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“Operações com ângulos”
     Somar, subtrair, multiplicar ou dividir ângulos é muito importante pela suas múltiplas
       possibilidades de aplicação nos contextos do dia a dia. Veja o exemplo abaixo:
As medidas de ângulos são usadas, por exemplo, na determinação da rota de aviões. Observe o
mapa e a bússola na figura ao lado. Note que a agulha da bússola aponta para o norte, que
corresponde a 0º, e que do norte para o leste há 90º, do norte para o sul há 180º e do norte
para o oeste, 270º. Os pontos A, B e C indicam aeroportos. O avião percorreu a distância AB e,
agora, está percorrendo a distância BC.

AB forma um ângulo de 25º (medindo no
sentido horário) com a direção norte. Por
isso, diz-se que o avião seguiu a rota 25. Em
B, houve um giro de 40º para a direita. Como
BC forma um ângulo de 25º + 40º = 65º com
a direção norte, diz-se que o avião tomou a
rota 65.

 No percurso do avião, se em B tivesse havido               Fonte: Imenes e Lellis
  um giro de 10º para a esquerda, isto é, no
  sentido anti-horário, qual seria a rota BC?
Educoquiz 1 – O que você já sabe?
                                   Questão 1:

  O mostrador de um relógio marca meia-noite. Em 5 minutos,
  quantos graus gira o ponteiro grande?

      A) 5º

      B) 10º

      C) 20º

      D) 30º

                                                                   Fonte: http://bit.ly/JQM17t



Curiosidade! Você sabia que acredita-se que o homem começou a medir o tempo há cerca de
5000 anos? Provavelmente em bastão fincado na terra ou tronco de árvore iluminados pelo sol,
projetando suas sombras no solo permitiu-lhe constatar que o movimento dessas sombras era
o próprio transcorrer do tempo; tendo sido esse o primeiro medidor de tempo de que o homem
lançou mão.
Educoquiz 1 – O que você já sabe?
                                   Questão 2:
 A natureza caprichou! As quatro pétalas do trevo de quatro folhas
 formam entre si ângulos iguais. Quanto mede cada um?

   A) 30º

   B) 45º

   C) 90º

   D) 180º


                                                                     Fonte: http://bit.ly/JiaDlI


  Curiosidade: O trevo de quatro folhas é uma variação pouco frequente do trevo comum.
  Segundo a superstição, encontrar este tipo de trevo é um presságio de sorte porque as
  quatro folhas representariam esperança, fé, amor e fortuna. Atualmente, graças à
  engenharia genética, as sementes de trevos de quatro folhas estão à venda em lojas
  especializadas. Cultive-as no seu jardim e atraia boas energias!
Educoquiz 1 – O que você já sabe?
                                  Questão 3:
 Observe, no mapa, a rota do avião. Repare que o mostrador da bússola está dividido em 4
 ângulos iguais. Veja a descrição do percurso do avião:

 O avião decolou de X num ângulo de 76º com o norte e chegou a P. Girou 35º para a
 esquerda (sentido anti-horário), tomando a rota 41, e rumou para T. Em T, girou 49º para a
 direita em rumo para O. Qual a última rota tomada?

                                                               49º
    A) 90º
    B) 100º
    C) 180º
    D) 270º




                                                            Fonte: Imenes e Lellis
Medida de um ângulo - o grau e seus submúltiplos


Como medir um ângulo? usando o transferidor. Relembre que a unidade de medida
do ângulo é o grau e seus submúltiplos, minuto e segundo.
Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui?
  Questão 1:

Nesta rua foram pintadas faixas de estacionamento a 45º.
Vamos examinar o modelo geométrico presente nesta situação.
Sabendo que o ângulo AÔC representa um ângulo de 180º,
quanto mede BÔC?

            A) 45º
            B) 90º
            C) 135º
            D) 180º
                                                                   Fonte: http://bit.ly/J4X6AV




  Curiosidade:A utilização de estacionamento em ângulos de 45 ou 90 graus em relação
  ao meio fio amplia a oferta de vagas, já que esse arranjo permite maior número de
  veículos estacionados na mesma extensão de guia disponível para esse uso. Fonte:
  http://bit.ly/Kre7t7
Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui?

 Questão      2:  Observe o transferidor para
 navegação aérea ao lado, supondo que o avião
 partiu da posição Norte (N), quantos graus ele se
 deslocou rumo a direção a Leste (E), de acordo com
 a imagem do avião em vermelho?
           A) 37º
           B) 40º
           C) 90º
           D) 215º


                                                                    Fonte: http://bit.ly/IDveFz



Curiosidade:Você sabia que NAVEGAÇÃO AÉREA é a forma de conduzir com habilidade, de um
lugar para outro um dirigível através do espaço? Muitos são os cálculos matemáticos necessários
na navegação. Pólo Norte, Pólo Sul, Paralelos e Meridianos, Longitude e Latitude também
são conceitos importantíssimos quando falamos em navegação aérea.
Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui?
Questão 3:

Qual deve ser a medida do ângulo
assinalado em vermelho formado
pela Avenida das Rosas e a Rua das
Margaridas?




                                                         s
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                                                                                          Fl




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     A) 18º 56'                                              Avenida das Rosas        s
                                                                                   da




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     B) 39º 20'                                                       40º   Ru




                                              as
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                                                    118

                                              ad
                                            Ru
     C) 53º

     D) 61º 35'
                                     Observe na ilustração ao lado os ângulos formados
                                     pela Avenida das Rosas e a Rua das Flores. Eles são
                                     suplementares porque suas medidas somam 180º.
Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui?
Questão 4:

   Observe os ângulos formados pelas posições do guarda-sol I e II em relação à areia.
   Escreva na forma mais simples possível esses ângulos, respectivamente:


   A) 1º 25‘ e 15º 13'
                                                         I                                   II
   B) 1º 35‘ e 16º 23'

   C) 2º 32‘ e 17º 41'
                                                                      95'
   D) 3º 15‘ e 18º 27'                                                             15º 83'



                                                        Imagem editada: Andrini e Vasconcellos
Operações com ângulos – soma e subtração
Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu?
                              Questão 1:
Sr. João observou que sua tesoura de jardineiro quando está fechada, seus dois cabos formam
um ângulo de 30º 20‘.
                         30º 20‘

Agora, as duas lâminas foram abertas em 10º 15’. Qual é a medida do novo ângulo formado pelos
cabos?
     A) 40º
                    ?                       10º 15‘
     B) 40º 35'
     C) 45º 30'
     D) 50º


 Curiosidade: Jardinagem é a arte de criar e de fazer a
 manutenção de plantas com o objetivo de embelezar
                                                                      Fonte: http://bit.ly/ITelcx
 determinados locais. São muitos os locais onde se podem
 praticar tal arte: desde espaços grandes até pequenos
 pedaços de terra, como um simples vaso de flor.
Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu?

                                      Questão 2:

Veja a tábua de passar roupa de Dª Joana e observe que os ângulos AÔC e AÔB são
suplementares, ou seja, a soma desses dois ângulos é igual a 180º. A partir daí, encontre o
valor de x:


       A)   9º 30‘
       B)   10º




                                                                             Imagem editada: Andrini e Vasconcellos
       C)   12º 15‘
       D)   13º 20'




                                        2x + 45º         O

                                                   4x + 55º
Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu?
                                      Questão 3:

Dois ângulos opostos pelo vértice, como na imagem dos pontos cardeais abaixo são
congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Sendo assim, encontre o valor de y:

      A) 13º 36'

      B) 20º 10'
                                                   5x + 25º   2x + 45º

      C) 23º 20'

      D) 28º



  Curiosidade: Os pontos cardeais, também conhecidos como pontos de referência, são de
  extrema importância para a localização e a orientação geográfica. Os quatro pontos cardeais
  são: Norte, Sul, Leste e Oeste. A utilização desses pontos contribuiu para as grandes
  navegações do período colonial, rotas comerciais, em guerras, além de auxiliar em trilhas,
  competições de rally, entre outras atividades.
Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu?
                                       Questão 4:

Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice que divide esse ângulo em dois
ângulos congruentes, ou seja, com a mesma medida. A imagem abaixo nos faz lembrar um
ângulo e sua bissetriz. Se o pintinho estivesse de bico aberto, qual seria o valor do ângulo
formado por cada parte do seu bico?


               A) 22º 30'

               B) 28º
                                                        45º
               C) 37º 45'

               D) 45º




                                                                     Bissetriz
Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu?
                                    Questão 5:

Cortar o tempo
Quem teve a idéia de cortar o tempo em fatias,
a que se deu o nome de ano,
foi um indivíduo genial.
Industrializou a esperança, fazendo-a funcionar no limite da exaustão.
Doze meses dão para qualquer ser humano se cansar e entregar os pontos.
Aí entra o milagre da renovação e tudo começa outra vez, com outro número e outra
vontade de acreditar que daqui pra diante vai ser diferente.
Carlos Drummond de Andrade
Observando o mostrador dos relógios abaixo, a diferença entre os ângulos dos ponteiros de
um relógio que marca 2h30min e outro que marca 1h é de:

  A) 13º 43'
  B) 19º
  C) 55º 12'
  D) 75º
                                                       Imagem editada: Andrini e Vasconcellos
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Graus

  • 1. “Operações com ângulos” Somar, subtrair, multiplicar ou dividir ângulos é muito importante pela suas múltiplas possibilidades de aplicação nos contextos do dia a dia. Veja o exemplo abaixo: As medidas de ângulos são usadas, por exemplo, na determinação da rota de aviões. Observe o mapa e a bússola na figura ao lado. Note que a agulha da bússola aponta para o norte, que corresponde a 0º, e que do norte para o leste há 90º, do norte para o sul há 180º e do norte para o oeste, 270º. Os pontos A, B e C indicam aeroportos. O avião percorreu a distância AB e, agora, está percorrendo a distância BC. AB forma um ângulo de 25º (medindo no sentido horário) com a direção norte. Por isso, diz-se que o avião seguiu a rota 25. Em B, houve um giro de 40º para a direita. Como BC forma um ângulo de 25º + 40º = 65º com a direção norte, diz-se que o avião tomou a rota 65. No percurso do avião, se em B tivesse havido Fonte: Imenes e Lellis um giro de 10º para a esquerda, isto é, no sentido anti-horário, qual seria a rota BC?
  • 2. Educoquiz 1 – O que você já sabe? Questão 1: O mostrador de um relógio marca meia-noite. Em 5 minutos, quantos graus gira o ponteiro grande? A) 5º B) 10º C) 20º D) 30º Fonte: http://bit.ly/JQM17t Curiosidade! Você sabia que acredita-se que o homem começou a medir o tempo há cerca de 5000 anos? Provavelmente em bastão fincado na terra ou tronco de árvore iluminados pelo sol, projetando suas sombras no solo permitiu-lhe constatar que o movimento dessas sombras era o próprio transcorrer do tempo; tendo sido esse o primeiro medidor de tempo de que o homem lançou mão.
  • 3. Educoquiz 1 – O que você já sabe? Questão 2: A natureza caprichou! As quatro pétalas do trevo de quatro folhas formam entre si ângulos iguais. Quanto mede cada um? A) 30º B) 45º C) 90º D) 180º Fonte: http://bit.ly/JiaDlI Curiosidade: O trevo de quatro folhas é uma variação pouco frequente do trevo comum. Segundo a superstição, encontrar este tipo de trevo é um presságio de sorte porque as quatro folhas representariam esperança, fé, amor e fortuna. Atualmente, graças à engenharia genética, as sementes de trevos de quatro folhas estão à venda em lojas especializadas. Cultive-as no seu jardim e atraia boas energias!
  • 4. Educoquiz 1 – O que você já sabe? Questão 3: Observe, no mapa, a rota do avião. Repare que o mostrador da bússola está dividido em 4 ângulos iguais. Veja a descrição do percurso do avião: O avião decolou de X num ângulo de 76º com o norte e chegou a P. Girou 35º para a esquerda (sentido anti-horário), tomando a rota 41, e rumou para T. Em T, girou 49º para a direita em rumo para O. Qual a última rota tomada? 49º A) 90º B) 100º C) 180º D) 270º Fonte: Imenes e Lellis
  • 5. Medida de um ângulo - o grau e seus submúltiplos Como medir um ângulo? usando o transferidor. Relembre que a unidade de medida do ângulo é o grau e seus submúltiplos, minuto e segundo.
  • 6. Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui? Questão 1: Nesta rua foram pintadas faixas de estacionamento a 45º. Vamos examinar o modelo geométrico presente nesta situação. Sabendo que o ângulo AÔC representa um ângulo de 180º, quanto mede BÔC? A) 45º B) 90º C) 135º D) 180º Fonte: http://bit.ly/J4X6AV Curiosidade:A utilização de estacionamento em ângulos de 45 ou 90 graus em relação ao meio fio amplia a oferta de vagas, já que esse arranjo permite maior número de veículos estacionados na mesma extensão de guia disponível para esse uso. Fonte: http://bit.ly/Kre7t7
  • 7. Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui? Questão 2: Observe o transferidor para navegação aérea ao lado, supondo que o avião partiu da posição Norte (N), quantos graus ele se deslocou rumo a direção a Leste (E), de acordo com a imagem do avião em vermelho? A) 37º B) 40º C) 90º D) 215º Fonte: http://bit.ly/IDveFz Curiosidade:Você sabia que NAVEGAÇÃO AÉREA é a forma de conduzir com habilidade, de um lugar para outro um dirigível através do espaço? Muitos são os cálculos matemáticos necessários na navegação. Pólo Norte, Pólo Sul, Paralelos e Meridianos, Longitude e Latitude também são conceitos importantíssimos quando falamos em navegação aérea.
  • 8. Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui? Questão 3: Qual deve ser a medida do ângulo assinalado em vermelho formado pela Avenida das Rosas e a Rua das Margaridas? s da s re ri o Fl rga A) 18º 56' Avenida das Rosas s da Ma ' a B) 39º 20' 40º Ru as º 25 140º 118 ad Ru C) 53º D) 61º 35' Observe na ilustração ao lado os ângulos formados pela Avenida das Rosas e a Rua das Flores. Eles são suplementares porque suas medidas somam 180º.
  • 9. Educoquiz 2 – O que você aprendeu até aqui? Questão 4: Observe os ângulos formados pelas posições do guarda-sol I e II em relação à areia. Escreva na forma mais simples possível esses ângulos, respectivamente: A) 1º 25‘ e 15º 13' I II B) 1º 35‘ e 16º 23' C) 2º 32‘ e 17º 41' 95' D) 3º 15‘ e 18º 27' 15º 83' Imagem editada: Andrini e Vasconcellos
  • 10. Operações com ângulos – soma e subtração
  • 11. Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu? Questão 1: Sr. João observou que sua tesoura de jardineiro quando está fechada, seus dois cabos formam um ângulo de 30º 20‘. 30º 20‘ Agora, as duas lâminas foram abertas em 10º 15’. Qual é a medida do novo ângulo formado pelos cabos? A) 40º ? 10º 15‘ B) 40º 35' C) 45º 30' D) 50º Curiosidade: Jardinagem é a arte de criar e de fazer a manutenção de plantas com o objetivo de embelezar Fonte: http://bit.ly/ITelcx determinados locais. São muitos os locais onde se podem praticar tal arte: desde espaços grandes até pequenos pedaços de terra, como um simples vaso de flor.
  • 12. Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu? Questão 2: Veja a tábua de passar roupa de Dª Joana e observe que os ângulos AÔC e AÔB são suplementares, ou seja, a soma desses dois ângulos é igual a 180º. A partir daí, encontre o valor de x: A) 9º 30‘ B) 10º Imagem editada: Andrini e Vasconcellos C) 12º 15‘ D) 13º 20' 2x + 45º O 4x + 55º
  • 13. Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu? Questão 3: Dois ângulos opostos pelo vértice, como na imagem dos pontos cardeais abaixo são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Sendo assim, encontre o valor de y: A) 13º 36' B) 20º 10' 5x + 25º 2x + 45º C) 23º 20' D) 28º Curiosidade: Os pontos cardeais, também conhecidos como pontos de referência, são de extrema importância para a localização e a orientação geográfica. Os quatro pontos cardeais são: Norte, Sul, Leste e Oeste. A utilização desses pontos contribuiu para as grandes navegações do período colonial, rotas comerciais, em guerras, além de auxiliar em trilhas, competições de rally, entre outras atividades.
  • 14. Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu? Questão 4: Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes, ou seja, com a mesma medida. A imagem abaixo nos faz lembrar um ângulo e sua bissetriz. Se o pintinho estivesse de bico aberto, qual seria o valor do ângulo formado por cada parte do seu bico? A) 22º 30' B) 28º 45º C) 37º 45' D) 45º Bissetriz
  • 15. Educoquiz 3 – O que mais você aprendeu? Questão 5: Cortar o tempo Quem teve a idéia de cortar o tempo em fatias, a que se deu o nome de ano, foi um indivíduo genial. Industrializou a esperança, fazendo-a funcionar no limite da exaustão. Doze meses dão para qualquer ser humano se cansar e entregar os pontos. Aí entra o milagre da renovação e tudo começa outra vez, com outro número e outra vontade de acreditar que daqui pra diante vai ser diferente. Carlos Drummond de Andrade Observando o mostrador dos relógios abaixo, a diferença entre os ângulos dos ponteiros de um relógio que marca 2h30min e outro que marca 1h é de: A) 13º 43' B) 19º C) 55º 12' D) 75º Imagem editada: Andrini e Vasconcellos