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GEOMETRIA PLANA
ÂNGULOS
PROF º
MARCOS
Ângulos Agudos: São os ângulos simpáticos, que medem menos de 90º.
Imagine que é como uma porta entreaberta - você pode ver um pouco do
que está do outro lado, mas não completamente. Todos os ângulos que são
menores que 90º são considerados ângulos agudos.
Ângulos Retos: Eles são os "certinhos", sempre perfeitos, medindo
exatamente 90º, nem mais, nem menos. Eles formam uma perfeita forma de
"L", como um canto de uma sala ou um quadrado.
Ângulos Obtusos: Estes são os ângulos maiores do que 90º, porém menores
que 180º.
Ângulos rasos: O ângulo raso é como o ângulo que está esticando os braços
bem abertos para dar o maior abraço possível! Ele mede exatamente 180º,
nem mais, nem menos. Visualize a linha do horizonte, ou pense em uma
reta: esses são exemplos de ângulos rasos.
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Se a soma entre os ângulos α e β é
igual a 90°, dizemos que α e β
são complementares. Por exemplo:
Os ângulos acima
são complementares porque, ao
somá-los, o resultado obtido é 90°.
Sabendo que dois ângulos
são complementares, é possível
encontrar a medida de um deles a
partir da medida do outro.
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a
180°, dizemos que γ e θ são suplementares.
Por exemplo:
Os ângulos da imagem acima
são suplementares porque a soma de suas
medidas é igual a 180°.Sabendo que dois
ângulos são suplementares, é possível
encontrar a medida de um deles a partir da
medida do outro.
ÂNGULOS ADJACENTES:
Esses são dois ângulos que têm um lado
e um vértice em comum, mas nada
além disso. Eles podem ser
complementares (somam 90º) ou
suplementares (somam 180º).
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (OPV):
Ângulos opostos pelo vértice são formados
pelo encontro de duas retas e são
congruentes.
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
1. Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a medida do maior ângulo é de 47°, qual
é a medida do menor ângulo?
2) Sobre a classificação dos ângulos, marque a alternativa correta:
A) Um ângulo é classificado como reto quando ele possui medida menor ou igual a 90º.
B) Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 180º.
C) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida é menor do que 90º.
D) Dois ângulos cuja soma é igual a 90º graus são conhecidos como ângulos obtusos.
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Sabendo que o ângulo EÂG é reto, o valor do ângulo x é:
A) 12º
B) 30º
C) 42º
D) 45º
E) 60º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Sabendo que os ângulos são suplementares, e analisando a imagem a seguir, o valor de x é igual a:
A) 10º
B) 11º
C) 12º
D) 13º
E) 14º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é:
A) 95º
B) 89º
C) 77º
D) 64º
E) 25º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é:
A) 95º
B) 89º
C) 77º
D) 64º
E) 25º
Analisando a imagem, note que a soma dos três ângulos
forma um ângulo inteiro, então temos que:
7x – 5 + 5x – 24 + 3x + 14 = 360
15x = 360 + 5 + 24 – 14
15x = 375
x = 375 / 15
x = 25
Então, o menor ângulo é:
3x + 14
3 · 25 + 14
75 + 14
89º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
O ângulo α é complementar ao ângulo ꞵ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do
ângulo ꞵ é:
A) 55º
B) 45º
C) 35º
D) 30º
E) 25º
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EXERCÍCIOS
O ângulo α é complementar ao ângulo ꞵ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do
ângulo ꞵ é:
A) 55º
B) 45º
C) 35º
D) 30º
E) 25º
Se α é suplementar a um ângulo de 125º, então, temos que:
α + 125º = 180º
α = 180º – 125º
α = 55º
Como α e ꞵ são complementares, então temos que:
α + ꞵ = 90º
55º + ꞵ = 90º
ꞵ = 90º – 55º
ꞵ = 35º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Analisando a imagem seguinte, podemos afirmar que o valor de x + y é
A) 15º
B) 11º
C) 10º
D) 21º
E) 24º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Analisando a imagem seguinte, podemos afirmar que o valor de x + y é
A) 15º
B) 11º
C) 10º
D) 21º
E) 24º
Na imagem os ângulos em rosa são opostos pelo vértice, logo,
o ângulo GÊF é congruente ao ângulo HÊI.
Então, temos que:
3x – 5 = 2x + 5
3x – 2x = 5 + 5
x = 10
Sendo x = 10, vamos encontrar o valor de y nos ângulos FÊI e
GÊH, que são congruentes.
15y – x = 18x – 25
15y – 10 = 18 · 10 – 25
15y = 180 – 25 + 10
15y = 165
y = 11
x + y = 10 + 11 = 21
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Sabendo que o seguimento AD é bissetriz do ângulo BÂC, então, o valor desse ângulo BÂC é:
A) 25º
B) 35º
C) 50º
D) 70º
E) 75º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Paulo é um estudante curioso e observador. Ele estava analisando o movimento dos ponteiros de
um relógio analógico e ficou intrigado com os ângulos formados entre eles em diferentes horários.
Paulo percebeu que ao longo do dia, os ponteiros do relógio se movem e formam ângulos distintos,
indicando diferentes horas. Ele decidiu investigar esses ângulos para aprimorar seus conhecimentos
matemáticos.
Qual é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 6 h e 30 min?
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Paulo é um estudante curioso e observador. Ele estava analisando o movimento dos ponteiros de um relógio
analógico e ficou intrigado com os ângulos formados entre eles em diferentes horários. Paulo percebeu que ao
longo do dia, os ponteiros do relógio se movem e formam ângulos distintos, indicando diferentes horas. Ele
decidiu investigar esses ângulos para aprimorar seus conhecimentos matemáticos.
Qual é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 6 h e 30 min?
Um relógio de ponteiros possui marcações a cada 5 min, dividindo uma circunferência em 12 partes
iguais.
Como uma circunferência possui 360°, cada parte de 5 min possui:
360° / 12 = 30°
Às 6 h e 30 min, o ponteiro dos minutos está exatamente no meio da circunferência. Enquanto este
ponteiro percorreu a metade da circunferência a partir das 6 h, o ponteiro das horas também se moveu.
Em meia hora, ou trinta minutos, o ponteiro das horas percorreu a metade do caminho entre 6h e 7h.
Como a passagem entre às 6h e 7h possui 30° e, o ponteiro das horas está na metade deste percurso,
o ângulo entre eles é de 15°.
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um
quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10.
O valor do menor ângulo é:
A) 15º
B) 25º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um
quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10.
O valor do menor ângulo é:
A) 15º
B) 25º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
Seja a, b, c e d as medidas de cada um dos ângulos, então
temos que:
a/3 = k → a = 3k
b/5 = k → b = 5k
c/6 = k → c = 6k
d/10 = k → d = 10k
Sabemos que a soma é igual 360º, então temos que:
3k + 5k + 6k + 10k = 360º
24k = 360º
k = 360º / 24
k = 15
Queremos o menor ângulo, que, no caso, é o ângulo a, pois:
a = 3k
a = 3 · 15 = 45
GEOMETRIA PLANA
RETAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULOS NOTÁVEIS
PROF º
MARCOS
Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum
ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um
ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (“r é
paralela a s”), e também uma reta transversal t que intercepte r e s,
haverá a formação de oito ângulos. Na imagem a seguir, identificamos
esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g, h.
Podemos classificar os ângulos formados por duas
retas paralelas cortadas por uma transversal de
acordo com a posição desses ângulos. Se eles
estiverem entre as retas paralelas, dizemos que
esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos
que eles são externos.
Na figura a seguir, os ângulos externos estão na
faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na
faixa amarela. Ao analisarmos dois ângulos, eles
podem estar do mesmo lado ou em lados
alternados em relação à reta transversal.
Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à
esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são
colaterais; mas se estão em lados alternados, um à
direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses
ângulos são alternos.
Alternos Internos:
Alternos Externos:
Colaterais internos:
Colaterais externos:
EM RESUMO:
• Ângulos correspondentes são congruentes. (OPV)
• Ângulos colaterais são suplementares.
• Ângulos alternos internos ou alternos externos também são congruentes.
EXERCÍCIOS
(UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por
(5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é:
a) 40°
b) 58°
c) 80°
d) 116°
e) 150°
EXERCÍCIOS
(UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por
(5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é:
a) 40°
b) 58°
c) 80°
d) 116°
e) 150°
Se os ângulos (5x + 8) e (7x – 12) são alternos internos, podemos afirmar que suas
medidas são iguais. Sendo assim:
7x – 12 = 5x + 8
7x – 5x = 8 + 12
2x = 20
x = 20
2
x = 10
As medidas dos ângulos são:
5x + 8 = 5.10 + 8 = 50 + 8 = 58
7x – 12 = 7.10 – 12 = 70 – 12 = 58
A soma desses ângulos é 58 + 58 = 116, portanto, a alternativa correta é a letra d.
EXERCÍCIOS
(FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é:
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
EXERCÍCIOS
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
(FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é:
Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados
em vermelho, podem ser classificados como alternos externos,
pois estão em lados “alternados” à reta u e são “externos” às
retas r e s, portanto, podemos afirmar que esses ângulos
possuem a mesma medida, isto é, y = 20°.
Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado
em verde, é correspondente ao ângulo x, sendo então de
mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os
ângulos x' e 70° são suplementares, logo:
x' + 70° = 180°
x' = 180° – 70°
x' = 110°
x = 110°
A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é a letra c.
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Primeiramente, podemos traçar uma reta paralela à reta r e a
reta s e que corte o ângulo a ser calculado. Desse modo,
vamos dividir esse ângulo em duas partes.
Agora, com esses dois novos ângulos formados, podemos
utilizar a propriedade dos ângulos alternos internos. Desse
modo, o ângulo de cima é igual ao ângulo 1 e o ângulo de
baixo é igual ao ângulo 2.
Então, para determinar o ângulo 3, precisamos apenas somá-
los:
A3 = 45º + 55º = 100º
Portanto, o ângulo 3 possui 100º.
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
Para que possamos construir um triângulo com lados medindo a, b e c, é necessário que a medida de cada lado seja
menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. Com isso, temos que:
Sempre que comparamos as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de
seus ângulos, observamos que:
• lados de mesmas medidas estão opostos a ângulos de mesma medida;
• o lado de maior medida de um triângulo está oposto ao ângulo de maior medida;
• o lado de menor medida de um triângulo está oposto ao ângulo de menor medida.
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO
Em todo triângulo, a medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das
medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
EXEMPLO
Exemplo 1
Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo.
Exemplo 2
Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm.
EXEMPLO
Exemplo 1
Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo.
4 < 7 + 12 (verdadeiro)
7 < 4 + 12 (verdadeiro)
12 < 4 + 7 (falso), pois 4 + 7 = 11 e 12 não é menor que 11.
Exemplo 2
Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm.
•5 < 9 + 10 (veídadeiío)
•9 < 5 + 10 (veídadeiío)
•10 < 5 + 9 (veídadeiío)
Desta foíma, é possível foímaí um tíiângulo com os segmentos 5 cm, 9 cm e 10
cm.
EXERCÍCIOS
Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.
EXERCÍCIOS
Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.
x + 30 = 85
x = 55º
PRATICANDO
PRATICANDO
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  • 2. Ângulos Agudos: São os ângulos simpáticos, que medem menos de 90º. Imagine que é como uma porta entreaberta - você pode ver um pouco do que está do outro lado, mas não completamente. Todos os ângulos que são menores que 90º são considerados ângulos agudos. Ângulos Retos: Eles são os "certinhos", sempre perfeitos, medindo exatamente 90º, nem mais, nem menos. Eles formam uma perfeita forma de "L", como um canto de uma sala ou um quadrado.
  • 3. Ângulos Obtusos: Estes são os ângulos maiores do que 90º, porém menores que 180º. Ângulos rasos: O ângulo raso é como o ângulo que está esticando os braços bem abertos para dar o maior abraço possível! Ele mede exatamente 180º, nem mais, nem menos. Visualize a linha do horizonte, ou pense em uma reta: esses são exemplos de ângulos rasos.
  • 4. ÂNGULOS COMPLEMENTARES Se a soma entre os ângulos α e β é igual a 90°, dizemos que α e β são complementares. Por exemplo: Os ângulos acima são complementares porque, ao somá-los, o resultado obtido é 90°. Sabendo que dois ângulos são complementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. ÂNGULOS SUPLEMENTARES Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a 180°, dizemos que γ e θ são suplementares. Por exemplo: Os ângulos da imagem acima são suplementares porque a soma de suas medidas é igual a 180°.Sabendo que dois ângulos são suplementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro.
  • 5. ÂNGULOS ADJACENTES: Esses são dois ângulos que têm um lado e um vértice em comum, mas nada além disso. Eles podem ser complementares (somam 90º) ou suplementares (somam 180º). ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (OPV): Ângulos opostos pelo vértice são formados pelo encontro de duas retas e são congruentes.
  • 6. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS 1. Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a medida do maior ângulo é de 47°, qual é a medida do menor ângulo? 2) Sobre a classificação dos ângulos, marque a alternativa correta: A) Um ângulo é classificado como reto quando ele possui medida menor ou igual a 90º. B) Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 180º. C) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida é menor do que 90º. D) Dois ângulos cuja soma é igual a 90º graus são conhecidos como ângulos obtusos.
  • 7. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que o ângulo EÂG é reto, o valor do ângulo x é: A) 12º B) 30º C) 42º D) 45º E) 60º
  • 8. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que os ângulos são suplementares, e analisando a imagem a seguir, o valor de x é igual a: A) 10º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º
  • 9. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é: A) 95º B) 89º C) 77º D) 64º E) 25º
  • 10. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é: A) 95º B) 89º C) 77º D) 64º E) 25º Analisando a imagem, note que a soma dos três ângulos forma um ângulo inteiro, então temos que: 7x – 5 + 5x – 24 + 3x + 14 = 360 15x = 360 + 5 + 24 – 14 15x = 375 x = 375 / 15 x = 25 Então, o menor ângulo é: 3x + 14 3 · 25 + 14 75 + 14 89º
  • 11. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS O ângulo α é complementar ao ângulo ꞵ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do ângulo ꞵ é: A) 55º B) 45º C) 35º D) 30º E) 25º
  • 12. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS O ângulo α é complementar ao ângulo ꞵ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do ângulo ꞵ é: A) 55º B) 45º C) 35º D) 30º E) 25º Se α é suplementar a um ângulo de 125º, então, temos que: α + 125º = 180º α = 180º – 125º α = 55º Como α e ꞵ são complementares, então temos que: α + ꞵ = 90º 55º + ꞵ = 90º ꞵ = 90º – 55º ꞵ = 35º
  • 13. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem seguinte, podemos afirmar que o valor de x + y é A) 15º B) 11º C) 10º D) 21º E) 24º
  • 14. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem seguinte, podemos afirmar que o valor de x + y é A) 15º B) 11º C) 10º D) 21º E) 24º Na imagem os ângulos em rosa são opostos pelo vértice, logo, o ângulo GÊF é congruente ao ângulo HÊI. Então, temos que: 3x – 5 = 2x + 5 3x – 2x = 5 + 5 x = 10 Sendo x = 10, vamos encontrar o valor de y nos ângulos FÊI e GÊH, que são congruentes. 15y – x = 18x – 25 15y – 10 = 18 · 10 – 25 15y = 180 – 25 + 10 15y = 165 y = 11 x + y = 10 + 11 = 21
  • 15. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que o seguimento AD é bissetriz do ângulo BÂC, então, o valor desse ângulo BÂC é: A) 25º B) 35º C) 50º D) 70º E) 75º
  • 16. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Paulo é um estudante curioso e observador. Ele estava analisando o movimento dos ponteiros de um relógio analógico e ficou intrigado com os ângulos formados entre eles em diferentes horários. Paulo percebeu que ao longo do dia, os ponteiros do relógio se movem e formam ângulos distintos, indicando diferentes horas. Ele decidiu investigar esses ângulos para aprimorar seus conhecimentos matemáticos. Qual é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 6 h e 30 min?
  • 17. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Paulo é um estudante curioso e observador. Ele estava analisando o movimento dos ponteiros de um relógio analógico e ficou intrigado com os ângulos formados entre eles em diferentes horários. Paulo percebeu que ao longo do dia, os ponteiros do relógio se movem e formam ângulos distintos, indicando diferentes horas. Ele decidiu investigar esses ângulos para aprimorar seus conhecimentos matemáticos. Qual é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 6 h e 30 min? Um relógio de ponteiros possui marcações a cada 5 min, dividindo uma circunferência em 12 partes iguais. Como uma circunferência possui 360°, cada parte de 5 min possui: 360° / 12 = 30° Às 6 h e 30 min, o ponteiro dos minutos está exatamente no meio da circunferência. Enquanto este ponteiro percorreu a metade da circunferência a partir das 6 h, o ponteiro das horas também se moveu. Em meia hora, ou trinta minutos, o ponteiro das horas percorreu a metade do caminho entre 6h e 7h. Como a passagem entre às 6h e 7h possui 30° e, o ponteiro das horas está na metade deste percurso, o ângulo entre eles é de 15°.
  • 18. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10. O valor do menor ângulo é: A) 15º B) 25º C) 45º D) 60º E) 75º
  • 19. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10. O valor do menor ângulo é: A) 15º B) 25º C) 45º D) 60º E) 75º Seja a, b, c e d as medidas de cada um dos ângulos, então temos que: a/3 = k → a = 3k b/5 = k → b = 5k c/6 = k → c = 6k d/10 = k → d = 10k Sabemos que a soma é igual 360º, então temos que: 3k + 5k + 6k + 10k = 360º 24k = 360º k = 360º / 24 k = 15 Queremos o menor ângulo, que, no caso, é o ângulo a, pois: a = 3k a = 3 · 15 = 45
  • 20. GEOMETRIA PLANA RETAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULOS NOTÁVEIS PROF º MARCOS
  • 21. Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (“r é paralela a s”), e também uma reta transversal t que intercepte r e s, haverá a formação de oito ângulos. Na imagem a seguir, identificamos esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g, h.
  • 22. Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Na figura a seguir, os ângulos externos estão na faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na faixa amarela. Ao analisarmos dois ângulos, eles podem estar do mesmo lado ou em lados alternados em relação à reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são colaterais; mas se estão em lados alternados, um à direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos.
  • 23. Alternos Internos: Alternos Externos: Colaterais internos: Colaterais externos:
  • 24. EM RESUMO: • Ângulos correspondentes são congruentes. (OPV) • Ângulos colaterais são suplementares. • Ângulos alternos internos ou alternos externos também são congruentes.
  • 25. EXERCÍCIOS (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é: a) 40° b) 58° c) 80° d) 116° e) 150°
  • 26. EXERCÍCIOS (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é: a) 40° b) 58° c) 80° d) 116° e) 150° Se os ângulos (5x + 8) e (7x – 12) são alternos internos, podemos afirmar que suas medidas são iguais. Sendo assim: 7x – 12 = 5x + 8 7x – 5x = 8 + 12 2x = 20 x = 20 2 x = 10 As medidas dos ângulos são: 5x + 8 = 5.10 + 8 = 50 + 8 = 58 7x – 12 = 7.10 – 12 = 70 – 12 = 58 A soma desses ângulos é 58 + 58 = 116, portanto, a alternativa correta é a letra d.
  • 27. EXERCÍCIOS (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é: a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150°
  • 28. EXERCÍCIOS a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150° (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é: Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados em vermelho, podem ser classificados como alternos externos, pois estão em lados “alternados” à reta u e são “externos” às retas r e s, portanto, podemos afirmar que esses ângulos possuem a mesma medida, isto é, y = 20°. Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado em verde, é correspondente ao ângulo x, sendo então de mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os ângulos x' e 70° são suplementares, logo: x' + 70° = 180° x' = 180° – 70° x' = 110° x = 110° A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é a letra c.
  • 30. EXERCÍCIOS Primeiramente, podemos traçar uma reta paralela à reta r e a reta s e que corte o ângulo a ser calculado. Desse modo, vamos dividir esse ângulo em duas partes. Agora, com esses dois novos ângulos formados, podemos utilizar a propriedade dos ângulos alternos internos. Desse modo, o ângulo de cima é igual ao ângulo 1 e o ângulo de baixo é igual ao ângulo 2. Então, para determinar o ângulo 3, precisamos apenas somá- los: A3 = 45º + 55º = 100º Portanto, o ângulo 3 possui 100º.
  • 31. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO Para que possamos construir um triângulo com lados medindo a, b e c, é necessário que a medida de cada lado seja menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. Com isso, temos que: Sempre que comparamos as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, observamos que: • lados de mesmas medidas estão opostos a ângulos de mesma medida; • o lado de maior medida de um triângulo está oposto ao ângulo de maior medida; • o lado de menor medida de um triângulo está oposto ao ângulo de menor medida.
  • 32. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO Em todo triângulo, a medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
  • 33. EXEMPLO Exemplo 1 Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo. Exemplo 2 Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm.
  • 34. EXEMPLO Exemplo 1 Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo. 4 < 7 + 12 (verdadeiro) 7 < 4 + 12 (verdadeiro) 12 < 4 + 7 (falso), pois 4 + 7 = 11 e 12 não é menor que 11. Exemplo 2 Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm. •5 < 9 + 10 (veídadeiío) •9 < 5 + 10 (veídadeiío) •10 < 5 + 9 (veídadeiío) Desta foíma, é possível foímaí um tíiângulo com os segmentos 5 cm, 9 cm e 10 cm.
  • 35. EXERCÍCIOS Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.
  • 36. EXERCÍCIOS Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas. x + 30 = 85 x = 55º