SlideShare uma empresa Scribd logo
Resolução das atividades
   propostas pelo grupo
   ALEPH – extraídas de
http://www.uff.br/cdme/ppr
 /ppr-html/ppr-pr-br.html


                             1
PARTE I – POLÍGONOS REGULARES

1) Qual é o nome do polígono regular de 11 lados?




                                                    2
E o de 27 lados?




                   3
2) Um quiliógono é um polígono com 1000 lados. Calcule a
medida dos ângulos internos e ângulos centrais de um
quiliógono regular.

n=1000

A medida dos ângulos internos é dada por:


            ,logo:


A medida dos ângulos centrais é dada por:

         , logo:




                                                           4
Ative as opções “Exibir ângulos internos” e “Exibir ângulos
centrais” do aplicativo. Por que cada ângulo central tem
medida        e cada ângulo interno tem medida




                                                              5
Em um polígono regular de n lados temos n ângulos
centrais. A soma destes ângulos define uma volta completa
na circunferência 360º. Logo, para definirmos a medida de
um ângulo basta dividir 360° por n.

A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode
ser definida dividindo-se a figura com segmentos de reta
que ligam cada vértice da figura a cada um dos outros.
Desta forma, o polígono será dividido em n-2
triângulos, cada um com os ângulos internos somando
180°. Assim a somas dos ângulos internos do polígono
será:



Como sabemos que em um polígono regular todos os
ângulos são congruentes, para encontrarmos a medida de
cada ângulo interno basta dividirmos a soma dos ângulos
internos pelo número de lados, então:


                                                            6
4) Se R é a medida do raio do círculo circunscrito ao polígono
regular, qual é a medida do raio r do círculo inscrito em
função de R, θ e α?




                                                                 7
Sendo:

R = medida do raio do círculo circunscrito

r = medida do raio do círculo inscrito

  = medida do ângulo interno

  = medida do ângulo central

Podemos estabeler a relação,




                                             8
PARTE II – PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM
   POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO

1) Usando o software, verifique que é possível construir uma
pavimentação lado-lado do plano usando triângulos equiláteros.
Qual é a soma dos ângulos dos triângulos equiláteros com
vértice em um nó da pavimentação?




                                                                 9
A soma dos ângulos dos triângulos eqüiláteros com vértice em um
nó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do triângulo
eqüilátero mede 60°, como temos 6 ângulos num mesmo nó,
temos 6 *60°=360°.
                                                                  10
2) Usando o software, verifique que é possível construir uma
pavimentação lado-lado do plano usando quadrados. Qual é a
soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da
pavimentação?




                                                               11
A soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da
pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do quadrado mede 90°,
como temos 4 ângulos num mesmo nó, temos: 4*90°=360°.

                                                               12
3) É possível construir uma pavimentação lado-lado do plano
usando pentágonos regulares? Justifique sua resposta!




Não. Pois como podemos ver na figura acima os lados do
pentágono não se encaixam.
                                                              13
4) Usando o software, verifique que é possível construir uma
pavimentação lado-lado do plano usando hexágonos
regulares. Qual é a soma dos ângulos dos hexágonos
regulares com vértice em um nó da pavimentação?




                                                               14
Sabemos que cada ângulo interno de um hexágono regular mede
120°, como o nó da pavimentação é formada por 3
ângulos, temos 3*120º = 360 °.


                                                               15
5) O objetivo deste exercício é provar que as únicas
pavimentações lado-lado do plano com polígonos regulares
de um só tipo são aquelas obtidas com triângulos eqüiláteros,
quadrados e hexágonos regulares. Para isto, seja

α = (n − 2) 180°/n

a medida dos ângulos internos de um polígono regular com n
lados (veja o Exercício [03] da Parte 1) e seja k o número de
polígonos da pavimentação com um vértice comum. Note que

k α = 360°.

Verifique que k = 2n/(n − 2). Por que k deve ser maior do que
ou igual a 3? Conclua que 2n/(n − 2) ≥ 3 e que, portanto, n ≤
6. Assim, os únicos valores possíveis de n são 3, 4, 5 e 6.
Mas pentágonos regulares não pavimentam o plano
(Exercício [03]), portanto, as únicas pavimentações lado-lado
do plano com polígonos regulares se um só tipo são aquelas
com n = 3, n = 4 e n = 6.

                                                                16
K tem que ser ≥ 3, pois:

Se K=2, k = 2n/(n − 2)     .

          , K dá valor negativo, o que descaracteriza a
atividade, uma vez que K representa o número de
polígonos da pavimentação com um vértice em comum.

Nos casos onde                 , k não representa um número
inteiro.




                                                              17

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Sólidos de revolução
Sólidos de revoluçãoSólidos de revolução
Sólidos de revolução
Washington Soares Alves
 
áReas de regiões elementares
áReas de regiões elementaresáReas de regiões elementares
áReas de regiões elementares
Rodrigo Carvalho
 
Grandezas e medidas
Grandezas e medidasGrandezas e medidas
Grandezas e medidas
Anderson Dias
 
áRea de uma superfície de revolução
áRea de uma superfície de revoluçãoáRea de uma superfície de revolução
áRea de uma superfície de revolução
Dionatan Miguel
 
Exercício passo-a-passo pentágono difícil
Exercício passo-a-passo pentágono difícilExercício passo-a-passo pentágono difícil
Exercício passo-a-passo pentágono difícil
Jose H. Oliveira
 
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º ano
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º anoExercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º ano
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º ano
Jose H. Oliveira
 
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquo
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquoExercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquo
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquo
Jose H. Oliveira
 
Exercícios de matemática revisão
Exercícios de matemática   revisãoExercícios de matemática   revisão
Exercícios de matemática revisão
Fabiana Gonçalves
 
Areas de-figuras-planas
Areas de-figuras-planasAreas de-figuras-planas
Areas de-figuras-planas
Alícia Quintino
 
Cilindros
CilindrosCilindros
Cilindros
Rodrigo Carvalho
 
Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas
Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e EsferasInterseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas
Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas
JooRicardoNeves
 
Esferas
EsferasEsferas
Cálculo de áreas
Cálculo de áreasCálculo de áreas
Td 6 matemática iii
Td 6   matemática iiiTd 6   matemática iii
Td 6 matemática iii
MatheusMesquitaMelo
 
Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
danfanney
 
Td 7 matemática iii
Td 7   matemática iiiTd 7   matemática iii
Td 7 matemática iii
MatheusMesquitaMelo
 
Resolução lista 1 pirâmide
Resolução lista 1   pirâmideResolução lista 1   pirâmide
Resolução lista 1 pirâmide
Ariosvaldo Carvalho
 
Saída de emergência calculo
Saída de emergência calculoSaída de emergência calculo
Saída de emergência calculo
ANDRADE MIGUEL
 
Lista 01 des geom 2ª are
Lista 01 des geom 2ª areLista 01 des geom 2ª are
Lista 01 des geom 2ª are
Prof Decio viana
 
Exercicio passo-a-passo marcar ponto em plano
Exercicio passo-a-passo marcar ponto em planoExercicio passo-a-passo marcar ponto em plano
Exercicio passo-a-passo marcar ponto em plano
Jose H. Oliveira
 

Mais procurados (20)

Sólidos de revolução
Sólidos de revoluçãoSólidos de revolução
Sólidos de revolução
 
áReas de regiões elementares
áReas de regiões elementaresáReas de regiões elementares
áReas de regiões elementares
 
Grandezas e medidas
Grandezas e medidasGrandezas e medidas
Grandezas e medidas
 
áRea de uma superfície de revolução
áRea de uma superfície de revoluçãoáRea de uma superfície de revolução
áRea de uma superfície de revolução
 
Exercício passo-a-passo pentágono difícil
Exercício passo-a-passo pentágono difícilExercício passo-a-passo pentágono difícil
Exercício passo-a-passo pentágono difícil
 
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º ano
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º anoExercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º ano
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º ano
 
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquo
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquoExercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquo
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano oblíquo
 
Exercícios de matemática revisão
Exercícios de matemática   revisãoExercícios de matemática   revisão
Exercícios de matemática revisão
 
Areas de-figuras-planas
Areas de-figuras-planasAreas de-figuras-planas
Areas de-figuras-planas
 
Cilindros
CilindrosCilindros
Cilindros
 
Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas
Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e EsferasInterseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas
Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas
 
Esferas
EsferasEsferas
Esferas
 
Cálculo de áreas
Cálculo de áreasCálculo de áreas
Cálculo de áreas
 
Td 6 matemática iii
Td 6   matemática iiiTd 6   matemática iii
Td 6 matemática iii
 
Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
Geometria espacial - Cones (Daniel Oliveira)
 
Td 7 matemática iii
Td 7   matemática iiiTd 7   matemática iii
Td 7 matemática iii
 
Resolução lista 1 pirâmide
Resolução lista 1   pirâmideResolução lista 1   pirâmide
Resolução lista 1 pirâmide
 
Saída de emergência calculo
Saída de emergência calculoSaída de emergência calculo
Saída de emergência calculo
 
Lista 01 des geom 2ª are
Lista 01 des geom 2ª areLista 01 des geom 2ª are
Lista 01 des geom 2ª are
 
Exercicio passo-a-passo marcar ponto em plano
Exercicio passo-a-passo marcar ponto em planoExercicio passo-a-passo marcar ponto em plano
Exercicio passo-a-passo marcar ponto em plano
 

Semelhante a Atividades propostas

Geometria plana-poligonos
Geometria plana-poligonosGeometria plana-poligonos
Geometria plana-poligonos
Deborah450
 
Angulos
AngulosAngulos
Mat angulos
Mat angulosMat angulos
Mat angulos
trigono_metria
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
alessandraoliveira324
 
Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011
Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011
Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011
Joelson Lima
 
Polígonos Regulares
Polígonos RegularesPolígonos Regulares
Polígonos Regulares
marlizestampe
 
Polígonos Regulares
Polígonos RegularesPolígonos Regulares
Polígonos Regulares
marlizestampe
 
Alguns tópicos de geometria
Alguns tópicos de geometriaAlguns tópicos de geometria
Alguns tópicos de geometria
P Valter De Almeida Gomes
 
Trigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferênciaTrigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferência
Pedro Henrique Drehmer
 
Lista p8-3-bimestre
Lista p8-3-bimestreLista p8-3-bimestre
Lista p8-3-bimestre
Crislaine Mota
 
expresao grafica i eng civil
expresao grafica i eng civil expresao grafica i eng civil
expresao grafica i eng civil
danieltonfd9
 
Apostila 001 trigonometria funcoes trigo
Apostila  001 trigonometria funcoes trigoApostila  001 trigonometria funcoes trigo
Apostila 001 trigonometria funcoes trigo
con_seguir
 
oi
oioi
Ft27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumes
Ft27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumesFt27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumes
Ft27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumes
Lúcio Aguiar
 
Ciclo trigonometrico-exercicios
Ciclo trigonometrico-exerciciosCiclo trigonometrico-exercicios
Ciclo trigonometrico-exercicios
con_seguir
 
Apostila trigonometria armando
Apostila trigonometria armandoApostila trigonometria armando
Apostila trigonometria armando
Klarc Camacho
 
Mat geometria plana 002
Mat geometria plana  002Mat geometria plana  002
Mat geometria plana 002
trigono_metrico
 
Polígonos
PolígonosPolígonos
Polígonos
aldaalves
 
4ª lista de geometria
4ª lista de geometria4ª lista de geometria
4ª lista de geometria
Professor Carlinhos
 
Noções de geometria
Noções de geometriaNoções de geometria
Noções de geometria
rosania39
 

Semelhante a Atividades propostas (20)

Geometria plana-poligonos
Geometria plana-poligonosGeometria plana-poligonos
Geometria plana-poligonos
 
Angulos
AngulosAngulos
Angulos
 
Mat angulos
Mat angulosMat angulos
Mat angulos
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
 
Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011
Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011
Vf 2etapa gabarito_ 8a_medidas_2011
 
Polígonos Regulares
Polígonos RegularesPolígonos Regulares
Polígonos Regulares
 
Polígonos Regulares
Polígonos RegularesPolígonos Regulares
Polígonos Regulares
 
Alguns tópicos de geometria
Alguns tópicos de geometriaAlguns tópicos de geometria
Alguns tópicos de geometria
 
Trigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferênciaTrigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferência
 
Lista p8-3-bimestre
Lista p8-3-bimestreLista p8-3-bimestre
Lista p8-3-bimestre
 
expresao grafica i eng civil
expresao grafica i eng civil expresao grafica i eng civil
expresao grafica i eng civil
 
Apostila 001 trigonometria funcoes trigo
Apostila  001 trigonometria funcoes trigoApostila  001 trigonometria funcoes trigo
Apostila 001 trigonometria funcoes trigo
 
oi
oioi
oi
 
Ft27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumes
Ft27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumesFt27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumes
Ft27 polc3adgonos-c3a2ngulos-internos-e-externos-c3a1reas-e-volumes
 
Ciclo trigonometrico-exercicios
Ciclo trigonometrico-exerciciosCiclo trigonometrico-exercicios
Ciclo trigonometrico-exercicios
 
Apostila trigonometria armando
Apostila trigonometria armandoApostila trigonometria armando
Apostila trigonometria armando
 
Mat geometria plana 002
Mat geometria plana  002Mat geometria plana  002
Mat geometria plana 002
 
Polígonos
PolígonosPolígonos
Polígonos
 
4ª lista de geometria
4ª lista de geometria4ª lista de geometria
4ª lista de geometria
 
Noções de geometria
Noções de geometriaNoções de geometria
Noções de geometria
 

Atividades propostas

  • 1. Resolução das atividades propostas pelo grupo ALEPH – extraídas de http://www.uff.br/cdme/ppr /ppr-html/ppr-pr-br.html 1
  • 2. PARTE I – POLÍGONOS REGULARES 1) Qual é o nome do polígono regular de 11 lados? 2
  • 3. E o de 27 lados? 3
  • 4. 2) Um quiliógono é um polígono com 1000 lados. Calcule a medida dos ângulos internos e ângulos centrais de um quiliógono regular. n=1000 A medida dos ângulos internos é dada por: ,logo: A medida dos ângulos centrais é dada por: , logo: 4
  • 5. Ative as opções “Exibir ângulos internos” e “Exibir ângulos centrais” do aplicativo. Por que cada ângulo central tem medida e cada ângulo interno tem medida 5
  • 6. Em um polígono regular de n lados temos n ângulos centrais. A soma destes ângulos define uma volta completa na circunferência 360º. Logo, para definirmos a medida de um ângulo basta dividir 360° por n. A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode ser definida dividindo-se a figura com segmentos de reta que ligam cada vértice da figura a cada um dos outros. Desta forma, o polígono será dividido em n-2 triângulos, cada um com os ângulos internos somando 180°. Assim a somas dos ângulos internos do polígono será: Como sabemos que em um polígono regular todos os ângulos são congruentes, para encontrarmos a medida de cada ângulo interno basta dividirmos a soma dos ângulos internos pelo número de lados, então: 6
  • 7. 4) Se R é a medida do raio do círculo circunscrito ao polígono regular, qual é a medida do raio r do círculo inscrito em função de R, θ e α? 7
  • 8. Sendo: R = medida do raio do círculo circunscrito r = medida do raio do círculo inscrito = medida do ângulo interno = medida do ângulo central Podemos estabeler a relação, 8
  • 9. PARTE II – PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES DE UM SÓ TIPO 1) Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando triângulos equiláteros. Qual é a soma dos ângulos dos triângulos equiláteros com vértice em um nó da pavimentação? 9
  • 10. A soma dos ângulos dos triângulos eqüiláteros com vértice em um nó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do triângulo eqüilátero mede 60°, como temos 6 ângulos num mesmo nó, temos 6 *60°=360°. 10
  • 11. 2) Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando quadrados. Qual é a soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da pavimentação? 11
  • 12. A soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do quadrado mede 90°, como temos 4 ângulos num mesmo nó, temos: 4*90°=360°. 12
  • 13. 3) É possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando pentágonos regulares? Justifique sua resposta! Não. Pois como podemos ver na figura acima os lados do pentágono não se encaixam. 13
  • 14. 4) Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando hexágonos regulares. Qual é a soma dos ângulos dos hexágonos regulares com vértice em um nó da pavimentação? 14
  • 15. Sabemos que cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120°, como o nó da pavimentação é formada por 3 ângulos, temos 3*120º = 360 °. 15
  • 16. 5) O objetivo deste exercício é provar que as únicas pavimentações lado-lado do plano com polígonos regulares de um só tipo são aquelas obtidas com triângulos eqüiláteros, quadrados e hexágonos regulares. Para isto, seja α = (n − 2) 180°/n a medida dos ângulos internos de um polígono regular com n lados (veja o Exercício [03] da Parte 1) e seja k o número de polígonos da pavimentação com um vértice comum. Note que k α = 360°. Verifique que k = 2n/(n − 2). Por que k deve ser maior do que ou igual a 3? Conclua que 2n/(n − 2) ≥ 3 e que, portanto, n ≤ 6. Assim, os únicos valores possíveis de n são 3, 4, 5 e 6. Mas pentágonos regulares não pavimentam o plano (Exercício [03]), portanto, as únicas pavimentações lado-lado do plano com polígonos regulares se um só tipo são aquelas com n = 3, n = 4 e n = 6. 16
  • 17. K tem que ser ≥ 3, pois: Se K=2, k = 2n/(n − 2) . , K dá valor negativo, o que descaracteriza a atividade, uma vez que K representa o número de polígonos da pavimentação com um vértice em comum. Nos casos onde , k não representa um número inteiro. 17