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Matrizes e determinantes

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Fernando Reis

Matrizes

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1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Capítulo 16 Matrizes e determinantes Animação: Matrizes Multimídia CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes 16.1 Define-se matriz do tipo m × n (lemos “m por n”) uma tabela com m ∙ n números dispostos em m linhas e n colunas. Os números que compõem uma matriz são chamados elementos ou termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se os elementos entre colchetes, [ ], ou entre parênteses, ( ). Definição de matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplos a) é uma matriz do tipo 3 × 2 (lemos: “três por dois”). b) é uma matriz do tipo 3 × 3 (lemos: “três por três”). c) é uma matriz do tipo 2 × 1 (lemos: “dois por um”), que, por ter uma só coluna, recebe o nome especial de matriz coluna. d) é uma matriz do tipo 1 × 4 (lemos: “um por quatro”), que, por ter uma só linha, é chamada matriz linha. 16.1 Definição de matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O tipo da matriz também pode ser indicado ao lado dela, na extremidade inferior direita. a) b) 16.1 2 × 4 3 × 5 Definição de matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida por determinada linha e determinada coluna, nessa ordem. Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo símbolo aij, em que i indica a linha que o elemento ocupa e j indica a coluna. Genericamente, uma matriz A é representada por A = (aij)m × n, em que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i e j  ℕ. 16.2 Representação genérica de uma matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A = m × n 16.2 Uma matriz A, do tipo m × n, pode ser representada por: Representação genérica de uma matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R1. Escrever a matriz A = (aij)2 × 3 na qual aij = i + 2j. 16.3 R2. Escrever a matriz A = (aij)3 × 2 em que aij =
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Igualdade de matrizes Quando duas matrizes A e B são de mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes. 16.5 A = B = Exemplo Nessas matrizes, os elementos correspondentes são: a11 e b11 a13 e b13a12 e b12 a21 e b21 a31 e b31 a22 e b22 a23 e b23 a33 e b33a32 e b32
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Duas matrizes A e B são matrizes iguais quando são do mesmo tipo e têm os elementos correspondentes iguais. 16.6 Igualdade de matrizes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R3. Determinar os valores de x, y e z que tornam as matrizes A e B iguais. 16.7 A = B =
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R4. Determinar os valores de x e y que tornam as matrizes A e B iguais. A = B = 16.8
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Uma matriz que tem todos os elementos iguais a zero é denominada matriz nula. Indica-se uma matriz nula do tipo m × n por: 0m × n a) 03 × 2 = b) 02 × 4 = 16.9 Exemplos Matriz nula
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas é chamada matriz quadrada. Nesse caso, consideramos que a matriz com m linhas e m colunas é do tipo m × m, ou que a matriz é de ordem m. a) A = é uma matriz quadrada 2 × 2 ou, simplesmente, matriz de ordem 2. b) B = é uma matriz quadrada 3 × 3 ou matriz de ordem 3. 16.10 Exemplos Matriz quadrada
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Diagonais de uma matriz quadrada Toda matriz quadrada de ordem n tem duas diagonais. Os elementos aij com i = j formam a diagonal principal da matriz; os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária da matriz. A = diagonal secundária diagonal principal 16.11 Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Matriz identidade Chamamos matriz identidade a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero. Assim, em qualquer matriz identidade, temos: aij = Indicamos uma matriz identidade de ordem n por: In a) i3 = b) i5 = 16.12 Exemplos
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Matriz diagonal Uma matriz é denominada matriz diagonal se é quadrada e todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. a) b) I2 = 16.13 Exemplos c) 04 × 4 =
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dada uma matriz A do tipo m × n, denominamos matriz transposta de A a matriz do tipo n × m cujas linhas são, ordenadamente, iguais às colunas de A. Assim, se (a’ij)n × m é transposta de (aij)m × n, temos: a’ij = aji Indicamos a matriz transposta de A por At. 16.14 Matriz transposta
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplos a) A = b) B = então At = então Bt = 16.14 Matriz transposta
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com sua transposta, isto é, se A = At. a) A = é simétrica, pois A = At = b) B = é simétrica, pois B = Bt = Observe que, em uma matriz simétrica, quaisquer dois elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais. diagonal principal diagonal principal 16.15
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R5. Determinar a matriz transposta At da matriz A = 16.16
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (aij)m × n e B = (bij)m × n, a matriz soma A + B é a matriz C = (cij)m × n, na qual cij = aij + bij para todo i e todo j. Adição de matrizes Considere as matrizes A e B: A = e B = Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos correspondentes de A e B: C = + = = 16.17 Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz oposta de A, e indica-se por –A, a matriz que somada com A resulta na matriz nula de mesmo tipo, ou seja: A + (–A) = 0m × n + = Matriz oposta Se A = , então –A = , pois: 16.18 Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Propriedades da adição de matrizes Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0m × n, todas de mesmo tipo, valem as seguintes propriedades: ▪ Comutativa: A + B = B + A ▪ Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) ▪ Existência do elemento neutro: A + 0m × n = 0m × n + A = A ▪ Existência do elemento oposto: A + (–A) = (–A) + A = 0m × n ▪ Cancelamento: A + C = B + C  A = B 16.19
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo, é a soma da matriz A com a oposta de B, isto é: A – B = A + (–B). Subtração de matrizes Sejam: A = e B = A – B = A + (–B) = – = = + = 16.20 Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R6. Dadas as matrizes A = e B = , obter uma matriz X2 × 2 tal que A + X = B. 16.21
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Sejam a matriz A = (aij)m × n e k um número real, então k ∙ A é uma matriz do tipo m × n obtida pela multiplicação de k por todos os elementos de A, ou seja, kA = (kaij). Multiplicação de um número real por uma matriz Se A = e k = 3, então: k ∙ A = 3 ⋅ = = 16.22 Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R7. Determinar a matriz X na equação: 16.23 R8. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X + B sabendo que: A = e B = . R9. Determinar as matrizes X e Y tais que em que A = e B = .
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dadas as matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)n × p, o produto de A por B é a matriz C = (cij)m × p, na qual cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B. Multiplicação de matrizes 16.26
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes iguais 16.26 Multiplicação de matrizes O produto das matrizes A e B, indicado por A ∙ B, só é definido se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Esse produto terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B. Am  n ∙ Bn  p = C m  p
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Dadas as matrizes A = e B = , vamos determinar A ∙ B. Como a matriz A é do tipo 2 × 3 e a matriz B é do tipo 3 × 2, existe o produto A ∙ B (pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B). Então: A ∙ B = C, sendo C = (cij)2 × 2 16.26 Multiplicação de matrizes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo: ▪ c11: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela 1a coluna de B; ▪ c12: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela 2a coluna de B; ▪ c21: multiplicamos, ordenadamente, a 2a linha de A pela 1a coluna de B; ▪ c22: multiplicamos, ordenadamente, a 2a linha de A pela 2a coluna de B. 16.26 Multiplicação de matrizes Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = = Assim, temos: C = Logo: C = 16.26 Multiplicação de matrizes Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades: ▪ Associativa: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) ▪ Distributiva à direita: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C ▪ Distributiva à esquerda: C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙ Propriedades da multiplicação de matrizes 16.27
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = e B ∙ A = Dadas as matrizes A = e B = , obtemos os seguintes produtos: Observe que A ∙ B ≠ B ∙ A. 16.27 Observe a seguir que nem sempre temos A ∙ B = B ∙ A. Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes. Propriedades da multiplicação de matrizes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = e A ∙ C = Dadas as matrizes A = , B = e C = , obtemos: Observe que A ∙ B = A ∙ C, mas B ≠ C. Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos concluir, com base em A ∙ B = A ∙ C, que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo. 16.27 Propriedades da multiplicação de matrizes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = , que é a matriz nula. Dadas as matrizes A = e B = , obtemos o produto: Observe que A ≠ 0 e B ≠ 0. Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode ser uma matriz nula. Veja: 16.27 Propriedades da multiplicação de matrizes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R10. Resolver a equação matricial: X ∙ = 16.28
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B, quadrada de mesma ordem, tal que A ∙ B = B ∙ A = In, então B será a matriz inversa de A, indicada por A–1. Matriz inversa Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível ou não singular. 16.29
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A–1 ∙ A= = Exemplo A inversa da matriz A = é matriz A–1 = , pois: A ∙ A–1 = = e Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se A ∙ B = I, então B ∙ A = I. 16.29 Matriz inversa
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R11. Determinar, se existir, a inversa das matrizes: a) 16.30 b)
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. Determinante de uma matriz Para representar o determinante de uma matriz A (indicado por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples: ▪ A = e det A = ▪ A = [4] e det A = |4| ▪ A = e det A = 16.31
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, A = (a11), é o próprio elemento de A. det A =|a11|= a11 Determinante de uma matriz de ordem 1 a) A = (4)  det A = |4| = 4 b) B =  det B = | | = 16.32 Exemplos
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, A = , é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. det A = = Determinante de uma matriz de ordem 2 a) A = det A = b) B = det B = 16.33 Exemplos
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o procedimento explicado a seguir. Determinante de uma matriz de ordem 3 Considere a matriz: A = 16.34
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 16.34 1o) Ao lado da matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas. 2o) Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção dessa diagonal, multiplicam-se os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita. Determinante de uma matriz de ordem 3
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 16.34 3o) Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção dessa diagonal, os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita. 4o) O determinante da matriz é obtido pela diferença entre as somas dos produtos do 2o e do 3o passo, nessa ordem. det A = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) Determinante de uma matriz de ordem 3
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo a) Considerando a matriz A = , temos: –6 12 0 10 –8 0 Assim: det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4 16.35 Determinante de uma matriz de ordem 3
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes b) Considerando a matriz B = , temos: –12 –72 54 –108 –18 24 Assim: det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72 16.35 Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R12. Determinar x para que a igualdade a seguir seja verdadeira. = 0 16.36
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R13. Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da fórmula: ARST = , em que D = Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3 tal que: a 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos, a 2a, pelas ordenadas e a 3a por 1. Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3). 16.37
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se cofator de um elemento aij de A o número real Aij = (–1)i + jDij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o elemento aij. Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz 16.38
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplos a) Seja A = Eliminando a 1a linha e a 2a coluna de A, obtemos A12 = (–1)1+2 ∙ Logo, A12 = –7 é cofator do elemento a12. 16.38 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes b) Seja B = Eliminando a 3a linha e a 4a coluna de B, obtemos B34 = (–1)3+4 ∙ Logo, B34 = 108 é cofator do elemento b34. 16.38 Exemplos Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Teorema de Laplace 16.39 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A = Exemplo Escolhendo a 1a linha, temos: det A = 1 ∙ A11 + 2 ∙ A12 + (–3) ∙ A13 + 0 ∙ A14 det A = 1 ∙ (–1)2 ∙ + 2 ∙ (–1)2 ∙ + + (–3) ∙ (–1)4 ∙ + 0 ∙ 16.39 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Não é necessário calcular A14, pois: 0 ∙ A14 = 0 Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43 Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou coluna que tiver mais zeros. 16.39 Observação Exemplo Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R14. Calcular o determinante da matriz A = 16.40
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0. Simplificação do cálculo de determinantes 16.41 1a propriedade: Fila nula
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo A = ⇒ det A = det A = 0 ⋅ (–1)2+1 + 0 ⋅ (–1)2+2 ⋅ + 0 ⋅ (–1)2+3 + 0 ⋅ (–1) 2+4 ⋅ det A = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 Simplificação do cálculo de determinantes 1a propriedade: Fila nula 16.41
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0. 2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais 16.42 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes a) Seja A = det A = –28 + 252 + 240 – (252 + 240 – 28) = 0 b) Considerando a matriz B = , temos: det B = 18 + 24 + 16 – (18 + 16 + 24) = 0 16.42 Simplificação do cálculo de determinantes 2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se uma fila de uma matriz quadrada A for uma combinação linear de outras filas paralelas, então det A = 0. 3a propriedade: Combinação linear 16.43 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja a matriz A = Temos: det A = 10 – 2 + 0 – (0 – 0 + 8) = 0. Observe que nessa matriz a 3a coluna é uma combinação linear das outras duas colunas (os elementos dessa coluna são iguais a 2 vezes os elementos da 1a coluna somados aos opostos dos elementos da 2a coluna). 16.43 Simplificação do cálculo de determinantes 3a propriedade: Combinação linear Exemplo
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta. 4a propriedade: Determinante da matriz transposta 16.44 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Seja A = Então: det A = 16 + 0 – 20 – (–3 + 0 + 0) = – 1 At = det At = 16 – 20 + 0 – (–3 + 0 + 0) = –1 16.44 4a propriedade: Determinante da matriz transposta Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da matriz obtida fica multiplicado por k. 5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante 16.45 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Multiplicando a 2a coluna de A por –3, temos: B = Assim: det B = –45 + 108 + 0 – (18 + 12 – 0) = 33. Logo: det B = (–3) ∙ det A 16.45 Se A = , então: det A = 15 – 36 – 0 – (–6 – 4 + 0) = –11 5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante de A. 6a propriedade: Troca de filas paralelas 16.46 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Se A = , então: det A = 21 + 40 – 0 – (12 – 5 + 0) = 54 Trocando a 1a e a 3a linhas de posição, temos: B = Assim: det B = 12 – 5 + 0 – (21 + 40 – 0) = –54 Logo: det B = –det A 16.46 6a propriedade: Troca de filas paralelas Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos, o determinante de A é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 7a propriedade 16.47 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo 7a propriedade Considerando a matriz A = , temos: det A = 1 ∙ 2 ∙ 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8 16.47 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Em uma matriz quadrada A de ordem n, se multiplicarmos os elementos de uma fila por uma constante qualquer e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de uma fila paralela, obteremos uma matriz B tal que det B = det A. Teorema de Jacobi 16.48 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Dada a matriz M = , temos: det M = 0 + 10 + 6 – (–10 – 2 + 0) = 28 ▪ Triplicando os elementos da 3a coluna de M e somando aos da 1a coluna de M, obtemos: N = det N = 0 + 10 + 12 – (–10 + 4 + 0) = 28 16.48 Teorema de Jacobi Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo P = det P = –20 – 50 + 18 – (–30 + 10 – 60) = 28 16.48 ▪ Calculando o oposto do dobro dos elementos da 1a coluna de M e somando aos da 3a coluna de M, obtemos: Teorema de Jacobi Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B) Teorema de Binet 16.49 Exemplo Sendo A = e B = , temos: det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60 A ∙ B = = , logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60 Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B) Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A–1 a sua inversa: Determinante da matriz inversa A ∙ A–1 = In e det (A ∙ A–1) = det In Pela 7a propriedade, sabemos que: det In = 1n = 1 Aplicando o teorema de Binet, temos: det A ∙ det A–1 = 1 16.50 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Como o produto dos determinantes é não nulo, cada fator é não nulo, isto é, det A ≠ 0; assim: det A–1 = Determinante da matriz inversa Verificamos também que, se det A ≠ 0, então A é uma matriz invertível. 16.50 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Determinante da matriz inversa Sendo A = , então: det A = 0 + 20 + 0 – (8 + 15 + 0) = –3 Portanto: det A–1 = 16.50 Simplificação do cálculo de determinantes
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R15. Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que det A = 3. Sabendo que a matriz B é da forma B = 2 ∙ A, calcular seu determinante. 16.51
1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R16. Calcular o determinante da matriz A = 16.52
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Capítulo 17 Sistemas lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Uma companhia de navegação utiliza dois tipos de recipiente para carga, A e B, que acondicionam mercadorias em contêineres de dois tipos, I e II. A quantidade de contêineres de cada tipo que cabem em cada recipiente é dada pela tabela a seguir. Sistemas lineares Tipo de recipiente I II A 4 3 B 5 2 17.1
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Para determinar o número de recipientes x1 e x2 de cada tipo, sabendo que a companhia deve transportar 42 contêineres do tipo I e 27 do tipo II, podemos montar um sistema: As equações desse sistema são do 1o grau e são chamadas de equações lineares. 17.1 Sistemas lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Equação linear é toda equação que pode ser escrita a1x1 + + a2x2 + ... + anxn = b, em que x1, x2,..., xn são incógnitas; os números reais a1, a2, ..., an são os coeficientes das incógnitas; e o número real b é o termo independente. Quando o termo ndependente é nulo, a equação linear é chamada de homogênea. Equações lineares Exemplos de equações lineares ▪ x1 + 3x2 – x3 = 7 ▪ x – w = 3 ▪ –x1 + 1,5x2 = 0 (homogênea) ▪ 2x + 3y – z = 0 (homogênea) 17.2
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos de equações não lineares ▪ x2 + 3y – z = 7 (apresenta uma incógnita com expoente diferente de 1) ▪ x – = 3 (apresenta uma incógnita no denominador) ▪ 2x + 3yz = 0 (apresenta um termo com mais de uma incógnita: 3yz) 17.2 Equações lineares 1 y
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos ▪ O par ordenado (3, 5) é solução da equação –3x + 2y = 1  –3 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 1  S = {(3, 5)} ▪ (1, 3, 5) não é solução da equação 3x – 2y – 3z = 14   3 ∙ 1 – 2 ∙ 3 – 3 ∙ 5 ≠ 14  (1, 3, 5) não é solução. ▪ (0, 0, 0) é solução da equação x + 2y – 3z = 0 → 0 + 2 ∙ 0 – 3 ∙ 0 = 0  S = {(0, 0, 0)} Equação homogênea 17.3 Solução de uma equação linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Solução de uma equação é toda ênupla de números reais (1, 2, ..., n) que torna a igualdade a1x1 + a2x2 + + ... + anxn = b verdadeira, isto é, tal que a11 + a22 + + ... + ann = b seja verdadeira. 17.3 Solução de uma equação linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R1. Sabendo que o par ordenado (2a, a) é a solução da equação 4x + 3y = 10, determinar o valor de a. 17.4
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Por exemplo, observe a reação de combustão do gás metano, representada pela equação: CH4 + O2 → CO2 + H2O reagentes produtos Número de átomos carbono (C): 1 hidrogênio (H): 4 oxigênio (O): 2 Número de átomos carbono (C): 1 hidrogênio (H): 2 oxigênio (O): 3 17.5 Sistemas de equações lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Em Química, uma equação está balanceada quando o número de átomos dos reagentes é igual ao número de átomos dos produtos. Então, para balancear essa equação, podemos multiplicar cada substância por uma incógnita e formar um sistema de equações lineares. aCH4 + bO2 → cCO2 + dH2O a = c números de átomos de carbono 4a = 2d números de átomos de hidrogênio 2b = 2c + d números de átomos de oxigênio 17.5 Sistemas de equações lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Um sistema de equações lineares de m equações com n incógnitas é um conjunto de equações lineares que podem ser escritas na forma: a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1x1 + am2x2 + ⋯ + amnxn = bm em que x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, am1, ..., amn são os coeficientes reais; os números reais b1, b2, ..., bm são os termos independentes. 17.6 Sistemas de equações lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos 17.6 (sistema de 2 equações com 2 incógnitas) (sistema de 2 equações com 3 incógnitas) = (sistema de 3 equações com 4 incógnitas) (sistema de 4 equações com 3 incógnitas) Sistemas de equações lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares A ênupla (1, 2, ..., n) é solução de um sistema linear de m equações com n incógnitas quando é solução de cada uma das equações do sistema. Exemplo Observe as seguintes equações e algumas de suas soluções: ▪ 2x + y = 4  (–1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), ... ▪ x + 2y = 5  (–1, 3), (1, 2), (3, 1), (5, 0), ... Note que as duas equações têm o par ordenado (1, 2) como solução comum. Portanto, (1, 2) é solução do sistema linear 17.7 Sistemas de equações lineares
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Solução de um sistema linear Exemplos a) Os ternos ordenados (2, 5, 2), (3, 2, 0) e (–1, 14, 8) são algumas das soluções do sistema abaixo. Podemos verificar isso substituindo os valores de cada termo no sistema. Observe: ▪ (2, 5, 2) é solução, pois: 17.8 2 – 5 + 2 ∙ 2 = 1 (verdadeira) –2 ∙ 2 + 2 ∙ 5 – 4 ∙ 2 = –2 (verdadeira) 2 + 5 – 2 = 5 (verdadeira) 123
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos a) ▪ (3, 2, 0) é solução, pois: ▪ (–1, 14, 8) é solução, pois: 17.8 Solução de um sistema linear 3 – 2 + 2 ∙ 0 = 1 (verdadeira) –2 ∙ 3 + 2 ∙ 2 – 4 ∙ 0 = –2 (verdadeira) 3 + 2 – 0 = 5 (verdadeira) 123 –1 – 14 + 2 ∙ 8 = 1 (verdadeira) –2 ∙ (–1) + 2 ∙ 14 – 4 ∙ 8 = –2 (verdadeira) –1 + 14 – 8 = 5 (verdadeira) 123
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos b) O terno ordenado (1, 3, 4) não é uma solução do sistema pois, substituindo esses valores nas equações, temos: (verdadeira) (falsa) 17.8 Solução de um sistema linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos c) Vamos encontrar a solução do sistema pelo método da adição. Para isso, devemos multiplicar os membros de uma ou mais equações por números convenientes e, depois, adicioná-las membro a membro, de modo a eliminar uma incógnita. Assim: 17.8 Solução de um sistema linear Multiplicando a 1a equação por 2 7x = 14  x = 2
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos c) Substituindo x = 2 na equação 2x + y = 5, temos: 2 ∙ 2 + y = 5   y = 5 – 4  y = 1 Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(2, 1)} 17.8 Solução de um sistema linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares ▪ 2x + y = 4 → pontos de uma reta r ▪ x + 2y = 5 → pontos de uma reta s ▪ O ponto P, intersecção das retas r e s, representa o par ordenado (1, 2); portanto, o ponto P é a solução gráfica desse sistema. 17.9 1o caso Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Interpretando graficamente as equações, temos: Como as equações são representadas por retas paralelas e distintas, não há intersecção entre elas, portanto não existe par ordenado que seja solução do sistema. (reta r) (reta s) 17.10 2o caso Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Interpretando graficamente as equações do sistema , temos: Como as equações são representadas por retas coincidentes, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema. (reta r) (reta s) 17.10 Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas 3o caso
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R2. Resolva o sistema de equações: 17.11 (I) (II)
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares De acordo com o número de soluções, um sistema linear é classificado em: a) sistema possível e determinado (SPD) → uma só solução; b) sistema possível e indeterminado (SPI) → infinitas soluções; c) sistema impossível (SI) → nenhuma solução. 17.12 Classificação de um sistema linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos Produção. Em uma loja de tintas, uma máquina mistura tinta látex e corante conforme a cor escolhida pelo consumidor. O preço de uma lata de tinta é calculado de acordo com as quantidades de cada uma dessas substâncias. Vamos calcular a quantidade de litros de látex e de corante para que a máquina, preenchendo latas de 20 litros, obtenha: a) latas que custem R$ 100,00, se o preço do litro de látex for R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 8,00. 17.13 Classificação de um sistema linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Resolvendo esse sistema, obtemos: x = 15 e y = 5 Logo, o conjunto solução é S = {(15, 5)}, isto é, o sistema tem apenas uma solução e é um sistema possível e determinado (SPD). Representando graficamente o sistema, temos: 17.13 a) Representando a quantidade, em litro, de látex e de corante por x e y, respectivamente, construímos o sistema: Classificação de um sistema linear r ⋂ s = {P}  SPD Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos b) Latas que custem R$ 80,00, se o preço do litro de látex for R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 4,00. Nesse caso, construímos o sistema: A 2a equação é, em ambos os membros, o quádruplo da 1a equação, representando assim a mesma informação. Algumas das infinitas soluções para esse sistema são (1, 19), (2, 18), (3, 17) e (5,3; 14,7). Observe que essas soluções são do tipo (20 – k, k), com 0 < k < 20 e k ∈ ℝ. Logo, a solução S = {(20 – k, k) | k ∈ ℝ e 0 < k < 20} e o sistema é um sistema possível e indeterminado (SPI). 17.13 Classificação de um sistema linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares b) Representando graficamente o sistema, temos: Note que os gráficos que representam as duas equações são retas coincidentes, ou seja, as retas têm infinitos pontos em comum. 17.13 r ⋂ s = r = s  SPI Classificação de um sistema linear Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos c) Latas que custem R$ 120,00, se o preço do litro de látex for R$ 8,00 e o do litro de corante for R$ 8,00. Para essa situação, vamos considerar o sistema: Resolvendo o sistema, temos: 17.13 Classificação de um sistema linear – 8x – 8y = –160 8y + 8y = 120 0x + 0y = –40 ⇒ 0 = –40 (falsa) x + y = 20 8y + 8y = 120
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares c) Ou seja, não há valores para x e y que tornem a sentença verdadeira. Portanto, S = ∅ e o sistema é um sistema impossível (SI). Observe que os gráficos que representam as duas equações são retas paralelas e distintas, ou seja, as retas não possuem pontos em comum. 17.13 Classificação de um sistema linear Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Lazer. Um jogo de computador tem início com a distribuição de fichas coloridas aos participantes. Veja na tabela abaixo a quantidade de fichas que cada jogador recebeu: O programa atribui valores às fichas conforme sua cor. Para calcular o valor de cada ficha, sabendo que, para cada jogador, a soma da quantidade de fichas multiplicada por seus valores é zero, montamos o seguinte sistema: Azul Branca Cinza Ari 3 2 1 Laís 1 2 3 João 5 6 7 17.14 Classificação de um sistema linear
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Neste caso, também há outras soluções. Pela substituição de a, b e c, verificamos que, para  ∈ ℝ, o terno ordenado (, –2, ) é solução do sistema: Assim, para cada valor de  que substituímos no terno (, –2, ), obtemos uma solução. Por exemplo, para  = 1, temos a solução (1, –2, 1). 17.14 Classificação de um sistema linear Exemplo
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Quando um sistema é formado apenas por equações homogêneas, ou seja, quando todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado homogêneo. Sistemas lineares homogêneos Observe que todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução. Essa solução é chamada solução nula, trivial ou imprópria. Qualquer solução diferente de (0, 0, 0) para um sistema homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria. 17.15
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos 17.15 ▪ ▪ ▪ Sistemas lineares homogêneos
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R3. Determine a, b e c para que o sistema a seguir seja homogêneo: 17.16
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Matriz associada a um sistema Exemplo a) ▪ Chamamos de matriz associada incompleta a matriz , formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema. ▪ Chamamos de matriz associada completa a matriz , formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes. 17.17 Todo sistema linear pode ser associado a matrizes.
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Matriz associada a um sistema Exemplo b) matriz associada incompleta matriz associada completa 17.17 
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Representação matricial de um sistema 17.18 Exemplo a) A representação matricial associada a esse sistema é dada por: Podemos verificar se essa representação matricial está correta efetuando a multiplicação de matrizes: 7 –4 ∙ x ⟶ 7x – 4y = –1 y 1 3 ∙ x ⟶ 1x + 3y = 7 y
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) Representação matricial: Podemos verificar essa representação matricial efetuando a multiplicação de matrizes: 17.18 Representação matricial de um sistema 1 0 2 ∙ x ⟶ 1x + 0y + 2z = 1 y z 1 –2 1 ∙ x ⟶ 1x – 2y + 1z = 3 y z
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R4. Resolva o sistema linear associado à equação matricial: 17.19
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Considere o sistema de equações: Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3 17.20 1o) Montamos a matriz associada incompleta e calculamos seu determinante D. ▪ É importante observar que a regra de Cramer só pode ser aplicada a sistemas n × n (com n equações e n incógnitas) com D ≠ 0; portanto, se D = 0, não podemos aplicá-la. 2o) Calculamos o determinante Dx, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes. D = Dx = Descrição do procedimento Aplicação do procedimento
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 17.20 3o) Calculamos o determinante Dy, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes. Dy = 4o) Calculamos o determinante Dz, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de z pela coluna dos termos independentes. 5o) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer: Dz = x = y = z = Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 17.21 1o) Resolvendo o sistema pelo método da adição, temos: 2o) Substituindo x em qualquer das equações, encontramos: x = , se ad – bc ≠ 0 y = , se ad – bc ≠ 0 Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 17.21 3o) Observe agora os determinantes de algumas matrizes obtidas do sistema: 4o) Observando as equações dos dois primeiros passos e os determinantes, concluímos que, se D ≠ 0, a solução do sistema é dada por: ▪ D = = ad – bc ▪ Dx = = k1d – k2b ▪ Dy = = k2a – k1b x = y = Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo a) Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer. Primeiro, reescrevemos o sistema: Depois, calculamos: D = = –2, Dx = = –2 e Dy = = –6 Agora, usando a regra de Cramer, temos: x = = 1 e y = = 3 Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 3)} 17.22 Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) Vamos encontrar a solução do sistema , usando a regra de Cramer: D = = 62, Dx = = 62, Dy = = –62 e Dz = = 0 Logo: x = = 1, y = = –1 e z = = 0 Portanto, a solução do sistema é S = {(1, –1, 0)} coluna dos termos independentes 17.22 Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão, arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo, mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a composição de cada cesta: ▪ cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão; ▪ cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão; ▪ cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão. Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00, R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada produto citado? 17.23
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R6. Medição. Para se inscreverem em um concurso, Bruna, Paula e Carla deviam informar, com exatidão, quanto pesavam. Como não sabiam, precisaram usar uma balança que estava no local da inscrição. No entanto, a balança indicava apenas valores acima de 80 kg. Para resolver o problema, elas se pesaram duas a duas. Descobriram que Bruna e Paula pesavam, juntas, 95 kg; Paula e Carla, 110 kg; e Bruna e Carla, 106 kg. Determine quanto cada uma pesava no ato da inscrição. 17.24
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Indicamos por S1 ~ S2. Sistemas lineares equivalentes Exemplo a) S1= e S2 = 2 ∙ 2 + 3 = 7 (sentença verdadeira) (2,3) é solução do sistema S1 2 + 3 = 5 (sentença verdadeira) 3 ∙ 2 + 3 = 9 (sentença verdadeira) (2,3) é solução do sistema S2 7 ∙ 2 – 3 ∙ 3 = 5 (sentença verdadeira) Como S = {(2,3)} é conjunto solução dos dois sistemas, S1 e S2 são chamados de sistemas equivalentes: (S1 ~ S2) 17.25
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) S1= e S2 = 2 + (–2) + 2 ∙  = 2 (sentença verdadeira) 2 ∙ 2 + (–2) + 2 ∙  = 4 (sentença verdadeira) 3 ∙ 2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙  = 6 (sentença verdadeira) 2 – (–2) – 2 ∙  = 2 (sentença verdadeira) 2 ∙ 2 – 3 (–2) – 6 ∙  = 4 (sentença verdadeira) 2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙  = 2 (sentença verdadeira) Assim, se  = 1, o terno (2, –2, 1) é uma das infinitas soluções de S1 e S2. Como S = {(2, –2, ) |  ∈ ℝ} é o conjunto solução dos dois sistemas, temos S1 ~ S2. Para todo número real , (2, –2, ) é solução de S1 (2, –2, ) também é solução de S2 17.25 Sistemas lineares equivalentes
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R7. Verificar se os sistemas e são equivalentes. 17.26 R8. Sabendo que os sistemas são equivalentes, determine p e q. S1 = e S2 =
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Um sistema é dito escalonado quando, de uma equação para a seguinte, aumenta a quantidade de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo. Sistema escalonado Exemplos 17.28 ▪ ▪ ▪
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares a) Como o sistema já está escalonado, temos: z = 5 Substituindo z por 5 na 2a equação: 2y – 5 = 3 ⇒ y = 4 Agora, trocando z por 5 e y por 4 na 1a equação, obtemos: 2x – 4 + 5 = 2 ⇒ x = Logo, há uma só solução: ( , 4, 5) Portanto, o sistema é possível e determinado (SPD). 17.29 Resolução e classificação de um sistema escalonado
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares b) O sistema tem duas equações e três incógnitas. Se o sistema admite solução para z = k, sendo k real, ele é equivalente ao sistema: Resolvendo esse novo sistema, encontramos: y = 3k e x = 4 – 5k. Atribuindo valores reais a k, obtemos soluções do sistema. Por exemplo, fazendo k = –6, obtemos o terno (34, –18, –6), que satisfaz o sistema. Como k é um número real qualquer, o sistema tem infinitas soluções, ou seja, é um sistema possível e indeterminado (SPI). 17.29 Resolução e classificação de um sistema escalonado
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Portanto, a solução do sistema será do tipo (4 – 5k, 3k, k), em que k é real. ▪ É importante observar que, quando um sistema admite infinitas soluções (SPI), chamamos a variável que assume o valor k, real, de variável livre. Há sistemas com mais de uma variável livre. Nesse exemplo, z é a única variável livre. c) Na última equação do sistema , não há valores para z que tornem a igualdade verdadeira 0z = 2, pois toda multiplicação por zero resulta em zero. Sem solução, o sistema é impossível (SI). 17.29 Resolução e classificação de um sistema escalonado
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas equivalentes a ele, aplicando, total ou parcialmente, o procedimento usado nos exemplos a seguir. a) Vamos escalonar o sistema , adotando os seguintes passos: 17.30 O processo do escalonamento
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 1o) Escolhemos como 1ª equação aquela cujo coeficiente da 1a incógnita seja não nulo e, se possível, igual a 1 ou a –1, o que simplifica o processo. Então, invertendo a posição da 1a e da 2a equação, temos: O processo do escalonamento x + y – 2z = 3 (2a equação do sistema original) 3x – y + z = 5 (1a equação do sistema original) 2x + 3y – z = 7 (3a equação) 17.30
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 2o) Anulamos os coeficientes de x da 2a e da 3a equação. Para isso vamos: ▪ Multiplicar a 1a equação por –3 e somar a equação obtida com a 2a; ▪ Multiplicar a 1a equação por –2 e somar a equação obtida com a 3a. Depois substituímos as novas equações no sistema anterior. 123123 O processo do escalonamento 17.30
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 3o) Para facilitar a resolução, vamos inverter a 2a e a 3a equação do sistema anterior. Assim, o coeficiente de y na 2a equação será 1. 4o) Anulamos o coeficiente de y na 3a equação. Para isso, vamos multiplicar a nova 2a equação por 4 e somar o produto obtido com a nova 3a equação: (3a equação do sistema anterior) (2a equação do sistema anterior) O processo do escalonamento 17.30
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 5o) Após substituir a 3a equação pela soma obtida, temos o sistema escalonado: O processo do escalonamento x + y – 2z = 3 y + 3z = 1 19z = 0 17.30
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Com o sistema original escalonado, a resolução fica facilitada: ▪ da 3a equação, temos z = 0; ▪ substituindo z por 0 na 2a equação, obtemos y = 1; ▪ substituindo z por 0 e y por 1 na 1a equação, obtemos x = 2. Portanto, a solução do sistema é: (2, 1, 0) O processo do escalonamento 17.30
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R9. Escalonar e resolver o sistema: 17.31
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Discussão de um sistema linear Discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros é indicar para quais valores desses parâmetros o sistema é: ▪ possível e determinado (SPD); ▪ possível e indeterminado (SPI); ▪ impossível (SI). 17.32
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Sendo D o determinante da matriz associada incompleta de um sistema linear de n equações e n incógnitas: ▪ D ≠ 0 ⇒ sistema possível e determinado (SPD); ▪ D = 0 ⇒ sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI). Aplicação do determinante Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é uma matriz quadrada (n × n), não é possível calcular seu determinante, por isso aplicamos o método do escalonamento para discutir esse sistema. 17.33
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo a) Para discutir o sistema em função de k, calculamos: D = = k – 3 ▪ D ≠ 0  k – 3 ≠ 0  k ≠ 3 SPD ▪ D = 0  k – 3 = 0  k = 3 SPI ou SI Para saber o que ocorre com o sistema quando k = 3, ou seja, para saber se o sistema é SPI ou SI, substituímos k por 3 no sistema original e prosseguimos a análise: 17.34 Aplicação do determinante
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo a) Dividindo todos os termos da 2a equação por 3, obtemos: Substituindo I em II, obtemos 2 = 1, o que é absurdo! Logo, o sistema é impossível (SI). Conclusão: 17.34 Aplicação do determinante (I) (II)
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) Para discutir o sistema em função de m, calculamos: D = = 1 – m2 ▪ D ≠ 0 ⇒ 1 – m2 ≠ 0  m ≠ ±1 ⇒ SPD m = 1 ⇒ ⇒ SPI ▪ D = 0 ⇒ m = ±1 m = –1 ⇒ ⇒ SI 17.34 Aplicação do determinante
ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R10. Discutir o sistema em função de k. 17.35 R11. Discutir o sistema
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Capítulo 18 Análise combinatória ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3 tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de sanduíche Raul pode montar? Situações envolvendo contagem 18.118.1
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Raul pode fazer três tipos de escolha: ▪ E1: pão francês (f) ou integral (i); ▪ E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou hambúrguer (h); ▪ E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq). Situações envolvendo contagem 18.1
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Situações envolvendo contagem E1 E2 E3 Sanduíche ▪ Organizando as opções em um esquema, temos: 2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades Esse tipo de esquema é chamado de árvore de possibilidades, também conhecido como diagrama de árvore ou diagrama sequencial. 18.1 pão francês pão integral calabresa presunto hambúrguer calabresa presunto hambúrguer com queijo com queijo com queijo com queijo com queijo com queijo sem queijo sem queijo sem queijo sem queijo sem queijo sem queijo f c cq f c sq f p cq f p sq f h cq f h sq i c cq i c sq i p cq i p sq i h cq i h sq
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12 tipos de sanduíche. Situações envolvendo contagem 18.1
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa (k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos obter cara (c) ou coroa (k). Situações envolvendo contagem 18.2
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Vamos representar esses lançamentos em uma árvore de possibilidades: Situações envolvendo contagem 18.2 cara coroa coroa cara coroa cara cc ck kc kk 1o lançamento 2o lançamento Resultado 2 possibilidades 4 possibilidades
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Outro recurso para representar todas as possibilidades é a tabela de dupla entrada: Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk. Situações envolvendo contagem Cara (c) Coroa (k) Cara (c) cc ck Coroa (k) kc kk 18.2
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Para calcular o número de resultados possíveis de um acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades, usamos o princípio multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem: O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou mais etapas. Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m ∙ n. Princípio multiplicativo 18.3
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 18.4 Exercício resolvido R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras?
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema? (Considere o alfabeto com 26 letras.) 18.5 O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa de automóvel: 3 letras 4 algarismos Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R3. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 18.6 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R4. Calcule a quantidade de números de 3 algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8. 18.7 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R5. Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e divisíveis por 5? 18.8 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R6. Uma prova consta de 12 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos distintos é possível preencher o gabarito de respostas? 18.9 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória O fatorial de um número natural n é representado por n! (lemos: “n fatorial”) e é definido por: ▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1, para n ≥ 2 ▪ 1! = 1 ▪ 0! = 1 Fatorial de um número natural Exemplos a) 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 b) 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3.628.800 18.10
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Simplificação de expressões com fatorial Ao representar n!, podemos fazer algumas substituições. Observe: ▪ 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9! 9! ▪ n! = n ∙ (n – 1)! ▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2)! e assim por diante. Esse tipo de substituição será muito usado nas simplificações de expressões. 18.11
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória a) b) c) Simplificação de expressões com fatorial Exemplos 18.11
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exercício resolvido R7. Calcule n sabendo que 18.12
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Quando trocamos a ordem das letras que formam uma palavra, obtemos um anagrama dessa palavra, que pode ter significado ou não. Vamos verificar, por exemplo, quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra AMOR. Para a primeira letra, temos 4 possibilidades (A, M, O, R). Depois dessa escolha, há 3 possibilidades para a escolha da segunda letra, 2 para a terceira letra e 1 para a quarta letra. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, ou seja, 24 anagramas. Anagramas 18.13
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Anagramas Para determinar todos os anagramas, podemos fazer uma árvore de possibilidades: 18.13 M A ROMA 1a letra 2a letra 3a letra 4a letra Anagrama O R A M R A M O M R A R A M M O A O A R R O O M M M M A A A OAMR OARM OMRA OMAR ORAM ORMA RAMO RAOM RMAO RMOA ROAM M A O R O R A R A O R R O O A A MAOR MROA MARO MOAR MORA MRAO A M O R O R M R M O R R O O M M AMOR AROM AMRO AOMR AORM ARMO
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Cada um dos anagramas corresponde a uma permutação simples das letras da palavra AMOR. De uma permutação para outra, os elementos são sempre os mesmos; eles apenas mudam de posição. Anagramas 18.13
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer agrupamento ordenado (sequência) desses n elementos. Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam um todo com a finalidade de obter uma nova configuração. Permutação simples 18.14 Indica-se por Pn o número de permutações simples de n elementos.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória O número de permutações simples de n elementos é dado por: Pn = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1, ou Pn = n! Número de permutações Simples 18.15
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Permutação com elementos repetidos O número de permutações de n elementos, dos quais n1 é de um tipo, n2 de um segundo tipo, ..., nk de um k-ésimo tipo, é indicado por e é dado por: 18.16
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R8. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? 18.17 Exercício resolvido R9. Considerando os anagramas da palavra EDITAR, quantos apresentam: a) as letras T, A e R juntas e nessa ordem? b) as letras T, A e R juntas? R10. Determine quantos anagramas da palavra ELEGER começam por: a) consoante; b) vogal.
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R11. Na figura abaixo, que representa parte do mapa de uma cidade, as ruas são indicadas com a cor cinza. Pedro sai de carro do ponto A e vai até o ponto B, dirigindo-se sempre para o norte (N) ou para o leste (L), realizando, desse modo, trajetórias de comprimento mínimo. Quantas são as possíveis trajetórias que Pedro pode fazer? 18.20 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento ordenado (sequência) de p elementos distintos, escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por An,p, ou o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p. Arranjo simples 18.21
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Vejamos como calcular o número de arranjos simples no caso geral de n elementos tomados p a p, com 0 < p ≤ n, indicado por . Existem n possíveis escolhas para o primeiro elemento do agrupamento, n – 1 possíveis escolhas para o segundo elemento, n – 2 para o terceiro elemento, ..., n – (p – 1) possíveis escolhas para o p-ésimo elemento do agrupamento. Número de arranjos simples 18.22
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Então, aplicando o princípio multiplicativo, o número de arranjos simples de n elementos p a p é: An,p = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ [n – (p – 1)], 0 < p < menor ou igual > n. p fatores Número de arranjos simples 18.22
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Desenvolvendo a expressão do 2o membro e multiplicando-o por , temos: Então: Número de arranjos simples 18.22 An,p =
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R12. Quantos números de 3 algarismos diferentes é possível escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7? 18.23 Exercício resolvido R13. Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas 2 pessoas podem se sentar nessas cadeiras, deixando ao menos uma cadeira entre elas?
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de p elementos escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por Cn,p ou o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com p ≤ n. Combinação simples 18.25
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória O número total de combinações de n elementos tomados p a p é igual ao quociente entre o número de arranjos (An,p) e o número de permutações (p!): Portanto: Número de combinações simples 18.26
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R14. Dentre 10 alunos de uma turma de 3o ano, três serão escolhidos para formar a comissão de formatura. De quantos modos distintos é possível formar essa comissão? 18.27 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R15. Loteria. Para fazer uma aposta da Lotofácil, devem-se marcar 15 números entre os 25 que constam no volante. De quantas maneiras é possível preencher um cartão da Lotofácil? 18.28 REPRODUÇÃO Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R16. Geometria. Considerando 6 pontos, pertencentes a um mesmo plano e distribuídos de tal forma que quaisquer 3 pontos não sejam colineares, determinar quantos triângulos podem ser formados com 3 desses pontos como vértices. 18.29 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R17. Para fazer um trabalho, os 30 alunos de uma turma serão divididos em grupos de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos nessa turma. Quantas equipes diferentes podem ser formadas: a) se não houver restrições quanto ao sexo? b) com 2 garotas e 2 garotos? 18.30 Exercício resolvido
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dados dois números naturais n e k, com n ≥ k, chamamos de coeficiente binomial n sobre k ou número binomial n sobre k, e indicamos por , o número: Dizemos que n é o numerador e k é o denominador do coeficiente binomial. Coeficiente binomial 18.31
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplos a) O coeficiente binomial 7 sobre 4 é: b) O coeficiente binomial 11 sobre 2 é: Coeficiente binomial 18.31
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Observe o cálculo do coeficiente binomial n sobre k para alguns valores de k: ▪ Para k = 0: ▪ Para k = n: ▪ Para k = 1: Coeficiente binomial 18.31
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dois coeficientes binomiais são complementares se apresentam o mesmo numerador e se a soma de seus denominadores é igual a esse numerador, isto é: são complementares se p + q = n Coeficientes binomiais complementares 18.32
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dois coeficientes binomiais são iguais se têm o mesmo numerador e o mesmo denominador, ou se eles são complementares. Considerando dois coeficientes binomiais complementares , temos: Assim: Igualdade de coeficientes binomiais 18.33
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplos a) b) c) d) Igualdade de coeficientes binomiais 18.33
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados numa mesma coluna. Triângulo de Pascal 18.34
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Triângulo de Pascal 18.34 Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha n coluna 0 coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna 4 coluna 5 coluna n
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos outra representação para o triângulo de Pascal: Triângulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 18.34
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 1a propriedade Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam por 1, pois esses elementos são do tipo = 1 e = 1 Exemplos a) Na linha 6, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. b) Na linha 12, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. Propriedades do triângulo de Pascal 18.35
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 2a propriedade Em qualquer linha do triângulo de Pascal, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. A justificativa dessa propriedade está no fato de os coeficientes equidistantes dos extremos serem representados por coeficientes binomiais complementares. Propriedades do triângulo de Pascal 18.35
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplos a) Na linha 5 do triângulo, temos: b) Na linha 8 do triângulo, temos: Propriedades do triângulo de Pascal 18.36
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 3a propriedade – Relação de Stifel Cada elemento , da linha n, coluna k, com 0 < k < n, é igual à soma dos elementos que estão na linha n – 1, nas colunas k –1 e k. Ou seja: Essa é a chamada relação de Stifel. Propriedades do triângulo de Pascal 18.37
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Propriedades do triângulo de Pascal 18.37 Exemplo 3a propriedade – Relação de Stifel
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 4a propriedade A soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal é igual a uma potência de 2, em que o expoente é igual à posição da linha, ou seja, a soma dos elementos da linha n é igual a 2n. Propriedades do triângulo de Pascal 18.38
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplo Observe a soma dos elementos das primeiras 5 linhas do triângulo de Pascal: Propriedades do triângulo de Pascal Linha 0 1 soma = 20 = 1 Linha 1 1 1 soma = 21 = 2 Linha 2 1 2 1 soma = 22 = 4 Linha 3 1 3 3 1 soma = 23 = 8 Linha 4 1 4 6 4 1 soma = 24 = 16 18.38
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 5a propriedade A soma dos elementos da coluna k, desde o primeiro elemento até o elemento da linha n, é igual a . Exemplo Propriedades do triângulo de Pascal 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 1 + 2 + 3 = 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 18.39
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 6a propriedade A soma dos elementos da diagonal n, desde o primeiro elemento até o elemento da coluna k, é igual a . Exemplo Propriedades do triângulo de Pascal 18.40 Diagonal 0 Diagonal 1 Diagonal 2 Diagonal 3 Diagonal 4 Diagonal 5 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 + 3 + 6 = 10
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Na sequência (am, am+1, am+2, ..., an–1, an), a soma dos termos am+ am+1 + am+2 + ... + an–1 + an pode ser representada por com m e n naturais e m < n. (lemos: “somatório de ai com i variando de m a n”). Exemplos a) 1 + 2 + 3 + ... + 100 = b) 1 + + +...+ = Somatório 18.41
CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória a) Soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo de Pascal: b) Soma dos coeficientes binomiais da linha n do triângulo de Pascal: Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais 18.42
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Matrizes e determinantes

  • 1. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Capítulo 16 Matrizes e determinantes Animação: Matrizes Multimídia CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
  • 2. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes 16.1 Define-se matriz do tipo m × n (lemos “m por n”) uma tabela com m ∙ n números dispostos em m linhas e n colunas. Os números que compõem uma matriz são chamados elementos ou termos. Para escrever uma matriz, dispõem-se os elementos entre colchetes, [ ], ou entre parênteses, ( ). Definição de matriz
  • 3. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplos a) é uma matriz do tipo 3 × 2 (lemos: “três por dois”). b) é uma matriz do tipo 3 × 3 (lemos: “três por três”). c) é uma matriz do tipo 2 × 1 (lemos: “dois por um”), que, por ter uma só coluna, recebe o nome especial de matriz coluna. d) é uma matriz do tipo 1 × 4 (lemos: “um por quatro”), que, por ter uma só linha, é chamada matriz linha. 16.1 Definição de matriz
  • 4. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O tipo da matriz também pode ser indicado ao lado dela, na extremidade inferior direita. a) b) 16.1 2 × 4 3 × 5 Definição de matriz
  • 5. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Em uma matriz, cada elemento ocupa uma posição definida por determinada linha e determinada coluna, nessa ordem. Um elemento genérico da matriz pode ser representado pelo símbolo aij, em que i indica a linha que o elemento ocupa e j indica a coluna. Genericamente, uma matriz A é representada por A = (aij)m × n, em que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, com i e j  ℕ. 16.2 Representação genérica de uma matriz
  • 6. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A = m × n 16.2 Uma matriz A, do tipo m × n, pode ser representada por: Representação genérica de uma matriz
  • 7. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R1. Escrever a matriz A = (aij)2 × 3 na qual aij = i + 2j. 16.3 R2. Escrever a matriz A = (aij)3 × 2 em que aij =
  • 8. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Igualdade de matrizes Quando duas matrizes A e B são de mesmo tipo, os elementos de mesmo índice, isto é, aqueles que ocupam a mesma posição, são denominados elementos correspondentes. 16.5 A = B = Exemplo Nessas matrizes, os elementos correspondentes são: a11 e b11 a13 e b13a12 e b12 a21 e b21 a31 e b31 a22 e b22 a23 e b23 a33 e b33a32 e b32
  • 9. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Duas matrizes A e B são matrizes iguais quando são do mesmo tipo e têm os elementos correspondentes iguais. 16.6 Igualdade de matrizes
  • 10. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R3. Determinar os valores de x, y e z que tornam as matrizes A e B iguais. 16.7 A = B =
  • 11. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R4. Determinar os valores de x e y que tornam as matrizes A e B iguais. A = B = 16.8
  • 12. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Uma matriz que tem todos os elementos iguais a zero é denominada matriz nula. Indica-se uma matriz nula do tipo m × n por: 0m × n a) 03 × 2 = b) 02 × 4 = 16.9 Exemplos Matriz nula
  • 13. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas é chamada matriz quadrada. Nesse caso, consideramos que a matriz com m linhas e m colunas é do tipo m × m, ou que a matriz é de ordem m. a) A = é uma matriz quadrada 2 × 2 ou, simplesmente, matriz de ordem 2. b) B = é uma matriz quadrada 3 × 3 ou matriz de ordem 3. 16.10 Exemplos Matriz quadrada
  • 14. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Diagonais de uma matriz quadrada Toda matriz quadrada de ordem n tem duas diagonais. Os elementos aij com i = j formam a diagonal principal da matriz; os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária da matriz. A = diagonal secundária diagonal principal 16.11 Exemplo
  • 15. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Matriz identidade Chamamos matriz identidade a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero. Assim, em qualquer matriz identidade, temos: aij = Indicamos uma matriz identidade de ordem n por: In a) i3 = b) i5 = 16.12 Exemplos
  • 16. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Matriz diagonal Uma matriz é denominada matriz diagonal se é quadrada e todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. a) b) I2 = 16.13 Exemplos c) 04 × 4 =
  • 17. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dada uma matriz A do tipo m × n, denominamos matriz transposta de A a matriz do tipo n × m cujas linhas são, ordenadamente, iguais às colunas de A. Assim, se (a’ij)n × m é transposta de (aij)m × n, temos: a’ij = aji Indicamos a matriz transposta de A por At. 16.14 Matriz transposta
  • 18. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplos a) A = b) B = então At = então Bt = 16.14 Matriz transposta
  • 19. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com sua transposta, isto é, se A = At. a) A = é simétrica, pois A = At = b) B = é simétrica, pois B = Bt = Observe que, em uma matriz simétrica, quaisquer dois elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais. diagonal principal diagonal principal 16.15
  • 20. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R5. Determinar a matriz transposta At da matriz A = 16.16
  • 21. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A = (aij)m × n e B = (bij)m × n, a matriz soma A + B é a matriz C = (cij)m × n, na qual cij = aij + bij para todo i e todo j. Adição de matrizes Considere as matrizes A e B: A = e B = Para obter a matriz C = A + B, basta somar os elementos correspondentes de A e B: C = + = = 16.17 Exemplo
  • 22. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz oposta de A, e indica-se por –A, a matriz que somada com A resulta na matriz nula de mesmo tipo, ou seja: A + (–A) = 0m × n + = Matriz oposta Se A = , então –A = , pois: 16.18 Exemplo
  • 23. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Propriedades da adição de matrizes Dadas as matrizes A, B, C e a matriz nula 0m × n, todas de mesmo tipo, valem as seguintes propriedades: ▪ Comutativa: A + B = B + A ▪ Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) ▪ Existência do elemento neutro: A + 0m × n = 0m × n + A = A ▪ Existência do elemento oposto: A + (–A) = (–A) + A = 0m × n ▪ Cancelamento: A + C = B + C  A = B 16.19
  • 24. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A diferença entre duas matrizes A e B, de mesmo tipo, é a soma da matriz A com a oposta de B, isto é: A – B = A + (–B). Subtração de matrizes Sejam: A = e B = A – B = A + (–B) = – = = + = 16.20 Exemplo
  • 25. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R6. Dadas as matrizes A = e B = , obter uma matriz X2 × 2 tal que A + X = B. 16.21
  • 26. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Sejam a matriz A = (aij)m × n e k um número real, então k ∙ A é uma matriz do tipo m × n obtida pela multiplicação de k por todos os elementos de A, ou seja, kA = (kaij). Multiplicação de um número real por uma matriz Se A = e k = 3, então: k ∙ A = 3 ⋅ = = 16.22 Exemplo
  • 27. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R7. Determinar a matriz X na equação: 16.23 R8. Determinar a matriz X na equação matricial 2X + A = X + B sabendo que: A = e B = . R9. Determinar as matrizes X e Y tais que em que A = e B = .
  • 28. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dadas as matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)n × p, o produto de A por B é a matriz C = (cij)m × p, na qual cada elemento cij é a soma dos produtos obtidos multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B. Multiplicação de matrizes 16.26
  • 29. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes iguais 16.26 Multiplicação de matrizes O produto das matrizes A e B, indicado por A ∙ B, só é definido se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Esse produto terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B. Am  n ∙ Bn  p = C m  p
  • 30. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Dadas as matrizes A = e B = , vamos determinar A ∙ B. Como a matriz A é do tipo 2 × 3 e a matriz B é do tipo 3 × 2, existe o produto A ∙ B (pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B). Então: A ∙ B = C, sendo C = (cij)2 × 2 16.26 Multiplicação de matrizes
  • 31. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Os elementos da matriz C são obtidos do seguinte modo: ▪ c11: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela 1a coluna de B; ▪ c12: multiplicamos, ordenadamente, a 1a linha de A pela 2a coluna de B; ▪ c21: multiplicamos, ordenadamente, a 2a linha de A pela 1a coluna de B; ▪ c22: multiplicamos, ordenadamente, a 2a linha de A pela 2a coluna de B. 16.26 Multiplicação de matrizes Exemplo
  • 32. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = = Assim, temos: C = Logo: C = 16.26 Multiplicação de matrizes Exemplo
  • 33. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dadas as matrizes A, B e C, valem as seguintes propriedades: ▪ Associativa: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) ▪ Distributiva à direita: (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C ▪ Distributiva à esquerda: C ∙ (A + B) = C ∙ A + C ∙ Propriedades da multiplicação de matrizes 16.27
  • 34. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = e B ∙ A = Dadas as matrizes A = e B = , obtemos os seguintes produtos: Observe que A ∙ B ≠ B ∙ A. 16.27 Observe a seguir que nem sempre temos A ∙ B = B ∙ A. Logo, não vale a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes. Propriedades da multiplicação de matrizes
  • 35. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = e A ∙ C = Dadas as matrizes A = , B = e C = , obtemos: Observe que A ∙ B = A ∙ C, mas B ≠ C. Mesmo quando A é uma matriz não nula, não podemos concluir, com base em A ∙ B = A ∙ C, que B = C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Observe o exemplo. 16.27 Propriedades da multiplicação de matrizes
  • 36. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A ∙ B = , que é a matriz nula. Dadas as matrizes A = e B = , obtemos o produto: Observe que A ≠ 0 e B ≠ 0. Temos ainda que um produto de matrizes não nulas pode ser uma matriz nula. Veja: 16.27 Propriedades da multiplicação de matrizes
  • 37. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R10. Resolver a equação matricial: X ∙ = 16.28
  • 38. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B, quadrada de mesma ordem, tal que A ∙ B = B ∙ A = In, então B será a matriz inversa de A, indicada por A–1. Matriz inversa Quando uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível ou não singular. 16.29
  • 39. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A–1 ∙ A= = Exemplo A inversa da matriz A = é matriz A–1 = , pois: A ∙ A–1 = = e Sendo A e B matrizes quadradas, pode-se demonstrar que, se A ∙ B = I, então B ∙ A = I. 16.29 Matriz inversa
  • 40. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R11. Determinar, se existir, a inversa das matrizes: a) 16.30 b)
  • 41. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. Determinante de uma matriz Para representar o determinante de uma matriz A (indicado por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples: ▪ A = e det A = ▪ A = [4] e det A = |4| ▪ A = e det A = 16.31
  • 42. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1, A = (a11), é o próprio elemento de A. det A =|a11|= a11 Determinante de uma matriz de ordem 1 a) A = (4)  det A = |4| = 4 b) B =  det B = | | = 16.32 Exemplos
  • 43. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, A = , é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. det A = = Determinante de uma matriz de ordem 2 a) A = det A = b) B = det B = 16.33 Exemplos
  • 44. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o procedimento explicado a seguir. Determinante de uma matriz de ordem 3 Considere a matriz: A = 16.34
  • 45. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 16.34 1o) Ao lado da matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas. 2o) Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção dessa diagonal, multiplicam-se os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita. Determinante de uma matriz de ordem 3
  • 46. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 16.34 3o) Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção dessa diagonal, os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita. 4o) O determinante da matriz é obtido pela diferença entre as somas dos produtos do 2o e do 3o passo, nessa ordem. det A = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) Determinante de uma matriz de ordem 3
  • 47. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo a) Considerando a matriz A = , temos: –6 12 0 10 –8 0 Assim: det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4 16.35 Determinante de uma matriz de ordem 3
  • 48. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes b) Considerando a matriz B = , temos: –12 –72 54 –108 –18 24 Assim: det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72 16.35 Determinante de uma matriz de ordem 3 Exemplo
  • 49. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R12. Determinar x para que a igualdade a seguir seja verdadeira. = 0 16.36
  • 50. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R13. Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da fórmula: ARST = , em que D = Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3 tal que: a 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos, a 2a, pelas ordenadas e a 3a por 1. Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3). 16.37
  • 51. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se cofator de um elemento aij de A o número real Aij = (–1)i + jDij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o elemento aij. Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz 16.38
  • 52. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplos a) Seja A = Eliminando a 1a linha e a 2a coluna de A, obtemos A12 = (–1)1+2 ∙ Logo, A12 = –7 é cofator do elemento a12. 16.38 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz
  • 53. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes b) Seja B = Eliminando a 3a linha e a 4a coluna de B, obtemos B34 = (–1)3+4 ∙ Logo, B34 = 108 é cofator do elemento b34. 16.38 Exemplos Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 Cofator de uma matriz
  • 54. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Teorema de Laplace 16.39 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
  • 55. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes A = Exemplo Escolhendo a 1a linha, temos: det A = 1 ∙ A11 + 2 ∙ A12 + (–3) ∙ A13 + 0 ∙ A14 det A = 1 ∙ (–1)2 ∙ + 2 ∙ (–1)2 ∙ + + (–3) ∙ (–1)4 ∙ + 0 ∙ 16.39 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
  • 56. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Não é necessário calcular A14, pois: 0 ∙ A14 = 0 Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43 Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou coluna que tiver mais zeros. 16.39 Observação Exemplo Determinante de uma matriz de ordem maior que 3
  • 57. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R14. Calcular o determinante da matriz A = 16.40
  • 58. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0. Simplificação do cálculo de determinantes 16.41 1a propriedade: Fila nula
  • 59. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo A = ⇒ det A = det A = 0 ⋅ (–1)2+1 + 0 ⋅ (–1)2+2 ⋅ + 0 ⋅ (–1)2+3 + 0 ⋅ (–1) 2+4 ⋅ det A = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 Simplificação do cálculo de determinantes 1a propriedade: Fila nula 16.41
  • 60. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0. 2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais 16.42 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 61. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes a) Seja A = det A = –28 + 252 + 240 – (252 + 240 – 28) = 0 b) Considerando a matriz B = , temos: det B = 18 + 24 + 16 – (18 + 16 + 24) = 0 16.42 Simplificação do cálculo de determinantes 2a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais Exemplo
  • 62. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se uma fila de uma matriz quadrada A for uma combinação linear de outras filas paralelas, então det A = 0. 3a propriedade: Combinação linear 16.43 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 63. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja a matriz A = Temos: det A = 10 – 2 + 0 – (0 – 0 + 8) = 0. Observe que nessa matriz a 3a coluna é uma combinação linear das outras duas colunas (os elementos dessa coluna são iguais a 2 vezes os elementos da 1a coluna somados aos opostos dos elementos da 2a coluna). 16.43 Simplificação do cálculo de determinantes 3a propriedade: Combinação linear Exemplo
  • 64. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta. 4a propriedade: Determinante da matriz transposta 16.44 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 65. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Seja A = Então: det A = 16 + 0 – 20 – (–3 + 0 + 0) = – 1 At = det At = 16 – 20 + 0 – (–3 + 0 + 0) = –1 16.44 4a propriedade: Determinante da matriz transposta Simplificação do cálculo de determinantes
  • 66. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da matriz obtida fica multiplicado por k. 5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante 16.45 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 67. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Multiplicando a 2a coluna de A por –3, temos: B = Assim: det B = –45 + 108 + 0 – (18 + 12 – 0) = 33. Logo: det B = (–3) ∙ det A 16.45 Se A = , então: det A = 15 – 36 – 0 – (–6 – 4 + 0) = –11 5a propriedade: Produto de uma fila por uma constante Simplificação do cálculo de determinantes
  • 68. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante de A. 6a propriedade: Troca de filas paralelas 16.46 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 69. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Se A = , então: det A = 21 + 40 – 0 – (12 – 5 + 0) = 54 Trocando a 1a e a 3a linhas de posição, temos: B = Assim: det B = 12 – 5 + 0 – (21 + 40 – 0) = –54 Logo: det B = –det A 16.46 6a propriedade: Troca de filas paralelas Simplificação do cálculo de determinantes
  • 70. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos, o determinante de A é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. 7a propriedade 16.47 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 71. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo 7a propriedade Considerando a matriz A = , temos: det A = 1 ∙ 2 ∙ 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8 16.47 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 72. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Em uma matriz quadrada A de ordem n, se multiplicarmos os elementos de uma fila por uma constante qualquer e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de uma fila paralela, obteremos uma matriz B tal que det B = det A. Teorema de Jacobi 16.48 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 73. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Dada a matriz M = , temos: det M = 0 + 10 + 6 – (–10 – 2 + 0) = 28 ▪ Triplicando os elementos da 3a coluna de M e somando aos da 1a coluna de M, obtemos: N = det N = 0 + 10 + 12 – (–10 + 4 + 0) = 28 16.48 Teorema de Jacobi Simplificação do cálculo de determinantes
  • 74. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo P = det P = –20 – 50 + 18 – (–30 + 10 – 60) = 28 16.48 ▪ Calculando o oposto do dobro dos elementos da 1a coluna de M e somando aos da 3a coluna de M, obtemos: Teorema de Jacobi Simplificação do cálculo de determinantes
  • 75. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B) Teorema de Binet 16.49 Exemplo Sendo A = e B = , temos: det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60 A ∙ B = = , logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60 Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B) Simplificação do cálculo de determinantes
  • 76. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A–1 a sua inversa: Determinante da matriz inversa A ∙ A–1 = In e det (A ∙ A–1) = det In Pela 7a propriedade, sabemos que: det In = 1n = 1 Aplicando o teorema de Binet, temos: det A ∙ det A–1 = 1 16.50 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 77. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Como o produto dos determinantes é não nulo, cada fator é não nulo, isto é, det A ≠ 0; assim: det A–1 = Determinante da matriz inversa Verificamos também que, se det A ≠ 0, então A é uma matriz invertível. 16.50 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 78. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exemplo Determinante da matriz inversa Sendo A = , então: det A = 0 + 20 + 0 – (8 + 15 + 0) = –3 Portanto: det A–1 = 16.50 Simplificação do cálculo de determinantes
  • 79. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R15. Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que det A = 3. Sabendo que a matriz B é da forma B = 2 ∙ A, calcular seu determinante. 16.51
  • 80. 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 16 – Matrizes e determinantes Exercício resolvido R16. Calcular o determinante da matriz A = 16.52
  • 81. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012
  • 82. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Capítulo 17 Sistemas lineares
  • 83. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Uma companhia de navegação utiliza dois tipos de recipiente para carga, A e B, que acondicionam mercadorias em contêineres de dois tipos, I e II. A quantidade de contêineres de cada tipo que cabem em cada recipiente é dada pela tabela a seguir. Sistemas lineares Tipo de recipiente I II A 4 3 B 5 2 17.1
  • 84. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Para determinar o número de recipientes x1 e x2 de cada tipo, sabendo que a companhia deve transportar 42 contêineres do tipo I e 27 do tipo II, podemos montar um sistema: As equações desse sistema são do 1o grau e são chamadas de equações lineares. 17.1 Sistemas lineares
  • 85. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Equação linear é toda equação que pode ser escrita a1x1 + + a2x2 + ... + anxn = b, em que x1, x2,..., xn são incógnitas; os números reais a1, a2, ..., an são os coeficientes das incógnitas; e o número real b é o termo independente. Quando o termo ndependente é nulo, a equação linear é chamada de homogênea. Equações lineares Exemplos de equações lineares ▪ x1 + 3x2 – x3 = 7 ▪ x – w = 3 ▪ –x1 + 1,5x2 = 0 (homogênea) ▪ 2x + 3y – z = 0 (homogênea) 17.2
  • 86. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos de equações não lineares ▪ x2 + 3y – z = 7 (apresenta uma incógnita com expoente diferente de 1) ▪ x – = 3 (apresenta uma incógnita no denominador) ▪ 2x + 3yz = 0 (apresenta um termo com mais de uma incógnita: 3yz) 17.2 Equações lineares 1 y
  • 87. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos ▪ O par ordenado (3, 5) é solução da equação –3x + 2y = 1  –3 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 1  S = {(3, 5)} ▪ (1, 3, 5) não é solução da equação 3x – 2y – 3z = 14   3 ∙ 1 – 2 ∙ 3 – 3 ∙ 5 ≠ 14  (1, 3, 5) não é solução. ▪ (0, 0, 0) é solução da equação x + 2y – 3z = 0 → 0 + 2 ∙ 0 – 3 ∙ 0 = 0  S = {(0, 0, 0)} Equação homogênea 17.3 Solução de uma equação linear
  • 88. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Solução de uma equação é toda ênupla de números reais (1, 2, ..., n) que torna a igualdade a1x1 + a2x2 + + ... + anxn = b verdadeira, isto é, tal que a11 + a22 + + ... + ann = b seja verdadeira. 17.3 Solução de uma equação linear
  • 89. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R1. Sabendo que o par ordenado (2a, a) é a solução da equação 4x + 3y = 10, determinar o valor de a. 17.4
  • 90. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Por exemplo, observe a reação de combustão do gás metano, representada pela equação: CH4 + O2 → CO2 + H2O reagentes produtos Número de átomos carbono (C): 1 hidrogênio (H): 4 oxigênio (O): 2 Número de átomos carbono (C): 1 hidrogênio (H): 2 oxigênio (O): 3 17.5 Sistemas de equações lineares
  • 91. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Em Química, uma equação está balanceada quando o número de átomos dos reagentes é igual ao número de átomos dos produtos. Então, para balancear essa equação, podemos multiplicar cada substância por uma incógnita e formar um sistema de equações lineares. aCH4 + bO2 → cCO2 + dH2O a = c números de átomos de carbono 4a = 2d números de átomos de hidrogênio 2b = 2c + d números de átomos de oxigênio 17.5 Sistemas de equações lineares
  • 92. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Um sistema de equações lineares de m equações com n incógnitas é um conjunto de equações lineares que podem ser escritas na forma: a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1x1 + am2x2 + ⋯ + amnxn = bm em que x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, am1, ..., amn são os coeficientes reais; os números reais b1, b2, ..., bm são os termos independentes. 17.6 Sistemas de equações lineares
  • 93. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos 17.6 (sistema de 2 equações com 2 incógnitas) (sistema de 2 equações com 3 incógnitas) = (sistema de 3 equações com 4 incógnitas) (sistema de 4 equações com 3 incógnitas) Sistemas de equações lineares
  • 94. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares A ênupla (1, 2, ..., n) é solução de um sistema linear de m equações com n incógnitas quando é solução de cada uma das equações do sistema. Exemplo Observe as seguintes equações e algumas de suas soluções: ▪ 2x + y = 4  (–1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), ... ▪ x + 2y = 5  (–1, 3), (1, 2), (3, 1), (5, 0), ... Note que as duas equações têm o par ordenado (1, 2) como solução comum. Portanto, (1, 2) é solução do sistema linear 17.7 Sistemas de equações lineares
  • 95. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Solução de um sistema linear Exemplos a) Os ternos ordenados (2, 5, 2), (3, 2, 0) e (–1, 14, 8) são algumas das soluções do sistema abaixo. Podemos verificar isso substituindo os valores de cada termo no sistema. Observe: ▪ (2, 5, 2) é solução, pois: 17.8 2 – 5 + 2 ∙ 2 = 1 (verdadeira) –2 ∙ 2 + 2 ∙ 5 – 4 ∙ 2 = –2 (verdadeira) 2 + 5 – 2 = 5 (verdadeira) 123
  • 96. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos a) ▪ (3, 2, 0) é solução, pois: ▪ (–1, 14, 8) é solução, pois: 17.8 Solução de um sistema linear 3 – 2 + 2 ∙ 0 = 1 (verdadeira) –2 ∙ 3 + 2 ∙ 2 – 4 ∙ 0 = –2 (verdadeira) 3 + 2 – 0 = 5 (verdadeira) 123 –1 – 14 + 2 ∙ 8 = 1 (verdadeira) –2 ∙ (–1) + 2 ∙ 14 – 4 ∙ 8 = –2 (verdadeira) –1 + 14 – 8 = 5 (verdadeira) 123
  • 97. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos b) O terno ordenado (1, 3, 4) não é uma solução do sistema pois, substituindo esses valores nas equações, temos: (verdadeira) (falsa) 17.8 Solução de um sistema linear
  • 98. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos c) Vamos encontrar a solução do sistema pelo método da adição. Para isso, devemos multiplicar os membros de uma ou mais equações por números convenientes e, depois, adicioná-las membro a membro, de modo a eliminar uma incógnita. Assim: 17.8 Solução de um sistema linear Multiplicando a 1a equação por 2 7x = 14  x = 2
  • 99. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos c) Substituindo x = 2 na equação 2x + y = 5, temos: 2 ∙ 2 + y = 5   y = 5 – 4  y = 1 Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(2, 1)} 17.8 Solução de um sistema linear
  • 100. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares ▪ 2x + y = 4 → pontos de uma reta r ▪ x + 2y = 5 → pontos de uma reta s ▪ O ponto P, intersecção das retas r e s, representa o par ordenado (1, 2); portanto, o ponto P é a solução gráfica desse sistema. 17.9 1o caso Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas
  • 101. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Interpretando graficamente as equações, temos: Como as equações são representadas por retas paralelas e distintas, não há intersecção entre elas, portanto não existe par ordenado que seja solução do sistema. (reta r) (reta s) 17.10 2o caso Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas
  • 102. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Interpretando graficamente as equações do sistema , temos: Como as equações são representadas por retas coincidentes, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema. (reta r) (reta s) 17.10 Interpretação gráfica de um sistema linear com duas incógnitas 3o caso
  • 103. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R2. Resolva o sistema de equações: 17.11 (I) (II)
  • 104. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares De acordo com o número de soluções, um sistema linear é classificado em: a) sistema possível e determinado (SPD) → uma só solução; b) sistema possível e indeterminado (SPI) → infinitas soluções; c) sistema impossível (SI) → nenhuma solução. 17.12 Classificação de um sistema linear
  • 105. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos Produção. Em uma loja de tintas, uma máquina mistura tinta látex e corante conforme a cor escolhida pelo consumidor. O preço de uma lata de tinta é calculado de acordo com as quantidades de cada uma dessas substâncias. Vamos calcular a quantidade de litros de látex e de corante para que a máquina, preenchendo latas de 20 litros, obtenha: a) latas que custem R$ 100,00, se o preço do litro de látex for R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 8,00. 17.13 Classificação de um sistema linear
  • 106. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Resolvendo esse sistema, obtemos: x = 15 e y = 5 Logo, o conjunto solução é S = {(15, 5)}, isto é, o sistema tem apenas uma solução e é um sistema possível e determinado (SPD). Representando graficamente o sistema, temos: 17.13 a) Representando a quantidade, em litro, de látex e de corante por x e y, respectivamente, construímos o sistema: Classificação de um sistema linear r ⋂ s = {P}  SPD Exemplos
  • 107. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos b) Latas que custem R$ 80,00, se o preço do litro de látex for R$ 4,00 e o do litro de corante for R$ 4,00. Nesse caso, construímos o sistema: A 2a equação é, em ambos os membros, o quádruplo da 1a equação, representando assim a mesma informação. Algumas das infinitas soluções para esse sistema são (1, 19), (2, 18), (3, 17) e (5,3; 14,7). Observe que essas soluções são do tipo (20 – k, k), com 0 < k < 20 e k ∈ ℝ. Logo, a solução S = {(20 – k, k) | k ∈ ℝ e 0 < k < 20} e o sistema é um sistema possível e indeterminado (SPI). 17.13 Classificação de um sistema linear
  • 108. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares b) Representando graficamente o sistema, temos: Note que os gráficos que representam as duas equações são retas coincidentes, ou seja, as retas têm infinitos pontos em comum. 17.13 r ⋂ s = r = s  SPI Classificação de um sistema linear Exemplos
  • 109. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos c) Latas que custem R$ 120,00, se o preço do litro de látex for R$ 8,00 e o do litro de corante for R$ 8,00. Para essa situação, vamos considerar o sistema: Resolvendo o sistema, temos: 17.13 Classificação de um sistema linear – 8x – 8y = –160 8y + 8y = 120 0x + 0y = –40 ⇒ 0 = –40 (falsa) x + y = 20 8y + 8y = 120
  • 110. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares c) Ou seja, não há valores para x e y que tornem a sentença verdadeira. Portanto, S = ∅ e o sistema é um sistema impossível (SI). Observe que os gráficos que representam as duas equações são retas paralelas e distintas, ou seja, as retas não possuem pontos em comum. 17.13 Classificação de um sistema linear Exemplos
  • 111. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Lazer. Um jogo de computador tem início com a distribuição de fichas coloridas aos participantes. Veja na tabela abaixo a quantidade de fichas que cada jogador recebeu: O programa atribui valores às fichas conforme sua cor. Para calcular o valor de cada ficha, sabendo que, para cada jogador, a soma da quantidade de fichas multiplicada por seus valores é zero, montamos o seguinte sistema: Azul Branca Cinza Ari 3 2 1 Laís 1 2 3 João 5 6 7 17.14 Classificação de um sistema linear
  • 112. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Neste caso, também há outras soluções. Pela substituição de a, b e c, verificamos que, para  ∈ ℝ, o terno ordenado (, –2, ) é solução do sistema: Assim, para cada valor de  que substituímos no terno (, –2, ), obtemos uma solução. Por exemplo, para  = 1, temos a solução (1, –2, 1). 17.14 Classificação de um sistema linear Exemplo
  • 113. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Quando um sistema é formado apenas por equações homogêneas, ou seja, quando todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado homogêneo. Sistemas lineares homogêneos Observe que todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução. Essa solução é chamada solução nula, trivial ou imprópria. Qualquer solução diferente de (0, 0, 0) para um sistema homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria. 17.15
  • 114. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplos 17.15 ▪ ▪ ▪ Sistemas lineares homogêneos
  • 115. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R3. Determine a, b e c para que o sistema a seguir seja homogêneo: 17.16
  • 116. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Matriz associada a um sistema Exemplo a) ▪ Chamamos de matriz associada incompleta a matriz , formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema. ▪ Chamamos de matriz associada completa a matriz , formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes. 17.17 Todo sistema linear pode ser associado a matrizes.
  • 117. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Matriz associada a um sistema Exemplo b) matriz associada incompleta matriz associada completa 17.17 
  • 118. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Representação matricial de um sistema 17.18 Exemplo a) A representação matricial associada a esse sistema é dada por: Podemos verificar se essa representação matricial está correta efetuando a multiplicação de matrizes: 7 –4 ∙ x ⟶ 7x – 4y = –1 y 1 3 ∙ x ⟶ 1x + 3y = 7 y
  • 119. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) Representação matricial: Podemos verificar essa representação matricial efetuando a multiplicação de matrizes: 17.18 Representação matricial de um sistema 1 0 2 ∙ x ⟶ 1x + 0y + 2z = 1 y z 1 –2 1 ∙ x ⟶ 1x – 2y + 1z = 3 y z
  • 120. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R4. Resolva o sistema linear associado à equação matricial: 17.19
  • 121. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Considere o sistema de equações: Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3 17.20 1o) Montamos a matriz associada incompleta e calculamos seu determinante D. ▪ É importante observar que a regra de Cramer só pode ser aplicada a sistemas n × n (com n equações e n incógnitas) com D ≠ 0; portanto, se D = 0, não podemos aplicá-la. 2o) Calculamos o determinante Dx, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes. D = Dx = Descrição do procedimento Aplicação do procedimento
  • 122. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 17.20 3o) Calculamos o determinante Dy, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes. Dy = 4o) Calculamos o determinante Dz, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de z pela coluna dos termos independentes. 5o) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer: Dz = x = y = z = Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3
  • 123. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 17.21 1o) Resolvendo o sistema pelo método da adição, temos: 2o) Substituindo x em qualquer das equações, encontramos: x = , se ad – bc ≠ 0 y = , se ad – bc ≠ 0 Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
  • 124. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 17.21 3o) Observe agora os determinantes de algumas matrizes obtidas do sistema: 4o) Observando as equações dos dois primeiros passos e os determinantes, concluímos que, se D ≠ 0, a solução do sistema é dada por: ▪ D = = ad – bc ▪ Dx = = k1d – k2b ▪ Dy = = k2a – k1b x = y = Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
  • 125. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo a) Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer. Primeiro, reescrevemos o sistema: Depois, calculamos: D = = –2, Dx = = –2 e Dy = = –6 Agora, usando a regra de Cramer, temos: x = = 1 e y = = 3 Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 3)} 17.22 Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
  • 126. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) Vamos encontrar a solução do sistema , usando a regra de Cramer: D = = 62, Dx = = 62, Dy = = –62 e Dz = = 0 Logo: x = = 1, y = = –1 e z = = 0 Portanto, a solução do sistema é S = {(1, –1, 0)} coluna dos termos independentes 17.22 Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2
  • 127. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão, arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo, mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a composição de cada cesta: ▪ cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão; ▪ cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão; ▪ cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão. Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00, R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada produto citado? 17.23
  • 128. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R6. Medição. Para se inscreverem em um concurso, Bruna, Paula e Carla deviam informar, com exatidão, quanto pesavam. Como não sabiam, precisaram usar uma balança que estava no local da inscrição. No entanto, a balança indicava apenas valores acima de 80 kg. Para resolver o problema, elas se pesaram duas a duas. Descobriram que Bruna e Paula pesavam, juntas, 95 kg; Paula e Carla, 110 kg; e Bruna e Carla, 106 kg. Determine quanto cada uma pesava no ato da inscrição. 17.24
  • 129. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Indicamos por S1 ~ S2. Sistemas lineares equivalentes Exemplo a) S1= e S2 = 2 ∙ 2 + 3 = 7 (sentença verdadeira) (2,3) é solução do sistema S1 2 + 3 = 5 (sentença verdadeira) 3 ∙ 2 + 3 = 9 (sentença verdadeira) (2,3) é solução do sistema S2 7 ∙ 2 – 3 ∙ 3 = 5 (sentença verdadeira) Como S = {(2,3)} é conjunto solução dos dois sistemas, S1 e S2 são chamados de sistemas equivalentes: (S1 ~ S2) 17.25
  • 130. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) S1= e S2 = 2 + (–2) + 2 ∙  = 2 (sentença verdadeira) 2 ∙ 2 + (–2) + 2 ∙  = 4 (sentença verdadeira) 3 ∙ 2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙  = 6 (sentença verdadeira) 2 – (–2) – 2 ∙  = 2 (sentença verdadeira) 2 ∙ 2 – 3 (–2) – 6 ∙  = 4 (sentença verdadeira) 2 + 2 ∙ (–2) + 4 ∙  = 2 (sentença verdadeira) Assim, se  = 1, o terno (2, –2, 1) é uma das infinitas soluções de S1 e S2. Como S = {(2, –2, ) |  ∈ ℝ} é o conjunto solução dos dois sistemas, temos S1 ~ S2. Para todo número real , (2, –2, ) é solução de S1 (2, –2, ) também é solução de S2 17.25 Sistemas lineares equivalentes
  • 131. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R7. Verificar se os sistemas e são equivalentes. 17.26 R8. Sabendo que os sistemas são equivalentes, determine p e q. S1 = e S2 =
  • 132. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Um sistema é dito escalonado quando, de uma equação para a seguinte, aumenta a quantidade de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo. Sistema escalonado Exemplos 17.28 ▪ ▪ ▪
  • 133. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares a) Como o sistema já está escalonado, temos: z = 5 Substituindo z por 5 na 2a equação: 2y – 5 = 3 ⇒ y = 4 Agora, trocando z por 5 e y por 4 na 1a equação, obtemos: 2x – 4 + 5 = 2 ⇒ x = Logo, há uma só solução: ( , 4, 5) Portanto, o sistema é possível e determinado (SPD). 17.29 Resolução e classificação de um sistema escalonado
  • 134. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares b) O sistema tem duas equações e três incógnitas. Se o sistema admite solução para z = k, sendo k real, ele é equivalente ao sistema: Resolvendo esse novo sistema, encontramos: y = 3k e x = 4 – 5k. Atribuindo valores reais a k, obtemos soluções do sistema. Por exemplo, fazendo k = –6, obtemos o terno (34, –18, –6), que satisfaz o sistema. Como k é um número real qualquer, o sistema tem infinitas soluções, ou seja, é um sistema possível e indeterminado (SPI). 17.29 Resolução e classificação de um sistema escalonado
  • 135. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Portanto, a solução do sistema será do tipo (4 – 5k, 3k, k), em que k é real. ▪ É importante observar que, quando um sistema admite infinitas soluções (SPI), chamamos a variável que assume o valor k, real, de variável livre. Há sistemas com mais de uma variável livre. Nesse exemplo, z é a única variável livre. c) Na última equação do sistema , não há valores para z que tornem a igualdade verdadeira 0z = 2, pois toda multiplicação por zero resulta em zero. Sem solução, o sistema é impossível (SI). 17.29 Resolução e classificação de um sistema escalonado
  • 136. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas equivalentes a ele, aplicando, total ou parcialmente, o procedimento usado nos exemplos a seguir. a) Vamos escalonar o sistema , adotando os seguintes passos: 17.30 O processo do escalonamento
  • 137. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 1o) Escolhemos como 1ª equação aquela cujo coeficiente da 1a incógnita seja não nulo e, se possível, igual a 1 ou a –1, o que simplifica o processo. Então, invertendo a posição da 1a e da 2a equação, temos: O processo do escalonamento x + y – 2z = 3 (2a equação do sistema original) 3x – y + z = 5 (1a equação do sistema original) 2x + 3y – z = 7 (3a equação) 17.30
  • 138. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 2o) Anulamos os coeficientes de x da 2a e da 3a equação. Para isso vamos: ▪ Multiplicar a 1a equação por –3 e somar a equação obtida com a 2a; ▪ Multiplicar a 1a equação por –2 e somar a equação obtida com a 3a. Depois substituímos as novas equações no sistema anterior. 123123 O processo do escalonamento 17.30
  • 139. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 3o) Para facilitar a resolução, vamos inverter a 2a e a 3a equação do sistema anterior. Assim, o coeficiente de y na 2a equação será 1. 4o) Anulamos o coeficiente de y na 3a equação. Para isso, vamos multiplicar a nova 2a equação por 4 e somar o produto obtido com a nova 3a equação: (3a equação do sistema anterior) (2a equação do sistema anterior) O processo do escalonamento 17.30
  • 140. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Descrição do procedimento Aplicação do procedimento 5o) Após substituir a 3a equação pela soma obtida, temos o sistema escalonado: O processo do escalonamento x + y – 2z = 3 y + 3z = 1 19z = 0 17.30
  • 141. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Com o sistema original escalonado, a resolução fica facilitada: ▪ da 3a equação, temos z = 0; ▪ substituindo z por 0 na 2a equação, obtemos y = 1; ▪ substituindo z por 0 e y por 1 na 1a equação, obtemos x = 2. Portanto, a solução do sistema é: (2, 1, 0) O processo do escalonamento 17.30
  • 142. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R9. Escalonar e resolver o sistema: 17.31
  • 143. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Discussão de um sistema linear Discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros é indicar para quais valores desses parâmetros o sistema é: ▪ possível e determinado (SPD); ▪ possível e indeterminado (SPI); ▪ impossível (SI). 17.32
  • 144. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Sendo D o determinante da matriz associada incompleta de um sistema linear de n equações e n incógnitas: ▪ D ≠ 0 ⇒ sistema possível e determinado (SPD); ▪ D = 0 ⇒ sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI). Aplicação do determinante Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é uma matriz quadrada (n × n), não é possível calcular seu determinante, por isso aplicamos o método do escalonamento para discutir esse sistema. 17.33
  • 145. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo a) Para discutir o sistema em função de k, calculamos: D = = k – 3 ▪ D ≠ 0  k – 3 ≠ 0  k ≠ 3 SPD ▪ D = 0  k – 3 = 0  k = 3 SPI ou SI Para saber o que ocorre com o sistema quando k = 3, ou seja, para saber se o sistema é SPI ou SI, substituímos k por 3 no sistema original e prosseguimos a análise: 17.34 Aplicação do determinante
  • 146. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo a) Dividindo todos os termos da 2a equação por 3, obtemos: Substituindo I em II, obtemos 2 = 1, o que é absurdo! Logo, o sistema é impossível (SI). Conclusão: 17.34 Aplicação do determinante (I) (II)
  • 147. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exemplo b) Para discutir o sistema em função de m, calculamos: D = = 1 – m2 ▪ D ≠ 0 ⇒ 1 – m2 ≠ 0  m ≠ ±1 ⇒ SPD m = 1 ⇒ ⇒ SPI ▪ D = 0 ⇒ m = ±1 m = –1 ⇒ ⇒ SI 17.34 Aplicação do determinante
  • 148. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 1 – Conjuntos 1.5CONEXÕES COM A MATEMÁTICA CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 17 – Sistemas lineares Exercício resolvido R10. Discutir o sistema em função de k. 17.35 R11. Discutir o sistema
  • 149. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012
  • 150. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Capítulo 18 Análise combinatória ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória
  • 151. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3 tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de sanduíche Raul pode montar? Situações envolvendo contagem 18.118.1
  • 152. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Raul pode fazer três tipos de escolha: ▪ E1: pão francês (f) ou integral (i); ▪ E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou hambúrguer (h); ▪ E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq). Situações envolvendo contagem 18.1
  • 153. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Situações envolvendo contagem E1 E2 E3 Sanduíche ▪ Organizando as opções em um esquema, temos: 2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades Esse tipo de esquema é chamado de árvore de possibilidades, também conhecido como diagrama de árvore ou diagrama sequencial. 18.1 pão francês pão integral calabresa presunto hambúrguer calabresa presunto hambúrguer com queijo com queijo com queijo com queijo com queijo com queijo sem queijo sem queijo sem queijo sem queijo sem queijo sem queijo f c cq f c sq f p cq f p sq f h cq f h sq i c cq i c sq i p cq i p sq i h cq i h sq
  • 154. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12 tipos de sanduíche. Situações envolvendo contagem 18.1
  • 155. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa (k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos obter cara (c) ou coroa (k). Situações envolvendo contagem 18.2
  • 156. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Vamos representar esses lançamentos em uma árvore de possibilidades: Situações envolvendo contagem 18.2 cara coroa coroa cara coroa cara cc ck kc kk 1o lançamento 2o lançamento Resultado 2 possibilidades 4 possibilidades
  • 157. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Outro recurso para representar todas as possibilidades é a tabela de dupla entrada: Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk. Situações envolvendo contagem Cara (c) Coroa (k) Cara (c) cc ck Coroa (k) kc kk 18.2
  • 158. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Para calcular o número de resultados possíveis de um acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades, usamos o princípio multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem: O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou mais etapas. Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m ∙ n. Princípio multiplicativo 18.3
  • 159. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 18.4 Exercício resolvido R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras?
  • 160. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema? (Considere o alfabeto com 26 letras.) 18.5 O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa de automóvel: 3 letras 4 algarismos Exercício resolvido
  • 161. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R3. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 18.6 Exercício resolvido
  • 162. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R4. Calcule a quantidade de números de 3 algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8. 18.7 Exercício resolvido
  • 163. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R5. Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e divisíveis por 5? 18.8 Exercício resolvido
  • 164. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R6. Uma prova consta de 12 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos distintos é possível preencher o gabarito de respostas? 18.9 Exercício resolvido
  • 165. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória O fatorial de um número natural n é representado por n! (lemos: “n fatorial”) e é definido por: ▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1, para n ≥ 2 ▪ 1! = 1 ▪ 0! = 1 Fatorial de um número natural Exemplos a) 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 b) 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3.628.800 18.10
  • 166. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Simplificação de expressões com fatorial Ao representar n!, podemos fazer algumas substituições. Observe: ▪ 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9! 9! ▪ n! = n ∙ (n – 1)! ▪ n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2)! e assim por diante. Esse tipo de substituição será muito usado nas simplificações de expressões. 18.11
  • 167. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória a) b) c) Simplificação de expressões com fatorial Exemplos 18.11
  • 168. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exercício resolvido R7. Calcule n sabendo que 18.12
  • 169. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Quando trocamos a ordem das letras que formam uma palavra, obtemos um anagrama dessa palavra, que pode ter significado ou não. Vamos verificar, por exemplo, quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra AMOR. Para a primeira letra, temos 4 possibilidades (A, M, O, R). Depois dessa escolha, há 3 possibilidades para a escolha da segunda letra, 2 para a terceira letra e 1 para a quarta letra. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, ou seja, 24 anagramas. Anagramas 18.13
  • 170. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Anagramas Para determinar todos os anagramas, podemos fazer uma árvore de possibilidades: 18.13 M A ROMA 1a letra 2a letra 3a letra 4a letra Anagrama O R A M R A M O M R A R A M M O A O A R R O O M M M M A A A OAMR OARM OMRA OMAR ORAM ORMA RAMO RAOM RMAO RMOA ROAM M A O R O R A R A O R R O O A A MAOR MROA MARO MOAR MORA MRAO A M O R O R M R M O R R O O M M AMOR AROM AMRO AOMR AORM ARMO
  • 171. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Cada um dos anagramas corresponde a uma permutação simples das letras da palavra AMOR. De uma permutação para outra, os elementos são sempre os mesmos; eles apenas mudam de posição. Anagramas 18.13
  • 172. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer agrupamento ordenado (sequência) desses n elementos. Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam um todo com a finalidade de obter uma nova configuração. Permutação simples 18.14 Indica-se por Pn o número de permutações simples de n elementos.
  • 173. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória O número de permutações simples de n elementos é dado por: Pn = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1, ou Pn = n! Número de permutações Simples 18.15
  • 174. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Permutação com elementos repetidos O número de permutações de n elementos, dos quais n1 é de um tipo, n2 de um segundo tipo, ..., nk de um k-ésimo tipo, é indicado por e é dado por: 18.16
  • 175. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R8. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? 18.17 Exercício resolvido R9. Considerando os anagramas da palavra EDITAR, quantos apresentam: a) as letras T, A e R juntas e nessa ordem? b) as letras T, A e R juntas? R10. Determine quantos anagramas da palavra ELEGER começam por: a) consoante; b) vogal.
  • 176. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R11. Na figura abaixo, que representa parte do mapa de uma cidade, as ruas são indicadas com a cor cinza. Pedro sai de carro do ponto A e vai até o ponto B, dirigindo-se sempre para o norte (N) ou para o leste (L), realizando, desse modo, trajetórias de comprimento mínimo. Quantas são as possíveis trajetórias que Pedro pode fazer? 18.20 Exercício resolvido
  • 177. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento ordenado (sequência) de p elementos distintos, escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por An,p, ou o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p. Arranjo simples 18.21
  • 178. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Vejamos como calcular o número de arranjos simples no caso geral de n elementos tomados p a p, com 0 < p ≤ n, indicado por . Existem n possíveis escolhas para o primeiro elemento do agrupamento, n – 1 possíveis escolhas para o segundo elemento, n – 2 para o terceiro elemento, ..., n – (p – 1) possíveis escolhas para o p-ésimo elemento do agrupamento. Número de arranjos simples 18.22
  • 179. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Então, aplicando o princípio multiplicativo, o número de arranjos simples de n elementos p a p é: An,p = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ [n – (p – 1)], 0 < p < menor ou igual > n. p fatores Número de arranjos simples 18.22
  • 180. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Desenvolvendo a expressão do 2o membro e multiplicando-o por , temos: Então: Número de arranjos simples 18.22 An,p =
  • 181. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R12. Quantos números de 3 algarismos diferentes é possível escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7? 18.23 Exercício resolvido R13. Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas 2 pessoas podem se sentar nessas cadeiras, deixando ao menos uma cadeira entre elas?
  • 182. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de p elementos escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por Cn,p ou o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com p ≤ n. Combinação simples 18.25
  • 183. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória O número total de combinações de n elementos tomados p a p é igual ao quociente entre o número de arranjos (An,p) e o número de permutações (p!): Portanto: Número de combinações simples 18.26
  • 184. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R14. Dentre 10 alunos de uma turma de 3o ano, três serão escolhidos para formar a comissão de formatura. De quantos modos distintos é possível formar essa comissão? 18.27 Exercício resolvido
  • 185. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R15. Loteria. Para fazer uma aposta da Lotofácil, devem-se marcar 15 números entre os 25 que constam no volante. De quantas maneiras é possível preencher um cartão da Lotofácil? 18.28 REPRODUÇÃO Exercício resolvido
  • 186. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R16. Geometria. Considerando 6 pontos, pertencentes a um mesmo plano e distribuídos de tal forma que quaisquer 3 pontos não sejam colineares, determinar quantos triângulos podem ser formados com 3 desses pontos como vértices. 18.29 Exercício resolvido
  • 187. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória R17. Para fazer um trabalho, os 30 alunos de uma turma serão divididos em grupos de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos nessa turma. Quantas equipes diferentes podem ser formadas: a) se não houver restrições quanto ao sexo? b) com 2 garotas e 2 garotos? 18.30 Exercício resolvido
  • 188. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dados dois números naturais n e k, com n ≥ k, chamamos de coeficiente binomial n sobre k ou número binomial n sobre k, e indicamos por , o número: Dizemos que n é o numerador e k é o denominador do coeficiente binomial. Coeficiente binomial 18.31
  • 189. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplos a) O coeficiente binomial 7 sobre 4 é: b) O coeficiente binomial 11 sobre 2 é: Coeficiente binomial 18.31
  • 190. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Observe o cálculo do coeficiente binomial n sobre k para alguns valores de k: ▪ Para k = 0: ▪ Para k = n: ▪ Para k = 1: Coeficiente binomial 18.31
  • 191. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dois coeficientes binomiais são complementares se apresentam o mesmo numerador e se a soma de seus denominadores é igual a esse numerador, isto é: são complementares se p + q = n Coeficientes binomiais complementares 18.32
  • 192. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Dois coeficientes binomiais são iguais se têm o mesmo numerador e o mesmo denominador, ou se eles são complementares. Considerando dois coeficientes binomiais complementares , temos: Assim: Igualdade de coeficientes binomiais 18.33
  • 193. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplos a) b) c) d) Igualdade de coeficientes binomiais 18.33
  • 194. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados numa mesma coluna. Triângulo de Pascal 18.34
  • 195. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Triângulo de Pascal 18.34 Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha n coluna 0 coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna 4 coluna 5 coluna n
  • 196. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos outra representação para o triângulo de Pascal: Triângulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 18.34
  • 197. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 1a propriedade Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam por 1, pois esses elementos são do tipo = 1 e = 1 Exemplos a) Na linha 6, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. b) Na linha 12, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. Propriedades do triângulo de Pascal 18.35
  • 198. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 2a propriedade Em qualquer linha do triângulo de Pascal, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. A justificativa dessa propriedade está no fato de os coeficientes equidistantes dos extremos serem representados por coeficientes binomiais complementares. Propriedades do triângulo de Pascal 18.35
  • 199. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplos a) Na linha 5 do triângulo, temos: b) Na linha 8 do triângulo, temos: Propriedades do triângulo de Pascal 18.36
  • 200. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 3a propriedade – Relação de Stifel Cada elemento , da linha n, coluna k, com 0 < k < n, é igual à soma dos elementos que estão na linha n – 1, nas colunas k –1 e k. Ou seja: Essa é a chamada relação de Stifel. Propriedades do triângulo de Pascal 18.37
  • 201. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Propriedades do triângulo de Pascal 18.37 Exemplo 3a propriedade – Relação de Stifel
  • 202. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 4a propriedade A soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal é igual a uma potência de 2, em que o expoente é igual à posição da linha, ou seja, a soma dos elementos da linha n é igual a 2n. Propriedades do triângulo de Pascal 18.38
  • 203. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Exemplo Observe a soma dos elementos das primeiras 5 linhas do triângulo de Pascal: Propriedades do triângulo de Pascal Linha 0 1 soma = 20 = 1 Linha 1 1 1 soma = 21 = 2 Linha 2 1 2 1 soma = 22 = 4 Linha 3 1 3 3 1 soma = 23 = 8 Linha 4 1 4 6 4 1 soma = 24 = 16 18.38
  • 204. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 5a propriedade A soma dos elementos da coluna k, desde o primeiro elemento até o elemento da linha n, é igual a . Exemplo Propriedades do triângulo de Pascal 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 1 + 2 + 3 = 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 18.39
  • 205. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória 6a propriedade A soma dos elementos da diagonal n, desde o primeiro elemento até o elemento da coluna k, é igual a . Exemplo Propriedades do triângulo de Pascal 18.40 Diagonal 0 Diagonal 1 Diagonal 2 Diagonal 3 Diagonal 4 Diagonal 5 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 + 3 + 6 = 10
  • 206. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória Na sequência (am, am+1, am+2, ..., an–1, an), a soma dos termos am+ am+1 + am+2 + ... + an–1 + an pode ser representada por com m e n naturais e m < n. (lemos: “somatório de ai com i variando de m a n”). Exemplos a) 1 + 2 + 3 + ... + 100 = b) 1 + + +...+ = Somatório 18.41
  • 207. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória a) Soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo de Pascal: b) Soma dos coeficientes binomiais da linha n do triângulo de Pascal: Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais 18.42