador.
As curvas de desempenho do motor apresentam para o torque máximo a potência P
= 35,3 KW (P = 48cv), atuando com rotação n = 2000 rpm. Determine para a
condição de torque máximo.
FIGURA 49

Polia do motor (1)
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
2000𝜋
30
𝜔1 = 66,66𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
2000
60
𝑓1 = 33,33 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
35300
66,66𝜋
𝑀 𝑇1
= 168,56𝑁𝑚
Polia bomba D`água (2)
𝜔2 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑2
𝜔2 =
120𝑥66,66𝜋
90
𝜔2 = 88,88𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
88,88𝜋
2𝜋
𝑓2 = 44,44 𝐻𝑧
f) Rotação da polia (2) [n2]
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥44,44

𝑛2 = 2666,4 𝑟𝑝𝑚
g) Torque da polia (2) [MT2]
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
35300
88,88𝜋
𝑀 𝑇2
= 126,42𝑁𝑚
Polia Alternador (3)
h) Velocidade angular da polia (3) [ω3]
𝜔3 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑3
𝜔3 =
120𝑥66,66𝜋
80
𝜔3 = 99,99𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
i) Frequência da polia (3) [f3]
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
99,99𝜋
2𝜋
𝑓3 = 49.995 𝐻𝑧
j) Rotação da polia (3) [n3]
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60𝑥49,995
𝑛3 = 2999,7 𝑟𝑝𝑚
k) Torque da polia (3) [MT3]
𝑀 𝑇3
=
𝑃
𝜔3
𝑀 𝑇3
=
35300
99,99𝜋
𝑀 𝑇3
= 112,37𝑁𝑚
Características da transmissão.
l) Relação de transmissão [i] (Motor/Bomba D`água)

𝑖 =
𝑑1
𝑑2
𝑖 =
120
90
𝑖 = 1,33
m) Relação de transmissão [i] (Motor/Alternador)
𝑖 =
𝑑1
𝑑2
𝑖 =
120
80
𝑖 = 1,5
n) Força tangencial [FT]
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
𝑀 𝑇2
𝑟2
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
168,56
0,06
𝐹 𝑇 = 2809,33𝑁
o) Velocidade periférica da transmissão [VP]
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 = 𝜔2. 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 33,33𝜋𝑥0,12
𝑉𝑃 = 3,9996𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 12,56 𝑚/𝑠
Conforme os dados do exercício 5.1 (polia motora = 160mm, polia bomba
d’água = 120 mm, polia alternador = 110 mm), a uma rotação de 3000 rpm do motor
e o motor com potência de 110 cv, determine:
‘

FIGURA 50
a) Velocidade angular da polia motora. (𝜔1)
𝜔1 =
𝑛 . 𝜋
30
𝜔1 =
3000 . 𝜋
30
𝜔1 = 100𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
b) Frequência da polia motora (𝑓1)
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
100𝜋
2𝜋
= 50 𝐻𝑧
c) Torque na polia motora (𝑀𝑡)
𝑀𝑡 =
𝑃
𝜔1
𝑀𝑡 =
(110 . 735,5)
100𝜋
𝑀𝑡 = 257,5 𝑁𝑚
d) Velocidade angular da polia da bomba d’água (𝜔2)
𝜔2 =
𝜔1 𝑑1
𝑑2
𝜔2 =
100𝜋 . 160
120
𝜔2 = 133,3𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
e) Frequência da polia da bomba d’água (𝑓2)
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋

𝑓2 =
133,3𝜋
2𝜋
𝑓2 = 66,5 𝐻𝑧
f) Torque na polia da bomba d’água (𝑀𝑡)
𝑀𝑡 =
𝑃
𝜔2
𝑀𝑡 =
(110 . 735,5)
133,3𝜋
𝑀𝑡 = 193,63 𝑁𝑚
g) Rotação da polia da bomba d’água (𝑛2)
𝑛2 = 60 . 𝑓2
𝑛2 = 60 . 66,5
𝑛2 = 3390 𝑟𝑝𝑚
h) Velocidade angular da polia do alternador (𝜔3)
𝜔3 =
𝜔1 𝑑1
𝑑3
𝜔3 =
100𝜋 . 160
110
𝜔3 = 145,45𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
i) Frequência da polia do alternador (𝑓3)
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
145,45𝜋
2𝜋
𝑓3 = 72,72 𝐻𝑧
j) Torque na polia do alternador (𝑀𝑡)
𝑀𝑡 =
𝑃
𝜔3
𝑀𝑡 =
(110 . 735,5)
145,45𝜋
𝑀𝑡 = 177,06 𝑁𝑚
k) Rotação da polia do alternador ()
𝑛3 = 60 . 𝑓3
𝑛3 = 60 . 72,72
𝑛3 = 4363,2 𝑟𝑝𝑚

A figura abaixo mostra a esquematização de um motor a Diesel de um
automóvel de porte médio, que aciona simultaneamente as polias da bomba D`água
e do alternador. As curvas de desempenho do motor apresentam para o torque
máximo a potência P = 50 KW (P = 68cv), atuando com rotação n = 3000 rpm.
Determine para a condição de torque máximo.
FIGURA 51
Polia do motor (1)
a) Velocidade angular da polia (1) (ω1)
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
3000𝜋
30
b) Frequência da polia (1) (f1)
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
3000
60
𝑓1 = 50 𝐻𝑧
c) Torque da polia (1) (MT1)
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
50000
100𝜋
𝑀 𝑇1
= 159,15𝑁𝑚

d) Velocidade angular da polia (2) (ω2)
𝜔2 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑2
𝜔2 =
140𝑥100𝜋
110
𝜔2 = 127,27𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Frequência da polia (2) (f2)
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
127,27𝜋
2𝜋
𝑓2 = 63,63 𝐻𝑧
f) Rotação da polia (2) (n2)
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥63,63
𝑛2 = 3818𝑟𝑝𝑚
g) Torque da polia (2) (MT2)
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
50000
127,27𝜋
𝑀 𝑇2
= 125,06𝑁𝑚
h) Velocidade angular da polia (3) (ω3)
𝜔3 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑3
𝜔3 =
140𝑥100𝜋
100
i) Frequência da polia (3) (f3)
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
140𝜋
2𝜋

𝑓3 = 70 𝐻𝑧
j) Rotação da polia (3) (n3)
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60𝑥70
𝑛3 = 4200 𝑟𝑝𝑚
k) Torque da polia (3) (MT3)
𝑀 𝑇3
=
𝑃
𝜔3
𝑀 𝑇3
=
50000
140𝜋
𝑀 𝑇3
= 113,68𝑁𝑚
l) Relação de transmissão (i) (Motor/Bomba D`água)
𝑖 =
𝑑1
𝑑2
𝑖 =
140
110
𝑖 = 1,27
m) Relação de transmissão (i) (Motor/Alternador)
𝑖 =
𝑑1
𝑑3
𝑖 =
140
100
𝑖 = 1,4
n) Força tangencial (FT)
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝑜𝑢
𝑀 𝑇2
𝑟2
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
159,15
0,07
𝐹 𝑇 = 2273,6𝑁
o) Velocidade periférica da transmissão (VP)

𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 𝑜𝑢 𝜔2. 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 100𝜋𝑥0,07
𝑉𝑃 = 7𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 21,99 𝑚/𝑠
Um motor à combustão aciona simultaneamente as polias da bomba D’água
e do alternador. As curvas de desempenho do motor apresentam para o torque
máximo a potência P = 25,5 KW, atuando com rotação n = 1720 rpm. Dados:
d1 (motor) = 100mm
d2 (bomba) = 80mm
d3 (alternador) = 75mm
Polia do motor (1)
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
1720𝜋
30
𝜔1 = 57,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
1720
60
𝑓1 = 28,66 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
25500
57,33𝜋
𝑀 𝑇1
= 141,58𝑁𝑚
𝜔2 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑2

𝜔2 =
100𝑥57,33𝜋
80
𝜔2 = 71,66𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
71,66𝜋
2𝜋
𝑓2 = 35,83 𝐻𝑧
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥35,83
𝑛2 = 2149,875 𝑟𝑝𝑚
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
25500
71,66𝜋
𝑀 𝑇2
= 113,27𝑁𝑚
h) Velocidade angular da polia (3) [ω3]
𝜔3 =
𝑑1. 𝜔1
𝑑3
𝜔3 =
100𝑥57,33𝜋
75
𝜔3 = 76,44𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
i) Frequência da polia (3) [f3]
𝑓3 =
𝜔3
2𝜋
𝑓3 =
76,44𝜋
2𝜋
𝑓3 = 38,22 𝐻𝑧
j) Rotação da polia (3) [n3]
𝑛3 = 60𝑓3
𝑛3 = 60𝑥38,22

𝑛3 = 2293,2 𝑟𝑝𝑚
k) Torque da polia (3) [MT3]
𝑀 𝑇3
=
𝑃
𝜔3
𝑀 𝑇3
=
25500
76,44𝜋
𝑀 𝑇3
= 106,19𝑁𝑚
l) Relação de transmissão [i] (Motor/Bomba D`água)
𝑖 =
𝑑1
𝑑2
𝑖 =
100
80
𝑖 = 1,25
m) Relação de transmissão [i] (Motor/Alternador)
𝑖 =
𝑑1
𝑑3
𝑖 =
100
75
𝑖 = 1,33
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
𝑀 𝑇2
𝑟2
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
141,58
0,05
𝐹 𝑇 = 2831,6𝑁
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 = 𝜔2. 𝑟2
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 57,33𝜋𝑥0,05
𝑉𝑃 = 2,8665𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 9 𝑚/𝑠

A esquematização da figura abaixo representa um conjunto de engrenagens,
acionadas por um motor que tem como suas curvas de desempenho máximo a
potência de P = 47KW para um torque máximo e com uma rotação de 2830 rpm.
Este motor esta acoplada a engrenagem (C) e aciona simultaneamente as
engrenagens (B) e (A).
As características da engrenagem são:
Pinhão (C): ZC = 8 dentes, M = 2mm (Módulo).
Engrenagem (B): ZB = 11 dentes, M = 2mm (Módulo).
Engrenagem (A): ZA = 15 dentes, M = 2mm (Módulo).
FIGURA 52
FONTE:http://2.bp.blogspot.com/_4zd06fOobnY/TUcQnhg0FfI/AAAAAAAAAmM/fQHW2wXYFD0/s16
00/denovo.png
Pinhão motor (C)
a) Velocidade angular do pinhão (C) [ωC]
𝜔 𝐶 =
𝑛𝜋
30
𝜔 𝐶 =
2830𝜋
30
𝜔 𝐶 = 94,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
b) Frequência do pinhão (C) [fC]
𝑓𝐶 =
𝑛 𝐶
60
𝑓𝐶 =
2830
60
𝑓𝐶 = 47,17 𝐻𝑧
c) Torque do pinhão (C) [MTC]
𝑀 𝑇 𝐶
=
𝑃
𝜔 𝐶

𝑀 𝑇 𝐶
=
47000
94,33𝜋
𝑀 𝑇 𝐶
= 158,6𝑁𝑚
Engrenagem (B)
d) Velocidade angular da engrenagem (B) [ωB]
Para encontrar velocidade angular, antes devo encontrar os diâmetros das
engrenagens C e B.
𝑑 𝐶 = 𝑀. 𝑍 𝐶
𝑑 𝐶 = 2𝑥8
𝑑 𝐶 = 16𝑚𝑚
𝑑 𝐵 = 𝑀. 𝑍 𝐵
𝑑 𝐵 = 2𝑥11
𝑑 𝐵 = 22𝑚𝑚
𝜔 𝐵 =
𝑑 𝐶. 𝜔 𝐶
𝑑 𝐵
𝜔 𝐵 =
16𝑥94,33𝜋
22
𝜔 𝐵 = 68,6𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Frequência da engrenagem (B) [fB]
𝑓𝐵 =
𝜔 𝐵
2𝜋
𝑓𝐵 =
68,6𝜋
2𝜋
𝑓𝐵 = 34,3 𝐻𝑧
f) Rotação da engrenagem (B) [nB]
𝑛 𝐵 = 60𝑓𝐵
𝑛 𝐵 = 60𝑥34,3
𝑛 𝐵 = 2058,1 𝑟𝑝𝑚
g) Torque da engrenagem (B) [MTB]
𝑀 𝑇 𝐵
=
𝑃
𝜔 𝐵
𝑀 𝑇 𝐵
=
47000
68,6𝜋
𝑀 𝑇 𝐵
= 218,08𝑁𝑚
Engrenagem (A)

h) Velocidade angular da engrenagem (A) [ωA]
𝑑 𝐴 = 𝑀. 𝑍 𝐴
𝑑 𝐴 = 2𝑥15
𝑑 𝐴 = 30𝑚𝑚
𝜔 𝐴 =
𝑑 𝐶. 𝜔 𝐶
𝑑 𝐴
𝜔 𝐴 =
16𝑥94,33𝜋
30
𝜔 𝐴 = 50,31𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
i) Frequência da engrenagem (A) [fA]
𝑓𝐴 =
𝜔 𝐴
2𝜋
𝑓𝐴 =
50,31𝜋
2𝜋
𝑓𝐴 = 25,16 𝐻𝑧
j) Rotação da engrenagem (A) [nA]
𝑛 𝐴 = 60𝑓𝐴
𝑛 𝐴 = 60𝑥25,16
𝑛 𝐴 = 1509,3 𝑟𝑝𝑚
k) Torque da engrenagem (A) [MTA]
𝑀 𝑇 𝐴
=
𝑃
𝜔 𝐴
𝑀 𝑇 𝐴
=
47000
50,31𝜋
𝑀 𝑇 𝐴
= 297,37𝑁𝑚
l) Relação de transmissão [i] [Pinhão (C)/Engrenagem (B)]
𝑖 =
𝑍 𝐵
𝑍 𝐶
𝑖 =
11
8
𝑖 = 1,375
m) Relação de transmissão [i] [Pinhão (C)/Engrenagem (A)]

𝑖 =
𝑍 𝐴
𝑍 𝐶
𝑖 =
15
8
𝑖 = 1,875
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
=
𝑀 𝑇2
𝑟2
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇 𝐶
𝑟𝐶
𝐹 𝑇 =
158,6
0,016
𝐹 𝑇 = 9912,5𝑁
𝑉𝑃 = 𝜔 𝐶. 𝑟𝐶 = 𝜔 𝐵. 𝑟𝐵
𝑉𝑃 = 𝜔 𝐶. 𝑟𝐶
𝑉𝑃 = 94,33𝜋𝑥0,016
𝑉𝑃 = 1,5093𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 4,74 𝑚/𝑠
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS
EXERCÍCIO 15 –
A transmissão por engrenagem é acionada por meio do pinhão (1) acoplado
a um motor elétrico de IV polos com potência P = 15KW, (P = 20cv) e rotação n
1720 rpm. As características da engrenagem são: Pinhão (1): Z1 = 24 dentes, M =
4mm (Módulo). Coroa (2): Z2 = 73 dentes, M = 4mm (Módulo)
FIGURA 53
Determinar para a transmissão:

Pinhão (1).
a) Velocidade angular do pinhão (1) [ω1]
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
1720𝜋
30
𝜔1 = 57,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
1720
60
𝑓1 = 28,67 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
15000
57,33𝜋
𝑀 𝑇1
= 83,28𝑁𝑚
Coroa (2).
𝜔2 =
𝑍1. 𝜔1
𝑍2
𝜔2 =
24𝑥57,33𝜋
73
𝜔2 = 18,85𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
18,85𝜋
2𝜋
𝑓2 = 9,42 𝐻𝑧
𝑛2 = 60𝑓2

𝑛2 = 60𝑥9,42
𝑛2 = 565,44 𝑟𝑝𝑚
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
15000
18,85𝜋
𝑀 𝑇2
= 253,3𝑁𝑚
h) Velocidade periférica da transmissão [VP]
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
Ou
𝑉𝑃 = 𝜔2. 𝑟2
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 4𝑥24
𝑑1 = 96𝑚𝑚
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑟1 =
96
2
𝑟1 = 48𝑚𝑚
𝑟1 = 0.048𝑚
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 57,33𝜋𝑥0,048
𝑉𝑃 = 2,75𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 8,645 𝑚/𝑠
i) Força tangencial [FT]
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
83,28
0,048
𝐹 𝑇 = 1735𝑁
j) Relação transmissão [i]

𝑖 =
𝑍2
𝑍1
𝑖 =
73
24
𝑖 = 3,04
Uma transmissão por engrenagens ampliadora de velocidade é composta
por um motor elétrico com potência de 12 cv (8826 W), que gira uma coroa com 52
dentes com uma rotação de 1800 rpm. Essa, por sua vez, movimenta um pinhão
com 27 dentes. Ambos os módulos das engrenagens são de 3 mm. Para essa
transmissão, determine:
a) Velocidade angular da coroa (1)
1 =
𝑛 . 𝜋
30
1 =
1800 . 𝜋
30
1 = 60𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
b) Frequência da coroa (𝑓1)
𝑓1 =
𝜔1
2𝜋
𝑓1 =
60𝜋
2𝜋
𝑓1 = 30 𝐻𝑧
c) Torque na coroa (𝑀𝑡)
𝑀𝑡 =
𝑃
1
𝑀𝑡 =
8826
60𝜋
𝑀𝑡 = 46,82 𝑁𝑚
d) Velocidade angular do pinhão (2) (Z= número de dentes de cada
engrenagem)
2 =
1 . 𝑍1
𝑍2
2 =
60𝜋 . 52
27
2 = 115,5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄
e) Frequência do pinhão (𝑓2)

𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
115,5 𝜋
2𝜋
𝑓2 = 57,75 𝐻𝑧
f) Torque no pinhão (𝑀𝑡2)
𝑀𝑡2 = 𝑀𝑡1 .
𝑍2
𝑍1
𝑀𝑡2 = 46,82 .
27
52
𝑀𝑡2 = 24,31 𝑁𝑚
g) Rotação do pinhão (𝑛2)
𝑛2 = 60 . 𝑓2
𝑛2 = 60 . 57,75
𝑛2 = 3465 𝑟𝑝𝑚
h) Relação de transmissão (𝑖)
𝑖 =
𝑍2
𝑍1
𝑖 =
27
52
𝑖 = 0,51
i) Força tangencial (𝑑01)
𝑑01 = 𝑚 . 𝑍1
𝑑01 = 3 . 52
𝑑01 = 156 𝑚𝑚
𝑑01 = 0,156 𝑚
𝐹 𝑇 =
2 . 𝑀 𝑇1
𝑑01
𝐹 𝑇 =
2 . 46,82
0,156
𝐹 𝑇 = 600,25 𝑁
j) Velocidade periférica (𝑟01)
𝑟01 =
𝑑01
2
𝑟01 =
0,156
2

𝑟01 = 0,078 𝑚
𝑉𝑝 = 𝜔1. 𝑟01
𝑉𝑝 = 60𝜋 . 0,078
𝑉𝑝 = 14,70 𝑚/𝑠
EXERCICIO 15.2 (Felipe) -
Em uma determinada transmissão por engrenagem, é feito o acionamento por meio
do pinhão (1) acoplado a um motor com potência P = 18KW, (P = 25cv) e rotação n
2100 rpm. As características da engrenagem são: Pinhão (1): Z1 = 28 dentes, M =
6mm (Módulo). Coroa (2): Z2 = 79 dentes, M = 6mm (Módulo)
FIGURA 54
FONTE: http://www.portalcad.com/blog/index.php/10-dicas-e-truques.
Pinhão (1).
a) Velocidade angular do pinhão (1) (ω1)
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
2100𝜋
30
b) Frequência da polia (1) (𝑓1)
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
2100
60
𝑓1 = 35 𝐻𝑧
c) Torque da polia (1) (MT1)
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1

𝑀 𝑇1
=
18000
57,33𝜋
𝑀 𝑇1
= 81,85𝑁𝑚
Coroa (2).
d) Velocidade angular da polia (2) (ω2)
𝜔2 =
𝑍1. 𝜔1
𝑍2
𝜔2 =
28𝑥70𝜋
79
𝜔2 = 24,81𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) Frequência da polia (2) (𝑓2)
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
24,81𝜋
2𝜋
𝑓2 = 12,4 𝐻𝑧
f) Rotação da polia (2) (n2)
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥12,4
𝑛2 = 744,3 𝑟𝑝𝑚
g) Torque da polia (2) (MT2)
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
18000
24,81𝜋
𝑀 𝑇2
= 230,9𝑁𝑚
h) Velocidade periférica da transmissão (VP)
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
Ou
𝑉𝑃 = 𝜔2. 𝑟2
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1

𝑑1 = 6𝑥28
𝑑1 = 168𝑚𝑚
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑟1 =
168
2
𝑟1 = 84𝑚𝑚
𝑟1 = 0.084𝑚
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 70𝜋𝑥0,084𝑚
𝑉𝑃 = 5,88𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 18,47 𝑚/𝑠
i) Força tangencial (FT)
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
81,85
0,084
𝐹 𝑇 = 974,4𝑁
j) Relação transmissão (i)
𝑖 =
𝑍2
𝑍1
𝑖 =
79
28
𝑖 = 2,82
EXERCÍCIO 15.3 (Helena) –
A transmissão por engrenagem é acionada por meio do pinhão (1) acoplado
a um motor elétrico de IV polos com potência P = 20KW e rotação n=2000 rpm. As
características da engrenagem são: Pinhão (1): Z1 = 28 dentes, M = 6mm (Módulo).
Coroa (2): Z2 = 79 dentes, M = 6mm (Módulo)
Pinhão (1).
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
2000𝜋
30
𝜔1 = 66,67𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
2000
60
𝑓1 = 33,33 𝐻𝑧
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
20000
66,67𝜋
𝑀 𝑇1
= 95,49𝑁𝑚
Coroa (2).
𝜔2 =
𝑍1. 𝜔1
𝑍2
𝜔2 =
28𝑥66,67𝜋
79
𝜔2 = 23,63𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
23,63𝜋
2𝜋
𝑓2 = 11,81𝐻𝑧
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥11,81
𝑛2 = 708,9 𝑟𝑝𝑚
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
20000
23,63𝜋
𝑀 𝑇2
= 269,4𝑁𝑚

𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
Ou
𝑉𝑃 = 𝜔2. 𝑟2
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 6𝑥28
𝑑1 = 168𝑚𝑚
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑟1 =
168
2
𝑟1 = 84𝑚𝑚
𝑟1 = 0.084𝑚
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 66,67𝜋𝑥0,084
𝑉𝑃 = 5,60𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 17,59 𝑚/𝑠
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
95,49
0,084
𝐹 𝑇 = 1136,785𝑁
j) Relação transmissão [i]
𝑖 =
𝑍2
𝑍1
𝑖 =
79
28
𝑖 = 2,82
Na imagem abaixo é representado um sistema de engrenagens onde a
engrenagem (1) pinhão é acionada por um motor de P = 2cv, por meio de um
acoplamento e a rotação é de n = 1000 rpm. As características das engrenagens

são: Pinhão (1): Z1 = 36 dentes, M = 2mm (Módulo). Coroa (2): Z2 = 91 dentes, M =
2mm (Módulo).
FIGURA 55
FONTE: http://www.etepiracicaba.org.br/cursos/apostilas/mecanica/1_ciclo/tec_projeto1.pdf
Pinhão (1).
𝜔1 =
𝑛𝜋
30
𝜔1 =
1000𝜋
30
𝜔1 = 33,33𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓1 =
𝑛1
60
𝑓1 =
1000
60
𝑓1 = 16,67 𝐻𝑧
Antes devo transformar a pot6encia de CV para W.
𝑃𝐶𝑉 =
𝑃 𝑊
735,5
𝑃 𝑊 = 𝑃𝐶𝑉. 735,5
𝑃 𝑊 = 2𝑥735,5
𝑃 𝑊 = 1471𝑊
𝑀 𝑇1
=
𝑃
𝜔1
𝑀 𝑇1
=
1471
33,33𝜋

𝑀 𝑇1
= 14,05𝑁𝑚
Coroa (2).
𝜔2 =
𝑍1. 𝜔1
𝑍2
𝜔2 =
36𝑥33,33𝜋
91
𝜔2 = 13,18𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓2 =
𝜔2
2𝜋
𝑓2 =
13,18𝜋
2𝜋
𝑓2 = 6,59 𝐻𝑧
𝑛2 = 60𝑓2
𝑛2 = 60𝑥6,59
𝑛2 = 395,4 𝑟𝑝𝑚
𝑀 𝑇2
=
𝑃
𝜔2
𝑀 𝑇2
=
1471
13,18𝜋
𝑀 𝑇2
= 35,53𝑁𝑚
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1 = 𝜔2. 𝑟2
𝑟1 =
𝑑1
2
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 𝑀. 𝑍1
𝑑1 = 2𝑥36
𝑑1 = 72𝑚𝑚

𝑟1 =
𝑑1
2
𝑟1 =
72
2
𝑟1 = 36𝑚𝑚
𝑟1 = 0.036𝑚
𝑉𝑃 = 𝜔1. 𝑟1
𝑉𝑃 = 33,33𝜋𝑥0,036
𝑉𝑃 = 1,19988𝜋 𝑚/𝑠
𝑉𝑃 = 3,77 𝑚/𝑠
𝐹 𝑇 =
𝑀 𝑇1
𝑟1
𝐹 𝑇 =
14,05
0,036
𝐹 𝑇 = 390,3𝑁
j) Rolação transmissão [i]
𝑖 =
𝑍2
𝑍1
𝑖 =
91
36
𝑖 = 2,5

REFERÊNCIAS
ALIBABA. Products. Disponível em: <http://portuguese.alibaba.com/product-gs/hot-
new-products-for-2015-kitchen-outer-rotor-450mm-ac-axial-fan-60210360658.html>.
Acesso em: 03 de abr. 2015.
BLOG DA ENGENHARIA. Polias e correias. Disponível em:
<http://www.blogdaengenharia.com/wp-
content/uploads/2013/05/PoliaseCorreias.pdf>. Acesso em: 03 de abr. 2015.
BLOGSPOT. Disponível em:
<http://2.bp.blogspot.com/_4zd06fOobnY/TUcQnhg0FfI/AAAAAAAAAmM/fQHW2wX
YFD0/s1600/denovo.png>. Acesso em: 03 de abr. 2015.
BLOGSPOT. Formação piloto. Disponível em:
<http://formacaopiloto.blogspot.com.br/2014_06_01_archive.html>. Acesso em: 03
de abr. 2015.
CASA DAS POLIAS. Disponível em:
<http://www.casadaspolias.com.br/produtos/especificacoes-tecnicas.html>. Acesso
em: 03 de abr. 2015.
CEPA.IF.USP. Energia. Hidráulica. Disponível em:
<http://www.cepa.if.usp.br/energia/energia1999/Grupo2B/Hidraulica/roda.htm>.
CLIP ART LOGO. Premiun. Disponível em:
<http://pt.clipartlogo.com/premium/detail/car-or-truck-tire-line-art_109442720.html>
EDUCAÇÃO MG GOV. Sistema CRV. Disponível em:
<http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/index.aspx?ID_OBJETO=58360&tipo=o
b&cp=780031&cb=&n1=&n2=M%EF%BF%BDdulos%20Did%EF%BF%BDticos&n3=
Ensino%20M%EF%BF%BDdio&n4=F%EF%BF%BDsica&b=s>. Acesso em: 03 de
abr. 2015.
ETEPIRACICABA ORG. Cursos. Apostila mecânica. Disponível em:
<http://www.etepiracicaba.org.br/cursos/apostilas/mecanica/1_ciclo/tec_projeto1.pdf
>. Acesso em: 03 de abr. 2015.
FISICA VESTIBULAR. Disponível em:
<http://fisicaevestibular.com.br/exe_din_15.htm>. Acesso em: 03 de abr. 2015.
GP MOTORS BRASIL. Disponível em:
<http://www.gpmotorsbrasil.com.br/info1.html>. Acesso em: 03 de abr. 2015.

PAULUZZI. Alvenaria. Disponível em:
<http://www.pauluzzi.com.br/alvenaria.php?PHPSESSID=ccd0dd0c90aa9901b2a2e4
9d3182897c>. Acesso em: 03 de abr. 2015.
PORTAL CAD. Blog. 10 truques e dicas. Disponível em:
<http://www.portalcad.com/blog/index.php/10-dicas-e-truques>. Acesso em: 03 de
abr.
MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
SEGURANCA NA CONSTRUCAO. Disponível em: <http://seguranca-na-
construcao.dashofer.pt/?s=modulos&v=capitulo&c=7655>. Acesso em: 03 de abr.
2015.
SLIDESHARE. Centro Apoio. Exercício equilíbrio corpo rígido. Disponível em:
<http://pt.slideshare.net/CentroApoio/exercequilibrio-corpo-rigido>. Acesso em: 03 de
abr. 2015.
VDL UFC. Solar. Aula. Disponível em:
<http://www.vdl.ufc.br/solar/aula_link/lfis/semestre01/Fisica_I/Aula_03/02.html>.
VEGA MAQUINAS. Retifica para torno. Disponível em:
<http://www.vegamaquinas.com.br/retifica-para-torno-pr-1313-229827.htm> Acesso
em: 03 de abr. 2015.
WIKIPEDIA. Turbina aeronave. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Turbina_aeron%C3%A1utica>. Acesso em: 03 de abr.
2015.

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