cinematica da particula em movimento a duas dimensoes.pdf

Mecânica da
Partícula
Carla Teixeira
Impulso+

t
Carla Teixeira – Impulso + Mecânica da partícula
Cinemática da
partícula em
movimento a duas
dimensões

Cinemática:
Carla Teixeira – Impulso + Mecânica da Partícula
Se o ponto em relação a um mesmo
referencial é caracterizado unicamente pela
variação da distancia e sentido, o movimento
diz-se retilíneo
No movimento em que a distancia do
ponto em relação a um referencial
permanece constante mas a sua direção
varia segundo um plano, o movimento é
designado de circular.
A cinemática do ponto carateriza o movimento de um ponto em relação a um referencial.
No movimento geral, a posição do ponto em relação a um mesmo referencial apresenta
simultaneamente variação na distancia e na direção. Neste, caso o movimento é designado
de movimento curvilíneo..

Referencial:
A posição de um corpo só pode ser conhecida a
partir
de um referencial.
O referencial é o sistema de coordenadas, que, para
ser definido, necessita ter:
✓ Origem – ponto a partir do qual se efetuam as
medições;
✓ Escala – necessária para medir as distâncias.
A posição de um corpo é o conjunto das
coordenadas num determinado referencial.

Referencial:
Referencial cartesiano e posição num referencial
Se o movimento for retilíneo, é
suficiente um referencial cartesiano
unidimensional:
Se o movimento for curvilíneo num
plano, é suficiente um referencial
cartesiano a duas dimensões:
A posição de uma partícula, num dado instante, pode ser indicada por um vetor posição, ,
cuja origem coincide com a origem O do referencial e cuja extremidade coincide com a posição
da partícula (ou centro de massa do corpo), nesse instante.

Equações paramétricas de um movimento a duas dimensões:
As equações paramétricas do movimento indicam como variam as coordenadas de posição,
em função do tempo.
Um movimento a duas dimensões pode ser interpretado como a composição de dois
movimentos a uma dimensão.
Equação vetorial do movimento que traduz a Lei do movimento ou Lei das posições

Num movimento retilíneo uniforme:
Um movimento retilíneo uniforme pode ser identificado pela dependência
temporal (linear em t) da equação paramétrica.
A equação do movimento é linear em t; é a equação de uma reta.

Num movimento retilíneo uniformemente variado: ( ) 2
0 0
1
2
= + +
x t x v t at
A equação do movimento é quadrática em t; é a equação de uma parábola.
Um movimento retilíneo uniformemente variado pode ser identificado pela dependência
temporal (com um termo em t2) da equação paramétrica.

Trajetória e gráficos posição-tempo:
A trajetória de uma partícula é a linha definida pelas sucessivas posições ocupadas pela
partícula no seu movimento.
Em alguns casos, é possível obter a equação da trajetória a partir das equações paramétricas, e
por eliminação do parâmetro tempo, t, no sistema constituído por essas equações.

Posição e deslocamento:
Um mesmo deslocamento pode corresponder a
diferentes trajetórias.
O vetor posição, , depende da origem do referencial escolhido.
O vetor deslocamento, , não depende da origem do referencial escolhido, é um vetor com
origem na posição inicial da partícula e extremidade na posição final.

Velocidade média e velocidade:
Velocidade média,
A velocidade, , é a derivada temporal do vetor posição.
É sempre tangente à trajetória e o seu módulo indica a rapidez do movimento.
v
Velocidade instantânea ou simplesmente velocidade,
𝑽𝒎
Ԧ
𝑣m =
ΔԦ
𝑟
Δ𝑡

Aceleração média e aceleração:
Aceleração média,
A aceleração, , é a derivada temporal da velocidade.
Aceleração instantânea ou simplesmente
aceleração,
Ԧ
𝑎m
Ԧ
𝑎m =
Δ Ԧ
𝑣
Δ𝑡
Ԧ
𝑎
Ԧ
𝑎

A componente tangencial da aceleração, , está associada à variação
temporal do módulo da velocidade:
Ԧ
𝑎t
at = 0 Movimentos uniformes
at = constante Movimentos uniformemente variados
at  constante Movimentos variados

A componente normal da aceleração, , está associada à variação
temporal da direção da velocidade:
Ԧ
𝑎n
an = 0 Movimentos retilíneos
an  0 Movimentos curvilíneos
A componente normal da aceleração, , só
existe em movimentos curvilíneos.
A componente tangencial da aceleração, , mede a
variação temporal do módulo da velocidade e a
componente normal da aceleração, , mede a variação
temporal da direção da velocidade.
𝑎n =
𝑣2
𝑟
Ԧ
𝑎 =
d𝑣
d𝑡
Ԧ
𝑒t +
𝑣2
𝑟
Ԧ
𝑒n
Ԧ
𝑎n
Ԧ
𝑎t
Ԧ
𝑎n

Componente tangencial e normal da aceleração:
O modulo da aceleração, , é dado por:
Ԧ
𝑎
Ԧ
𝑎 = 𝑎𝑥
2
+ 𝑎𝑦
2 ou Ԧ
𝑎 = 𝑎t
2
+ 𝑎n
2

Segunda Lei de Newton
(no referencial fixo Oxy e no referencial ligado à partícula) :
• Considerando um referencial cartesiano fixo Oxy:
• Considerando um referencial associado à partícula:
𝑭𝐑 = 𝒎𝒂
Segunda Lei de Newton

t
Carla Teixeira – Impulso + Metais e Ligas Metálicas
Derivadas

t
Movimentos sob a ação
de uma força resultante
de módulo constante

Condições iniciais do movimento e tipos de trajetória:
As características de um movimento dependem da resultante das forças aplicadas e das
condições iniciais do movimento, ou seja, da posição e da velocidade inicial.
Uma força que atua num corpo segundo a direção da velocidade só faz aumentar ou diminuir
o módulo da velocidade; não altera a sua posição.
A trajetória é retilínea.

Condições iniciais do movimento e tipos de trajetória:
Uma força que atua num corpo segundo a direção
perpendicular à velocidade só faz variar a direção da
velocidade; não altera o seu módulo.
A trajetória é circular.
Uma força que atua num corpo numa
direção oblíqua relativamente à direção
da velocidade faz variar a direção e o
módulo da velocidade.
A trajetória é curvilínea.

Equações paramétricas do movimento:
É possível decompor a força resultante e a aceleração nas suas componentes
cartesianas.
Se a força resultante for constante, também as suas componentes cartesianas, seguindo
os eixo cartesianos considerados, são constantes; o mesmo acontece com as
componentes cartesianas da aceleração.

Equações paramétricas do movimento

Se a força resultante tiver a direção do eixo dos yy:
O movimento de uma partícula sujeita a uma força resultante constante com direção
da velocidade inicial pode ser decomposto num:
• movimento uniformemente variado, na direção da força resultante;
•movimento uniforme, na direção perpendicular.
O movimento é:
• uniforme, na direção do eixo dos xx
• uniformemente variado, na direção
do eixo dos yy
( )
0 0
x x
F a
=  =
( )
R const const
y y
F F a a
= =  = =

t
Projeteis

Projéteis:
O lançamento de um projétil pode ser vertical, horizontal ou
oblíquo.
No lançamento vertical de um projétil, consideramos o movimento
de uma bola que é atirada verticalmente para cima
No lançamento vertical de um projétil:
▪ A força resultante constante (força gravítica) tem a direção da velocidade inicial.
▪ O movimento é retilíneo uniformemente variado (retardado na subida e acelerado na
descida).
Equação paramétrica do movimento 2
0
1
2
y v t g t
= −
( )
0 0
v 

Projéteis:
No lançamento horizontal de um projétil, considerando o movimento da esfera quando cai da
mesa, o movimento parabólico de queda da esfera pode ser decomposto em dois movimentos
retilíneos perpendiculares entre si.
0
x v t
=
2
1
2
y h g t
= −
Equação da trajetória
2
0
2
(equação de uma parábola)
g
y h x
v
= −

Projéteis:
No lançamento horizontal de um projétil:
▪ A força resultante constante (força gravítica) tem direção perpendicular à direção da
velocidade inicial.
▪ O movimento pode ser decomposto num movimento uniformemente acelerado na
direção vertical (direção da força resultante) e num movimento uniforme na direção
horizontal (direção perpendicular).
Tempo de voo
2 2 2
1 1 1 2
0
2 2 2
voo
h
y h g t h g t h g t t
g
= −  = −  =  =
Alcance
0 0
2
máx voo máx
h
x v t x v
g
=  =

Projéteis:
0
x v t
=
2
0
1
2
y
y v t g t
= −
Equação da trajetória
2
2
0
2
tan (equação de uma parábola)
x
g
y x x
v

= −
No lançamento oblíquo de um projétil, o projétil é lançado com uma velocidade inicial que faz um
ângulo com a direção horizontal.
0 90
  
 
( e )

Projéteis:
Tempo de voo:

Projéteis:
Altura máxima
Alcance
( )
2
0 2
máx
sin
v
x
g

=
2
0
2
y
v
h
g
=

t
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