1) O documento discute logaritmos, suas propriedades e funções logarítmicas, incluindo definições, gráficos e exemplos numéricos. 2) É apresentada a definição formal de logaritmo e discutidas suas consequências. Propriedades como logaritmo de produto, quociente e potência são explicadas. 3) A função logarítmica é introduzida como a inversa da função exponencial e seu gráfico é ilustrado, mostrando o comportamento crescente ou decrescente.

1. 92
6 ) Logaritmo e Função Logarítmica
Professora Laura Aguiar
6.1) Estudando Logaritmo
Os logaritmos foram desenvolvidos pelo escocês John Napier (1550 – 1617), no início do século XVIII.
Antes do seu desenvolvimento, efetuar cálculos como, por exemplo, 1,45786.2,38761 era, em geral,
trabalhoso e demorado. Contudo, após a descoberta de Napier, operações deste tipo puderam ser
transformadas em adições e subtrações, o que na maioria dos casos era muito mais simples e rápido.
6.1.1) Definição de Logaritmo
“Chama–se logaritmo de um número N > 0 em relação a uma base a (0 < a  1), o expoente  a que se
deve elevar a base a, a fim de que a potência obtida seja igual a N.”
NaNa  
log , onde: N > 0, a > 0 e a  1.





logaritmo.oé
base.aéa
a.basenadedologaritmanoéN


E podemos pensar:
- Qual o logaritmo de “N” na base “a”?
- Qual o número que devemos exponenciar o “a” para o que o resultado seja “N” ?
Exemplo:
Calcular log3729
Basta igualar a x, assim: log3729 = x, daí, por definição, o logaritmando é igual à base elevado ao resultado
x, veja:
log3729 = x 729 = 3
x .
Fatoramos 729 e encontramos 729 = 3
6
, logo:
log3729 = x 729 = 3
x
3
6
= 3
x
e nessa igualdade, temos que se as bases são
iguais, então seus expoentes também são iguais, logo, x = 6.
6.1.2) Consequências da Definição
Decorrem da definição de logaritmo as seguintes conseqüências para:
0 < a  1, N > 0 e   R
C.1. 01loga  , pois a0
=1
C.2. 1aloga  , pois a¹ = a
C.3. 
aloga
, pois a
= a·.
C.4. Na Na
log
, pois NaNlogNlog Nlog
aa
a


2. 93
6.2) Propriedades dos Logaritmos
– Logaritmo do produto
Se 0 < a  1, M > 0 e N > 0 então:
NMNM aaa loglog)(log 
Ex.: log5(25.625) = log5(25) + log5(625) = log55
2
+ log55
4
= 2 + 4 = 6
– Logaritmo do Quociente
Se 0 < a  1, M > 0 e N > 0, então:
NlogMlog
N
M
log aaa 





Ex.: log4(1/16) = log41 – log416 = 0 – 2 = -2
– Logaritmo da Potência
Se o < a  1 e N > 0 e m  R, então:
Nlogm)N(log a
m
a 
Ex.: log2 3
1/2
= ½ log23
-Mudança de Base
_
6.3) Função Logarítmica
6.3.1) Definição
Dada a função exponencial f: R  R+

tal que y = a
x
, com o < a  1, podemos determinar a sua
função inversa, visto que, estas condições, a função exponencial é BIJETORA. A função logarítmica é a
função inversa da exponencial, isto é:
ylogxay a
x
 ou permutando as variáveis: xlogy a
6.3.2) O gráfico de uma função logarítmica
Podemos representar graficamente uma função logarítmica escolhendo alguns valores para x e montando
uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e
traçamos a curva do gráfico.

3. 94
Vamos representar graficamente a função e como estamos trabalhando com um logaritmo
de base10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10:
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2.
Temos então seguinte a tabela:
x y = log x
0,001 y = log 0,001 = -3
0,01 y = log 0,01 = -2
0,1 y = log 0,1 = -1
1 y = log 1 = 0
10 y = log 10 = 1
Temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os
interligamos através da curva da função:
Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca
chegam a estar.
Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem
inferior no valor de y.
Por exemplo, se passarmos de x = 100para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6.
Isto porque:
De maneira geral, temos que:
 Uma função logarítmica é crescente se a>1. Sempre que aumentamos os valores de x, os valores
correspondentes de y também aumentam, isto é: 2a1a21 xlogxlogxx0 

4. 95
Uma função logarítmica é decrescente se a > 1. Sempre que aumentamos os valores de x, os
valores correspondentes de y diminuem, isto é: 2a1a21 xlogxlogxx0 
6.4) Fixação
1) Se log 10 8 = a então log 10 5 vale
a) a
3
b) 5a – 1 c) 2a/3 d) 1 + a/3 e) 1 - a/3
2) A soma das raízes da equação 32log 53
2
2
 xx
é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3) Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) =log n x. O valor de f(128) é:
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 7
4) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer
potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser
descrito pela função exponencial 250
0 .
t
ePP

 na qual P é a potência instantânea, em watts, de
radioisótopos de um veículo espacial; P 0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a
partir de t 0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são
necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da
potência inicial? (Dado: In2=0,693)
a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 347

5. 96
5) (UFF) A figura representa o gráfico da função f definida por f(x) = 2 :
A medida do segmento PQ é igual a:
a) b) c) log 5 d) 2 e) log 2
6) (PUC-PR) Se log (3x+23) – log (2x-3) = log 4, encontrar x.
a) 4 b) 3 c) 7 d) 6 e) 5
7) (UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é:
a) 10 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) -2
8) (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a
liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:

6. 97
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será
igual a:
a) 3 b) 4 c) 300 d) 400
9) O resultado da expressão é:
a) 8 b) 3 c) 7 d)2 e)5
10) (UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a.
Então o valor de “a” é:
a) 10 b) 2 c) 1 d) ½ e) -2
11) (MACKENZIE) O pH do sangue humano é calculado por pH = log , sendo X a molaridade dos íons
H3O
+
. Se essa molaridade for dada por 4,0 .10
-8
e, adotando-se log 2 = 0,30, o valor desse pH será:
a) 7,20 b) 4,60 c) 6,80 d) 4,80 e) 7,40
12)(UFSCar SP-01) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de
madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3(t+1), com
h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o
tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:
a) 9. b) 8. c) 5. d) 4. e)3.
13) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegrarem
(emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a
quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo
com inicialmente 0 m gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: m(t)=m0 . 10
-t/70
,
onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Determine quantos anos demorará
para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.
a) 63 anos
b) 70 anos
c) 8 anos
d) 49 anos
e) 0 anos
14)(Puccamp 2005) No dia 7 de fevereiro de 1984, a uma altura de 100 km acima do Havaí e com uma
velocidade de cerca de 29 000 km/h, Bruce Mc Candless saindo de um ônibus espacial, sem estar preso
por nenhuma corda, tornou-se o primeiro satélite humano. Sabe-se que a força de atração F entre o
astronauta e a Terra é proporcional a (m.M)/r², onde m é a massa do astronauta, M a da Terra, e r a
distância entre o astronauta e o centro da Terra.

7. 98
(Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física. v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2002. p.36)
A lei da atração gravitacional, dada pela fórmula F = G [(m . M)/r
2
] é equivalente a
a) log F = 1/2 (log G + log m + log M - log r)
b) log m = 1/2 (log G + log M + log F - log r)
c) log r = 1/2 (log G + log m + log M - log F)
d) log M = 1/2 (log G + log m + log F - log r)
e) log F = (log G) . (log m) . (log M) - 2 log r
15) (Puccamp 2005) O ponto forte das políticas públicas de conservação de água da cidade de Campinas
está relacionado a um amplo programa de educação ambiental, em especial no que diz respeito à
recuperação da qualidade dos cursos d'água urbanos.
Na tabela abaixo, têm-se dados sobre a utilização de água em Campinas no período de 1993 a 2003.
(Adaptado da Revista Saneamento Ambiental. Ano XIV. n. 105. São Paulo: Signus. p. 39)
Para a concretização da melhoria da qualidade dos cursos d'água urbanos, obras de ampliação da rede
coletora e de construção de estações de tratamento estão sendo realizadas de modo que, após t anos, a
quantidade de poluentes seja dada por Q = Q0 . 2
-n
, em que n é uma constante e Q0 a quantidade de
poluentes observada inicialmente. Se 36% da quantidade de poluentes foram removidos ao fim do segundo
ano, então a porcentagem da poluição restante ao fim de seis anos, em relação a Q0, será
a) 33%
b) 25% Dado:
c) 20% log 2 = 0,30
d) 16%
e) 12%

8. 99
16) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado
em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de
um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por
Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a
aproximação log10 2 = 0,3, a altitude do avião nesse instante, em quilômetros, era de:
a) 5
b) 8
c) 9
d) 11
e) 12
17) (FUVEST) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:
a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
18) (FUVEST 2010)
A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia
liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base
10, do inverso da concentração de íons H+. Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justificasse pelas variações exponenciais das grandezas
envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução
alcalina com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de
magnitude 3.
Está correto o que se afirma somente em:

9. 100
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III

19) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas
constantes, c e n, de maneira que
n
xcy . . Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e
n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os
dados da tabela a seguir.
Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando 301,02log  , pode-se afirmar
que o valor de n é:
a) 0,398 b) 0,699 c) 0,301 d) 0,477
20) (UERJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de
observação. Admita um filtro que deixe passar da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa
intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o
menor valor de n é igual a:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
Gabarito
1.e 2.c 3.a 4.e 5.b 6.c 7.d 8.c 9.b 10.d
11.e 12.b 13.a 14.c 15.b 16.b 17.d 18.d 19.a 20.c

10. 101
6.5) Pintou no ENEM
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por
Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em
termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para
estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS
é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície,
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de Janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior
impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3.
U.S. GEOLOGICAL SURVEY.Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 (adaptado)
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 (adaptado)
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o
momento sísmico M0 do terremoto de Kobe em (dina.cm)?
a) 10
-5,10
b) 10
-0,73
c) 10
12,00
d) 10
21,65
e) 10
27,00
Resposta: e
6.6) Sessão Leitura
pH
O pH é símbolo para a grandeza físico-química potencial hidrogeniônico que indica
a acidez, neutralidade ou alcalinidade de uma solução aquosa.
O termo pH foi introduzido, em 1909, pelo bioquímico dinamarquês Søren Peter Lauritz Sørensen (1868-
1939) com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle de qualidade de cervejas (na época trabalhava
no Laboratório Carlsberg, da cervejaria homônima). O "p" vem do alemão potenz, que significa poder de
concentração, e o "H" é para o íon de hidrogênio (H
+
).
Wikipédia
pH é o log negativo de base 10 da concentração molar de íons hidrogênio (H+)
pH: - log [H+]
Exemplo: a concentração molar por litro do suco gástrico é: [10
-1
] mol/l. Qual seria seu pH?
pH: - log [H+]
pH: - log [10
-1
]

11. 102
Dicas sobre logaritmos:
• O expoente que esta no número 10 , "cai"
• pH = - -1 log [10]
• Multiplicando o logaritmo, no caso o –1 do expoente de 10 irá multiplicar o –1 já presente.
• pH = + 1 log [10]
• Como a base do logaritmo é dez, então:
• pH = log [10] = 1
O pH do suco gástrico é 1.
Se o expoente do log for negativo, o pH será positivo
pOH
pOH é o símbolo para potencial hidroxiiônico.
Para encontrar o valor do pOH , calculamos o valor do logaritmo negativo de base 10 da concentração
molar de hidroxilas [OH-] da solução
pOH: - log [OH-]
Escala de pH
A escala de pH foi criada pelos químicos, ela é eficaz para classificar as substâncias em ácidas ou básicas.
Assim, se soluções a 25 ºC tem pH variando de 0 até um valor inferior a 7 será uma solução ácida, se o pH
for um valor superior a 7 e inferior a 14 a solução será uma base e se a soluçao tiver um pH de 7 a solução
será neutra.
Quando o valor da concentração molar hidrogeniônica da solução:
[H+] FOR GRANDE O VALOR DO pH SERÁ PEQUENO.
Quando o valor do pH FOR PEQUENO O VALOR DA CONCENTRAÇÃO HDROGENIÔNICA: [H + ] SERÁ
GRANDE.
Escala de pOH
Os valores de pH e pOH somados resultam 14, ou seja:
pH + pOH : 14.

12. 103
6.7) Referências
MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna
SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD
PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Ph> acessado em 10/01/2014