Material slides mat iii

1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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Capítulo 16 – Matrizes e determinantes
CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo
16
Matrizes e
determinantes
Animação:
Matrizes
Multimídia
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA

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16.1
Define-se matriz do tipo m × n (lemos “m por n”) uma
tabela com m ∙ n números dispostos em m linhas
e n colunas.
Os números que compõem uma matriz são chamados
elementos ou termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se
os elementos entre colchetes, [ ], ou entre parênteses, ( ).
Definição de matriz

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Exemplos
a) é uma matriz do tipo 3 × 2 (lemos: “três por dois”).
b) é uma matriz do tipo 3 × 3
(lemos: “três por três”).
c) é uma matriz do tipo 2 × 1 (lemos: “dois por um”), que, por
ter uma só coluna, recebe o nome especial de matriz coluna.
d) é uma matriz do tipo 1 × 4 (lemos: “um por
quatro”), que, por ter uma só linha, é chamada matriz linha.
16.1

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O tipo da matriz também pode ser indicado ao lado dela, na
extremidade inferior direita.
a)
b)
16.1
2 × 4
3 × 5

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Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida
por determinada linha e determinada coluna, nessa ordem.
Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo
símbolo aij, em que i indica a linha que o elemento ocupa
e j indica a coluna.
Genericamente, uma matriz A é representada por
A = (aij)m × n, em que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i e j  ℕ.
16.2
Representação genérica de uma matriz

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A =
m × n
16.2
Uma matriz A, do tipo m × n, pode ser representada por:
Representação genérica de uma matriz

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Exercício resolvido
R1. Escrever a matriz A = (aij)2 × 3 na qual aij = i + 2j.
16.3
R2. Escrever a matriz A = (aij)3 × 2 em que aij =

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Igualdade de matrizes
Quando duas matrizes A e B são de mesmo tipo, os elementos
de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma
posição, são denominados elementos correspondentes.
16.5
A = B =
Exemplo
Nessas matrizes, os elementos correspondentes são:
a11 e b11 a13 e b13a12 e b12 a21 e b21
a31 e b31
a22 e b22
a23 e b23 a33 e b33a32 e b32

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Duas matrizes A e B são matrizes iguais quando são do
mesmo tipo e têm os elementos correspondentes iguais.
16.6
Igualdade de matrizes

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R3. Determinar os valores de x, y e z que tornam as matrizes
A e B iguais.
16.7
A = B =

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R4. Determinar os valores de x e y que tornam as matrizes
A e B iguais.
A = B =
16.8

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Uma matriz que tem todos os elementos iguais a zero é
denominada matriz nula.
Indica-se uma matriz nula do tipo m × n por: 0m × n
a) 03 × 2 =
b) 02 × 4 =
16.9
Exemplos
Matriz nula

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Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de
colunas é chamada matriz quadrada.
Nesse caso, consideramos que a matriz com m linhas e
m colunas é do tipo m × m, ou que a matriz é de ordem m.
a) A = é uma matriz quadrada 2 × 2 ou, simplesmente,
matriz de ordem 2.
b) B = é uma matriz quadrada 3 × 3 ou matriz de
ordem 3.
16.10
Exemplos
Matriz quadrada

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Diagonais de uma matriz quadrada
Toda matriz quadrada de ordem n tem duas diagonais.
Os elementos aij com i = j formam a diagonal principal da
matriz; os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal
secundária da matriz.
A =
diagonal secundária diagonal principal
16.11
Exemplo

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Matriz identidade
Chamamos matriz identidade a matriz quadrada em que
todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
demais são iguais a zero.
Assim, em qualquer matriz identidade, temos: aij =
Indicamos uma matriz identidade de ordem n por: In
a) i3 = b) i5 =
16.12
Exemplos

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Matriz diagonal
Uma matriz é denominada matriz diagonal se é quadrada
e todos os elementos que não estão na diagonal principal
são nulos.
a)
b) I2 =
16.13
Exemplos
c) 04 × 4 =

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Dada uma matriz A do tipo m × n, denominamos matriz
transposta de A a matriz do tipo n × m cujas linhas são,
ordenadamente, iguais às colunas de A.
Assim, se (a’ij)n × m é transposta de (aij)m × n, temos: a’ij = aji
Indicamos a matriz transposta de A por At.
16.14
Matriz transposta

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Exemplos
a) A =
b) B =
então At =
então Bt =
16.14
Matriz transposta

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Matriz simétrica
Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com sua
transposta, isto é, se A = At.
a) A = é simétrica, pois A = At =
b) B = é simétrica, pois B = Bt =
Observe que, em uma matriz simétrica, quaisquer dois
elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.
diagonal principal diagonal principal
16.15

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R5. Determinar a matriz transposta At da matriz A =
16.16

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Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (aij)m × n
e B = (bij)m × n, a matriz soma A + B é a matriz
C = (cij)m × n, na qual cij = aij + bij para todo i e todo j.
Adição de matrizes
Considere as matrizes A e B: A = e B =
Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos
correspondentes de A e B:
C = + = =
16.17
Exemplo

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Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz oposta
de A, e indica-se por –A, a matriz que somada com A resulta
na matriz nula de mesmo tipo, ou seja: A + (–A) = 0m × n
+ =
Matriz oposta
Se A = , então –A = , pois:
16.18
Exemplo

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Propriedades da adição de matrizes
Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0m × n, todas de
mesmo tipo, valem as seguintes propriedades:
▪ Comutativa: A + B = B + A
▪ Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
▪ Existência do elemento neutro:
A + 0m × n = 0m × n + A = A
▪ Existência do elemento oposto:
A + (–A) = (–A) + A = 0m × n
▪ Cancelamento: A + C = B + C  A = B
16.19

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A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo,
é a soma da matriz A com a oposta de B, isto é:
A – B = A + (–B).
Subtração de matrizes
Sejam: A = e B =
A – B = A + (–B) = – =
= + =
16.20
Exemplo

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R6. Dadas as matrizes A = e B = , obter uma
matriz X2 × 2 tal que A + X = B.
16.21

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Sejam a matriz A = (aij)m × n e k um número real, então k ∙ A
é uma matriz do tipo m × n obtida pela multiplicação de k por
todos os elementos de A, ou seja, kA = (kaij).
Multiplicação de um número real por
uma matriz
Se A = e k = 3, então:
k ∙ A = 3 ⋅ = =
16.22
Exemplo

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R7. Determinar a matriz X na equação:
16.23
R8. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X + B
sabendo que: A = e B = .
R9. Determinar as matrizes X e Y tais que
em que A = e B = .

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Dadas as matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)n × p,
o produto de A por B é a matriz C = (cij)m × p, na qual
cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos
multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i
de A pelos elementos da coluna j de B.
Multiplicação de matrizes
16.26

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iguais
16.26
O produto das matrizes A e B, indicado por A ∙ B, só é
definido se o número de colunas de A é igual ao número de
linhas de B. Esse produto terá o mesmo número de linhas
da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.
Am  n ∙ Bn  p = C m  p

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Exemplo
Dadas as matrizes A = e B = , vamos determinar
A ∙ B.
Como a matriz A é do tipo 2 × 3 e a matriz B é do tipo 3 × 2,
existe o produto A ∙ B (pois o número de colunas da matriz A é
igual ao número de linhas da matriz B).
Então: A ∙ B = C, sendo C = (cij)2 × 2
16.26

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Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo:
▪ c11: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela
1a coluna de B;
2a coluna de B;
1a coluna de B;
2a coluna de B.
16.26
Exemplo

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A ∙ B = =
Assim, temos:
C =
Logo: C =
16.26
Exemplo

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Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades:
▪ Associativa: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)
▪ Distributiva à direita: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C
▪ Distributiva à esquerda: C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙
Propriedades da multiplicação
de matrizes
16.27

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A ∙ B = e B ∙ A =
Dadas as matrizes A = e B = , obtemos os
seguintes produtos:
Observe que A ∙ B ≠ B ∙ A.
16.27
Observe a seguir que nem sempre temos A ∙ B = B ∙ A.
Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação
de matrizes.
de matrizes

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A ∙ B = e A ∙ C =
Dadas as matrizes A = , B = e C = ,
obtemos:
Observe que A ∙ B = A ∙ C, mas B ≠ C.
Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos
concluir, com base em A ∙ B = A ∙ C, que B = C, isto é, não
vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo.
16.27
de matrizes

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A ∙ B = , que é a matriz nula.
Dadas as matrizes A = e B = , obtemos
o produto:
Observe que A ≠ 0 e B ≠ 0.
Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode
ser uma matriz nula. Veja:
16.27
de matrizes

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R10. Resolver a equação matricial: X ∙ =
16.28

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Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma
matriz B, quadrada de mesma ordem, tal que
A ∙ B = B ∙ A = In, então B será a matriz inversa de A,
indicada por A–1.
Matriz inversa
Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é
invertível ou não singular.
16.29

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A–1 ∙ A= =
Exemplo
A inversa da matriz A = é matriz A–1 = , pois:
A ∙ A–1 = = e
Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se
A ∙ B = I, então B ∙ A = I.
16.29
Matriz inversa

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R11. Determinar, se existir, a inversa das matrizes:
a)
16.30
b)

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A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado
determinante da matriz, que é obtido por meio de
operações entre os elementos da matriz.
Determinante de uma matriz
Para representar o determinante de uma matriz A (indicado
por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da
matriz por barras simples:
▪ A = e det A =
▪ A = [4] e det A = |4|
▪ A = e det A =
16.31

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O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1,
A = (a11), é o próprio elemento de A.
det A =|a11|= a11
Determinante de uma matriz de ordem 1
a) A = (4)  det A = |4| = 4
b) B =  det B = | | =
16.32
Exemplos

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O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2,
A = , é a diferença entre o produto dos elementos
da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária.
det A = =
a) A = det A =
b) B = det B =
16.33
Exemplos

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Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante
de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o
procedimento explicado a seguir.
Considere a matriz: A =
16.34

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Descrição do procedimento Aplicação do procedimento
16.34
1o) Ao lado da matriz, copiam-se
suas duas primeiras colunas.
2o) Multiplicam-se os elementos
da diagonal principal e, na mesma
direção dessa diagonal,
multiplicam-se os elementos de
cada uma das duas paralelas à
sua direita.

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16.34
3o) Multiplicam-se os elementos
da diagonal secundária e, na
mesma direção dessa diagonal,
os elementos de cada uma das
duas paralelas à sua direita.
4o) O determinante da matriz é
obtido pela diferença entre as
somas dos produtos do 2o e do
3o passo, nessa ordem.
det A = (a11a22a33 + a12a23a31 +
a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 +
a12a21a33)

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Exemplo
a) Considerando a matriz A = , temos:
–6 12 0 10 –8 0
Assim:
det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4
16.35

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b) Considerando a matriz B = , temos:
–12 –72 54 –108 –18 24
Assim:
det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72
16.35
Exemplo

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R12. Determinar x para que a igualdade a seguir seja
verdadeira.
= 0
16.36

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R13. Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas
dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da
fórmula:
ARST = , em que D =
Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3
tal que: a 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos,
a 2a, pelas ordenadas e a 3a por 1.
Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos
R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3).
16.37

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Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se
cofator de um elemento aij de A o número real
Aij = (–1)i + jDij, em que Dij é o determinante obtido da
matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que
contêm o elemento aij.
Determinante de uma matriz de
ordem maior que 3
Cofator de uma matriz
16.38

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Exemplos
a) Seja A =
Eliminando a 1a linha e a 2a coluna de A, obtemos
A12 = (–1)1+2 ∙
Logo, A12 = –7 é cofator do elemento a12.
16.38
ordem maior que 3

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b) Seja B =
Eliminando a 3a linha e a 4a coluna de B, obtemos
B34 = (–1)3+4 ∙
Logo, B34 = 108 é cofator do elemento b34.
16.38
Exemplos
ordem maior que 3

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O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer
(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Teorema de Laplace
16.39
ordem maior que 3

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A =
Exemplo
Escolhendo a 1a linha, temos:
det A = 1 ∙ A11 + 2 ∙ A12 + (–3) ∙ A13 + 0 ∙ A14
det A = 1 ∙ (–1)2 ∙ + 2 ∙ (–1)2 ∙ +
+ (–3) ∙ (–1)4 ∙ + 0 ∙
16.39
ordem maior que 3

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Não é necessário calcular A14, pois: 0 ∙ A14 = 0
Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43
Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna
que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou
coluna que tiver mais zeros.
16.39
Observação
Exemplo
ordem maior que 3

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R14. Calcular o determinante da matriz A =
16.40

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Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma
matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0.
Simplificação do cálculo de
determinantes
16.41
1a propriedade: Fila nula

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Exemplo
A = ⇒ det A =
det A = 0 ⋅ (–1)2+1 + 0 ⋅ (–1)2+2 ⋅ + 0 ⋅ (–1)2+3
+ 0 ⋅ (–1) 2+4 ⋅
det A = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
determinantes
1a propriedade: Fila nula
16.41

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Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma
matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então
det A = 0.
2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais
16.42
determinantes

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a) Seja A =
det A = –28 + 252 + 240 – (252 + 240 – 28) = 0
b) Considerando a matriz B = , temos:
det B = 18 + 24 + 16 – (18 + 16 + 24) = 0
16.42
determinantes
2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais
Exemplo

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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Se uma fila de uma matriz quadrada A for uma combinação
linear de outras filas paralelas, então det A = 0.
3a propriedade: Combinação linear
16.43
determinantes

1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Seja a matriz A =
Temos: det A = 10 – 2 + 0 – (0 – 0 + 8) = 0.
Observe que nessa matriz a 3a coluna é uma combinação linear
das outras duas colunas (os elementos dessa coluna são iguais a
2 vezes os elementos da 1a coluna somados aos opostos dos
elementos da 2a coluna).
16.43
determinantes
3a propriedade: Combinação linear
Exemplo

1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao
determinante de sua transposta.
4a propriedade: Determinante da matriz transposta
16.44
determinantes

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CONEXÕES COM
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Exemplo
Seja A =
Então: det A = 16 + 0 – 20 – (–3 + 0 + 0) = – 1
At =
det At = 16 – 20 + 0 – (–3 + 0 + 0) = –1
16.44
4a propriedade: Determinante da matriz transposta
determinantes

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A MATEMÁTICA
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Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos
de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da
matriz obtida fica multiplicado por k.
5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante
16.45
determinantes

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Exemplo
Multiplicando a 2a coluna de A por –3, temos:
B =
Assim: det B = –45 + 108 + 0 – (18 + 12 – 0) = 33.
Logo: det B = (–3) ∙ det A
16.45
Se A = , então: det A = 15 – 36 – 0 – (–6 – 4 + 0) = –11
5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante
determinantes

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Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz
quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do
determinante de A.
6a propriedade: Troca de filas paralelas
16.46
determinantes

1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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Exemplo
Se A = , então: det A = 21 + 40 – 0 – (12 – 5 + 0) = 54
Trocando a 1a e a 3a linhas de posição, temos:
B =
Assim: det B = 12 – 5 + 0 – (21 + 40 – 0) = –54
Logo: det B = –det A
16.46
6a propriedade: Troca de filas paralelas
determinantes

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Se todos os elementos situados de um mesmo lado da
diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos,
o determinante de A é igual ao produto dos elementos
dessa diagonal.
7a propriedade
16.47
determinantes

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Exemplo
7a propriedade
Considerando a matriz A = , temos:
det A = 1 ∙ 2 ∙ 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8
16.47
determinantes

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Em uma matriz quadrada A de ordem n, se
multiplicarmos os elementos de uma fila por uma
constante qualquer e adicionarmos os resultados aos
elementos correspondentes
de uma fila paralela, obteremos uma matriz B tal que
det B = det A.
Teorema de Jacobi
16.48
determinantes

1.5CONEXÕES COM
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Exemplo
Dada a matriz M = , temos:
det M = 0 + 10 + 6 – (–10 – 2 + 0) = 28
▪ Triplicando os elementos da 3a coluna de M e somando aos da
1a coluna de M, obtemos:
N =
det N = 0 + 10 + 12 – (–10 + 4 + 0) = 28
16.48
Teorema de Jacobi
determinantes

1.5CONEXÕES COM
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Exemplo
P =
det P = –20 – 50 + 18 – (–30 + 10 – 60) = 28
16.48
▪ Calculando o oposto do dobro dos elementos da 1a coluna de M
e somando aos da 3a coluna de M, obtemos:
Teorema de Jacobi
determinantes

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Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n,
então det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B)
Teorema de Binet
16.49
Exemplo
Sendo A = e B = , temos:
det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60
A ∙ B = = , logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60
Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B)
determinantes

1.5CONEXÕES COM
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Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A–1 a sua inversa:
Determinante da matriz inversa
A ∙ A–1 = In e det (A ∙ A–1) = det In
Pela 7a propriedade, sabemos que:
det In = 1n = 1
Aplicando o teorema de Binet, temos:
det A ∙ det A–1 = 1
16.50
determinantes

1.5CONEXÕES COM
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Como o produto dos determinantes é não nulo, cada fator é
não nulo, isto é, det A ≠ 0; assim:
det A–1 =
Verificamos também que, se det A ≠ 0, então A é uma
matriz invertível.
16.50
determinantes

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Exemplo
Sendo A = , então:
det A = 0 + 20 + 0 – (8 + 15 + 0) = –3
Portanto: det A–1 =
16.50
determinantes

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R15. Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que
det A = 3. Sabendo que a matriz B é da forma B = 2 ∙ A,
calcular seu determinante.
16.51

1.5CONEXÕES COM
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R16. Calcular o determinante da matriz A =
16.52

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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
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Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
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Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA
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2012

ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5CONEXÕES COM
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Capítulo 17 – Sistemas lineares
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Capítulo
17 Sistemas lineares

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Uma companhia de navegação utiliza dois tipos de
recipiente para carga, A e B, que acondicionam mercadorias
em contêineres de dois tipos, I e II. A quantidade de
contêineres de cada tipo que cabem em cada recipiente é
dada pela tabela a seguir.
Sistemas lineares
Tipo de
recipiente I II
A 4 3
B 5 2
17.1

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1.5CONEXÕES COM
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Para determinar o número de recipientes x1 e x2 de
cada tipo, sabendo que a companhia deve transportar
42 contêineres do tipo I e 27 do tipo II, podemos
montar um sistema:
As equações desse sistema são do 1o grau e são chamadas
de equações lineares.
17.1
Sistemas lineares

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Equação linear é toda equação que pode ser escrita a1x1 +
+ a2x2 + ... + anxn = b, em que x1, x2,..., xn são incógnitas;
os números reais a1, a2, ..., an são os coeficientes das
incógnitas; e o número real b é o termo independente.
Quando o termo ndependente é nulo, a equação linear é
chamada de homogênea.
Equações lineares
Exemplos de equações lineares
▪ x1 + 3x2 – x3 = 7
▪ x – w = 3
▪ –x1 + 1,5x2 = 0 (homogênea)
▪ 2x + 3y – z = 0 (homogênea)
17.2

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Exemplos de equações não lineares
▪ x2 + 3y – z = 7 (apresenta uma incógnita com expoente diferente de 1)
▪ x – = 3 (apresenta uma incógnita no denominador)
▪ 2x + 3yz = 0 (apresenta um termo com mais de uma incógnita: 3yz)
17.2
Equações lineares
1
y

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Exemplos
▪ O par ordenado (3, 5) é solução da equação –3x + 2y = 1 
–3 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 1  S = {(3, 5)}
▪ (1, 3, 5) não é solução da equação 3x – 2y – 3z = 14 
 3 ∙ 1 – 2 ∙ 3 – 3 ∙ 5 ≠ 14  (1, 3, 5) não é solução.
▪ (0, 0, 0) é solução da equação
x + 2y – 3z = 0 → 0 + 2 ∙ 0 – 3 ∙ 0 = 0  S = {(0, 0, 0)}
Equação homogênea
17.3
Solução de uma equação linear

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1.5CONEXÕES COM
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Solução de uma equação é toda ênupla de números
reais (1, 2, ..., n) que torna a igualdade a1x1 + a2x2 +
+ ... + anxn = b verdadeira, isto é, tal que a11 + a22 +
+ ... + ann = b seja verdadeira.
17.3
Solução de uma equação linear

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1.5CONEXÕES COM
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R1. Sabendo que o par ordenado (2a, a) é a solução da
equação 4x + 3y = 10, determinar o valor de a.
17.4

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Por exemplo, observe a reação de combustão do gás
metano, representada pela equação:
CH4 + O2 → CO2 + H2O
reagentes produtos
Número de átomos
carbono (C): 1
hidrogênio (H): 4
oxigênio (O): 2
Número de átomos
carbono (C): 1
hidrogênio (H): 2
oxigênio (O): 3
17.5
Sistemas de equações lineares

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Em Química, uma equação está balanceada quando o
número de átomos dos reagentes é igual ao número de
átomos dos produtos. Então, para balancear essa
equação, podemos multiplicar cada substância por uma
incógnita e formar um sistema de equações lineares.
aCH4 + bO2 → cCO2 + dH2O
a = c números de átomos de carbono
4a = 2d números de átomos de hidrogênio
2b = 2c + d números de átomos de oxigênio
17.5

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1.5CONEXÕES COM
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Um sistema de equações lineares de m equações com n
incógnitas é um conjunto de equações lineares que podem ser
escritas na forma:
a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
am1x1 + am2x2 + ⋯ + amnxn = bm
em que x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, am1, ..., amn
são os coeficientes reais; os números reais b1, b2, ..., bm são
os termos independentes.
17.6

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Exemplos
17.6
(sistema de 2 equações com 2 incógnitas)
=
(sistema de 3
equações com
4 incógnitas)

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A ênupla (1, 2, ..., n) é solução de um sistema
linear de m equações com n incógnitas quando é
solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo
Observe as seguintes equações e algumas de suas soluções:
▪ 2x + y = 4  (–1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), ...
▪ x + 2y = 5  (–1, 3), (1, 2), (3, 1), (5, 0), ...
Note que as duas equações têm o par ordenado (1, 2) como
solução comum.
Portanto, (1, 2) é solução do sistema linear
17.7

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Solução de um sistema linear
Exemplos
a)
Os ternos ordenados (2, 5, 2), (3, 2, 0) e (–1, 14, 8) são algumas
das soluções do sistema abaixo.
Podemos verificar isso substituindo os valores de cada termo no
sistema. Observe:
▪ (2, 5, 2) é solução, pois:
17.8
2 – 5 + 2 ∙ 2 = 1 (verdadeira)
–2 ∙ 2 + 2 ∙ 5 – 4 ∙ 2 = –2 (verdadeira)
2 + 5 – 2 = 5 (verdadeira)
123

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1.5CONEXÕES COM
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Exemplos
a)
▪ (3, 2, 0) é solução, pois:
▪ (–1, 14, 8) é solução, pois:
17.8
3 – 2 + 2 ∙ 0 = 1 (verdadeira)
–2 ∙ 3 + 2 ∙ 2 – 4 ∙ 0 = –2 (verdadeira)
3 + 2 – 0 = 5 (verdadeira)
123 –1 – 14 + 2 ∙ 8 = 1 (verdadeira)
–2 ∙ (–1) + 2 ∙ 14 – 4 ∙ 8 = –2 (verdadeira)
–1 + 14 – 8 = 5 (verdadeira)
123

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Exemplos
b)
O terno ordenado (1, 3, 4) não é uma solução do
sistema pois, substituindo esses valores nas
equações, temos:
(verdadeira)
(falsa)
17.8

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
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CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Exemplos
c)
Vamos encontrar a solução do sistema pelo método
da adição.
Para isso, devemos multiplicar os membros de uma ou mais equações
por números convenientes e, depois, adicioná-las membro a membro,
de modo a eliminar uma incógnita.
Assim:
17.8
Multiplicando a
1a equação por 2
7x = 14  x = 2

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Exemplos
c)
Substituindo x = 2 na equação 2x + y = 5, temos: 2 ∙ 2 + y = 5 
 y = 5 – 4  y = 1
Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(2, 1)}
17.8

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
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▪ 2x + y = 4 → pontos de uma reta r
▪ x + 2y = 5 → pontos de uma reta s
▪ O ponto P, intersecção das retas r e s,
representa o par ordenado (1, 2); portanto,
o ponto P é a solução gráfica desse sistema.
17.9
1o caso
Interpretação gráfica de um sistema
linear com duas incógnitas

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Interpretando graficamente
as equações, temos:
Como as equações são representadas por retas paralelas e
distintas, não há intersecção entre elas, portanto não existe par
ordenado que seja solução do sistema.
(reta r)
(reta s)
17.10
2o caso

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
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CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Interpretando graficamente as equações do sistema
, temos:
Como as equações são representadas por retas coincidentes,
existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.
(reta r)
(reta s)
17.10
3o caso

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
CONEXÕES COM
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R2. Resolva o sistema de equações:
17.11
(I)
(II)

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De acordo com o número de soluções, um sistema linear é
classificado em:
a) sistema possível e determinado (SPD) → uma só solução;
b) sistema possível e indeterminado (SPI) → infinitas
soluções;
c) sistema impossível (SI) → nenhuma solução.
17.12
Classificação de um sistema linear

ANOTAÇÕES EM AULA
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ANOTAÇÕES EM AULA
Exemplos
Produção. Em uma loja de tintas, uma máquina mistura tinta látex
e corante conforme a cor escolhida pelo consumidor. O preço de
uma lata de tinta é calculado de acordo com as quantidades de
cada uma dessas substâncias. Vamos calcular a quantidade de litros
de látex e de corante para que a máquina, preenchendo latas de
20 litros, obtenha:
a) latas que custem R$ 100,00, se o preço do litro de látex for
R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 8,00.
17.13

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
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CONEXÕES COM
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Resolvendo esse sistema, obtemos:
x = 15 e y = 5
Logo, o conjunto solução é S = {(15, 5)},
isto é, o sistema tem apenas uma solução
e é um sistema possível e
determinado (SPD).
Representando graficamente o
sistema, temos:
17.13
a) Representando a quantidade, em litro, de látex e de corante por x
e y, respectivamente, construímos o sistema:
r ⋂ s = {P}  SPD
Exemplos

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Exemplos
b) Latas que custem R$ 80,00, se o preço do litro de látex for
Nesse caso, construímos o sistema:
A 2a equação é, em ambos os membros, o quádruplo da 1a equação,
representando assim a mesma informação. Algumas das infinitas
soluções para esse sistema são (1, 19), (2, 18), (3, 17) e (5,3; 14,7).
Observe que essas soluções são do tipo (20 – k, k), com
0 < k < 20 e k ∈ ℝ.
Logo, a solução S = {(20 – k, k) | k ∈ ℝ e 0 < k < 20} e o sistema é
um sistema possível e indeterminado (SPI).
17.13

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b) Representando graficamente o sistema, temos:
Note que os gráficos que representam as duas equações são
retas coincidentes, ou seja, as retas têm infinitos pontos em
comum.
17.13
r ⋂ s = r = s  SPI
Exemplos

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Exemplos
c) Latas que custem R$ 120,00, se o preço do litro de látex for
Para essa situação, vamos considerar o sistema:
Resolvendo o sistema, temos:
17.13
– 8x – 8y = –160
8y + 8y = 120
0x + 0y = –40 ⇒ 0 = –40 (falsa)
x + y = 20
8y + 8y = 120

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1.5CONEXÕES COM
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c) Ou seja, não há valores para x e y que tornem a sentença
verdadeira. Portanto, S = ∅ e o sistema é um sistema
impossível (SI).
Observe que os gráficos que
representam as duas equações
são retas paralelas e distintas,
ou seja, as retas não
possuem pontos em comum.
17.13
Exemplos

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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Lazer. Um jogo de computador tem início com a distribuição de
fichas coloridas aos participantes. Veja na tabela abaixo a
quantidade de fichas que cada jogador recebeu:
O programa atribui valores às fichas conforme sua cor. Para calcular
o valor de cada ficha, sabendo que, para cada jogador, a soma da
quantidade de fichas multiplicada por seus valores é zero,
montamos o seguinte sistema:
Azul Branca Cinza
Ari 3 2 1
Laís 1 2 3
João 5 6 7
17.14

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1.5CONEXÕES COM
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Neste caso, também há outras soluções. Pela substituição de a, b e c,
verificamos que, para  ∈ ℝ, o terno ordenado (, –2, ) é solução
do sistema:
Assim, para cada valor de  que substituímos no terno (, –2, ),
obtemos uma solução. Por exemplo, para  = 1, temos a solução
(1, –2, 1).
17.14
Exemplo

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Quando um sistema é formado apenas por equações
homogêneas, ou seja, quando todos os termos
independentes são nulos, o sistema é denominado
homogêneo.
Sistemas lineares homogêneos
Observe que todo sistema linear homogêneo com n incógnitas
admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução. Essa solução é
chamada solução nula, trivial ou imprópria.
Qualquer solução diferente de (0, 0, 0) para um sistema
homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria.
17.15

ANOTAÇÕES EM AULA
1.5CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Exemplos
17.15
▪
▪
▪
Sistemas lineares homogêneos

ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R3. Determine a, b e c para que o sistema a seguir seja
homogêneo:
17.16

ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
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Matriz associada a um sistema
Exemplo
a)
▪ Chamamos de matriz associada incompleta a matriz
, formada apenas pelos coeficientes das incógnitas
do sistema.
▪ Chamamos de matriz associada completa a matriz
, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos
termos independentes.
17.17
Todo sistema linear pode ser associado a matrizes.

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Matriz associada a um sistema
Exemplo
b)
matriz associada
incompleta
matriz associada
completa
17.17


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Representação matricial de um sistema
17.18
Exemplo
a)
A representação matricial associada a esse sistema
é dada por:
Podemos verificar se essa representação matricial está correta
efetuando a multiplicação de matrizes:
7 –4 ∙ x ⟶ 7x – 4y = –1
y
1 3 ∙ x ⟶ 1x + 3y = 7
y

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Exemplo
b)
Representação matricial:
Podemos verificar essa representação matricial efetuando a
multiplicação de matrizes:
17.18
Representação matricial de um sistema
1 0 2 ∙ x ⟶ 1x + 0y + 2z = 1
y
z
1 –2 1 ∙ x ⟶ 1x – 2y + 1z = 3
y
z

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R4. Resolva o sistema linear associado à equação matricial:
17.19

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Considere o sistema de equações:
Conceito da regra de Cramer aplicado
na resolução de um sistema linear 3×3
17.20
1o) Montamos a matriz associada incompleta e
calculamos seu determinante D.
▪ É importante observar que a regra de Cramer só pode
ser aplicada a sistemas n × n (com n equações e
n incógnitas) com D ≠ 0; portanto, se D = 0, não
podemos aplicá-la.
2o) Calculamos o determinante Dx, substituindo, na
matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes
de x pela coluna dos termos independentes.
D =
Dx =
Descrição do procedimento
Aplicação do
procedimento

ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Descrição do procedimento
Aplicação do
procedimento
17.20
3o) Calculamos o determinante Dy, substituindo, na
de y pela coluna dos termos independentes.
Dy =
4o) Calculamos o determinante Dz, substituindo, na
de z pela coluna dos termos independentes.
5o) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer:
Dz =
x =
y =
z =

ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Descrição do
procedimento
Aplicação do procedimento
17.21
1o) Resolvendo o sistema
pelo método da
adição, temos:
2o) Substituindo x em
qualquer das equações,
encontramos:
x = , se ad – bc ≠ 0
y = , se ad – bc ≠ 0

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ANOTAÇÕES EM AULA
17.21
3o) Observe agora os
determinantes de algumas
matrizes obtidas do sistema:
4o) Observando as equações dos
dois primeiros passos e os
determinantes, concluímos
que, se D ≠ 0, a solução do
sistema é dada por:
▪ D = = ad – bc
▪ Dx = = k1d – k2b
▪ Dy = = k2a – k1b
x =
y =

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Exemplo
a) Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer.
Primeiro, reescrevemos o sistema:
Depois, calculamos:
D = = –2, Dx = = –2 e Dy = = –6
Agora, usando a regra de Cramer, temos:
x = = 1 e y = = 3
Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 3)}
17.22

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Exemplo
b) Vamos encontrar a solução do sistema ,
usando a regra de Cramer:
D = = 62,
Dx = = 62, Dy = = –62 e Dz = = 0
Logo:
x = = 1, y = = –1 e z = = 0
Portanto, a solução do sistema é S = {(1, –1, 0)}
coluna dos termos independentes
17.22

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R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de
cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão,
arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo,
mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a
composição de cada cesta:
▪ cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão;
▪ cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão;
▪ cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão.
Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00,
R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada
produto citado?
17.23

ANOTAÇÕES EM AULA
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R6. Medição. Para se inscreverem em um concurso,
Bruna, Paula e Carla deviam informar, com exatidão,
quanto pesavam. Como não sabiam, precisaram usar
uma balança que estava no local da inscrição. No
entanto, a balança indicava apenas valores acima de
80 kg. Para resolver o problema, elas se pesaram duas
a duas. Descobriram que Bruna e Paula pesavam,
juntas, 95 kg; Paula e Carla, 110 kg; e Bruna e Carla,
106 kg. Determine quanto cada uma pesava no
ato da inscrição.
17.24

ANOTAÇÕES EM AULA
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CONEXÕES COM
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Dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando
têm o mesmo conjunto solução. Indicamos por S1 ~ S2.
Sistemas lineares equivalentes
Exemplo
a) S1= e S2 =
2 ∙ 2 + 3 = 7 (sentença verdadeira)
(2,3) é solução do sistema S1
2 + 3 = 5 (sentença verdadeira)
3 ∙ 2 + 3 = 9 (sentença verdadeira)
(2,3) é solução do sistema S2
7 ∙ 2 – 3 ∙ 3 = 5 (sentença verdadeira)
Como S = {(2,3)} é conjunto solução dos dois sistemas, S1 e S2 são
chamados de sistemas equivalentes: (S1 ~ S2)
17.25

ANOTAÇÕES EM AULA
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CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Exemplo
b) S1= e S2 =
2 + (–2) + 2 ∙  = 2 (sentença verdadeira)
2 ∙ 2 + (–2) + 2 ∙  = 4 (sentença verdadeira)
3 ∙ 2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙  = 6 (sentença verdadeira)
2 – (–2) – 2 ∙  = 2 (sentença verdadeira)
2 ∙ 2 – 3 (–2) – 6 ∙  = 4 (sentença verdadeira)
2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙  = 2 (sentença verdadeira)
Assim, se  = 1, o terno (2, –2, 1) é uma das infinitas soluções de S1 e S2.
Como S = {(2, –2, ) |  ∈ ℝ} é o conjunto solução dos dois sistemas,
temos S1 ~ S2.
Para todo número real ,
(2, –2, ) é solução de S1
(2, –2, ) também é
solução de S2
17.25
Sistemas lineares equivalentes

ANOTAÇÕES EM AULA
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R7. Verificar se os sistemas e
são equivalentes.
17.26
R8. Sabendo que os sistemas são equivalentes,
determine p e q.
S1 = e S2 =

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Um sistema é dito escalonado quando, de uma equação
para a seguinte, aumenta a quantidade de coeficientes
nulos antes do primeiro coeficiente não nulo.
Sistema escalonado
Exemplos
17.28
▪
▪
▪

ANOTAÇÕES EM AULA
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a)
Como o sistema já está escalonado, temos: z = 5
Substituindo z por 5 na 2a equação: 2y – 5 = 3 ⇒ y = 4
Agora, trocando z por 5 e y por 4 na 1a equação, obtemos:
2x – 4 + 5 = 2 ⇒ x =
Logo, há uma só solução: ( , 4, 5)
Portanto, o sistema é possível e determinado (SPD).
17.29
Resolução e classificação de um
sistema escalonado

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b) O sistema tem duas equações e três
incógnitas.
Se o sistema admite solução para z = k, sendo k real, ele é
equivalente ao sistema:
Resolvendo esse novo sistema, encontramos: y = 3k e x = 4 – 5k.
Atribuindo valores reais a k, obtemos soluções do sistema. Por
exemplo, fazendo k = –6, obtemos o terno (34, –18, –6), que
satisfaz o sistema.
Como k é um número real qualquer, o sistema tem infinitas soluções,
ou seja, é um sistema possível e indeterminado (SPI).
17.29
sistema escalonado

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Portanto, a solução do sistema será do tipo (4 – 5k, 3k, k), em
que k é real.
▪ É importante observar que, quando um sistema admite infinitas
soluções (SPI), chamamos a variável que assume o valor k,
real, de variável livre. Há sistemas com mais de uma variável
livre. Nesse exemplo, z é a única variável livre.
c) Na última equação do sistema , não há valores
para z que tornem a igualdade verdadeira 0z = 2, pois toda
multiplicação por zero resulta em zero. Sem solução, o
sistema é impossível (SI).
17.29
sistema escalonado

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Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas
equivalentes a ele, aplicando, total ou parcialmente, o
procedimento usado nos exemplos a seguir.
a) Vamos escalonar o sistema , adotando os
seguintes passos:
17.30
O processo do escalonamento

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1o) Escolhemos como 1ª equação
aquela cujo coeficiente da 1a
incógnita seja não nulo e, se
possível, igual a 1 ou a –1, o
que simplifica o processo.
Então, invertendo a posição
da 1a e da 2a equação, temos:
x + y – 2z = 3 (2a equação do sistema original)
3x – y + z = 5 (1a equação do sistema original)
2x + 3y – z = 7 (3a equação)
17.30

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2o) Anulamos os coeficientes de x
da 2a e da 3a equação.
Para isso vamos:
▪ Multiplicar a 1a equação por
–3 e somar a equação obtida
com a 2a;
▪ Multiplicar a 1a equação por
–2 e somar a equação obtida
com a 3a.
Depois substituímos as novas
equações no sistema anterior.
123123
17.30

ANOTAÇÕES EM AULA
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3o) Para facilitar a resolução,
vamos inverter a 2a e a 3a
equação do sistema anterior.
Assim, o coeficiente de y na
2a equação será 1.
4o) Anulamos o coeficiente de y
na 3a equação. Para isso,
vamos multiplicar a nova
2a equação por 4 e somar o
produto obtido com a nova
3a equação:
(3a equação do sistema anterior)
(2a equação do sistema anterior)
17.30

ANOTAÇÕES EM AULA
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5o) Após substituir a 3a equação
pela soma obtida, temos o
sistema escalonado:
x + y – 2z = 3
y + 3z = 1
19z = 0
17.30

ANOTAÇÕES EM AULA
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Com o sistema original escalonado, a resolução fica facilitada:
▪ da 3a equação, temos z = 0;
▪ substituindo z por 0 na 2a equação, obtemos y = 1;
▪ substituindo z por 0 e y por 1 na 1a equação, obtemos x = 2.
Portanto, a solução do sistema é: (2, 1, 0)
17.30

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R9. Escalonar e resolver o sistema:
17.31

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Discussão de um sistema linear
Discutir um sistema linear em função de um ou mais
parâmetros é indicar para quais valores desses parâmetros o
sistema é:
▪ possível e determinado (SPD);
▪ possível e indeterminado (SPI);
▪ impossível (SI).
17.32

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Sendo D o determinante da matriz associada incompleta
de um sistema linear de n equações e n incógnitas:
▪ D ≠ 0 ⇒ sistema possível e determinado (SPD);
▪ D = 0 ⇒ sistema possível e indeterminado (SPI) ou
sistema impossível (SI).
Aplicação do determinante
Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é
uma matriz quadrada (n × n), não é possível calcular seu
determinante, por isso aplicamos o método do
escalonamento para discutir esse sistema.
17.33

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Exemplo
a) Para discutir o sistema em função de k,
calculamos:
D = = k – 3
▪ D ≠ 0  k – 3 ≠ 0  k ≠ 3 SPD
▪ D = 0  k – 3 = 0  k = 3 SPI ou SI
Para saber o que ocorre com o sistema quando k = 3, ou seja, para
saber se o sistema é SPI ou SI, substituímos k por 3 no sistema
original e prosseguimos a análise:
17.34

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Exemplo
a) Dividindo todos os termos da 2a equação por 3, obtemos:
Substituindo I em II, obtemos 2 = 1, o que é absurdo!
Logo, o sistema é impossível (SI).
Conclusão:
17.34
(I)
(II)

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CONEXÕES COM
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Exemplo
b) Para discutir o sistema em função de m,
calculamos:
D = = 1 – m2
▪ D ≠ 0 ⇒ 1 – m2 ≠ 0  m ≠ ±1 ⇒ SPD
m = 1 ⇒ ⇒ SPI
▪ D = 0 ⇒ m = ±1
m = –1 ⇒ ⇒ SI
17.34

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R10. Discutir o sistema em função de k.
17.35
R11. Discutir o sistema

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Capítulo 18 – Análise combinatória
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Capítulo
18 Análise combinatória
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Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul
pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3
tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda
se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de
sanduíche Raul pode montar?
Situações envolvendo contagem
18.118.1

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Raul pode fazer três tipos de escolha:
▪ E1: pão francês (f) ou integral (i);
▪ E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou
hambúrguer (h);
▪ E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq).
18.1

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E1 E2 E3 Sanduíche
▪ Organizando as opções em um esquema, temos:
2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades
Esse tipo de
esquema é chamado
de árvore de
possibilidades,
também conhecido
como diagrama de
árvore ou diagrama
sequencial.
18.1
pão francês
pão integral
calabresa
presunto
hambúrguer
calabresa
presunto
hambúrguer
com queijo
com queijo
com queijo
com queijo
com queijo
com queijo
sem queijo
sem queijo
sem queijo
sem queijo
sem queijo
sem queijo
f c cq
f c sq
f p cq
f p sq
f h cq
f h sq
i c cq
i c sq
i p cq
i p sq
i h cq
i h sq

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CONEXÕES COM
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Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12
tipos de sanduíche.
18.1

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
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Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de
uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando
lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa
(k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos
obter cara (c) ou coroa (k).
18.2

CONEXÕES COM
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CONEXÕES COM
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Vamos representar esses lançamentos em uma árvore
de possibilidades:
18.2
cara
coroa
coroa
cara
coroa
cara cc
ck
kc
kk
1o lançamento 2o lançamento Resultado
2 possibilidades 4 possibilidades

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
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Outro recurso para representar todas as possibilidades é a
tabela de dupla entrada:
Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk.
Cara (c) Coroa (k)
Cara (c) cc ck
Coroa (k) kc kk
18.2

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Para calcular o número de resultados possíveis de um
acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades,
usamos o princípio multiplicativo, também conhecido
como princípio fundamental da contagem:
O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou
mais etapas.
Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas
sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se,
para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número
de maneiras de ocorrência do acontecimento é m ∙ n.
Princípio multiplicativo
18.3

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
18.4
R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório,
há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles
podem ocupar essas cadeiras?

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no
Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3
letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as
possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema?
(Considere o alfabeto com 26 letras.)
18.5
O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa
de automóvel:
3 letras 4 algarismos

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R3. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com
os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
18.6

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R4. Calcule a quantidade de números de 3 algarismos distintos
que podem ser formados com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8.
18.7

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R5. Quantos são os números de 4 algarismos distintos
formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e
divisíveis por 5?
18.8

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R6. Uma prova consta de 12 questões do tipo verdadeiro ou
falso. De quantos modos distintos é possível preencher o
gabarito de respostas?
18.9

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
O fatorial de um número natural n é representado por n!
(lemos: “n fatorial”) e é definido por:
▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1, para n ≥ 2
▪ 1! = 1
▪ 0! = 1
Fatorial de um número natural
Exemplos
a) 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
b) 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3.628.800
18.10

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Simplificação de expressões com fatorial
Ao representar n!, podemos fazer algumas substituições.
Observe:
▪ 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9!
9!
▪ n! = n ∙ (n – 1)!
▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2)! e assim por diante.
Esse tipo de substituição será muito usado nas simplificações
de expressões.
18.11

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
a)
b)
c)
Simplificação de expressões com fatorial
Exemplos
18.11

CONEXÕES COM
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R7. Calcule n sabendo que
18.12

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Quando trocamos a ordem das letras que formam uma
palavra, obtemos um anagrama dessa palavra, que pode ter
significado ou não. Vamos verificar, por exemplo, quantos
anagramas é possível formar com as letras da palavra AMOR.
Para a primeira letra, temos 4 possibilidades (A, M, O, R).
Depois dessa escolha, há 3 possibilidades para a escolha da
segunda letra, 2 para a terceira letra e 1 para a quarta letra.
Logo, pelo princípio multiplicativo, temos:
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, ou seja, 24 anagramas.
Anagramas
18.13

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Anagramas
Para determinar todos os anagramas, podemos fazer uma
árvore de possibilidades:
18.13
M A ROMA
1a letra 2a letra 3a letra 4a letra Anagrama
O
R
A
M
R
A
M
O
M
R
A
R
A
M
M
O
A
O
A
R
R
O
O
M
M
M
M
A
A
A
OAMR
OARM
OMRA
OMAR
ORAM
ORMA
RAMO
RAOM
RMAO
RMOA
ROAM
M
A
O
R
O
R
A
R
A
O
R
R
O
O
A
A
MAOR
MROA
MARO
MOAR
MORA
MRAO
A
M
O
R
O
R
M
R
M
O
R
R
O
O
M
M
AMOR
AROM
AMRO
AOMR
AORM
ARMO

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Cada um dos anagramas corresponde a uma permutação
simples das letras da palavra AMOR.
De uma permutação para outra, os elementos são sempre os
mesmos; eles apenas mudam de posição.
Anagramas
18.13

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Dado um conjunto de n elementos, chama-se
permutação simples dos n elementos qualquer
agrupamento ordenado (sequência) desses n elementos.
Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam
um todo com a finalidade de obter uma nova configuração.
Permutação simples
18.14
Indica-se por Pn o número de permutações simples de n
elementos.

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
O número de permutações simples de n elementos é
dado por:
Pn = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1,
ou Pn = n!
Número de permutações Simples
18.15

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Permutação com elementos repetidos
O número de permutações de n elementos, dos quais n1
é de um tipo, n2 de um segundo tipo, ..., nk de um
k-ésimo tipo, é indicado por e é dado por:
18.16

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R8. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o
motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros
podem ocupar os assentos do veículo?
18.17
R9. Considerando os anagramas da palavra EDITAR, quantos
apresentam:
a) as letras T, A e R juntas e nessa ordem?
b) as letras T, A e R juntas?
R10. Determine quantos anagramas da palavra ELEGER
começam por:
a) consoante;
b) vogal.

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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R11. Na figura abaixo, que representa parte do mapa de uma
cidade, as ruas são indicadas com a cor cinza.
Pedro sai de carro do ponto A e vai até o ponto B, dirigindo-se
sempre para o norte (N) ou para o leste (L), realizando, desse
modo, trajetórias de comprimento mínimo. Quantas são as
possíveis trajetórias que Pedro pode fazer?
18.20

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo
simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer
agrupamento ordenado (sequência) de p elementos
distintos, escolhidos entre os n possíveis.
Indica-se por An,p, ou o número de arranjos simples de n
elementos tomados p a p.
Arranjo simples
18.21

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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Vejamos como calcular o número de arranjos simples no caso
geral de n elementos tomados p a p, com 0 < p ≤ n,
indicado por .
Existem n possíveis escolhas para o primeiro elemento do
agrupamento, n – 1 possíveis escolhas para o segundo
elemento, n – 2 para o terceiro elemento, ..., n – (p – 1)
possíveis escolhas para o p-ésimo elemento do agrupamento.
Número de arranjos simples
18.22

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A MATEMÁTICA
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Então, aplicando o princípio multiplicativo, o número de
arranjos simples de n elementos p a p é:
An,p = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ [n – (p – 1)], 0 < p < menor ou igual > n.
p fatores
18.22

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Desenvolvendo a expressão do 2o membro e multiplicando-o
por , temos:
Então:
18.22
An,p =

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A MATEMÁTICA
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R12. Quantos números de 3 algarismos diferentes é possível
escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7?
18.23
R13. Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De
quantas formas 2 pessoas podem se sentar nessas
cadeiras, deixando ao menos uma cadeira entre elas?

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Dado um conjunto de n elementos, chama-se
combinação simples dos n elementos, tomados p a p,
qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de
p elementos escolhidos entre os n possíveis.
Indica-se por Cn,p ou o número de combinações simples de n
elementos tomados p a p, com p ≤ n.
Combinação simples
18.25

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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O número total de combinações de n elementos tomados p a p
é igual ao quociente entre o número de arranjos (An,p) e o
número de permutações (p!):
Portanto:
Número de combinações simples
18.26

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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R14. Dentre 10 alunos de uma turma de 3o ano, três serão
escolhidos para formar a comissão de formatura. De
quantos modos distintos é possível formar essa comissão?
18.27

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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R15. Loteria. Para fazer uma aposta da Lotofácil, devem-se
marcar 15 números entre os 25 que constam no volante.
De quantas maneiras é possível preencher um cartão
da Lotofácil?
18.28
REPRODUÇÃO

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A MATEMÁTICA
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R16. Geometria. Considerando 6 pontos, pertencentes a um
mesmo plano e distribuídos de tal forma que quaisquer 3
pontos não sejam colineares, determinar quantos triângulos
podem ser formados com 3 desses pontos como vértices.
18.29

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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R17. Para fazer um trabalho, os 30 alunos de uma turma
serão divididos em grupos de 4 pessoas. Há 20 garotas
e 10 garotos nessa turma. Quantas equipes diferentes
podem ser formadas:
a) se não houver restrições quanto ao sexo?
b) com 2 garotas e 2 garotos?
18.30

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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Dados dois números naturais n e k, com n ≥ k, chamamos de
coeficiente binomial n sobre k ou número binomial n sobre
k, e indicamos por , o número:
Dizemos que n é o numerador e k é o denominador do
coeficiente binomial.
Coeficiente binomial
18.31

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Exemplos
a) O coeficiente binomial 7 sobre 4 é:
b) O coeficiente binomial 11 sobre 2 é:
18.31

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Observe o cálculo do coeficiente binomial n sobre k para alguns
valores de k:
▪ Para k = 0:
▪ Para k = n:
▪ Para k = 1:
18.31

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Dois coeficientes binomiais são complementares se apresentam
o mesmo numerador e se a soma de seus denominadores é
igual a esse numerador, isto é:
são complementares se p + q = n
Coeficientes binomiais complementares
18.32

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Dois coeficientes binomiais são iguais se têm o mesmo
numerador e o mesmo denominador, ou se eles são
complementares.
Considerando dois coeficientes binomiais complementares
, temos:
Assim:
Igualdade de coeficientes binomiais
18.33

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A MATEMÁTICA
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Exemplos
a)
b)
c)
d)
Igualdade de coeficientes binomiais
18.33

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Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes
binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes
binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa
mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados
numa mesma coluna.
Triângulo de Pascal
18.34

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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18.34
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha n
coluna 0
coluna 1
coluna 2
coluna 3
coluna 4
coluna 5
coluna n

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Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos
outra representação para o triângulo de Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
18.34

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
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1a propriedade
Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam
por 1, pois esses elementos são do tipo = 1 e = 1
Exemplos
a) Na linha 6, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento
é = 1.
b) Na linha 12, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento
é = 1.
Propriedades do triângulo de Pascal
18.35

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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2a propriedade
Em qualquer linha do triângulo de Pascal, os coeficientes
equidistantes dos extremos são iguais.
A justificativa dessa propriedade está no fato de os coeficientes
equidistantes dos extremos serem representados por
coeficientes binomiais complementares.
18.35

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Exemplos
a) Na linha 5 do triângulo, temos:
b) Na linha 8 do triângulo, temos:
18.36

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3a propriedade – Relação de Stifel
Cada elemento , da linha n, coluna k, com 0 < k < n, é igual
à soma dos elementos que estão na linha n – 1, nas colunas
k –1 e k. Ou seja:
Essa é a chamada relação de Stifel.
18.37

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A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
18.37
Exemplo
3a propriedade – Relação de Stifel

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4a propriedade
A soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal é
igual a uma potência de 2, em que o expoente é igual à
posição da linha, ou seja, a soma dos elementos da linha n é
igual a 2n.
18.38

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Exemplo
Observe a soma dos elementos das primeiras 5 linhas do
triângulo de Pascal:
Linha 0 1 soma = 20 = 1
Linha 1 1 1 soma = 21 = 2
Linha 2 1 2 1 soma = 22 = 4
Linha 3 1 3 3 1 soma = 23 = 8
Linha 4 1 4 6 4 1 soma = 24 = 16
18.38

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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5a propriedade
A soma dos elementos da coluna k, desde o primeiro elemento
até o elemento da linha n, é igual a .
Exemplo
1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 1 + 2 + 3 = 6
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
18.39

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A MATEMÁTICA
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6a propriedade
A soma dos elementos da diagonal n, desde o primeiro
elemento até o elemento da coluna k, é igual a .
Exemplo
18.40
Diagonal 0
Diagonal 1
Diagonal 2
Diagonal 3
Diagonal 4
Diagonal 5
1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 + 3 + 6 = 10

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A MATEMÁTICA
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Na sequência (am, am+1, am+2, ..., an–1, an), a soma dos
termos am+ am+1 + am+2 + ... + an–1 + an pode ser
representada por com m e n naturais e m < n.
(lemos: “somatório de ai com i variando de m a n”).
Exemplos
a) 1 + 2 + 3 + ... + 100 =
b) 1 + + +...+ =
Somatório
18.41

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
a) Soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo
de Pascal:
b) Soma dos coeficientes binomiais da linha n do triângulo
de Pascal:
Somatório na representação da soma
de coeficientes binomiais
18.42

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
c) Soma dos coeficientes binomiais da coluna 3 do triângulo de
Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha 7:
d) Soma dos coeficientes binomiais da coluna k do triângulo de
Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha n:
18.42

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
e) Soma dos coeficientes binomiais da diagonal n do triângulo
de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da coluna k:
18.42

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
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R18. Resolva a seguinte equação:
18.43
R19. Calcule o valor de .

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Observe o desenvolvimento de (x + y)n para alguns valores
de n:
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = (x + y) = 1x + 1y
(x + y)2 = (x + y) ∙ (x + y) = 1x2 + 2xy + 1y2
(x + y)3 = (x + y) ∙ (x + y)2 = (x + y) ∙ (x2 + 2xy + y2) =
= 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
(x + y)4 = (x + y)2 ∙ (x + y)2= (x2 + 2xy + y2) ∙ (x2 +
+ 2xy + y2) = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
Binômio de Newton
18.45

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Note que os coeficientes do desenvolvimento de cada
potência (x + y)n são iguais aos elementos da linha n do
triângulo de Pascal:
Binômio de Newton
Linha 0 1 (x + y)0 =1
Linha 1 1 1 (x + y)1 =1x + 1y
Linha 2 1 2 1 (x + y)2 =1x2 + 2xy + 1y2
Linha 3 1 3 3 1 (x + y)3 =1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
Linha 4 1 4 6 4 1 (x + y)4 =1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3+ 1y4
18.45

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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Assim, podemos escrever:
Binômio de Newton
18.45

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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De maneira geral, sendo n um número natural, temos a seguinte
igualdade, conhecida como fórmula do binômio de Newton:
Binômio de Newton
18.45

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
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Um termo geral, que ocupa a posição k + 1 no desenvolvimento
de (x + y)n, é dado por:
Termo geral do binômio de Newton
18.46

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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R20. Desenvolva a potência (x – 3)5 usando a fórmula do
binômio de Newton.
18.47
R21. Calcule o valor de m sabendo que:
R22. Determinar o décimo sexto termo do desenvolvimento do
binômio (3p + q3)16, com os termos ordenados por
expoentes decrescentes de p.
R23. Verifique se há termo independente de x no
desenvolvimento de .

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
R24. Determinar o coeficiente que multiplica o termo em que
aparece x2 no desenvolvimento da expressão:
18.51
(x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 19 – Probabilidade
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Capítulo
19 Probabilidade
ANOTAÇÕES EM AULA

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
▪ Experimento aleatório é todo experimento que, quando
repetido várias vezes e sob as mesmas condições, apresenta,
entre as possibilidades, resultados imprevisíveis.
▪ Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o
conjunto de todos os resultados possíveis desse
experimento.
▪ Evento (E) é todo subconjunto do espaço amostral do
experimento aleatório.
Experimento aleatório, espaço amostral
e evento
19.1

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exemplo
a) Quando se retira uma bola de uma urna que contém 50 bolas
numeradas de 1 a 50, um evento possível é: a bola retirada conter
um número primo menor que 20.
O espaço amostral desse experimento é S = {1, 2, ..., 50} e o evento
é E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
O número de elementos do conjunto S é n(S) = 50 e o do conjunto E
é n(E) = 8.
19.1
e evento

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exemplo
b) No sorteio de uma carta de um baralho honesto de 52 cartas, um
possível evento é: a carta sorteada ser de copas e com figura.
O espaço amostral desse experimento é o conjunto S = {ás de copas,
2 de copas, ..., rei de copas, ás de ouros, 2 de ouros, ..., rei de ouros,
ás de espadas, ..., rei de espadas, ás de paus, ..., rei de paus}.
O evento é o conjunto E = {valete de copas, dama de copas, rei
de copas}. Nesse experimento, n(S) = 52 e n(E) = 3.
19.1
e evento

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Vamos considerar o experimento aleatório “lançar um dado
cúbico e registrar o número representado na face voltada
para cima”.
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
Alguns exemplos de eventos:
▪ E1: o número é 5 → E1 = {5} e n(E1) = 1
Quando o evento é um subconjunto unitário do espaço
amostral, é denominado evento simples ou evento
elementar.
Eventos
19.2

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
▪ E2: o número é menor ou igual a 6 → E2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e
n(E2) = 6
Se coincidir com o espaço amostral, o evento é chamado
evento certo. E2 é um evento certo.
▪ E3: o número é maior que 6 → E3 =  e n(E3) = 0
Nesse caso, se for o conjunto vazio, o evento será chamado
evento impossível.
19.2
Eventos

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
▪ E4: o número é par → E4 = {2, 4, 6} e n(E4) = 3
▪ E5: o número é ímpar → E5 = {1, 3, 5} e n(E5) = 3
Note que E4 ∩ E5 = . Quando dois eventos não têm elementos
comuns, ou seja, quando a intersecção desses eventos é o
conjunto vazio, eles são denominados eventos mutuamente
exclusivos.
19.2
Eventos

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
No caso desses eventos, temos ainda que E4 ∩ E5 = {1, 2, 3, 4,
5, 6} = S.
Dois eventos que não têm elementos comuns e cuja união é
igual ao espaço amostral são denominados eventos
complementares.
Indicamos o complementar de um evento E por E.
19.2
Eventos

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
R1. Lançando dois dados, um vermelho e um azul, e
considerando as faces voltadas para cima:
a) quantos elementos há no espaço amostral?
b) em quantos casos a soma dos números das faces superiores
é maior que 8?
c) em quantos casos o produto dos números das faces
superiores é igual a 28?
19.3

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
R2. Cada um dos números 1, 2, 3 e 4 é escrito em um pequeno
cartão, que é depositado em uma caixa. Sabendo que dois
cartões são sorteados aleatoriamente, um após o outro,
determinar o espaço amostral quando esse experimento
é realizado:
a) com reposição dos cartões;
b) sem reposição.
19.4
ADILSONSECCO

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Acompanhe a situação a seguir.
Genética. Suponha que um casal queira ter dois filhos.
Cada um dos filhos poderá ser do sexo masculino (M) ou do
sexo feminino (F). Sabendo que a chance de nascer um filho
do sexo masculino é igual à de nascer um filho do sexo
feminino, independentemente do sexo dos filhos anteriores,
qual é a chance de esse casal gerar dois filhos do sexo
masculino (M, M)?
Espaço amostral equiprovável
19.5

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Para responder a essa questão, determinamos o espaço
amostral S e o evento E (dois filhos do sexo masculino):
▪ S = {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F)}
▪ E = {(M, M)}
Observe que: n(E) = 1 e n(S) = 4
Assim, a chance de o casal gerar dois filhos do sexo masculino
é de 1 para 4, ou .
19.5

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Nessa situação, consideramos que, para cada evento simples,
existe a mesma chance de ocorrência. Quando adotamos esse
critério em um espaço amostral finito, esse espaço é
denominado espaço amostral equiprovável.
19.5

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Em um espaço amostral S equiprovável, finito e não
vazio, a probabilidade de ocorrência de um evento E,
indicada por P(E), é a razão entre o número de
elementos do evento, n(E), e o número de elementos
do espaço amostral, n(S):
Definição de probabilidade
19.6

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Podemos representar a probabilidade de um evento nas formas
fracionária, decimal ou percentual. No caso do nosso exemplo,
a probabilidade de o casal ter dois filhos do sexo masculino é:
19.6
Definição de probabilidade

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A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Seja E um evento e S o espaço amostral finito, não vazio,
de um experimento aleatório, temos:
▪ Se E é um evento impossível, então: P(E) = 0
▪ Se E é um evento certo, então: P(E) = 1
Consequências da definição
19.7

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A MATEMÁTICA
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A MATEMÁTICA
R3. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a
face superior apresentar:
a) o número 3 (evento E1)?
b) um número menor que 7 (evento E2)?
c) um número menor que 1 (evento E3)?
d) um divisor da soma dos pontos de todas as faces do dado
(evento E4)?
19.8

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R4. No lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado,
determinar:
a) o espaço amostral;
b) o número de elementos do evento E1: coroa na moeda e
face par no dado; e a probabilidade de ocorrência de E1;
c) a probabilidade de ocorrência do evento E2: face 3 no dado;
d) a probabilidade de ocorrência do evento E3: coroa na moeda.
19.9

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A MATEMÁTICA
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R5. Uma equipe de doze pessoas é formada por nove homens e
três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para
compor uma comissão. Qual é a probabilidade de a
comissão ser formada por:
a) duas mulheres?
b) dois homens?
c) um homem e uma mulher?
19.10

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral S, a
probabilidade da intersecção de A e B, representada por
P(A ∩ B), é dada por:
Intersecção de dois eventos
19.11

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A MATEMÁTICA
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Vamos considerar dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral
S, finito e não vazio, para os quais temos:
União de dois eventos
19.12
n(E1 ∪ E2) = n(E1) + n(E2) – n(E1 ∩ E2)

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Dividindo os membros da igualdade por n(S):
Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento união de
E1 e E2 é dada por:
19.12
União de dois eventos

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Quando dois eventos, E1 e E2, são mutuamente exclusivos,
eles não têm elementos comuns, ou seja, E1 ∩ E2 = ,
e n(E1 ∩ E2) = 0.
Eventos mutuamente exclusivos
19.13

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P (E1 ∩ E2) = P(E1) + P(E2)
Então:
Logo, a probabilidade da união de eventos mutuamente
exclusivos é:
19.13
Eventos mutuamente exclusivos

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Se dois eventos, E1 e E2, de um espaço amostral S são
complementares, ou seja, se E1 ∩ E2=  e E1 ∪ E2 = S, então:
Portanto, se E1 e E2 são eventos complementares:
Eventos complementares
19.14
P (E1) + P(E2) = 1

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R6. Em uma reunião, há 16 homens e 20 mulheres. Metade dos
homens e metade das mulheres usam óculos. Ao escolher
uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ela
ser homem ou usar óculos?
19.15

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R7. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular:
a) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja
par ou múltiplo de 5;
b) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja
par e maior que 10 ou o menor número primo.
19.16

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R8. Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas, os resultados
indicaram que 25 pessoas ouvem FM, 20 pessoas ouvem
AM e 20 pessoas não costumam ouvir rádio. Calcular a
probabilidade de, ao selecionar uma dessas pessoas, ela
ouvir ambas as frequências.
19.17

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Genética. Um casal deseja ter mais dois filhos além do
primogênito. Qual é a probabilidade de o casal formar uma
família com dois meninos e uma menina se o primeiro filho é
do sexo masculino?
Vamos representar o espaço amostral S adotando M para
masculino e F para feminino:
S = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M),
(F, M, F), (F, F, M), (F, F, F)}
Definição de probabilidade condicional
19.18

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Então: n(S) = 8
▪ Evento A: nascimento de dois meninos e uma menina
A = {(M, M, F), (M, F, M), (F, M, M)}; n(A) = 3 e P(A) =
▪ Evento B: primogênito do sexo masculino
B = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F)}; n(B) = 4 e
P(B) = =
19.18

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Indicamos o evento A, condicionado ao fato de o evento B
já ter ocorrido, por A / B, e a probabilidade condicional
de ocorrer A, já tendo ocorrido B, por P(A / B).
Na situação anterior, P(A / B) é a probabilidade de o casal ter
dois meninos e uma menina dado que o primogênito
é menino.
Note que o evento B modifica a condição e a probabilidade do
evento A, pois, a partir da ocorrência de B, o espaço amostral
passa a ser o conjunto B, não mais o conjunto S.
19.18

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P(A / B) =
Como: A ∩ B = {(M, M, F), (M, F, M)}, n(A ∩ B) = 2
e P(A ∩ B) =
Temos:
19.18
Portanto:

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Assim, a probabilidade de o casal ter dois meninos e uma
menina, se o primeiro filho é menino, é de 50%.
Definimos, então:
19.18
P(A / B) = , com P(B) > 0,
ou P(A ∩ B) = P(B) ∙ P(A / B)

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R9. De um baralho comum, são retiradas 2 cartas, uma a uma
e sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas
cartas sejam de copas?
19.19

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Dois eventos, A e B, são eventos independentes se a
ocorrência de um deles não afeta a ocorrência do outro, isto é,
se: P(A / B) = P(A) e P(B / A) = P(B).
Para a ocorrência simultânea dos dois eventos independentes,
substituímos P(A / B) por P(A) em P(A ∩ B) = P(B) ∙ P(A / B)
e temos:
Eventos independentes
19.20
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)

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Assim, dois eventos são eventos dependentes quando a
probabilidade de ocorrência de um deles é afetada pela
ocorrência do outro. Nesse caso: P(A ∩ B)  P(A) ∙ P(B)
Observação
A probabilidade de ocorrência de mais de dois eventos
independentes é igual ao produto das probabilidades de cada
um dos eventos.
19.20
Eventos independentes

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R10. Em uma turma de 30 alunos, cada aluno estuda uma
língua estrangeira e outra disciplina, de acordo com
a tabela:
a) Calcular a probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso,
estudar Química, sabendo que ele estuda Francês.
b) Verificar se os eventos “aluno estuda Química” e “aluno
estuda Francês” são eventos independentes.
Química (Q) História (H) Biologia (B) Total
Francês (F) 10 3 5 18
Espanhol (E) 5 6 1 12
Total 15 9 6 30
19.21

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Torneio. Jaime vai participar de um torneio de tênis de mesa
composto de 3 jogos. Em cada jogo, Jaime só pode ganhar ou
não ganhar.
Vamos representar por p a probabilidade de Jaime ganhar um
jogo e por q a de não ganhar. Vamos ainda supor que p seja
constante para os três jogos. Como não há empate, ganhar e
não ganhar são eventos complementares, logo:
p + q = 1
Análise do método binomial por
árvore de possibilidades
19.22

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Podemos representar todas as possibilidades desse torneio em
uma árvore de possibilidades. Veja:
19.22
1º jogo 2º jogo 3º jogo Probabilidade
ppp = p3
ppq = p2q
pqp = p2q
pqq = pq2
qpp = p2q
qpq = pq2
qqp = pq2
qqq = q3
Jaime
ganha
(p)
não ganha
(q)
não ganha
(q)
ganha
(p)
não ganha
(q)
ganha
(p)
não ganha
(q)
ganha
(p)
não ganha
(q)
ganha
(p)
não ganha
(q)
ganha
(p)
não ganha
(q)
ganha
(p)

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A MATEMÁTICA
Na representação por árvore de possibilidades, temos,
considerando os 3 jogos, a probabilidade de Jaime:
▪ ganhar 3 jogos, representada por p3;
▪ ganhar 2 jogos, representada por 3 p2q;
▪ ganhar 1 jogo, representada por 3 pq2;
▪ não ganhar jogo algum, representada por q3.
Esses resultados são os termos do desenvolvimento do
binômio (p + q)3.
Observe: (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
19.22

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A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Retomando a situação anterior, vamos calcular a
probabilidade de Jaime vencer 3 de 5 partidas disputadas.
Antes de calcular a probabilidade de ocorrer o evento E
(“Jaime vencer 3 partidas em 5 disputadas”), vamos calcular
a probabilidade de ocorrer o evento A (“Jaime vencer as 3
primeiras partidas e perder as 2 seguintes”).
Formalização do método binomial
19.23

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Para cada jogo, suponha que a probabilidade de Jaime vencer
é p = , e a probabilidade de Jaime não vencer é q = .
Assim:
19.23
P(E) =

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Como Jaime pode vencer quaisquer 3 das 5 partidas
disputadas, devemos contar o total de permutações das 5
partidas, sendo 3 com vitória e 2 com derrota. Recorrendo a
uma ferramenta da Análise combinatória (permutação com
repetição), determinamos de quantas maneiras podem ocorrer
3 vitórias e 2 derrotas em 5 partidas disputadas:
19.23

CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
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CONEXÕES COM
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Portanto, a probabilidade de Jaime vencer 3 das 5 partidas
disputadas é:
19.23
P(E) = = 31,25%

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A MATEMÁTICA
Essa situação é um exemplo de aplicação do método
binomial para o cálculo de probabilidades.
Nela, há somente duas possibilidades com suas respectivas
probabilidades: vencer (p) ou não vencer (q).
19.23

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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Se, para determinado evento, há somente duas
possibilidades, sucesso ou insucesso, cujas probabilidades
são, respectivamente, p e q, temos, para a probabilidade
de ocorrer m vezes o resultado procurado, em um total
de n repetições do experimento, a expressão:
19.23

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A MATEMÁTICA
Jogando um dado cinco vezes, qual é a probabilidade de sair a
face de número 3 em dois dos cinco lançamentos?
Vamos considerar o evento E: “sair a face de número 3 em dois
dos cinco lançamentos”.
A probabilidade de sair a face de número 3 em um lançamento é
de , e a probabilidade de não sair a face de número 3 é de .
Exemplo
19.24

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Assim, para sair face 3 em dois dos cinco lançamentos, temos:
P(E) = 16,08%
Portanto, a probabilidade é, aproximadamente, 16,08%.
19.24
Exemplo

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R11. Em uma escola, 46% dos alunos são do sexo feminino.
Num sorteio de 4 alunos, qual é a probabilidade de saírem:
a) duas pessoas do sexo feminino?
b) quatro pessoas do sexo feminino?
19.25

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R12. Um bom jogador de basquete consegue média de 90% de
acertos em lances livres. Sofrendo uma falta, esse jogador
tem direito a três lances livres. Qual é a probabilidade de
ele acertar pelo menos um lance livre?
19.26

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