Geometria I - Noções primitivas e polígonos

FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planej. e Administração
Antônio Dias Couto
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró–Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Silva, Clício Freire da.
S586g Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Ieda
Maria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. –
(Licenciatura em Matemática. 2. Período)
149 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria de
Araújo Câmara. III. Título.
CDU (1997): 514
CDD (19.ed.): 516

SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Noções primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Noções e proposições primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
TEMA 02 – Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
TEMA 03 – Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
TEMA 04 – Ângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
TEMA 05 – Paralelismo - Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
TEMA 06 – Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE II – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 07 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 08 – Triângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TEMA 09 – Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TEMA 10 – Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 12 – Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 13 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
TEMA 14 – Polígonos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
UNIDADE III – Elementos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TEMA 15 – Circunferência e Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 16 – Circunferência e Círculo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
TEMA 17 – Ângulos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
TEMA 18 – Ângulos na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 19 – Polígonos inscritos e circunscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 20 – Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
TEMA 21 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
TEMA 22 – Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TEMA 23 – Relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 24 – Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
TEMA 25 – Teorema de pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TEMA 26 – Teorema de pitágoras - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TEMA 27 – Relações métricas no triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
TEMA 28 – Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
UNIDADE V – Áreas de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TEMA 29 – Relações métricas na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 30 – Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
TEMA 31 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
TEMA 32 – Áreas de figuras planas - Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TEMA 34 – Áreas de figuras planas - Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
TEMA 35 – Áreas de figuras planas - Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
TEMA 36 – Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
TEMA 37 – Áreas de superfícies planas - Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
TEMA 39 – Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
TEMA 40 – Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
UNIDADE VI – Atividades de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Clício Freire da Silva
Licenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF
Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Iêda Maria de Araújo Câmara Costa
Especialista em Ensino de Matemática – UFAM.
Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico–científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes
uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01
NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS
Introdução
Euclides, o grande matemático grego, foi o
principal responsável pelo avanço da geome-
tria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador da
Escola de Alexandria, escreveu um tratado de
matemática sob o título Os elementos (com-
posto de treze volumes), que se constituiu, du-
rante mais de 20 séculos.
No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, os
principais assuntos da geometria. Inicia apre-
sentando os entes primitivos e algumas
definições. A seguir, considera alguns postula-
dos e, finalmente, demonstra uma série de teo-
remas que serviriam de base para a demons-
tração de outras propriedades.
O livro é considerado a primeira compilação
formal do saber matemático ocidental. A rígida
organização da obra forneceu o padrão de
apresentação para tudo que se fez posterior-
mente em matemática, daí o nome Geometria
Euclidiana.
Conceitos Primitivos – São aqueles apresen-
tados intuitivamente, ou seja, sem definição.
Nascem em nossa mente pela observação e
experiência.
Exemplos: o ponto, a reta e o plano.
Os demais conceitos são apresentados por
uma definição que se utiliza de conceitos já
conhecidos.
Postulados ou axiomas – São proposições
(afirmações) aceitas como verdadeiras sem
prova ou demonstração, apenas pela experiên-
cia ou observação.
Postulados Fundamentais – Servem de
suporte para o estudo da geometria que ora
estudamos.
Alguns postulados Importantes:
• Uma reta tem infinitos pontos.
• Dois pontos distintos determinam uma úni-
ca reta .
• Por um ponto passam infinitas retas.
• Dois pontos distintos determinam uma úni-
ca reta.
• Três pontos não-colineares determinam um
único plano.
• A reta que passa por dois pontos distintos,
pertencentes a um plano, também está con-
tida nesse plano.
A B
11
Geometria I – Noções primitivas

Postulado de Euclides
Por um ponto P, não pertencente a uma reta
r, passa uma única reta paralela a essa mes-
ma reta r.
Teoremas
Um teorema é composto de duas partes:
• a parte que se supõe conhecida, chamada
de hipótese;
• a parte que se deseja provar, chamada de
tese.
Exemplos:
a) Se duas retas paralelas são cortadas por
uma transversal, então os ângulos corre-
spondentes são congruentes.
Hipótese: Duas retas paralelas são cor-
tadas por uma transversal.
Tese: Os ângulos correspondentes são
congruentes.
b) Se um triângulo é isósceles, então os ângu-
los da base são congruentes.
Hipótese: Um triângulo é isósceles.
Tese: Os ângulos da base são congruentes.
Pode–se demonstrar um teorema por três mé-
todos:
• Direto: partindo da hipótese, chega-se à
tese.
• Indireto: negando a tese, chega-se à ne-
gação da hipótese.
• Contradição ou absurdo: negando a tese,
chega-se à negação de uma verdade já
estabelecida, antes mesmo de se chegar à
negação da hipótese.
Exemplos:
Se dois ângulos são opostos pelo vértice
(o.p.v.), então os ângulos são congruentes.
• Hipótese: os ângulos são opostos pelo vér-
tice (o.p.v).
• Tese (ou conclusão): os ângulos são con-
gruentes.
Demonstração do teorema
H: α e β são o.p.v.
T: α ≅ β
Afirmativa: α + Y = 180°
Justificativa: Ângulos adjacentes suplemen-
tares.
Afirmativa: Y + β = 180°
Justificativa: São ângulos adjacentes suple-
mentares.
Afirmativa: α + Y = Y + β
Justificativa: Propriedade transitiva das igual-
dades.
Afirmativa: α + Y = Y + β
Justificativa: Propriedade do cancelamento.
Portanto, α = β
1. Identifique a hipótese e a tese em cada caso.
a) Se duas retas paralelas são cortadas por
uma transversal, então os ângulos corre-
spondentes são congruentes.
b) Se duas retas cortadas por uma transversal
são paralelas, então elas determinam ângu-
los alternos internos congruentes.
Solução
a) Hipótese – Duas retas paralelas são cor-
tadas por uma transversal.
Tese – Os ângulos correspondentes são
congruentes.
b) Hipótese – Duas retas cortadas por uma
transversal são paralelas.
Tese – Essas retas determinam ângulos
alternos internos congruentes.
12
UEA – Licenciatura em Matemática

1. Classificar em verdadeiras ou falsas as afir-
mações:
a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe um
único plano passando por eles.
b. ( ) Os vértices de um triângulo são
coplanares e estão no mesmo plano.
c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano em
dois semiplanos.
d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer pas-
sa sempre um único plano.
e. ( ) O número máximo de retas que quatro
pontos podem determinar é de seis retas.
2. Assinale a alternativa falsa:
a) Por dois pontos distintos passa uma única
reta.
b) Por quatro pontos quaisquer passa sempre
um único plano.
c) O conceito de plano é primitivo.
d) O plano tem infinitos pontos.
3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afir-
mações:
a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos.
b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos.
c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta.
d. ( ) Existem pontos fora de um plano que
são colineares.
e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estão
sempre contidos em pelo menos um
plano.
f. ( ) Todo triângulo está contido em um úni-
co plano.
g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão sempre
contidos em um único plano.
4. Demonstre o teorema:
Se dois ângulos são adjacentes suplemen-
tares, então suas bissetrizes formam um ângu-
lo reto.
TEMA 02
SEGMENTO DE RETA
Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano
No dia-a-dia, são encontrados diversos exem-
plos desses conceitos primitivos.
Exemplos:
a) A marca deixada em uma folha de papel
pela ponta de um lápis.
O ponto é indicado com letras
maiúsculas do nosso alfabeto.
b) Uma estrada dá-nos idéia de reta.
A reta não tem começo, nem fim,
nem espessura. É representada por
letras minúsculas do nosso alfabeto.
c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia
de plano.
O plano é indicado por letras
minúsculas do alfabeto grego, tais
como α (alfa), β (beta) γ (gama), etc.
Semi-reta
Em relação ao ponto A, a reta fica dividida em
duas partes:
Cada uma dessas partes é chamada semi-reta,
e o ponto A é chamado origem das semi-retas.
13

Exemplo de semi-retas:
Indicação:
→
AB
(lê-se semi-reta AB)
Retas coplanares
Duas ou mais retas são coplanares quando es-
tão contidas no mesmo plano.
As retas coplanares podem ser:
a) concorrentes – quando têm apenas um
ponto comum;
b) paralelas – quando não têm ponto comum;
c) coincidentes – quando têm todos os pon-
tos comuns.
Segmento de reta
O conjunto formado pelos pontos A e B e por
todos os pontos da reta entre A e B é chama-
do segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do
segmento AB.
Indicação:
⎯
AB (lê–se segmento AB)
Segmentos consecutivos
Dois segmentos são consecutivos quando
possuem um extremo comum.
Os segmentos
⎯
AB e
⎯
BC possuem um extremo
comum: B.
Logo:
⎯
AB e
⎯
BC são segmentos consecutivos.
Segmentos colineares
Dois segmentos são colineares quando estão
contidos na mesma reta.
Se os segmentos são colineares e consecu-
tivos, nesse caso diz-se adjacentes.
Exemplo:
Segmentos congruentes
Dois segmentos são congruentes quando pos-
suem a mesma medida, tomada numa mesma
unidade.
Indicamos a congruência entre
⎯
AB e
⎯
CD
escrevendo:
⎯
AB ≅ CD (lê–se segmento AB é
congruente ao segmento CD)
Ponto médio de um segmento
Chama-se ponto médio de um segmento o
ponto que divide o segmento dado em dois
segmentos congruentes.
1. Que ente geométrico lhe sugere:
a) os buracos existentes no botão?
b) o encontro entre duas paredes?
c) o piso da sala de aula?
Solução
a) Ponto b) Reta
c) Plano
2. Usando os símbolos ∈, ∉, ⊂, determine a
relação existente entre:
a) A ....... r b) A..... s c) A....... t
d) B..... r e) B...... s f) C...... α
g) C ...... r h) C........s i) D....... α
j) D....... r I) r .......α m)s..... α
14

Solução
a) ∈ b) ∈ c) ∉
d) ∉ e) ∈ f) ∈
g) ∈ h) ∉ i) ∈
j) ∉ l) ⊂ m) ⊂
3. Dê a posição relativa dos pares de retas.
a) r ...........s d) t..................u
b) r...... .... t e) s................ u
c) r ......... x
Solução
a) Paralelas. d) Paralelas.
b) Concorrentes. e) Concorrentes.
c) Coincidentes.
4. Verifique se os segmentos são consecutivos,
colineares, ou adjacentes.
a) AB e BC b) BC e CD
c) AB e BD d) CD e DE
Solução
a) Consecutivos e colineares (adjacentes).
b) Consecutivos.
c) Consecutivos.
d) Consecutivos e colineares (adjacentes).
5. Na figura, M é o ponto médio de AB, N o ponto
médio de BC e P, o ponto médio de CD.
Responda:
a) Quanto mede o segmento NP?
b) Quanto mede o segmento MC?
c) Quanto mede o segmento AN?
d) Quanto mede o segmento MP?
Resposta
a) 3,5cm b) 5.5cm
c) 6,5cm d) 7,5cm
1. Escreva, em seu caderno, algumas idéias geo-
métricas que lhe sugere a idéia de Ponto, Reta,
e Plano.
2. Quantas semi-retas há numa reta, com origem
nos quatro pontos A, B, C e D da reta?
3. Se forem marcados três pontos distintos A, B e
C sobre uma reta r, quantos segmentos de reta
com extremidades em dois desses pontos ficam
determinados? Quais são eles? Faça o desenho.
4. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C,
nessa ordem, tais que AB = 6cm e BC = 10cm.
a) Quanto mede o segmento AC?
b) Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto
médio de AC, quanto mede MN?
5. Se AB = 20cm, determine x, em cada item:
a) AP = x + 6cm b) AC = 3x
PB = x BC = x + 2cm
6. Determine x e AB, sabendo que M é o ponto
médio de AB.
7. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C,
nessa ordem, com AB = 6cm e BC = 4cm. Se
M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio
de BC, calcule a medida dos seguintes seg-
mentos:
a)
⎯
MB b) BN
c)
⎯
NC d)
⎯
MN
e)
⎯
AN
8. Se
⎯
PA e
⎯
QB são segmentos congruentes de
uma reta r, Mostre que os segmentos
⎯
PQ e
⎯
AB
são congruentes.
15

TEMA 03
ÂNGULOS
No dia-a-dia, observa-se que existem diversos
objetos que possuem uma certa abertura, dan-
do-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usa-
dos, na engenharia, na fabricação de móveis, no
lançamento de foguetes, na utilização de saté-
lites, na rota de avião, estacionamentos, em de-
senhos, etc.
Definição
As duas semi-retas
→
OA e
→
OB dividem o plano em
duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
O ângulo convexo da figura acima pode ser
indicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”)
Se as duas semi-retas
→
OA e
→
OB forem opostas,
o ângulo é chamado raso ou de meia-volta.
Se as duas semi-retas
→
OA e
→
OB, que formam o
ângulo, forem coincidentes, temos um ângulo
nulo ou de uma volta.
Os Babilônios, povo da Antiguidade, habita-
va a região onde hoje se situa o Iraque. Esse
povo tinha um calendário de 12 meses lunares,
com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias
(12 x 30). Eles acreditavam que esse era o
tempo que o Sol levava para dar uma volta
completa em torno da Terra, girando em órbita
circular. Assim, a cada dia o Sol percor-
ria um arco correspondente a dessa cir-
cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira”
em torno da Terra e que o ano tem mais de 360
dias. Mas devemos lembrar que os babilônios
fizeram suas observações e seus cálculos há
mais de 4 mil anos.
As noções de ângulo foram desenvolvidas na
Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (II
a.C.), considerado pelos gregos como o pai da
Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360
partes iguais, com o objetivo de medir ângulos.
A cada um desses 360 arcos em que a cir-
cunferência foi dividida, associamos um ângu-
lo cuja medida chamamos de 1 grau.
Medida de um ângulo
Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, um
instrumento que tem como unidade o grau.
No transferidor da figura, tem-se um ângulo
raso que foi dividido em 180 ângulos de um
grau (indica-se por 1°):
O grau tem dois submúltiplos:
• Minuto – corresponde a do grau.
Indica–se um minuto por 1’.
• Segundo – corresponde a do minuto.
Indica-se um segundo por 1”.
Quando um ângulo é medido em graus, minu-
tos e segundos, diz–se que ele está expresso
no sistema sexagesimal.
A reunião de duas semi-retas de
mesma origem chama-se ângulo.
16

Outras unidades de medida
Radiano – É a medida de um ângulo central cor-
respondente a um arco cujo comprimento é igual
ao raio da circunferência a que pertence.
A circunferência possui 27πrd.
Grado – É a medida de um ângulo central, que
corresponde a da circunferência (sistema
decimal de medidas).
Correspondência entre as unidades de medida:
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são congruentes quando pos-
suem a mesma medida.
Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida
(30°). Podemos afirmar que esses ângulos são
congruentes. Assim:
AÔB ≅ CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD)
Propriedades da congruência
• Reflexiva: AÔB ≅ AÔB.
• Simétrica: se AÔB ≅ ‘CÔD, então
CÔD ≅ AÔB.
• Transitiva: se AÔB ≅ CDF e CDF ≅ FGH,
então AÔB ≅ FGH.
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos quando pos-
suem um vértice e um lado comuns.
São exemplos de ângulos consecutivos:
AÔC e CÔB
AÔC e AÔB
CÔB e AÔB
Ângulos adjacentes
Dois ângulos são adjacentes quando possuem
um vértice comum, um lado comum e não pos-
suem pontos internos comuns.
AÔC e CÔB são ângulos adjacentes.
Duas retas concorrentes determinam vários
ângulos adjacentes.
São exemplos de ângulos adjacentes:
AÔC e BÔC
BÔC e CÔD
CÔD e DÔA
DÔA e AÔB
Grau Grado Radiano
Uma volta 360º 400 gr 2πrd
Meia volta 180º 200 gr 2πrd
Um quarto
de volta
90º 100 gr
17

Bissetriz de um ângulo
Os ângulos AÔC e CÔB são congruentes, e a
semi-reta
→
OC é a bissetriz do ângulo AÔB .
Ângulo reto, agudo e obtuso
De acordo com suas medidas, os ângulos re-
cebem nomes especiais.
Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°.
Exemplo:
Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor
que 90°.
a)
b)
Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior
que 90°.
Exemplos:
a)
b)
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a
soma de suas medidas é 90°.
AÔB e BÔC são complementares.
m(AÔB) + m(BÔC) = 90°.
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a so-
ma de suas medidas é 180°.
AÔB e BÔC são suplementares.
m(AÔB) + m(BÔC) = 180°.
Propriedades dos ângulos
As propriedades dos ângulos são de grande
importância na resolução de alguns exercícios.
• Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteri-
ores estão em linha reta, são suplementares.
^a + ^b = 180º
• A soma de ângulos adjacentes formados
em torno de um ponto e de um mesmo lado
de uma reta é igual a 180°.
^a + ^b + ^c + ^d = 180º
18

• A soma de ângulos adjacentes formados
em torno de um ponto é igual a 360°.
^a + ^b + ^c + ^d = 360º
• As bissetrizes de dois ângulos adjacentes,
de lados exteriores em linha reta, formam um
ângulo reto, ou seja, são perpendiculares.
1. Qual o valor de x?
a)
Solução
X + 60º = 90º
X = 90º – 60º
X = 30º
b)
Solução
X + 53º = 180º
X = 180º – 53º
X = 127º
2. Calcule o valor de x nas figuras:
a)
Solução
10º + X+ 25º = 90º
X = 90º – 35º
X = 55º
b)
Solução
60º + X + 40º = 180º
X = 180º – 100º
X = 80º
m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´
19

c)
Solução
70º + 90º +5X = 360º
5X = 360º – 160º
5X = 200º
X = 40º
3. Calcule o valor de x e de y na figura:
Solução
Y + 58º = 180º
Y = 180º – 58º
Y = 122º
X + Y = 180º
X + 122º = 180º
X = 180º – 122º
X = 58º
4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medi-
das expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual o
valor de x?
Solução
2x – 100° = x + 30°
2x – x = 30° + 100º
x = 130º
5. Transforme 100 grados em graus.
Solução
Aplicando uma regra de três simples:
400gr 360º
100gr x
= ⇒ 400 x = 360 . 100 ⇒
400 x = 36000 ⇒ x = ⇒ x = 90º
Portanto 100 grados correspondem a 90 graus.
TEMA 04
ÂNGULOS
1. Use o transferidor para encontrar a medida do
ângulo destacado nas figuras:
a) b) c)
2. Classifique os pares de retas em concorrentes
e paralelas:
a) a e b b) b e s c) r e s d) a e r
3. Transforme:
a) 60 graus em radianos;
b) 50 grados em graus;
c) π/6 radianos em graus.
4. Dado um ângulo de medida X, indicar:
a) seu complemento;
b) seu suplemento;
c) o dobro do seu complemento;
d) a metade do seu suplemento;
e) o triplo de seu suplemento.
5. A metade da medida de um ângulo mais a
medida do seu complemento é igual a 58o
.
Quanto mede o ângulo?
6) A medida de um ângulo somada a 1/3 da medi-
da de seu complemento é igual a 66º. Quanto
mede esse ângulo?
7. A medida de um ângulo somada à metade da
medida de seu complemento dá 55º. Quanto
mede o suplemento desse ângulo?
8. Somando-se a medida do complemento com a
medida do suplemento de um ângulo obtém-
se 130°. Quanto mede esse ângulo?
20

9. Qual o valor de X?
⎯
OP é bissetriz de AÔB
AOP = 3x – 5°
BOP = 2x + 10°
10. Calcule o valor de x, nas figuras:
a) b)
c)
11. Com a ajuda da régua e “do transferidor, trace
a bissetriz do ângulo AOB.
12. Determine os valores indicados por letras em
cada figura.
a)
b)
c)
d)
e)
21

TEMA 05
PARALELISMO
Retas paralelas
Há inúmeras situações no dia-a-dia que nos
dão idéias de paralelismo. Por exemplo, pode-
se ressaltar os fios de alta tensão, as ruas de
sua cidade, etc.
No encontro das duas retas com a transversal,
ficam determinados oito ângulos com vértices no
ponto de intersecção, conforme a figura abaixo:
Os ângulos internos são ^3, ^4, ^5 e ^6. Os ângu-
los ^1, ^2, ^7 e 8 chamam-se ângulos externos.
Um externo e outro interno, situados do mesmo
lado da transversal e com vértices diferentes,
chamam-se ângulos correspondentes.
^3 e ^7 ; ^4 e ^8 ; ^1 e ^5 ; ^2 e ^6.
Ângulos internos, situados em lados opostos
da transversal e com vértices diferentes cha-
mam-se ângulos alternos internos.
^3 e ^6 ou ^4 e ^5
Ângulos externos, situados em lados opostos
da transversal, como ^1 e ^8 ou ^2 e ^7, com vér-
tices diferentes, chamam-se ângulos alternos
externos.
^1 e ^8 ou ^2 e ^7
Se uma transversal intercepta duas retas para-
lelas, os ângulos correspondentes são congru-
entes.
Portanto:
^2 = ^6 , ^4 = ^8, ^1 = ^5, ^3 = ^7.
Exemplo:
Se m e n são duas retas paralelas e a = 50º,
verifique como determinar a medida dos outros
ângulos:
â = ê = 50° ângulos correspondentes
â + ^c = 180° ângulos suplementares
^c = 180° – 50°
^c = 130°
^g = ^c = 130° ângulos correspondentes
â + ^b = 180° ângulos suplementares
^b = 180° – 50°
^b = 130°
^b = ^f = 130° ângulos correspondentes
^b + ^d = 180° ângulos suplementares
^d = 180° – 130°
^d = 50°
^d = ^h = 50° ângulos correspondentes
22

1. A reta t é uma transversal às retas m e n.
Determine:
a) quatro pares de ângulos correspondentes
Solução
b e f; d e h; a e e; c e g
b) dois pares de ângulos alternos internos
Solução
e e f; e e d
c) dois pares de ângulos alternos externos
Solução
e e h; b e g
2. Na figura, a reta t é uma transversal às retas
paralelas m e n.
a) Se a = 110°, calcule h.
Solução
h = 110°, pois a e h são alternos externos.
b) Se d = 105°, calcule g.
Solução
g = 75°
3. As retas r e s são paralelas, e t é uma transver-
sal. Calcule as medidas dos ângulos assinala-
dos nas figuras.
a)
Solução
^a = 60º correspondente;
^c = 60º (o.p.v)
^b + 60º = 180º ⇒ ^b = 180º– 60º = 120º
Portanto:
^a = 60º ; ^b = 120º ; ^c = 60º
b)
Solução
n = 72º ( o.p.v);
m = 108º n + m = 180 colaterais internos n
=72º, logo 72º + m =180; m = 180 – 72 = 108;
p = 72º pois p + m =180 (suplementares)
p = 180 – 108 = 72.
Portanto n = 72º , m =108º e p = 72º
1. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ân-
gulos:
a) ^b e ^c colaterais internos.
23

b) ^m e ^p correspondentes.
2. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos:
a) ^a e ^p;
b) ^a e ^q.
3. Sabendo que r//s, calcule, em cada caso, o
valor de x:
a)
b)
4. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângu-
los e determine o valor de x:
a)
b)
c)
5. Calcule x, y e z, sabendo que r e s são parale-
las.
a)
b)
6. Sendo r paralela a s, qual é o valor de x?
a)
b)
7. Sabendo que r é paralela a s, determine os va-
lores de x e de y.
a)
5
x
30°
2
x
15°
s
4
x7
70°
3x 20°
24

b)
8. Se r // s e // u, qual deve ser o valor de cada
ângulo indicado por letra na figura?
9. Duas retas paralelas e uma transversal deter-
minam dois ângulos correspondentes cujas
medidas são 2x – 30° e x + 10°. Calcule as me-
didas dos ângulos obtusos determinados por
essas retas.
10. Duas retas, cortadas por uma transversal, for-
mam ângulos correspondentes expressos em
graus por . Determine x de
modo que essas retas sejam paralelas.
TEMA 06
PERPENDICULARISMO
Introdução
Duas retas são perpendiculares se, e somente
se, são concorrentes e formam ângulos adja-
centes suplementares congruentes.
Duas semiretas são perpendiculares se estão
contidas em retas perpendiculares.
Dois segmentos de retas são perpendiculares
se estão contidas em retas perpendiculares.
Retas oblíquas
Se duas retas são concorrentes e não são per-
pendiculares, diz-se que essas retas são oblí-
quas.
Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e
somente se, r é perpendicular ou ortogonal a
todas as retas de α que passam pelo ponto de
intersecção de r e α.
• Para que uma reta r seja perpendicular a
um plano α, basta ser perpendicular a duas
retas de α.
25

Perpendicularismo entre planos
Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e
somente se, existe uma reta de um deles que é
perpendicular ao outro:
Projeções ortogonais sobre um plano
A projeção ortogonal de um ponto sobre um
plano é o pé da perpendicular ao plano con-
duzida pelo ponto.
P’ é a projeção ortogonal de P sobre α.
Projeção de uma figura
A projeção ortogonal de uma figura sobre um
plano é o conjunto das projeções ortogonais
dos pontos da figura sobre o plano.
F´= proj0F
Projeção de uma reta
Para se obter a projeção de uma reta r sobre
um plano α, há dois casos a considerar:
a) Se a reta r é perpendicular ao plano α, sua
projeção ortogonal sobre ele é o traço da
reta no plano.
b) Se a reta r não é perpendicular ao plano α,
sua projeção ortogonal sobre α é o traço
(intersecção) em α, do plano β perpendicu-
lar a α, conduzido por r.
Projeção de um segmento de reta
Para se obter a projeção de um segmento de
reta
⎯
AB sobre um plano α, também temos dois
casos a considerar:
a) Se o segmento de reta
⎯
AB é perpendicular
ao plano, sua projeção ortogonal sobre o
plano é um ponto, que é o traço da reta
em α.
b) Se o segmento de reta
⎯
AB não é perpendi-
cular ao plano α, basta projetar as suas ex-
tremidades sobre α, para se obter a proje-
ção do segmento.
Distância de ponto a plano
A distância de um ponto a um plano é a distân-
cia do ponto à sua projeção ortogonal no plano.
A distância de um ponto a um plano é a menor
das distâncias do ponto aos pontos do plano.
Distância entre reta e plano paralelos
A distância entre uma reta e um plano parale-
los é a distância de um ponto qualquer da reta
ao plano.
Para se achar a distância entre uma reta e um
plano paralelos, basta tomar um ponto P na
reta e achar a distância de P ao plano.
r
P’
p’ proj r
s
26

Distância entre planos paralelos
A· distância entre dois planos paralelos é a dis-
tância de um ponto qualquer de um deles ao
outro plano.
Para se achar a distância de dois planos α e β
paralelos basta considerar um ponto P num
deles (por exemplo, P ∈ (β) e obter a distância
do ponto P ao outro plano (α).
1. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F):
a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são
perpendiculares.
b. ( ) Duas retas que são perpendiculares for-
mam ângulo reto.
c. ( ) Duas retas são ortogonais formam ân-
gulo reto.
a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são
ortogonais.
a. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
perpendicular a infinitas retas do plano.
b. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
perpendicular a qualquer reta do plano.
c. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
reversa a todas as retas do plano.
d. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
ortogonal a infinitas retas do plano.
e. ( ) Uma reta perpendicular a um plano
forma ângulo reto com todas as retas
do plano.
a. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,
então toda reta perpendicular à reta dada
é perpendicular ao plano.
b. ( ) Se uma reta e um plano são perpendicu-
lares, então toda reta perpendicular à reta
dada é paralela ao plano ou nele está
contida.
c. ( ) Uma reta e um plano, ambos perpen-
diculares a uma outra reta em pontos
distintos, são paralelos.
d. ( ) Se dois planos são paralelos, então to-
da reta perpendicular a um deles é per-
pendicular ao outro.
e. ( ) Dois planos, ambos perpendiculares a
uma mesma reta, são secantes.
f. ( ) Duas retas, ambas perpendiculares a um
mesmo plano, são reversas.
g. ( ) Se duas retas são paralelas, então todo
plano perpendicular a uma delas é per-
pendicular à outra.
a. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter-
ceiro são paralelos.
b. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter-
ceiro são perpendiculares entre si.
c. ( ) Se dois planos são paralelos, então to-
do plano perpendicular a um deles é
perpendicular ao outro.
d. ( ) Se dois planos são perpendiculares,
então toda reta perpendicular a um de-
les é paralela ao outro ou está contida
nesse outro.
e. ( ) Se dois planos são perpendiculares,
então toda reta paralela a um deles é
perpendicular ao outro.
f. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,
então todo plano perpendicular à reta
dada é perpendicular ao plano dado.
g. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,
então todo plano perpendicular ao
plano dado é perpendicular à reta dada.
a. ( ) A projeção ortogonal de um ponto
sobre um plano é um ponto.
b. ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre
um plano é uma reta.
c. ( ) A projeção ortogonal de um triângulo
sobre um plano é sempre um triângulo.
d. ( ) As projeções ortogonais, sobre um
mesmo plano, de duas retas são para-
lelas, então as retas são paralelas.
e. ( ) Se os planos projetantes de duas retas,
não perpendiculares ao plano de pro-
jeção, são paralelos, então as pro-
jeções dessas retas são paralelas.
27

31
TEMA 07
TRIÂNGULOS
Introdução
O triângulo é um polígono de três lados.
A forma triangular é bastante utilizada em vá-
rias situações do nosso dia-a-dia.
Elementos de um triângulo
Os principais elementos de um triângulo são:
Vértices: pontos A, B e C.
Lados: segmentos AB, BC e CA.
Ângulos internos: ângulos Â, Ê e ê.
Ângulos externos: ângulos â, b e ê.
O triângulo é o único polígono que não possui
diagonais.
A soma das medidas dos ângulos internos (Si)
de um triângulo é dada por: Si = 180°.
A soma das medidas dos ângulos externos
(Se) de um triângulo é dada por: Se = 360°.
Usa-se o símbolo Δ para representar a palavra
triângulo. Assim, um triângulo ABC pode ser
nomeado, ΔABC.
Pode-se estabelecer uma relação entre os la-
dos e os ângulos internos de um triângulo, que
será importante em nossos estudos.
Classificação dos Triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto
aos lados ou quanto aos ângulos.
Classificação dos triângulos quanto aos lados:
Quanto aos lados, os triângulos classificam-se
em: eqüilátero , isósceles ou escaleno.
Eqüilátero: quando os três lados são congru-
entes.
⎯
AB ≅
⎯
BC ≅
⎯
AC
Isósceles: quando apenas dois lados são con-
gruentes.
⎯
AB ≅
⎯
AC
Escaleno: quando os três lados têm medidas
diferentes.
med (
⎯
AB) ≠ med (
⎯
AC)≠ med (
⎯
BC)≠ med(
⎯
AB).
Triângulos quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, os triângulos classificam-
se em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.
• Acutângulo: quando os três ângulos inter-
nos são agudos (medida menor que a de
um ângulo reto).
• Retângulo: quando um dos ângulos é reto.
• Obtusângulo: quando um dos ângulos é
obtuso.
Condições de existência de um triângulo
Dado o ΔABC, sendo a medida do lado
⎯
BC, b
medida do lado
⎯
AC e c medida do lado
⎯
AB,
pode-se escrever as seguintes relações:
a < b + c
Geometria I – Polígonos

32
b < a + c
c < a + b
Portanto, ao comparar o maior lado com a
soma dos outros dois, pode-se saber se existe
ou não triângulo.
Propriedade da soma dos ângulos dos triân-
gulos
A soma das medidas dos ângulos de um triân-
gulo é 180º.
Demonstração:
Considere o triângulo ABC e observe os ângu-
los Â, ^B, e ^C do triângulo.
Pelo vértice A, pode-se traçar uma reta r para-
lela ao lado BC .Observe os ângulos: ^1,Â e^2.
Do paralelismo de r e BC, considerando a
transversal
⎯
AB, decorre que:
1 ≡
^B
Do paralelismo de r e
⎯
BC, considerando a
transversal AC, decorre que:
^2 ≡
^C
Portanto
Â + ^B + ^C = 1800
1. Observe a figura:
a) Quais são os vértices?
Solução: X, Y, Z
b) Qual é o lado comum dos ângulos X eY?
Solução: XY
c) Qual é o lado oposto ao ângulo Z?
Solução: XY
2. Verifique se existe ou não um triângulo com la-
dos medindo: (justifique suas respostas)
a) 4cm, 4cm e 4cm
Solução: Sim, pois 4 < 4 + 4.
b) 3cm, 3cm e 2cm
Solução: Sim, pois 3 < 3 – 2.
c) 1cm, 2cm e 3cm
Solução: Não, pois 3 < 1 + 2 é falsa.
3. Classifique os triângulos abaixo quanto à medi-
da dos seus lados:
a)
Solução: Escaleno.
b)
Solução: Eqüilátero.
c)
Solução: Isósceles.

33
4. O triângulo ABC é isósceles de base BC.
Sabendo-se que AB = 3x – 10, BC = 2x + 4 e
AC = x + 4, calcule a medida de BC.
Solução:
3x –10 = x + 4 BC = 2x + 4
3x – x = 4 + 10 BC = 2. 7 + 4
2x = 14 BC = 14 + 4
X = BC =18
X = 7
5. Determine os lados do triângulo da figura,
sabendo-se que ele tem 60cm de perímetro.
Solução:
x + 3 + x – 7 + x – 2 = 60
3 x + 3 – 7 – 2 = 60
3 x – 6 = 60
3 x = 60 + 6
3 x = 66
X =
X = 22
Lado X + 3 Lado X – 2
22 + 3 22 – 2
25 20
Lado X – 7
22 – 7
15
Portanto, os lados são: 15, 20 e 25.
TEMA 08
TRIÂNGULOS
1. Observe a figura:
a) Quantos são os vértices? Quais são eles? 3;
R, S T.
b) Quantos são os lados? Quais são eles? 3;
RS, RT ST
c) Quantos são os ângulos? Quais são eles?
3; R, S T.
2. Verifique, se existe ou não, um triângulo com
lados medindo: (justifique suas respostas)
a) 5cm, 7cm e 3cm
b) 3cm, 2cm e 7cm
c) 3cm, 3cm e 2cm
d) 5cm, 5cm e 10cm
3. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sa-
bendo-se que AB = 2x – 7 e AC = x + 5, deter-
mine x.

34
4. Determine x, y e o lado do triângulo eqüilátero,
sabendo-se que AB = X + y, AC = X + 3 e
BC=y + 4
5. Um triângulo ABC é isósceles de base BC.
Determine o perímetro sabendo que:
AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = X + 3. 39cm
6. Dois lados de um triângulo medem, respectiva-
mente, 8cm e 21cm. Sabendo que a medida
do terceiro lado é múltiplo de 6, quanto poderá
medir esse lado?
7. Os lados de um triângulo são medidos por três
números inteiros e consecutivos. Sabendo que
o perímetro é 12cm, quais são os lados? 3cm,
4cm e 5cm.
8. Calcule os ângulos dos triângulos. Depois,
classifique os triângulos quanto aos ângulos:
a)
b)
9. Num triângulo, os três ângulos são congruen-
tes. Quanto mede cada ângulo?
10. Calcule x e y na figura abaixo:
TEMA 09
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Introdução
Dois triângulos são congruentes quando seus
lados e seus ângulos são respectivamente con-
gruentes.
⎯
AB ≅
⎯
A’B’ A ≅ ^A’
⎯
AC ≅
⎯
A’C’ e B ≅ ^B’
⎯
BC ≅
⎯
B’C’ C ≅ ^C’
Sob certas condições, a congruência de dois
triângulos pode ser garantida com a inspeção
de apenas três elementos. Essas condições
são chamadas de casos de congruência de
triângulos.
Casos de congruência
1.o
caso: L.A.L– (Lado – Ângulo – Lado)
Dois triângulos que possuem dois lados e o
ângulo compreendido entre eles respectiva-
mente congruentes são congruentes.
⎯
AB ≅
⎯
A’B’
^B ≅ ^B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
⎯
BC ≅
⎯
B’C’
2.o
caso: A.L.A. (Ângulo – Lado – Ângulo)
Dois triângulos que possuem um lado e dois
ângulos adjacentes a esse lado respectiva-
mente congruentes são congruentes.
B ≅ ^B
⎯
BC ≅
⎯
B’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
C ≅ ^C’

35
3.o
caso: L.L.L. (Lado – Lado – Lado)
Dois triângulos que possuem os três lados
respectivamente congruentes são congru-
entes.
⎯
AB ≅
⎯
A’B’
⎯
AC ≅
⎯
A’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
⎯
BC ≅
⎯
B’C’
4.o
caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo
Oposto)
Dois triângulos que possuem um lado, um ângu-
lo adjacente e um ângulo oposto a esse lado
respectivamente congruentes são congruentes.
⎯
BC ≅
⎯
B’C’
B ≅ ^B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
A ≅ ^A’
1. Em cada item abaixo, os dois triângulos são
congruentes. Indique o critério de congruência
utilizado
a) b)
Solução: Caso L.A.L Solução: Caso A.L.A
2. Dê o caso de congruência do triângulo abaixo
e descubra os valores indicados pelas letras.
Solução:
Caso L.A.L
X = 30cm ; b = 40cm ; a = 50cm
3. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao
triângulo PBA. Sabendo que AB = 15, CD = x
+ 5, AP = 2y + 17 e PD = 3y – 2, calcule x e y.
Solução
Por hipótese, tem-se que:
ΔPCD ≅ ΔPBA
Logo:
AP = PD
2y + 17 = 3y – 2,
2y – 3y = – 2 – 17
–y = –19 (–1)
Y = 19
O segmento CD=AB
x + 5 = 15
x = 15 – 5
x = 10
Por tanto: x =10 e y = 19
1. Em cada um dos casos abaixo, verifique se
os triângulos são congruentes; em caso afir-
mativo, escreva o caso que garante a con-
gruência.
a)

b)
c)
2. Os triângulos dados em cada item são congru-
entes. Dê o caso de congruência e descubra
os valores indicados pelas letras.
a)
b)
3. AM é bissetriz do ângulo A. Qual o valor de x e
de y?
4. Na figura, a = b, PQ = PR e c = d.
a) Qual o caso de congruência que permite
escrever ΔPQS ≅ ΔPTR?
b) Qual o lado do triângulo PTR que é congru-
ente a
⎯
QS?
5. Na figura abaixo, os dois triângulos são con-
gruentes. Indique o critério de congruência uti-
lizado. Em seguida, calcule x.
6. Na figura, os triângulos ABC e CDA são congru-
entes. Sabendo que B^AC = 120°, C^AD = 27°,
B^CA = 3y e A^CD = 2x, determine x e y.
7. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao
triângulo CDE. Sabendo que AB = 35, CE = 22,
AC = 2x – 6 e DE = 3y + 5, calcule x e y.
8. Na figura, os triângulos ABD e CBD são con-
gruentes. Sabendo que AB = x, AD = 1O,
BC = 5 e CD = 3y + 1, calcule x e y.
36

TEMA 10
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO
Introdução
Além dos lados, vértices, ângulos internos e
ângulos externos, os triângulos apresentam
outros elementos, entre os quais as cevianas.
Denomina-se ceviana a qualquer segmento
que une um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
Ca: ceviana relativa ao lado a.
Mediana
Considerando um triângulo qualquer ABC
Pode –se:
Determinar o ponto médio M do lado BC.
O segmento
⎯
AM é chamado de mediana relati-
va ao lado BC.
Mediana de um triângulo é o segmento que une
um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Todo triângulo possui três medianas, que se
encontram em um ponto chamado de baricentro.
As três medianas se encontram no ponto G,
que é o baricentro do ΔABC.
Bissetriz
Considerando um triângulo qualquer ABC,
pode-se:
Traçar a bissetriz do ângulo interno Â.
O segmento
⎯
AO é a bissetriz do triângulo rela-
tiva ao ângulo Â.
Bissetriz de um triângulo é o segmento contido
na bissetriz de um dos ângulos internos do triân-
gulo, cujos extremos são o vértice desse ângu-
lo e o ponto de cruzamento com o lado oposto.
Todo triângulo tem três bissetrizes que se en-
contram num ponto chamado de incentro (I).
Altura
Considerando um triângulo qualquer ABC
Pode –se:
Traçar pelo ponto A um segmento perpendicu-
lar ao lado BC.
O segmento
⎯
AH é a altura relativa ao lado BC.
O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado AB.
Altura de um triângulo é o segmento que liga
um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu pro-
longamento) e que é perpendicular a esse lado.
Todo triângulo tem três alturas. O ponto de
encontro das retas que contêm as alturas é
chamado de ortocentro (O).
Mediatriz
Todo triângulo possui três mediatrizes de lados
que se encontram em um único ponto.
37

Denomina-se circuncentro o ponto de encon-
tro das três mediatrizes dos lados de um triân-
gulo. É o centro da circunferência circunscrita
ao triângulo.
1. Reconheça nos seguintes triângulos o seg-
mento
⎯
AO como mediana, bissetriz ou altura:
a) b)
c)
Solução
Mediana; Bissetriz e Altura
2. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana.
Determine o perímetro desse triângulo.
Solução
AM é a mediana, portanto MC = 1,9cm logo o
lado BC = 3,8cm
P = 2,2cm + 3,5cm + 3,8cm
P = 9,5cm.
1. Com auxílio de régua e compasso, construa
um triângulo cujas medidas dos lados sejam
6cm, 5cm e 8cm. Em seguida, trace suas bis-
setrizes e determine o seu incentro.
2. Desenhe um triângulo cujas medidas dos
lados sejam 7cm, 4cm e 6cm. A seguir, deter-
mine o ortocentro.
3. Responda:
a) Qual é o nome do ponto de intersecção das
mediatrizes dos lados de um triângulo? A
que corresponde esse ponto?
b) Qual é o nome do ponto de intersecção das
bissetrizes internas de um triângulo? A que
corresponde esse ponto?
4. No triângulo ABC da figura, AH corresponde à
altura, à mediana ou à bissetriz?
5. Classifique os segmentos
⎯
AR,
⎯
AS e
⎯
AT do triân-
gulo ABC, como: altura, mediana ou bissetriz.
6. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana.
Determine o perímetro desse triângulo.
38

TEMA 11
QUADRILÁTEROS
Um breve histórico
Tanto entre os sumérios como entre os egíp-
cios, os campos primitivos tinham forma retan-
gular. Também os edifícios possuíam plantas
regulares, o que obrigava os arquitetos a cons-
truírem muitos ângulos retos (de 90o
). Embora
de bagagem intelectual reduzida, aqueles
homens já resolviam o problema como um
desenhista de hoje. Por meio de duas estacas
cravadas na terra, assinalavam um segmento
de reta. Em seguida, prendiam e esticavam
cordas que funcionavam à maneira de com-
passos: dois arcos de circunferência se cortam
e determinam dois pontos que, unidos,
secionam perpendicularmente a outra reta, for-
mando os ângulos retos.
O problema mais comum para um construtor é
traçar, por um ponto dado, a perpendicular a
uma reta. O processo anterior não resolve este
problema, em que o vértice do ângulo reto já
está determinado de antemão. Os antigos
geômetras solucionavam-no por meio de três
cordas, colocadas de modo a formar os lados
de um triângulo retângulo.
Definição
Dados quatro pontos A, B, C e D coplanares, dis-
tintos e não-colineares três a três. Se os segmen-
tos
⎯
AB,
⎯
BC,
⎯
CD e DA interceptam-se apenas nas
extremidades, denominamos quadrilátero a
reunião desses quatro segmentos.
Elementos:
• Vértices: A, B, C e D;
• Ângulos: ^A (D^AB), ^B (A^BC), ^C (B^CD) e
^D(C^DA);
• Lados:
⎯
AB,
⎯
BC,
⎯
CD,
⎯
AD
• Diagonais: AC e
⎯
BD.
O quadrilátero possui 2 diagonais (segmento
que tem como extremidades dois vértices não
consecutivos), soma dos ângulos internos igual
a 360º e soma dos ângulos externos igual a 360º.
CASOS NOTÁVEIS
Trapezóide
Definição
É o quadrilátero que não possui lados paralelos.
Trapézio
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio
se, e somente se, possui dois lados paralelos.
⎯
AD //
⎯
BC
Os lados paralelos do trapézio são chamados
de bases.
Podemos classificar os trapézios de acordo
com os lados não-bases como:
• Isósceles: os lados não-bases são congru-
entes.
⎯
AD ≡
⎯
BC
• Escaleno: os lados não-bases não são con-
gruentes.
AD <
⎯
BC
39

• Retângulo, possui dois ângulos retos.
Os ângulos ^B e ^C são suplementares.
Paralelogramo
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um paralelo-
gramo se, e somente se, possui os lados opos-
tos paralelos.
ABCD é paralelogramo ⇔
⎯
AC//
⎯
BD e
⎯
AB//
⎯
CD.
Retângulo
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um retângu-
lo se, e somente se, possui os quatro ângulos
congruentes.
ABCD é retângulo ⇔ Â ≡ ^B ≡^C ≡^D.
Losango ou Rombo
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um losango
se, e somente se, possui os quatro lados con-
gruentes.
ABCD é losango
⎯
CD ≡
⎯
DA
Quadrado
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado
se, e somente se, possui os quatro ângulos
congruentes e os quatro lados congruentes.
ABCD é quadrado ⇔ Â ≡ ^B ≡ ^C ≡ ^D e
⎯
AB ≡
⎯
BC ≡
⎯
CD ≡
⎯
DA.
Propriedades
Trapézio qualquer
Em qualquer trapézio ABCD, nessa ordem, de
bases
⎯
AB e
⎯
CD temos:
De fato, como
⎯
AB //
⎯
CD temos
⎯
AD e
⎯
BC retas
transversais. Então:
Os ângulos Â e ^D, assim como ^B e ^D, são
colaterais internos. Logo, são suplementares.
Trapézio isósceles
Os ângulos adjacentes às bases são congru-
entes.
Demonstração
• Pelos vértices da base menor traçamos re-
tas perpendiculares às bases.
• Temos os triângulos semelhantes AA’D e
BB’C, caso de semelhança do triângulo
retângulo. Logo ^D ≡ ^C.
• Sendo Â e ^D, assim como ^B e ^C, suple-
mentares. Temos Â ≡ ^B
40

1. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes
à mesma base são representados por 2x + 15º
e 3x – 25º. Determinar a medida de cada um
dos ângulos do trapézio.
Solução
2x + 15 = 3x – 25 ⇒ x = 40º, logo os ângulos
das bases são: 95º e 85º.
Trapézio isósceles
As diagonais de um trapézio isósceles são
congruentes.
Dado o trapézio ABCD.
Temos, por hipótese:
⎯
AD ≡
⎯
BC e pela demon-
stração anterior D ≡ C e Â ≡ ^B. Tese: queremos
mostrar que
⎯
BD ≡
⎯
AC.
Demonstração
Tomemos os triângulos ABD e ABC,
Note que, por hipótese,
⎯
AD ≡
⎯
BC e Â ≡ ^B, e
ainda temos o lado
⎯
AB comum aos triângulos.
Pelo caso LAL de congruência, podemos afir-
mar que
⎯
BD ≡
⎯
AC.
Paralelogramo
Os ângulos opostos são congruentes.
Demonstração
Por hipótese,
⎯
AB //
⎯
CD, então
⎯
AC é transver-
sal, logo Â + ^C = 180º e,
⎯
AC //
⎯
BD, então
⎯
CD
é transversal, daí ^C + ^D = 180º.
. De modo análogo, mos-
tramos ^B ≡ ^C.
2. Prove que a bissetriz de dois ângulos conse-
cutivos de um paralelogramo cortam-se em um
ângulo reto.
Solução
Observe o paralelogramo ABCD,
Como os ângulos opostos são congruentes,
podemos afirmar que:
e . Temos ainda α e β suple-
mentares, logo ⇒ ^V = 90º
Em todo paralelogramo, os lados opostos são
congruentes.
Observe o paralelogramo ABCD. Tracemos a
diagonal
⎯
AC.
Queremos mostrar que
⎯
AD ≡
⎯
BC e
⎯
AB ≡
⎯
CD.
Demonstração
A reta suporte da diagonal
⎯
AC é transversal às
retas suporte de
⎯
AB e
⎯
CD. Então os ângulos
BÂC e A^CD são congruentes (alternos internos).
Os triângulos ABC e ACD são congruentes,
caso LAAo (
⎯
AC é comum, BÂC ≡ A^CD e ^B ≡ ^D).
Podemos concluir, pela congruência dos triân-
gulos,
⎯
AD ≡
⎯
BC e
⎯
AB ≡
⎯
CD.
Em todo paralelogramo, as diagonais dividem-
se ao meio.
41

Dado o paralelogramo ABCD, suas diagonais e
a respectiva intersecção entre elas.
Os triângulos ABM e CMD são congruentes, caso
ALA (M^AB ≡ MCB,
⎯
AB ≡
⎯
CD e A^BM ≡ M^DC).
Então,
⎯
DM ≡
⎯
MB ⇒ M é ponto médio da dia-
gonal
⎯
BD e
⎯
AM ≡
⎯
MC ⇒ M é ponto médio da
diagonal
⎯
AC, como queríamos demonstrar.
1. Determine o valor de x em cada um dos qua-
driláteros:
a) b)
2. Observe a figura abaixo e responda aos itens:
a) Se ABCD for um trapézio isósceles, ^c = 80º
e ^d = 20º, quanto mede cada um dos ângu-
los do trapézio?
b) Se ABCD for um trapézio escaleno, ê = 60º,
^b = 110º e CD ⊥ AE, quanto mede cada um
dos ângulos do trapézio?
c) ABCD é um trapézio em que ^D = 60º,
^c = 85º e ^B = 130º; quanto mede o ê?
d) ABCD é um trapézio em que B^CE = 160º e
ê = 50º; quanto mede o ^B?
3.
Pretende-se abrir um túnel numa montanha de
A para B, tendo sido determinada a direcção
AE de tal forma que o seu prolongamento
passa por B. Mas pretendendo também traba-
lhar de B na direcção de A, determinou-se
E^AD = 82º, A^DC = 98º e D^CB = 112º.
Quantos graus deve medir o C^BF para que o
prolongamento de BF passe por A.
4. Determine a medida x indicada no paralelo-
gramo abaixo.
5. ABCD é um trapézio de bases
⎯
AB e
⎯
CD. Se
⎯
DP
e
⎯
CP são bissetrizes; determine x e B^CD.
6. ABCD é um paralelogramo,
⎯
AP é bissetriz,
AP = 7cm e PC = 3cm; determine o perímetro
do paralelogramo.
7. Calcule os lados de um paralelogramo, saben-
do que o seu perímetro mede 84m e que a
soma dos lados menores representa da
soma dos lados maiores.
8. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um
ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo
agudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-
mine o maior ângulo do trapézio.
9. A soma dos ângulos consecutivos de um
trapézio é igual a 78º e sua diferença 4º. Deter-
42

10. (VUNESP) A afirmação falsa é:
a) Todo quadrado é um losango.
b) Existem retângulos que não são losangos.
c) Todo paralelogramo é um quadrilátero.
d) Todo quadrado é um retângulo.
e) Um losango pode não ser um paralelo-
gramo.
11. Do trapézio da figura, sabe-se que AD = DC =
CB e BD = BA. O ângulo ^D mede:
a) 36º b) 60º
c) 72º d) 108º
e) 144º
12. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um
ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo
agudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-
13. Em um trapézio retângulo, o menor ângulo
mede 32º. O maior ângulo desse polígono
mede:
a) 138º
b) 148º
c) 158º
d) 168º
e) 178º
14. (CESGRANRIO) As base
⎯
MQ e
⎯
NP de um
trapézio medem 42cm e 112cm respectiva-
mente. Se o ângulo M^QP é o dobro do ângulo
P^NM, então o lado
⎯
PQ mede:
a) 154cm
b) 133cm
c) 91cm
d) 77cm
e) 70cm
TEMA 12
QUADRILÁTEROS
Retângulo, losango e quadrado – principais
propriedades e aplicações.
Retângulo
Da primeira propriedade de paralelogramo que
demonstramos, os ângulos opostos são con-
gruentes, o retângulo é um paralelogramo. En-
tão, valem as propriedades do paralelogramo
no retângulo. Vejamos outras propriedades do
retângulo.
No retângulo, as diagonais são congru-
entes.
Demonstração
Hipótese: ABCD é retângulo.
Tese:
⎯
AC ≡
⎯
DB.
ABCD é retângulo ⇒ ABCD é paralelogramo
⇒
⎯
AD ≡
⎯
BC e
⎯
AB ≡
⎯
CD.
O triângulo ΔABD é congruente ao triângulo
ΔACD, pois,
⎯
AD é comum, ^A ≡ ^D = 90º e
⎯
AB ≡
⎯
CD. Caso LAL. Logo
⎯
AC ≡
⎯
DB.
Todo paralelogramo que tem diagonais con-
gruentes é um retângulo.
Demonstração
Hipótese: ABCD é paralelogramo e
⎯
AC ≡
⎯
DB.
Tese: ABCD é retângulo.
Tomemos os triângulos:
43

e
Observe que
⎯
AD ≡
⎯
BC,
⎯
AC ≡
⎯
DB (hipótese) e
⎯
CD é comum. Pelo caso LLL, podemos afirmar
que ΔBCD ≡ ΔACD, então, B^CD ≡ A^DC. Como
A^BC ≡ A^DC e D^AB ≡ B^CD, ABCD é um parale-
logramo. Temos:
^A ≡ ^B ≡ ^C ≡ ^D = 90º, logo ABCD é retângulo.
O RETÂNGULO ÁUREO
Vamos ver um retângulo que tem uma pro-
priedade interessante. Ele é chamado de
retângulo áureo ou retângulo de ouro e é o
preferido dos artistas e arquitetos.
O retângulo áureo tem uma propriedade inte-
ressante. Considere um retângulo áureo
ABCD de onde foi retirado um quadrado
ABEF, como mostra a figura:
O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante
ao retângulo ABCD.
Seja x a medida do lado
⎯
AB e y a medida do
lado
⎯
AD. Então, vale a proporção:
De onde se deduz que x2
= y2
– yx, ou seja,
x2
+ yx – y2
= 0.
Resolvendo a equação em x, tem–se:
Se y = 1, então x = 0,618. Se x = 1, então
y = 1, 618
O número irracional 1,618... é chamado razão
áurea.
A construção do retângulo áureo é simples.
Basta seguir o esquema:
O retângulo AHCG é áureo.
Com o auxílio de um compasso, podemos
traçar uma espiral, como a do Nautilus marinho.
Losango
Lembre-se de que o losango é um paralelo-
gramo com lados opostos congruentes.
Todo losango possui as diagonais perpen-
diculares entre si.
Demonstração
44

Hipótese: ABCD é losango, e
⎯
AC e
⎯
BD são
suas diagonais.
Tese:
⎯
AC ⊥
⎯
BD.
Pelo caso LLL, temos as seguintes congruên-
cias: ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB, logo os
ângulos do vértice M são congruentes e iguais
a 90º.
Todo paralelogramo que tem diagonais per-
pendiculares é um losango.
Demonstração
Hipótese: ABCD é paralelogramo e
⎯
AC ⊥
⎯
BD.
Tese: ABCD é losango.
Basta tomar os mesmos triângulos da demons-
tração anterior usando, agora o caso LAL de
congruência.
ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB e, portanto,
⎯
AB ≡
⎯
BC ≡
⎯
CD ≡
⎯
DA.
Quadrado
Todo quadrado é retângulo e losango.
É retângulo, pois ^A ≡ ^B ≡ ^C ≡ ^D = 90º, e é
losango porque
⎯
AB ≡
⎯
BC ≡
⎯
CD ≡
⎯
DA.
BASES MÉDIAS
Triângulo
São os segmento que têm como extremidades
os pontos médios de dois lados de um triângulo.
•
⎯
XZ é base média relativa ao lado
⎯
BC.
•
⎯
YZ é base média relativa ao lado
⎯
AB.
•
⎯
XY é base média relativa ao lado
⎯
AC.
A base média é paralela ao terceiro lado.
Demonstração
Hipótese:
⎯
AX ≡
⎯
XB e
⎯
AZ //
⎯
ZC.
Tese:
⎯
XZ //
⎯
BC.
Por C traçamos uma reta paralela ao segmen-
to
⎯
AB, encontramos sua intersecção com a re-
ta suporte do segmento
⎯
XZ.
Temos: ⇒ B^AC ≡ A^CD, alternos inter-
nos. Pelo caso ALA, temos ΔAXZ ≡ ΔCDZ ⇒
⎯
CD ≡
⎯
AX ≡
⎯
XB ⇒ BCDX é um paralelogramo e,
portanto,
⎯
XZ //
⎯
BC.
Observe também que
⎯
XZ ≡
⎯
ZD, logo Z é ponto
médio de
⎯
XD. Então, . O que nos leva
a outra propriedade.
A base média é igual à metade do terceiro
lado.
45

1. No triângulo ABC de lados AB = 13cm, BC =
9cm e AC = 8cm, e M, N e P, pontos médios
dos lados
⎯
AB,
⎯
BC e
⎯
AC, respectivamente.
Calcule o perímetro do triângulo MNP.
Solução
O lado MP é base média do lado AB, portanto
MP = 6,5cm. De modo análogo, encontramos
NP = 4cm e MN = 4,5cm. Temos, então,
2pΔMNP = 15cm.
Trapézio
A base média de um trapézio é o segmento
que tem extremidades nos pontos médios dos
lados não-paralelos.
A base média de um trapézio é paralela às
bases deste.
Demonstração
Hipótese: ABCD é um trapézio, M é ponto
médio do lado
⎯
AD e N é ponto médio
⎯
BC.
Tese:
⎯
MN //
⎯
AB e
⎯
MN //
⎯
CD.
Chamamos de E a intersecção das retas e
.
Observando os triângulos BEN e CDN, temos:
⎯
BN ≡
⎯
NC, B^NE ≡ C^ND (o.p.v.) e B^EN ≡ N^DC
(alternos internos).
Pelo caso LAAo, ΔBEN ≡ ΔCDN ⇒
⎯
BE ≡
⎯
CD e
⎯
NE ≡
⎯
ND.
Do ΔADE temos: M ponto médio do lado
⎯
AD e N
ponto médio do lado
⎯
DE, daí
⎯
MN //
⎯
AB e
⎯
MN //
⎯
CD.
Observe, também que , como
⎯
BE ≡
⎯
CD (ΔBEN ≡ ΔCDN), concluímos que
. Podemos, então, enunciar:
A base média de um trapézio é a média arit-
mética de suas bases.
2. Prove que os pontos médios de um quadri-
látero qualquer é um paralelogramo.
Solução
Dado o quadrilátero ABCD, por seus pontos
médios determinamos o quadrilátero MNPQ.
Pela diagonal AC, temos:
PQ é base média do triângulo ACD e MN é
base média do triângulo ABC, então
e ainda PQ//MN. De modo aná-
logo mostramos que e PN//QN.
1. Usando um barbante de comprimento 144cm,
construímos um triângulo eqüilátero e com o
mesmo barbante construímos depois um qua-
drado. Determine a razão entre a altura do
triângulo e a diagonal do quadrado.
2. Gabriel deseja construir uma canoa com for-
mas geométricas, conforme a figura seguinte.
46

Usando uma fita métrica, Gabriel verificou que sua
canoa tem o perímetro, na superfície considerada
no desenho, igual a 845cm. Ajude o Gabriel a
encontrar a medida do lado do triângulo na proa.
3. Considere um quadrilátero ABCD cujas diago-
nais AC e BD medem, respectivamente, 13cm
e 6cm. Se M, N, P e Q são os pontos médios
do quadrilátero dado, o perímetro do quadri-
látero MNPQ é igual a:
a) 35cm b) 25cm
c) 19cm d) 17,5cm
e) 9,5cm
4. Considere o trapézio ABCD de base média
⎯
MN,
sabendo que CD = x e AB = y, mostre que
(mediana de Euler).
5. Calcule x no trapézio abaixo:
6. Calcule x e y no trapézio abaixo:
7. Calcule x, y e z no trapézio abaixo:
8. Sabendo que MN = x – 2y + 5, calcule a
mediana de Euler no trapézio:
9. Em um trapézio, a base maior mede 12cm e a
diferença entre a base menor e a mediana de
Euler mede 3cm. A base média desse trapézio
mede:
a) 7cm b) 8cm
c) 9cm d) 10cm
e) n.r.a.
10. Calcule a base menor de um trapézio sabendo
que a soma da base média com a mediana de
Euler é igual a 12cm e que a razão entre as
bases é 2.
a) 5cm b) 6cm
c) 8cm d) 9cm
e) n.r.a.
11. Em um trapézio, as diagonais dividem a base
média em segmentos proporcionais a 2, 1, 2. A
razão entre as bases do trapézio é:
a) b)
c) d)
e)
47

12. Prove que a altura de um trapézio retângulo
que tem o ângulo agudo medindo 30º é igual à
metade do lado não perpendicular às bases.
13. Num trapézio isósceles ABCD, a base menor
⎯
AB é congruente aos lados não-paralelos.
Prove que as diagonais são bissetrizes dos
ângulos ^C e ^D.
14. Pelo ponto médio M da base
⎯
BC de um triân-
gulo isósceles ABC traçamos os segmentos
⎯
MN e
⎯
MQ respectivamente paralelos aos lados
⎯
AB e
⎯
AC do triângulo. Prove que APMC é um
losango.
TEMA 13
POLÍGONOS
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos
consecutivos e não-colineares, dois a dois.
Classificam-se em:
Linha poligonal Linha poligonal
fechada simples fechada não-simples
Linha poligonal Linha poligonal
aberta simples aberta não-simples
Polígono é uma linha fechada simples. Um
polígono divide o plano em que se encontra
em duas regiões (a interior e a exterior), sem
pontos comuns.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
Lados: Cada um dos segmentos de reta que
une vértices cosecutivos:
⎯
AB,
⎯
BC,
⎯
CD,
⎯
DE,
⎯
EA.
Vértices: Ponto de encontro de dois lados
consecutivos: A, B, C, D, E.
Diagonais: Segmentos que unem dois vértices
não-consecutivos:
⎯
AC,
⎯
AD,
⎯
BD,
⎯
BE,
⎯
CE.
Ângulos internos: Ângulos formados por dois
lados consecutivos: E^AB, A^BC, B^CD, C^DE e
D^EA.
48

Ângulos externos: Ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado a ele con-
secutivo: ^a1,^b1,^c1,^d1 e ^e1.
Classificação dos polígonos quanto ao
número de lados.
POLÍGONOS
Nomeando polígonos
Para se construir o nome de um polígono com
mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta
combinar os prefixos e os sufixos a seguir:
Classificação dos polígonos
• Um polígono é denominado simples se ele
for descrito por uma fronteira simples e que
não se cruza (daí divide o plano em uma
região interna e externa); caso contrário, é
denominado complexo.
• Um polígono simples é denominado con-
vexo se não tiver nenhum ângulo interno
cuja medida seja maior que 180°, caso con-
trário, é denominado côncavo.
• Um polígono convexo é denominado cir-
cunscrito a uma circunferência ou polígono
circunscrito se todos os vértices per-
tencerem a uma mesma circunferência.
• Um polígono inscritível é assim denomina-
do se todos os seus lados e todos os seus
ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares
• Triângulo equilátero
• Quadrado
• Pentágono regular
• Hexágono regular
Propriedades dos polígonos
• O número de diagonais (d) de um polígono
é dado por , onde n é o número
de lados do polígono.
Dedução
De cada vértice de um polígono de n lados,
saem n – 3 diagonais (não contamos o próprio
vértice nem os dois vértices adjacentes).
Como temos n vértices, o número de diagonais
é dado por n.(n – 3).
Cada diagonal é contada duas vezes, pois tem
mesma extremidade. Por exemplo, a diagonal
⎯
AF, partindo do vértice A, é a mesma diagonal
⎯
FA com origem em F.
Logo, o número de diagonais é:
NOME LADOS NOME LADOS
TRIÂNGULO 3 QUADRILÁTERO 4
PENTÁGONO 5 HEXÁGONO 6
HEPTÁGONO 7 OCTÓGONO 8
ENEÁGONO 9 DECÁGONO 10
HENDECÁGONO 11 DODECÁGONO 12
TRIDECÁGONO 13 TETRADECÁGONO 14
PENTADECÁGONO 15 HEXADECÁGONO 16
HEPTADECÁCOGO 17 OCTODECÁGONO 18
ENEADECÁGONO 19 ICOSÁGONO 20
TRIACONTÁGONO 30 TETRACONTÁGONO 40
PENTACONTÁGONO 50 HEXACONTÁGONO 60
HEPTACONTÁGONO 70 OCTOCONTÁGONO 80
ENEACONTÁGONO 90 HECTÁGONO 100
QUILÓGONO 1000 GOOGÓLGONO 10100
49

1. Determine o número de diagonais de um polí-
gono convexo de 17 lados (heptadecácogo).
Solução:
d = 119 diagonais.
2. Dê o nome do polígono convexo que possui 54
diagonais.
Solução
n = 12 ou n = –9
Portanto o polígono é o dodecágono.
• A soma das medidas dos ângulos internos
de um polígono de n lados (Si) é dada por
Si = (n – 2).180º.
Dedução
Vamos tomar um polígono convexo com n vér-
tices:
Sabemos que para cada vértice temos (n – 3)
diagonais. Fixando um desses vértices, dividi-
mos o polígono dado em (n – 2) triângulos.
Como em cada triângulo a soma dos ângulos
internos é igual a 180º, temos para o polígono de
n lados a soma (Si) dos ângulos internos igual a:
Si = (n – 2).180º
• A soma das medidas dos ângulos externos
de um polígono de n lados é Se = 360º.
Dedução
Cada ângulo externo (ei) é suplementar do
ângulo interno (ai) correspondente:
Daí:
Se = n . 180º – Si ⇒Se = n . 180º – n . 180º + 2.180º
⇒ Se = 360º
• A medida do ângulo interno de um polígo-
no regular de n lados (ai) é dada por
.
• A medida do ângulo externo de um polígo-
no regular de n lados (ae) é dada
por .
Então, A¡ = 180° – Ae = 180° – 60° = 120°.
3 Qual é o polígono regular cujo ângulo interno
vale 1,5 do ângulo externo?
Solução
Logo o polígono procurado é um pentágono
regular.
50

TEMA 14
POLÍGONOS
1. Usando as tabelas de classificação dos polí-
gonos convexos, quanto ao número de lados,
dê o nome dos polígonos com número de
lados igual a:
a) 33 b) 19
c) 46 d) 68
e) 97
2. Um polígono tem o número de diagonais igual
a do número de lados, encontre o número
de lados e classifique-o.
3. Calcule a medida do ângulo interno e do ângu-
lo externo de um pentadecágono regular.
4 Em um polígono regular, com um número par
de lados, tem diagonais que não pas-
sam pelo seu centro. Sabendo que a soma das
medidas dos ângulos internos de um polígono
regular é 2 160º. Encontre o número de diago-
nais que não passam pelo seu centro.
5. Um polígono regular apresenta 35 diagonais.
O ângulo interno desse polígono mede, em
graus:
a) 108 b) 120
c) 144 d) 150
e) 180
6. Sabendo que
⎯
AP e
⎯
PC são bissetrizes, calcule
x nas figuras abaixo:
a)
b)
7. Determine o maior ângulo de um pentágono cu-
jos ângulos internos estão na razão 3:3:3:4:5.
8. As mediatrizes de dois lados consecutivos de
um polígono regular formam um ângulo de 24o
.
Determine o número de diagonais desse polí-
gono.
9. Na figura abaixo, determine a soma das medi-
das dos ângulos. â,^b,^c,^d,ê,^f.
10. Um polígono convexo tem 5 lados mais do que
o outro. Sabendo que o número total de dia-
gonais vale 68, determine o número de diago-
nais de cada polígono.
11. Na figura abaixo, determine a soma das medi-
das dos ângulos. â,^b,^c,^d,ê,^f.
12. Na figura abaixo, encontre a medida de ^α.
51

13. Qual o polígono regular que tem 6 diagonais
passando pelo seu centro?
14. (CESGRANRIO) Se um polígono convexo de n
lados tem 54 diagonais, então n é:
a) 8 b) 9
c) 10 d) 11
e) 12
15. (U.MACK) A medida em graus do ângulo inter-
no de um polígono regular é um número
inteiro. O número de polígonos não-seme-
lhantes que possuem essa propriedade é:
a) 24
b) 22
c) 20
d) 18
e) n.d.a.
16. Considere um polígono regular de n lados,
com n > 4. Prolongando os lados desse polí-
gono, formaremos uma estrela com n vértices.
Mostre que a medida, em graus, de cada vér-
tice da estrela construída é dada por
.
52

UNIDADE III
Elementos na circunferência

55
Geometria I – Elementos na circunferência
TEMA 15
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
FERNÃO DE MAGALHAES
A tentativa de circunavegar a Terra
Fidalgo e navegador português, nasceu em
Trás-os-Montes por volta de 1480. Distinguiu-
se em várias expedições às Indias Orientais.
De volta a Portugal, indisposto com o rei D.
Manuel I, resolveu emigrar para a Espanha
onde ofereceu seus serviços ao Imperador
Carlos V. Em 1519, partiu da Espanha coman-
dando cinco embarcações em busca de uma
passagem para as lndias pelo Ocidente. Atra-
vessou o Atlântico e visitou o litoral brasileiro,
tendo reabastecido seus navios na Baía de
Guanabara. Continuando rumo ao sul, costeou
a Argentina e, no extremo sul, descobriu o
estreito que levaria seu nome e que era, de
fato, a passagem para as Índias. Uma vez no
oceano, batizado por ele de Pacífico, rumou
para o nordeste, descobrindo as ilhas Maria-
nas e as Filipinas, onde veio a falecer em com-
bate contra os nativos da região. Seu piloto-
mor, Sebastião Elcano, completou a viagem de
circunavegação pioneira que levaria a única
embarcação restante, “Vitória”, de volta à
Espanha, em setembro de 1522.
Antes de definir cada um, é interessante res-
saltar uma grande confusão existente entre os
alunos, professores e até alguns autores. A
confusão aparece de forma mais evidente
quando tratamos de áreas de figuras planas ou
mesmo na simples referência a determinados
objetos.
Circunferência
Definição
É o conjunto de todos os pontos de um plano
que eqüidistam de um ponto dado.
“Construindo” a definição
Tome um ponto no plano (O), determine um
outro ponto (P) distinto do primeiro, chame de
r a distância entre eles; determinar a circunfe-
rência é “encontrar”, no plano, todos os pontos
que distam r unidades de O.
Temos aí uma circunferência de raio r e centro O.
Elementos da circunferência
Corda
É qualquer segmento com extremidades na
circunferência.
Na figura,
⎯
TU,
⎯
PQ e
⎯
VX são cordas.
Quando o centro da circunferência pertence à
corda, ela é denominada diâmetro, e sua me-
dida é igual ao dobro do raio da circunferência.
Arco de circunferência
É o conjunto dos pontos que estão entre dois
pontos distintos da circunferência dada.

56
Observe que obtemos dois arcos com os pon-
tos A e B. É necessário fornecer um outro
ponto do arco que se quer tomar ou ângulo ao
qual está associado.
Se os pontos tomados na circunferência são
as extremidades do diâmetro, o arco formado
por eles é denominado de semicircunferência.
Círculo ou disco
Observe a circunferência
Os pontos Q e T não pertencem à circunferên-
cia, pois,
⎯
OQ ≠ r e
⎯
OT ≠ r, e mais
⎯
OT <
⎯
OQ < r.
Os pontos com as características de Q e T são
pontos interiores à circunferência.
Definição
Chamamos de círculo o conjunto dos pontos de
um plano cuja distância a um ponto dado des-
se plano é menor ou igual a uma distância (não-
nula dada), ou ainda, a união da circunferência
com o conjunto de seus pontos interiores.
Os elementos que definimos para circunferên-
cia são os mesmos para o círculo, e não reci-
procamente.
A circunferência é um subconjunto do disco.
Setor circular
Considere os pontos distintos A e B de um cír-
culo de centro O; chamamos de setor circular
o conjunto formado pela união dos pontos dos
segmentos
⎯
AO e
⎯
OB e dos pontos do circulo
que são interiores ao ângulo AÔB.
Assim como no caso dos arcos, o setor circular
determina uma situação dúbia. Salvo outra infor-
mação, para evitar dubiedade, consideraremos
sempre o menor arco ou o menor setor circular.
Segmento circular
Dado um círculo de centro O e raio r, tracemos
a reta suporte de uma corda; essa reta divide o
plano em dois semiplanos. A intersecção de
cada semiplano com o círculo é chamado de
segmento circular.
Consideraremos, quando não for evidenciado
o segmento circular, aquele que não contém o
centro do círculo (o menor).
No caso em que tratamos o segmento circular
pelo diâmetro do círculo, falaremos em semi-
círculo.
Posições relativas de reta e circunferência
Secante
É a reta que intercepta a circunferência em
dois pontos distintos.
Se M é ponto médio de
⎯
AB, a reta suporte de
⎯
OM é perpendicular à reta s.
Demonstração
Os triângulos OMB e OMA são congruentes
(caso LLL), então O^MB ≡ O^MA. Observe que

esses ângulos são suplementares, logo são
retos; então s ⊥ t.
Tangente
É a reta que intercepta a circunferência num
único ponto.
Toda reta perpendicular a um raio na sua
extremidade da circunferência é tangente à
circunferência.
Para demonstrar essa propriedade, basta to-
mar um ponto (Q) na reta, distinto de P, e ve-
rificar que
⎯
OQ é hipotenusa do triângulo OPQ,
então
⎯
OQ >
⎯
OP = r. Finalmente, podemos
afirmar que Q é exterior à circunferência e P é a
única intersecção da reta com a circunferência.
Exterior
A reta não intercepta a circunferência.
Posições relativas de duas circunferências
Considere duas circunferências δ1 e δ2 de cen-
tros O1 e O2 e raios r1 e r2 respectivamente.
Chamemos de d a distância entre seus centros;
classificamos suas posições relativas em:
Tangente interna
d = r1 – r2
Tangente externa
d = r1 + r2
Internas
d < r1 – r2
Externas
d > r1 + r2
Secantes
r1 – r2 < d < r1 + r2
1. Duas circunferências são tangentes interna-
mente, e a soma dos raios 30cm. Se a distân-
cia entre os centros é 6cm, determine os raios.
Solução
d = R – r ⇒ R – r = 6
.
Segmentos Tangentes
Os segmentos das tangentes traçadas de um
ponto exterior a um círculo são congruentes.
Demonstração
Dados o círculo δ e um ponto P exterior ao
57

58
círculo, tracemos os segmentos
⎯
AP e
⎯
AB tan-
gentes a δ.
Os triângulo ΔAOP e ΔBOP são congruentes (ca-
teto e hipotenusa congruentes), então
⎯
AP ≡
⎯
BP.
2. Na figura abaixo, temos
⎯
PA = 2x + 20 e
⎯⎯
PB =
5x – 7, calcule x.
Solução
5x – 7 = 2x + 20 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 9
Teorema de Pitot
Um quadrilátero é circunscritível (os quatro la-
dos são tangentes ao círculo) se, e somente
se, a soma dos lados opostos forem iguais.
Demonstração
Considere o quadrilátero ABCD circunscrito a
um círculo δ, e sejam M, N, P e Q os pontos de
tangência de ABCD com δ.
Pelo teorema anterior
⎯
AQ ≡
⎯
AM,
⎯
MB ≡
⎯
BP,
⎯
PC ≡
⎯
CN e
⎯
ND ≡
⎯
DQ. Daí, temos:
logo,
⎯
AB +
⎯
CD =
⎯
AD +
⎯
CB.
TEMA 16
1. Determine o raio dos círculos abaixo:
a)
b)
2. Na figura dada, as circunferências são tan-
gentes duas a duas:
⎯
AB = 4,5cm,
⎯
BC = 7cm e
⎯
AC = 5,5cm. O comprimento da menor circun-
ferência é igual a:
a) πr b) 2πr
c) 3πr d) 4πr
e) 5πr
3. Na figura abaixo, PT é tangente à circunferên-
cia. O valor de
⎯
OP é:
a) b)
c) d)
e)

4. A distância entre os centros de duas circunfe-
rências tangentes internamente é 5cm. Se a
soma dos raios e 11cm, determine os raios.
5. Duas circunferências são secantes, sendo 20cm
a distância entre seus centros. Sabendo que o
raio da circunferência menor mede 11cm, deter-
mine o raio da maior, que é múltiplo de 6.
6 As bases de um trapézio isósceles circunscrito
a uma circunferência medem 12m e 9m. A
altura, em metros, desse trapézio é:
a)
b)
c)
d)
e)
7 (UF–CE) Duas tangentes são traçadas a um cír-
culo de um ponto exterior A e tocam o círculo nos
pontos B e C, respectivamente. Uma terceira tan-
gente intercepta o segmento AB em P e AC em R
e toca o círculo em Q. Se
⎯
AB = 20cm, então o
perímetro do triângulo APR, em cm, é igual a:
a) 39,5 b) 40
c) 40,5 d) 41
e) 41,5
8. Dado o triângulo ABC da figura abaixo,
mostre que .
9. Considere duas circunferências, uma de centro
O1 e raio 16cm e outra de centro O2 e raio 10cm.
Dê a posição ocupada pelas duas circunferên-
cias quando a distância entre seus centros é
igual a:
a) 26cm
b) 20cm
c) 30cm
d) 6cm
10. Na circunferência da figura seguinte, a medida
do diâmetro é 40cm. Calcule o perímetro do
quadrilátero ABCD.
59

TEMA 17
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo central
É todo ângulo cujo vértice coincide com o cen-
tro da circunferência. Sua medida é igual à me-
dida do arco correspondente.
Ângulo inscrito
É todo ângulo cujo vértice está na circunferên-
cia e cujos lados são secantes a ela. A medida
do ângulo inscrito é igual à metade da medida
do arco correspondente.
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência
é reto.
Ângulo de vértice interno ou ângulo
excêntrico interior
A medida de um ângulo de vértice interno é
igual à semi-soma das medidas dos arcos de-
terminados pelos seus lados.
Ângulo de vértice externo ou ângulo
excêntrico interior
A medida de um ângulo de vértice externo é
igual à semidiferença dos arcos de terminados
pelos seus lados.
Ângulos de segmento
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunfer-
ência, sendo um de seus lados secante e o
outro tangente à circunferência. A medida de
um ângulo de segmento é igual à metade do
arco por ele determinado.
1. Na figura, calcule a medida do arco AB.
Solução
2. Dada a figura:
60

Encontre α.
Solução
3. Na figura, o ângulo ^P, medido em graus, exce-
de de 12º, o arco CD e é igual a 3/8 do arco AB;
encontre a medida do arco CD.
Solução
Chamando arcoCD = x e arcoAB = y, temos:
X = 24º
TEMA 18
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
1. Determine o valor do ângulo x nos casos abaixo:
a)
b)
c)
d)
2. Na figura, , calcule o valor de α.
61

3. Sabendo que â = 90º, ^b = 40º e ^c = 15º, o
ângulo α da figura mede:
a) 20º b) 22º
c) 25º d) 50º
e) n.r.a.
4. Na figura, BÂC = 46º e B^CA = 28º; calcule
A^BC.
a) 96º b) 106º
c) 112º d) 115º
e) 118º
5. Em um círculo de centro O, prolonga-se uma
corda AB de um segmento BC igual ao raio de
um comprimento BC igual ao raio. A reta CO
corta o círculo em D e E (D entre O e C). Se
A^CE = 20º, AÔE mede:
a) 60º b) 80º
c) 40º d) 45º
e) n.r.a.
6. Na figura, o arco CMD é igual a 100º, e o arco
ANB mede 30º. Calcule o valor de x.
7. Determine as medidas dos ângulos de um
triângulo, obtido pelos pontos de tangência do
circulo inscrito com os lados de um triângulo
ABC, sendo Â = 60º, ^B = 40º e ^C = 80º.
8. Na figura,
⎯
AB é um diâmetro, a corda
⎯
AM é o
lado do triângulo eqüilátero inscrito, e
⎯
BN, o
lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo α,
formado pelas tangentes
⎯
PM e
⎯
PN.
9. Determine a razão entre os ângulos α e β da figu-
ra abaixo, sabendo que a reta r tangencia a cir-
cunferência no ponto A e que os arcos AB, BC, e
AC são proporcionais aos números 2, 9 e 7.
10. Determine o menor ângulo formado por duas
retas secantes a uma circunferência, conduzi-
das por um ponto P externo, sabendo que es-
sas secantes determinam na circunferência dois
arcos cujas medidas valem 30º e 90º.
11. (PUC–SP) Na figura, AB é diâmetro da circun-
ferência. O menor dos arcos (AC) mede:
a) 100º b) 120º
c) 140º d) 150º
e) 160º
12. (CESGRANRIO) As semi-retas PM e PN são
tangentes ao círculo da figura, e o comprimen-
to do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN. O
ângulo M^PN vale:
62

a) 76º b) 80º
c) 90º d) 108º
e) 120º
13. Sejam os pontos A, B, C e D de um círculo tais
que
⎯
AB e
⎯
CD sejam, respectivamente, os lados
do pentágono e pentadecágono regulares ins-
critos. As retas
⎯
AD e
⎯
BC formam um ângulo de:
a) 20º b) 24º
c) 36º d) 44º
e) 46º
TEMA 19
POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
Polígono circunscrito
É o polígono que possui seus lados tangentes à
circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que
esta circunferência está inscrita no polígono.
Um caso especial da circunscrição é o teorema
de Pitot, já demonstrado no tema anterior. Um
quadrilátero é circunscritível se, e somente se,
a soma dos lados opostos forem iguais.
1. Calcule o valor do raio do círculo inscrito no
trapézio retângulo.
Solução
12 + 19 = 14 + 2r ⇒ 2r = 17 ⇒
2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede
10cm e o raio do círculo inscrito mede 1cm.
Calcule o perímetro do triângulo.
Solução
2P = 2.(x + y + 1) e x + y = 10
2P = 22cm
63

Teorema Fundamental
Se uma circunferência é dividida em N (n > 3)
arcos congruentes entre si, então:
a) As cordas que unem os pontos de divisão
consecutivos formam um polígono regular
inscrito de n lados.
b) As tangentes traçadas pelos pontos de divi-
são formam um polígono regular circunscri-
to com n lados.
Recíproca: todo polígono regular é inscritível e
circunscritível.
Polígonos regulares inscritos
Triângulo eqüilátero
• (apótema)
• l =
•
Quadrado
• l =
• (apótema)
Hexágono regular
• R = l
• (apótema)
3. Na figura, o raio da circunferência mede 5cm,
os segmentos AB e BC representam, respecti-
vamente, os lados de um hexágono regular e
de um quadrado inscritos. Nessas condições,
calcule o produto dos perímetros do quadrado
e do hexágono.
Solução
Do quadrado, temos lQ = cm
2PQ = cm.
Do hexágono, temos lH = 5cm
2PH = 30cm.
2PQ . 2PH = . 30 = 600 cm2
64

4. Dado um quadrado de lado 8cm, determine o
raio da circunferência inscrita (r) e o raio da cir-
cunferência circunscrita (R) a esse quadrado.
Solução
cm
Polígonos regulares circunscritos
Triângulo eqüilátero
• l =
• a = r
• h = 3r
Quadrado
• l = 2r
• a = r
Hexágono regular
• a = r
•
5. Determine a razão entre o apótema do quadra-
do e o apótema de um hexágono regular, cir-
cunscritos a um círculo de raio r.
Solução
Tanto no quadrado como no hexágono, o apó-
tema é igual ao raio da circunferência que os
inscreve.
Portanto a razão é igual a 1.
6. Dado um triângulo eqüilátero de 6cm de altura,
calcule o raio do círculo inscrito (r) e o raio do
círculo circunscrito (R) a esse triângulo.
Solução
r = ⇒ r = 2cm
R = ⇒ R = 4cm
65

TEMA 20
POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
1. O perímetro de um quadrado inscrito numa cir-
cunferência mede cm. Encontre o diâ-
metro do circulo ao qual esse quadrado está
circunscrito.
2. Determine o raio da circunferência circunscrita
ao polígono regular de 12m de lado nos casos:
a) Quadrado
b) Hexágono
c) Triângulo
3. Na figura, as retas que passam pelos pontos A,
B e C são tangentes à circunferência de raio 5
cm e as retas r, s e m são paralelas. De acordo
com os dados na figura, o valor de x, em cm, é:
a) 10 b) 11
c) 12 d) 13
e) 14
4. Dado um triângulo eqüilátero de 9cm de altura,
calcule:
a) o raio do círculo inscrito;
b) o lado;
c) o apótema;
d) o raio do círculo circunscrito.
5. Um triângulo ABC está inscrito em um círculo
de raio 6cm e tem seu ângulo interno ^A = 30º.
Se o perímetro do triângulo é igual a 16cm, a
soma AB + AC é igual a:
a) 6cm b) 9cm
c) 10cm d) 11cm
e) 13cm
6. O apótema de um hexágono regular de lado
4m mede:
a) m b) 4m
c) m d) 2m
e)
7. Calcular o lado do quadrado circunscrito à cir-
cunferência de raio 5 cm:
a) cm b) cm
c) 12cm d) 10cm
e) 14cm
8. No hexágono regular ABCDEF da figura abaixo
mede 5cm. Calcule:
a) o apótema;
b) o raio do círculo inscrito;
c) a diagonal
⎯
AC.
9. Qual é a razão entre o perímetro de um triângu-
lo eqüilátero com altura igual ao raio de um cír-
culo para o perímetro do triângulo eqüilátero
inscrito nesse círculo?
10. Na figura temos um pentágono regular de lado
l. Mostre que o pentágono sombreado é regular.
11. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regu-
lar de lado a. A diagonal AB mede:
a) 2a b)
c) d)
e)
66

UNIDADE IV
Relações métricas no triângulo

69
Geometria I – Relações métricas no triângulo
TEMA 21
TEOREMA DE TALES
Um breve histórico
Viajando muito pelos centros antigos de co-
nhecimento, Tales de Mileto deve ter obtido
informações sobre Astronomia e Matemática,
aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia,
sob o governo de Nabucodonosor, entrou em
contato com as primeiras tabelas e instrumen-
tos astronômicos, e diz-se que, em 585 a.C.,
conseguiu predizer o eclipse solar que ocorre-
ria neste ano, assombrando seus contemporâ-
neos; é nesta data que se apoiam para indicar
aproximadamente o ano em que nasceu, pois
na época deveria contar com quarenta anos
mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido
com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o
primeiro dos sete sábios, discípulo dos egíp-
cios e caldeus, e recebe o título comumente de
“primeiro matemático’’ verdadeiro, tentando or-
ganizar a Geometria de forma dedutiva. Acre-
dita-se que, durante sua viagem à Babilônia,
estudou o resultado que chega até nós como
“Teorema de Tales”, segundo o qual um ângulo
inscrito num semicírculo é um ângulo reto. A ele
também se devem outros quatro teoremas fun-
damentais: “um circulo é bissectado por um
diâmetro’’, “os ângulos da base de um triângu-
lo isósceles são iguais”, “os pares de ângulos
opostos formados por duas retas que se cor-
tam são iguais”, e “se dois triângulos são tais
que dois ângulos e um lado são iguais respec-
tivamente a dois ângulos e um lado do outro,
então, eles são congruentes”.
Parece provável que Tales conseguiu medir a
altura de uma pirâmide do Egito observando o
comprimento das sombras no momento em
que a sombra de um bastão vertical é igual á
sua altura”.
Teorema de Tales
Se duas retas são transversais de um feixe de
retas paralelas, então a razão entre dois seg-
mentos quaisquer de uma delas é igual à ra-
zão entre os respectivos segmentos corres-
pondentes da outra.
Poderíamos também tomar a pro-
porção entre outras.
1. Encontre o valor de x na figura, sabendo que
os segmentos dados estão nas transversais do
feixe de paralelas dado.
Solução
2. Calcule o valor de x + y na figura, sendo r // s // t.

70
Solução
Teorema da bissetriz interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o
lado oposto em segmentos (aditivos) propor-
cionais aos lados adjacentes.
Teorema da bissetriz externa
Se a bissetriz de um ângulo externo de um
triângulo intercepta a reta suporte do lado
oposto, então ela divide este lado oposto exter-
namente em segmentos (subtrativos) propor-
cionais aos lados adjacentes.
3. Calcule x e y no triângulo, sabendo que
⎯
AD é
bissetriz do ângulo Â e x + y = 22.
Solução
⇒ x = 10 e y = 12
4. Se
⎯
AP é bissetriz do ângulo externo em A,
determine x.
Solução
1, Sendo r // s // t, calcule x e y:
a)
b)
c)
2. Este mapa mostra quatro estradas paralelas que
são cortadas por três vias transversais. Algumas
das distâncias entre os cruzamentos dessas vias
e estradas estão indicadas no mapa (em km),
mas as outras precisam ser calculadas. Com-
plete o mapa com as distâncias que faltam.

71
3. (Unicamp) A figura mostra um segmento
⎯
AD
dividido em três partes:
⎯
AB = 2cm,
⎯
BC = 3cm
e
⎯
CD = 5cm. O segmento
⎯
AD’ mede 13cm e
as retas e são paralelas à . Deter-
mine as medidas dos segmentos
⎯
AB’,
⎯
B’C’ e
⎯
C’D’.
4. No triângulo,
⎯
DE//
⎯
BC, então o valor de x é:
a) 4 b) 6
c) 8 d) 14
e) 16
5. Calcule a medida, em cm, da altura
⎯
CH do
ΔABC, sabendo que
⎯
MN//
⎯
AB.
6. Na figura,
⎯
AS é bissetriz interna do ângulo Â.
Calcule o valor de x.
7. Na figura,
⎯
AS é bissetriz interna do ângulo Â.
Calcule o valor de x.
8. Na figura, calcule os valores de x e y, respectiva-
mente, sendo
⎯
BS a bissetriz interna do ângulo ^B.
9. Na figura, calcule o valor de x, sendo a bissetriz
do ângulo externo em Â, e o perímetro do triân-
gulo é igual a 23m.
10. Sendo
⎯
AS e
⎯
AP bissetrizes dos ângulos inter-
nos e externos em A, determine o valor de
⎯
CP,
dados BS = 8m e SC = 6m.
11. Os lados de um triângulo medem 8cm, 10cm e
12cm. Em quanto precisamos prolongar o me-
nor lado para que ele encontre a bissetriz do
ângulo externo oposto a esse lado?
12. Considerando as medidas indicadas na figura
e sabendo que o círculo está inscrito no triân-
gulo, determine x.

72
TEMA 22
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente
se, possuem os três ângulos correspondentes
congruentes e os lados homólogos proporcio-
nais.
ΔABC ~ΔDEF ⇔ Â ≡ ^D, ^B ≡ Ê
é a razão de
semelhança.
Teorema fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um
triângulo e intercepta os outros dois lados em
pontos distintos, então o triângulo determinado
pela reta é semelhante ao primeiro.
Demonstração
Dado o triângulo ABC e a reta r paralela ao
lado BC e que intercepta os outros lados nos
pontos D e E.
Dos triângulos ABC e ADE, temos:
^B ≡ ^D, ^C ≡ Ê e pelo teorema de tales:
, portanto ΔABC ~ΔADE.
1. Nas figuras, calcule o valor de x e y:
a)
b)
Solução
Casos de semelhança de triângulos
1.º – Ângulo ângulo (A.A.)
Se dois triângulos têm dois ângulos congru-
entes, então eles são semelhantes.
Dados os triângulos ABC e DEF, tais que Â ≡
^D, ^B ≡ Ê. Queremos provar que eles são
semelhantes.
Demonstração
Tome o ponto P ∈
⎯
AC, onde
⎯
PC ≡
⎯
DF, por ele
trace a reta rr//
↔
DE.
Os triângulos PQC e DEF são congruentes
(L.A.Ao), pelo teorema fundamental ΔPQC ~
ΔABC. Logo, ΔDEF ~ΔABC.
2.º – Ângulo ângulo (L.A.L.)
Se dois triângulos têm dois lados correspon-
dentes proporcionais e os ângulos compreen-
didos entre eles congruentes, então eles são
semelhantes.
A demonstração desse caso é análoga a ante-
rior, fica como exercício para o leitor.

73
3.º – Lado lado lado (L.L.L.)
Se dois triângulos têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes.
A demonstração desse caso é análoga a ante-
rior; fica como exercício para o leitor.
Importante:
Se a razão de semelhança de dois triângulos é
k, então a razão entre dois elementos lineares
homólogos é k; e os ângulos homólogos são
congruentes.
• a razão entre os lados homólogos é k;
• a razão entre os perímetros é k;
• a razão entre as alturas homólogas é k;
• a razão entre as medianas homólogas é k;
• ...
2. Identifique o caso de semelhança entre os tri-
ângulos e calcule x:
a)
Solução
Caso A.A.
b)
Solução
Caso L.A.L.
c)
Solução
Caso L.L.L.
1. Os lados de um triângulo medem 12cm, 27cm
e 24cm. Um triângulo semelhante a esse tem
21cm de perímetro. Determine as medidas dos
lados do segundo triângulo.
2. Sendo r // s, determine x:
a)
b)
3. (U. Rio Grande–RS) Dado o triângulo abaixo,
ABC, calcule a medida dos segmentos
⎯
BD e
⎯
DF, sabendo que o segmento
⎯
DE é paralelo ao
segmento
⎯
BC, sendo
⎯
AB = 18cm,
⎯
BE = 4cm
e
⎯
EC = 8cm.
4. (Cesgranrio) Certa noite, uma moça, de 1,50m
de altura, estava a 2m de distância de um
poste de luz de 4m de altura. O comprimento
da sombra da moça no chão era de:

74
a) 0,75m b) 1,20m
c) 1,80m d) 2,40m
e) 3,20m
5. Na figura abaixo, a medida do segmento PA,
em cm, é:
a) 6,8 b) 7,6
c) 7,8 d) 8,6
e) 8,8
6. Calculando x na figura dos quadrados abaixo,
encontramos:
a) 2 b) 4
c) 6 d) 3
e) 8
7. Num triângulo isósceles de 20cm de altura e
cm de base, está inscrito um retângulo de
8cm de altura com base na base do triângulo.
Calcule a medida da base do retângulo.
8. Na figura, temos:
⎯
AB = 8,
⎯
BC = 15,
⎯
AC = 17
e
⎯
EC. Determine x e y.
9. Considere a circunferência circunscrita a um
triangulo ABC. Seja
⎯
AE um diâmetro dessa cir-
cunferência e
⎯
AD a altura do triângulo. Sendo
⎯
AB = 6cm,
⎯
AC = 10cm e
⎯
AE = 30cm, calcule
a altura
⎯
AD.
10. Dois círculos de raios R e r são tangentes exte-
riormente no ponto A. Sendo C e D os pontos
de tangência de uma reta t externa, com os
dois círculos, determine a altura do triângulo
ACD relativa ao lado
⎯
CD.

75
TEMA 23
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo ABC, retângu-
lo em A. Vamos classificar seus elementos:
•
⎯
BC = a, hipotenusa;
•
⎯
AB = c, cateto;
•
⎯
AC = b, cateto;
•
⎯
AD = h, altura relativa à hipotenusa;
•
⎯
BD = m, projeção do cateto c sobre a hipo-
tenusa;
•
⎯
DC = n, projeção do cateto b sobre a hipo-
tenusa.
Observe que ΔABC ~ΔABD, caso A.A. e da
mesma forma, ΔABC ~ΔACD. Usando a pro-
priedade transitiva, podemos afirmar que
ΔABD ~ΔACD. Dos casos de semelhança reti-
ramos algumas relações:
De ΔABC ~ΔABD temos:
•
•
De ΔABC ~ΔACD temos:
•
De ΔABD ~ΔACD temos:
•
•
Uma outra conseqüência dessas semelhanças
é o Teorema de Pitágoras:
, como m + n = a,
temos:
a2 = b2 + c2
O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos.
1. (CEFET–AM) No triângulo retângulo abaixo, h
(altura relativa à hipotenusa), m e n (projeções
dos catetos b e c sobre a hipotenusa) valem:
Solução
c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 625 – 225 ⇒ c = 20
c2 = a.n ⇒ 400 = 25.n ⇒ n = 16
m + n = a ⇒ m = 25 – 16 ⇒ m = 9
2. O perímetro de um triângulo ABC isósceles, de
base BC, é 32 cm. Se a altura AH é igual a 8
cm, então a medida AB, em cm, é:
Solução
substituindo y = 25
– 2x na segunda equação,
temos:

76
3. Na figura abaixo, encontre o valor de a, m, e n.
Solução
TEMA 24
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
1. No triângulo retângulo abaixo, calcule as medi-
das a, b, h e m indicadas:
2. No triângulo retângulo abaixo, determine as
medidas m e n indicadas.
3 Observe o triângulo desenhado na malha
quadriculada abaixo. Considerando u como a
unidade de medida de comprimento, encontre
a medida dos lados desse triângulo.
4. (CEFET–AM) Na figura abaixo, os seguimentos
são medidos em metro. O seguimento
⎯
AC é:
a) 11 b) 19
c) 15 d) 7
e) 22

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