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Transformacao de tensoes

Este documento fornece notas de aula sobre resistência dos materiais. Resume conceitos-chave como transformações de tensões e deformações em elementos sob cargas, tensões principais, círculo de Mohr para representar estados planos de tensão. Inclui exemplos para ilustrar esses conceitos.

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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS CAPITULO Notas de Aula: Prof. Gilfran Milfont As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: -RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS- Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw Hill-4ª edição-2006 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R. C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição- 2004 -MECÂNICA DOS MATERIAIS-James M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley, Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003 7 Transformação das Tensões e das Deformações. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Introdução 1 - 2 • O estado mais geral de tensões em um ponto pode ser representado por 6 componente: ),,:(Note que tensão tangencial,, tensão normal,, xzzxzyyzyxxy zxyzxy zyx tttttt ttt sss === • O mesmo estado de tensão é representado por um cunjunto diferente de componentes, se os eixos são rotacionados. • Nosso objetivo aqui é verificar as transformações de tensão no elemento, a partir de uma rotação nos eixos coordenados e em seguida, fazer a mesma análise para a transformação das deformações.
2 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Plano de Tensões 1 - 3 • Estado Plano de Tensões – é a situação onde duas das faces do cubo elementar estão isentas de tensões. Cosideremos o eixo z como perpendicular a estas faces, temos: em consequência: .0=== zyzxz tts ,, xyyx tss • Existem vários exemplos de estado plano de tensões. Ocorre, por exemplo, na superfície livre de um elemento estrutural ou elemento de máquina, como mostrado na figura. .0== yzxz tt restam então as tensões: Por conveniência, este estado de tensão é representado pelo elemento bi-dimensional da figura ao lado. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Transformações do Estado Plano de Tensões      cos22 2 2cos1 2 2cos1 cos : 2 2 sensen sen queLembrar =  =  = 1 - 4                 ts tst ts tss sinsincossin coscossincos0 cossinsinsin sincoscoscos0 AA AAAF AA AAAF xyy xyxyxy xyy xyxxx  ==  ==   • Considere as condições de equilíbrio do elemento prismático da figura, com as faces perpendiculares aos eixos x, y, e x’ . )(22cos 22 ´ Isenxy yxyx x t ssss s     = )(2cos2 2 ´´ IIsen xy yx yx t ss t   = • As equações podem ser escritas em função do ângulo duplo e nos dão a tensão normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora, forma um ângulo com o eixo x.
3 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Transformações do Estado Plano de Tensões )(22cos 22 ´ IIIsenxy yxyx y t ssss s     = )(´´ IVyxyx ssss = 1 - 5 Para encontrarmos σy´, vamos substituir na exp. para σx´ o ângulo por θ+90. Como cos (2θ+180)= -cos2θ e sen(2θ+180)= -sen2θ, encontramos: Somando membro a membro as expressões (I) e (III), encontramos: O que nos mostra que a soma das tensões normais em um elemento em estado plano de tensões, independe da orientação deste elemento. As tensões aqui, devem ser tratadas de forma algébrica, ou seja, tensão de tração é positiva e de compressão negativa. Para a tensão de cisalhamento, se convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se está estudando e que tendem a girá-lo no sentido anti-horário. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Tensões Principais )(2 )( 2 2cos 2 02cos22)(0´ Vtg sen sen d d p yx xy xyyx x  ss t   tss  s =  === )( 22 )( 22 2 2 min 2 2 VII VI xy yxyx xy yxyx máx t ssss s t ssss s          =          = yxmáx ssss = min 1 - 6 Os valores máximos e mínimos de σx´ ocorrerão para valores de θ nos quais: Verifica-se que a tensão tangencial é nula sobre planos que experimentam valores máximos e mínimos de tensão normal. Estes planos são conhecidos como Planos Principais e as tensões normais nesses planos são conhecidas como Tensões Principais e são dadas pela seguinte expressão: Observe que se somarmos membro a membro as expressões (VI) e (VII), vamos encontrar:
4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Tensão de Cisalhamento Máxima )(2 2 )( 2cos 2 0222cos)(0 ´´ VIIItg sen sen d d s xy yx xyyx yx  t ss   tss  t =  === )( 2 min XImáx máx ss t  = 1 - 7 A tesão de cisalhamento máxima se dá onde: : Observa-se que tg2θs é a inversa negativa de tg2θp. Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º. Logo, θp e θs estão afastados de 45º. Isto significa que os planos onde ocorrem as tensões tangenciais máximas estão a 45º dos planos principais. Nos planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal é dada por: 2 2 2 max xy yx t ss t        = (IX) 2 yx med ss ss  == (X) Uma relação usual é dada por: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.1 1 - 8 Para o estado plano de tensões mostrado, determine: (a) Os planos principais, (b) As tensões principais, (c) A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal correspondente nestes planos.
5 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.1 1 - 9 SOLUÇÃO: • a) Determine os planos principais:     = =   =  = 1.233,1.532 333.1 1050 4022 2tan p yx xy p  ss t  = 6.116,6.26p • b) Determine as tensões principais:    22 2 2 minmax, 403020 22 =          = xy yxyx t ssss s MPa30 MPa70 min max = = s s MPa10 MPa40MPa50 = == x xyx s ts RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.1 1 - 10 MPa10 MPa40MPa50 = == x xyx s ts 2 1050 2  =  == yx med ss ss • A correspondente tensão normal nestes planos é: MPa20=s • c) Calcule a tensão de cisalhamento máxima e os planos onde ocorrem:    22 2 2 max 4030 2 =        = xy yx t ss t MPa50max =t 45= ps  = 6.71,4.18s=>
6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Problema 7.1 1 - 11 Uma força horizontal P de 670N é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eixos x e y, (b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Problema 7.1 1 - 12 SOLUÇÃO: • Determine um sistema de força- momento equivalentes, no centro da seção transversal que passa por H.       mNmNM mNmNT NP x .5,16725,0670 .2,30846,0670 670 == == = • a) Calcule a tensão normal e de cisalhamento no ponto H.          4 2 1 4 4 1 015,0 015,0.2,308 015,0 015,0.5,167 m mmN J Tc m mmN I Mc xy y  t  s == == MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss
7 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Problema 7.1 1 - 13 • b) Determine os planos e as tensões principais para o ponto.   = =  =  = 5.612 84.1 2,630 1,5822 2tan p yx xy p  ss t  == 5.597.30 pp e   2 2 2 2 min, 1,58 2 2,630 2 2,620 22          =          = xy yxyx máx t ssss s MPa MPamáx 5,34 7,97 min = = s s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 1 - 14 • Passos para a construção do círculo de Mohr: 1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tensões normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto dessas tensões; 2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(σx;-τxy ) e Y(σy;τxy ) e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;τmax ). Com centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E. 3. Os pontos A de coordenadas (σmax, 0) e B (σmin ; 0) representam as tensões principais. O ângulo CAX é o ângulo 2 p. • As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um círculo, chamado de cículo de Mohr para as tensões.   222 yxmedx Rtss = 
8 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 1 - 15 • Após desenhado o círculo, os demais valores são encontrados geometricamente ou calculados. • As tensões principais são encontradas em A e B. A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma que de CX para CA. 2 yx med ss s  =OC= 2 2 2 xy yx R t ss        =CX= • Os planos principais são dados por: t2 yx xy ss  =p2tan XF CF = med Rs =s min =OB=OC-CX med Rs =s max =OA=OC+CX RCD ==maxt D F E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 1 - 16 • Com o círculo de Mohr definido, o estado de tensão para qualquer outra orientação pode ser encontrado. • Para um estado de tensão a um ângulo  em relação aos eixos xy, construa um novo diâmetro X’Y’ com um ângulo 2 relativo ao diâmetro XY. • As tensões normal e a tensão de cisalhamento para esta nova orientação, são conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.
9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para Tensões Planas 1 - 17 • Círculo de Mohr para carga axial centrada: 0, === xyyx A P tss A P xyyx 2 === tss • Círculo de Mohr para torção pura: J Tc xyyx === tss 0 0=== xyyx J Tc tss RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.02 1 - 18 Para o estado plano de tensões mostrado, (a) construa o círculo de Mohr’s, determine (b) as tensões principais, (c) os planos principais, (d) a tensão de cisalhamento máxima e a correspondente tensão normal. SOLUÇÃO: • a) Construção do círculo de Mohr:         MPa504030 MPa40MPa302050 MPa20 2 1050 2 22 === === =  =  = CXR FXCF yx med ss s
10 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.02 1 - 19 • b) Tensões principais 5020max === CAOCOAs = == 1.532 30 40 2tan p p CP FX   = 6.26p c) Planos principais MPa70max =s 5020min === BCOCOBs MPa30min =s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.02 1 - 20 • d) Tensão de cisalhamento máxima e tensão normal neste plano: = 45ps  = 6.71s R=maxt MPa50max =t medss = MPa20=s
11 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.2 1 - 21 Para o estado de tensão mostrado, determine (a) as tensões e os planos principais, (b) as componentes de tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti- horário. SOLUÇÃO: • Construa o círculo de Mohr:         MPa524820 MPa80 2 60100 2 2222 === =  =  = FXCFR yx med ss s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.2 1 - 22 • a) Planos e tensões principais: = === 4.672 4.2 20 48 2tan p p CF XF   oráriop h7.33 = 5280 max = == CAOCOAs 5280 max = == BCOCOAs MPa132max =s MPa28min =s
12 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.2 1 - 23 == === === ==    6.52sin52 6.52cos5280 6.52cos5280 6.524.6760180 XK CLOCOL KCOCOK yx y x t s s  • b) Componentes de tensão para o elemento girado de 30o Os pontos X’ e Y’ correspondem as componetes de tensão para o elemento girado. = 602 MPa3.41 MPa6.111 MPa4.48 = = =    yx y x t s s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Geral de Tensões 1 - 24 • O estado de tensão em Q é definido por: zxyzxyzyx tttsss ,,,,, • Considere o etado geral de tensões em um ponto Q, representado pelo elemento tridimensional • Considere o tetrahedro com face perpendicular à linha QN e cossenos diretores: zyx  ,, • A exigência que: leva a, = 0nF xzzxzyyzyxxy zzyyxxn ttt ssss 222 222  = • A forma da equação garante que pode ser encontrado um elemento cuja orientação é: 222 ccbbaan ssss = Estes são os eixos principais que define os planos principais e, a tensão normal, é uma tensão principal.
13 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões 1 - 25 • As transformações de tensão para um elemento girado em torno de um eixo principal pode ser representado pelo círculo de Mohr. • Os três círculos representam as tensões normais e de cisalhamento para rotação do elemento em torno de cada um dos eixos principais. • Os pontos A, B, e C representam as tensões principais nos planos principais (tensão tangencial é nula) minmaxmax 2 1 sst = • O raio do círculo maior é a tensão de cisalhamento máxima no elemento. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões 1 - 26 • No caso de estado plano de tensões, o eixo perpendicular às faces isentas de tensões, é um eixo principal. b) a tensão máxima de cisalhamento no elemento é a tensão máxima de cisalhamento no plano das tensões a) as correspondentes tensões principais para o elemento são a tensão máxima e minima • Se os pontos A e B (representando as tensões principais) estão em lados opostos da origem, então: c) Os planos de tensão de cisalhamento máxima estão a 45o dos planos principais.
14 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 1 - 27 Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões • Se A e B estão do mesmo lado, (isto é, têm o mesmo sinal), então: c) os planos de cisalhamento máximo, formam 45º com os planos das tensões. b) a máxima tensão de cisalhamento é igual a metade da tensão normal máxima a) o cículo que define as tensõs no elemento smax, smin, etmax não correspondem as transformação no plano das tensões RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis 1 - 28 • A falha de um componente de máquina sujeito a uma carga axial pode ser prevista por um simples ensaio de tração • A falha de um componente de máquina sujeito a um estado plano de tensões não pode ser prevista diretamente de um ensaio de tração do material. • È conveniente determinar as tensões principais e utilizar um critério de falha para o tipo de material. • Os critérios de falha são determinados a partir dos mecanismos de falha de cada tipo de material.
15 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis 1 - 29 Critèrio da Máxima Tensão de Cisalhamento: Também chamado de Critério de Tresca, por este critério, é dito que um componente estrutural estará seguro enquanto a tensão de cisalhamento máxima no elemento for menor que a tensão de cisalhamento no escoamento de um corpo de provas do material, isto é: 2 max Y Y s tt = Para sa esb com o mesmo sinal, 222 oumax Yba sss t = Para sa e sb com sinais opostos, 22 max Yba sss t   = Hexágono de Tresca RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis 1 - 30 Critério da Máxima Energia de Distorção: Também chamado de Critério de Von Mises, por este critério, é considerado seguro um componente estrutural cuja energia de distorção por unidade de volume é menor que a energia por unidade de volume de um corpo de provas submetido ao ensaio de tração que inicia seu escoamento.     222 2222 00 6 1 6 1 Ybbaa YYbbaa Yd GG uu sssss ssssss    Comparação entre os dois critérios: Observamos que o critério de Tresca é mais conservador que o critério de Von Mises.
16 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis 1 - 31 Critério da Máxima Tensão Normal: Um componente estrutural é considerado seguro enquanto as tensões normais máximas não ultrapassarem a tensão última atingida em um ensaio de tração de um corpo de provas do material, isto é:Ub Ua ss ss   Materiais frágeis falham repentinamente em ensaios de tração. As condições de falha são caracterizadas pela tensão última sU. O critério de Coulomb apresenta uma séria deficiência, que é considerar a resistência do material a tração a mesma que a compressão, o que não é verdade, em função das imperfeições do material. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis UCaUCaba UTbUTaba eNegativase ePositivase ssssss ssssss   1 - 32 Critério de Mohr: É feito o ensaio do material a tração e a compressão, encontrando-se σUT e σUC, respectivamente. Faz-se um ensaio de torção, encontrando-se τU. Com estes dados, traça-se o círculo de Mohr para cada uma destas condições. Por este critério, o material estará seguro se: Para σa e σb com sinais contrários, o elemento estará seguro para qualquer estado de tensão contido no círculo de Mohr determinado para torção, ou atenda a condição: Quando não é feito o ensaio de torção, e só se conhece σUT e σUC, o esquema gráfico pode ser simplificado, conforme ao lado. 1 UC b UT a s s s s
17 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos 1 - 33 • Vasos Cilindricos: s1 = σc = tensão circunferencial s2 = σ= tensão longitudinal     t pr xrpxtFz = == 1 1 220 s s • Tensão Circunferencial:     21 2 2 2 2 2 20 ss s s = = == t pr rprtFx • Tensão Longitudinal: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos 1 - 34 • Os pontos A e B correspondem a tensão circunferencial, s1, e a tensão longitudinal, s2, respectivamente. • Tensão de cisalhamento máxima no plano: pr1 t42 2)planonomax( == st • A tensão de cisalhamento máxima no vaso encontra-se em um plano que forma 45o com o plano das tensões, sendo seu valor: t pr 2 2max == st
18 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Vasos de Pressão de Paredes Finas-Esféricos 1 - 35 • Vasos Esféricos: • O círculo de Mohr para o plano das tensões se degenera em um ponto. • Tensão de cisalhamento máxima no vaso (fora do plano das tensões): t pr 4 12 1 max == st t pr 2 21 == ss =σ 0 constante plano)-max(no 21 = === t sss RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Projeto de Vasos de Pressão de Paredes Finas - Projeto 3 2 3 4 6,02 : 6,12,1 6,0 : rV pEf rp tEsférico DHDHrV pEf rp tCilindrico adm adm  s  s =   = =   = 1 - 36 O projeto de vasos de pressão baseia-se em normas técnicas tal como a ABNT NR-13. Uma das mais conceituadas é a ASME, Sec. VIII – Div. 1 e 2. Segundo a ASME: Para o projeto de vasos de pressão, são necessárias as seguintes informações: 1. Fluido; 2. Volume; 3. Pressão de Trabalho; 4. Temperatura de Trabalho. Pressão de Projeto: PP=1,1PT Teste hidrostático e de estanqueidade. Atenção: cuidado com os vasos sob pressão externa.
19 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Plano de Deformações 1 - 37 • Estados Planos de Deformação – situações nas quais as deformações dos materiais ocorrem em planos paralelos, e são as mesmas em cada um desses planos. • Exemplo: Considere uma barra longa, submetida a um carregamento transversal uniformemente distribuído. Existe um estado plano de deformação em qualquer seção transversal, localizada não muito peróximo das extremidades da barra. • Supondo que o eixo “z” é perpendicular aos planos onde ocorrem as deformações, temos: E as únicas componentes de deformação que Restam são:  0=== zyzxz gge x xyy gee RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Plano de Deformações 1 - 38 • O estado de deformação em um ponto Q varia com relação aos eixos coordenados: xy e x’y’ .        yxOBxy xyyxOB xyyx eeeg geeee geee = == = 2 45 cossinsincos 2 1 22  g  eeg  g  eeee e  g  eeee e 2cos 2 2sin 22 2sin 2 2cos 22 2sin 2 2cos 22 xyyxyx xyyxyx y xyyxyx x   =     =     =    • Aplicando as relações trigonométricas usadas para o estado plano de tensões,
20 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Deformação 1 - 39 • Da mesma forma que construimos o círculo para as tensões, usamos o mesmo método para as deformações: • Centro C e raio R , 22 222              =  == xyyxyx med ROC geeee e • Planos principais e deformações principais, RR medmed yx xy p ==  = eeee ee g  minmax 2tan   22 max 2 xyyxR geeg == • Deformação de cisalhamento máxima, no plano: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Análise Tridimensional de Deformação 1 - 40 • Vimos que, no caso mais geral de tensão, podemos determinar três eixos de coordenadas: a, b e c, chamados de eixos principais, onde a tensão é nula. • Estes eixos principais de tensão, também são eixos principais de deformação específica, ou seja, nos planos perpendiculares a estes eixos, as deformações de cisalhamento também são nulas. • Podemos então, representar este estado de deformação através do Círculo de Mohr, para uma rotação do elemento em torno dos seus eixos principais.
21 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Análise Tridimensional das Deformações 1 - 41 • Para o caso de deformação plana, onde os eixos x e y estão no estado plano de deformações, - O eixo z também é um eixo principal, cujo ponto é representado por: Z = 0, na origem “O”. • Se os pontos A e B estiverem em lados opostos da origem, a deformação de cisalhamento máxima absoluta é igual a deformação de cisahamento máxima no plano, representada pelos pontos: D e E. • Se os pontos A e B estiverem do mesmo lado da origem, a deformação de cisalhamento máxima absoluta é representada pelo diâmetro do círculo “OA”, ou seja, pontos: D’ e E’. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Análise Tridimensional das Deformações 1 - 42 • Considere o caso de tensões planas: 0=== zbyax sssss • Correspondendo as deformações:    babac ba b ba a E EE EE ee   ss  e ss e ss e   == = = 1 • Se o ponto B está localizado entre A e C no circulo de Mohr, a deformação de cisalhamento máxima é igual ao diâmetro do cículo: CA. • Observe que a deformação no eixo perpendicular ao plano de tensão nula, não é zero.
22 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Medidas das Deformações 1 - 43 • As deformações específicas normais podem ser determinadas em qualquer direção, na superfície de um elemento estrutural. Um método para sua obtenção, é a utilização de sensores de medição, também chamados de extensômetros elétricos.  yxOBxy eeeg = 2 • Com uma roseta 45o, ex e ey são medidas diretamente. A deformação de cisalhamento, gxy, é obitida por: • O arranjo de sensores, usados na medição de três deformações específicas normais, é chamado de roseta de deformação. Os tipos mais comuns de arranjos, são as rosetas 45º e 60º. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Medidas das Deformações 1 - 44 333 2 3 2 3 222 2 2 2 2 111 2 1 2 1 cossinsincos cossinsincos cossinsincos geee geee geee xyyx xyyx xyyx = = = • Deve-se observar que as componentes de deformação ex, ey e gxy em um dado ponto, poderiam ser obtidas a partir das medidas de deformação normal feitas ao longo de quaisquer três linhas traçadas através daquele ponto e usando as equações abaixo:

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Transformacao de tensoes

  • 1.
    1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS CAPITULO Notas deAula: Prof. Gilfran Milfont As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: -RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS- Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw Hill-4ª edição-2006 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R. C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição- 2004 -MECÂNICA DOS MATERIAIS-James M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley, Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003 7 Transformação das Tensões e das Deformações. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Introdução 1 - 2 • O estado mais geral de tensões em um ponto pode ser representado por 6 componente: ),,:(Note que tensão tangencial,, tensão normal,, xzzxzyyzyxxy zxyzxy zyx tttttt ttt sss === • O mesmo estado de tensão é representado por um cunjunto diferente de componentes, se os eixos são rotacionados. • Nosso objetivo aqui é verificar as transformações de tensão no elemento, a partir de uma rotação nos eixos coordenados e em seguida, fazer a mesma análise para a transformação das deformações.
  • 2.
    2 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Plano de Tensões 1 - 3 • Estado Plano de Tensões – é a situação onde duas das faces do cubo elementar estão isentas de tensões. Cosideremos o eixo z como perpendicular a estas faces, temos: em consequência: .0=== zyzxz tts ,, xyyx tss • Existem vários exemplos de estado plano de tensões. Ocorre, por exemplo, na superfície livre de um elemento estrutural ou elemento de máquina, como mostrado na figura. .0== yzxz tt restam então as tensões: Por conveniência, este estado de tensão é representado pelo elemento bi-dimensional da figura ao lado. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Transformações do Estado Plano de Tensões      cos22 2 2cos1 2 2cos1 cos : 2 2 sensen sen queLembrar =  =  = 1 - 4                 ts tst ts tss sinsincossin coscossincos0 cossinsinsin sincoscoscos0 AA AAAF AA AAAF xyy xyxyxy xyy xyxxx  ==  ==   • Considere as condições de equilíbrio do elemento prismático da figura, com as faces perpendiculares aos eixos x, y, e x’ . )(22cos 22 ´ Isenxy yxyx x t ssss s     = )(2cos2 2 ´´ IIsen xy yx yx t ss t   = • As equações podem ser escritas em função do ângulo duplo e nos dão a tensão normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora, forma um ângulo com o eixo x.
  • 3.
    3 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Transformações do Estado Plano de Tensões )(22cos 22 ´ IIIsenxy yxyx y t ssss s     = )(´´ IVyxyx ssss = 1 - 5 Para encontrarmos σy´, vamos substituir na exp. para σx´ o ângulo por θ+90. Como cos (2θ+180)= -cos2θ e sen(2θ+180)= -sen2θ, encontramos: Somando membro a membro as expressões (I) e (III), encontramos: O que nos mostra que a soma das tensões normais em um elemento em estado plano de tensões, independe da orientação deste elemento. As tensões aqui, devem ser tratadas de forma algébrica, ou seja, tensão de tração é positiva e de compressão negativa. Para a tensão de cisalhamento, se convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se está estudando e que tendem a girá-lo no sentido anti-horário. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Tensões Principais )(2 )( 2 2cos 2 02cos22)(0´ Vtg sen sen d d p yx xy xyyx x  ss t   tss  s =  === )( 22 )( 22 2 2 min 2 2 VII VI xy yxyx xy yxyx máx t ssss s t ssss s          =          = yxmáx ssss = min 1 - 6 Os valores máximos e mínimos de σx´ ocorrerão para valores de θ nos quais: Verifica-se que a tensão tangencial é nula sobre planos que experimentam valores máximos e mínimos de tensão normal. Estes planos são conhecidos como Planos Principais e as tensões normais nesses planos são conhecidas como Tensões Principais e são dadas pela seguinte expressão: Observe que se somarmos membro a membro as expressões (VI) e (VII), vamos encontrar:
  • 4.
    4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Tensão de Cisalhamento Máxima )(2 2 )( 2cos 2 0222cos)(0 ´´ VIIItg sen sen d d s xy yx xyyx yx  t ss   tss  t =  === )( 2 min XImáx máx ss t  = 1 - 7 A tesão de cisalhamento máxima se dá onde: : Observa-se que tg2θs é a inversa negativa de tg2θp. Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º. Logo, θp e θs estão afastados de 45º. Isto significa que os planos onde ocorrem as tensões tangenciais máximas estão a 45º dos planos principais. Nos planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal é dada por: 2 2 2 max xy yx t ss t        = (IX) 2 yx med ss ss  == (X) Uma relação usual é dada por: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.1 1 - 8 Para o estado plano de tensões mostrado, determine: (a) Os planos principais, (b) As tensões principais, (c) A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal correspondente nestes planos.
  • 5.
    5 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.1 1 - 9 SOLUÇÃO: • a) Determine os planos principais:     = =   =  = 1.233,1.532 333.1 1050 4022 2tan p yx xy p  ss t  = 6.116,6.26p • b) Determine as tensões principais:    22 2 2 minmax, 403020 22 =          = xy yxyx t ssss s MPa30 MPa70 min max = = s s MPa10 MPa40MPa50 = == x xyx s ts RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.1 1 - 10 MPa10 MPa40MPa50 = == x xyx s ts 2 1050 2  =  == yx med ss ss • A correspondente tensão normal nestes planos é: MPa20=s • c) Calcule a tensão de cisalhamento máxima e os planos onde ocorrem:    22 2 2 max 4030 2 =        = xy yx t ss t MPa50max =t 45= ps  = 6.71,4.18s=>
  • 6.
    6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Problema 7.1 1 - 11 Uma força horizontal P de 670N é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eixos x e y, (b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Problema 7.1 1 - 12 SOLUÇÃO: • Determine um sistema de força- momento equivalentes, no centro da seção transversal que passa por H.       mNmNM mNmNT NP x .5,16725,0670 .2,30846,0670 670 == == = • a) Calcule a tensão normal e de cisalhamento no ponto H.          4 2 1 4 4 1 015,0 015,0.2,308 015,0 015,0.5,167 m mmN J Tc m mmN I Mc xy y  t  s == == MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss
  • 7.
    7 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Problema 7.1 1 - 13 • b) Determine os planos e as tensões principais para o ponto.   = =  =  = 5.612 84.1 2,630 1,5822 2tan p yx xy p  ss t  == 5.597.30 pp e   2 2 2 2 min, 1,58 2 2,630 2 2,620 22          =          = xy yxyx máx t ssss s MPa MPamáx 5,34 7,97 min = = s s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 1 - 14 • Passos para a construção do círculo de Mohr: 1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tensões normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto dessas tensões; 2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(σx;-τxy ) e Y(σy;τxy ) e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;τmax ). Com centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E. 3. Os pontos A de coordenadas (σmax, 0) e B (σmin ; 0) representam as tensões principais. O ângulo CAX é o ângulo 2 p. • As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um círculo, chamado de cículo de Mohr para as tensões.   222 yxmedx Rtss = 
  • 8.
    8 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 1 - 15 • Após desenhado o círculo, os demais valores são encontrados geometricamente ou calculados. • As tensões principais são encontradas em A e B. A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma que de CX para CA. 2 yx med ss s  =OC= 2 2 2 xy yx R t ss        =CX= • Os planos principais são dados por: t2 yx xy ss  =p2tan XF CF = med Rs =s min =OB=OC-CX med Rs =s max =OA=OC+CX RCD ==maxt D F E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões 1 - 16 • Com o círculo de Mohr definido, o estado de tensão para qualquer outra orientação pode ser encontrado. • Para um estado de tensão a um ângulo  em relação aos eixos xy, construa um novo diâmetro X’Y’ com um ângulo 2 relativo ao diâmetro XY. • As tensões normal e a tensão de cisalhamento para esta nova orientação, são conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.
  • 9.
    9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para Tensões Planas 1 - 17 • Círculo de Mohr para carga axial centrada: 0, === xyyx A P tss A P xyyx 2 === tss • Círculo de Mohr para torção pura: J Tc xyyx === tss 0 0=== xyyx J Tc tss RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.02 1 - 18 Para o estado plano de tensões mostrado, (a) construa o círculo de Mohr’s, determine (b) as tensões principais, (c) os planos principais, (d) a tensão de cisalhamento máxima e a correspondente tensão normal. SOLUÇÃO: • a) Construção do círculo de Mohr:         MPa504030 MPa40MPa302050 MPa20 2 1050 2 22 === === =  =  = CXR FXCF yx med ss s
  • 10.
    10 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.02 1 - 19 • b) Tensões principais 5020max === CAOCOAs = == 1.532 30 40 2tan p p CP FX   = 6.26p c) Planos principais MPa70max =s 5020min === BCOCOBs MPa30min =s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.02 1 - 20 • d) Tensão de cisalhamento máxima e tensão normal neste plano: = 45ps  = 6.71s R=maxt MPa50max =t medss = MPa20=s
  • 11.
    11 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.2 1 - 21 Para o estado de tensão mostrado, determine (a) as tensões e os planos principais, (b) as componentes de tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti- horário. SOLUÇÃO: • Construa o círculo de Mohr:         MPa524820 MPa80 2 60100 2 2222 === =  =  = FXCFR yx med ss s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.2 1 - 22 • a) Planos e tensões principais: = === 4.672 4.2 20 48 2tan p p CF XF   oráriop h7.33 = 5280 max = == CAOCOAs 5280 max = == BCOCOAs MPa132max =s MPa28min =s
  • 12.
    12 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Exemplo 7.2 1 - 23 == === === ==    6.52sin52 6.52cos5280 6.52cos5280 6.524.6760180 XK CLOCOL KCOCOK yx y x t s s  • b) Componentes de tensão para o elemento girado de 30o Os pontos X’ e Y’ correspondem as componetes de tensão para o elemento girado. = 602 MPa3.41 MPa6.111 MPa4.48 = = =    yx y x t s s RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Geral de Tensões 1 - 24 • O estado de tensão em Q é definido por: zxyzxyzyx tttsss ,,,,, • Considere o etado geral de tensões em um ponto Q, representado pelo elemento tridimensional • Considere o tetrahedro com face perpendicular à linha QN e cossenos diretores: zyx  ,, • A exigência que: leva a, = 0nF xzzxzyyzyxxy zzyyxxn ttt ssss 222 222  = • A forma da equação garante que pode ser encontrado um elemento cuja orientação é: 222 ccbbaan ssss = Estes são os eixos principais que define os planos principais e, a tensão normal, é uma tensão principal.
  • 13.
    13 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões 1 - 25 • As transformações de tensão para um elemento girado em torno de um eixo principal pode ser representado pelo círculo de Mohr. • Os três círculos representam as tensões normais e de cisalhamento para rotação do elemento em torno de cada um dos eixos principais. • Os pontos A, B, e C representam as tensões principais nos planos principais (tensão tangencial é nula) minmaxmax 2 1 sst = • O raio do círculo maior é a tensão de cisalhamento máxima no elemento. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões 1 - 26 • No caso de estado plano de tensões, o eixo perpendicular às faces isentas de tensões, é um eixo principal. b) a tensão máxima de cisalhamento no elemento é a tensão máxima de cisalhamento no plano das tensões a) as correspondentes tensões principais para o elemento são a tensão máxima e minima • Se os pontos A e B (representando as tensões principais) estão em lados opostos da origem, então: c) Os planos de tensão de cisalhamento máxima estão a 45o dos planos principais.
  • 14.
    14 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT 1 - 27 Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões • Se A e B estão do mesmo lado, (isto é, têm o mesmo sinal), então: c) os planos de cisalhamento máximo, formam 45º com os planos das tensões. b) a máxima tensão de cisalhamento é igual a metade da tensão normal máxima a) o cículo que define as tensõs no elemento smax, smin, etmax não correspondem as transformação no plano das tensões RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis 1 - 28 • A falha de um componente de máquina sujeito a uma carga axial pode ser prevista por um simples ensaio de tração • A falha de um componente de máquina sujeito a um estado plano de tensões não pode ser prevista diretamente de um ensaio de tração do material. • È conveniente determinar as tensões principais e utilizar um critério de falha para o tipo de material. • Os critérios de falha são determinados a partir dos mecanismos de falha de cada tipo de material.
  • 15.
    15 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis 1 - 29 Critèrio da Máxima Tensão de Cisalhamento: Também chamado de Critério de Tresca, por este critério, é dito que um componente estrutural estará seguro enquanto a tensão de cisalhamento máxima no elemento for menor que a tensão de cisalhamento no escoamento de um corpo de provas do material, isto é: 2 max Y Y s tt = Para sa esb com o mesmo sinal, 222 oumax Yba sss t = Para sa e sb com sinais opostos, 22 max Yba sss t   = Hexágono de Tresca RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis 1 - 30 Critério da Máxima Energia de Distorção: Também chamado de Critério de Von Mises, por este critério, é considerado seguro um componente estrutural cuja energia de distorção por unidade de volume é menor que a energia por unidade de volume de um corpo de provas submetido ao ensaio de tração que inicia seu escoamento.     222 2222 00 6 1 6 1 Ybbaa YYbbaa Yd GG uu sssss ssssss    Comparação entre os dois critérios: Observamos que o critério de Tresca é mais conservador que o critério de Von Mises.
  • 16.
    16 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis 1 - 31 Critério da Máxima Tensão Normal: Um componente estrutural é considerado seguro enquanto as tensões normais máximas não ultrapassarem a tensão última atingida em um ensaio de tração de um corpo de provas do material, isto é:Ub Ua ss ss   Materiais frágeis falham repentinamente em ensaios de tração. As condições de falha são caracterizadas pela tensão última sU. O critério de Coulomb apresenta uma séria deficiência, que é considerar a resistência do material a tração a mesma que a compressão, o que não é verdade, em função das imperfeições do material. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis UCaUCaba UTbUTaba eNegativase ePositivase ssssss ssssss   1 - 32 Critério de Mohr: É feito o ensaio do material a tração e a compressão, encontrando-se σUT e σUC, respectivamente. Faz-se um ensaio de torção, encontrando-se τU. Com estes dados, traça-se o círculo de Mohr para cada uma destas condições. Por este critério, o material estará seguro se: Para σa e σb com sinais contrários, o elemento estará seguro para qualquer estado de tensão contido no círculo de Mohr determinado para torção, ou atenda a condição: Quando não é feito o ensaio de torção, e só se conhece σUT e σUC, o esquema gráfico pode ser simplificado, conforme ao lado. 1 UC b UT a s s s s
  • 17.
    17 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos 1 - 33 • Vasos Cilindricos: s1 = σc = tensão circunferencial s2 = σ= tensão longitudinal     t pr xrpxtFz = == 1 1 220 s s • Tensão Circunferencial:     21 2 2 2 2 2 20 ss s s = = == t pr rprtFx • Tensão Longitudinal: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos 1 - 34 • Os pontos A e B correspondem a tensão circunferencial, s1, e a tensão longitudinal, s2, respectivamente. • Tensão de cisalhamento máxima no plano: pr1 t42 2)planonomax( == st • A tensão de cisalhamento máxima no vaso encontra-se em um plano que forma 45o com o plano das tensões, sendo seu valor: t pr 2 2max == st
  • 18.
    18 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Vasos de Pressão de Paredes Finas-Esféricos 1 - 35 • Vasos Esféricos: • O círculo de Mohr para o plano das tensões se degenera em um ponto. • Tensão de cisalhamento máxima no vaso (fora do plano das tensões): t pr 4 12 1 max == st t pr 2 21 == ss =σ 0 constante plano)-max(no 21 = === t sss RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Projeto de Vasos de Pressão de Paredes Finas - Projeto 3 2 3 4 6,02 : 6,12,1 6,0 : rV pEf rp tEsférico DHDHrV pEf rp tCilindrico adm adm  s  s =   = =   = 1 - 36 O projeto de vasos de pressão baseia-se em normas técnicas tal como a ABNT NR-13. Uma das mais conceituadas é a ASME, Sec. VIII – Div. 1 e 2. Segundo a ASME: Para o projeto de vasos de pressão, são necessárias as seguintes informações: 1. Fluido; 2. Volume; 3. Pressão de Trabalho; 4. Temperatura de Trabalho. Pressão de Projeto: PP=1,1PT Teste hidrostático e de estanqueidade. Atenção: cuidado com os vasos sob pressão externa.
  • 19.
    19 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Plano de Deformações 1 - 37 • Estados Planos de Deformação – situações nas quais as deformações dos materiais ocorrem em planos paralelos, e são as mesmas em cada um desses planos. • Exemplo: Considere uma barra longa, submetida a um carregamento transversal uniformemente distribuído. Existe um estado plano de deformação em qualquer seção transversal, localizada não muito peróximo das extremidades da barra. • Supondo que o eixo “z” é perpendicular aos planos onde ocorrem as deformações, temos: E as únicas componentes de deformação que Restam são:  0=== zyzxz gge x xyy gee RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Estado Plano de Deformações 1 - 38 • O estado de deformação em um ponto Q varia com relação aos eixos coordenados: xy e x’y’ .        yxOBxy xyyxOB xyyx eeeg geeee geee = == = 2 45 cossinsincos 2 1 22  g  eeg  g  eeee e  g  eeee e 2cos 2 2sin 22 2sin 2 2cos 22 2sin 2 2cos 22 xyyxyx xyyxyx y xyyxyx x   =     =     =    • Aplicando as relações trigonométricas usadas para o estado plano de tensões,
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    20 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Deformação 1 - 39 • Da mesma forma que construimos o círculo para as tensões, usamos o mesmo método para as deformações: • Centro C e raio R , 22 222              =  == xyyxyx med ROC geeee e • Planos principais e deformações principais, RR medmed yx xy p ==  = eeee ee g  minmax 2tan   22 max 2 xyyxR geeg == • Deformação de cisalhamento máxima, no plano: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Análise Tridimensional de Deformação 1 - 40 • Vimos que, no caso mais geral de tensão, podemos determinar três eixos de coordenadas: a, b e c, chamados de eixos principais, onde a tensão é nula. • Estes eixos principais de tensão, também são eixos principais de deformação específica, ou seja, nos planos perpendiculares a estes eixos, as deformações de cisalhamento também são nulas. • Podemos então, representar este estado de deformação através do Círculo de Mohr, para uma rotação do elemento em torno dos seus eixos principais.
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    21 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Análise Tridimensional das Deformações 1 - 41 • Para o caso de deformação plana, onde os eixos x e y estão no estado plano de deformações, - O eixo z também é um eixo principal, cujo ponto é representado por: Z = 0, na origem “O”. • Se os pontos A e B estiverem em lados opostos da origem, a deformação de cisalhamento máxima absoluta é igual a deformação de cisahamento máxima no plano, representada pelos pontos: D e E. • Se os pontos A e B estiverem do mesmo lado da origem, a deformação de cisalhamento máxima absoluta é representada pelo diâmetro do círculo “OA”, ou seja, pontos: D’ e E’. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Análise Tridimensional das Deformações 1 - 42 • Considere o caso de tensões planas: 0=== zbyax sssss • Correspondendo as deformações:    babac ba b ba a E EE EE ee   ss  e ss e ss e   == = = 1 • Se o ponto B está localizado entre A e C no circulo de Mohr, a deformação de cisalhamento máxima é igual ao diâmetro do cículo: CA. • Observe que a deformação no eixo perpendicular ao plano de tensão nula, não é zero.
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    22 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT Medidas das Deformações 1 - 43 • As deformações específicas normais podem ser determinadas em qualquer direção, na superfície de um elemento estrutural. Um método para sua obtenção, é a utilização de sensores de medição, também chamados de extensômetros elétricos.  yxOBxy eeeg = 2 • Com uma roseta 45o, ex e ey são medidas diretamente. A deformação de cisalhamento, gxy, é obitida por: • O arranjo de sensores, usados na medição de três deformações específicas normais, é chamado de roseta de deformação. Os tipos mais comuns de arranjos, são as rosetas 45º e 60º. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT Medidas das Deformações 1 - 44 333 2 3 2 3 222 2 2 2 2 111 2 1 2 1 cossinsincos cossinsincos cossinsincos geee geee geee xyyx xyyx xyyx = = = • Deve-se observar que as componentes de deformação ex, ey e gxy em um dado ponto, poderiam ser obtidas a partir das medidas de deformação normal feitas ao longo de quaisquer três linhas traçadas através daquele ponto e usando as equações abaixo: