Matematica Elementar 3

Matemática
Elementar III
Domingos Anselmo Moura da Silva
Genilce Ferreira Oliveira
Dário Souza Rocha
Manaus 2006

FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice−Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice−Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró−Reitor de Planej. e Administração
Antônio Dias Couto
Pró−Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró−Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró−Reitor de Pós−Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico−gramatical
João Batista Gomes
Silva, Domingos Anselmo Moura da.
S586m Matemática elementar III / Domingos Anselmo Moura da Silva,
Genilce Ferreira Oliveira, Dario Souza Rocha. – Manaus/AM: UEA,
2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)
125 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Oliveira, Genilce Ferreira. II.
Rocha, Dario Souza. III. Título.
CDU (1997): 51
CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – A função e o cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Funções injetivas e sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
TEMA 03 – Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE II – Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
TEMA 04 – Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TEMA 05 – Função composta e sua linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
UNIDADE III – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
TEMA 06 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 07 – Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 08 – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
UNIDADE IV – Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TEMA 09 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
TEMA 10 – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
TEMA 11 – Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
UNIDADE V – Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 12 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TEMA 13 – Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TEMA 14 – Bases Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TEMA 15 – Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 16 – Propriedades dos logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 17 – Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE VI – Equações e inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TEMA 18 – Módulo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 19 – Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 20 – Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
UNIDADE VII – Funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 21 – Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
UNIDADE VIII – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
TEMA 22 – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 23 – Seqüência de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
UNIDADE IX – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TEMA 24 – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TEMA 25 – Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
TEMA 26 – PA monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
TEMA 27 – Extremos e meios em uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TEMA 28 – Representação prática dos termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
TEMA 29 – Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
TEMA 30 – Soma dos n primeiros termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
UNIDADE X – Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
TEMA 31 – Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
TEMA 32 – Fórmula do termo geral da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
TEMA 33 – Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
TEMA 34 – Representação prática de três termos em PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
TEMA 35 – Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
TEMA 36 – Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
TEMA 37 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Domingos Anselmo Moura da Silva
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Mestre em Matemática - UFAM
Genilce Ferreira Oliveira
Licenciada em Matemática - UFAM
Especialista em Matemática - UFAM
Dário Souza Rocha
Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM
Especialista em Matemática - UFAM
PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico−científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−
lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01
A FUNÇÃO E O COTIDIANO
Como o homem percebeu que tudo e todos
estão relacionados de forma que nenhum
efeito tem origem numa única causa?
Ao lermos um jornal ou uma revista, diaria-
mente nos deparamos com gráficos, tabelas e
ilustrações. Estes são instrumentos muito uti-
lizados nos meios de comunicação. Um texto
com ilustrações é muito mais interessante,
chamativo, agradável e de fácil compreensão.
Não é só nos jornais ou nas revistas que
encontramos gráficos. Os gráficos estão pre-
sentes nos exames laboratoriais, nos rótulos
de produtos alimentícios, nas informações de
composição química de cosméticos, nas bulas
de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao
interpretarmos esses gráficos, verificamos a
necessidade dos conceitos de plano carte-
siano.
O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é ex-
plicado pela recombinação genética dos alelos
(a,b,o), e este é um bom exemplo de uma apli-
cação do conceito de produto cartesiano. Uma
aplicação prática do conceito de relação é a
discussão sobre a interação de neurônios (cé-
lulas nervosas do cérebro).
Ao relacionarmos espaço em função do tem-
po, número do sapato em função do tamanho
dos pés, intensidade da fotossíntese realizada
por uma planta em função da intensidade de
luz a que ela é exposta ou pessoa em função
da impressão digital, percebemos quão impor-
tantes são os conceitos de funções para com-
preendermos as relações entre os fenômenos
físicos, biológicos, sociais...
Vamos ler um pouco mais.
As necessidades do homem, com os mais vari-
ados propósitos, fizeram dele, através dos tem-
pos, um estudioso dos problemas naturais,
bem como das suas causas e dos seus efeitos.
Essa busca nos fez perceber que tudo e todos
estão relacionados de tal forma que nenhum
efeito tem origem numa única causa.
Para perceber essa relação, vamos usar como
exemplo uma flor, que aos olhos de um admi-
rador representa a beleza, o amor e a paz, e
aos olhos de um sensível observador, a ima-
gem do nosso mundo, com fatores individu-
ais, físicos, econômicos, humanos e sociais.
Na linguagem do dia−a−dia, é comum ouvir-
mos frases como “Uma coisa depende da
outra” ou “Uma está em função da outra”. Não
é raro também abrirmos revistas ou jornais e
encontramos gráficos sobre os mais variados
assuntos, mostrando a dependência entre os
fatores em estudo.
A idéia de um fator variar em função do outro e
de se representar essa variação por meio de
gráficos, de certa forma, já se tornou familiar
em nossos dias. No entanto essa forma de re-
presentação não foi sempre assim. O conceito
de função sofreu várias interpretações até che-
gar ao modernamente utilizado.
No século XVIII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−
1716) considerou como função as quantidades
geométricas variáveis, relacionadas com uma
curva.
Posteriormente, Leornhard Euler enfatizou me-
nos a representação analítica e deixou antever
como conceito de função toda variável que
dependa de outra, ou seja, se a segunda vari-
ar, a primeira também irá variar.
Já no século XIX, matemáticos como Dirichlet
e Lagrange deram novas contribuições para o
estudo das funções.
A Idéia de Função
O canto dos grilos é um som familiar no campo
numa noite quente. O ritmo em que os grilos
cantam depende da temperatura: quando está
quente, eles cricrilam mais do que em qual-
quer outro tempo. A tabela abaixo mostra co-
mo o ritmo e a temperatura estão relacionados.
(*) A relação entre graus Farenheit (F) e graus
Celsius (C) é dada pela equação: F = C x 1,8 + 32
Temperatura em
Graus Farenheit (*)
50 60 70 80
Número de cricrilos
em 15s
10 20 30 40
11
Matemática Elementar III – Funções

Para cada temperatura desta tabela, existe um
correspondente número de cricrilos em quinze
segundos. Observe que, para cada temperatu-
ra, existe um único número correspondente. Um
matemático diria que o número de cricrilos em
quinze segundos é uma função da temperatura.
Uma maneira de representar uma função é
com uma tabela exposta acima. Uma outra ma-
neira é escrever uma fórmula. Na tabela acima,
cada número da segunda linha é o correspon-
dente número da primeira linha menos 40. Se
chamamos F a temperatura em graus Fahre-
nheit e n representa o número de cricrilos em
15 segundos, podemos escrever.
n = F − 40 ou F = n + 40
As duas letras nas fórmulas acima são variá-
veis. Na primeira, n varia de acordo com a vari-
ação de F, isto é, n é função de F. na segunda,
F varia de acordo com a variação de n, isto é F
é função de n.
A fórmula de uma função permite-nos escrever
a correspondente tabela. Basta escrever os
números que queremos para a primeira linha e
substituí-los na fórmula para achar o número
correspondente da segunda linha.
Por exemplo, uma fórmula para a temperatura
em graus Celsius, C, como uma função do
ritmo do canto dos grilos em 15 segundos, n, é
C = 0,6n + 4
Para ver isso, basta observar que F = C x 1,8 + 32.
Como:
F = n + 40, temos: C x 1,8 + 32 = n + 40, ou
C x 1,8 = n + 40 − 32 = n + 8, ou ainda:
C = 0,6n + 4 (*)
Para escrever a tabela dessa função, escolhe-
mos alguns números n: 0, 10, 20, 30, 40 e
substituímos então esses números na fórmu-
la(*) para encontrar os correspondentes nú-
meros de segunda linha.
Substituindo n = 0, obtemos C = 0,6 x 0 + 4 = 4
Substituindo n = 10, obtemos C = 0,6 x 10 +
14 = 10
14 = 16
4 = 22
Substituindo n = 40, obtemos
C = 0,6 x 40 + 4 = 28
A tabela é :
Resumindo, se temos dois conjuntos S e T, por
uma função ou aplicação de S em T, enten-
demos uma correspondência (ou regra, ou
mecanismo), que associa para cada elemento
S um único elemento de T. O conjunto S é
usualmente chamado de domínio da função, e
o conjunto T é chamado de contradomínio.
Notação e vocabulário
Já foram discutidos vários aspectos da teoria
dos conjuntos: operações, elementos, etc. Nes-
te capítulo, olhamos a teoria dos conjuntos sob
um outro ponto de vista. Na verdade, cuidamos
de aplicações de um conjunto noutro.
Por quê?
Por várias razões, como poderemos ver adian-
te. É uma noção útil e leva−nos para resultados
importantes. Podemos descrever muitos fatos
matemáticos como estudo de funções apropri-
adas. Em outras palavras, o conceito de apli-
cação (ou função) que já estamos a estudar é
muito usado e constitui-se num dos pontos
mais importante da matemática.
A seguir, vamos tratar de alguns conceitos so-
bre funções. Para facilitar nossa comunicação,
vamos introduzir alguma notação e vocabu-
lário.
Seja f uma função de um conjunto S para T.
Podemos denotar esse fato com a notação:
f : S → T
Se s é um elemento de S e t ∈ T é o elemento
que está associado pela função f a s, denota-
mos este fato por: t = f(s). Chamamos t como
sendo a imagem de s pela função f. Algumas
vezes, dizemos que t é o valor que f assume em
s, ou que f leva s em t. Chamamos o conjunto
Im f = {t∈T|existe s∈S; f(s) = t} de imagem da
função f.
Temperatura em
Graus Farenheit (*)
0 10 20 30 40
Número de cricrilos
em 15 s
4 10 16 22 28
12
UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 02
FUNÇÕES INJETIVAS E SOBREJETIVAS
Seja S o conjunto das pessoas que moram na
rua A, e seja N o conjunto dos inteiros posi-
tivos. Se s é um dos residentes da rua A, defi-
nimos f(s) como sendo o número da residência
de s na rua A . Portanto, se o Sr. Silva mora na
casa de número 25 da rua A,
f (Sr. Silva) = 25. Observe que, se Maria é a
esposa do Sr. Silva, então f(Maria) = 25.
Consideramos o conjunto S das pessoas resi-
dentes na rua A e N o conjunto dos inteiros
positivos. Suponha que o sistema da identifi-
cação da polícia seja perfeito, de modo que
cada pessoa tenha sua carteira de identidade
com o respectivo número, independente se é
homem, mulher, criança. Definimos a função
g : S → N por g(s) = número da carteira de
identidade da pessoa s. Observe que, quais-
quer duas pessoas distintas, s1 e s2, são tais
que g(s1) ≠ g(s2). Observe, então, que esta
função aqui definida é distinta da função f
definida acima, quanto a esse aspecto. Lá, f(Sr.
Silva) = f(Maria). Isto é, dois elementos distin-
tos de S podem ter a mesma imagem. Aqui,
ocorre que elementos distintos de S têm ima-
gens distintas. Nesse caso, dizemos, então,
que g é injetiva ( ou injetora).
Assim, h : S → T é injetiva (ou injetora) se, e
somente se, para todo par
s1 , s2 ∈ S, com s1 ≠ s2 ⇒ h(s1) ≠ h(s2).
Ou, equivalentemente, dizemos que h é injetiva
se, e somente se, para todo par
s1, s2 ∈ S, com h(s1) = h(s2) ⇒ s1 = s2
Exemplos
Exemplo 1:
Sejam os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3}, B= {2, 4,
6, 8, 10} e f: A → B uma função, definida por
f(x) = 2x + 2.
Observe, no diagrama de flecha, que elemen-
tos distintos do conjunto A estão em corres-
pondência com elementos distintos do con-
junto B.
Então, a função é injetora.
Exemplo 2
Mostre que a função polinomial do 1.o
grau é
injetiva.
Solução:
Seja f uma função polinomial do 1.o
grau, de-
finida por f(x) = ax+b, onde, a, b ∈ R e a ≠ 0
Dizemos que f é injetiva ⇔ ∀ x1, x2∈IR, com
f(x1) = f(x2) ⇒ x1= x2
Sendo assim,
f(x1) = f (x2) ⇒ ax1 + b = ax1 +b ⇒ ax1 = ax2
⇒ x1 = x2
∴ f é injetiva
Exemplo 3:
Sejam N conjunto dos inteiros positivos e T con-
juntos dos inteiros positivos ímpares. Definimos
f : N → T por f(n) = 2n − 1, para cada n ∈ N.
Assim,
f(1) = 2.1 − 1 = 2 − 1 = 1
f(10) = 2.10 − 1 = 20 − 1 = 19
f(35) = 2.35 − 1 = 70 − 1 = 69
f define uma função de N em T. Observe que,
como no Exemplo 2, f é injetiva, ou seja,
∀n,m ∈ N, se f(n) = f(m), então
2n − 1 = 2m − 1 ⇒ 2n = 2m ⇒ n = m.
13

Exemplo 4:
A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é
injetora, pois sempre que tomamos dois va-
lores diferentes para x, obtemos dois valores
diferentes para f(x) (Veja o exemplo 2).
Exemplo 5:
A função f:IR → IR definida por f(x) = x² + 5
não é injetora, pois para x = 1, temos f(1) = 6
e para x = −1, temos f(−1) = 6.
Mostraremos, a seguir, que a função f do
exemplo 3 possui uma propriedade que a fun-
ção do Exemplo 1 não possui. De fato, seja x
qualquer inteiro positivo ímpar; podemos es-
crever x como sendo
x = 2r – 1
para algum inteiro positivo r. Agora, f(r) = 2r −
1 = x. Isso significa dizer que qualquer elemen-
to de T aparece como imagem de um elemen-
to de N. Esta propriedade de f é muito impor-
tante, e dizemos que f é uma função sobrejeti-
va (ou sobrejetora).
Então, uma função f :S → T é sobrejetiva (ou
sobrejetora ) se, para qualquer t ∈ T, existe um
elemento s ∈ S tal que, f (s) = t.
Equivalentimente,dizemos que f é sobrejetiva
se, e somente se, o conjunto imagem da fun-
ção f é igual ao contradomínio da função f.
Exemplo 6:
A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é
sobrejetora, pois todo elemento de IR é ima-
gem de um elemento de IR pela função, ou
seja, ∀ y ∈ IR existe ∈ IR tal que
f(x) = f( ) = y.
Exemplo 7:
Mostre que a função f: IR → IR+ definida por
f(x) = x2
é sobrejetiva.
Solução:
Basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ a ∈ IR tal que
f(a) = b.
Tome a = . Sendo assim f(a) = a2
= ( )2
= b,
para qualquer b ∈ IR+.
Então, concluímos que f é sobrejetiva.
Exemplo 8:
A função f:IR → IR definida por f(x) = 2x
não é
sobrejetora, pois o número −1 é elemento do
contradomínio IR e não é imagem de nenhum
elemento do domínio.
Exemplo 9:
Para qualquer conjunto não vazio podemos
definir i : S → S por i(s) = s, para cada s ∈ S.
Esta função aplica cada elemento de S sobre
ele próprio. A função i é chamada função iden-
tidade. Algumas vezes, notamos a função iden-
tidade por id.
É fácil ver que a função identidade é injetiva e
sobrejetiva.
Para refletir
Definimos f : Z → N por:
(i) f(n) = 1, se n é para todo inteiro negativo.
(ii) f(0) = 101
(iii) f(n) = n, se n é inteiro positivo.
A função f é injetiva? É sobrejetiva?
Reforçando:
Dizemos que uma função é sobrejetora (ou
sobrejetiva) se, para qualquer t ∈ T, existe um
elemento s ∈ S tal que, f (s) = t, equivalente-
mente, se o conjunto imagem for igual ao con-
junto C(f), ou seja, Im(f) = C(f).
14

TEMA 03
FUNÇÕES INVERSÍVEIS
Dados dois conjuntos S e T não-vazios, pode
existir uma função f : S → T tal que f seja inje-
tiva e sobrejetiva. Nesse caso, f é chamada
uma função bijetiva ou bijetora ou uma bijeção.
Essa definição sugere uma certa simetria em
relação ao fato de ser bijetiva. Isto é, a defini-
ção fala de uma função bijetiva f de S para T.
Mas, nesse caso, também existe uma função
bijetiva de T para S, e essa função será chama-
da de a inversa de f, sendo usualmente deno-
tada por f−1
.
Vamos mostrar, em seguida, que se f : S → T
é bijetiva, então existe g : T → S bijetiva.
Demonstração:
De fato, como f é bijetiva, em particular f é
sobrejetiva. Logo, dado qualquer elemento t de
T, existe algum s de S tal que f(s) = t. Como f é
também injetiva, s é único; isto é, s é o único
elemento de S com a propriedade de que f(s)
= t. Ou seja, não existe ambigüidade em levar-
mos t naquele elemento s tal que t = f(s). Esse
elemento s será chamado g(t). Essa regra
associa cada elemento de T num único ele-
mento de S, em outras palavras, define uma
função g: T → S. Esta função é chamada a
inversa de f e é comumente denotada por f−1
.
Exemplos
Exemplo 1:
Seja g : Z → Z tal que g(s) = s – 6. É fácil ver que
g é injetiva e sobrejetiva. Qual é a inversa de g?
Solução:
Considere t um elemento de Z.
Sabemos que g−1
(t) = x, tal que g(x) = t. Mas,
g(x) = x – 6 = t. Portanto x = t + 6.
Assim, g−1
(t) = t + 6, para todo t ∈ Z.
Exemplo 2:
Afirmo que a função f: IR+ → IR+ definida por
f(x)= x2
é bijetiva, ou seja, f é injetiva e sobre-
jetiva.
Solução:
De fato, basta mostrar que ∀ a,b ∈ IR+, com
a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f (b).
Sendo a,b ∈ IR+, quaisquer, com a ≠ b. Temos,
então, que ou a > b, ou a < b, em qualquer dos
casos a2
≠ b2
⇒ f(a) ≠ f (b). Logo f é injetiva.
Afirmo que f é sobrejetiva.
De fato, basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ pelo
menos um a ∈ IR+ tal que f(a) = b.
Tome a = . Sendo assim, f(a) = a2
= ( )2
= b, para qualquer b ∈ IR+.
Assim, concluímos que f é sobrejetiva.
Exemplo 3:
Na expressão não podemos atribuir o
valor 2 para x, pois teríamos que
consiste em uma impossibilidade matemática.
Assim, para que a fórmula possa repre-
sentar uma função, teríamos de eliminar a pos-
sibilidade de x vir a ser 2. Desse modo, pode
ser definida f : IR – {2} → IR, tal que
f(x) = é uma função bem definida. Nesse
caso, IR – {2} é o domínio da função, e IR é o
contradomínio.
A função f definida acima é injetiva?
Sim. De fato, para cada x, y ∈ IR – {2}, com
x ≠ y, suponha por absurdo que f(x) = f(y), isto
significa que = , ou seja,
(x + 1).(y − 2) = (x − 2). (y + 1), e portanto 3x
= 3y, que resulta em x = y, que é uma con-
tradição. Logo, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) , concluímos
que a função é injetiva.
f é sobrejetiva?
Não. Pois não existe s∈IR tal que f(s) = 1. De
fato, se 1 = f(s) = teríamos 3 = 0, que é
uma contradição.
Agora considere g : IR − {2} → IR – {1}, tal que
g(x) = . Pelo que vimos acima, g é injeti-
va e sobrejetiva.
15

Sendo assim, temos que a função g tem uma
inversa, que vamos denotar por g−1
a qual
vamos determinar .
Fazendo g(x)= = y, temos = y ⇒
y(x − 2) = x + 1 ⇒ yx − 2 = x + 1 ⇒
yx − x = 1 + 2y ⇒ x(y − 1) = 1 + 2y ⇒ x =
Portanto g−1
(y) =
Para refletir
Quando podemos dizer que duas funções f e g
são iguais?
Duas funções f e g são iguais se, e somente
se, f(x) = g(x), para todo x ∈ D(f), D(f) = D(g)
e C(f) = C(g).
Para refletir
Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi-
tivos e
f : IR+ → IR+uma função, tal que f(x) =1/x,
para cada x ∈ IR+. A função f é injetiva? É
sobrejetiva?
16

UNIDADE II
Funções Compostas

19
TEMA 04
FUNÇÕES COMPOSTAS
No estudo de funções, há um caso muito inte-
ressante que vale a pena estudar pela sua
oportunidade de generalização e conseqüente
utilidade.
Sejam S um conjunto não-vazio e f, g duas fun-
ções definidas de S para S, isto é, f,g: S → S. Se
s ∈ S, então g(s) ∈ S e, como qualquer ele-
mento de S, pode ser aplicado pela função f,
resultando no elemento f(g(s)) ∈ S. A partir
dessa observação, podemos definir a chama-
da função composta, denotada por fog, defini-
da como fog: S → S, tal que (fog) (x) = f(g(x)),
para cada x ∈ S.
Observe o diagrama de flecha abaixo:
Sendo h, g e f funções, definimos assim a
função h por gof, ou seja, h = gof
TEMA 05
FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM
FORMAL
Considerando as funções f: A → B e g: B → C,
temos que a função composta de g com f é a
função gof: A → C, sendo (go f) (x) = g (f(x)).
Exemplos
Exemplo 1:
Sejam f,g: IR → IR funções definidas por
f(s) = 5s + 6 e g(s) = . Determine fog e
gof.
Solução:
Sendo assim, temos:
(f o g) (s) = f(g(s)) = f( ) = 5( )+ 6 =
= e (gof)(x) =
g(f(x))=g(5x+6)= =
OBSERVAÇÃO:
De modo geral, gof ≠ fog, como no exemplo
acima, temos:
(fog) (0) = f(g(0)) = f(1) = 5.1 + 6 = 11 e
(gof) (0) = g(f(0)) = g(6) =
Observe que fog ≠ gof, isto é, a composição de
funções não comuta.
Exemplos 2:
Matemática Elementar III – Funções Compostas

Dadas as funções f, g, h : IR → IR definidas
por: f(x) = x+2, g(x) = x2
– 1 e h(x) = .
Determine as funções compostas gof, fog,
hof e fof.
Solução:
a) Vamos determinar gof :
(gof)(x) = g(f (x) ) = g(x + 2) = ( x + 2)2
– 1
= x2
+ 4x + 4 – 1= x2
+ 4x + 3
portanto (gof)(x) = x2
+ 4x + 3
b) Vamos determinar fog:
(fog)(x) = f(g(x) = (x2
– 1) = x2
– 1 + 2 = x2
+1
c) Vamos determinar hof:
(hof)(x) = h(f(x)) = h(x + 2) =
=
d) Vamos determinar f o f:
(fof)(x) = f(f(x))= f(x+2) = (x+2) + 2 = x+4
Exemplo 3:
Seja f: IR → IR uma função real.
Se f (x – 3) = x2
– 4x + 1, determine f(x).
Solução:
Sendo f (x – 3) = x2
– 4x + 1, faça
x – 3 = u → x= u + 3, logo
f(u) = (u + 3)2
– 4. (u + 3) +1
= u2
+ 6u + 9 – 4u – 12+1
= u2
+2u – 2
Assim, concluímos que f(x) = x2
+ 2x – 2
Exemplo 4:
Sejam f e g duas funções reais, tais que
Imf ⊂ Dg. Se g (f(x))= x2
– x + 1 e g(x) = ,
determine f(x).
Solução:
Sendo g(x) = , temos que g(f (x)) =
Dessa forma, = x2
– x + 1 ⇒ f(x) – 1 =
= 2(x2
– x + 1) ⇒ f(x) – 1 = 2x2
– 2x + 2 ⇒ f(x)
= 2x2
– 2x + 3
Exemplo 5:
Sejam f e g duas funções reais, tais que
Imf ⊂ Dg. Se g(f(x)) = x2
– x – 3 e f(x) = 3 – x,
determine g(x).
Solução:
Sendo f(x) = 3 – x ⇒ x = 3 – f(x).
Logo, substituindo x = 3 – f (x) em
g(f(x)) = x2
− x − 3, temos
g(f(x)) = (3 – f(x))2
– (3 – f(x)) – 3
g(f(x)) = 9 – 6 f(x) + (f(x))2
– 6 + f(x)
g(f(x)) = (f(x))2
– 5 f(x) +3
Dessa forma, concluímos que g(x) = x2
– 5x + 3
IMPORTANTE:
Sendo f : S → T uma aplicação bijetiva de S
sobre T, podemos definir a inversa de f, a
qual vamos denotar por f−1
, onde f−1
é uma
aplicação de T em S (f−1
: T → S), ou seja,
f(s) = t ⇔ f−1
(t) = s ∀ s ∈ S e ∀ t ∈ T
Exemplo 6:
Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi-
tivos e f : IR+
→ IR+
, tal que f(x) = , para
cada x ∈ IR+. Temos que f é injetiva e sobreje-
tiva. Quem é f−1
?
Solução:
Vamos mostrar um fato surpreendente :
f(x) = f−1
(x) para cada x de IR+, ou seja,
f = f−1
. De fato, f−1
(x) = s ⇔ f(s) = x. Sendo
f(s) = = x, concluímos que S = .
Logo, f−1
(x) = S = = f(x)
De modo geral, se f : S → T é uma função bi-
jetiva, onde f−1
é a inversa de f. Pergunta–se:
Que função resultará de f−1
of e fof−1
?
Se s ∈ S, então (f−1
of)(s) = f−1
(f(s)). Entretanto,
pela definição de f−1
se t = f(s), então f−1
(t) = s.
Em outras palavras, (f−1
o f) (s) = f−1
(f(s))
= f−1
(t) = s.
20

21
Ou seja: (f−1
of)(s) = s, para todo s ∈ S. Isso sig-
nifica dizer que (f−1
of) =ids, que é a aplicação
identidade de S sobre ele próprio.
De modo análogo, para cada t ∈ T, (fof−1
) (t) = t.
Ou seja, f o f−1
= idT, que é a identidade de T
sobre T.
Essas duas relações, fof−1
= idT e f−1
of = ids
facilitam o entendimento de que f−1
: T → S é
uma aplicação bijetiva.
De fato, suponha que f−1
(t1) = f−1
(t2), com t1, t2
∈ T. Aplicando f em cada lado da igualdade,
obtemos:
f (f−1
( t1)) = f (f−1
( t2)), que é a mesma coisa de:
(fof−1
) (t1) = t1 = (fof−1
) (t2) = t2 ⇒ t1 = t2
Portanto f−1
é, de fato, injetiva.
Por que f−1
é sobrejetiva?
Seja s ∈ S, queremos exibir algum elemento t
∈ T tal que s = f−1
(t). Para isso, seja t = f(s),
então f−1
(t) = f−1
(f(s)) = (f−1
of) (s) = idS(s) = s.
Logo, f−1
é sobrejetiva.
PARA REFLETIR
Sejam f e f−1
duas funções, tais que f−1
seja a
inversa de f. Mostre que f é bijetiva se, e
somente se, f−1
é bijetiva.
PROPRIEDADES IMPORTANTES
As aplicações identidades idS, idT têm algumas
propriedades algébricas importantes, que
comentaremos a seguir.
Propriedade 1:
Seja f : S → T uma função e seja idT: T → T a
aplicação identidade de T. Pelas definições de
f e idT, mostre idTof = f
Demonstração:
Se s ∈ S, então (idTof ) (s) = idT (f (s) ) = f (s).
Ou seja, (idTof ) (s) = f(s), para todo s ∈ S. Isto
significa que idTof = f.
Propriedade 2:
Sejam g: S → T e f : T → W duas funções. Nessas
condições, podemos definir: fog : S → W.
Sendo assim, temos que duas questões po-
dem ocorrer naturalmente:
(i) Se f e g são injetiva, fog é injetiva?
(ii) Se f e g são sobrejetiva, fog e sobrejetiva?
Demonstração:
A resposta é afirmativa para ambas as questões:
(i) Suponha que as funções g : S →T e f: T →W
são injetivas. Sejam s1, s2 ∈ S tais que:
(fog) (s1) = (fog) (s2).
Queremos saber se s1 = s2.
Para isso, (fog) (s1) = (fog) (s2) ⇒
f(g (s1)) = f(g (s2)).
Como f é injetiva, temos que g (s1) = g(s2).
Como g é injetiva, s1 = s2. Logo, fog é in-
jetiva.
(ii) Suponha que ambas as funções g : S → T
e f: T → W são sobrejetivas.
Queremos mostrar que dado w ∈ W, existe
so ∈ S tal que (fog) (so) = w.
De fato, como f é sobrejetiva, existe to ∈ T
tal que f(to) = w.
Agora, como g: S → T é sobre, existe so ∈
S tal que g(so) = to .
Mas, então:
(fog) (so) = f(g(so)) = f(to) = W.
Portanto, f o g é sobrejetiva.
PARA REFLETIR
Se g: S → T e f: T → W são ambas bijetivas,
então f o g : S → W é bijetiva

22
]
OS PRIMEIROS GRÁFICOS
Em 476, com a queda do último imperador
romano do Ocidente frente aos bárbaros, tem
início, na Europa, o período histórico deno-
minado Idade Média. Nessa reviravolta, a
Igreja Católica foi a única instituição ocidental
a permanecer razoavelmente bem-estruturada.
Precisando de pessoal para suas fileiras a fim
de perpetuar-se, teve de fundar escolas em
seus mosteiros, já que o ensino também se
desintegrara. Até por volta da metade do sé-
culo XI, as escolas dos mosteiros foram as
únicas da Europa. O ensino ministrado ali era
bastante precário, especialmente nos primei-
ros séculos do período medieval.
No caso da matemática, por exemplo, apenas
alguns rudimentos da Aritmética e Geometria
eram estudados. Mas, a partir do século XII, o
saber clássico, especialmente o grego, já ha-
via sido resgatado substancialmente, e a se-
de de conhecimento, gerada em circunstân-
cias mais favoráveis, era muito grande. Isso
levou à fundação das primeiras universidades
– a primeira foi a de Bolonha, em 1088, com
uma faculdade de Direito.
Várias outras universidades foram fundadas
nas décadas seguintes, mas os cursos ofere-
cidos não passavam de quatro: Artes Liberais
(básico), Direito, Medicina e Teologia.
De modo geral, os primeiros mestres dessas
universidades escolheram Aristóteles como
guia científico infalível. Afinal, ele escrevera
sobre quase tudo de maneira bastante con-
vincente para os intelectuais da época, ainda
não habituados ao método experimental.
Mas a obra de Aristóteles não considerava
certos aspectos, o que acabou prejudicando
o desenvolvimento da ciência.
Aristóteles negava, por exemplo, a velocidade
instantânea, e isso se tornou um obstáculo à
representação matemática dos fenômenos
do movimento.
É claro que nem todos os intelectuais da épo-
ca aceitavam os ensinamentos de Aristóteles
cegamente. Entre os que se opunham a eles,
o mais eloqüente foi Roger Bacon (1214-
1292), um homem cuja vasta cultura o levava
a enfatizar a importância da matemática e do
método experimental para o desenvolvimento
da ciência. Ele previu, entre outros inventos, o
automóvel, o submarino e o avião. Contudo,
devido a interesses pessoais e à ignorância, a
visão científica de Aristóteles manteve-se pre-
ponderante até por volta do século XVII.
No fim da Idade Média, porém, verificou−se
certa efervescência positiva nas universida-
des européias representada, por exemplo,
pelas tentativas de transformar as idéias de
Aristóteles sobre movimento em resultados
quantitativos.
Um fruto dessa linha de investigação é a cha-
mada Lei da Velocidade Média, enunciada
pela primeira vez por William de Hentisbery,
do Merton College, de Oxford, no início do sé-
culo XIV. Em linguagem moderna, essa lei es-
tabelece que, ao fim de um intervalo de tem-
po t, a velocidade de um corpo que sai do
repouso em movimento uniformemente ace-
lerado, com aceleração a, é dada por v = at.
Paralelamente, outros intelectuais do Merton
College começaram a explorar a idéia de re-
presentar a velocidade, bem como outras
quantidades variáveis, por meio da Geometria.
O mais bem-sucedido nesse intento foi o fran-
cês Nicole Orêsme (1325−1382). Formado em
teologia pela universidade de Paris, Oresme
revelar-se-ia um intelectual versátil e profundo,
tendo sido considerado o maior matemático
do século XIV e o maior economista do perío-
do medieval. Antecipose a Copérnico no que
se refere à teoria do movimento da Terra, con-
trariando, assim, os ensinamentos de Aristó-
teles sobre essa questão.
Oresme expôs seu método para representar
geometricamente fenômenos de uma variável
numa obra publicada em 1350. Sua idéia con-
sistia em construir o que ele chamava de con-
figuração, ou seja, uma figura geométrica for-
mada de um eixo sobre o qual marcava va-
lores da variável, que ele chamava de longi-
tudes, e uma sucessão de segmentos cons-
truídos verticalmente sobre o eixo, cujas medi-
das eram chamadas de latitudes, para marcar
os valores correspondentes às longitudes.
A figura era construída respeitando-se a pro-
porcionalidade dos valores envolvidos. Como
se nota, as coordenadas atuais, abscissas e

23
ordenadas, têm como antecessores as latitudes
e as longitudes de Oresme.
Oresme estudou o caso em que a velocidade de
um corpo cresce uniformemente com o tempo a
partir de um valor AO. Numa situação como
essa, as latitudes correspondem aos instantes
de tempo, e as longitudes às velocidades.
A constatação a que chegou Oresme nesse
caso é que as extremidades das latitudes situ-
am-se sobre o segmento AB, em que B é a
longitude correspondente ao repouso. Isso
significa, em linguagem moderna, que o grá-
fico é uma linha reta.
Oresme chegou a sugerir a extensão de suas
idéias para a terceira dimensão. Nesse caso,
os gráficos seriam superfícies em vez de retas
ou curvas. O mais notável, entretanto, é que
ele foi além, insinuando a quarta dimensão,
possivelmente pela primeira vez na história da
matemática.
1. (ESAL−MG) Se f(x) = x2
+ 1, então f(f(x)) é
igual a:
a) x4
+ 2x2
+ 2
b) x4
+ 2
c) x4
+ 1
d) x + 1
e) 1
2. (INATEL−MG) Sendo f(x) = x2
+ 2x e
g(x) = 3x + 4 a função fog é:
a) 9x2
+ 20x + 24
b) x2
+ 30 x + 24
c) 9 x2
+ 30 x + 24
d) x2
+ 20 x + 24
e) n.d.a.
3. (FISS−MG) Se f(x) = 2x − 1, então f(f(x)) é igual a:
a) 4x − 3
b) 4x − 2
c) 4x2
+ 1
d) 4x2
− 1
e) 4x2
− 4x + 1
4. (FEI−SP) Se g(1 + x) = , então g(3) vale:
a) 0
b) 3
c) 1/2
d) 3/10
e) 2/5
5. (UNIFENAS) Sendo f(x) = então f(f(x)) vale
a) −1
b) 1
c)
d)
e) x
6. (UEL − PR)Dados os conjuntos A = {0; 1; 2},
B {1; 2; 3; 4} e C = {0; 1; 2; 3; 4} sejam as
funções f: A → B e g:B → C definidas por
f(x) = x + 1 e g(x) = 4 − x. Nessas condições,
a função gof é igual a:
a) {(0, 2) ; (1, 3) ; (2, 1)}
b) {(0, 1) ; (1, 2) ; (2, 3)}
c) {(0, 3) ; (1, 2) ; (2, 1)}
d) {(0, 3) ; (1, 1) ; (2, 2)}
e) {(0, 1) ; (1, 3) ; (2, 2)}
7. (CEFET−PR) Se f(g(x)) = 4 x2
− 8x + 6 e
g(x) = 2x − 1, então f(2) é igual a:
a) −2
b) −1
c) 3
d) 5
e) 6
8. (FGV−SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1
e g(x) = x2
− 1. Então, as raízes da equação
f(g(x)) = 0 são:
a) inteiras;
b) negativas;

c) racionais não inteira;
d) inversas uma da outra;
e) opostas.
9. (CESGRANRIO) Sejam A = {1, 2, 3} e f : A →
A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f (3) = 2. O
conjunto solução de f(f(x)) = 3 é:
a) {1}
b) {2}
c) {3}
d) {1, 2, 3}
e) ∅
10. (UFMG) Sejam A { 0, 1, 2, 3, 4 } e f : A → A uma
função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f( 4) =
1. Determine x ∈ A tal que (fofofof)(x) = 2 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24

UNIDADE III
Equações Exponenciais

27
TEMA 06
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Como surgiu a notação exponencial ?
A utilização de numerais indo-arábicos como
expoentes de uma base nem sempre foi tão
óbvia como nos dias de hoje.
Hoje, a idéia de se escrever xx = x² ou x.x.x =
x³ parece-nos óbvia, mas a utilização de
numerais indo-arábicos como expoentes de
uma de-terminada base, na forma utilizada
hoje, ocorreu somente por volta de 1637,
sendo atribuída ao grande matemático francês
René Descartes.
A história já nos mostrou, várias vezes, que
soluções brilhantes dependem de experimen-
tos, erros e acertos realizados por outros.
Nesse caso, não foi diferente; há registro da
utilização de potências aproximadamente em
1000 a.C., em algumas tabelas babilônicas.
Por volta de 1360, o bispo francês Nicole Ores-
me deixou manuscritos com notações utilizan-
do potências com expoentes racionais e irra-
cionais e regras sistematizadas para operar com
potências. Ainda na França, em 1484, o médi-
co Nicolas Chuquet utilizou potências com
expoente zero.
Além desses, outros matemáticos contribuíram
para o desenvolvimento da notação exponen-
cial, até que Descartes nos deixasse a notação
de potência utilizada hoje.
Um sistema de numeração posicional, na sua
escrita usual, ‘‘esconde” o que podemos
chamar de forma polinômica de um número.
No entanto é nela que ele se estrutura, levando
em conta a sua base de agrupamento e rea-
grupamentos.
Observamos que, no sistema indo-arábico,
cuja base é 10, 1989 ‘‘esconde” a expressão:
1 . 10³ + 9 . 10¹ + 9 . 10, assim como sua re-
presentação no sistema babilônico, de base
60, ‘‘esconde” a expressão 33 . 60¹ + 9 . 60.
TEMA 07
POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL
Sejam a um número real e n um número natu-
ral. A potência de base a e expoente n é o
número an tal que :
Dessa definição decorre que:
a1
= 1
a2
= a . a
a3
= a . a . a
De modo geral, para p natural e p ≥ 2, temos
que ap
é o produto de p fatores iguis a a.
Exemplos:
1) 25
= 2.2.2.2.2 = 32
2) 32
= 3.3.3 = 32
3) 52
= 5.5 = 25
4) 106
= 10.10.10.10.10.10 = 1000000
5) 43
= 4.4.4 = 64
PROPRIEDADES DA PÔTENCIA
Se a∈IR, b∈IR, m∈IN e n∈IR, então valem as
seguintes propriedades:
i) am
. an
= am+n
ii) am
: an
= am−n
iii) (am
)n
= am.n
iv) (a/b)m
= am
/bm
, onde b ≠ 0
v) a−m
= 1/am
, onde a ≠ 0
Matemática Elementar III – Equações exponenciais

TEMA 08
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Equações exponenciais são, simplesmente,
equações com incógnita no expoente.
Exemplos:
1) 3x
= 81 (a solução é x = 4)
2) 2x − 5
= 16 (a solução é x = 9)
3) 16x
− 42x − 1
− 10 = 22x − 1
(a solução é x = 1)
4) 32x − 1
− 3x
− 3x − 1
+ 1 = 0 (as soluções são
x’ = 0 e x’’ = 1)
Os dois métodos fundamentais utilizados na
resolução de equações exponenciais são:
• Método de redução a uma base comum.
• Método que utiliza o conceito e as pro-
priedades de logaritmos.
Trataremos aqui apenas do primeiro método.
Método de redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome diz, con-
siste no uso de técnicas que permitam, por
meio de transformações baseadas nas pro-
priedades de potências, reduzir ambos os
membros de uma equação a uma potência de
mes-ma base. É claro que o método só poderá
ser utilizado caso seja possível a redução.
Sendo assim, teremos que ab
= ac
⇔ b = c
(0 < a ≠ 1), ou seja, que potências iguais e de
mesma base têm expoentes iguais.
Resolva as equações.
1.
2. 8x2 − 1
= 4x + 1
⇒ (23
)x2 − x
= (22
)x + 1
⇒ 23(x2 − x)
= 22(x + 1)
⇒ 3(x2
− x) = 2(x + 1) ⇒ 3x2
− 3x = 2x + 2
⇒ 3x2
− 3x − 2x − 2 = 0 ⇒ 3x2
− 5x − 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, vem:
3. 3x − 1
− 3x
+ 3x + 1
+ 3x + 2
= 306
Colocando 3x − 1
em evidência, teremos
3x − 1
(1 − 3 + 32
+ 33
) = 306 ⇒
3x − 1
. 34 = 306 ⇒
⇒ 3x − 1
= 9 ⇒ 3x − 1
= 32
⇒
x − 1 = 2 ⇒ x = 3
4. 4x
− 20 . 2x
+ 64 = 0
⇒ (22
)x
− 20 . 2x
+ 64 = 0
⇒ (2x
)2
− 20 . 2x
+ 64 = 0
Fazendo y = 2x
obtemos:
Substituindo y1 e y2 na equação acima, temos
que:
x = 2 e x = 4
5. 4x
+ 2 . 14x
= 3 . 49x
Dividindo por 49x
, temos:
Fazendo , vem:
y2
+ 2y − 3 = 0 ⇒ y1 = 1 e y2 = −3 (não con-
vém. Por quê?)
= 1 ⇒ x = 0
S = {0}
28

29
6. 3x
= 81
Como 3x
= 81, podemos escrever 3x
= 34
⇒
x = 4.
7. 9x
= 1
9x
= 1 ⇒ 9x
= 90
⇒ x = 0.
8. 23x − 1
= 322x
23x − 1
= 322x
⇒ 23x − 1 = (25
)2x
⇒ 23x − 1
= 210x
⇒
3x − 1 = 10x ⇒ 7x − 1 ⇒ x =
9. Resolva a equação 32x
− 6 . 3x
− 27 = 0.
Vamos resolver esta equação por meio de uma
transformação:
32x
− 6 . 3x
− 27 = 0 ⇒ (3x
)2
− 6 . 3x
− 27 = 0
Fazendo 3x
= y, obtemos:
y2
− 6y − 27 = 0; aplicando Bhaskara, encon-
tramos y’= −3 e y’’ = 9
Para achar o x, devemos voltar os valores para
a equação auxiliar 3x
= y:
y’ = −3 ⇒ 3x’
= −3 ⇒ não existe x’, pois potên-
cia de base positiva é positiva
y’’ = 9 ⇒ 3x’’
= 9 ⇒ 3x’’
= 32
⇒ x’’=2
Portanto a solução é x = 2
10. 3x − 1
= 81
Vamos transformar a equação dada numa igual-
dade de porências de mesma base:
3x − 1
= 81 ⇒ 3x − 1
= 34
Igualando as expoentes, temos:
x − 1 = 4 ⇒ x = 5
Logo, a soloção x igual a 5.
1. Determinar os valores de x para os quais
2x
= 32.
2. Determinar os valores de x para os quais
2x
= 1.
3. Resolver a equação 27x
= 243.
4. Resolver a equação 625x
= 25.
5. Determinar o valor de x para o qual .
6. Determinar o valor de x para o qual
7. Qual é o conjunto-solução da equação expo-
nencial 5x + 2
= 125x
?
8. Determinar o conjunto-solução de 2x
= 5x
.
9. Qual é o conjunto-solução de 73x − 9
− 49 = 0?
10. Determinar o conjunto-solução da equação
4x
+ 3(2x + 1
) = 16.
22x
− 12 . 2x
= −32
12. Se é a raiz quadrada de 3, obter o conjun-
to-solução da equação ( )x + 1
= 243.
3x
. 7x
= (441)1/4
.
3x
− 34 − x
= 24
15. Determinar o conjunto-solução do sistema
com as duas equações exponenciais:
3x + y
= 81 e 3x − y
= 1
16. Determine o conjunto-solução do sistema de
equações:
32x + y
= 4 e 2x + y
17. Resolver o sistema de equações:
18. Determinar o conjunto-solução para a equação
5x
= 625.
19. Obter o conjunto-solução para a equação
.
20. Determinar o conjunto-solução para a equação
22x + 3
= 16.
21. Determinar as soluções para a equação
3x2 − 5x + 6
= 1.
22. Determinar todas as soluções para a equação
4x4 − 13x2 + 36
= 1.
3
3

30
HISTÓRIA E IDÉIAS DE APLICAÇÕES
Conta a lenda que um rei solicitou aos seus
súditos que lhe inventassem um novo jogo, a
fim de diminuir o seu tédio. O inventor do mel-
hor jogo teria direito a realizar qualquer dese-
jo. Um dos seus súditos inventou, então, o
jogo de xadrez.
O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se
obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou,
então, o inventor do jogo e disse que ele po-
deria pedir o que desejasse. O astuto inventor
pediu então que as 64 casas do tabuleiro do
jogo de xadrez fossem preenchidas com
moedas de ouro, seguindo a seguinte
condição: na primeira casa, seria colocada
uma moeda e em cada casa seguinte seria
colocado o dobro de moedas que havia na
casa anterior.
O Rei considerou o pedido fácil de ser aten-
dido e ordenou que providenciassem o
pagamento. Tal foi sua surpresa quando os
tesoureiros do reino lhe apresentaram a
suposta conta, o que corresponde a aproxi-
madamente 9 223 300 000 000 000 000 =
9,2233.1018
moedas de ouro. O rei estava
falido!
A lenda apresenta-nos uma aplicação de
funções exponenciais, especialmente da
função y = 2x
.
As funções exponenciais são aquelas que
crescem ou decrescem muito rapidamente.
Elas desempenham papéis fundamentais na
Matemática e nas ciências envolvidas com
ela, como Física, Química, Engenharia,
Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e
outras.
Um exemplo de aplicação da teoria das expo-
nenciais é encontrado no estudo de taxas de
juros e aplicações financeiras, em que elas
desempenham um importante papel.
23. (CESGRANRIO − RJ) Se 8x
= 32, então x é
igual a:
a) 5/2
b) 5/3
c) 3/5
d) 2/5
e) 4
24. (UEPG−PR) Se 8x − 9
= 16x/2
, então é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) n.d.a.
25. (PUC−SP) O valor de x que satisfaz a equação
33x − 1
. 92x+3
= 273 − x
é:
a) 1
b) 3
c) 5/2
d) 1/3
e) 2/5
26. (FUVEST−SP) Sendo x = (22
)3
, y = 223
e
z = 232
, calcule x . y . z :
a) 221
b) 210
c) 223
d) 24
e) 220
27. (VUNESP−SP) Se ,
então:
a) m = 0,1
b) m = (0,1)2
c) m = (0,1)3
d) m = (0,1)4
e) m = (0,1)5

31
28. (UFRN) Se 2x
= 2048, então, x vale :
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 19
29. (PUC−SP) Se , então os valores de x
são:
a) 1 e 3
b) 2 e 3
c) 1 e 2
d) 1 e 4
e) 2 e 4
30. (FCC−BA) A solução da equação
0,52x
= 0,251 − x
é um número x, tal que:
a) 0 < x < 1
b) 1 < x < 2
c) 2 < x < 3
d) x > 3
e) x < 0
31. (CEFET−PR) Se (73
)−x + 2
= , x1/2
valerá:
a)
b) −9
c) 49
d)
e) 1
32. (UEL−PR) Se 2x
= u e 3−x
= t, o valor da
expressão 12x
+ 18−x
é:
a)
b)
c)
d) u2
+ t2
e) u3
+ t3
33. (UFMG) A soma das raízes da equação
é:
a) 0
b) −1
c) 1
d) 7
e) 8
34. (UFPA) A raiz da equação
é um número:
a) irracional negativo;
b) irracional positivo;
c) par;
d) inteiro negativo;
e) inteiro positivo.
35. (PUC−RS) Se 3x
− 32 − x
= 23
, então 15 − x2
vale:
a) 16
b) 15
c) 14
d) 11
e) 6
36. (UFBA) O conjunto-solução da equação
2x
− 2−x
= 5 (1 − 2−x
) é:
a) {1; 4}
b) {1 ; 2}
c) {0; 1}
d) {0; 2}
e) ∅
37. (UEPG−PR) A soma das raízes da equação
32x
− 12 . 3x
+ 27 = 0 pertence ao intervalo:
a) [10, 12]
b) [0, 3]
c) [1, 2]
d) (10, 12)
e) (1, 3)
3

32
38. (UFPR) Se 2x
+ 2−x
= 3, então o valor de
8x
+ 8−x
é:
a) 12
b) 18
c) 21
d) 24
e) 27
39. (FUVEST−SP) Se 416
. 525
= x . 10n
, com 1 ≤ x <
10, então n é igual a:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28
40. (FGV−SP) A equação 4x
+ 6x
= 2.9x
tem como
solução o conjunto:
a) {1}
b) {2}
c) {3}
d) {0}
e) n.d.a.
41. (UECE) Se 7m
− 32n
= 1672 e − 3n
= 22,
então mn
é igual a:
a) 16
b) 64
c) 128
d) 256
e) n.d.a.
42. (PUC − MG) A expressão é igual a:
a) 2x
b) 2−x
c) 2−3
d) 7
e) 8
43. (UFCE) A soma das raízes da equação xf(x)
= 1,
em que f(x) = x2
− 7x + 12, é igual a:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
44. (CESGRANRIO−RJ) Os números inteiros x e y
satisfazem 2x + 1
+ 2x
= 3y + 2
− 3y
. Então, x é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

UNIDADE IV
Funções Exponenciais

35
TEMA 09
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de funções exponenciais aquelas
nas quais temos a variável aparecendo em
expoente.
Definição: A função f:IR → IR+
definida por
f(x)=ax
, com a IR+
e a1, é chamada função
exponencial de base a. O domínio dessa fun-
ção é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é
IR+
(reais, maiores que zero).
Observações e propriedades
A função exponencial é definida somente para
base a positiva, uma vez que se a é negativo,
teremos valores da imagem ax não pertencente
ao conjunto dos números reais. Por exemplo,
para a = −2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadra-
da de −2, que pertence ao conjunto dos nú-
meros complexos, contradizendo a definição
da função exponencial.
A base também tem de ser diferente de 1
porque para todo x real teríamos como ima-
gem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 eleva-
do a x é igual a 1 para qualquer que seja o x.
Em outras palavras, a imagem seria o conjunto
unitário {1}, o que também contradiz a defi-
nição. E a não pode ser zero, pois teríamos
uma indeterminação para x = 0.
A função obtida acima é denominada de fun-
ção constante, f(x) = c, x real, em que c = 1.
Qualquer que seja a função exponencial,
temos que: para x = 0 => f(0) = a0
= 1. Ou
seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função
para todo a no conjunto dos reais positivos
diferente de 1. Isto significa que o gráfico carte-
siano da função exponencial corta o eixo y no
ponto de ordenada 1.
Definição: Uma função f é dita crescente se
dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio,
então as imagens correspondentes obedecem
à relação f(x1) < f(x2).
Definição: Uma função f é dita descrescente
se x1 < x2 então f(x1) > f(x2).
No caso da função exponencial ela é cres-
cente se, e sómente se, a > 1. E descres-
cente se, e somente se, 0 < a < 1. A demons-
tração da propriedade não será feita aqui.
A função exponencial é injetora, pois para
todo par x1 e x2 ∈IR com x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Esta propriedade é decorrência direta da pro-
priedade acima.
Como a base a é maior que zero, temos que
ax
> 0 para todo x real. Daqui segue que o
conjunto-imagem da função exponencial é o
conjunto dos números reais positivos,sendo
assim temos que a função exponencial é
sobrejetiva. E portanto a função exponencial e
bijetiva, logo, admite inversa.
Sendo o conjunto imagem IR+
, conclui-se que
a curva representativa (gráfico) da função está
toda acima do eixo dos x.
Gráfico da Função Exponencial
A função exponencial f:IR → IR+
definida por
f(x)=ax
, com a∈IR+
e a ≠ 1 tem como represen-
tação gráfica as seguintes curvas:
Exponencial crescente: base a > 1
Exponencial decrescente: base 0 < a < 1
Matemática Elementar III – Funções exponenciais

36
TEMA 10
TEOREMAS
Principais Teoremas sobre as Funções
Exponenciais.
Teorema 1. Dados a e x pertencentes ao con-
junto dos reais, a > 1, então:
ax
> 1 ⇔ x > 0
Não será apresentada a demonstração que
depende de outros fatos não tratados aqui.
Teorema 2. Dados a, x1 e x2 pertencentes ao
conjunto dos reais, a > 1, então:
ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2
Demonstração:
Daqui, pelo teorema 1, temos:
x1 − x2 > 0 ⇔ x1 > x2
Teorema 3. Dados a e x pertencentes ao con-
junto dos reais, 0 < a < 1, então:
ax
> 1 ⇔ x < 0
Demonstração:
Como 0 < a < 1, então > 1
Pelo teorema 1, vem que:
Teorema 4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos
conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:
ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2
A demonstração deste teorema leitor fica a
cargo do leitor.
Exemplo:
A partir do gráfico da função f(x) = 2x
, e sendo
g(x)=2x
+ 2 e h(x) = 2−x
, descreva, grafica-
mente, o que ocorre com g = g(x) e h = h(x)
em relação a f = f(x).
Para refletir
1. Observe o gráfico das funções f(x) = 2x
,
f1(x) = 2x
+ 1, f2(x) = 2x
+ 2 e f3(x) = 2x
+3. O
que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a
f(x) = 2x
?
2. Sejam as funções f(x) = 2x
e g(x) = (1/2)x
ilustradas abaixo.
Em cada caso, escolha uma das opções apre-
sentadas.
a) Se a variável x é positiva e assume valores
crescentes muito grandes, a função f(x) =
2x
admite valores: muito próximo de zero ou
muito grandes.
b) Se a variável x é negativa e assume valores
absolutos crescentes muito grandes, a fun-
ção f(x) = 2x
admite valores: muito próximo
de zero ou muito grandes.
c) Se a variável x é positiva e assume valores
crescentes muito grandes, a função g(x) =
2−x
admite valores: muito próximo de zero
ou muito grandes.
d) Se a variável x é negativa e assume valores
absolutos crescentes muito grandes, a fun-
ção g(x) = 2−x
admite valores: muito próxi-
mo de zero ou muito grandes.

TEMA 11
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de inequações exponenciais toda
inequação em que a incógnita aparece em
expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
1) 3x
> 81 (a solução é x > 4).
2) 22x − 2
≤ 2x2 − 1
(que é satisfeita para todo x
real).
3) (que é satisfeita para x ≤ −3).
4) 25x
− 150 . 5x
+ 3125 < 0 (que é satisfeita
para todo x real).
Resolvendo Inequações
Para resolver inequações exponenciais, deve-
mos realizar dois passos importantes:
1.o
redução dos dois membros da inequação a
potências de mesma base;
2.o
aplicação da propriedade:
a > 1
am
> an
⇒ m > n(am
≥ an
⇒ m ≥ n)
(as desigualdades têm mesmo sentido).
0 < a < 1
am
> an
m < n(am
≥ an
⇒ m ≤ n)
(as desigualdades têm sentidos diferentes).
1. 4x − 1
+ 4x
− 4x + 1
>
Resolução:
A inequação pode ser escrita assim:
Multiplicando ambos os lados por 4, temos:
4x
+ 4 . 4x
− 16 . 4x
> −11, ou seja:
(1 + 4 − 16) . 4x
> −11 ⇒ −11 . 4x
> −11 e daí,
4x
< 1.
Porém 4x
< 1 ⇒ 4x
< 40
.
Como a base (4) é maior que 1, obtemos:
4x
< 40
⇒ x < 0.
Portanto S = IR−
(reais negativos).
2. Determinar o conjunto solução para a
desigualdade 25x − 7
> 8.
Resolução:
A inequação 25x − 7
> 8 pode ser escrita como
25x − 7
> 23
⇒ 5x − 7 > 3 ⇒ 5x > 10
Portanto temos S = {x∈IR| x > 2}.
1. (UFCE) Se f(x) = 161+1/x
, então f(−1) + f(−2) +
f(−4) é igual a:
a) 11;
b) 13;
c) 15;
d) 17;
e) n.d.a.
2. (UFMG) Se , então
f(0) − f (3/2) é igual a:
a) 5/2;
b) 5/3;
c) 1/3;
d) −1/2;
e) −2/3.
3. (PUC−SP) Se y = 10x
é um número entre 1000
e 100 000, então x está entre:
a) −1 e 0;
b) 2 e 3;
c) 3 e 5;
d) 5 e 10;
e) 10 e 100.
37
Matemática Elementar III – Funções exponenciais

38
4. (PUC−MG) Seja a função f(x) = ax
. É correto
afirmar que :
a) ela é crescente se x > 0;
b) ela é crescente se a > 0;
c) ela é crescente se a > 1;
d) ela é decrescente se a ≠ 1;
e) ela é decrescente se 0 < x < 1.
5. (FGV−SP) Assinale a afirmação correta:
a) (0,57)2
> (0,57)3
b) (0,57)7
< (0,57)8
c) (0,57)4
> (0,57)3
d) (0,57)0,57
> (0,57)0,50
e) (0,57)−2
< 1
6. (UEL − PR) Os números reais x são soluções
da inequações 251 − x
< 1/5 se, e somente se:
a) x > −3/2;
b) x > 3/2;
c) −3/2 < x < 3/2;
d) x < 3/2;
e) x < −3/2.
7. (PUC−RS) Seja a função f: IR → IR definida por
f(x) = 2x
. Então, f(a+1) − f (a) é igual a:
a) 2;
b) 1;
c) f(a);
d) f(1);
e) 2 f(a).
8. (PUC−MG) Os valores de a IR que tornam a
função exponencial f(x) = (a − 3)x
decrescente
são:
a) 0 < a < 3;
b) 3 < a < 4;
c) a < 3 e a ≠ 0;
d) a > 3 e a ≠ 4;
e) a < 3.
9. (FATEC−SP) Seja f IR → IR onde f(x)=2x/2
. O
conjunto de valores de x para os quais f(x) <
1/8 é:
a) (3, 8);
b) (∞, −1/3 );
c) (∞, −6);
d) (−1/3, 0);
e) IR − { 0, 8 }.
10. (PUC−MG) Se f(x) = 4x + 1
e g(x) = 4x
, a solução
da inequação f(x) > g(2 − x) é:
a) x > 0;
b) x > 0,5;
c) x > 1;
d) x > 1,5;
e) x > 2
11. (FGV−SP) A solução da inequação
é:
a) x ≤ 0
b) −5 ≤ x ≤ 0
c) 0 ≤ x
d) x ≤ −5 ou 0 ≤ x
e) n.d.a.
12. (MACK−SP) Assinale a única afirmação corre-
ta:
a) 0,212
> 0,213
b) 0,210,21
> 0,210,20
c) 0,217
< 0,218
d) 0,214
> 0,213
e) 0,21−2
< 1

UNIDADE V
Funções Logarítmicas

41
TEMA 12
INTRODUÇÃO
A Matemática, por ser uma ciência de base,
apresenta inúmeras aplicações em outros cam-
pos de estudo e em outras ciências. Qualquer
que seja o ramo do conhecimento humano ao
qual direcionemos nossas habilidades, iremos
defrontar-nos, cedo ou tarde, com a Matemá-
tica e os seus “mistérios”. Os logaritmos são
bons exemplos desta aplicabilidade da Mate-
mática. Eles surgiram a partir da necessidade
humana de resolver problemas com números
muito grandes, como os que temos ao estudar
astronomia, ou números muito pequenos,
como os que aparecem no estudo das molé-
culas. A fim de facilitar operações de multipli-
cação e divisão entre os números, foram de-
senvolvidas as teorias sobre logaritmos. Neste
desenvolvimento, merece destaque o mate-
mático Jonh Napier (1550−1617), que, após
vinte anos de trabalho, publicou as obras
Descrição das normas dos logaritmos maravi-
lhosos e Cálculo das normas dos logaritmos
maravilhosos.
Na atualidade, com o advento das calculado-
ras e dos computadores, os logaritmos perder-
am muito da sua utilidade inicial. No entanto
muitas aplicações foram desenvolvidas com
base na teoria dos logaritmos. Entre elas, po-
demos destacar o cálculo do nível de intensi-
dade sonora, a escala Richter, para avaliar a
intensidade de terremotos, e os cálculos de ph
e poh na Química.
O princípio dos logaritmos baseia-se no fato de
algumas operações serem mais acessíveis do
que outras. Desse modo, com a utilização dos
logaritmos, podemos transformar multiplica-
ções em somas, divisões em subtrações e
potências em multiplicações.
TEMA 13
LOGARITMO
Definição
Chamamos de logaritmo de a, na base b, ao
número real c, com a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1 , ou seja,
logb a = c.
Onde:
a = logaritmando;
b = base;
c = logaritmo.
Uma observação importante sobre o estudo
dos logaritmos diz respeito ao seu domínio ou
campo de existência. Só existem logaritmos de
números positivos, com bases também positi-
vas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular o
logb a = c é necessário que a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1.
Sendo assim, dizemos que logba = c ⇒ a = bc
Exemplos
1. Determine log6 36
Resolução:
Faça
log6 36 = x ⇒ 6x
= 36 ⇒ 62
= 6x
⇒ x = 2
2. O domínio da função f(x) = log3 (x − 5) é
restrito pela sua condição de existência. A
base 3 já é positiva e diferente de 1, deve-
mos então ver a restrição imposta ao loga-
ritmando, ou seja:
x – 5 > 0 –> x > 5, assim: D = {x IR| x > 5}
3. Determine log2 4
Resolução:
Faça
log2 4 = x ⇒ 4 = 2x
⇒ 22
= 2x
⇒ x = 2
4. Determine log3 90
Resolução:
Faça
log3 9 = x ⇒ 9 = 3x
⇒ 32
= 3x
⇒ x = 2
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

42
5) Calcular x na igualdade log5 (x –1) = log5 7
Resolução:
CE: x –1 > 0 ⇒ x > 1
Como as bases são iguais, os logaritman-
dos devem ser iguais; logo:
log5 (x – 1) = log5 7 ⇒ x – 1 = 7 ⇒ x = 8
Resposta: x = 8
ALGUNS LOGARITMOS ESPECIAIS:
1. O logaritmo da unidade, em qualquer base,
é nulo, ou seja, loga 1 = 0.
2. O logaritmo de um valor, na mesma base, é
sempre igual a 1, ou seja, loga a = 1.
3. O logaritmo de uma potência, cuja base
seja igual à base do logaritmo, será igual ao
expoente da potência.
loga an
= n.
4. Se loga n = loga m ⇒ n = m. Esta pro-
priedade é muito utilizada na solução de
exercícios envolvendo equações nas quais
aparecem logaritmos (equações logarítmi-
cas).
5. b elevado ao logaritmo m na base b é igual
a m, ou seja, blogb m
= m.
TEMA 14
BASES ESPECIAIS
Entre as bases de logaritmos, duas destacam-
se, tanto pela sua aplicabilidade prática quan-
to pela sua importância no trato com logarit-
mos. Estas duas bases são a base dez e a
base e.
Quando um logaritmo apresenta a base dez,
dizemos que se trata de um logaritmo decimal.
A base dez, por convenção, não precisa ser
escrita.
Exemplos:
a) log10 8 = log 8.
b) log10 5 = log 5.
O número e, é conhecido como número de
Euler e vale aproximadamente 2,718...
Quando um logaritmo possui base e, ele é
chamado de logaritmo neperiano, e represen-
tado por ln. Desse modo:
loge b = ln b.

43
TEMA 15
MUDANÇA DE BASE
Em algumas situações, podemos encontrar no
cálculo vários logaritmos em bases diferentes.
Como as propriedades logarítmicas só valem
para logaritmos numa mesma base, é neces-
sário fazer, antes, a conversão dos logaritmos
de bases diferentes para uma única base con-
veniente. Essa conversão chama-se mudança
de base. Para fazer a mudança de uma base a
para uma outra base b,usa−se:
onde a, b, x ∈IR*
+ com a ≠ 1, b ≠ 1.
Exemplo:
Se log2 x = a e log2 z = b, com a ≠ 0, então o
valor do logx z é?
Resolução:
Como log2 x = a e log2 z = b estão na base 2,
vamos passar logx z para a base 2. Sendo
assim, temos:
TEMA 16
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Foi dito, no início deste texto, que os logarit-
mos permitem transformar multiplicações em
somas e subtrações em divisões, entre outras
alterações que visam facilitar o trato dos
números.
Essas transformações são possíveis com a uti-
lização das propriedades dos logaritmos, as
quais veremos a seguir.
1. Logaritmo do produto:
(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y>0)
Loga (x . y) = loga x + loga y
2. Logaritmo do quociente:
(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0)
3. Logaritmo da potência:
(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e m ∈ IR)
Loga xm
= m . loga x
Caso particular:
Exemplos:
1. Calcular o valor de log3 (9 . 27)
Resolução:
Aplicando a propriedade do logaritmo do
produto, temos:
log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 = log3 32
+
log3 33
= 2 + 3 = 5
Resposta: 5.
2. Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular:
a) log 24
b) log 72
Resolução:
a) log 24 = log (23
. 3) = log 23
+ log 3 =
3 log 2 + log 3 = 3x + y
b) log 72 = log 9.8 = log 9 + log 8 =
log 32
+ log 23
= 2 log 3 + 3 . log 2 =
2y + 3x
Respostas: a) 3x + y
b) 2y + 3x

44
3. Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular
log2 6
Resolução:
Como log 2 e log 3 estão na base 10, va-
mos passar log2 6 para a base 10:
Resposta:
4. Resolva o sistema:
Resolução:
Condições de existência: x > 0 e y > 0
Da primeira equação, temos:
log x + log y = 7 ⇒ log y = 7 − log x
Substituindo log y na segunda equação,
temos:
3.log x − 2.(7 − log x) = 1 ⇒ 3.log x −14 +
2.log x = 1 ⇒ 5.log x = 15 ⇒ log x = 3
⇒ x = 103
Substituindo x = 103
em log y = 7 − log x
temos:
log y = 7 − log 103
⇒ log y = 7 − 3 ⇒
log y = 4 ⇒ y=104
.
Como essas raízes satisfazem as condições
de existência, então o conjunto-solução é
S ={(103
; 104
)}.
Outra forma de resolução:
log x = 3 ⇒ x = 103
substituindo log x = 3 e, log x + log y = 7,
temos que 3 + log y = 7 ⇒ log y = 4 ⇒
y=104
TEMA 17
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função f:IR+
→ IR definida por f(x)=logax,
onde a ∈IR com a ≠ 1 e a > 0, é chamada
função logarítmica de base a. O domínio dessa
função é o conjunto IR+
(reais positivos, maio-
res que zero), e o contradomínio é IR (reais).
Construindo Gráfico
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
Temos 2 casos a considerar:
• quando a > 1;
• quando 0 < a < 1.
Caso 1: a > 1
ƒ é crescente, pois, para quaisquer
x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2).
Caso 2: 0 < a < 1
ƒ é decrescente, pois, para quaisquer
x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2).

45
Exemplos:
1. Esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x) = log2 x
f(x) = log1/2 x
Nos dois exemplos, podemos observar que
a) O gráfico nunca intercepta o eixo vertical.
b) O gráfico corta o eixo horizontal no ponto
(1, 0); a raiz da função é x=1.
c) y assume todos os valores reais, portanto o
conjunto-imagem é Im(f)=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a > 1
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2 > x1 ⇒ y2 > y1 (as desigualdades têm o
mesmo sentido).
0 < a< 1
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2 > x1 ⇒ y2 < y1
(as desigualdades têm sentidos diferentes).
Como conseqüência da definição de função lo-
garítimica e da análise dos gráficos, podemos
concluir que:
• O gráfico da função logarítmica passa pelo
ponto (1,0), ou seja f(1) = 0.
• O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa
pontos dos quadrantes II e III.
• Quando a > 1, a função logarítmica é cres-
cente.
• Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é
decrescente.
• Se a > 1, os números reais maiores que 1
têm logaritmo positivo, e os números reais
comprieendidos entre 0 e 1 têm logaritmo
negativo.
• Se 0 < a < 1, os números reais maiores
que 1 têm logaritmo negativo, e os números
reais compreendidos entre 0 e 1 têm loga-
ritmo positivo.
• A função logarítmica é injetiva e sobrejetiva;
sendo assim, temos que ela é bijetiva.
Relação importante entre a função
exponencial e a função logarítmica
Seja f:IR → IR+
definida por f(x) = ax
, onde
a∈IR com a1 e a > 0, a função exponencial de
base a e seja g:IR+
→ IR definida por g(x) =
logax, onde a∈IR com a1 e a > 0, a função
logarítmica de base a.
Sendo o contra-domínio da função exponen-
cial igual ao domínio da função logarítmica,
então a função composta g o f = idIR.

De fato temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g(ax
) =
loga ax
= x
Portanto g o f = idIR.
Sendo o contradomínio da função logarítmica
igual ao domínio da função exponencial, então
a função composta f o g = idIR+.
De fato, temos que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(loga x)
= aloga x
= x
Portanto f o g = idIR+.
Donde se conclui que a função exponencial é
a função inversa da função logarítmica, e vice-
versa.
LOGARITMOS – INTRODUÇÃO
1. (MACK–SP) Se log3 1/27 = x, então o valor de
x é:
a) −9; b) −3;
c) −1/3; d) 1/3;
e) 3.
2. (UDESCO–SC) Na base decimal, log 1000, log
10 e log 0,01 valem respectivamente:
a) 2, 1 e −3 b) 1, 0 e −2
c) 3, 1 e −2 d) 4, −2 e −3
e) 3, 0 e −2
3. (UFPA) A expressão mais simples para alog
ax é:
a) a b) x (x > 0)
c) logax d) logxa
e) ax
4. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então
x vale:
a) 5; b) 4;
c) 3; d) 7/3;
e) 5/2.
5. (FV–RJ) O valor de log9 27 é igual a:
a) 2/3; b) 3/2;
c) 2; d) 3.
e) 4.
6. (PUC–SP) Se , então x + y é igual a:
a) 5/3;; b) 10/9;
c) 8/9; d) 2/3;
e) 5/9.
7. (UPF–RS) O valor numérico real da expressão
é:
a) −5; b) 4;
c) 5; d) 8;
e) impossível.
8. (ULBRA) Se log16 N = −1/2, o valor de 4N é:
a) 1; b) 4;
c) 1/4; d) 16;
e) 1/16.
9. (FEMPAR–PR) Se 2x − y = 1 e x − 3y = −7, log4
(xy
+8y) é igual a:
a) 0,5; b) 2,5;
c) 2,0; d) 1,5;
e) 1,0.
10. (UNESP–SP) Em que base o logaritmo de um
número natural n, n > 1 coincide com o pró-
prio número n?
a) nn
b) 1/n
c) n2
d) n
e) n1/n
11. (UFSM–RS) Seja K a solução da equação log4
( log2 x ) = −1. O valor de k4
é:
a) 1/8; b) 1/2;
c) 1; d) 4;
e) 2.
46

47
12. (UEBA) O número real x, tal que
logx (9/4) = 1/2 é:
a) 81/16; b) −3/2;
c) 1/2; d) 3/2;
e) −81/16.
13. (UFMG) Seja loga 8 = − 3/4, a > 0. O valor da
base a é:
a) 1/16 b) 1/8
c) 2 d) 10
e) 16
14. (PUC−PR) O logaritmo de na base 1/625 é
igual a:
a) 7; b) 5;
c) 1/7; d) −1/28;
e) n.d.a.
15. (UERJ) O valor de 4log29
é:
a) 81; b) 64;
c) 48; d) 36;
e) 9.
16. (PUC−SP) Se x + y = 20 e x − y = 5, então log
(x2
− y2
) é igual a:
a) 100; b) 2;
c) 25; d) 12,5;
e) 15.
17. (UEPG−PR) A solução da equação log2 0,5 +
log2 x − log2 = 2 está contida no intervalo:
a) [10, 12]; b) [5, 7];
c) [2, 4]; d) [0, 1];
e) [8, 9].
18. (UFRN) Se a equação x2
+ 8x + 2 log a = 0
possui duas raízes reais e iguais, então, a é
igual a:
a) 10 b) 102
c) 104
d) 106
e) 108
19. (UECE) Se , então 5k
+ 5−k
é
igual a:
a) 6; b) 8;
c) 12; d) 16;
e) 18.
20. (FATEC–SP) Se x, y IR são tais que e
logy−1 4 = 2, então x + y é:
a) 0; b) −1;
c) −2; d) 1 ou −4;
e) −6 ou –2.
LOGARITMOS − PROPRIEDADES
1. (UEPG−PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47,
então log 60 vale:
a) 1,77; b) 1,41;
c) 1,041; d) 2,141;
e) 0,141.
2. (FURG−RS) Sendo log x = a e log y = b, então
log é igual a:
a) a + b/2
b) b/2a
c) − a
d)
e) /a
3. (UFRJ) Considerando que log 2 = 0,3010300,
log 125 é:
a) 376,29000; b) 188,15000;
c) 1,9030900; d) 2,9818000;
e) 3,0969100.
4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845,
qual será o valor de log 28?
a) 1,146; b) 1,447;
c) 1,690; d) 2,107;
e) 1,107.

48
5. (PUC−SP) Se log 2 = 0,3010, então log 5 é
igual a:
a) 0,6990; b) 0,6880;
c) 0,6500; d) 0,6770;
e) 0,6440.
6. (FUVEST−SP) Se log2 b − log2 a = 5, então o
quociente b/a vale:
a) 10 b) 25
c) 32 d) 64
e) 128
7. (FURG–RS) Qual é o valor de m na expressão
, sendo log a = 2,16172, log b = 0,15172
e log t = 0,10448.
a) m = 100; b) m = 10;
c) m = −20; d) m = − 10;
e) m = 1000.
8. (FAAP−SP) Sabendo-se que log2 y = log2 3 +
log2 6 − 3log2 4, o valor de y real é:
a) −3; b) 9/8;
c) 3/2; d) 9/32;
e) 9/16.
9. (ACAFE−SC) Dado o sistema
temos x + y igual a:
a) −2; b) 1;
c) 2; d) 3;
e) 4.
10. (UM–SP) Sendo log3 ( −2) = a, então o valor
de log3 ( + 2 ) é igual a:
a) 2 − a; b) 2 + a;
c) 1 − a; d) 1 + a;
e) 3 − a.
11. (FUVEST–SP) Sendo loga 2 = 0,69 e loga 3 =
1,10, o valor de loga é:
a) 0,62; b) 0,31;
c) −0,48; d) 0,15;
e) 0,14.
12. (FCMSC–SP) Usando a tabela, o valor de log
75 é:
a) 1,147; b) 1,3011;
c) 1,5564; d) 1,6818;
e) 1,8752.
13. (PUC–SP) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47,
então log é igual a:
a) 0,12; b) 0,22;
c) 0,32; d) 0,42;
e) 0,52.
14. (UFCE) Utilizando-se a tabela abaixo, conclui-
se que o valor de log é:
a) 0,3 b) 1,26
c) 1,58 d) 1,99
e) 2,51
15. (UFBA) Sendo log 2 = 0,301 e x = 53
.
, então o valor de log x é:
a) 2,997; b) 3,898;
c) 3,633; d) 4,398;
e) 5,097.
16. (PUCCAMP–SP) Se log 5 = 3n, log 3 = m e
, então x vale:
a) m + n
b)
c)
d)
e) 3n + m
N log N
1,26 0,1
1,58 0,2
1,99 0,3
2,51 0,4
3,16 0,5
x log x
2 0,3010
6 0,7782

49
17. (UFRS) O valor de log (217,2) − log (21,72) é:
a) −1;
b) 0;
c) log(217,2 − 21,72);
d) .
18. (FMU-SP) O valor de 3 . log 3 + log 5 é:
a) log 30; b) log 135;
c) log 14; d) log 24;
e) log 45.
19. (UEL–PR) Dado log 4 = 0, 602, o valor de log
325
é:
a) 15,050; b) 13,725;
c) 11,050; d) 9,675;
e) 7,525.
20. (FCC–SP) Se log 5 = 0,70, o valor de log 250 é:
a) 2,40; b) 2,70;
c) 2,80; d) 3,40;
e) 3,80 X.
21. (FATEC–SP) Se log 2 = r e log 3 = s, então log
(23
. 34
. 52
) é igual a:
a) r − 2s
b) r3
+ s4
c) 3r + 4s − 2
d) 2 + r + 4s
e) r3
+ s4
+ 2 (r + s)
22. (PUC–SP) Se log 2 = x e log 3 = y, então log
375 é:
a) y + 3x b) y + 5x
c) y − x + 3 d) y − 3x + 3
e) 3(y + x)
23. (UEL–PR) Dados os números reais x e y tais
que log x − log y = 4, é verdade que:
a) x = 104
. y b) x = 4y
c) x = d) x2
= y
e) x = 104 + y
24. (UEPG–PR) A expressão log1/381 + log 0,001 +
log vale:
a) −4/3; b) 4/3;
c) −20/3; d) −21/3;
e) −19/3.
25. (PUC–BA) A expressão log 2/3 + log 3/4 + log
4/5 − log 14/55 é equivalente a:
a) log 77; b) log 18;
c) log 7; d) log 4;
e) log (11/7).
LOGARITMOS – EQUAÇÕES
1. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então
x vale:
a) 5; b) 4;
c) 3; d) 7/3;
e) 5/2.
2. (FGV–SP) A equação logx (2x +3) = 2 apre-
senta o seguinte conjunto-solução:
a) {−1, 3}; b) {−1};
c) {3}; d) {1, 3};
e) n.d.a.
3. (UEL–PR) É correto afirmar que no universo IR
o conjunto solução da equação log3 (−x2
−10x)
= 2:
a) é ∅;
b) é unitário;
c) tem dois elementos irracionais;
d) tem dois elementos inteiros;
e) tem dois elementos racionais e não inteiros.
4. (ESAL–MG) O valor de x tal que log648 = x é:
a) 2; b) 3;
c) 2/3; d) 1/2;
e) 3/2.

5. (PUC–SP) Quanto à solução da equação
(logx)2
− 3. log x + 2 = 0, é verdade que:
a) só uma delas é real;
b) a maior delas é 1000;
c) a menor delas é 100;
d) a menor delas é 10;
e) a maior delas é 1.
6. (UEPG–PR) Sendo (log2 x)2
− 3 log2 x − 4 = 0,
então o produto entre as raízes da equação
vale:
a) −8; b) 16;
c) −1/4; d) 4;
e) 8.
7. (CONSART–SP) A solução da equação
log8x + log8 (3x−2) = 1 é dada por:
a) −4/3; b) 1/2;
c) −2; d) 2;
e) n.d.a.
8. (PUC–SP) O conjunto verdade da equação
2. log x = log 4 + log (x + 3) é:
a) {−2, 6}; b) {−2};
c) {2, −6}; d) ∅;
e) {6}.
9. (CEFET–PR) A soma das raízes da equação
log2
x − logx4
= 0 é:
a) 1000; b) 1001;
c) 101; d) 10001;
e) 11.
10. (UFSC) Indica-se por log x o logaritmo decimal
do número x. Se 4 + log x = 4 . log 4, então x
é igual a:
a) 16; b) 2,56;
c) 0,4; d) 0,256;
e) 0,0256.
11. (UNIMEP–SP) O logaritmo na base 2, do nú-
mero x2
− x é igual a 1. O valor de x que satis-
faz a sentença é:
a) 2 ou −1; b) −1 ou 0;
c) 1; d) 0;
e) 3.
12. (PUC–SP) Aumentando um número x de 16
unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de
2 unidades. Então x é:
a) 2; b) 1;
c) 3; d) 4;
e) 5.
13. (UEBA) No universo IR, a solução da equação
log2 x + log2 (x +1) = 1 é um número:
a) ímpar;
b) entre 0 e 1;
c) maior que 3;
d) múltiplo de 3;
e) divisível por 5.
14. (UECE) O conjunto solução da equação
log2 4x − log4 2 = 0 é:
a) { /4}; b) { /2};
c) { }; d) {2 };
e) n.d.a.
15. (CEFET–PR) Se
então b2
é igual a:
a) 1; b) 4;
c) 8; d) 3;
e) 9.
16. (UEPG–PR) Se log2 x + log8 x = 1, então x vale:
a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) n.d.a.
17. (MACK–SP) Se loga (a2
. x) = 1, a > 0, a 1,
então o valor de x é:
a) a b) 1/a
c) a2
d) 1/a2
e)
50

51
18. (FGV–SP) A solução da equação é:
a) x= log2 (12/5)
b) x = log2 (5/12)
c) x = log5/12 2
d) x = log12/5 2
e) x = log12 5
19. (CEFETR–PR) Se log2 x − log4 x = −1/2, então
xx
é igual a:
a) 1/4; b) 4;
c) ; d) 1/2;
e) .
20. (PUC–PR) A solução da equação
, em módulo, é:
a) 2; b) −2;
c) 4; d) 0;
e) 6.
21. (FUVEST−SP) O conjunto solução da equação
x . (log5 3x
+ log5 21) + log5 (3/7)x
= 0 é:
a) ∅; b) {0};
b) {1}; d) {0, 2};
e) {0, −2}.
LOGARITMOS – INEQUAÇÕES
1. (PUC–MG) A desigualdade log2 (5x − 3) < log27
é verdadeira para:
a) x > 0; b) x > 2;
c) x < 3/5; d) 3/5 < x < 2;
e) 0 < x < 3/5.
2. (UFPA) Qual o valor de x na inequação
log1/2 x > log1/2 2?
a) x > 1/2; b) x < 1/2;
c) x > 2; d) x < 2 e x > 0;
e) x = 2.
3. (PUC–RS) Se log1/3 (5x − 2) > 0, então x per-
tence ao intervalo:
a) (0, 1); b) (0, 1);
c) (2/5, 3/5); d) (2/5, ∞);
e) (4, 3/5).
4. (FGV–SP) A solução da inequação
log1/3(x2
− 9) > 0 é:
a) x < − 3 ou x > 3;
b) −2 < x < 2;
c) −2 < x < 2;
d) −2 < x < −1 ou 0< x < 2;
e) x < −2 ou x > 2.
5. (UECE) O domínio da função real log2x x é:
a) x < −1 ou x > 1;
b) 0 < x ≠ 1;
c) 1 < x;
d) −3x < −1;
e) n.d.a.
6. (VUNESP–SP) O par ordenado de números
reais que não corresponde a um ponto do grá-
fico de y = log x é:
a) (9, 2 log 3);
b) (1, 0);
c) (1/2, − log 2);
d) (1/8, − 3log 2);
e) (−32, −2log 5).
7. (PUC–MG) O domínio da função
f(x) = log5 (−x2
+ 3x + 10) é:
a) IR*
b) IR*
c) x −2 e x 5 d) x < −2 ou x > 5
e) −2 < x < 5 X
8. (PUC–SP) O domínio da função log (x + 3) é o
conjunto solução:
a) x > −3; b) x >6;
c) 3 < x < 6; d) 3 x < 6;
e) 3 x 6.

9. (CESCEA–SP) O domínio de definição da fun-
ção log(x2
+ 2) é:
a) x < −3 ou x > 8;
b) −1 < x < 1;
c) x −2 ou x 5;
d) −2 x < −1 ou 1 < x 5;
e) IR.
10. (PUC–SP) Se y = logx−2(x2
− 4x), para que y
exista devemos ter x:
a) igual a 4;
b) menor que 4;
c) maior que 4;
d) igual a 2;
e) nada disso.
LOGARITMOS – MUDANÇA DE BASE
1. Se logba = c, então loga b é igual a:
a) −c; b) 2c;
c) 1/c; d) 2/c;
e) −2c.
2. Sendo log3 2 = x, então log9 4 é igual a:
a) x; b) −x;
c) 2x; d) x2
;
e) x−2
.
3. (UEL–PR) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o
valor de log2 3 é:
a) 1,6 b) 0,8
c) 0,625 d) 0,5
e) 0,275
4. (CEFET–PR) Sabendo que log 2 = 0,3010, o
valor de log100 4 é:
a) 0,3010; b) 0,6020;
c) 0,1505; d) 0,4515;
e) 0,7525.
5. (UEPG–PR) Sendo log 7 = b, então log100 343
é igual a:
a) 3b; b) 2b;
c) b; d) 2b/3;
e) 3b/2.
6. (MACK–SP) Se x = log27169 e y = log313,
então:
a) x = 2y/3; b) x=3y/2;
c) x=3y; d) x=y/3;
e) n.d.a.
7. (PUC–SP) Se log8 x = m e x > 0, então log4 x é
igual a:
a) m/2; b) 3m/4;
c) 3m/2; d) 3m.
8. (VUNESP–SP) Se x = log8 25 e y = log2 5, então:
a) x = y; b) 2x = y;
c) 3x = 2y; d) x = 2y;
e) 2x = 3y.
9. (FUVEST–SP) Se x = log4 7 e y = log16 49,
então x − y é:
a) log4 7; b) log16 7;
c) 1; d) 2;
e) 0.
10. (PUC–SP) Se log 2 = 0,301, o valor de log100
1280 é:
a) 1,0535; b) 1,107;
c) 1,3535; d) 1,5535;
e) 2,107.
11. (CESCEM–SP) O logaritmo de um número na
base 16 é 2/3. Então, o logaritmo desse nú-
mero na base 1/4 é:
a) −4/3 X; b) −3/4;
c) 3/8; d) 3;
e) 6.
52

UNIDADE VI
Equações e inequações modulares

55
TEMA 18
MÓDULO DE UM NÚMERO
O módulo (ou valor absoluto) de um número
real x, que se indica por |x|, é definido da se-
guinte maneira:
Geometricamente, o módulo de um número re-
al x, na reta real, é igual à distância do ponto
que representa o número x ao ponto de origem,
independente de suas posições relativas.
Então:
• Se x é positivo ou zero, |x| é igual ao pró-
prio x.
Exemplo:
|2| = 2; ; |37| = 37
• Se x é negativo, |x| é igual a −x.
Exemplo:
|−7| = −(−7) = 7;
Propriedades envolvendo módulo
Admitiremos, sem demonstrar, algumas pro-
priedades dos módulos:
1. Para todo x ∈ IR, temos |x| ≥ 0 e |x| = 0
⇔ x = 0
2. Para todo x ∈ IR, temos |x| = |−x|
3. Para todo x ∈ IR, temos |x2
| = |−x2
| = x2
4. Para todo x e y ∈ IR, temos |x.y| = |x|.|y|
5. Para todo x e y∈ IR, temos |x+y||≤|x|+|y|
6. Para todo x e y ∈ IR, temos ||x|−|y| ≤ |x − y|
TEMA 19
EQUAÇÕES MODULARES
Toda equação que contiver a incógnita em um
módulo num dos membros será chamada
equação modular.
Exemplos:
a) |x2 − 5x| = 1
b) |x + 8| = |x2 − 3|
Observe que:
Se |f(x)| = r com r ≥ 0, teremos f(x) = r ou
f(x) = −r
Se |f(x)| = |g(x)|, teremos f(x) = g(x) ou f(x) =
− g(x)
1. Resolver a equação |3x − 1| = 2.
Resolução:
Temos que analisar dois casos:
Caso 1: 3x − 1 = 2
Caso 2: 3x − 1 = −2
Resolvendo o caso 1:
3x − 1 = 2
3x = 2 + 1
x = 1
3x − 1 = −2
3x = −2 + 1
Resposta:
Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares

56
2. Resolver a equação |x2
− 5x| = 6.
Resolução:
Caso 1: x2
− 5x = 6
Caso 2: x2
− 5x = −6
x2
− 5x = 6
x2
− 5x − 6 = 0
Δ = (−5)2
− 4 . 1 . (−6)
Δ = 49
.
x2
− 5x = − 6
x2
− 5x + 6 = 0
Δ = (−5)2
− 4.1.6
Δ = 1
.
Resposta: S = {−1, 2, 3, 6}
3. Resolver a equação |x − 6| = |3 − 2x|.
Resolução:
Caso 1: x − 6 = 3 − 2x
Caso 2: x − 6 = −(3 − 2x)
x − 6 = 3 − 2x
x + 2x = 3 + 6
3x = 9 ⇔ ⇔ x = 3
x − 6 = −(3 − 2x)
x − 6 = −3 + 2x
x − 2x = −3 + 6
−x = 3 ⇔ x = −3
Resposta: S = {−1, 2, 3, 6}
PARA EXERCITAR
1. Resolva as equações modulares que seguem.
a) |2 − 3x| = 4
b)
c) |3x − 4| = x + 1
d) |5x − 4|=|2 − x|
e) |x2
− 7x + 8| = 2
f) x2
− 2|x| − 48| = 0

57
TEMA 20
INEQUAÇÕES MODULARES
Chamamos de inequações modulares as
inequações em que aparecem módulos de ex-
pressões que contém a incógnita.
Representando geometricamente, o módulo de
um número real x é igual à distância do ponto
que representa, na reta real, o número x ao
ponto de origem, como sabemos. Assim:
• Se |x| < a (com a > 0), significa que a dis-
tância entre x e a origem é menor que a, isto
é, x deve estar entre −a e a, ou seja,
|x| < a ⇔ −a < x < a.
• Se |x| > a (com a > 0), significa que a dis-
tância entre x e a origem é maior que a, isto
é, deve estar à direita de a ou à esquerda de
−a na reta real, ou seja:
|x| > a ⇔ x < −a ou x > a.
1. Resolver a inequação |2x − 6| < 2.
Para resolver essa equação, apresentamos
dois métodos diferentes:
Resolução:
Método 1:
|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2
−2 + 6 < 2x < 2 + 6
4 < 2x < 8
2 < x < 4
Método 2:
|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2 ⇔
Resposta: S = {x∈IR|2 < x < 4}
2. Dê o conjunto-solução da inequação
|x2
− 2x + 3| ≤ 4.
Resolução:
|x2
− 2x + 3| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x2
− 2x + 3 ≤ 4.
Então, temos duas inequações (que devem ser
satisfeitas ao mesmo tempo):
Resolvendo a inequação 1:
x2
− 2x + 3 ≤ −4
x2
− 2x + 3 + 4 ≥ 0
x2
− 2x + 7 ≥ 0
Δ = (−2)2
− 4.1.7
Δ = 4 − 28 = −26
Como Δ < 0, ou seja, x2
− 2x + 7 = 0 não pos-
sui raízes reais e o coeficiente do termo x2
é 1
(que é maior que zero) a solução da inequação
x2
− 2x + 7 ≥ 0 é S1 = IR.
Resolvendo a inequação 2:
x2
− 2x + 3 ≤ 4
x2
− 2x + 3 − 4 ≤ 0
x2
− 2x − 1 ≤ 0
Δ = (−2)2
− 4.1.(−1)
Δ = 4 + 4 = 8
Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares

S2 = {x∈IR|1 − ≤ x ≤ 1 + }
Assim, a solução do sistema é
S = S1 ∩ S2.
Resposta: S = {x∈IR|1 − ≤ x ≤ 1 + }
3. Resolver a inequação |4x − 10|≥ 6.
Resolução:
|4x − 10|≥ 6 ⇔
Resolvendo a Inequação 1:
4x − 10 ≤ −6
4x ≤ −6 + 10
⇔ x ≤ 1
S1 = {x∈IR|x ≤ 1}.
Resolvendo a Inequação 2:
4x − 10 ≥ 6
4x ≥ 6 + 10
⇔ x ≥ 4
S2 = {x∈IR|x ≥ 4}.
Assim a solução de é S = S1 ∪ S2.
Resposta: S = {x∈IR|x ≤ 1 ou x ≥ 4}.
MÓDULO E RAIZ QUADRADA
Consideremos os números reais x e y. Temos,
por definição, que se, e somente se,
y2
= x, com y ≥ 0. Donde podemos concluir
que é verdadeiro somente para
x ≥ 0.
Se tivermos x < 0, não podemos afirmar que
, pois isso contradiz a definição.
Por exemplo, se x = −3, teríamos: ,
o que é um absurdo, pois o primeiro membro
é positivo e o segundo negativo. Usando a
definição de módulo, podemos escrever:
que é verdadeiro para todo x real.
Devemos proceder da mesma forma em re-
lação a todas as raízes de índice par, como por
exemplo:
,
e em geral temos:
, com x∈IR e n∈ IN*
.
Com relação às raízes de índice ímpar, pode-
mos escrever:
,
e em geral:
com x∈IR e n∈IN.
Para exercitar
1. Resolva em IR as Inequações.
a) |x + 5| < 2
b)
c)
d) |x2
+ 5x + 6| < 2
e) 2 ≤ |x + 5| ≤ 10
58

UNIDADE VII
Funções modulares

61
Matemática Elementar III – Funções Modulares
TEMA 21
FUNÇÃO MODULAR
Seja g: A→IR, com A ⊂ IR, uma função.
Chamamos de função modular a função
f: A → IR, com A ⊂ IR, definida por
f(x) = |g(x)|, ou seja:
Observe, então, que a função modular é uma
função definida por duas sentenças.
Exemplos:
1. A função f: IR → IR, tal que f(x) = |x|.
2. A função f: IR → IR, tal que f(x) = |x2
− 3|.
3. A função f: IR*
→ IR, tal que .
A função modular associa-se diretamente à
idéia de valor absoluto de um número, que é
o próprio número, caso este seja positivo ou
nulo, ou seu oposto, se o número for negati-
vo. No início do século XIX, o matemático
suíço Jean Robert Argand (1768-1822) intro-
duziu a nomenclatura módulo para o valor
absoluto de um número. Posteriormente, o
matemático alemão Karl Theodor Wilhelm
Weirstrass introduziu a notação |x|. Nessa
época, o conceito de função e a sua nomen-
clatura já eram utilizados sistematicamente, o
que fez que sua extensão para idéia de fun-
ção modular fosse natural.
Determinação do domínio
Vamos determinar o domínio de algumas fun-
ções utilizando inequações modulares:
1. Determinar o domínio da função .
Resolução:
Sabemos que só é possível em IR se
|x| − 3 ≠ 0.
Então |x| − 3 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 3 ⇔ x ≠ 3 ou x ≠ −3
Resposta: Df ={x∈IR| x ≠ −3 ou x ≠ 3}
2. Determinar o domínio da função
Resolução:
Sabemos que só é possível em IR se
2 − |x − 1| ≥ 0. Então:
−|x − 1| ≥ −2
|x − 1| ≤ 2
−2 + 1 ≤ x ≤ 2 + 1
−1 ≤ x ≤ 3
Resposta: Df ={x∈IR| −1 ≤ x ≤ 3}
CONSTRUINDO GRÁFICOS
1. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico
da função f(x) = |x|. Não devemos esquecer
que Df = IR. Vamos elaborar uma pequena
tabela onde vamos achar, pela função, a ima-
gem de alguns números:
Observando o gráfico, concluímos que o con-
junto Imf = IR+
x y = f(x)
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2

62
da função f(x) = |x + 1|. Não devemos esque-
cer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequena
tabela onde vamos achar, pela função, a ima-
gem de alguns números:
junto Imf = IR+
da função f(x) = |x + 1|. Não devemos esque-
tabela e achar nela, pela função, a imagem de
alguns números:
junto Imf = IR−
da função f(x) = |x2
− 1|. Não devemos esque-
tabela e nela achar, pela função, a imagem de
alguns números:
junto Imf = IR+
Para exercitar
1. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da
função definida por f(x) = |x − 3|.
2. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da
função definida por f(x) = −|x − 2|.
3. Dada a função definida por f(x) = |x − 1| − 2,
construa o gráfico e dê o conjunto imagem.
Curiosidade
Formando Letras
A partir de funções matemáticas, brincar e for-
mar figuras com seus respectivos gráficos, li-
mitando os valores de x do domínio a serem
utilizados.
Podemos usar funções modulares cujo gráfico
descreve, com seu traçado, algumas das letras
que conhecemos.
A função , por
exemplo, tem com gráfico a letra W (figura 1).
Já a função g(x) = |2x|, com −1 ≤ x ≤ 1, tem
como gráfico correspondente a letra V (figura 2).
x y = f(x)
−2 3
−1 0
0 1
1 0
2 3
x y = f(x)
−3 −2
−2 −1
−1 0
0 −1
1 −2
x y = f(x)
−3 2
−2 1
−1 0
0 1
1 2

63
Figura 1
Figura 2
RESOLVA
a) Construa o gráfico da função abaixo, verifi-
cando a letra formada pelo seu traçado.
b) Determine o conjunto imagem dessa fun-
ção.
1. O volume de água em um tanque varia com o
tempo de acordo com a seguinte equação:
V = 10 − |4 − 2t| − |2t − 6|, t ∈IR+
Nela, V é o volume medido, em m3
, após t
horas, contadas a o partir de 8h de uma manhã.
Determine os horários inicial e final dessa ma-
nhã em que o volume permanece constante.
Resolução:
4 − 2t = 0 ⇔ t = 2
2t − 6 = 0 ⇔ t = 3
Se:
• 0 ≤ t ≤ 2, então V = 10 − 4 + 2t − 6 + 2t
V = 4t
• t ≥ 3, então V = 10 − 2t + 4 − 2t + 6
V = 20 − 4t
• 2 < t < 3, então V = 10 − 2t + 4 − 6 + 2t
V = 8
Assim, temos que o volume é constante
(V = 8m3
) no intervalo 2 < t < 3. Como o tem-
po inicial é t = 8h, temos:
2 < t < 3
2 + 8 < t < 3 + 8
10 < t < 11
Resposta: O volume permanece constante das
10h às 11h da manhã.
2. Sejam as funções f(x) = |x − 1|e
g(x) = x2
+ 4x − 4.
I. Calcule as raízes de f(g(x)) = 0.
II. Esboce o gráfico de f(g(x)), indicando os
pontos em que o gráfico intercepta os eixos
cartesianos.
Resolução:
a) f(g(x)) = |(x2
+ 4x − 4) − 1|
f(g(x)) = |x2
+ 4x − 5|
f(g(x)) = 0
|x2
+ 4x − 5| = 0
x2
+ 4x − 5 = 0 ⇒
Portanto as raízes são −5 e 1
b) x y = f(x)
−5 0
−2 9
0 5
1 0

64
3. O produto de todas as raízes da equação
|x2
− 8| − 4 = 0 é:
a) 4 d) −48
b) –4 e) 48
c) –8
Resolução:
|x2
− 8| − 4 = 0 ⇔ |x2
− 8| = 4
Assim:
• x2
− 8 = 4 ⇔ x2
= 12 ⇔
• x2
− 8 = −4 ⇔ x2
= 4 ⇔
O produto das raízes é
4. Relativamente à função real definida por
f(x) = 1 − |x − 1|, de [0,2] em [0,1], considere
as afirmações:
I. A área limitada pelo seu gráfico e o eixo das
abscissas é 1.
II. Trata-se de uma função sobrejetora.
III. A soma das raízes da equação f(x) = 0,5 é 2.
Então:
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e III são verdadeiras.
c) Somente I e III são verdadeiras.
d) Todas são verdadeiras.
e) Somente III é verdadeira.
Resolução:
Façamos um esboço do gráfico de f(x), com
0 ≤ x ≤ 2:
I. A área da figura limitada pelo gráfico de f e
o eixo das abscissas é:
(VERDADEIRA)
II. O contradomínio de f é [0,1].
O conjunto imagem de f é [0,1]. Logo, trata-
se de uma função sobrejetora.
(VERDADEIRA)
III. Pelo gráfico, podemos concluir que:
f(x) = 0,5 ⇔ x = 0,5 ou x = 1,5
As raízes da equação f(x) = 0,5 são os nú-
meros 0,5 e 1,5; portanto a soma dessas
raízes é 2.
(VERDADEIRA)
5. A soma das raízes da equação
|x|2
+ 2|x| − 15 = 0 é:
a) 0 d) 6
b) –2 e) 2
c) –4
Resolução:
Fazendo |x| = y, vem :
|x|2
+ 2|x| − 15 = 0 ⇔
Assim:
|x| = y1 ⇒ |x| = y1 ⇒ |x| = 3 ⇒
|x| = y2 ⇒ |x| = −5 ⇒ x não existe.
Então a soma das raízes é:
3 + (−3) = 0

65
4. Resolva a equação |x2
− 3x| = 10 no conjunto
dos números reais.
5. (Fatec–SP) Resolva a equação
|3x2
− 4| = x2
− 4 no conjunto dos números
reais.
6. Determine os números inteiros que satisfazem
a inequação |5x − 4| < 7.
7. (Fuvest–SP) Seja f(x) = |2x2
− 1|, x∈IR. Deter-
mine os valores de x para os quais f(x) < 1.
8. (PUC–SP) Quais são os números inteiros que
satisfazem a sentença 3 ≤ |2x − 3| ≤ 6?
9. Considere a função definida por
f(x) = |x2
− 6x + 8|; construa seu gráfico e res-
ponda:
a) Qual é o domínio e o conjunto imagem des-
sa função?
b) Para que valores de x tem-se f(x) ≥ 0?
10. Dada a função .
a) Calcule f(−2), f(2), f(−1), f(1), f(−10), f(10).
b) Diga se é possível atribuir a x o valor zero.
c) Dê o domínio da função.
d) Dê o conjunto imagem da função.
11. Para x ≠ 0, a função assume dois
valores distintos . Quais são eles?
12. Dada a função , quais valores que
ela assume para x ≠ 0?
13. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem de
cada uma das funções.
a) f(x) = |x + 3|
b) f(x) = |x| + 3
c) f(x) = |x − 3|
d) f(x) = |x| − 3
14. (UPF–RS) A soma das raízes da equação
|2x + 5| = 6.
a) −5 b) 9
c) 4,5 d) 6
e) 0,5
15. (UEL–PR) O conjunto solução da inequação
|x| ≤ 3, tendo como universo o conjunto dos
números inteiros, é:
a) {−3, 3};
b) {−1, 0, 1};
c) {−2, −1, 0, 1, 2};
d) {−3, -2, -1, 0, 1, 2, 3};
e) {0, 1, 2, 3}.
16. (ACAFE–SC) A equação modular
admite, como solução, somente:
a) uma raiz positiva e uma negativa;
b) duas raízes negativas;
c) duas raízes positivas;
d) uma raiz positiva;
e) uma raiz negativa.
16. (UEPG-PR ) No conjunto IR, a desigualdade
|x − 5| < 7 é verdadeira para:
a. x < 12;
b) X > −2;
c) −2 < x < 12;
d. −2 ≤ x ≤ 12;
e. n.d.a.
18. (CESGRANRIO) Seja f a função definida no
intervalo aberto (−1, 1) por . Então
é:
a) 1/2; b) 1/4;
c) −1/2; d) −1;
e) −2.

66
19. (S. CASA–SP) As funções f(x) = |x| e
g(x) = x2
− 2 possuem dois pontos em comum.
A soma das abscissas destes pontos é:
a) 0;
b) 3;
c) −1;
d) −3;
e) 1.
20. (PUC-MG) a solução da equação |3x − 5| = 5x
− 1 é:
a) {−2} b) {3/4}
c) {1/5} d) {2}
e) {3/4, −2}
21. (FGV–SP) Quantos números inteiros não-nega-
tivos satisfazem a inequação |x − 2| < 5?
a) infinitos; b) 4;
c) 5; d) 6;
e) 7.
22. (ACAFE) Se |a − b| = 6 e |a + b| = 2, o valor
de |a4
− 2a2
b2
+ b4
| é:
a) 8;
b) 12;
c) 24;
d) 64;
e) 144.
23. (INATEL–MG) A função definida por
se x ≠ 0 e f(x) = 0 se x = 0. Então, podemos
afirmar que a imagem f(x) é:
a) {−1, 0, 1};
b) real;
c) {0};
d) {−1,1};
e) n.d.a.
24. (ITA-SP) Sabendo-se que as soluções da
equação |x|2
−|x| − 6 = 0 são raízes da equa-
ção x2
− ax + b = 0, podemos afirmar que:
a) a = 1 e b = 6;
b) a = 0 e b = −6;
c) a = 1 e b = −6;
d) a = 0 e b = −9 ;
e) não existem a e b tais que x2
− ax + b = 0
contenha todas as raízes da equação dada.
25. (ITA–SP) Considere a equação |x| = x − 6.
Com respeito à solução real dessa equação,
podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [1, 2];
b) a solução pertence ao intervalo {−2, −1];
c) a solução pertence ao intervalo (−1, 1);
d) a solução pertence ao complementar da
união dos intervalos anteriores;
e) a equação não tem solução.
Para refletir
1. Dois matemáticos conversavam. O matemático
Z diz ao matemático Y:
– Minha filha está fazendo x anos hoje. Se
eu subtrair 20 do triplo desse valor e dividir o
resultado por 2, o resultado, em módulo, é
menor que 3. Você consegue me dizer quantos
anos ela está fazendo?
– Não, pois existe mais de um valor possí-
vel para x.
– Ah! Eu ia esquecendo: x é um número
par. Agora você consegue?
– Não, pois existem dois valores possíveis.
– É o menor deles.
– Agora eu sei. Ela faz hoje 6 anos.
Como o matemático Y conseguiu chegar a es-
sa conclusão?
2. Márcia e Lourdinha estavam resolvendo um
problema. Nele, era procurado um número par,
ao qual ambas chamaram de x. Trabalhando
com uma condição fornecida pelo problema,
Márcia chegou à conclusão de que deveria
ocorrer isto: |3x − 2| < 10. Trabalhando com
outra condição fornecida pelo problema,
Lourdinha chegou à conclusão de que deveria
ocorrer isto: |5 − 2x| < 5.
Ambas estavam certas. Qual o valor de x?

67
SÉRIE FINAL
1. (UFRJ) Seja f a função real dada por
f(x) = ax2
+ bx + c, com a > 0. Determine a, b
e c sabendo que as raízes da equação
|f(x)| = 12 são −2, 1, 2 e 5. Justifique.
2. (FUVEST)
a) Esboce, para x real, o gráfico da função
f(x)=|x − 2|+|2x + 1|− x − 6. O símbolo
|a| indica o valor absoluto de um número
real a e é definido por |a|=a, se a ≥ 0 e
|a|= −a, se a < 0.
b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?
3. ( FUVEST) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f
e g funções reais definidas por
f(x) = x2
− 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
a) Esboçar, no plano cartesiano representado
a seguir, os gráficos de f e de g quando
m = 1/4 e m = 1.
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando
m = 1/2.
c) Determinar, em função de m, o número de
raízes da equação f(x) = g(x).
4. (UFES Sejam f e g as funções definidas para
todo x∈IR por f(x)=x2
− 4x + 4 e g(x) =|x − 1|.
a) Calcule f(g(x)) e g(f(x)).
b) Esboce os gráficos das funções compostas
fog e gof.
5. (UNIRIO) Sejam as funções
f : IR → IR
x → y= I x I
e
g : IR → IR
x → y = x2
− 2x − 8
Faça um esboço gráfico da função fog.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(UFSC) Na questão a seguir escreva nos pa-
rênteses a soma dos itens corretos.
6. Considere a função f: IR → IR dada por
f(x)=|2x + 5|.
Determine a soma dos números associados às
proposições CORRETAS.
01. f é injetora.
02. O valor mínimo assumido por f é zero.
04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto
de coordenadas (0,5).
08. O gráfico de f é uma reta.
16. f é uma função par.
Soma ( )
7. No gráfico a seguir, está representada a função
do 1.o
grau f(x). O gráfico que melhor represen-
ta g(x)=|f(x)| − 1 é:
a) b)
c) d)
e)
8. (FUVEST) O módulo |x| de um número real x
é definido por |x| = x, se x ≥ 0, e |x| = −x, se
x < 0. Das alternativas a seguir, a que melhor
representa o gráfico da função
f(x) = x.|x|−2x + 2 é:
a) b)

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