O documento aborda temas relacionados a teoremas e fórmulas matemáticas, incluindo o Teorema de Pitágoras e a Fórmula de Bhaskara, com demonstrações e aplicações. Também discute estruturas algébricas como semigrupos, grupos, anéis e corpos, destacando suas propriedades e a relevância na matemática. Exercícios práticos são apresentados para ilustrar a aplicação dos conceitos discutidos.

1. Disciplina Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção
Bimestre 2
Atividade de Portfólio da Semana 2
Aulas 5 e 6
Exercício 1
Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado,
apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado de
sua resolução.
A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemática
da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2).
O Teorema de Pitágoras pode ser considerado um dos mais importantes do seu
descobridor, o próprio Pitágoras, matemático grego, pois com ele é possível compreender
as relações existentes em um triângulo retângulo.
Ao observar um triângulo de linha reta, 90°, se percebe uma regra a ser seguida. A
formação de um triângulo retângulo segue a ordem de dois catetos e uma hipotenusa,
onde a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Catetos: são os lados menores, a e b
Hipotenusa: lado maior, c
Exemplo:
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2. Exercício resolvido
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
√x² = √25
x = 5
Exercício 3
Rotacionando um quadrado de lado 2 cm em torno de um eixo que passa por um
de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. Determine a área
total do cilindro e seu volume.
i) Área da base: p(1)2 = pcm2
ii) Volume: (p)(2) = 2pcm3 = 2.(3,14)cm3 = 6,28cm3.
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3. Aulas 7 e 8
Exercício 1, Texto 2
Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada e
acompanhe passo a passo para entender como ela surge.
Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de
Estado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).
Esta fórmula foi uma homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o
mais importante matemático indiano do século XII.
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas
de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:
chamamos de discriminante: Δ = b2­4ac
Dependendo do sinal de Δ, temos:
 Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.
 Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.
 Δ<0, então a equação não tem raízes reais.
A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:
ax2+bx+c=0
a2x2+abx+ac=0
4a2x2+4abx+4ac=0
4a2x2+4abx+b2+4ac=b2
(2ax)2+2(2ax)b+b2=b2­4ac
(2ax+b)2=b2­4ac
Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para
a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.
Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então:
S = x1+x2 = ­b/a
P = x1.x2 = c/a
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4. A importância da Fórmula de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer
problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações
importantes, como na Física por exemplo.
Exercício Texto 5
Busque em um livro de Álgebra as definições das estruturas algébricas mais
simples: semi­grupo, grupo, anel e corpo.
Semi­grupo pode ser definido de 2 maneiras completamente equivalentes
1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes
propriedades:
1. fechamento: dado a,b∈G o elemento resultante da composição de a e b
pertence a G (a∗b∈G)
2. associatividade: para todos a,b,c∈G vale (a∗b)∗c=a∗(b∗c)=a∗b∗c
2. é um grupóide dotado da propriedade associativa (associatividade)
1. associatividade: para todos a,b,c∈G vale (a∗b)∗c=a∗(b∗c)=a∗b∗c
Grupo é um conjunto de elementos associados a uma operação que combina dois
elementos quaisquer para formar um terceiro. Para se qualificar como grupo o conjunto e
a operação devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo:
associatividade, elemento neutro e elementos inversos. Apesar destes serem comuns a
muitas estruturas matemáticas familiares ­ e.g. os números inteiros munidos da adição
formam um grupo ­ a formulação dos axiomas é independente da natureza concreta do
grupo e sua operação. Isso permite lidar­se com entidade de origens matemáticas
completamente diferentes de uma maneira flexível, mas retendo os aspectos estruturais
essenciais de muitos objetos da álgebra abstrata e além. A ubiquidade dos grupos em
inúmeras áreas ­ dentro e fora da matemática ­ os tornam um princípio organizador
central da matemática contemporânea.
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5. Anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A com um elemento 0 e
duas operações binárias + e que satisfazem as seguintes condições:
1. Associatividade de + :
2. Existência de elemento neutro (0) de +:
3. Existência de simétrico de + :
4. Comutatividade de + :
5. Associatividade de x :
6. Distributividade de em relação a + (à esquerda e à direita):
Corpo
Mais formalmente, um anel comutativo F com unidade é chamado de corpo se:
Resulta da comutatividade de F que o y a definição anterior também satisfaz a
condição y.x= 1. Por outro lado, só pode haver um único y naquelas condições.
De fato, se y e y' forem tais que x.y=x.y'=1, então:
y = y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'
Este elemento y designa­se por inverso de x e representa­se por
Um corpo F não tem divisores de zero. Efectivamente, se x e y forem dois elementos
de F diferentes de 0 então X.Y ≠ 0 pois x^{­1}.(x.y)=(x^{­1}.x).y=1.y=y ≠ 0.
Mas se se tivesse x.y= 0, então ter­se­ia x^{­1}.(x.y)0
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