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Função Quadrática – Parte III




Ângelo Moreira dos Reis
Função Quadrática
Gráfico da Função Quadrática
  Toda Função Quadrática, do tipo f ( x) = ax 2 + bx + c
 descreve, geometricamente, uma parábola.
 O gráfico de uma função quadrática é composto por
três partes fundamentais:
  01) Zeros da função: é ou são os pontos onde o
  gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x).
 02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.
 03) Termo independente: ponto que o gráfico corta
 o eixo das ordenadas (eixo y). Obs: x = 0
Função Quadrática
• Vamos construir o gráfico da função    y         y

= x2 – 2x – 3 calculando os pontos citados          5

anteriormente:                                      4

 01)   Zeros                 da                     3

 função:                                            2
     y=0                                            1

                                         -2   -1    0   1   2   3   4   x
      x2 – 2x – 3 = 0                              -1

  x=–1              x=3                            -2

                                                   -3
 (-1 , 0)           (3, 0)                         -4
Função Quadrática
02) Vértice da função:                y = x2 – y – 3
                                               2x
                                                  5

       −b                      −∆                 4
  xv =                    yv =
       2a                      4a                 3

                                                  2
      − ( − 2)            yv =
                               −16
 xv =                                             1
        2 ⋅1                   4 ⋅1
                                       -2   -1    0   1   2   3   4   x
          2                    − 16
   xv =                   yv =                   -1
          2                     4
                                                 -2
    xv = 1                yv = − 4
                                                 -3

             V (1, − 4)                          -4   V
Função Quadrática
03) Termo Independente: y = x2 – 2x – 3
                               y
                                       5

     x=0                               4

                                       3

   y = x2 – 2x – 3                     2

                                       1
   y = (0) – 2(0) – 3
          2
                            -2   -1    0   1   2   3   4   x

   y=0–0–3                            -1

                                      -2
   y=–3
                                      -3
                (0, – 3)
                                      -4   V
Função Quadrática
Observaçõe                                       y

s:                                                5
I: Perceba que o gráfico possui uma               4
eixo de simetria vertical, que passa
                                                  3
exatamente pelo vértice.
                                                  2

                                                  1
II: Pelo eixo de simetria percebemos
que o xv é o ponto médio entre os      -2   -1    0   1   2   3   4   x
zeros da função, podendo ser                     -1
calculado pela média aritmética dos
                                                 -2
zeros!
      −1 + 3                                     -3
 xv =                 xv = 1
        2                                        -4   V
Função Quadrática
                                                           y

• Vamos construir o gráfico da função                      9

                             y = –x2 + 2x + 8:             8
 01) Zeros da função:
                                                           7
   y = – x2 + 2x + 8
                              x = – 2 (-2,0)
                                                           6
   – x + 2x + 8 = 0
       2

                              x=4                          5
 02) Vértice:                           (4,0)
       −b              −2                                  4
  xv =           xv =             xv = 1
       2a             2(−1)                                3

       −∆              − 36                                2
  yv =           yv =             yv = 9
       4a             4(−1)                                1
 03) Termo independente: x=0                     -2   -1   0    1   2   3   4   x
      y = – x2 + 2x + 8
                 +8     (0,  )                             -1
Função Quadrática
Observaçõe
s: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do
I:
valor de a:

   a    >                         a    <
   0                              0

II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da função,
podendo ser mínimo ou máximo:
   a    >                          a    <           máximo
   0                               0

                      mínimo
Função Quadrática
III: Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista
que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais
diferentes:
         ∆ > 0 duas raízes ∆ = 0 duas raízes         ∆ < 0 não existe
         reais diferentes   reais iguais              raiz real

a>0
                         x
                                                x                     x

a<0                                             x
                                                                      x

                         x
Função Quadrática – Parte III




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  • 1. Função Quadrática – Parte III Ângelo Moreira dos Reis
  • 2. Função Quadrática Gráfico da Função Quadrática  Toda Função Quadrática, do tipo f ( x) = ax 2 + bx + c descreve, geometricamente, uma parábola.  O gráfico de uma função quadrática é composto por três partes fundamentais: 01) Zeros da função: é ou são os pontos onde o gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x). 02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico. 03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y). Obs: x = 0
  • 3. Função Quadrática • Vamos construir o gráfico da função y y = x2 – 2x – 3 calculando os pontos citados 5 anteriormente: 4 01) Zeros da 3 função: 2 y=0 1 -2 -1 0 1 2 3 4 x x2 – 2x – 3 = 0 -1 x=–1 x=3 -2 -3 (-1 , 0) (3, 0) -4
  • 4. Função Quadrática 02) Vértice da função: y = x2 – y – 3 2x 5 −b −∆ 4 xv = yv = 2a 4a 3 2 − ( − 2) yv = −16 xv = 1 2 ⋅1 4 ⋅1 -2 -1 0 1 2 3 4 x 2 − 16 xv = yv = -1 2 4 -2 xv = 1 yv = − 4 -3 V (1, − 4) -4 V
  • 5. Função Quadrática 03) Termo Independente: y = x2 – 2x – 3 y 5 x=0 4 3 y = x2 – 2x – 3 2 1 y = (0) – 2(0) – 3 2 -2 -1 0 1 2 3 4 x y=0–0–3 -1 -2 y=–3 -3 (0, – 3) -4 V
  • 6. Função Quadrática Observaçõe y s: 5 I: Perceba que o gráfico possui uma 4 eixo de simetria vertical, que passa 3 exatamente pelo vértice. 2 1 II: Pelo eixo de simetria percebemos que o xv é o ponto médio entre os -2 -1 0 1 2 3 4 x zeros da função, podendo ser -1 calculado pela média aritmética dos -2 zeros! −1 + 3 -3 xv = xv = 1 2 -4 V
  • 7. Função Quadrática y • Vamos construir o gráfico da função 9 y = –x2 + 2x + 8: 8 01) Zeros da função: 7 y = – x2 + 2x + 8 x = – 2 (-2,0) 6 – x + 2x + 8 = 0 2 x=4 5 02) Vértice: (4,0) −b −2 4 xv = xv = xv = 1 2a 2(−1) 3 −∆ − 36 2 yv = yv = yv = 9 4a 4(−1) 1 03) Termo independente: x=0 -2 -1 0 1 2 3 4 x y = – x2 + 2x + 8 +8 (0, ) -1
  • 8. Função Quadrática Observaçõe s: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do I: valor de a: a > a < 0 0 II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da função, podendo ser mínimo ou máximo: a > a < máximo 0 0 mínimo
  • 9. Função Quadrática III: Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais diferentes: ∆ > 0 duas raízes ∆ = 0 duas raízes ∆ < 0 não existe reais diferentes reais iguais raiz real a>0 x x x a<0 x x x
  • 10. Função Quadrática – Parte III Ângelo Moreira dos Reis