Questões se matemática selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
LOGARITMOS

2. LOGARITMOS
1
01. (Mackenzie 2014) Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão 3 2
A B
log B log A
⋅ é
a) 10
b) 6
c) 8
d) A B
⋅
e) 12
02. (Fuvest 2014) Sobre a equação
2
x 9 2
(x 3)2 log | x x 1| 0,
−
+ + − = é correto afirmar que
a) ela não possui raízes reais.
b) sua única raiz real é 3.
−
c) duas de suas raízes reais são 3 e 3.
−
d) suas únicas raízes reais são 3
− , 0 e 1.
e) ela possui cinco raízes reais distintas.
03. (Unesp 2013) Todo número inteiro positivo n pode ser escrito em sua notação científica como sendo x
n k 10 ,
= ⋅
em que k R*, 1 k 10 e x Z.
∈ ≤ < ∈ Além disso, o número de algarismos de n é dado por (x + 1). Sabendo que
log 2 0,30,
≅ o número de algarismos de 257
é
a) 16
b) 19
c) 18
d) 15
e) 17
04. (Insper 2013) O número de soluções reais da equação x x
log (x 3) log (x 2) 2
+ + − =é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5. (Unicamp 2013) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740°C. Em seguida, é exposta a uma corrente
de ar a 40°C. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função
( ) ( ) t 12
0 AR AR
T t T T 10 T
−
= − × + , sendo t o tempo em minutos, 0
T a temperatura inicial e AR
T a temperatura do ar.
Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140°C é dado pela
seguinte expressão, com o log na base 10
a) ( )
12 log 7 1
 
−
  minutos.
b) ( )
12 1 log 7
 
−
  minutos.
c) ( )
12log 7 minutos.
d) ( )
1 log 7 12
 
−
  minutos.

3. LOGARITMOS
2
06. (Insper 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de
gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo avião de acordo com a lei
2
d 10t ,
= em que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância
de queda d (em metros), conforme a expressão: M 1000 250log d.
= − Se o bloco deve chegar ao chão totalmente
derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser
a) 10.000 metros e 32 segundos.
b) 10.000 metros e 10 segundos.
c) 1.000 metros e 32 segundos.
d) 2.000 metros e 10 segundos.
e) 1.000 metros e 10 segundos.
07. (Insper 2013) Se N é o menor número natural para o qual (2N
)N
tem pelo menos 30 dígitos, então N é
(Utilize a aproximação: log 2 = 0,30.)
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
08. (Fatec 2013) As “áreas de coberturas” a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em
células, que são iluminadas por estações-radiobase localizadas no centro das células. As células em uma mesma área
de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não interfira na outra. Porém, é possível
reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, desde que a segunda não interfira na
primeira. Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma
configuração muito utilizada está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado da
cobertura de rádio para cada estação-base. O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior
abrangência de cobertura, sem lacunas e sem sobreposições. A figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência
por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a mesma frequência.
Um modelo da perda (L) de propagação de sinais entre a antena transmissora e a receptora em espaço livre de
obstáculos é, em decibel (dB), expressa por 10 10
L 32,44 20 log f 20 log d
= + ⋅ + ⋅ , em que f é a frequência de transmissão
em mega-hertz (MHz) e d é a distância entre as antenas de transmissão e recepção em quilômetros (km). Considerando
que um sinal de radiofrequência de 600 MHz é enviado de uma estação-base para uma antena receptora que está a
20 km de distância, em espaço livre, então o valor da perda de propagação desse sinal é, em dB, aproximadamente,
10
log 2 0,30
=
10
log 3 0,48
=
a) 106 b) 114 c) 126 d) 140 e) 158

4. LOGARITMOS
3
09. (Mackenzie 2012) Na igualdade 1
2
x
y log 3 ,
2
 
= −
 
 
supondo x o maior valor inteiro possível, então, nesse caso,
2y
x vale
a)
1
8
b) 4
c)
1
4
d) 8
e) 1
10. (Unesp 2012) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional
brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento
populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280
milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada
ano (t), a partir de 1970, é dado por: 0,019 (t 1970)
P(t) 280 190 e− ⋅ −
 
= − ⋅
 
. Baseado nesse modelo, e tomando a
aproximação para o logaritmo natural:
14
In 1,9
95
 
≅ −
 
 
, a população brasileira será 90% da suposta população de
estabilização aproximadamente no ano de
a) 2065
b) 2070
c) 2075
d) 2080
e) 2085
11. (Insper 2012) Considere N o menor número inteiro positivo tal que log(log(logN)) seja um inteiro não negativo. O
número N, representado no sistema de numeração decimal, possui
a) 2 algarismos
b) 3 algarismos
c) 10 algarismos
d) 11 algarismos
e) 100 algarismos

5. LOGARITMOS
4
12. (Insper 2012) Uma empresa de transporte de carga estima em 20% ao ano a taxa de depreciação de cada caminhão
de sua frota. Ou seja, a cada ano, o valor de seus veículos se reduz em 20%. Assim, o valor V, em reais, de um caminhão
adquirido por R$ 100.000,00, t anos após sua compra, é dado por t
V 100000 (0,8)
= ⋅ . O gráfico a seguir representa os
primeiros 3 anos dessa relação.
Pela política da empresa, quando o valor de um caminhão atinge 25% do valor pelo qual foi comprado, ele deve ser
vendido, pois o custo de manutenção passa a ficar muito alto. Considerando a aproximação log2 0,30
= , os caminhões
dessa empresa são vendidos aproximadamente
a) 3 anos após sua compra.
b) 4 anos após sua compra.
c) 6 anos após sua compra.
d) 8 anos após sua compra.
e) 10 anos após sua compra.
13. (Insper 2012) Dado um número real positivo x, define-se a sequência: (log 4, log 8, log x). A sequência dada é uma
progressão aritmética se, e somente se, o valor de x for igual a
a) 8 2
b) 12
c) 12 2
d) 16
e) 20
14. (Insper 2012) A sequência dada é uma progressão geométrica se, e somente se, o valor de x for igual a
a) 12 2
b) 16
c) 16 2
d) 32
e) 32 2

6. LOGARITMOS
5
15. (Mackenzie 2011) Considere o conjunto 3 7 1
A , , , ,
2 5 2 2
π
π
 
 
=  
 
 
e a igualdade ( )
2
2 1
2
y log log x x 1
= − + . Em A, o
número de elementos que x pode assumir, para que y seja real, é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
16. (Fuvest 2011) Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 = log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma
progressão aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a
a)
13
2
b)
15
2
c)
17
2
d)
19
2
e)
21
2
17. (Insper 2011) A quantidade de números inteiros existentes entre os primeiros 2011 termos da sequência
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
log 1, log , log , log , log ,...,log ,...
2 3 4 5 n
 
 
 
é igual a
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
18. (Insper 2011) Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que
apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa
escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H+
para fazer essa medida, teríamos
uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1. Suponha que um economista, pensando nisso,
tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa (RC), definida por
0
R
RC log ,
R
 
=  
 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e 0
R é o salário mínimo, em dólares,
praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10.) . As rendas, em dólares, de Paulo e
Rafael, dois habitantes desse país, são respectivamente iguais a 1
R e 2
R . Se a Renda Comparativa de Paulo supera a
de Rafael em 0,5, então a razão 1
2
R
R
vale aproximadamente
a) 5,0
b) 3,2
c) 2,4
d) 1,0
e) 0,5

7. LOGARITMOS
6
19. (Mackenzie 2010) Considerando a solução (x, y) do sistema 4 2
2 4
log x log y 5
log x log y 0
+ =


− =

, com x ≠ 1, o valor de logx
x
y
 
 
 
é
a) 1
b) 4
c) –1
d)
1
2
e) 1
4
20. (Fuvest 2010) Tendo em vista as aproximações log10 2 ≈ 0,30, log10 3 ≈ 0,48, então o maior número inteiro n,
satisfazendo 10n
≤ 12418
, é igual a
a) 424
b) 437
c) 443
d) 451
e) 460
GABARITO
1 - B 2 - E 3 - C 4 - B 5 - C
6 - A 7 - D 8 - B 9 - E 10 - B
11 - D 12 - C 13 - D 14 - C 15 - B
16 - B 17 - B 18 - B 19 - C 20 - D