Este documento apresenta os principais conceitos de geometria fundamental para engenharia, incluindo: (1) definições de polígonos, triângulos e suas classificações; (2) o Teorema de Pitágoras e suas aplicações; (3) relações trigonométricas em triângulos retângulos e não retângulos usando seno, cosseno e tangente; (4) leis dos senos e cossenos; e (5) cálculos de área e volume de figuras geométricas comuns. O documento fornece
Este documento fornece uma introdução aos principais conceitos de geometria utilizados em engenharia, incluindo definições de polígonos, triângulos, teorema de Pitágoras, relações trigonométricas, área e volume de figuras geométricas.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria para engenharia, incluindo definições de polígonos, triângulos e suas classificações, além de relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos e não retângulos.
2) São explicados em detalhe o Teorema de Pitágoras, Leis dos Senos e Cosenos, cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas como polígonos e círculos.
3) Vários exemplos numéricos são fornecidos
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria para engenharia, incluindo polígonos, triângulos, relações métricas em triângulos retângulos, relações trigonométricas e cálculo de áreas e volumes.
2) As relações trigonométricas são explicadas para triângulos retângulos e não retângulos, incluindo o Teorema de Pitágoras, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.
3) Vários exemplos numéricos são fornecidos para demonstrar o uso dess
O documento apresenta um resumo sobre trigonometria, geometria e mecânica técnica, incluindo definições de triângulos retângulos, funções trigonométricas, leis de cossenos e senos, notação científica e o sistema internacional de unidades.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria de triângulos retângulos, incluindo as relações entre os ângulos e os lados desses triângulos.
2) São definidas as funções seno, cosseno e tangente para ângulos agudos de um triângulo retângulo em termos dos lados do triângulo.
3) Vários exemplos ilustram como aplicar essas relações trigonométricas para resolver problemas geométricos e de engenharia.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
1) O documento descreve um capítulo sobre a história da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até seu desenvolvimento nos séculos posteriores por matemáticos indianos, árabes e europeus.
2) Hiparco da Niceia é considerado o fundador da trigonometria no século II a.C. ao introduzir medidas sexagesimais em astronomia e elaborar a primeira tabela trigonométrica.
3) A trigonometria esférica foi introduzida pelos matemáticos indianos e árab
1) O documento introduz conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições de termos como cateto e hipotenusa.
2) A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas como medir a altura de prédios e a distância entre a Terra e a Lua.
3) O texto explica propriedades geométricas do triângulo retângulo como os ângulos, lados, altura e relações métricas entre os lados.
Este documento fornece uma introdução aos principais conceitos de geometria utilizados em engenharia, incluindo definições de polígonos, triângulos, teorema de Pitágoras, relações trigonométricas, área e volume de figuras geométricas.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria para engenharia, incluindo definições de polígonos, triângulos e suas classificações, além de relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos e não retângulos.
2) São explicados em detalhe o Teorema de Pitágoras, Leis dos Senos e Cosenos, cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas como polígonos e círculos.
3) Vários exemplos numéricos são fornecidos
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria para engenharia, incluindo polígonos, triângulos, relações métricas em triângulos retângulos, relações trigonométricas e cálculo de áreas e volumes.
2) As relações trigonométricas são explicadas para triângulos retângulos e não retângulos, incluindo o Teorema de Pitágoras, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.
3) Vários exemplos numéricos são fornecidos para demonstrar o uso dess
O documento apresenta um resumo sobre trigonometria, geometria e mecânica técnica, incluindo definições de triângulos retângulos, funções trigonométricas, leis de cossenos e senos, notação científica e o sistema internacional de unidades.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria de triângulos retângulos, incluindo as relações entre os ângulos e os lados desses triângulos.
2) São definidas as funções seno, cosseno e tangente para ângulos agudos de um triângulo retângulo em termos dos lados do triângulo.
3) Vários exemplos ilustram como aplicar essas relações trigonométricas para resolver problemas geométricos e de engenharia.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
1) O documento descreve um capítulo sobre a história da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até seu desenvolvimento nos séculos posteriores por matemáticos indianos, árabes e europeus.
2) Hiparco da Niceia é considerado o fundador da trigonometria no século II a.C. ao introduzir medidas sexagesimais em astronomia e elaborar a primeira tabela trigonométrica.
3) A trigonometria esférica foi introduzida pelos matemáticos indianos e árab
1) O documento introduz conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições de termos como cateto e hipotenusa.
2) A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas como medir a altura de prédios e a distância entre a Terra e a Lua.
3) O texto explica propriedades geométricas do triângulo retângulo como os ângulos, lados, altura e relações métricas entre os lados.
1) O documento apresenta um resumo histórico da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos.
2) É introduzido o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desse tipo de triângulo.
3) São definidas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para um triângulo retângulo e apresentados alguns valores notáveis dessas funções.
Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios de geometria plana para o 3o ano do ensino médio. Está dividido em 13 aulas que abordam conceitos como pontos notáveis de triângulos, quadriláteros notáveis, polígonos convexos, ângulos na circunferência, semelhança e relações métricas em triângulos, circunferência e círculo, inscrição e circunscrição de polígonos regulares e áreas das figuras planas.
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções trigonométricas, incluindo:
1) A definição de círculo trigonométrico e unidades angulares como radianos e graus;
2) As definições de seno, cosseno e tangente em termos do círculo trigonométrico;
3) Algumas relações trigonométricas básicas como a relação fundamental da trigonometria.
1) O documento discute várias propriedades trigonométricas importantes do triângulo retângulo além do Teorema de Pitágoras, como medições indiretas, razões trigonométricas e leis dos senos e cossenos.
2) Tales de Mileto foi um dos primeiros a usar propriedades geométricas, como a semelhança de triângulos, para resolver problemas práticos como medir a altura da Pirâmide de Quéops.
3) O documento ensina como construir e usar um teodolito, um
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) Definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) Exemplos de como estimar distâncias usando razões trigonométricas, como a distância da Terra à Lua.
3) Propriedades importantes como o Teorema Fundamental e relações entre ângulos complementares.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
Este documento discute os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos e quaisquer, assim como a lei dos senos e cossenos. Aplica esses conceitos para resolver problemas envolvendo distâncias e ângulos.
O documento apresenta exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos, losangos e quadrados. O problema inicial é resolvido usando o Teorema, encontrando que uma escada de 5m alcança uma altura de 4m no muro.
O documento descreve os conceitos fundamentais da circunferência trigonométrica e do ciclo trigonométrico, incluindo: (1) a definição de seno e cosseno de um ângulo em termos de coordenadas no ciclo trigonométrico; (2) valores importantes de seno e cosseno para ângulos comuns; (3) simetrias nos valores de seno e cosseno que permitem reduzir qualquer ângulo ao primeiro quadrante.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo o teorema de Pitágoras, definições de funções trigonométricas e relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar esses conceitos para calcular medidas desconhecidas. Exercícios propostos no final permitem ao leitor praticar.
O documento discute conceitos matemáticos aplicados à geomensura, incluindo:
1) Sistema angular internacional e conversões entre graus, radianos e sexagesimal
2) Trigonometria plana e relações trigonométricas em triângulos retângulos
3) Geometria analítica com distâncias entre pontos no plano cartesiano
O documento descreve como medir a altura do Pão de Açúcar no Rio de Janeiro usando um teodolito caseiro e trigonometria. Ele detalha como construir o teodolito, medir os ângulos até o topo da montanha de dois pontos diferentes e usar as equações trigonométricas para calcular a altura. Os cálculos resultam em uma estimativa de 395 metros para a altura do Pão de Açúcar.
O documento discute trigonometria no triângulo retângulo, incluindo uma breve história da trigonometria, razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), o teorema de Pitágoras e exemplos de cálculos de ângulos notáveis como 30°, 45° e 60°.
Trigonometria converter de graus para radianostrigono_metria
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) definições de ângulos, sistemas de medição de ângulos e classificação de ângulos; 2) introdução às funções trigonométricas e suas aplicações; 3) identidades trigonométricas.
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Exercício de TrigonometriaClarice Leclaire
Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvidos de Trigonometria – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
O documento descreve os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo: (1) a origem da palavra trigonometria e seu uso inicial para medir distâncias; (2) a diferença entre trigonometria plana e esférica; e (3) unidades comuns para medir arcos como graus, graus e radianos.
Sugestão de aula.
Objetivos: Interpretar, desenvolver e fazer uso de modelos concretos para a resolução de problema trigonométricos. Relacionar as razões trigonométricas do triângulo retângulo.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
1) O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) São apresentadas proposições fundamentais sobre as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo e seu complemento.
3) Valores numéricos de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 45°, 30° e 60°.
1) O documento apresenta um resumo histórico da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos.
2) É introduzido o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desse tipo de triângulo.
3) São definidas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para um triângulo retângulo e apresentados alguns valores notáveis dessas funções.
Este documento apresenta um resumo teórico e exercícios de geometria plana para o 3o ano do ensino médio. Está dividido em 13 aulas que abordam conceitos como pontos notáveis de triângulos, quadriláteros notáveis, polígonos convexos, ângulos na circunferência, semelhança e relações métricas em triângulos, circunferência e círculo, inscrição e circunscrição de polígonos regulares e áreas das figuras planas.
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções trigonométricas, incluindo:
1) A definição de círculo trigonométrico e unidades angulares como radianos e graus;
2) As definições de seno, cosseno e tangente em termos do círculo trigonométrico;
3) Algumas relações trigonométricas básicas como a relação fundamental da trigonometria.
1) O documento discute várias propriedades trigonométricas importantes do triângulo retângulo além do Teorema de Pitágoras, como medições indiretas, razões trigonométricas e leis dos senos e cossenos.
2) Tales de Mileto foi um dos primeiros a usar propriedades geométricas, como a semelhança de triângulos, para resolver problemas práticos como medir a altura da Pirâmide de Quéops.
3) O documento ensina como construir e usar um teodolito, um
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) Definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) Exemplos de como estimar distâncias usando razões trigonométricas, como a distância da Terra à Lua.
3) Propriedades importantes como o Teorema Fundamental e relações entre ângulos complementares.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo:
1) A definição de trigonometria e seu significado;
2) Aplicações da trigonometria em triângulos retângulos e a relação entre seno, cosseno e tangente;
3) Cálculo de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.
Este documento discute os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos e quaisquer, assim como a lei dos senos e cossenos. Aplica esses conceitos para resolver problemas envolvendo distâncias e ângulos.
O documento apresenta exemplos de aplicação do Teorema de Pitágoras para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos, losangos e quadrados. O problema inicial é resolvido usando o Teorema, encontrando que uma escada de 5m alcança uma altura de 4m no muro.
O documento descreve os conceitos fundamentais da circunferência trigonométrica e do ciclo trigonométrico, incluindo: (1) a definição de seno e cosseno de um ângulo em termos de coordenadas no ciclo trigonométrico; (2) valores importantes de seno e cosseno para ângulos comuns; (3) simetrias nos valores de seno e cosseno que permitem reduzir qualquer ângulo ao primeiro quadrante.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo o teorema de Pitágoras, definições de funções trigonométricas e relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar esses conceitos para calcular medidas desconhecidas. Exercícios propostos no final permitem ao leitor praticar.
O documento discute conceitos matemáticos aplicados à geomensura, incluindo:
1) Sistema angular internacional e conversões entre graus, radianos e sexagesimal
2) Trigonometria plana e relações trigonométricas em triângulos retângulos
3) Geometria analítica com distâncias entre pontos no plano cartesiano
O documento descreve como medir a altura do Pão de Açúcar no Rio de Janeiro usando um teodolito caseiro e trigonometria. Ele detalha como construir o teodolito, medir os ângulos até o topo da montanha de dois pontos diferentes e usar as equações trigonométricas para calcular a altura. Os cálculos resultam em uma estimativa de 395 metros para a altura do Pão de Açúcar.
O documento discute trigonometria no triângulo retângulo, incluindo uma breve história da trigonometria, razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), o teorema de Pitágoras e exemplos de cálculos de ângulos notáveis como 30°, 45° e 60°.
Trigonometria converter de graus para radianostrigono_metria
O documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) definições de ângulos, sistemas de medição de ângulos e classificação de ângulos; 2) introdução às funções trigonométricas e suas aplicações; 3) identidades trigonométricas.
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O documento descreve os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo: (1) a origem da palavra trigonometria e seu uso inicial para medir distâncias; (2) a diferença entre trigonometria plana e esférica; e (3) unidades comuns para medir arcos como graus, graus e radianos.
Sugestão de aula.
Objetivos: Interpretar, desenvolver e fazer uso de modelos concretos para a resolução de problema trigonométricos. Relacionar as razões trigonométricas do triângulo retângulo.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
1) O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) São apresentadas proposições fundamentais sobre as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo e seu complemento.
3) Valores numéricos de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 45°, 30° e 60°.
O documento lista monitores disponíveis para turmas de 9o, 1o, 2o e 3o anos em 2013. Os monitores oferecem apoio em disciplinas como Biologia, Matemática, Química, Física e Línguas. Os dias e horários variam entre monitores, com a maioria disponível de 2a a 6a feira entre 14h e 17h30. Os alunos devem verificar a disponibilidade dos monitores e das salas com antecedência.
Il presente studio, effettuato da ISPO Click per Barabino & Partners, ha l’obiettivo di rilevare in maniera ampia ed approfondita il tema della fiducia nei Social Media tra gli utenti di Facebook, oggi la social community più numerosa d’Italia.
Daniel Di Filippo nació en 1991 en Venezuela. Estudió en el Colegio Simón Bolívar 2 y actualmente cursa el primer semestre de Psicología en la Universidad Metropolitana. Sus pasatiempos incluyen el estudio del chino mandarín, el ejercicio y la lectura. Su aspiración es graduarse, conseguir inversionistas y crear un hospital psiquiátrico en Venezuela equipado con alta tecnología y el personal más capacitado.
Este documento é uma apostila de geometria que resume os principais tópicos de geometria plana e noções básicas de geometria espacial. A apostila contém 10 seções que abordam ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculos, áreas de figuras planas e noções de geometria espacial, além de questões objetivas e discursivas com respostas. O documento é assinado pelo professor Paulo Soares Batista.
1) O documento discute trigonometria no triângulo retângulo e na circunferência, definindo termos como seno, cosseno e tangente.
2) É apresentado o Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos e as funções trigonométricas básicas.
3) As unidades de medida de arcos como radianos e graus são explicadas, assim como a relação entre elas.
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos, definindo seus lados como hipotenusa e catetos, e apresenta as funções trigonométricas básicas de seno, cosseno e tangente. Também apresenta o Teorema de Pitágoras e exemplos de exercícios resolvidos usando conceitos de trigonometria.
O documento apresenta conceitos básicos de geometria plana, incluindo:
(1) Definição de ângulo, unidades de medida e tipos de ângulos;
(2) Propriedades de quadriláteros e triângulos;
(3) Fórmulas para calcular perímetro e área de figuras planas como retângulos, círculos e triângulos.
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricotrigono_metria
O documento discute ângulos notáveis, relações trigonométricas e como calcular as funções seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60° usando triângulos retângulos e propriedades geométricas. Ele também explica arcos com mais de uma volta, arcos congruentes, funções trigonométricas recíprocas e equações trigonométricas.
O documento explica o Teorema de Pitágoras, que estabelece que na soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa, mencionando que Pitágoras desenvolveu esta relação e definindo os termos catetos, hipotenusa e triângulo retângulo.
Este documento apresenta um plano de aula para uma lição de trigonometria do triângulo retângulo para alunos do 9o ano. O plano descreve os objetivos da lição, que são determinar as razões trigonométricas de um triângulo retângulo e aplicá-las na resolução de exercícios e problemas. Ele também detalha as estratégias de ensino e os materiais que serão usados.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria relacionados ao triângulo retângulo e ao círculo trigonométrico, incluindo definições de seno, cosseno e tangente.
2) São mostradas as relações fundamentais entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo e são calculados os valores numéricos das funções trigonométricas para alguns ângulos específicos.
3) Exemplos numéricos ilustram o cálculo de medidas desconhecidas em situações
1) O documento discute o cálculo do comprimento de circunferências e arcos circulares utilizando a constante π e as fórmulas C=2πr e s=rα.
2) É explicado como medir arcos em graus e radianos e a conversão entre as unidades.
3) São apresentadas propriedades geométricas de triângulos, cordas e arcos de circunferência.
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...eliveltonhg
Aula sobre as Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Links disponibilizados nos Slides:
- Tabela Trigonométrica:
http://www.somatematica.com.br/emedio/tabtrig.php
- Exercícios de Razões Trigonométricas: http://www.somatematica.com.br/soexercicios/razoesTrig.php
O documento discute conceitos de trigonometria como seno, cosseno e o ciclo trigonométrico. Explica como definir seno e cosseno para qualquer ângulo através do ciclo trigonométrico e apresenta valores importantes destas funções para diferentes ângulos. Resolve um exemplo sobre população de animais variando ao longo do ano usando estas noções.
O documento discute o ciclo trigonométrico, definindo como ângulos podem ser medidos em radianos e como as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) são definidas para ângulos entre 0° e 360°. Ele também apresenta exemplos de como aplicar essas noções para resolver problemas geométricos e de triângulos.
O documento discute vários conceitos fundamentais de geometria plana, incluindo: 1) A definição de polígonos e seus elementos; 2) As classificações e propriedades de triângulos e quadriláteros; 3) Teoremas importantes como o de Tales e da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.
Trigonometria do ciclo trigonométrica.pptssuser704b7e
O documento discute a trigonometria do ciclo trigonométrico, incluindo a definição de seno e cosseno para números reais através do ciclo. Explica como calcular o seno e cosseno de ângulos maiores que 360° usando a simetria do ciclo e a congruência de arcos. Fornece um quadro com valores-chave de seno e cosseno em diferentes graus e radianos.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IIIMaths Tutoring
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre trigonometria de triângulos retângulos. Os exercícios abordam cálculos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, bem como propriedades fundamentais como o Teorema de Pitágoras e a Fórmula Fundamental da Trigonometria. Alguns exercícios pedem para provar relações trigonométricas ou aplicá-las em problemas geométricos.
A trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de triângulos. Ela é usada em várias áreas como engenharia, física e astronomia. Na astronomia, a trigonometria permite calcular distâncias de astros e eclipses através de triângulos formados entre a Terra, Lua e Sol.
Area de um poligono regular e do círculo.pptApoenaAlencar1
O documento discute o cálculo da área de figuras planas regulares e circulares. Explica que a área de um polígono regular pode ser calculada dividindo-o em triângulos iguais e somando suas áreas, ou usando a fórmula que envolve a apótema e o lado do polígono. Também apresenta a fórmula para calcular a área de um círculo, que envolve o raio elevado ao quadrado multiplicado por pi. Fornece exemplos ilustrativos de cálculos de áreas de círculos.
O documento discute relações métricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de ângulos agudos e apresentando valores destas razões trigonométricas para ângulos de 30°, 45° e 60°. Exemplos e exercícios sobre o tema são fornecidos.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza. As aulas abordam conceitos como pontos, retas, ângulos, triângulos e polígonos, além de exercícios resolvidos. O objetivo é complementar o ensino de geometria para alunos do 3o ano do ensino médio e pré-vestibular.
2. SUMÁRIO
Noções de Geometria........................................................................................................ 02
Polígono................................................................................................................................. 02
Triângulo .............................................................................................................................. 03
Relações métricas num triângulo retângulo ........................................................... 05
Teorema de Pitágoras ...................................................................................................... 05
Relações trigonométricas num triângulo retângulo.............................................. 07
Relações trigonométricas num triângulo qualquer............................................... 14
Lei dos senos ........................................................................................................................ 14
Lei dos cossenos ................................................................................................................. 17
Área dos principais polígonos ....................................................................................... 19
Perímetro dos polígonos.................................................................................................. 21
Circunferência e círculo .................................................................................................. 21
Comprimento da circunferência (perímetro).......................................................... 22
Área de um círculo............................................................................................................ 23
Radiano ................................................................................................................................. 24
Volume de alguns sólidos geométricos ....................................................................... 25
3. Noções de Geometria
A geometria está muito presente nas aplicações em Engenharia e, portanto, o seu
estudo apresenta uma grande importância. Em diversos projetos de Engenharia
utilizam-se conceitos de geometria, sendo os de maior destaque as aplicações com
triângulos e circunferências, os cálculos de área e os cálculos de volume.
Polígono
É uma figura geométrica fechada e formada por segmentos de reta. Pode ser
classificado segundo a sua quantidade de segmentos de retas (lados), sendo que
alguns deles recebem nomes especiais, conforme pode ser observado na tabela 1.
Número de Nomes
lados
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Tabela 1: Nomenclatura dos polígonos especiais.
Os demais polígonos não recebem nomes especiais, assim, caso ele tenha 13 lados,
será chamado de polígono de 13 lados, se tiver 21 lados, será chamado de polígono
de 21 lados, e assim sucessivamente.
Os polígonos mais utilizados na Engenharia são os triângulos e os quadriláteros
(em especial o quadrado e o retângulo).
2
4. Triângulo
O triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudada
na geometria. Eles podem ser classificados segundo os seus lados e também
segundo os seus ângulos.
Classificação quanto aos lados:
1) Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais e, consequentemente, os três
ângulos iguais.
Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180º,
assim, o triângulo equilátero possui três ângulos de 60º.
2) Triângulo isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, dois
ângulos iguais.
3) Triângulo escaleno: Possui todos os lados diferentes e consequentemente os
três ângulos diferentes.
3
5. Classificação quanto aos ângulos:
1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º).
2) Triângulo retângulo: Possui em um de seus ângulos o valor de 90º.
3) Triângulo obtusângulo: Possui um dos seus ângulos obtuso (maior que 90º).
4
6. Relações métricas num triângulo retângulo
Conforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato dele
possuir um ângulo interno de 90º. Por ser um triângulo especial, ele recebe nomes
específicos para os seus lados. Os lados que formam o ângulo de 90º são chamados
de catetos já o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa.
Teorema de Pitágoras
Este teorema mostra uma relação matemática entre os lados do triângulo retângulo,
isto é, se conhecemos dois lados do triângulo retângulo, podemos calcular o
terceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras que é definido como:
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
Exemplo: Determine os valores de x nos triângulos retângulos a seguir:
a)
Observe que os catetos (lados que formam o ângulo de 90º) são 6 cm e 8 cm e que
o “x” está representando a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
5
7. hip 2 cat 2 cat 2
x 2 6 2 82
x 2 36 64
x 2 100
x 100
x 10 cm
Observe que na penúltima linha da resolução foram colocados os sinais de +/-, pois
(-10)2=100 e (+10)2=100, isto é, existem duas respostas uma positiva e a outra
negativa, mas nesse caso, sabemos que é impossível uma medida de comprimento
ter valor negativo, por isso que a resposta final é 10 cm positivo. Portanto, daqui
por diante, iremos considerar somente o resultado positivo.
b)
Neste exemplo nós temos a hipotenusa igual a 50 mm, um dos catetos igual a 30
mm e o “x” está representando o outro cateto. Aplicando o teorema de Pitágoras
temos:
hip 2 cat 2 cat 2
50 2 30 2 x 2
2500 900 x 2
2500 900 x 2
1600 x 2
1600 x
40 x ou
x 40 mm
6
8. Nesses tipos de cálculos as funções que utilizamos na calculadora científica são:
Tecla para elevar ao quadrado:
Tecla para extrair a raiz quadrada:
Relações trigonométricas num triângulo retângulo
Conhecendo o valor de um lado e de um ângulo (exceto o de 90º que já é
conhecido) de um triângulo retângulo, podemos calcular os valores dos outros
lados deste triângulo através das relações trigonométricas, assim como, podemos
calcular um ângulo de referência conhecendo-se dois lados de um triângulo
retângulo também pelas relações trigonométricas.
O primeiro passo para trabalhar com as relações trigonométricas num triângulo
retângulo é verificar qual o ângulo deste triângulo que será utilizado e, a partir dele
nomear os catetos, isto é, o lado do triângulo que estiver oposto a esse ângulo é
denominado cateto oposto (co) e o lado que está formando esse ângulo, isto é, que
é vizinho do ângulo, é chamado de cateto adjacente. Já a hipotenusa é sempre o
lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo.
Assim, do triângulo a seguir temos:
a = hipotenusa;
b = cateto oposto ao ângulo ;
c = cateto adjacente ao ângulo .
7
9. Caso seja utilizado o outro ângulo como referência, altera-se apenas o cateto
oposto e o adjacente, a hipotenusa é a mesma. Assim:
a = hipotenusa;
b = cateto adjacente ao ângulo ;
c = cateto oposto ao ângulo .
Agora que já sabemos nomear os lados do triângulo retângulo, devemos conhecer
as relações trigonométricas que podem ser aplicadas neste tipo de triângulo.
Dois triângulos retângulos semelhantes (mesmos ângulos internos, mas lados com
tamanhos diferentes) possuem o mesmo resultado para a razão (divisão) entre dois
de seus lados, conforme ilustrado a seguir:
1) b b ' , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto ao ângulo
a a'
pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de seno, portanto:
cateto oposto
seno do ângulo
hipotenusa
8
10. De maneira simplificada:
co
sen
hip
2) c c ' , observe que aqui está sendo dividido o cateto adjacente ao ângulo
a a'
pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de cosseno,
portanto:
cateto adjacente
cos seno do ângulo
hipotenusa
De maneira simplificada:
ca
cos
hip
2) b b ' , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto pelo cateto
c c'
adjacente ao ângulo de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de tangente,
portanto:
cateto oposto
tan gente do ângulo
cateto adjacente
De maneira simplificada:
co
tg
ca
Portanto, seno, cosseno e tangente de um ângulo nada mais é do que a divisão
entre dois lados de um triângulo retângulo. A tabela 2 indica alguns valores para
seno, cosseno e tangente, mas a calculadora científica pode fornecer valores para
qualquer ângulo através das teclas:
Figura 1: Teclas para utilizar as funções seno, cosseno e tangente na calculadora científica.
9
11. Deve-se tomar o cuidado de verificar se a calculadora está adequada para calcular
em graus (D), radianos (R) ou gradianos (G). Isso é verificado na parte superior do
visor da calculadora.
Figura 2: Visor de uma calculadora científica. Observe que aparece a letra D na parte
superior do visor, indicando que a calculadora está programada para trabalhar em graus.
Ângulo seno cosseno tangente
0o 0 1 0
10o 0,174 0,985 0,176
20o 0,342 0,940 0,364
30o 0,500 0,866 0,577
40o 0,643 0,766 0,839
50o 0,766 0,643 1,192
60o 0,866 0,500 1,732
70o 0,940 0,342 2,747
80o 0,985 0,174 5,671
90o 1 0 Não existe
180o 0 -1 0
270o -1 0 Não existe
360o 0 1 0
Tabela 2: Valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos.
Exemplos:
1) Determine os valores de X nos triângulos retângulos a seguir:
a)
O primeiro passo é identificar o que foi fornecido no
triângulo:
Hipotenusa (hip) = 8 mm
Ângulo () = 20o
Cateto oposto (co) = X
10
12. Das três relações trigonométricas a que devemos utilizar é a do seno, pois a do
cosseno e da tangente utiliza o cateto adjacente e ele não foi fornecido, assim:
co
sen
hip
X
sen 20o
8
Multiplicando em “cruz”, temos:
X 8.sen 20o
X 2, 74 mm
b)
Dados:
Hipotenusa (hip) = X
Ângulo () = 40o
Cateto adjacente (ca) = 12 cm
A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que tem hipotenusa
e cateto adjacente, assim:
ca
cos
hip
12
cos 40o
X
X .cos 40o 12
12
X
cos 40o
X 15, 66 cm
c)
Dados:
Ângulo () = 31,9o
Cateto oposto (co) = 16 mm
Cateto adjacente (ca) = X
11
13. A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto
oposto e cateto adjacente, assim:
co
tg
ca
16
tg 31, 9o
X
Multiplicando em “cruz”, temos:
X .tg 31, 9o 16
16
X
tg 31, 9o
X 25, 71 cm
2) Determine os ângulos dos seguintes triângulos retângulos:
a)
Dados:
Hipotenusa (hip) = 15 mm
Cateto oposto (co) = 10 mm
A relação trigonométrica adequada é o seno, pois é a única que possui cateto
oposto e hipotenusa, assim:
co
sen
hip
10
sen
15
sen 0, 667
Mas queremos calcular o ângulo e não o seno do ângulo , assim, devemos
utilizar as teclas “shift” + “sin” da calculadora, pois a tecla “shift” (ou qualquer
outra tecla que ative a segunda função da calculadora) irá ativar o inverso do seno
que é a função “sin-1”. Portanto:
sen 1 (0, 667)
41,84o
12
14. Apertando a tecla da calculadora indicada a seguir teremos o resultado em graus,
minutos e segundos:
41o50´24´´
b)
Dados:
Cateto adjacente (ca) = 74 mm
Cateto oposto (co) = 82 mm
A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto
oposto e cateto adjacente, assim:
co
tg
ca
82
sen
74
82
tg 1
74
47, 94o
47 o 56 ' 24 ''
c)
Dados:
Cateto adjacente (ca) = 10 mm
Hipotenusa (hip) = 32 mm
A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que possui cateto
adjacente e hipotenusa, assim:
13
15. ca
cos
hip
10
cos
32
10
cos 1
32
71, 79o
71o 47 ' 24 ''
Relações trigonométricas num triângulo qualquer
As relações trigonométricas estudadas no capítulo anterior servem apenas para
triângulos retângulos. Quando um triângulo não é retângulo, existem outras
relações para calcular algum lado e/ou algum ângulo do triângulo. Essas relações
são conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos.
Lei dos senos
Observe o triângulo a seguir:
Se dividirmos um lado pelo seno do ângulo oposto, teremos os seguintes
resultados:
12
18, 66
sen 40o
9, 33
18, 66
sen30o
17, 54
18, 66
sen110o
Observe que os resultados são iguais, isto é, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Esta é a lei dos senos e ela pode ser
utilizada em qualquer triângulo, inclusive o retângulo.
14
16. lado 1 lado 2
seno do ângulo oposto ao lado 1 seno do ângulo oposto ao lado 2
Ou
lado 1 lado 3
seno do ângulo oposto ao lado 1 seno do ângulo oposto ao lado 3
Ou
lado 2 lado 3
seno do ângulo oposto ao lado 2 seno do ângulo oposto ao lado 3
Exemplos:
1) Monte a expressão da lei dos senos para o triângulo a seguir:
a b c
sen sen sen
2) Calcule o valor de x nos triângulos a seguir:
a)
15
17. X 80
sen 400 sen 1200
X .sen 1200 80.sen 400
80.sen 400
X
sen 1200
X 59, 38 mm
b)
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 1800, então o
triângulo terá os seguintes ângulos:
Aplicando a lei dos senos:
3) Calcule os valores de X e Y no triângulo a seguir:
Aplicando a lei dos senos:
16
18. 4) Calcule o ângulo nos triângulos a seguir:
a)
b)
Lei dos cossenos
A lei dos cossenos é menos empregada que a lei dos senos devido à simplicidade
da equação da lei dos senos, mas em algumas situações, a resolução através da lei
dos cossenos se torna a forma mais rápida.
A lei dos cossenos também pode ser aplicada em um triângulo qualquer, inclusive
o retângulo. Sua definição é a seguinte:
O quadrado da medida de um lado é igual à soma das medidas dos quadrados dos
outros dois lados (até aqui lembra o teorema de Pitágoras) menos duas vezes o
produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.
17
19. Para simplificar a definição da lei dos cossenos, vamos utilizar como exemplo o
triângulo abaixo:
Traduzindo a definição, têm-se:
a 2 b2 c2 2.b.c.cos
Exemplos:
1) Calcule o valor de X no triângulo a seguir:
Aplicando a lei dos cossenos:
2) Calcule o valor de no triângulo a seguir:
Observe que o triângulo tem todos os lados iguais, isto é, ele é equilátero. Assim, o
triângulo também terá todos os ângulos iguais e como a soma dos ângulos internos
18
20. é igual a 1800, então cada ângulo tem 600, isto é o ângulo vale 600. Utilizando a
lei dos cossenos, vamos provar que seu valor é de 600.
Neste caso, nós temos os três lados e queremos calcular o ângulo, assim:
302 302 302 2.30.30.cos
900 900 900 1800.cos
900 1800 1800.cos
900 1800 1800.cos
900
cos
1800
0, 5 cos
cos 1 (0, 5)
600
Área dos principais polígonos
O cálculo de área é utilizado com muita frequência na Engenharia e, portanto, todo
engenheiro deve dominar esse assunto.
Área do retângulo: O retângulo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) que
possui os quatro ângulos internos iguais a 900. Sua área é definida como o produto
da medida da base (b) pela medida da altura (h).
Área do quadrado: O quadrado é um retângulo que possui o mesmo valor para a
base (b) e para a altura (h=b). Assim, sua área também é dada pelo produto da base
pela altura.
19
21. Área do paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que não possui
ângulos internos de 90º, mas possui seus lados opostos paralelos. A sua área
também é calculada como o produto da base (b) pela altura (h).
Área do triângulo: É calculada pelo produto da base (b) pela altura (h) dividido
por dois, pois se dividirmos o quadrado, ou o retângulo, ou o paralelogramo ao
meio, teremos dois triângulos iguais, e por isso que a área do triângulo tem essa
divisão por dois.
Área do losango: O losango é um quadrilátero com os quatro lados iguais e não
paralelos. Sua área é definida como o produto de sua diagonal maior (D) pela
diagonal menor (d) dividido por dois.
Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos e
dois lados não paralelos, sendo que os seus lados paralelos recebem os nomes de
base. Sua área é calculada pelo produto da altura (h) pela soma de suas bases (B+b)
divididos por dois.
20
22. ( B b).h
A
2
Perímetro dos polígonos
O perímetro de um polígono é definido como a soma de todos os seus lados
Exemplos:
1)
2)
Circunferência e círculo
Circunferência é uma figura geométrica representada por uma linha contida num
plano que possui uma mesma distância de um ponto que é denominado de centro
da circunferência. Círculo é toda região que compreende a circunferência, isto é,
circunferência é somente a linha externa enquanto círculo é região interna da
circunferência.
Circunferência Círculo
21
23. A distância do centro da circunferência (0) até a linha periférica (externa) é
denominada de raio (R) e o dobro do raio é denominado diâmetro (d).
Comprimento da circunferência (perímetro)
Curvando uma linha podemos fazer uma circunferência de diâmetro d, sendo que o
comprimento dessa linha é chamado de perímetro ou comprimento da
circunferência (p). Existe uma relação muito interessante e importante entre o
comprimento da linha (perímetro) e o diâmetro da circunferência formada pela
linha: Se dividirmos qualquer comprimento de linha pelo diâmetro que ela forma,
teremos sempre o mesmo resultado, e esse resultado tem um valor muito
conhecido e utilizado na matemática, o número (3,14159265...),
matematicamente:
p
d
p d .
Como d 2.R, então :
p 2 R
Exemplos:
1) Qual o perímetro de uma circunferência de raio 20 m?
p 2 R
p 2 20
p 40
p 125, 66 m
22
24. 2) Qual o diâmetro que conseguimos formar com uma linha de 300 mm de
comprimento?
Resposta: O perímetro da circunferência é o comprimento da linha (300 mm),
então:
p d .
300 d .
300
d
p 95, 49 mm
3) Determine a distância em linha reta percorrida por uma roda de 250 mm de raio
quando ela realiza uma volta completa.
Resposta: A distância percorrida em uma volta é exatamente o perímetro da roda,
assim:
p 2 R
p 2 250
p 500
p 1570,8 mm
Área de um círculo
A área de um círculo é definida como o produto de pelo quadrado da medida de
seu raio.
Exemplo: Calcule a área de um círculo de diâmetro igual a 20 mm.
Resposta: O raio vale 10 mm, pois ele é a metade do diâmetro, assim:
A .R 2
A .102
A 100.
A 314,16 mm
23
25. Radiano
Um radiano é o valor que ângulo central (adquirequando o comprimento do
arco da circunferência possui o mesmo valor do raio da circunferência.
Em uma metade de qualquer circunferência (1800) é observado que o comprimento
do arco equivale a 3,14159... raios de circunferência, isto é:
1800 = rad (relação entre graus e radianos).
Exemplo:
1) Converta para radianos as seguintes medidas de ângulos:
a) 300 b) 450
1800
300 x
Multiplicando em “cruz”: Multiplicando em “cruz”:
180.x 30.
30.
x
180
x rad
6
x 0, 52 rad
24
26. c) 600 d) 2700
1800
600 x
180.x 60.
60.
x
180
x rad
3
x 1, 05 rad
2) Converta as seguintes medidas de ângulos em graus:
a) 0,76 rad b) 4,73 rad
1800
x 0, 76
.x 180.0, 76
180.0, 76
x
x 43, 540
x 43032 ' 24 ''
Volume de alguns sólidos geométricos
Para finalizar essa introdução à Geometria, é necessário estudarmos o volume dos
sólidos que são muito utilizados em projetos de Engenharia, o paralelepípedo, o
cilindro e a esfera.
Paralelepípedo: São sólidos cujas bases são paralelogramos. Os paralelepípedos
que iremos estudar são os retos-retângulos e o cubo.
O paralelepípedo reto-retângulo possui todos os ângulos internos iguais a 900.
Todos os cantos de qualquer paralelepípedo são chamados de arestas.
25
27. aresta
O volume deste tipo de paralelepípedo é calculado multiplicando-se todos os seus
lados:
V a.b.c
O cubo é um paralelepípedo que possui todos os seus lados iguais e, também,
possui todos os ângulos internos iguais a 900.
O seu volume também é calculado multiplicando-se todos os seus lados:
V a.a.a
V a3
Cilindro: Muito parecido com os paralelepípedos, mas apresenta bases circulares.
O seu volume é calculado pelo produto (multiplicação) da área da base circular
(Ab) pela sua altura (h).
26
28. V Ab .h
Como a área de um círculo é dada por Ab .R , então:
2
V .R 2 .h
Esfera: É um sólido que possui uma superfície externa que está a uma mesma
distância até o seu centro, sendo esta distância denominada raio da esfera.
O seu volume é calculado pela seguinte expressão:
4. .R3
V
3
A área da superfície esférica é calculada por:
27