14.12.07 resolução comentada (matemática) - etec - 1º sem - 2.015

Blog Matemática Nua & Crua
Prof. Luiz Francisco
Tecnólogo em Eletrotécnica
"Feliz aquele que transf ere o que sabe e aprende o que ensina ".
C o ra C o ra li na (1 . 8 8 9 + 9 6 = 1. 98 5 )
Matemática Nua & Crua - http://mathluiz.blogspot.com.br/
Página1
Resolução Comentada – Matemática
Etec – 1° Semestre de 2.015
Apesar dos meus melhores esforços, é inevitável que surjam erros no texto ... afinal sou apaixonado pela
área das exatas e redação não é o meu forte. Assim, são bem–vindas as comunicações de usuários sobre
correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de
resoluções futuras.
Questão 03
Um artista pretende pintar uma tela que
tenha o formato de um retângulo áureo, por
considerá-lo mais agradável esteticamente
dentre todos os retângulos.
Ele sabe que um retângulo é áureo quando a
razão entre os comprimentos de seus lados
é 1,618, aproximadamente.
Assim sendo, se a medida do maior lado da
tela for de 40 cm, então, a medida do menor
lado será, em centímetros,
aproximadamente,
(A) 22,94.
(B) 24,72.
(C) 28,54.
(D) 36,26.
(E) 64,72.
Solução: (B)
Esta é uma questão que apresenta a relação
do número áureo φ (“phi”, lê-se “fi”) no
retângulo.
Segundo o enunciado a razão (divisão)
entre a medida de seus lados é igual a φ ≅
1,618, lembrando que no retângulo temos
lados de medidas diferentes.
Isto significa que sempre dividirmos o lado
maior pelo lado menor de um retângulo
áureo obtém-se o valor de φ, ou seja,
aproximadamente, 1,618.
Lembre que a razão áurea no retângulo é
sempre:
Conforme o enunciado, devemos determinar
o valor da medida do lado menor do
retângulo, ou seja, por qual medida devemos
dividir 40 para obter um valor de 1,618,
matematicamente temos:
Nesta questão deve-se prestar a atenção nos
detalhes, determinar a razão de forma
invertida , causa um erro no cálculo
e este erro está entre as alternativas:
O resulta é incoerente com o que devemos
calcular, pois 64,72 é maior que 40 e
estamos calculando o lado menor.

C o ra C o ra li na (1 . 8 8 9 + 9 6 = 1. 98 5 )
Página2
Considere o texto e as figuras
para responder às questões de
números 30 e 31
O circo é uma expressão artística, parte da
cultura popular, que traz diversão e
entretenimento. É um lugar onde as pessoas
têm a oportunidade de ver apresentações de
vários artistas como mágicos, palhaços,
malabaristas, contorcionistas e muito mais.
Mas antes que a magia desse mundo se
realize, há muito trabalho na montagem da
estrutura do circo.
A tenda de um circo deve ser montada em
um terreno plano e para isso deve ser
construída uma estrutura, conforme a
sequência de figuras.
Nas figuras, considere que:
foram colocadas 8 estacas
congruentes perpendiculares ao
plano do chão;
• cada estaca tem 4 m acima do solo;
as estacas estão igualmente
distribuídas, sendo que suas bases
formam um octógono regular;
os topos das estacas consecutivas
estão ligados por varas de 12 m de
comprimento;
para imobilizar as estacas, do topo
de cada uma delas até o chão há um
único cabo esticado que forma um
ângulo de 45° com o solo (a figura
mostra apenas alguns desses cabos).
Todos os cabos têm a mesma
medida;
no centro do octógono regular é
colocado o mastro central da
estrutura, que é vertical;
do topo de cada estaca até o topo do
mastro é colocada uma outra vara.
Todas essas varas têm a mesma
medida;
na estrutura superior, são formados
triângulos isósceles congruentes
entre si; e em cada um desses
triângulos isósceles, a altura relativa
à base é de 15 m.
Questão 30
A cobertura e as laterais da tenda descrita
serão totalmente revestidas por lona. Para
que isso ocorra, a quantidade mínima de
lona que deverá ser usada é, em metros
quadrados, igual a
(A) 138.
(B) 384.
(C) 720.
(D) 1 104.
(E) 1 200.

C o ra C o ra li na (1 . 8 8 9 + 9 6 = 1. 98 5 )
Página3
Solução: (D)
Calculando inicialmente a área de lona
utilizada para a cobertura. Sendo o
enunciado: “na estrutura superior, são
formados triângulos isósceles congruentes
entre si; e em cada um desses triângulos
isósceles, a altura relativa à base é de 15 m”,
a base deste triângulo é a medida do topo
entre duas estas consecutivas, que segundo
o enunciado “os topos das estacas
consecutivas estão ligados por varas de 12
m de comprimento”.
Então devemos calcular a área de 8
triângulos com base medindo 12 metros e
altura relativa a base medindo 15 metros:
A área de um triângulo mede , como a
cobertura é formada por 8 triângulo iguais,
basta multiplicar por 8, ou seja, a
cobertura tem uma área de lona de .
Calculando a área de lona utilizada para as
laterais. Segundo a figura as laterais ter um
forma retangular com o lado menor
medindo 4 metros (igual a medida da
altura) e com lado maior com medindo 12
metros.
Assim como a cobertura, as laterais são
formadas por 8 partes congruentes (iguais),
então, devermos calcular a área de um
retângulo e depois multiplicar este valor por
8:
A área de um retângulo mede , temos
8 retângulos iguais, basta multiplicar
por 8, ou seja, as laterais tem uma área de
lona de .
Para finalizar a resolução basta somar a
área de lona da cobertura com a área de
lona das laterais para revestir o circo com
lona:
Questão 31
A quantidade de cabo utilizada para
imobilizar as oito estacas, é, em metros.
Para o cálculo, considere apenas a
quantidade de cabo do topo de cada estaca
até o solo.
Despreze as amarras.
Solução: (C)
Segundo o enunciado: “para imobilizar as
estacas, do topo de cada uma delas até o
chão há um único cabo esticado que forma
um ângulo de 45° com o solo (a figura
mostra apenas alguns desses cabos). Todos
os cabos têm a mesma medida”.
A estaca, o solo da base da estaca até o
ponto onde o cabo é fixo ao solo e o cabo,
formam um triângulo retângulo [segundo o
enunciado cita que: “estacas congruentes

C o ra C o ra li na (1 . 8 8 9 + 9 6 = 1. 98 5 )
Página4
perpendiculares (forma um ângulo de 90°)
ao plano do chão”].
Então a estaca e o solo da base da estaca até
o ponto onde o cabo é fixo ao solo são os
catetos e o cabo é a hipotenusa deste
triângulo.
O ângulo de 45° indica que este triângulo
retângulo é também um triângulo isóscele,
portanto a distância entre a base da estaca
até o ponto onde o cabo é preso ao solo tem
a mesma medida da altura da estaca, em
outras palavras: os catetos tem a mesma
medida de 4 m.
Pelo Teorema de Pitágoras podemos
calcular a medida do cabo:
Então cada cabo mede m, se temos 8
estacas, logo temos 8 cabos, então
multiplicando a medida de um cabo por 8
obtemos o total de cabos, ou seja, m
de cabo.
***
Uma dica, quando você tem um triângulo
retângulo e isóscele (triângulo retângulo
que tem dois ângulos de 45°, além do ângulo
de 90°) então os catetos tem a mesma
medida.
Para calcular a hipotenusa basta utilizar a
equação:
Então basta multiplicar a medida do cateto
por raiz quadrada de 2.

C o ra C o ra li na (1 . 8 8 9 + 9 6 = 1. 98 5 )
Página5
Questão 32
A apresentação de motociclistas, dentro do
globo da morte, é sempre um momento
empolgante de uma sessão de circo, pois, ao
atingir o ponto mais alto do globo, eles ficam
de ponta cabeça. Para que, nesse momento,
o motociclista não caia, é necessário que ele
esteja a uma velocidade mínima (v) que se
relaciona com o raio do globo (R) e a
aceleração da gravidade (g) pela
expressão: , com R dado em
metros.
Considere que no ponto mais alto de um
globo da morte, um motociclista não caiu,
pois estava com a velocidade mínima de 27
km/h.
Assim sendo, o raio do globo é,
aproximadamente, em metros,
(http://tinyurl.com/globo-da-morte Acesso em: 15.09.2014.
Original colorido)
Adote: g = 10 m/s2
(A) 5,6.
(B) 6,3.
(C) 7,5.
(D) 8,2.
(E) 9,8.
Solução: (A)
Observe que a aceleração da gravidade está
em m/s, e o raio é em metros.
Inicialmente devemos converter 27 km/h
para metros por segundo, para isto devemos
dividir a velocidade por 3,6.
Logo 27 km/h equivale a 7,5 m/s.
Substituindo na fórmula temos:
Então o raio da circunferência é
aproximadamente 5,6 m.

C o ra C o ra li na (1 . 8 8 9 + 9 6 = 1. 98 5 )
Página6
Questão 37
A mostra “Castelo Rá-Tim-Bum – A
exposição” recriou o famoso castelo, em
homenagem ao programa infantil da TV
Cultura o qual completou 20 anos do início
de sua veiculação em 2014. Essa mostra foi
inaugurada em julho, no Museu da Imagem
e do Som (MIS), localizado na cidade de São
Paulo, obtendo enorme sucesso de público.
Os ingressos, vendidos na bilheteria do
Museu, são de R$ 10,00 (inteira) e R$ 5,00
(meia). Para menores de cinco anos, o
ingresso é gratuito.
Admita que no dia da inauguração da
exposição:
• ingressaram 1 700 visitantes;
• entre esses visitantes, 150 eram
menores de cinco anos;
• a arrecadação total foi de R$
12.500,00;
• todos os visitantes pagantes
adquiriram os ingressos
exclusivamente na bilheteria do MIS;
e
• com exceção das crianças menores
de 5 anos, os demais visitantes
pagaram ingresso.
Assim sendo, pode-se concluir que a
quantidade de visitantes que pagou meia
entrada nesse dia foi de
(A) 600 pessoas.
(B) 650 pessoas.
(C) 700 pessoas.
(D) 750 pessoas.
(E) 800 pessoas.
Solução: (A)
Segundo o enunciado 150 dos visitantes era
menor de 5 anos e não pagaram entrada
então:
Então 1.550 pessoas pagaram entrada. Seja
, o números de pessoas que pagaram uma
entra inteira e , o número de pessoas que
pagaram meia entrada, então:
O total arrecado é de R$ 12.500,00, onde
pessoas pagaram R$ 10,00 e pessoas
pagaram R$ 5,00, então:
Obtemos um sistema de equações:
Isolando na primeira equação:
Substituindo x na segunda equação:
Então 600 visitantes pagaram meia entrada.

14.12.07 resolução comentada (matemática) - etec - 1º sem - 2.015

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a 14.12.07 resolução comentada (matemática) - etec - 1º sem - 2.015

Semelhante a 14.12.07 resolução comentada (matemática) - etec - 1º sem - 2.015 (20)

Último

Último (20)

14.12.07 resolução comentada (matemática) - etec - 1º sem - 2.015