O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) A interseção de planos é uma reta definida pelos pontos que satisfazem simultaneamente as equações dos planos; (2) A interseção de uma reta e um plano é um ponto obtido resolvendo o sistema formado pelas equações da reta e do plano; (3) A distância de um ponto a um plano ou reta pode ser calculada projetando ortogonalmente o ponto sobre o plano ou reta.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre vetores e geometria analítica. Os exercícios envolvem determinar equações de retas e planos, encontrar pontos de interseção, ângulos entre retas e distâncias.
O documento descreve as coordenadas cartesianas, incluindo eixos x e y ortogonais, pontos representados por pares ordenados (x,y), e a divisão do plano cartesiano em quadrantes. Também apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e áreas de figuras planas como quadrado, retângulo e triângulo.
O documento apresenta os conceitos básicos de vetores no espaço tridimensional, incluindo a definição de um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal no espaço, a representação algébrica de pontos e vetores, operações com vetores, e exemplos ilustrativos.
1. O documento apresenta 32 questões sobre circunferências, envolvendo cálculo de equações, determinação de centros, raios, pontos de interseção e tangência. As questões abordam conceitos como circunferências inscritas em quadrados e triângulos, retas tangentes e diâmetros.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
Este documento contém 8 questões sobre geometria no espaço, incluindo: 1) identificação de conjuntos de pontos como circunferências e gráficos de funções; 2) equações de planos e retas; 3) propriedades como paralelismo e perpendicularidade; 4) equações de superfícies esféricas e planos tangentes. O aluno deve resolver cada questão demonstrando conceitos geométricos essenciais.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre vetores e geometria analítica. Os exercícios envolvem determinar equações de retas e planos, encontrar pontos de interseção, ângulos entre retas e distâncias.
O documento descreve as coordenadas cartesianas, incluindo eixos x e y ortogonais, pontos representados por pares ordenados (x,y), e a divisão do plano cartesiano em quadrantes. Também apresenta fórmulas para calcular distância entre pontos e áreas de figuras planas como quadrado, retângulo e triângulo.
O documento apresenta os conceitos básicos de vetores no espaço tridimensional, incluindo a definição de um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal no espaço, a representação algébrica de pontos e vetores, operações com vetores, e exemplos ilustrativos.
1. O documento apresenta 32 questões sobre circunferências, envolvendo cálculo de equações, determinação de centros, raios, pontos de interseção e tangência. As questões abordam conceitos como circunferências inscritas em quadrados e triângulos, retas tangentes e diâmetros.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
Este documento contém 8 questões sobre geometria no espaço, incluindo: 1) identificação de conjuntos de pontos como circunferências e gráficos de funções; 2) equações de planos e retas; 3) propriedades como paralelismo e perpendicularidade; 4) equações de superfícies esféricas e planos tangentes. O aluno deve resolver cada questão demonstrando conceitos geométricos essenciais.
Este documento apresenta três problemas envolvendo funções e geometria plana. No primeiro problema, são calculados os valores de uma função em pontos específicos e esboçado seu gráfico. No segundo, são esboçados os gráficos das funções modulo e valor absoluto de outra função. No terceiro, são calculadas probabilidades envolvendo lançamento de dados poliédricos.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
1. O documento apresenta 20 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo retas, planos e suas equações vetoriais e paramétricas.
2. As questões abordam determinar equações de retas e planos passando por pontos dados e relacionados a outras retas e planos, além de verificar se pontos pertencem ou são transversais.
3. As respostas fornecem detalhadamente os cálculos e raciocínios para chegar às equações solicitadas.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento discute planos em geometria analítica, incluindo definições de planos, equações de planos, interseção entre planos e retas, ângulos entre planos e retas, e exercícios sobre esses tópicos. Fornece definições de planos usando vetores normais e equações paramétricas, e discute como calcular equações de planos, interseções, ângulos, e áreas relacionadas a planos.
Este documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo coordenadas cartesianas, quadrantes, bissetrizes, distância entre pontos, razão entre segmentos de reta e condição de alinhamento de três pontos. Contém exemplos resolvidos e exercícios propostos para fixação dos conceitos.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: 1) como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de sua equação ou de dois pontos nela; 2) as formas gerais de equação para representar uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica); 3) como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou um ponto e o coeficiente angular. Exemplos ilustram como converter entre as formas de equação e casos especiais como retas paralelas aos eixos.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
1) O documento explica como calcular a equação geral de uma reta a partir dos pontos que a compõem, usando a fórmula da matriz.
2) É mostrado como encontrar a equação da reta passando pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5), resultando em -3x - y - 1 = 0.
3) É verificado se pontos pertencem a equações de retas, como P(-3,-1) que pertence à reta x-y+2, ao contrário de Q(1,2).
1. O documento apresenta 28 questões sobre circunferências no plano cartesiano. As questões abordam conceitos como equações de circunferências, pontos de interseção entre circunferências e retas, tangência, raio, centro e regiões delimitadas por circunferências.
O documento descreve coordenadas cartesianas, definindo pontos no plano cartesiano através de pares ordenados (x,y) e dividindo o plano em quadrantes. É explicado como calcular a distância entre pontos e como identificar igualdade entre pares ordenados. São também apresentadas fórmulas para calcular áreas e perímetros de figuras planas como quadrado, retângulo e triângulo.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, pares ordenados, coordenadas de pontos e cálculo da distância entre pontos; (2) Apresenta como calcular a inclinação e equação de uma reta a partir de dois pontos, e como determinar o ponto de interseção entre duas retas.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
O documento apresenta quatro questões de geometria analítica resolvidas. A primeira questão classifica uma cônica em coordenadas polares como uma parábola e a parametriza. A segunda questão analisa uma hipérbole dada em coordenadas cartesianas, encontrando seus elementos característicos. A terceira questão delineia a região delimitada por dois sistemas de desigualdades. A quarta questão verifica a simetria de pontos em relação a retas e um ponto.
1) O vértice E do paralelepípedo pertence à reta r de equação z2yx −=−= . As coordenadas de E são determinadas como (10,12,12).
2) Sabendo que o vértice B tem coordenadas (0,1,1) e que A(0,0,1) são vértices consecutivos de um quadrado no plano 01z2yx: =−+−α , as coordenadas dos outros dois vértices são determinadas como (0,2,1) e (0,3,3).
3) Uma equação do plan
1. O documento apresenta a resolução de nove exercícios de matemática do 10o ano sobre expoentes.
2. Inclui cálculos para encontrar equações de retas, esferas e circunferências tangentes a objetos geométricos.
3. Demonstra propriedades de funções polinomiais e analisa a validade de proposições lógicas.
O documento descreve conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) definição de polinômio; 2) grau de um polinômio; 3) valor numérico de um polinômio; 4) divisão de polinômios. Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos na resolução de exercícios.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano e no espaço, incluindo definição de coordenadas cartesianas para pontos, distância entre pontos, equações de retas e circunferências.
2) É explicado o sistema de coordenadas cartesianas no plano e no espaço, definindo quadrantes, octantes, fórmulas para cálculo de distâncias.
3) São apresentadas as equações paramétricas, simétricas, gerais e reduzidas que representam retas no plano cartesiano.
O documento apresenta diferentes métodos para representar um plano geometricamente através de equações vetoriais e paramétricas. Inclui exemplos de como determinar estas equações para planos definidos por pontos ou vetores normais.
Este documento apresenta três problemas envolvendo funções e geometria plana. No primeiro problema, são calculados os valores de uma função em pontos específicos e esboçado seu gráfico. No segundo, são esboçados os gráficos das funções modulo e valor absoluto de outra função. No terceiro, são calculadas probabilidades envolvendo lançamento de dados poliédricos.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
1. O documento apresenta 20 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo retas, planos e suas equações vetoriais e paramétricas.
2. As questões abordam determinar equações de retas e planos passando por pontos dados e relacionados a outras retas e planos, além de verificar se pontos pertencem ou são transversais.
3. As respostas fornecem detalhadamente os cálculos e raciocínios para chegar às equações solicitadas.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento discute planos em geometria analítica, incluindo definições de planos, equações de planos, interseção entre planos e retas, ângulos entre planos e retas, e exercícios sobre esses tópicos. Fornece definições de planos usando vetores normais e equações paramétricas, e discute como calcular equações de planos, interseções, ângulos, e áreas relacionadas a planos.
Este documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo coordenadas cartesianas, quadrantes, bissetrizes, distância entre pontos, razão entre segmentos de reta e condição de alinhamento de três pontos. Contém exemplos resolvidos e exercícios propostos para fixação dos conceitos.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: 1) como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de sua equação ou de dois pontos nela; 2) as formas gerais de equação para representar uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica); 3) como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou um ponto e o coeficiente angular. Exemplos ilustram como converter entre as formas de equação e casos especiais como retas paralelas aos eixos.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
1) O documento explica como calcular a equação geral de uma reta a partir dos pontos que a compõem, usando a fórmula da matriz.
2) É mostrado como encontrar a equação da reta passando pelos pontos A(-1,2) e B(-2,5), resultando em -3x - y - 1 = 0.
3) É verificado se pontos pertencem a equações de retas, como P(-3,-1) que pertence à reta x-y+2, ao contrário de Q(1,2).
1. O documento apresenta 28 questões sobre circunferências no plano cartesiano. As questões abordam conceitos como equações de circunferências, pontos de interseção entre circunferências e retas, tangência, raio, centro e regiões delimitadas por circunferências.
O documento descreve coordenadas cartesianas, definindo pontos no plano cartesiano através de pares ordenados (x,y) e dividindo o plano em quadrantes. É explicado como calcular a distância entre pontos e como identificar igualdade entre pares ordenados. São também apresentadas fórmulas para calcular áreas e perímetros de figuras planas como quadrado, retângulo e triângulo.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, pares ordenados, coordenadas de pontos e cálculo da distância entre pontos; (2) Apresenta como calcular a inclinação e equação de uma reta a partir de dois pontos, e como determinar o ponto de interseção entre duas retas.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
O documento apresenta quatro questões de geometria analítica resolvidas. A primeira questão classifica uma cônica em coordenadas polares como uma parábola e a parametriza. A segunda questão analisa uma hipérbole dada em coordenadas cartesianas, encontrando seus elementos característicos. A terceira questão delineia a região delimitada por dois sistemas de desigualdades. A quarta questão verifica a simetria de pontos em relação a retas e um ponto.
1) O vértice E do paralelepípedo pertence à reta r de equação z2yx −=−= . As coordenadas de E são determinadas como (10,12,12).
2) Sabendo que o vértice B tem coordenadas (0,1,1) e que A(0,0,1) são vértices consecutivos de um quadrado no plano 01z2yx: =−+−α , as coordenadas dos outros dois vértices são determinadas como (0,2,1) e (0,3,3).
3) Uma equação do plan
1. O documento apresenta a resolução de nove exercícios de matemática do 10o ano sobre expoentes.
2. Inclui cálculos para encontrar equações de retas, esferas e circunferências tangentes a objetos geométricos.
3. Demonstra propriedades de funções polinomiais e analisa a validade de proposições lógicas.
O documento descreve conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) definição de polinômio; 2) grau de um polinômio; 3) valor numérico de um polinômio; 4) divisão de polinômios. Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos na resolução de exercícios.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano e no espaço, incluindo definição de coordenadas cartesianas para pontos, distância entre pontos, equações de retas e circunferências.
2) É explicado o sistema de coordenadas cartesianas no plano e no espaço, definindo quadrantes, octantes, fórmulas para cálculo de distâncias.
3) São apresentadas as equações paramétricas, simétricas, gerais e reduzidas que representam retas no plano cartesiano.
O documento apresenta diferentes métodos para representar um plano geometricamente através de equações vetoriais e paramétricas. Inclui exemplos de como determinar estas equações para planos definidos por pontos ou vetores normais.
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
2. Sumário
• O espaço
– Interseção de planos
– Interseção de Retas e Planos
– Interseção de Retas
– Distância de um Ponto a um Plano
– Distância de um Ponto a uma Reta
2
3. 3
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo: Interseção dos planos
2x + 3y + z = 1 (1)
x – 2y + 3z = 0 (2)
Sabemos que a interseção entre dois planos é uma reta
Para escrevermos a equação paramétrica dessa reta,
precisamos de dois de seus pontos ou um ponto dela e
um vetor paralelo a ela
Um ponto da interseção é um ponto que satisfaz
simultaneamente as equações dos planos
4. 4
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo: Interseção dos planos
Ou seja, precisamos de um valor de (x, y, z) que satisfaz ao mesmo
tempo:
• 2x + 3y + z = 1 (1)
• x – 2y + 3z = 0 (2)
De (1):
• y = (1 – z – 2x)/3 (3)
– Temos uma solução em termos de z
De (2):
• x = 2y – 3z (4)
• Substituindo (4) em (3): y = 1/7 + 5z/7 (5)
• De (5) em (3): x = 2/7 – 11z/7
5. 5
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo: Interseção dos planos
Logo, os pontos da interseção são da forma:
• (x, y, z) = (2/7 – 11z/7, 1/7 + 5z/7, z)
• Atribuindo valores a z, temos os pontos da interseção dos planos
dados
z = 0: P0(x, y, z) = (2/7, 1/7, 0)
z = 1: P1(x, y, z) = (-9/7, 6/7, 1)
Assim, a interseção é a reta definida por P0 e P1
Suas equações paramétricas são:
x = 2/7 – 11t/7
y = 1/7 + 5t/7
z = 0 + t
6. 6
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo 1 (4.51): Escreva equações paramétricas da interseção dos
planos:
– a) 2x + y – z = 0 e x + y + z = 1
• Solução
2x + y - z = 0 => y = z - 2x
x + y + z = 1 => x = 1 - y - z
y = z - 2.(1 - y - z) => y = z – 2 + 2y + 2z => y = 2 - 3z
x = 1 - (z - 2x) - z => x = 1 - z +2x - z => x = -1 + 2z
Pontos da interseção da forma => (x, y, z) = (-1 + 2z, 2 – 3z, z)
Para z = 0 => P0(-1, 2, 0); para z = 1 => P1(1, -1, 1)
Vetor v = (2, -3, 1) => Eq. Paramétricas: x = -1 + 2t
y = 2 -3t
z = 0 + t
7. 7
O Espaço
Interseção de Retas e Planos
• Exemplo: Determine a interseção da reta
x = 3 – 2t (1)
y = 1 + t (2)
z = 2 + 3t (3)
• Com o plano
• x – 4y + z = -2 (4)
Nesse caso, a interseção de uma reta com um plano é um
ponto
Precisamos encontrar um valor de (x, y, z) que satisfaz (1),
(2), (3) e (4) ao mesmo tempo
8. 8
O Espaço
Interseção de Retas e Planos
• Exemplo:
Substituindo (1), (2) e (3) em (4):
• (3 – 2t) – 4(1 + t) + (2 + 3t) = -2
• -3t = -3 t = 1
Logo:
• x = 1
• y = 2
• z = 5
Se não houver solução para t, a reta será paralela ao plano, não
tocando nele.
Se o sistema admitir n soluções para t, a reta está contida no plano.
9. 9
O Espaço
Interseção de Retas e Planos
• Exemplo 2 (4.52): Determine o ponto de interseção da reta
x = 1 + t
y = -2
z = 4 + 2t
Com o plano a) x – 2y + 3z = 8
• Solução
x – 2y + 3z = 8 => 1+ t – 2(-2) + 3(4 + 2t) = 8
1 + t + 4 + 12 + 6t = 8 => 7t + 17 = 8 => 7t = -9
t = -9/7
x = 1 + t => 1 - 9/7 => x = -2/7
y = -2
z = 4 + 2(-9/7) => z = 10/7 Ponto de interseção (-2/7, -2, 10/7)
10. 10
O Espaço
Interseção de Retas
• Duas retas podem ser:
Paralelas
Concorrentes
Reversas
• Exemplo: As retas:
r: x = 1 + 2t y = -1 + t z = 5 – 3t
s: x = 4s y = 2 + 2s z = 8 – 6s
• São paralelas porque ambas são paralelas ao vetor (2, 1, -3)
r: (2, 1, -3)
s: (4, 2, -6)
11. 11
O Espaço
Interseção de Retas
• Exemplo: Já as retas
r’: x = 3 + t y = 2 – t z = 1 + 4t
s’: x = 2 + s y = -3 + 2s z = 1 + 2s
• Não são paralelas já que os vetores (1, -1, 4) e
(1, 2, 2) não têm a mesma direção
• Logo, são concorrentes ou reversas
Elas serão concorrentes se o sistema formado por suas
equações tiver solução (indicando que elas se tocam)
Caso contrário, são reversas
12. 12
O Espaço
Interseção de Retas
• Exemplo 3 (4.55): Determine os valores de a e b para que as retas
x = 1 + at x = 2 + t
r: y = 2 + bt s: y = 1 + bt
z = -1 + 2t z = -1 + 2t
• Sejam: a) paralelas, b) concorrentes e c) reversas
• Solução
a) a = 1 e b pode ser qualquer valor
b) 1 + at = 2 + t
2 + bt = 1 + bt => 2 = 1 (impossível)
c) a ≠ 1 e b pode ser qualquer valor
13. 13
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• Seja r a reta que é perpendicular ao plano α e
contém o ponto P
• I é a interseção de r com α
• O ponto I é a projeção ortogonal de P sobre α
r
P
I
α
14. 14
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• A distância de P a I, d(P, I) é a distância de P a α, d(P, α)
• Se ax + by + cz + d = 0 é a equação de α, então a
distância de P(x0, y0, z0) a α é dada por:
d(P, α) = |ax0 + by0 + cz0 + d|
√a2 + b2 + c2 r
P
I
α
15. 15
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• Dedução da fórmula
– Inicialmente observamos que d(P,I) = ||PI|| e que PI = t(a,b,c) para algum número t, pois PI
e (a,b,c) têm a mesma direção, por serem ambos perpendiculares ao plano α.
• Logo,
– d(P,I) = ||t(a,b,c)|| = |t|√a2 + b2 + c2 (I)
• Por outro lado, sendo (x1,y1,z1) as coordenadas de I, temos
– PI = (x – x0, y – y0, z - z0) = t(a,b,c)
• Logo, x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct
• E como I(x1,y1,z1) pertence ao plano α, temos
– a(x0 + at) + b(y0 + bt) + c(z0 + ct) + d = 0
• Da equação temos: t = −
𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑
𝑎2+𝑏2+𝑐2 (II)
– Substituindo (II) em (I) => d(P,I) = −
𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑
𝑎2+𝑏2+𝑐2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
d(P,I) =
𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑
𝑎2+𝑏2+𝑐2
r
P
I
α
v = (a,b,c)
16. 16
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• Exemplo: A distância do ponto P(2, 4, 1) ao plano α
de equação x + 5y + 3z – 13 = 0 é:
d(P, α) = |1.2 + 5.4 + 3.1 -13| = 12/√35
√12 + 52 + 32
17. 17
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• Exemplo 4 (4.58): Determine a distância do ponto P(2, 1, 3) ao plano α de
equação x - 2y + z = 1 é:
• Solução
Ponto no plano = ?
P(2, 1, 3), Plano => x – 2y + z = 1 de onde temos o vetor v
vetor v = (1, -2, 1) perpendicular ao plano
O ponto x = 2 + t, y = 1 – 2t, z = 3 + t toca o plano α em:
1(2 + t) – 2(1 – 2t) +1(3 + t) = 1 = > t = -1/3
Desse modo, x = 2 -1/3 = 5/3, y = 1 – 2(-1/3) = 5/3, z = 3 -1/3 = 8/3
I(5/3, 5/3, 8/3) que é o ponto onde a reta toca no plano
d(P, α) = d(P, I) = √(5/3-2)2 + (5/3-1)2 + (8/3-3)2 = √6/3
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O Espaço
Distância de um Ponto a uma Reta
• A distância de um ponto P a uma reta r pode ser
calculada da seguinte forma:
Primeiro, traça-se por P um plano perpendicular a r
Em seguida, determinamos o ponto I de interseção deste
plano com r
d(P, I) é a menor distância do ponto P à reta r
r
P
I
α
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O Espaço
Distância de um Ponto a uma Reta
• Exemplo: Calcular a distância do ponto P(1,2,-1) à
reta:
r: x = 1 + 2t y = 5 – t z = -2 + 3t
A equação do plano que contém o ponto P(1, 2, -1) e é perpendicular à
reta r é dada por:
• a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
– onde o vetor v=(2,-1,3) é perpendicular ao plano por ser paralelo à reta r
• 2(x -1) -1(y – 2) +3(z + 1) = 0
• 2x – y + 3z + 3 = 0
r
P
I
α
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O Espaço
Distância de um Ponto a uma Reta
• Calculando a interseção do plano com r:
• 2x – y + 3z = -3
• 2(1+2t) – 5 + t + 3(-2+3t) = -3 => t = 3/7,
• x = 1 + 2.3/7 = 13/7, y = 5 – 3/7 = 32/7, z = -2 + 3.(3/7) = -5/7
• I(13/7, 32/7, -5/7) que é a interseção de r com o plano α
• Calculando a distância do ponto P(1,2,-1) à reta:
Logo, d(P, r) = d(P, I) = √(1 – 13/7)2 + (2 – 32/7)2 + (-1 + 5/7)2 = √364/49
d(P, r) = D(P, I) = 2√91 / 7
• Simplesmente, a distância entre dois pontos
r
P
I
α