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Matemática
Financeira
1ª edição
2017
Matemática
Financeira
6
3
Unidade de Estudo 6
Sistema de Amortização
Constante (SAC)
Para iniciar seus estudos
Nesta Unidade você aprenderá um pouco sobre a amortização de dívidas.
Os métodos de amortização são: sistema de amortização constante, sis-
tema de amortização misto e sistema de amortização americano. Vamos
ver sobre o sistema de amortização constante (SAC)?
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar o sistema de amortização constante e mostrar como
são feitos os cálculos.
• Conceituar amortização, pagamentos, juros e saldo devedor.
• Apresentar o conceito e mostrar como é feito o cálculo da amor-
tização segundo o SAC.
4
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
6.1. Conceitos Iniciais
Quando precisamos pagar algum investimento ou alguma dívida sempre vai existir algum método utilizado para
amortizarou exaurira dívida em questão. Cada método utiliza um determinado procedimento para terminarcom
a dívida.
Nesta Unidade você aprenderá sobre o sistema de amortização constante. Fique atento aos passos necessários
que devemos seguir quando estamos utilizando o sistema de amortização constante (SAC).
5
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
6.2. Sistema de Amortização
O sistema que possui a amortização da dívida sempre constante recebe o nome de sistema de amortização
constante. Vamos supor que Maurício possui dois financiamentos atualmente: o de sua casa própria e o de seu
automóvel. No do automóvel, a prestação é fixa, já no casa própria, as prestações são decrescentes.Você conhece
algum sistema de amortização que tenha prestações constantes? E algum com prestações decrescentes? Um
sistema de amortização são as formas de pagamento dos empréstimos (Veras 2012). Ou seja, é a maneira pela
qual vamos findar uma dívida que obtemos.
O processo de reembolso de um empréstimo é realizado por meio de pagamentos de prestações em épocas
pré-estabelecidas. Cada prestação é dada pela soma de duas parcelas: as amortizações e os juros corresponden-
tes aos saldos do empréstimo não reembolsado.
Dessa forma, temos a seguinte expressão matemática:
PMT A J
= +
Em que,
PMT : valor da prestação.
A : valor da amortização.
J : valor dos juros.
Pela expressão supracitada você pode ver que quando pagamos uma determinada prestação, uma parcela é
usada para amortizar (diminuir, liquidar) a dívida e a outra é utilizada para cobrir os respectivos juros.
Para Assaf Neto (2010), uma característica marcante dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do
sistema de juros compostos, em que há incidência de encargos sobre o período imediatamente anterior àquele
em análise.
Exemplo 6.1
Marcela fez um empréstimo de R$ 20.000 para comprar um carro. Ela se comprometeu a pagar 60 parcelas de
RR 500,00. Considere que o valor dos juros será de R$ 100,00 por mês. Diante disso, qual o valor da amortização
da dívida por mês?
Vamos utilizar a expressão que citamos acima. Logo:
PMT A J
= +
500 100
A
= +
$400,00
A R
=
O valor da amortização da dívida é de R$ 400,00 por mês.
Existem no mercado diversos sistemas de amortização. Alguns utilizam pagamento único e outros possibilitam
o pagamento parcelado. Alguns têm denominação própria, enquanto outros são descritos apenas por meio de
contratos (VERAS, 2012).
6
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Os principais sistemas de amortização de dívidas são:
•	 Sistema do Montante: pagamento no final.
•	 Sistema Americano: pagamento periódico de juros.
•	 Sistema Price ou Francês: prestações iguais.
•	 Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização constante.
•	 Sistema de Amortização Mista (SAM): amortizações mistas.
Observe que cada sistema de amortização possui uma característica marcante. Você precisa memorizar cada
característica para poder fazer a análise do respectivo sistema de amortização.
Você deve ter em mente os seguintes conceitos:
•	 Valor atual do empréstimo ( PV ): é o valor do capital tomado como empréstimo.
•	 Amortização ( n
A ): é o valor amortizado no período n .
•	 Juro ( n
J ): é o valor do juro pago no período n .
•	 Pagamento ( n
PMT ): é o valor de cada prestação.
•	 Saldo devedor ( n
S ): é o valor da dívida após o pagamento da prestação n .
Quando dizemos que uma dívida foi amortizada em R$ 100,00 significa que devemos diminuira dívida que temos
em R$ 100,00. Não confunda amortização com prestação.
Para você calcular os elementos que foram citados acima você deve saber primeiramente qual sistema de amor-
tização está em análise.
7
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
6.3. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neste sistema, o devedor deve pagar o empréstimo em prestações que incluem uma parcela constante da amor-
tização e os juros sobre o saldo devedor (VERAS 2012).
Diante disso, podemos ver que a dívida será diminuída por uma parcela constante, em cada período.
Vale a pena ressaltara diferença entre os sistemas Price e SAC. No price as prestações são iguais. No SAC as amor-
tizações são iguais. Já mostramos qual a diferença entre prestação e amortização no tópico anterior.
Como sabemos que n amortizações iguais são suficientes para liquidar a dívida PV , se desejarmos calcular
cada uma, precisamos apenas dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas. Assim, temos que:
PV
A
n
=
O Quadro 6.1 apresenta todos os procedimentos que você precisa fazer para utilizar o sistema de amortização
constante (SAC).
Quadro 6.1 – Planilha do Sistema SAC.
Legenda: cálculo da planilha pelo sistema SAC.
Fonte: Elaborado pela autora (2016).
De acordo com Assaf Neto (2010), como os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior, são decres-
centes. Além disso, as prestações do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
Assaf Neto (2010) diz que os pagamentos geram decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um
dos períodos. Assim, há redução dos valores dos juros e das prestações.
Exemplo 6.2
Leonardo realizou um empréstimo de R$ 10.000,00 e pretende pagá-lo em quatro meses, com taxa de juros de
1% a.m., utilizando o sistema SAC. Calcule o valor da amortização e construa a planilha da dívida.
O primeiro passo que devemos realizar é calcular o valor da amortização. Temos os seguintes dados:
$10.000,00
PV R
=
4
n meses
=
1% . . 0,01 . .
i a m a m
= =
8
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Assim, temos que o valor da amortização é dado por:
PV
A
n
=
10000
4
A =
$2.500,00
A R
=
Agora vamos calcular todos os dados por período, para depois montarmos o quadro.
•	 Para o primeiro período temos:
1 . 10.000.0,01 R $100,00
J PV i
= = =
1 1 2500 100 $2.600,00
PMT A J R
= + = + =
1 10000 2500 $7.500,00
S PV A R
= − = − =
•	 Para o segundo período temos:
2 1. 7500.0,01 R $75,00
J S i
= = =
2 2 2500 75 $2.575,00
PMT A J R
= + = + =
2 1 7500 2500 $5.000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o terceiro período temos:
3 2. 5000.0,01 R $50,00
J S i
= = =
3 3 2500 50 $2.550,00
PMT A J R
= + = + =
3 2 5000 2500 $2.500,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o quarto período, temos:
4 3. 2500.0,01 R $25,00
J S i
= = =
3 3 2500 25 $2.525,00
PMT A J R
= + = + =
3 2 2500 2500 $0
S S A R
= − = − =
Tabela 6.1 - Planilha do Exemplo 6.2.
N Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - R$ 10.000,00
1 R$ 2.600,00 R$ 100,00 R$ 2.500,00 R$ 7.500,00
2 R$ 2.575,00 R$ 75,00 R$ 2.500,00 R$ 5.000,00
3 R$ 2.550,00 R$ 50,00 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00
4 R$ 2.525,00 R$ 25,00 R$ 2.500,00 R$ 0
Legenda: Planilha SAC do Exemplo 6.2
Fonte: Elaborada pela autora (2016)
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Pela Tabela 6.1 você pode observar que os pagamentos são decrescentes, os juros são decrescentes e a amorti-
zação é constante.
Em situações que existem muitos períodos, pode ficar difícil e trabalhoso fazer os devidos cálculos. Devido a isso,
vamos resolver o Exemplo 6.2 no Excel.
O primeiro passo é encontrarmos o valor da amortização. Colocamos na barra de fórmula da coluna referente à
amortização o valor futuro dividido pelo número de períodos. Assim, clicando na extremidade inferior direita da
célula, segurando e arrastando até a última célula, toda a coluna é preenchida.
Figura 6.1 - Exemplo 6.2 no Excel.
Legenda: Cálculo da amortização pelo Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o primeiro juro. Na barra de fórmulas da Figura 6.2 colocamos o valor do saldo devedor do
período anterior multiplicado pela taxa de juros, que foi de 0,01 ou 1%.
Figura 6.2 – Exemplo 6.2 no Excel.
Legenda: Cálculo do juro do primeiro período pelo Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora é necessário calcular o primeiro pagamento. O pagamento é a soma do juro com amortização. Logo:
10
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.3 – Exemplo 6.2 no Excel.
Legenda: Cálculo do primeiro pagamento no Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora precisamos encontraro saldo devedordo primeiro período. Ele é dado pela diferença entre o saldo devedor
do período anterior e a amortização. Observe a Figura 6.4 e veja a barra de fórmulas.
Figura 6.4 – Exemplo 6.2 no Excel.
Legenda: Cálculo do primeiro saldo devedor no Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora que já implementamos todas as fórmulas no Excel, você deve fazer o seguinte procedimento. Clique na
célula C4 no canto inferior direito, seguro e arraste até a célula C7. Assim, todos os valores de pagamento serão
preenchidos. Faça o mesmo procedimento para as células D4 e F4. Assim, vamos ter a seguinte tabela represen-
tada pela Figura 6.5.
Figura 6.5 – Exemplo 6.2 no Excel.
Legenda: Tabela do Exemplo 6.3 no Excel
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
11
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Observe a grande economia de cálculos que fizemos por utilizar a ferramenta Excel. No nosso cotidiano é bas-
tante comum utilizarmos esse software para resolvermos problemas de Matemática Financeira. Portanto, estude
com atenção ao que foi passado.
Exemplo 6.3
Mariana fez um empréstimo de R$ 3.000,00 para poder comprar um notebook de última geração. Ela vai pagar
em 6 meses, com juros de 2% ao mês. Sendo assim, construa a tabela SAC.
Temos os seguintes dados:
$3.000,00
PV R
=
6
n meses
=
2% . . 0,02 . .
i a m a m
= =
Assim, temos que o valor da amortização é dado por:
PV
A
n
=
30000
6
A =
$500,00
A R
=
Agora vamos calcular todos os dados por período, para depois montarmos o quadro.
•	 Para o primeiro período temos:
1 . 3.000.0,02 R $60,00
J PV i
= = =
1 1 500 60 $560,00
PMT A J R
= + = + =
1 3000 500 $2.500,00
S PV A R
= − = − =
•	 Para o segundo período temos:
2 1. 2500.0,02 R $50,00
J S i
= = =
2 2 500 50 $550,00
PMT A J R
= + = + =
2 1 2500 500 $2000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o terceiro período temos:
3 2. 2000.0,02 R $40,00
J S i
= = =
3 3 500 40,00 $540,00
PMT A J R
= + = + =
3 2 2000 500 $1500,00
S S A R
= − = − =
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
•	 Para o quarto período temos:
4 3. 1500.0,02 R $30,00
J S i
= = =
4 4 500 30 $530,00
PMT A J R
= + = + =
4 3 1500 500 $1000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o quinto período temos:
5 4. 1000.0,02 R $20,00
J S i
= = =
5 5 500 20 $520,00
PMT A J R
= + = + =
5 4 1000 500 $500,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o sexto período temos:
6 5. 500.0,02 R $10,00
J S i
= = =
6 6 500 10 $510,00
PMT A J R
= + = + =
6 5 500 500 $0
S S A R
= − = − =
Assim, temos a seguinte tabela:
Tabela 6.2 – Planilha do Exemplo 6.3.
N Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 3.000,00
1 560,00 60,00 500,00 2.500,00
2 550,00 50,00 500,00 2.000,00
3 540,00 40,00 500,00 1.500,00
4 530,00 30,00 500,00 1.000,00
5 520,00 20,00 500,00 500,00
6 510,00 10,00 500,00 0,00
Legenda: Planilha SAC do Exemplo 6.2
Fonte: Elaborada pelo autor (2017)
Vamos resolver o Exemplo 6.3 pelo Excel. O primeiro passo é encontrarmos o valor da amortização. Colocamos
na barra de fórmula da coluna referente à amortização o valor futuro dividido pelo número de períodos. Assim,
clicando na extremidade inferior direita da célula, segurando e arrastando até a última célula, toda a coluna é
preenchida.
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Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.6 – Exemplo 6.3 no Excel.
Legenda: Cálculo da amortização pelo Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o primeiro juro. Na barra de fórmulas da Figura 6.2 colocamos o valor do saldo devedor do
período anterior multiplicado pela taxa de juros, que foi de 0,02 ou 2%.
Figura 6.7 – Exemplo 6.3 no Excel.
Legenda: Cálculo do juro do primeiro período pelo Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora é necessário calcular o primeiro pagamento. O pagamento é a soma do juro com amortização. Logo:
14
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.8 – Exemplo 6.3 no Excel.
Legenda: Cálculo do primeiro pagamento no Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora precisamos encontraro saldo devedordo primeiro período. Ele é dado pela diferença entre o saldo devedor
do período anterior e a amortização. Observe a Figura 6.4 e veja a barra de fórmulas.
Figura 6.9 – Exemplo 6.3 no Excel.
Legenda: Cálculo do primeiro saldo devedor no Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora que você já implementou todas as fórmulas no Excel, você deve fazer o seguinte procedimento. Clique na
célula C4 no canto inferior direito, seguro e arraste até a célula C9. Assim, todos os valores de pagamento serão
preenchidos. Faça o mesmo procedimento para as células D4 e F4. Assim, vamos ter a seguinte tabela represen-
tada pela Figura 6.5.
15
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.10 – Exemplo 6.3 no Excel.
Legenda: Tabela do Exemplo 6.3 no Excel
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Exemplo 6.4
Jorge fez um empréstimo de R$ 15.000,00 para podercomprarum carro. Elavai pagarem 10 meses, com juros de
2% ao mês. Sendo assim, construa a tabela SAC.
Temos os seguintes dados:
$15.000,00
PV R
=
10
n meses
=
2% . . 0,02 . .
i a m a m
= =
Assim, temos que o valor da amortização é dado por:
PV
A
n
=
15000
10
A =
$1500,00
A R
=
Agora vamos calcular todos os dados por período, para depois montarmos o quadro.
•	 Para o primeiro período temos:
1 . 15.000.0,02 R $300,00
J PV i
= = =
1 1 1500 300 $1800,00
PMT A J R
= + = + =
1 15000 1500 $13.500,00
S PV A R
= − = − =
16
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
•	 Para o segundo período temos:
2 1. 13500.0,02 R $270,00
J S i
= = =
2 2 1500 270 $1.770,00
PMT A J R
= + = + =
2 1 13500 1500 $12.000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o terceiro período temos:
3 2. 12000.0,02 R $240,00
J S i
= = =
3 3 1500 240,00 $1.740,00
PMT A J R
= + = + =
3 2 12000 1500 $10.500,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o quarto período temos:
4 3. 10500.0,02 R $210,00
J S i
= = =
4 4 1500 210 $1.710,00
PMT A J R
= + = + =
4 3 10500 1500 $9.000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o quinto período temos:
5 4. 9000.0,02 R $180,00
J S i
= = =
5 5 1500 180 $1.680,00
PMT A J R
= + = + =
5 4 9000 1500 $7.500,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o sexto período temos:
6 5. 7500.0,02 R $150,00
J S i
= = =
6 6 1500 150 $1.650,00
PMT A J R
= + = + =
6 5 7500 1500 $6.000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o sétimo período temos:
7 6. 6000.0,02 R $120,00
J S i
= = =
7 7 1500 120,00 $1.620,00
PMT A J R
= + = + =
7 6 6000 1500 $4.500,00
S S A R
= − = − =
17
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
•	 Para o oitavo período temos:
8 7. 4500.0,02 R $90,00
J S i
= = =
8 8 1500 90 $1.590,00
PMT A J R
= + = + =
8 7 4500 1500 $3.000,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o novo período temos:
9 8. 1000.0,02 R $60,00
J S i
= = =
9 9 1500 60 $1.560,00
PMT A J R
= + = + =
9 8 3000 1500 $1.500,00
S S A R
= − = − =
•	 Para o décimo período temos:
10 9. 1500.0,02 R $30,00
J S i
= = =
10 10 1500 30 $1.530,00
PMT A J R
= + = + =
10 9 1500 1500 $0
S S A R
= − = − =
Tabela 6.3 – Planilha do Exemplo 6.4.
N Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - R$15.000,00
1 R$ 1.800,00 R$ 300,00 R$ 1.500,00 R$13.500,00
2 R$ 1.770,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$12.000,00
3 R$ 1.740,00 R$ 240,00 R$ 1.500,00 R$10.500,00
4 R$ 1.710,00 R$ 210,00 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00
5 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00
6 R$ 1.650,00 R$ 150,00 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00
7 R$ 1.620,00 R$ 120,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00
8 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00
9 R$ 1.560,00 R$ 60,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00
10 R$ 1.530,00 R$ 30,00 R$ 1.500,00 R$0
Legenda: Planilha SAC do Exemplo 6.4
Fonte: Elaborada pelo autor (2017)
Vamos resolver o Exemplo 6.4 pelo Excel. O primeiro passo é encontrarmos o valor da amortização. Colocamos
na barra de fórmula da coluna referente à amortização o valor futuro dividido pelo número de períodos. Assim,
clicando na extremidade inferior direita da célula, segurando e arrastando até a última célula, toda a coluna é
preenchida.
18
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.6 – Exemplo 6.4 no Excel.
Legenda: Cálculo da amortização pelo Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora vamos calcular o primeiro juro. Na barra de fórmulas da Figura 6.2 colocamos o valor do saldo devedor do
período anterior multiplicado pela taxa de juros, que foi de 0,02 ou 2%.
Figura 6.7 – Exemplo 6.4 no Excel.
Legenda: Cálculo do juro do primeiro período pelo Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora é necessário calcular o primeiro pagamento. O pagamento é a soma do juro com amortização. Logo:
19
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.8 – Exemplo 6.4 no Excel.
Legenda: Cálculo do primeiro pagamento no Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora precisamos encontraro saldo devedordo primeiro período. Ele é dado pela diferença entre o saldo devedor
do período anterior e a amortização. Observe a Figura 6.4 e veja a barra de fórmulas.
Figura 6.9 – Exemplo 6.4 no Excel.
Legenda: Cálculo do primeiro saldo devedor no Excel.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Agora que você já implementou todas as fórmulas no Excel, você deve fazer o seguinte procedimento. Clique na
célula C4 no canto inferior direito, seguro e arraste até a célula C13. Assim, todos os valores de pagamento serão
preenchidos. Faça o mesmo procedimento para as células D4 e F4. Assim, vamos ter a seguinte tabela represen-
tada pela Figura 6.5.
20
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC)
Figura 6.10 – Exemplo 6.4 no Excel.
Legenda: tabela do Exemplo 6.3 no Excel
Fonte: elaborado pelo autor (2017).
Finalmente terminamos o primeiro tipo de amortização, que é o sistema de amortização constante.
21
Considerações finais
Nesta Unidade você aprendeu que amortização é a diminuição de uma
dívida, que a prestação é a soma dos juros com a amortização. Além
disso, você foi capaz de entender o que é sistema de amortização cons-
tante (SAC), através de conceitos e exemplos práticos. Os exemplos foram
resolvidos tanto porcálculos escritos quanto porcálculos feitos através do
software Excel. Desse modo, você será capaz de resolver qualquer tipo de
exercício, por mais complexo que ele pareça ser.
Referências
22
ASSAF, NETO, A. Finanças corporativas e valor. 2. ed. São Paulo: Atlas,
2010.
HAZAN, S; POMPEO, J. N.. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,
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  • 3. 6 3 Unidade de Estudo 6 Sistema de Amortização Constante (SAC) Para iniciar seus estudos Nesta Unidade você aprenderá um pouco sobre a amortização de dívidas. Os métodos de amortização são: sistema de amortização constante, sis- tema de amortização misto e sistema de amortização americano. Vamos ver sobre o sistema de amortização constante (SAC)? Objetivos de Aprendizagem • Apresentar o sistema de amortização constante e mostrar como são feitos os cálculos. • Conceituar amortização, pagamentos, juros e saldo devedor. • Apresentar o conceito e mostrar como é feito o cálculo da amor- tização segundo o SAC.
  • 4. 4 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) 6.1. Conceitos Iniciais Quando precisamos pagar algum investimento ou alguma dívida sempre vai existir algum método utilizado para amortizarou exaurira dívida em questão. Cada método utiliza um determinado procedimento para terminarcom a dívida. Nesta Unidade você aprenderá sobre o sistema de amortização constante. Fique atento aos passos necessários que devemos seguir quando estamos utilizando o sistema de amortização constante (SAC).
  • 5. 5 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) 6.2. Sistema de Amortização O sistema que possui a amortização da dívida sempre constante recebe o nome de sistema de amortização constante. Vamos supor que Maurício possui dois financiamentos atualmente: o de sua casa própria e o de seu automóvel. No do automóvel, a prestação é fixa, já no casa própria, as prestações são decrescentes.Você conhece algum sistema de amortização que tenha prestações constantes? E algum com prestações decrescentes? Um sistema de amortização são as formas de pagamento dos empréstimos (Veras 2012). Ou seja, é a maneira pela qual vamos findar uma dívida que obtemos. O processo de reembolso de um empréstimo é realizado por meio de pagamentos de prestações em épocas pré-estabelecidas. Cada prestação é dada pela soma de duas parcelas: as amortizações e os juros corresponden- tes aos saldos do empréstimo não reembolsado. Dessa forma, temos a seguinte expressão matemática: PMT A J = + Em que, PMT : valor da prestação. A : valor da amortização. J : valor dos juros. Pela expressão supracitada você pode ver que quando pagamos uma determinada prestação, uma parcela é usada para amortizar (diminuir, liquidar) a dívida e a outra é utilizada para cobrir os respectivos juros. Para Assaf Neto (2010), uma característica marcante dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do sistema de juros compostos, em que há incidência de encargos sobre o período imediatamente anterior àquele em análise. Exemplo 6.1 Marcela fez um empréstimo de R$ 20.000 para comprar um carro. Ela se comprometeu a pagar 60 parcelas de RR 500,00. Considere que o valor dos juros será de R$ 100,00 por mês. Diante disso, qual o valor da amortização da dívida por mês? Vamos utilizar a expressão que citamos acima. Logo: PMT A J = + 500 100 A = + $400,00 A R = O valor da amortização da dívida é de R$ 400,00 por mês. Existem no mercado diversos sistemas de amortização. Alguns utilizam pagamento único e outros possibilitam o pagamento parcelado. Alguns têm denominação própria, enquanto outros são descritos apenas por meio de contratos (VERAS, 2012).
  • 6. 6 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Os principais sistemas de amortização de dívidas são: • Sistema do Montante: pagamento no final. • Sistema Americano: pagamento periódico de juros. • Sistema Price ou Francês: prestações iguais. • Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização constante. • Sistema de Amortização Mista (SAM): amortizações mistas. Observe que cada sistema de amortização possui uma característica marcante. Você precisa memorizar cada característica para poder fazer a análise do respectivo sistema de amortização. Você deve ter em mente os seguintes conceitos: • Valor atual do empréstimo ( PV ): é o valor do capital tomado como empréstimo. • Amortização ( n A ): é o valor amortizado no período n . • Juro ( n J ): é o valor do juro pago no período n . • Pagamento ( n PMT ): é o valor de cada prestação. • Saldo devedor ( n S ): é o valor da dívida após o pagamento da prestação n . Quando dizemos que uma dívida foi amortizada em R$ 100,00 significa que devemos diminuira dívida que temos em R$ 100,00. Não confunda amortização com prestação. Para você calcular os elementos que foram citados acima você deve saber primeiramente qual sistema de amor- tização está em análise.
  • 7. 7 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) 6.3. Sistema de Amortização Constante (SAC) Neste sistema, o devedor deve pagar o empréstimo em prestações que incluem uma parcela constante da amor- tização e os juros sobre o saldo devedor (VERAS 2012). Diante disso, podemos ver que a dívida será diminuída por uma parcela constante, em cada período. Vale a pena ressaltara diferença entre os sistemas Price e SAC. No price as prestações são iguais. No SAC as amor- tizações são iguais. Já mostramos qual a diferença entre prestação e amortização no tópico anterior. Como sabemos que n amortizações iguais são suficientes para liquidar a dívida PV , se desejarmos calcular cada uma, precisamos apenas dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas. Assim, temos que: PV A n = O Quadro 6.1 apresenta todos os procedimentos que você precisa fazer para utilizar o sistema de amortização constante (SAC). Quadro 6.1 – Planilha do Sistema SAC. Legenda: cálculo da planilha pelo sistema SAC. Fonte: Elaborado pela autora (2016). De acordo com Assaf Neto (2010), como os juros incidem sobre o saldo devedor do período anterior, são decres- centes. Além disso, as prestações do SAC são decrescentes em progressão aritmética. Assaf Neto (2010) diz que os pagamentos geram decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos. Assim, há redução dos valores dos juros e das prestações. Exemplo 6.2 Leonardo realizou um empréstimo de R$ 10.000,00 e pretende pagá-lo em quatro meses, com taxa de juros de 1% a.m., utilizando o sistema SAC. Calcule o valor da amortização e construa a planilha da dívida. O primeiro passo que devemos realizar é calcular o valor da amortização. Temos os seguintes dados: $10.000,00 PV R = 4 n meses = 1% . . 0,01 . . i a m a m = =
  • 8. 8 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Assim, temos que o valor da amortização é dado por: PV A n = 10000 4 A = $2.500,00 A R = Agora vamos calcular todos os dados por período, para depois montarmos o quadro. • Para o primeiro período temos: 1 . 10.000.0,01 R $100,00 J PV i = = = 1 1 2500 100 $2.600,00 PMT A J R = + = + = 1 10000 2500 $7.500,00 S PV A R = − = − = • Para o segundo período temos: 2 1. 7500.0,01 R $75,00 J S i = = = 2 2 2500 75 $2.575,00 PMT A J R = + = + = 2 1 7500 2500 $5.000,00 S S A R = − = − = • Para o terceiro período temos: 3 2. 5000.0,01 R $50,00 J S i = = = 3 3 2500 50 $2.550,00 PMT A J R = + = + = 3 2 5000 2500 $2.500,00 S S A R = − = − = • Para o quarto período, temos: 4 3. 2500.0,01 R $25,00 J S i = = = 3 3 2500 25 $2.525,00 PMT A J R = + = + = 3 2 2500 2500 $0 S S A R = − = − = Tabela 6.1 - Planilha do Exemplo 6.2. N Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor 0 - - - R$ 10.000,00 1 R$ 2.600,00 R$ 100,00 R$ 2.500,00 R$ 7.500,00 2 R$ 2.575,00 R$ 75,00 R$ 2.500,00 R$ 5.000,00 3 R$ 2.550,00 R$ 50,00 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00 4 R$ 2.525,00 R$ 25,00 R$ 2.500,00 R$ 0 Legenda: Planilha SAC do Exemplo 6.2 Fonte: Elaborada pela autora (2016)
  • 9. 9 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Pela Tabela 6.1 você pode observar que os pagamentos são decrescentes, os juros são decrescentes e a amorti- zação é constante. Em situações que existem muitos períodos, pode ficar difícil e trabalhoso fazer os devidos cálculos. Devido a isso, vamos resolver o Exemplo 6.2 no Excel. O primeiro passo é encontrarmos o valor da amortização. Colocamos na barra de fórmula da coluna referente à amortização o valor futuro dividido pelo número de períodos. Assim, clicando na extremidade inferior direita da célula, segurando e arrastando até a última célula, toda a coluna é preenchida. Figura 6.1 - Exemplo 6.2 no Excel. Legenda: Cálculo da amortização pelo Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora vamos calcular o primeiro juro. Na barra de fórmulas da Figura 6.2 colocamos o valor do saldo devedor do período anterior multiplicado pela taxa de juros, que foi de 0,01 ou 1%. Figura 6.2 – Exemplo 6.2 no Excel. Legenda: Cálculo do juro do primeiro período pelo Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora é necessário calcular o primeiro pagamento. O pagamento é a soma do juro com amortização. Logo:
  • 10. 10 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.3 – Exemplo 6.2 no Excel. Legenda: Cálculo do primeiro pagamento no Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora precisamos encontraro saldo devedordo primeiro período. Ele é dado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização. Observe a Figura 6.4 e veja a barra de fórmulas. Figura 6.4 – Exemplo 6.2 no Excel. Legenda: Cálculo do primeiro saldo devedor no Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora que já implementamos todas as fórmulas no Excel, você deve fazer o seguinte procedimento. Clique na célula C4 no canto inferior direito, seguro e arraste até a célula C7. Assim, todos os valores de pagamento serão preenchidos. Faça o mesmo procedimento para as células D4 e F4. Assim, vamos ter a seguinte tabela represen- tada pela Figura 6.5. Figura 6.5 – Exemplo 6.2 no Excel. Legenda: Tabela do Exemplo 6.3 no Excel Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
  • 11. 11 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Observe a grande economia de cálculos que fizemos por utilizar a ferramenta Excel. No nosso cotidiano é bas- tante comum utilizarmos esse software para resolvermos problemas de Matemática Financeira. Portanto, estude com atenção ao que foi passado. Exemplo 6.3 Mariana fez um empréstimo de R$ 3.000,00 para poder comprar um notebook de última geração. Ela vai pagar em 6 meses, com juros de 2% ao mês. Sendo assim, construa a tabela SAC. Temos os seguintes dados: $3.000,00 PV R = 6 n meses = 2% . . 0,02 . . i a m a m = = Assim, temos que o valor da amortização é dado por: PV A n = 30000 6 A = $500,00 A R = Agora vamos calcular todos os dados por período, para depois montarmos o quadro. • Para o primeiro período temos: 1 . 3.000.0,02 R $60,00 J PV i = = = 1 1 500 60 $560,00 PMT A J R = + = + = 1 3000 500 $2.500,00 S PV A R = − = − = • Para o segundo período temos: 2 1. 2500.0,02 R $50,00 J S i = = = 2 2 500 50 $550,00 PMT A J R = + = + = 2 1 2500 500 $2000,00 S S A R = − = − = • Para o terceiro período temos: 3 2. 2000.0,02 R $40,00 J S i = = = 3 3 500 40,00 $540,00 PMT A J R = + = + = 3 2 2000 500 $1500,00 S S A R = − = − =
  • 12. 12 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) • Para o quarto período temos: 4 3. 1500.0,02 R $30,00 J S i = = = 4 4 500 30 $530,00 PMT A J R = + = + = 4 3 1500 500 $1000,00 S S A R = − = − = • Para o quinto período temos: 5 4. 1000.0,02 R $20,00 J S i = = = 5 5 500 20 $520,00 PMT A J R = + = + = 5 4 1000 500 $500,00 S S A R = − = − = • Para o sexto período temos: 6 5. 500.0,02 R $10,00 J S i = = = 6 6 500 10 $510,00 PMT A J R = + = + = 6 5 500 500 $0 S S A R = − = − = Assim, temos a seguinte tabela: Tabela 6.2 – Planilha do Exemplo 6.3. N Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor 0 - - - 3.000,00 1 560,00 60,00 500,00 2.500,00 2 550,00 50,00 500,00 2.000,00 3 540,00 40,00 500,00 1.500,00 4 530,00 30,00 500,00 1.000,00 5 520,00 20,00 500,00 500,00 6 510,00 10,00 500,00 0,00 Legenda: Planilha SAC do Exemplo 6.2 Fonte: Elaborada pelo autor (2017) Vamos resolver o Exemplo 6.3 pelo Excel. O primeiro passo é encontrarmos o valor da amortização. Colocamos na barra de fórmula da coluna referente à amortização o valor futuro dividido pelo número de períodos. Assim, clicando na extremidade inferior direita da célula, segurando e arrastando até a última célula, toda a coluna é preenchida.
  • 13. 13 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.6 – Exemplo 6.3 no Excel. Legenda: Cálculo da amortização pelo Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora vamos calcular o primeiro juro. Na barra de fórmulas da Figura 6.2 colocamos o valor do saldo devedor do período anterior multiplicado pela taxa de juros, que foi de 0,02 ou 2%. Figura 6.7 – Exemplo 6.3 no Excel. Legenda: Cálculo do juro do primeiro período pelo Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora é necessário calcular o primeiro pagamento. O pagamento é a soma do juro com amortização. Logo:
  • 14. 14 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.8 – Exemplo 6.3 no Excel. Legenda: Cálculo do primeiro pagamento no Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora precisamos encontraro saldo devedordo primeiro período. Ele é dado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização. Observe a Figura 6.4 e veja a barra de fórmulas. Figura 6.9 – Exemplo 6.3 no Excel. Legenda: Cálculo do primeiro saldo devedor no Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora que você já implementou todas as fórmulas no Excel, você deve fazer o seguinte procedimento. Clique na célula C4 no canto inferior direito, seguro e arraste até a célula C9. Assim, todos os valores de pagamento serão preenchidos. Faça o mesmo procedimento para as células D4 e F4. Assim, vamos ter a seguinte tabela represen- tada pela Figura 6.5.
  • 15. 15 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.10 – Exemplo 6.3 no Excel. Legenda: Tabela do Exemplo 6.3 no Excel Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Exemplo 6.4 Jorge fez um empréstimo de R$ 15.000,00 para podercomprarum carro. Elavai pagarem 10 meses, com juros de 2% ao mês. Sendo assim, construa a tabela SAC. Temos os seguintes dados: $15.000,00 PV R = 10 n meses = 2% . . 0,02 . . i a m a m = = Assim, temos que o valor da amortização é dado por: PV A n = 15000 10 A = $1500,00 A R = Agora vamos calcular todos os dados por período, para depois montarmos o quadro. • Para o primeiro período temos: 1 . 15.000.0,02 R $300,00 J PV i = = = 1 1 1500 300 $1800,00 PMT A J R = + = + = 1 15000 1500 $13.500,00 S PV A R = − = − =
  • 16. 16 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) • Para o segundo período temos: 2 1. 13500.0,02 R $270,00 J S i = = = 2 2 1500 270 $1.770,00 PMT A J R = + = + = 2 1 13500 1500 $12.000,00 S S A R = − = − = • Para o terceiro período temos: 3 2. 12000.0,02 R $240,00 J S i = = = 3 3 1500 240,00 $1.740,00 PMT A J R = + = + = 3 2 12000 1500 $10.500,00 S S A R = − = − = • Para o quarto período temos: 4 3. 10500.0,02 R $210,00 J S i = = = 4 4 1500 210 $1.710,00 PMT A J R = + = + = 4 3 10500 1500 $9.000,00 S S A R = − = − = • Para o quinto período temos: 5 4. 9000.0,02 R $180,00 J S i = = = 5 5 1500 180 $1.680,00 PMT A J R = + = + = 5 4 9000 1500 $7.500,00 S S A R = − = − = • Para o sexto período temos: 6 5. 7500.0,02 R $150,00 J S i = = = 6 6 1500 150 $1.650,00 PMT A J R = + = + = 6 5 7500 1500 $6.000,00 S S A R = − = − = • Para o sétimo período temos: 7 6. 6000.0,02 R $120,00 J S i = = = 7 7 1500 120,00 $1.620,00 PMT A J R = + = + = 7 6 6000 1500 $4.500,00 S S A R = − = − =
  • 17. 17 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) • Para o oitavo período temos: 8 7. 4500.0,02 R $90,00 J S i = = = 8 8 1500 90 $1.590,00 PMT A J R = + = + = 8 7 4500 1500 $3.000,00 S S A R = − = − = • Para o novo período temos: 9 8. 1000.0,02 R $60,00 J S i = = = 9 9 1500 60 $1.560,00 PMT A J R = + = + = 9 8 3000 1500 $1.500,00 S S A R = − = − = • Para o décimo período temos: 10 9. 1500.0,02 R $30,00 J S i = = = 10 10 1500 30 $1.530,00 PMT A J R = + = + = 10 9 1500 1500 $0 S S A R = − = − = Tabela 6.3 – Planilha do Exemplo 6.4. N Pagamento Juros Amortização Saldo Devedor 0 - - - R$15.000,00 1 R$ 1.800,00 R$ 300,00 R$ 1.500,00 R$13.500,00 2 R$ 1.770,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$12.000,00 3 R$ 1.740,00 R$ 240,00 R$ 1.500,00 R$10.500,00 4 R$ 1.710,00 R$ 210,00 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00 5 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00 6 R$ 1.650,00 R$ 150,00 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00 7 R$ 1.620,00 R$ 120,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00 8 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00 9 R$ 1.560,00 R$ 60,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 10 R$ 1.530,00 R$ 30,00 R$ 1.500,00 R$0 Legenda: Planilha SAC do Exemplo 6.4 Fonte: Elaborada pelo autor (2017) Vamos resolver o Exemplo 6.4 pelo Excel. O primeiro passo é encontrarmos o valor da amortização. Colocamos na barra de fórmula da coluna referente à amortização o valor futuro dividido pelo número de períodos. Assim, clicando na extremidade inferior direita da célula, segurando e arrastando até a última célula, toda a coluna é preenchida.
  • 18. 18 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.6 – Exemplo 6.4 no Excel. Legenda: Cálculo da amortização pelo Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora vamos calcular o primeiro juro. Na barra de fórmulas da Figura 6.2 colocamos o valor do saldo devedor do período anterior multiplicado pela taxa de juros, que foi de 0,02 ou 2%. Figura 6.7 – Exemplo 6.4 no Excel. Legenda: Cálculo do juro do primeiro período pelo Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora é necessário calcular o primeiro pagamento. O pagamento é a soma do juro com amortização. Logo:
  • 19. 19 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.8 – Exemplo 6.4 no Excel. Legenda: Cálculo do primeiro pagamento no Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora precisamos encontraro saldo devedordo primeiro período. Ele é dado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização. Observe a Figura 6.4 e veja a barra de fórmulas. Figura 6.9 – Exemplo 6.4 no Excel. Legenda: Cálculo do primeiro saldo devedor no Excel. Fonte: Elaborado pelo autor (2017). Agora que você já implementou todas as fórmulas no Excel, você deve fazer o seguinte procedimento. Clique na célula C4 no canto inferior direito, seguro e arraste até a célula C13. Assim, todos os valores de pagamento serão preenchidos. Faça o mesmo procedimento para as células D4 e F4. Assim, vamos ter a seguinte tabela represen- tada pela Figura 6.5.
  • 20. 20 Matemática Financeira | Unidade de Estudo 6 – Sistema de Amortização Constante (SAC) Figura 6.10 – Exemplo 6.4 no Excel. Legenda: tabela do Exemplo 6.3 no Excel Fonte: elaborado pelo autor (2017). Finalmente terminamos o primeiro tipo de amortização, que é o sistema de amortização constante.
  • 21. 21 Considerações finais Nesta Unidade você aprendeu que amortização é a diminuição de uma dívida, que a prestação é a soma dos juros com a amortização. Além disso, você foi capaz de entender o que é sistema de amortização cons- tante (SAC), através de conceitos e exemplos práticos. Os exemplos foram resolvidos tanto porcálculos escritos quanto porcálculos feitos através do software Excel. Desse modo, você será capaz de resolver qualquer tipo de exercício, por mais complexo que ele pareça ser.
  • 22. Referências 22 ASSAF, NETO, A. Finanças corporativas e valor. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2010. HAZAN, S; POMPEO, J. N.. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2007. Ebook. VERAS, L. L.. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012.Ebook. VIEIRA SOBRINHO, J. D.. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000. E-book.