000004 logaritmo

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000004 logaritmo

  1. 1. LOGARITMO loga b = x xO estudo e conhecimento de logaritmos nos são muito importantes e 2) Log3 9 = x 3 =9 x=2 2 é o logaritmo de 9 na base 3necessários em matemática financeira, principalmente para o cálculo do x“n” – período, prazo. 3) Log2 8 = x 2 =8 x=3 3 é o logaritmo de 8 na base 2É certo que as máquinas financeiras realizam o cálculo do termo “n” de x 4) Log2 16 = x 2 = 16 x=4 4 é o logaritmo de 16 na base 2forma direta, porém, ao efetuarmos cálculos utilizando de formulário, orecurso e a forma de fazermos são através do uso de logaritmos. Exercícios resolvidos:Assim, vamos procurar desmistificar este verdadeiro tabu que envolve oassunto. Vejam a singeleza do cálculo através deste breve texto: 1) Calcular o logaritmo de 25 na base 5.Se alguém nos perguntasse qual é o expoente que devemos impor ao Log5 25 = xnúmero 10 para obter 100, a resposta seria 2! 10x = 100 (fácil, não?). Observação: Quando apresentamos um logaritmo usamos porPois é, quando perguntamos qual é o logaritmo de 100 na base 10 convenção a notação acima, onde a base “a” (5) aparece abaixo doestamos fazendo exatamente a mesma pergunta. Assim, 2 é o expoente número “N” (25).que devemos impor a base 10 para obter 100 e 2 é também o logaritmode 100 na base 10. Acompanhe: x “x” é o expoente que devemos dar a “5” para obter 25.uma base “a” para obter esse número “N”. a =n x Log5 25 = x 5 = 25 Fatoramos o número 25 25 5 log5 25 = x 2 é o log de 25 na base 5Exemplos: 5 5 x 5 = 25 x 1) Log10 1000 = x 10 = 1000 x=3 3 é o logaritmo de 1000 1 52 5 =5 x 2 x=2 na base 10 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 1
  2. 2. 2) Calcular o logaritmo de 81 na base 3. 1) Log10 10000 = x xLog3 81 = x 3 = 81 Fatoramos o número 8181 3 log3 81 =x 4 é o log de 81 na base 327 3 x 3 = 81 9 3 x 4 x=4 x= 4 3 =3 3 3 2) Log5 125 = x 1 34 3) Calcular o logaritmo de 64 na base 4. x x=3Log4 64 = x 4 = 64 Fatoramos o número 6464 4 log4 64 =x 3 é o log de 64 na base 4 3) Log6 36 = x16 4 x 4 = 644 4 x 3 x=3 4 =41 43 x=2EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 4) Log3 81 = x José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 2
  3. 3. b) log3 (9)2 2 log3 9 Onde a = 3 N = 9 m= 2 c) log2 (4)2 2 log2 4 Onde a =2 N = 4 m = 2 Observe que o expoente 2 que aparece nos três exemplos acima passa a ser apenas um multiplicador, transformando, assim, uma operação de x=4 exponenciação, que em algumas situações pode ser complexa, em uma singela operação de multiplicação, facilitando e agilizando enormemente 5) Log2 64 = x os cálculos. A sua aplicação prática (da propriedade acima) dá-se sempre que tivermos a incógnita “x” no expoente. Exemplo: x x x 1) 2 = 3 Quando afirmamos que 2 = 3 é porque a grandeza 2 é igual a 3. Portanto: x=6 x log 2 = log 3 . Pela propriedade anunciada acima, podemos transformar aApresentado o conceito de logaritmo, podemos iniciar a sua utilização equação em:prática principal, que é o de nos auxiliar na resolução de situações onde aincógnita aparece no expoente, o que nos é possível graças a uma das x log 2 = log 3 Resolvendo, isolando “x”, temos:propriedades operatórias dos logaritmos, abaixo: x = log 3 / log 2 m Loga N = m Loga N x = 0, 47712 / 0, 30103 x= 1, 58496 (Utilizamos log base10 log10 )Calma!!! Não nos preocupemos com a expressão. É de fácilentendimento. Vamos a um exemplo numérico para a sua compreensão. 21,58496 = 3 3=3 2 a) log10 (10) 2 log10 10 Onde a = 10 N = 10 m= 2 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 3
  4. 4. x x 1) Calcular “x” para 7 = 3 4) Calcular “x” para 5 = 2 x=0,56458 x 2) Calcular “x” para 4 = 9 x= 0,430677 x 5) Calcular “x” para 1,7 = 4 x=1,58496 x= x 3) Calcular “x” para 15 = 0,1 2,61255 x 6) Calcular “x” para 1,4 = 0,3 x= -0,85027 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 4
  5. 5. x= - i = taxa de juros (i) 3,57822Concluindo, sempre que nos depararmos com a incógnita no expoente, Graficamente, temos: FVusaremos, para o cálculo, logaritmo. Em matemática financeira, essaincógnita será sempre o prazo, “n”, (número de períodos de uma 0capitalização, anuidade, prazo). PV n; iLogaritmo, na verdade, tem uma utilização muito grande em vários ramosdas ciências exatas. Para nós, no entanto, vamos explorar o seu potencial Após a introdução inicial, visando basicamente o atendimento à disciplinaem matemática financeira, notadamente para prazo “n”. de matemática financeira, faz-se necessário conhecermos as propriedades gerais e operatórias para fácil entendimento e práticas de cálculo.Assim, temos: Antes, no entanto, um pouco da origem de logaritmo. nM = P( 1 + i ) A invenção dos logaritmos: (fonte: Bongiovann/Vissoto/Laureano. n Matemática e Vida. 2º. Grau. Volume I. 6ª. edição. Editora Ática. 1998.M / P = (1 + i ) São Paulo) nLog M / P = Log (1 + i ) Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI), os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações.Log M / P = n Log (1 + i ) Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreun =[ Log (M / P)] / [ Log (1 + i )] também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das ciências.Onde: Essa revolução cultural ficou conhecida como Renascimento. Foi a épocaM = Montante, valor futuro (FV) em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.P = Valor presente (PV) O desenvolvimento da navegação e da astronomia trouxe consigo cálculosn = prazo, período (n) aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 5
  6. 6. descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos dois métodos são os mais difundidos e utilizados, até pela facilidade dematemáticos passaram a ocupar-se com esse problema. entendimento e de cálculo.A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por dois estudiosos. Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas como instrumento de cálculo, os logaritmos continuam sendo de grandeJost Bürgi (1552 – 1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John importância em várias áreas do conhecimento humano.Neper(Napier). O termo logaritmo foi empregado pela primeira vez por Neper e seBürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmoslogaritmos, que permitiram a simplificação de cálculos aritméticos (números).complicados. Vejamos, então, algumas propriedades operatórias de logaritmos.Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com omatemático inglês Henry Briggs, elaborou uma nova tábua, mais fácil de Vamos considerar um número “a”, positivo e diferente de 1, (“a” > 0 e ≠ 1)ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais. e um número “b”, positivo (“b” > 0). Esta é uma condição para o cálculo de logaritmos.Logaritmo decimal (log10) Definimos logaritmo de “b” na base “a” ao expoente “x” que se deveO seu idealizador, Henry Briggs, de nacionalidade inglesa, nasceu em 1561 dar à base “a” de modo que a potência obtida seja igual a “b”.e faleceu em 1631. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmosdecimais, vulgares ou de Briggs, em homenagem ao seu inventor. Simbolicamente, temos:Logaritmo neperiano (ln) x Loga b = x a =bJohn Neper (Napier), barão de Merchiston, teólogo, nasceu na Escócia em1550, vindo a falecer em 1617. Foi o idealizador de outro método de Diz-se ainda:cálculo. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos naturais “b” é o logaritmando ou antilogarítmo(e= 2,718281828...) ou neperianos, em homenagem ao seu inventor. “a” é a base do logaritmoPara que não pensemos que há somente dois métodos ou sistemas decálculo de logaritmos, existem, na verdade, inúmeros. Apenas, que estes “x” é o logaritmo de “b” na base “a” José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 6
  7. 7. m Loga b = m . Loga b n Loga √ b = ( Loga b) / nExemplos: Verificando as propriedades 3 1) Log2 8 = 3 pois 2 = 8 2 a) Loga 1 = 0 a0 = 1 Qualquer número elevado a zero é 2) Log10 100 =2 pois 10 = 100 um. O logaritmo de 1 é zero. -3 3) Log2 1/8 = -3 pois 2 = 1/8 b) Loga a = 1 a1 = a Qualquer numero elevado a unidade 4) Log3 3 = 1 1 pois 3 = 3 (1) é ele mesmo, “a”. O logaritmo da própria base é 1. m m 4 5) Log2 1 = 0 0 pois 2 = 1 c) Loga a = m log 2 24 = m 2 =2 m=4 O logaritmo de uma potência da base é o expoente.PROPRIEDADES DOS LOGARITMOSLoga 1 = 0 O logaritmo de 1 é zero. Verificando as propriedades operatóriasLoga a = 1 O logaritmo da própria base é 1. a) Loga (b . c) = Loga b + Loga c O logaritmo do produto m (b.c) é igual a soma dos logaritmos dos fatores “b” e “c”.Loga a = m O logaritmo de uma potência da base é oexpoente. log2 (32 . 128) log2 32 + log2 128 log2 25 + log2 27PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 5 + 7 = 12Loga (b . c) = Loga b + Loga c b) Loga b ÷ c = Loga b – Loga c O logaritmo do quociente b ÷ c é igual a diferença entre o logaritmo do dividendoLoga b ÷ c = Loga b – Loga c (numerador) “b” e o logaritmo do divisor (denominador) “c”. Log2 (512 ÷ 64) log2 512 – log2 64 log2 29 – log2 26 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 7
  8. 8. 9–6=3 Log15 5 = 0,59432 c) Loga b = m m . Loga b O logaritmo de uma ESQUEMA DE RESOLUÇÃO potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da x base . Loga N = x a =Nlog25 53 3 . log25 5 a) 25x = 5 (52)x = 5 52x =51 Exemplo: 2x = 1 x= 1÷2 b) 3 . 1÷2 3 ÷2 a) Log10 100 = x x 10 = 100 x 10 = 10 2 n d) Loga √ b = ( loga b) ÷ n O logaritmo de uma raiz é x= 2 igual ao logaritmo do radicando, dividido pelo índice da raiz. 2 b) Log10 N = 2 10 = N 100 = NLog10 √10000 log10 100 log = 2 N = 100Log10 √10000 log10 10000 ÷ 2 4÷2 2 c) Loga 100 = 2 a = 100 a= √100Log = 2 a = 10MUDANÇA DE BASE CALCULAR O LOGARITMO DADO UM LOGARITMO DELoga b = logc b ÷ logc a O logaritmo de “b” na base “a” é igual ao UM NÚMERO QUALQUERlogaritmo de “b” na nova base “c”, dividido pelo logaritmo de “a”também na base “c”. Nesses casos, tem-se que “trabalhar” o número (logaritmando) dado para o cálculo do logaritmo. Requer um pouco de atenção e cuidado àsNormalmente, as máquinas calculadoras científicas têm a capacidade de propriedades.calcular logaritmos na base 10. Digamos que você quer, por exemplo,calcular log15 5. É só mudar a base do logaritmo para a base 10 da Exemplos:máquina: a) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 125.Log15 5 = log10 5 ÷ log10 15 0,69897 ÷ 1,17609 0,59432 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 8
  9. 9. Resolução: Como posso escrever o número 125? 53Log 125 = log 53 3 log 5 3 log 10 ÷ log 2 EXERCÍCIOS3 (log 10 – log 2) 3(1 – 0,301030) 3(0,698970) 1) Log2 16 = x Resp. = 4Log 125 = 2,096931 2) Log3 9 = x b) Dado o log 2 igual a 0,301030 e log 7 igual a 0,845 pede-se Resp. = 2 calcular o log de 28. 3) Log1/2 1/4 = xResolução: Como posso escrever o número 28, considerando os números Resp. = 22 e 7? 28 = 22 . 7 Logo: 4) Log4 1/2 = x 2Log 28 = log (2 . 7) 2 log 2 + log 7 2 log 2 + log 7 Resp. = - 1/22 (0,301030) + 0,845 0,602060 + 0,845 5) Log1/4 16 = x Resp. = - 2Log 28 = 1,447060 6) Loga 7 = 1 c) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 5. Resp. a = 7Resolução: Como posso escrever o número 5, partindo de 2? 7) Loga 4 = 2 Resp. a = 210 ÷ 2 = 5 Logo: log 10 ÷ log 2 = log 5 8) Loga 9 = -2Log 10 – log 2 = log 5 Resp. a = 1/31 – 0,301030 = log 5 9) Log2 (8 . 16) = xLog 5 = 0,698970 Resp. Log2 8 + Log2 16 x=7 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 9
  10. 10. 10) Log2 4/32 = x Resp. Log2 4 – Log2 32 x = -3 411) Log2 2 = x LOGARITMO COM O USO DA CALCULADORA HP 12C Resp. = 4 A calculadora HP 12C tem recursos para cálculos de logaritmos. No12) Log3 27 = x entanto, o faz apenas com base natural, neperiano. Caso queiramos o Resp. = 3 logaritmo em outra base, normalmente decimal, 10, precisamos de um pequeno ajuste – mudança de base.13) Log1/3 27 = x Resp. = -3 Vejamos alguns exemplos: 1) Neperiano ou natural - ln14) Loga 8 = 1 Resp. a = 8 a) Ln 100 100 g ln 4,60517015) Loga 16 = 4 b) Ln 150 150 g ln 5,010635 Resp. a = 2 c) Ln 1000 1000 g ln 6,907755 . . .16) Log3 9/81 = x 2) Decimal ou base 10 – log Resp. = - 2 a) Log 100 100 g ln 10 g ln ÷ 2,000000 217) Log3 3 = x Resp. = 2 b) Log 150 150 g ln 10 g ln ÷ 2,176091 c) Log 1000 1000 g ln 10 g ln ÷ 3,000000 . . .18) Logx 100 = -2 Resp. = 1/10 3) Base qualquer que não as anteriores19) Log10 1 = x a) Log2 100 100 g ln 2 g ln ÷ 6,643856 Resp. = 0 b) Log25 150 150 g ln 25 g ln ÷ 1,55664120) Log2x 36 = 2 c) Log7 1000 1000 g ln 7 g ln ÷ 3,549884 . . . Resp. x = 3 José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215 10
  11. 11. José Wammes, Toledo, Paraná, 2010021511

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