1_MatrizesSistemas (2).pdf

42
5
1
0011 0010
Matrizes
e
Sistemas de equações lineares

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5
1
0011 0010
As matrizes são ferramentas básicas da álgebra linear e têm múltiplas
aplicações na matemática e noutras ciências:
- na resolução de sistemas de equações lineares;
- na resolução de sistemas de equações diferenciais;
- na resolução de problemas de otimização;
- na teoria da computação gráfica, são usadas para representar a
translação, a rotação e a escala de objectos;
- nas engenharias, para resolver problemas de circuitos elétricos e de
linhas de transmissão de energia elétrica;
- etc.

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5
1
0011 0010
Sejam e números naturais. Uma matriz do tipo
( por ) com elementos reais (complexos) é uma tabela
de números reais (complexos) dispostos em linhas e
colunas.
ou, abreviadamente, , onde é o
índice de linha e é o índice de coluna.
Se , diz-se que A é uma matriz quadrada de ordem













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
21
1
12
11
  n
m
ij
a
A 
  
m
i ,...,
1

 
n
j ,...,
1

A n
m
m
m n
mn m n
n
m  .
n
n

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5
1
0011 0010
Diz-se que ou é o elemento ou a entrada de posição
(i, j) da matriz A.
i é o índice de linha e j é o índice de coluna.
A i-ésima linha de A é
A j-ésima coluna de A é
para i =1,…,m e j =1,…,n .






in
i
i a
a
a ...
2
1
ij
a
.
2
1














mj
j
j
a
a
a

 ij
A

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5
1
0011 0010
Exemplos
(a) é uma matriz do tipo
(b) é uma matriz do tipo
(c) é uma matriz do tipo
(d) é uma matriz do tipo
(e) é uma matriz do tipo







3
4
0
1
A .
2
2







1
5
1
9
3
0
B .
3
2












2
4
1
C .
1
3
 
10
1
0 

D .
3
1
 
4

E .
1
1

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5
1
0011 0010
Uma matriz que só possui uma linha diz-se uma matriz linha.
Uma matriz que só possui uma coluna diz-se uma matriz coluna.
Matrizes linha e matrizes coluna também se dizem vectores e, neste
caso, as suas entradas dizem-se coordenadas.
Duas matrizes
e
dizem-se iguais se e só se m=p, n=q e para cada
i=1,…,m e j=1,…,n.
  n
m
ij
a
A 
   q
p
ij
b
B 

ij
ij b
a 

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5
1
0011 0010
Seja
uma matriz quadrada de ordem n.
Os elementos diagonais (ou elementos principais) de A são os n
elementos que têm índices de linha e coluna iguais, ou seja,
Ao seu conjunto dá-se o nome de diagonal principal de A.
A sua soma constitui o traço de A; denota-se por tr(A).

















nn
ni
n
in
ii
i
n
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
















1
1
1
1
11
.
,...,
, 22
11 nn
a
a
a
.
...
)
( 22
11 nn
a
a
a
A
tr 




42
5
1
0011 0010
Uma matriz diz-se triangular superior se
para todo com
0

ij
a
.
j
i 

















nn
in
ii
n
i
a
a
a
a
a
a
A
















0
0
0
1
1
11
  n
n
ij
a
A 

 
n
j
i ,...,
1
, 

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5
1
0011 0010
Uma matriz diz-se triangular inferior se
para todo com
A diz-se triangular se for triangular superior ou triangular
inferior.
0

ij
a
.
j
i 

















nn
ni
n
ii
i
a
a
a
a
a
a
A
















1
1
11
0
0
0
 
n
j
i ,...,
1
, 
  n
n
ij
a
A 


42
5
1
0011 0010
Uma matriz diz-se diagonal se
para todo o com .
(todas as entradas não diagonais são nulas).
0

ij
a
j
i 

















nn
ii
a
a
a
A
















0
0
0
0
0
0
11
 
n
j
i ,...,
1
, 
  n
n
ij
a
A 


42
5
1
0011 0010
Uma matriz diz-se escalar se, para
quando
e (c constante).
0

ij
a
c
aii 
.
0
0
0
0
0
0

















c
c
c
A
















 ,
,...,
1
, n
j
i 
j
i 
  n
n
ij
a
A 


42
5
1
0011 0010
Uma matriz escalar com todos os elementos diagonais iguais a 1,
chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se por
A matriz,
chama-se matriz nula













0
0
0
0
0
0
0
0
0
0







,
n
m
.
n
m
.
1
0
0
0
1
0
0
0
1

































n
I

42
5
1
0011 0010
A transposta de uma matriz
é definida pela matriz que se obtém de A pela troca das
linhas com as colunas; ou seja,
para cada e
Escreve-se
  n
m
ij
a
A 

ji
ij a
b 
  m
n
ij
b
B 

.
t
A
B 













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
21
1
12
11













mn
n
n
m
m
t
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
12
1
21
11
m
i ,...,
1
 .
,...,
1 n
j 

42
5
1
0011 0010
Seja uma matriz quadrada e
A é simétrica se ou seja, para cada
A é anti-simétrica se ou seja, para cada
Uma matriz anti-simétrica tem elementos diagonais nulos.
  n
n
ij
a
A 

;
A
At

;
A
At


ij
ji a
a 
ij
ji a
a 

 .
,...,
1
, n
j
i 
 .
,...,
1
, n
j
i 
  .
n
n
ij
a
A 




42
5
1
0011 0010
Seja uma matriz complexa.
A matriz conjugada de A, denotada por é a matriz complexa
do tipo cujos elementos são os complexos conjugados dos
elementos de A.
A matriz transconjugada de A, é a transposta da matriz
conjugada de A, que é o mesmo que a conjugada da transposta de
A.
  n
m
ij
a
A 

,
A
n
m
  .
n
m
ij
a
A 

,
*
A
  .
* t
t
A
A
A 


42
5
1
0011 0010
Seja uma matriz complexa quadrada.
A diz-se hermítica se isto é, se, para cada
Uma matriz hermítica tem elementos diagonais reais e a entrada (j,i)
é o conjugado da entrada (i,j) , para cada e .
A diz-se anti-hermítica se ou seja, se, para todo
Uma matriz anti-hermítica tem elementos diagonais nulos e/ou
imaginários puros e as entradas (i,j) e (j,i) têm partes imaginárias
iguais e partes reais simétricas , para cada e
;
*
A
A 
.
ij
ji a
a 
;
*
A
A 

.
ij
ji a
a 

 
n
j
i ,...,
1
, 
 
n
j
i ,...,
1
, 
 
n
j
i ,...,
1
, 
 
n
j
i ,...,
1
, 
  n
n
ij
a
A 

j
i 
.
j
i 

42
5
1
0011 0010
Operações com matrizes

42
5
1
0011 0010
A soma de duas matrizes do mesmo tipo
e
é a matriz
onde para e
  n
m
ij
a
A 
   n
m
ij
b
B 

n
m
B
A
C 

ij
ij
ij b
a
c 
 m
i ,...,
1
 .
,...,
1 n
j 


























mn
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a














2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11





















mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a







2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11

42
5
1
0011 0010
A multiplicação de uma matriz por um escalar
(número) é a matriz
onde
para i=1,…,m e j=1,…,n.
Diz-se que a matriz B é múltiplo escalar da matriz A.
  n
m
ij
a
A 


A
B 

ij
ij a
b 














mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
21
1
12
11













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A

















2
1
2
22
21
1
12
11

42
5
1
0011 0010
O produto de duas matrizes
e
é a matriz
onde
para i=1,…,m e j=1,…,n.
  p
m
ij
a
A 
   n
p
ij
b
B 

AB
C 
pj
ip
j
i
j
i
ij b
a
b
a
b
a
c 



 ...
2
2
1
1

42
5
1
0011 0010
Propriedades da álgebra matricial
Teorema. Sejam e matrizes reais (complexas) com
tamanhos apropriados, e escalares. São válidas as
seguintes propriedades para as operações matriciais:
(a) (comutatividade)
(b) (associatividade)
(c) (elemento neutro) A matriz nula , é tal que
para cada matriz ,
(d) (elemento oposto) Para cada matriz A, existe uma
única matriz , definida por tal que
 
0 ,
n
m
;
0
0 A
A
A 



,
n
m
    ;
0





 A
A
A
A
,
n
m
;
n
m
 
ij
a
A 


A

B
A, C
;
A
B
B
A 


    ;
C
B
A
C
B
A 




A

42
5
1
0011 0010
(e)
(f)
(g)
(h) (associatividade)
(i) (elemento neutro) As matrizes identidade e são tais
que para toda a matriz
(j) (distributividade à esquerda)
(k) (distributividade à direita)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
    ;
A
A 

 
  ;
A
A
A 


 


  ;
B
A
B
A 

 


;
)
(
)
( C
AB
BC
A 
n
I
,
A
A
I
AI m
n 
   .
n
m
ij
a
A 

;
)
( AC
AB
C
B
A 


   ;
)
( B
A
B
A
AB 

 

;
)
( A
A t
t

;
)
( t
t
t
B
A
B
A 


;
)
( t
t
A
A 
 
  .
t
t
t
A
B
AB 
;
)
( CA
BA
A
C
B 


m
I

42
5
1
0011 0010
A diferença de duas matrizes do mesmo tamanho
e
é a matriz
ou seja, é a soma da matriz com a matriz oposta de
  n
m
ij
a
A 
   n
m
ij
b
B 

 
B
A
B
A 



A .
B

42
5
1
0011 0010
Sejam uma matriz e um inteiro positivo.
Define-se a potência de , por
Para define-se
A
A
n
n
.
....



vezes
p
p
A
A
A 
.
0
n
I
A 
p
,
0

p
p

42
5
1
0011 0010
Sistemas de equações lineares

42
5
1
0011 0010
Um sistema (linear) de m equações a n incógnitas
onde são inteiros positivos e
são números reais (ou complexos) e chamam-se, respectivamente,
os coeficientes e os termos independentes do sistema.
:
,...,
1 n
x
x



















m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11

i
ij b
a , )
,...,
1
;
,...,
1
( n
j
m
i 

n
m,

42
5
1
0011 0010
O sistema pode escrever-se como uma equação matricial:
onde é a matriz dos coeficientes do sistema,
é a matriz dos termos independentes,
é a matriz das incógnitas.













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2
1
2
22
21
1
12
11













n
x
x
x
X

2
1













m
b
b
b
B

2
1
B
AX 

42
5
1
0011 0010
Uma solução de um sistema linear é uma matriz coluna (vetor)
tal que as equações do sistema são simultaneamente satisfeitas quando
substituimos
O conjunto de todas as soluções de um sistema linear também se diz a
solução geral do sistema.
Dois sistemas lineares dizem-se equivalentes se admitem o mesmo
conjunto de soluções.













n
s
s
s
S 2
1
.
,...,
, 2
2
1
1 n
n s
x
s
x
s
x 



42
5
1
0011 0010
Classificação dos sistemas lineares
Um sistema diz-se:
- impossível se não tem solução;
- possível se tem pelo menos uma solução;
- possível e determinado se tem uma única solução;
- possível e indeterminado se tem mais do que uma solução (neste
caso, tem infinitas soluções).

42
5
1
0011 0010
Uma forma de resolver um sistema linear consiste em transformar o
sistema inicial num sistema equivalente de resolução mais simples.
O outro sistema pode obter-se através da aplicação de operações
elementares às equações do sistema.
Estas operações, que se chamam operações elementares, são:
(E1) trocar duas equações do sistema entre si;
(E2) multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero;
(E3) somar a uma equação outra multiplicada por um escalar
qualquer.

42
5
1
0011 0010
Quando se aplicam operações elementares sobre as equações de um
sistema linear, somente os coeficientes e os termos independentes do
sistema são alterados. Deste modo, as operações podem aplicar-se
sobre a seguinte matriz, que se chama a matriz completa ou a matriz
ampliada do sistema.
 















m
mn
m
m
n
n
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B
A








2
1
2
1
2
22
21
1
12
11

42
5
1
0011 0010
Chamam-se operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
(E1) trocar entre si duas linhas da matriz;
(E2) multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(E3) somar a uma linha da matriz outra multiplicada por um escalar
qualquer.
Teorema. Seja um sistema de equações a incógnitas.
Seja uma matriz obtida a partir da matriz ampliada do sistema,
, através da aplicação de uma sequência finita de operações
elementares sobre linhas. Então o sistema é equivalente ao
sistema .
 
B
A
B
AX 
 
'
' B
A
m n
'
' B
X
A 
B
AX 

42
5
1
0011 0010
Método de Gauss-Jordan
Pretende-se transformar a matriz ampliada do sistema na forma de Gauss-
Jordan, cujo sistema associado é fácil de resolver.

42
5
1
0011 0010
Uma matriz está na forma de Gauss-Jordan quando satisfaz as
seguintes condições:
(a) as linhas nulas (caso existam) ocorrem depois das linhas não
nulas;
(b) o pivô (primeiro elemento não nulo) em cada linha é 1;
(c) o pivô em cada linha não nula ocorre numa coluna à direita do
pivô da linha precedente;
(d) o pivô em cada linha é o único elemento não nulo na respetiva
coluna.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não
necessáriamente (b) e (d), diz-se que a matriz está na forma de
Gauss.

42
5
1
0011 0010
Exemplos.
Forma de Gauss-Jordan:
Forma de Gauss:
























0
2
1
0
1
0
0
0
2
0
0
1
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3 A
I

























0
12
3
0
9
2
0
0
2
0
0
1
,
4
0
0
3
1
0
2
2
2
C
B

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5
1
0011 0010
Uma matriz diz-se equivalente por linhas a uma matriz
se B se pode obter de por aplicação de uma sequência
finita de operações elementares sobre linhas.
Teorema. Toda a matriz é equivalente por linhas a uma única matriz
na forma de Gauss-Jordan.
  n
m
ij
a
A 

  n
m
ij
b
B 
 A

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5
1
0011 0010
Característica de uma matriz
A característica de uma matriz na forma de Gauss é igual ao
número de pivôs nessa matriz.
A característica de uma matriz qualquer , que se denota por
c(A), é igual à característica da matriz na forma de Gauss que se
obtém de utilizando operações elementares sobre linhas.
A matriz nula tem característica 0.
A
A

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5
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0011 0010
Classificação dos sistemas lineares
Um sistema linear onde é do tipo è:
• impossível sse c(A) c([A|B];
• possível e determinado sse c(A) = c([A|B] = n ;
• possível e indeterminado sse c(A) = c([A|B] < n .
Observação. Se o sistema linear é possível, o número inteiro não
negativo n- c(A) chama-se grau de indeterminação do sistema e
indica o número de variáveis livres (variáveis que podem tomar
valores arbitrários).

,
n
m
,
B
AX  A

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5
1
0011 0010
Um sistema linear diz-se homogéneo se são nulos todos os seus
termos independentes
isto é, se a sua equação matricial é da forma .
0

AX



















0
...
0
...
0
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
mn
m
m
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a


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5
1
0011 0010
Um sistema homogéneo é sempre possível pois admite sempre a
solução nula. Se é determinado, essa é a sua única solução. Se é
indeterminado, para além da solução nula, admite soluções não
nulas.
Teorema. Se é tal que m<n (nº de equações < nº de
incógnitas), então o sistema homogéneo tem solução não
nula.
Teorema. Seja
(a) Se e são soluções do sistema homogéneo , então
também o é
(b) Se é solução do sistema homogéneo, , então
também o é, para qualquer escalar
  n
m
ij
a
A 

0

AX
  .
n
m
ij
a
A 

1
X

.

0

AX
0

AX
.
2
1 X
X 
1
X 2
X
1
X

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5
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0011 0010
A todo o sistema de equações lineares está associado o
sistema homogéneo .
Relação entre as soluções de um sistema e as soluções do sistema
homogéneo associado
A solução geral do sistema pode obter-se somando uma
solução particular deste sistema com cada solução do
sistema homogéneo associado.
0

AX
B
AX 
 
0
s  
s
B
AX 
0

AX

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5
1
0011 0010
Inversa de uma matriz quadrada

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5
1
0011 0010
Uma matriz quadrada diz-se invertível ou não singular,
se existe uma matriz tal que
A matriz B chama-se inversa de A. Se A não possui inversa, diz-se
que a matriz A é não invertível ou singular.
Teorema. Se uma matriz possui inversa, então a
inversa é única.
A inversa de uma matriz A, quando existe, denota-se por
  n
n
ij
a
A 

  n
n
ij
b
B 

.
n
I
BA
AB 

  n
n
ij
a
A 

.
1

A

42
5
1
0011 0010
Teorema. Sejam A e B matrizes Se então
Assim, para averiguar se uma matriz A é invertível, quando se tem
uma matriz B que é candidata a inversa de A, basta fazer um dos
produtos AB ou BA e ver se é igual a
.
n
I
BA 
.
n
n
.
n
I
,
n
I
AB 

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5
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0011 0010
Teorema. Seja A uma matriz As seguintes condições são
equivalentes:
(a) A é invertível;
(b) c(A)= n;
(c) A é equivalente por linhas à matriz identidade
Dada uma matriz A, tal que c(A)= n, (logo invertível), a inversa
de A é a solução da equação matricial . Então, para calcular
basta transformar a matriz numa matriz por meio
de operações elementares sobre linhas, onde .
,
n
n
,
1

A  
B
In
.
n
n
.
n
I
n
I
AX 
 
n
I
A
1

 A
B

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5
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0011 0010
Propriedades da inversa
Teorema. Sejam e uma matriz invertível do tipo e um
escalar não nulo.
(a) é invertível e
(b) é invertível e
(c) é invertível e
(d)
(e) para qualquer inteiro positivo .
Nota. Se é invertível, então define-se, para qualquer inteiro
positivo m,
1

A   ;
1
1
A
A 


t
A    ;
1
1 t
t
A
A 


n
n
A
   ;
1
1
1 


 A
A 

   m
m
A
A 1
1 


  .
1 m
m
A
A 



;
)
( 1
1
1 


 A
B
AB
m
A
A

B

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0011 0010
Teorema. Seja
(a) O sistema possui uma única solução sse A é invertível.
Neste caso, a solução é
(b) O sistema homogéneo tem solução não trivial sse A é
singular (não invertível).
  .
n
n
ij
a
A 

.
1
B
A
X 

0

AX
B
AX 

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