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Desenho
Geométrico
Alberto Luiz Fernandes Queiroga
Claudio Barros Vitor
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
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Pró-Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Queiroga, Alberto Luiz Fernandes.
Q3d Desenho geométrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga,
Cláudio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura em
Matemática. 2. Período)
113 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia e anexo.
1. Desenho geométrico. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Série. III.
Título.
CDU (1997): 514.11
CDD (19.ed.): 604.2
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Introdução ao desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – O material utilizado no desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Entes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
TEMA 03 – Operações com segmentos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE II – Construções de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 04 – Uso do esquadro, compasso e régua para construção de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
UNIDADE III – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TEMA 05 – Divisão de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TEMA 06 – Divisão em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
TEMA 07 – Média proporcional ou geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TEMA 08 – Divisão harmônica e segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE IV – Figuras da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 09 – Divisão de circunferência em duas partes iguais (pelo ângulo central) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 10 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
TEMA 12 – Trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 13 – Lozangos e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
UNIDADE V – Polígonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 14 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TEMA 15 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Alberto Luiz Fernandes Queiroga
Bacharel em Desenho Industrial – UFPB
Especialista em Design, Propaganda e Marketing – UFAM
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico−científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−
lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Introdução ao desenho geométrico
TEMA 01
MATERIAL UTILIZADO NO DESENHO
GEOMÉTRICO
Um breve histórico
Como linguagem de comunicação e expres-
são, a arte do desenho antecede em muito a
da escrita. O que é a escrita senão a combi-
nação de pequenos símbolos desenhados?
Por meio de gravuras traçadas nas paredes
das cavernas, o homem pré-histórico registrou
fatos relacionados ao seu cotidiano, deixando
indicadores importantes para os pesquisado-
res modernos estudarem os ancestrais de nos-
sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo
inerente ao homem.
Não se sabe quando, ou onde, alguém formu-
lou pela primeira vez, em forma de desenho,
um problema que pretendia resolver – talvez
tivesse sido um “projeto” de moradia ou tem-
plo, ou algo semelhante. Mas esse passo re-
presentou um avanço fundamental na capaci-
dade de raciocínio abstrato, pois esse desenho
representava algo que ainda não existia, que
ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta,
gradativamente aprimorada, foi muito impor-
tante para o desenvolvimento de civilizações,
como a dos babilônios e a dos egípcios, as
quais, como sabemos, realizaram verdadeiras
façanhas arquitetônicas.
Porém uma outra civilização, que não hesitava
em absorver elementos de outras culturas,
aprendeu depressa como passar à frente de
seus predecessores; em tudo que tocavam,
davam mais vida. Eram os gregos. Em todas
as áreas do pensamento humano em que se
propuseram a trabalhar, realizaram feitos que
marcaram definitivamente a história da huma-
nidade.
Foram os gregos que deram um molde deduti-
vo à Matemática. A obra Elementos, de Eucli-
des (?300 a.C.), é um marco de valor inesti-
mável, na qual a Geometria é desenvolvida de
modo bastante elaborado. É na Geometria gre-
ga que nasce o Desenho Geométrico que aqui
vamos estudar.
Na realidade, não havia entre os gregos uma
diferenciação entre Desenho Geométrico e
Geometria. O primeiro aparecia simplesmente
na forma de problemas de construções geo-
métricas, após a exposição de um item teórico
dos textos de Geometria. Essa conduta eucli-
diana é seguida até hoje em países como a
França, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmen-
te, os problemas de construção foram há muito
banidos dos nossos livros de Geometria.
Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomé-
trico é um capítulo da Geometria que, com o
auxílio de dois instrumentos, a régua e o com-
passo, se propõe a resolver graficamente pro-
blemas de natureza teórica e prática.
Material de desenho e seu uso
O lápis
Em desenho geométrico, utilizaremos o lápis
com grafite HB para os traçados de letras, con-
tornos e esboços.
Para seu desenho ter as linhas bem definidas,
mantenha a grafite sempre bem-apontada, em
forma cônica, usando para isso um pedaço de
lixa.
A lapiseira
Você pode também utilizar as práticas lapisei-
ras com grafites 0.5mm, pois elas têm grossura
ideal para o desenho geométrico.
A borracha
Use borracha macia para não deixar marcas no
papel.
11
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
Para limpá-la, esfregue-a em um papel qualquer.
A borracha não deve ser lavada.
A régua
Há réguas de vários comprimentos. Use uma
de material acrílico transparente, graduada em
centímetros e milímetros, que tenha um corte
transversal chanfrado para facilitar a leitura.
Os esquadros
Esquadro de 450
e de 600
Devem ser de material acrílico e transparente.
São utilizados para traçados de paralelas e de
perpendiculares e para construção de ângulos.
O transferidor
De material acrílico transparente, em forma de
um semicírculo, graduado de 00
a 1800
, é usa-
do para medir e construir ângulos.
O compasso
É o instrumento usado para traçados de arcos
de circunferência, transporte de medidas e
construções de ângulos.
TEMA 02
ENTES FUNDAMENTAIS
Na construção de uma teoria geométrica,
tomam-se, inicialmente, certos conceitos aos
quais se acrescentam postulados e definições
a fim de, então, deduzir teoremas e proprieda-
des.
Tais conceitos podem ser primitivos ou con-
vencionados. Os conceitos primitivos consti-
tuem-se num apelo à nossa intuição.
Assim, são entes fundamentais da geometria:
ponto, reta e plano.
O ponto
A idéia de ponto é primitiva. Não se define. O
ponto não tem dimensão e fica determinado
pelo encontro de duas linhas retas ou curvas.
Indicamos o ponto utilizando letras maiúsculas
do alfabeto latino.
A reta
Da mesma forma que o ponto, não tem defi-
nição. A idéia de linha reta é a de um ponto
que se move numa mesma direção. Indicamos
a reta utilizando letras minúsculas do alfabeto
latino.
A semi-reta
Um ponto qualquer de uma reta divide-a em
duas partes distintas chamadas semi-retas. Es-
se ponto recebe o nome de origem.
O segmento de reta
Segmento de reta é o conjunto formado por
dois pontos tomados sobre uma reta e todos
os pontos da reta compreendidos entre os dois.
A reta à qual pertence o segmento chama-se
reta suporte do segmento.
12
UEA – Licenciatura em Matemática
⎯
AB: é o segmento de reta;
A e B: são os extremos;
r: é a reta suporte do segmento AB.
Segmentos que pertencem à mesma reta cha-
mam-se colineares.
Segmentos que possuem uma extremidade em
comum chamam-se consecutivos.
O plano
A noção intuitiva de plano apóia-se na idéia de
superfícies como a de um quadro ou a de uma
parede.
O plano é uma figura ideal. A partir da idéia
que dele fazemos, deve-se entendê-lo como
formado por infinitos pontos. Ele é aberto e
infinito.
A identificação do plano é dada por letras
minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, ϕ, ψ,
etc.
TEMA 03
OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E
ÂNGULOS
Transporte de segmentos
O transporte gráfico de segmento consiste em
construir um segmento congruente ao segmen-
to dado.
Assim, dado o segmento
⎯
AB, para transportá-
lo de modo a que tenha por extremidade M e
esteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas-
so em M e abertura
⎯
AB, descrevendo-se um
arco de circunferência, obtendo-se N. Assim,
obtém-se
⎯
MN ≡ AB.
⎯
MN ≡
⎯
AB.
Adição de segmentos
A soma gráfica de segmentos é obtida pelo
transporte sucessivo dos segmentos dados.
⎯
MN ≡
⎯
AB e
⎯
NP ≡
⎯
CD
⎯
MP é o segmento-soma.
Subtração de segmentos
Transportam-se os segmentos dados para
uma reta suporte r, com centro em P.
⎯
PQ ≡
⎯
AB e
⎯
PR ≡
⎯
CD
⎯
QR é o segmento-diferença.
13
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
Ângulos
Um breve histórico
O conceito de ângulo aparece primeiramente
em materiais gregos no estudo de relações en-
volvendo elementos de um círculo junto com o
estudo de arcos e cordas. As propriedades das
cordas, como medidas de ângulos centrais ou
inscritas em círculos, eram conhecidas desde
o tempo de Hipócrates. Talvez Eudoxo tenha
usado razões e medidas de ângulos na deter-
minação das dimensões do planeta Terra e no
cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a
Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.–194
a.C.) já tratava de problemas relacionados com
métodos sistemáticos de uso de ângulos e cor-
das.
Desde os tempos mais antigos, os povos vêm
olhando para o céu na tentativa de encontrar
respostas para a vida na Terra e entender os
corpos celestes que aparecem à nossa vista.
Assim, a Astronomia talvez tenha sido a pri-
meira ciência a incorporar o estudo de ângulos
como uma aplicação da Matemática.
Na determinação de um calendário ou de uma
hora do dia, havia a necessidade de realizar
contagens e medidas de distâncias.
Freqüentemente, o Sol servia como referência,
e a determinação da hora dependia da incli-
nação do Sol e da relativa sombra projetada
sobre um certo indicador (relógio de sol).
Para obter a distância que a Lua estava acima
do horizonte, dever-se-ia calcular uma distân-
cia que nunca poderia ser medida por um ser
humano comum. Para resolver esse problema,
esticava-se o braço e calculavam-se quantos
dedos comportava o espaço entre a Lua e o
horizonte, ou então, segurava-se um fio entre
as mãos afastadas do corpo e media-se a dis-
tância.
Os braços deveriam permanecer bem estica-
dos para que a resposta fosse a mais fiel pos-
sível. A medida era diferente de uma medida
comum, e esse modo foi o primeiro passo para
medir um ângulo, objeto este que se tornou
importantíssimo no contexto científico.
Algumas definições históricas
Grécia antiga
“Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma
linha reta”.
Euclides
“Um ângulo plano é a inclinação recíproca de
duas retas que num plano têm um extremo
comum e não estão em prolongamento”.
H. Schotten
Em 1893, resumiu as definições de ângulo em
três tipos:
1. A diferença de direção entre duas retas.
2. A medida de rotação necessária para trazer
um lado de sua posição original para a
posição do outro, permanecendo entre-
mentes no outro lado do ângulo.
3. A porção do plano contida entre as duas
retas que definem o ângulo.
P. Henrigone
Em 1634, definiu ângulo como um conjunto de
pontos, definição essa que tem sido usada com
mais freqüência. Neste trabalho, aparece pela
primeira vez o símbolo “<” para representar
ângulo.
14
UEA – Licenciatura em Matemática
Ângulos
Definição
Ângulo é a figura plana formada por duas
semi-retas de mesma origem.
A origem comum chama-se vértice, e as semi-
retas chamam-se lados.
A medida usual ao ângulo é o grau, e o instru-
mento usado para medi-lo é o transferidor.
Ângulos de mesma medida dizem-se congru-
entes.
Indica-se o ângulo ou utilizando-se letras do al-
fabeto grego ^α, ^β, ^γ, ou por três letras minús-
culas do alfabeto, ou por três letras maiúsculas
do alfabeto latino, indicando a letra do meio o
vértice do ângulo e as outras duas os lados.
Ângulo ^β ou ângulo R^OQ.
Para obter a medida aproximada de um ângu-
lo traçado em um papel, utilizamos um instru-
mento denominado transferidor, que contém
um segmento de reta em sua base e um semi-
círculo na parte superior marcado com uni-
dades de 0 a 180. Alguns transferidores pos-
suem a escala de 0 a 180 marcada em ambos
os sentidos do arco para a medida do ângulo
sem muito esforço.
Para medir um ângulo, coloque o centro do
transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, ali-
nhe o segmento de reta OA (ou OE) com um
dos lados do ângulo, e o outro lado do ângulo
determinará a medida do ângulo, como mostra
a figura.
O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura ante-
rior, podemos ler diretamente as medidas dos
seguintes ângulos:
Transporte gráfico de ângulos
Passo a passo
1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qual-
quer, com centro no vértice do ângulo dado
para a origem de uma semi-reta.
2. Ponta-seca do compasso em R e abertura
do arco igual a
⎯
PQ, determinamos S e o
ângulo ^α ≡ ^β.
Adição gráfica de ângulos
Transportam-se os ângulos ^α e ^β de modo que
fiquem adjacentes. Ou seja, adicionam-se os
arcos de mesmo raio, qualquer, de medidas ^α
e ^β.
Subtração gráfica de ângulos
Dados os ângulos ^α e ^β, transportamos para
uma semi-reta de origem P, determinando o
ângulo-diferença.
m(AÔB) = 27º m(AÔC)=70º m(AÔD)=120º m(AÔE)=180º
m(EÔB)=153º m(EÔC)=110º m(EÔD)=60º m(EÔA)=180º
15
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, ob-
tenha o segmento de medida 2a + b + c.
2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cuja
medida corresponde ao perímetro das figuras
dadas.
a)
b)
c)
3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obte-
nha os segmentos de medidas (b – a) + (c – b).
4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e
EF = 40mm, desenhe o segmento de medida
2AB – 10(EF – CD).
5. A partir de , dado graficamente abaixo,
transporte A^OB e A^OC, em cada caso:
a)
b)
6. Tome um ângulo qualquer e transporte para
uma outra semi-reta, usando o compasso, um
ângulo congruente ao ângulo determinado.
7. Verifique, por transporte de ângulos, as rela-
ções de ângulos congruentes na figura dada.
16
UEA – Licenciatura em Matemática
8. Mostre, por transporte de ângulos, que a soma
dos ângulos internos de um triângulo é um
ângulo raso.
9. Dado o triângulo ABC, verifique se “o ângulo
externo é a soma dos ângulos internos não-
adjacentes”.
10. Dado α e β, encontre o que se pede:
a) α + β
b) β – α
c) 3α – β
17
Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
UNIDADE II
Construção de ângulos e retas
TEMA 04
USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUA
PARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS E
RETAS.
Bissetriz de um ângulo
É a semi-reta que, partindo do vértice do ângu-
lo, divide-o em dois ângulos congruentes.
Determinar a bissetriz do ângulo dado
Passo a passo
1. Ponta-seca em O e abertura qualquer, des-
crevemos o arco AB.
2. Ponta-seca em A e depois em B e uma
abertura maior do que a metade do arco
AB, determinamos o ponto C.
3. A semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB.
Bissetriz de um ângulo inacessível
Determinar a bissetriz do ângulo formado pelas
retas r e s.
Passo a passo
1. Traçamos um reta t qualquer determinando
os pontos A e B.
2. Determinamos as bissetrizes dos ângulos
formados, encontrando os pontos C e D.
3. A reta que passa por A e B é a bissetriz pro-
curada.
21
Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas
22
UEA – Licenciatura em Matemática
Construindo ângulos
Ângulo de 600
Passo a passo
1. Determinamos uma semi-reta de origem O.
2. Ponta-seca em O e uma abertura qualquer,
determinamos na semi-reta o ponto A.
3. Ponta-seca em A e raio
⎯
OA, encontramos B.
AÔB = 600
Ângulo de 900
Passo a passo
1. Determinamos uma semi-reta de origem O.
2. Prolongamos a semi-reta e traçamos um
ângulo raso AÔB.
3. Encontramos a bissetriz do ângulo AÔB.
AÔC = 900
Ângulo de 1350
Passo a passo
1. Utilizando o processo anterior, determina-
mos o ângulo reto AÔC.
2. Traçamos a bissetriz de BÔC.
BÔD = 450
, logo DÔA = 1350
(suplementares)
Esquadros e construção de retas
Os esquadros são usados para traçar linhas pa-
ralelas e linhas perpendiculares. Para a determi-
nação desses traços, utilizamos os esquadros
em conjunto, ficando um sempre fixo, enquan-
to o outro se desloca, apoiado nele.
Retas paralelas
Passo a passo
1. Faça a borda maior do esquadro de 450
coincidir com a reta dada.
2. Encoste a borda maior do esquadro de 600
no esquadro de 450
.
3. Segure o esquadro de 600
, movimente o de
450
e trace as linhas paralelas.
23
Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas
Retas perpendiculares
Passo a passo
1. Faça a borda maior do esquadro de 450
coincidir com a reta dada.
2. Encoste a borda maior do esquadro de 600
no esquadro de 450
.
3. Mude a posição do esquadro de 450
, con-
forme a figura.
4. Segure o esquadro 600
, movimente o de 450
até o ponto P e trace a perpendicular.
Compasso e régua
Perpendicular a uma reta
Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r.
Passo a passo
1. Com a ponta-seca do compasso em P e
uma abertura maior que a distância de P a
r, traçamos um arco de circunferência que
intercepta a reta r em A e B.
2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber-
tura maior que a semi-distância AB, traça-
mos um arco e repetimos o processo, com
a mesma abertura, em B, determinando o
ponto Q.
3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que
é a reta perpendicular à reta r.
Observação: a reta s é a mediatriz do seg-
mento AB.
Dada a reta r e um ponto P, onde P ∈ r.
Passo a passo
1. Com a ponta-seca do compasso em P e
uma abertura qualquer, traçamos uma
semicircunferência que intercepta a reta r
em A e B.
24
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber-
tura maior que a semi-distância AB, traça-
mos um arco e repetimos o processo, com
a mesma abertura, em B. Determina-se,
assim, o ponto Q.
3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que
é a reta perpendicular à r procurada.
Dada a semi-reta , determinar a perpen-
dicular passando por O.
Passo a passo
1. Ponta-seca do compasso em O e uma aber-
tura qualquer, traçamos uma semicircun-
ferência.
2. Com a ponta-seca em P e a mesma abertu-
ra, determinamos sobre a semicircunferên-
cia o ponto Q.
3. Repetimos o processo em Q, determinando
R, depois em R determinando S.
4. Temos ⊥ .
Paralela a uma reta
Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r, deter-
mina a reta s // r onde P ∈ s.
Passo a passo
1. Ponta-seca do compasso em P e uma aber-
tura maior do que a distância a reta r, traça-
mos um arco, determinando em r o ponto O.
2. Ponta-seca do compasso em O e a mesma
abertura, traçamos um arco, passando por
P, determinando em r o ponto Q.
3. Ponta-seca do compasso em O e abertura
igual a PQ , traçamos um arco determinan-
do ponto R.
O
25
Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas
4. A reta que passa por P e R é a reta s para-
lela a reta dada.
1. Dada a reta r e o ponto P, tal que P ∉ r, deter-
mine as retas s (paralela) e t (perpendicular),
passando por P. Utilize o jogo de esquadrados
para traçar as retas s e t.
2. Resolva o exercício anterior utilizando o com-
passo.
3. Trace m, pelo ponto A, tal que m ⊥ r. Trace n,
pelo ponto B, tal que n ⊥ s. Chame {P} = m ∩ n.
Pelo ponto P trace m’ // r e n’ // s.
4. Trace a reta t, tangente à circunferência dada,
tal que t // r.
5. Trace a reta a perpendicular a r e a reta b per-
pendicular a s, ambas passando por P.
6. Prolongando os lados do triângulo ABC, deter-
mine a altura relativa a cada lado.
7. Faça o transporte do ângulo^B, do exercício an-
terior, para a semi-reta e encontre a reta s,
passando por P, paralela a essa nova semi-reta.
8. Trace um ângulo de 300
.
9. Trace um ângulo de 1500
.
10. Trace um ângulo de 220
30’.
UNIDADE III
Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
29
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
TEMA 05
DIVISÃO DE SEGMENTO
Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Tales
de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já
conhecia sua fama de grande matemático. Ou-
vira dizer até que Tales era capaz de uma in-
crível façanha: podia calcular a altura de uma
construção, por maior que fosse, sem precisar
subir nela.
Por ordem do monarca, alguns matemáticos
egípcios foram ao encontro do visitante e pedi-
ram-lhe que calculasse a altura de uma das
pirâmides. Tales ouviu-os com atenção e dis-
pôs-se a atendê-los imediatamente.
Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fin-
cou no chão uma vara, na vertical. Observando
a posição da sombra, Tales deitou a vara no
chão, a partir do ponto em que foi fincada,
marcando na areia o tamanho do seu compri-
mento. Depois, voltou a vara à posição vertical.
“Vamos esperar alguns instantes”, disse ele.
“Daqui a pouco, poderei dar a resposta”.
Ficaram todos ali, observando a sombra que a
vara projetava. Num determinado momento, a
sombra ficou exatamente do comprimento da
vara. Tales disse então aos egípcios: “Vão de-
pressa até a pirâmide, meçam sua sombra e
acrescentem ao resultado a medida da metade
do lado da base. Essa soma é a altura exata da
pirâmide.
Razão entre dois segmentos
Consideremos os segmentos consecutivos da
figura seguinte:
Temos:
⎯
AB = 1mm,
⎯
AC = 2mm,
⎯
AD = 3mm,
⎯
AE = 4mm,
etc.
A razão entre dois segmentos é a razão entre
as medidas desses segmentos em uma mes-
ma unidade.
Temos, na figura acima, por exemplo:
1.
2. ou
3.
Segmentos proporcionais
Sabemos que proporção é uma igualdade en-
tre duas razões.
Exemplo:
Consideremos, agora, quatro segmentos, AB,
CD, EF e GH, nessa ordem.
Dizemos, então, que quatro segmentos, na or-
dem, são proporcionais quando a razão de suas
medidas (mesma unidade) forma uma pro-
porção.
30
UEA – Licenciatura em Matemática
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina em duas
retas transversais segmentos correspondentes
proporcionais.
Na figura, temos:
e , logo,
⎯
PQ,
⎯
QR,
⎯
PS
e
⎯
ST, nessa ordem, são proporcionais.
Aplicando o Teorema de Tales
Dividir um segmento em n partes de
medidas iguais
Dividir um segmento AB em três partes de
medidas iguais.
Passo a passo
1. Por uma das extremidades, traçamos uma
semi-reta qualquer.
2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,
traçamos três segmentos consecutivos e
congruentes sobre a semi-reta.
3. Unimos o ponto 3 à extremidade B, obten-
do o segmento B3.
4. Traçamos por 2 e 1 paralelas a B3, determi-
nando sobre
⎯
AB três segmentos congruen-
tes.
Dividir um segmento AB em sete partes de
medidas iguais.
1. Por uma das extremidades, traçamos uma
semi-reta qualquer.
2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,
traçamos sete segmentos consecutivos e
congruentes sobre a semi-reta.
3) Unimos o ponto 7 à extremidade B, obten-
do o segmento B7.
4. Traçamos por 6, 5, 4, 3, 2 e 1 paralelas a B7,
determinando sobre
⎯
AB, sete segmentos con-
gruentes.
31
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
Dividir um segmento numa razão dada
Determinar M, sobre
⎯
AB tal que .
Passo a passo
1. Por uma das extremidades, traçamos uma
semi-reta qualquer.
2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,
traçamos cinco (3 + 2 da razão dada) seg-
mentos consecutivos e congruentes sobre
a semi-reta.
3. Unimos o ponto 5 à extremidade B, obten-
do o segmento B5.
4. Traçamos em 3, para obtermos a razão ,
uma paralela a B5, determinando sobre
⎯
AB
o ponto M.
Assim .
Determinar M sobre
⎯
AB tal que .
Passo a passo
1. Por uma das extremidades, traçamos uma
semi-reta qualquer.
2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,
traçamos seis (1 + 5 da razão dada) seg-
mentos consecutivos e congruentes sobre
a semi-reta.
3. Unimos o ponto 6 à extremidade B, obten-
do o segmento B5.
4. Traçamos em 1, para obtermos a razão ,
uma paralela a B6 determinando sobre
⎯
AB
o ponto M.
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Assim .
1. Divida o segmento dado em oito partes de me-
didas iguais.
2. Divida o segmento dado em treze partes de me-
didas iguais.
3. Dados os segmentos
⎯
AB = 3cm,
⎯
CD = 5cm e
⎯
EF = 2cm, trace a circunferência com centro
em A e raio igual à sétima parte do segmento-
soma
⎯
AB +
⎯
CD +
⎯
EF.
4. Divida o perímetro do triângulo ABC, em seis
partes iguais.
5. Determine o quadrado de lado igual a do
segmento AB.
6. Trace um segmento
⎯
PQ = 8,5 e determine o
ponto R que divide
⎯
PQ na razão de .
7. Encontre os pontos M e N que dividem o seg-
mento
⎯
AB nas razões e respectivamente.
8. Dado o segmento AB, determine dois segmen-
tos AX e XB, de modo que: .
9. Dado a, divida-o por 3 e, em seguida, destaque
o segmento de medida .
10. Dado o triângulo ABC com
⎯
AB já dividido em
5 partes de medidas iguais, divida
⎯
BC e
⎯
AC
também em 5 partes de medidas iguais.
33
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
TEMA 06
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Dividir um segmento em partes
proporcionais a 2, 4 e 3
Passo a passo
1. Por uma das extremidades, traçamos uma
semi-reta qualquer.
2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,
traçamos nove (2 + 4 + 3) segmentos con-
secutivos e congruentes sobre a semi-reta.
3. Unimos o ponto 9 à extremidade B, obten-
do o segmento B9.
4. Traçamos em 2 e depois em 5 uma paralela
a B9, determinando sobre
⎯
AB os ponto M e
N, dividindo o segmento dado em partes
proporcionais a 2, 3 e 4.
Assim , etc.
Dividir um segmento em partes
proporcionais a 3, 5 e 7
Passo a passo
1. Por uma das extremidades, traçamos uma
semi-reta qualquer.
2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,
traçamos quinze (3 + 5 +7) segmentos con-
secutivos e congruentes sobre a semi-reta.
3. Unimos o ponto 15 à extremidade B, obten-
do o segmento B15.
4. Traçamos em 3 e depois em 8 uma paralela
a B15, determinando sobre
⎯
AB os ponto M
e N, dividindo o segmento dado em partes
proporcionais a 3, 5 e 7.
M N
34
UEA – Licenciatura em Matemática
Assim , etc.
Quarta proporcional
Dados três segmentos de medidas a, b e c,
denomina-se quarta proporcional desses seg-
mentos um segmento de medida x, tal que:
Determinar a quarta proporcional aos segmen-
tos AB = a, BC = b e AD = c, nessa ordem.
Passo a passo
1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos
AB e BC.
2. Traçamos pela extremidade A uma semi-
reta s e marcamos o segmento AD = c.
3. Traçamos o segmento BD e por ele tra-
çamos uma paralela passando por C, deter-
minando na semi-reta o ponto X. O seg-
mento DX é a quarta proporcional.
Terceira proporcional
Dados dois segmentos de medidas a e b, de-
nomina-se terceira proporcional desses seg-
mentos um segmento de medida x, tal que:
Determinar a terceira proporcional aos segmen-
tos AB = a e BC = b.
Passo a passo
1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos
AB e BC.
2. Por A, traçamos uma semi-reta s qualquer,
ponta-seca do compasso em A e abertura igual
a
⎯
AB, determinamos em s o segmento
⎯
AD.
3. Unimos os pontos B e D, obtendo o seg-
mento BD.
4. Traçamos por C uma reta paralela a
⎯
BD,
determinando em s o ponto E.
O segmento DE é a terceira proporcional
procurada.
TEMA 07
MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA
Dados dois segmentos de medidas a e b,
denomina-se média geométrica ou propor-
cional desses segmentos um segmento de
medida x, tal que:
Aplicação:
Determinar a média geométrica dos segmen-
tos AB e BC dados.
Passo a passo
1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos os
dois segmentos.
2. Determinamos M, ponto médio de
⎯
AC.
3. Ponta-seca em M e medida
⎯
AM, traçamos
uma semicircunferência.
4. Por B traçamos uma perpendicular à reta r,
determinando na semicircunferência o pon-
to D.
O segmento BD é a média geométrica dos
segmentos dados.
Outra forma de encontrar a média geométrica
1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos o
segmento AB.
2. A partir do ponto A e para direita, marcamos
o segmento AC.
3. Determinamos em r, o ponto M (ponto mé-
dio do segmento AB).
4. Ponta-seca em M e uma abertura
⎯
AM,
traçamos uma semicircunferência.
5. Traçamos por C uma perpendicular a r, deter-
minando na semicircunferência o ponto D.
D
O segmento AD é a média geométrica pro-
curada.
35
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
1. Marque os pontos M e N, no segmento AB
dado, de modo que .
2. Construa um triângulo ABC cujo perímetro seja
igual a 10,5cm, e os seus lados sejam propor-
cionais aos segmentos que medem 2,5cm;
3,5cm e 5,0cm.
3. Construa a quarta proporcional entre os seg-
mentos m, n e p dados.
4. Dados três segmentos de medidas a, b e c,
obtenha, nessa ordem, um segmento x, de
modo que .
5. Dados dois segmentos de medidas a = 5,0cm
e b = 3,5cm, obtenha um terceiro segmento
de medida x, de modo que . (terceira
proporcional)
6. Construa a terceira proporcional entre os seg-
mentos dados.
7. Construa a quarta proporcional entre os seg-
mentos m, n e p:
8. Determine, graficamente, a média geométrica
dos segmentos que medem a = 4,0cm e
b = 3,0cm.
9. Dados os segmentos de medidas a e b, deter-
mine, graficamente, a média geométrica entre
eles.
10. Construa o quadrado de lado igual à média geo-
métrica dos segmentos dados.
11. Construir o retângulo ABCD de lados de medi-
das x e y, sabendo que x é a quarta propor-
cional de a, b e c e que y é a média geométri-
ca de b e c.
12. Construa o triângulo ABC retângulo, sabendo
que as projeções dos catetos sobre a hipote-
nusa medem 5,5cm e 3,5cm.
13. Construa o triângulo DEF retângulo, sabendo
que a hipotenusa mede 8,0cm e a projeção de
um dos catetos mede 2,5cm.
36
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 08
DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO
ÁUREO
Em Alexandria, durante o reinado de Diocle-
ciano (284 – 305), viveu um grande matemáti-
co, seguidor das idéias de Eudoxo e Arqui-
medes, Papus de Alexandria, como ficou con-
hecido. Ele escreveu, por volta de 320, um livro
muito importante com o título de Coleção
(Synagoge). Deve-se a sua importância a vá-
rios fatores. Contém conteúdos inéditos para
época, é uma rica fonte histórica da matemáti-
ca grega e apresenta provas novas e lemas
suplementares para as obras de Euclides, Ar-
quimedes, Apolônio e Ptolomeu. No livro III,
seção 2 da Coleção, Papus teve como preocu-
pação o problema de colocar num mesmo
semi-círculo as três médias: aritmética, geo-
métrica e harmônica, mas inicia a seção com
as definições pitagóricas dessas médias.
Assim, dados dois números a e c (com c < a),
seja b, com c < b < a, então a razão (a-b):(b-
c) deve ser proporcional a a:ac = c:c para a
média aritmética, a a:b para a média geométri-
ca e a a:c para a harmônica. Assim:
Média aritmética:
Média Geométrica:
Média harmônica:
Razão de seção
Chama-se razão de seção de um ponto num
segmento a razão das distâncias do ponto aos
extremos do segmento. Quando o ponto é
interior ao segmento, as duas partes por ele
determinadas chamam-se segmentos aditivos;
quando o ponto é exterior, as duas partes de-
nominam-se segmentos subtrativos. Em am-
bos os casos, o ponto estará à esquerda do
ponto médio do segmento se a razão de seção
for própria, isto é, menor que a unidade; o
ponto estará à direita do ponto médio do seg-
mento se a razão de seção for imprópria, isto
é, maior que a unidade.
Dado o segmento AB e seu ponto médio.
Tomando os pontos M e N à esquerda do pon-
to médio, como indicado na figura, determina-
remos as seguintes razões.
(razões próprias)
Tomando os pontos M e N à direita do ponto
médio, como indicado na figura, determinare-
mos as seguintes razões.
(razões impróprias)
Dado um segmento AB, dividi-lo
harmonicamente numa razão dada
Na razão .
Passo a passo
1. Efetuamos a divisão do segmento na razão
determinada.
37
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
2. Por B traçamos uma paralela à semi-reta A5
e com ponta-seca em B e raio
⎯
A1, determi-
namos 6 e 7.
3. A interseção entre
→
AB e
→
37, o ponto Q, é o
conjugado harmônico de P.
Os pontos A, P, B e Q formam uma divisão
harmônica.
Dados um segmento AB e o conjugado
harmônico interno M obter o outro
Passo a passo
1. Ponta-seca em A e raio
⎯
AM e ponta-seca
em B e raio
⎯
BM, determinamos dois arcos.
2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep-
ta um dos semi-arcos em 1.
3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à
→
A1, encontrando 2.
4. A interseção entre
→
AB e
→
12 é o conjugado
harmônico de M.
Dados um segmento AB e o conjugado
harmônico externo M obter o outro
Passo a passo
1. Ponta-seca em A e raio
⎯
AN e ponta-seca em
B e raio
⎯
BN, determinamos dois arcos.
2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep-
ta um dos semi-arcos em 1.
3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à
→
A1, encontrando 2.
4. A interseção entre
→
AB e
→
12 é o conjugado
harmônico de N.
38
UEA – Licenciatura em Matemática
DIVISÃO ÁUREA
Euclides de Alexandria (365 a.C. – 300 a.C.)
Também teve grande importância para a his-
tória da geometria. Ele elaborou a teoria da
proporção áurea, em que dois números (X e Y,
por exemplo) estão em proporção áurea se a
razão entre o menor deles sobre o maior for
igual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja,
X/Y = Y/X+Y). Esta proporção estabelece um
coeficiente áureo, onde se pode analisar que,
basicamente, tudo que se encontra na nature-
za está inscrito nessa proporção, seja o corpo
humano, uma colmeia de abelhas, uma estrela
do mar, uma concha, etc.
Segmento áureo
Sejam
⎯
AB um segmento e P um ponto perten-
cente a reta-suporte desse segmento.
P é interior
P é exterior
Diz-se que um segmento está dividido por um
ponto na razão áurea quando uma das partes
por ele determinada é a média geométrica
entre o segmento e a outra parte.
⎯
AP
2
=
⎯
AB .
⎯
PB
O segmento
⎯
AP é o chamado áureo de
⎯
AB.
Determinação algébrica do segmento
áureo.
1.o
caso: P é interior a
⎯⎯
AB.
Por definição temos:
⎯
AP
2
=
⎯
AB .
⎯
PB ⇒ x2
= a .(a – x) ⇒
x2
+ ax – a2
= 0, cujas raízes são:
, descartamos a raiz
negativa.
2.o
caso: P é exterior a
⎯⎯
AB.
Por definição temos:
⎯
AP
2
=
⎯
AB .
⎯
PB ⇒ x2
= a .(a + x) ⇒
x2
– ax – a2
= 0, cujas raízes são:
, descartamos a raiz
negativa.
39
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
A razão entre cada segmento áureo e o seg-
mento a que ele se refere é um número de ouro.
e
Resolução gráfica
Dividir o segmento AB em média e extrema
razão.
Passo a passo
1. Por B traçamos uma perpendicular a
⎯
AB.
2. Ponta-seca em B e raio , encontramos
na perpendicular o ponto O.
3. Traçamos a circunferência de centro O e
raio
⎯
OB, e os pontos C e D (interseção da
semi-reta AO com a circunferência).
4. Ponta-seca em A e raio
⎯
AC e depois
⎯
AD,
determinamos sobre o segmento AB os
pontos P e P’.
⎯
AP = 0,618 .
⎯
AB e
⎯
AP’ = 1,618 .
⎯
AB
RETÂNGULO ÁUREO
É o retângulo que tem os seus lados a e b na
razão áurea a/b = f = 1,618034. Portanto o lado
menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a).
O retângulo áureo exerceu grande influência
na arquitetura grega. As proporções do Par-
tenon prestam testemunho dessa influência.
Construído em Atenas, no século V a.C., o
Partenon é considerado uma das estruturas
mais famosas do mundo. Quando seu frontão
triangular ainda estava intacto, suas dimen-
sões podiam ser encaixadas quase exata-
mente em um retângulo áureo.
Construção do retângulo áureo
Dado o quadrado ABCD
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Passo a passo
1. Determinamos o ponto médio de
⎯
AB.
2. Ponta-seca em M e raio
⎯
MC, determinamos
na semi-reta AB o ponto E.
3. Passando por E, traçamos uma semi-reta
vertical a
→
AE, cuja interseção com
→
DC é o
ponto F.
O retângulo AEFD é um retângulo áureo.
Arco capaz
Dado um segmento AB e um ângulo k, pergun-
ta-se: qual é o lugar geométrico de todos os
pontos do plano que contém os vértices dos
ângulos cujos lados passam pelos pontos A e
B sendo todos os ângulos congruentes ao
ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de
circunferência denominado arco capaz.
Construção do arco capaz
1. Traçar um segmento de reta AB.
2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com
o segmento AB um ângulo congruente a k.
3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t
passando pelo ponto A.
4. Determinar o ponto médio M do segmento
AB e traçar a reta mediatriz m ao segmento
AB.
O
5. Obter o ponto O que é a interseção entre a
reta p e a mediatriz m. Ponta-seca no ponto
O e abertura OA, traçar o arco de circunfe-
rência localizado acima do segmento AB.
O arco que aparece acima no gráfico é o
arco capaz.
41
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
O
1. Divida, harmonicamente, o segmento AB nas
razões dadas.
a)
b)
c)
2. Dado o segmento, obtenha o conjugado har-
mônico externo de P.
3. Dado o segmento, obtenha o conjugado har-
mônico interno de Q.
4. Divida o segmento AB em média e extrema
razão (seção áurea).
5. Divida o segmento AB em média e extrema
razão (seção áurea).
6. Construa o arco capaz de um ângulo de 300,
conhecendo o segmento GH.
7. O segmento RS mede 3,8cm e α forma com
ele um ângulo de 600. Trace o arco capaz cor-
respondente.
8. Determine os pontos da reta r que vêem o seg-
mento PQ sob um ângulo de 350.
9. São dados o segmento EF, a reta x e um ângu-
lo de 400
. Determine os pontos da reta x que
vêem o segmento EF sob o mesmo ângulo.
10. Construa o arco capaz a um segmento de
5,0cm sob um ângulo de 450
.
A língua é a expressão falada ou escrita do
pensamento humano. A cada povo corres-
ponde um idioma diferente variado, igual-
mente, por meio da evolução peculiar a cada
um, sua representação gráfica. Essa repre-
sentação, principalmente no mundo ociden-
tal, é feita por meio do alfabeto de origem
fenícia, que passou à Grécia e à Roma, e pela
sua simplicidade constituiu-se no principal
veículo de transmissão do conhecimento hu-
mano. Anteriormente, essa comunicação era
feita por meio do desenho, às vezes bem rudi-
mentar, do homem primitivo, por meio de hie-
róglifos como no Egito ou no México, grava-
dos ou esculpidos nos monumentos, ou por
meio dos caracteres cuneiformes das civiliza-
ções da Mesopotâmia, ou, ainda, por meio
dos caracteres ideográficos sino-japoneses.
Algumas tribos primitivas serviam-se de paus,
pedras, fios tecidos, colares, e com eles fazi-
am palavras, compondo frases e expressan-
do idéias.
É a escrita mnemônica. De origem americana,
esta escrita transmite idéias ou fatos sem
desenhá-los, isto é, não tem forma gráfica.
Os principais exemplos deste sistema são os
“quipos” dos índios do Peru e os “wampus”
dos índios irogueses.
Em síntese, a evolução da escrita pode ser
resumida em:
42
UEA – Licenciatura em Matemática
Pictografia – Desenhos de figuras rudimenta-
res – do latim “pictus” (pintado) e do grego
“grafe” (descrição). Escrita figurada usada pelo
homem primitivo para fixar, nas paredes das
cavernas, seus principais feitos, cenas de
caçadas, objetos de uso pessoal, etc. Res-
tringia a linguagem gráfica, limitando-a ao re-
gistro de fatos e coisas materiais com o máxi-
mo de realidade possível. Se eles queriam
exprimir a palavra “bisão”, desenhavam um ou
vários bisões, e para a palavra “caça”, desen-
havam homens com lanças ou arcos e animais.
“Disco de Faisto”, século XIV a. C. Ele encerra uma
espiral de hieróglifos da antiga Creta, que até hoje
não foram decifrados.
Ideografia – Fixação das idéias por meio dos
símbolos – sinais que, muitas vezes, não signifi-
cavam acontecimentos vistos e palpáveis. São
signos convencionais correspondentes a deter-
minadas expressões por meio das quais
surgem idéias. Cada desenho isolado tem um
significado, por onde o abstrato pode ser repre-
sentado. A lua e as estrelas simbolizavam o
mês; um olho, a vigilância; o desenho do sol,
por exemplo, já não designava somente o
astro, e sim, o tempo de luz solar entre duas
noites, isto é, o dia.
Fonetismo – Nesse sistema, as figuras lidas
evocavam seu primitivo sentido acrescido da
expressão sonora. Pássaro, ao invés de sim-
bolizar apenas rapidez, adquiria o valor sono-
ro de ave.
Isto é, equivaliam ao som, processo seme-
lhante ao usado atualmente nas cartas enig-
máticas, onde é comum o símbolo do sol mais
o do dado, representar a palavra soldado.
A linguagem gráfica e o mundo das
formas na nossa vida
Esses mosaicos matemáticos nem sempre
43
Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
são construídos pelo homem. O surpreen-
dente é que podemos observá-los também
na natureza, vejamos:
Nos favos de mel das abelhas, encontramos um
mosaico de hexágonos regulares.
(Hexágonos são polígonos de seis lados)
Um mosaico de hexágonos aparece
também na casca do abacaxi.
44
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IV
Figuras da geometria plana
47
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
TEMA 09
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS
PARTES IGUAIS (PELO ÂNGULO CENTRAL)
1 Divisão de circunferência em duas partes
iguais.
3600
/ 2 = 1800
2. Divisão de circunferência em três partes iguais.
3600
/ 3 = 1200
3. Divisão de circunferência em quatro partes
iguais.
3600
/ 4 = 900
4. Divisão de circunferência em cinco partes iguais
3600
/ 5 = 720
5. Divisão de circunferência em seis partes iguais
3600
/ 6 = 600
6. Divisão de circunferência em sete partes iguais
3600
/ 7 = 510
7. Divisão de circunferência em oito partes iguais
3600
/ 8 = 450
8. Divisão de circunferência em nove partes
iguais
3600
/ 9 = 400
9. Divisão de circunferência em dez partes iguais
3600
/ 10 = 360
10. Divisão de circunferência em doze partes
iguais.
3600
/ 12 = 180
48
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Dividir a pizza em seis partes iguais.
2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam alguns
raios para que possa pedalar entregando
pães. Complete os raios faltantes.
3. No visor do relógio de parede caíram os pon-
tos indicadores das horas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e
11 horas.
4. Para ver o sol nascer belo e vigoroso divida-o
em vinte partes iguais, projetando seus raios
em forma de triângulos a partir da circunferên-
cia para fora. Seu centro coincide com a quina
do muro.
5. A aranha está encontrando dificuldades para
armar sua teia, pois faltam fios importantes que
saem do centro e passam pelas bordas dos
polígonos.
6. Complete o desenho da roda dentada de acor-
do com a sua metade pronta.
7. As duas circunferências foram divididas em
oito partes cada, e seus pontos não são coli-
neares. Verifique que figura surgirá ao ligar os
pontos das duas circunferências em seqüên-
cia.
8. A partir dessa divisão de circunferência, usan-
do todos os pontos como centros, a ligação
dos números e a ligação das letras mostrarão
duas figuras em sobreposição, de forma que o
centro 1 ligará com um arco os pontos a e d, e
assim por diante, pois o raio é constante. Os
números darão origem à figura formada pelas
letras, e as letras darão origem à figura forma-
da pelos números.
9. A hélice do ventilado quebrou num desses dias
de calor intenso, e, para piorar, o condicio-
nador de ar não funciona. Coloque, então, uma
nova hélice sabendo que o ângulo entre elas é
de 600
(destacar as hélices).
10. Verifique se os ângulos α da divisão da circun-
ferência têm ângulos medidos iguais.
11. Dada a circunferência, divida-a em nove partes
iguais e construa um polígono estrelado regu-
lar inscrito (eneágono estrelado) ligando os
seus vértices em intervalos de dois em dois.
12. Construa um polígono estrelado regular inscrito
de nove pontas (eneágono estrelado), ligando
seus vértices em intervalos de três em três.
13. Complete o pentágono estrelado regular ins-
crito dada uma de suas pontas.
49
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
β
α
50
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 10
TRIÂNGULOS
BREVE HISTÓRICO
Os triângulos são formas geométricas que apre-
sentam rigidez e estabilidade pela agudez de
suas quinas e orientam-se por uma base. São
figuras de grande influencia nas culturas hu-
manas, como egípcios, babilônios e Pitágoras,
enfim, seja nas construções, seja nas artes, na
matemática, etc.
O triângulo é o menor entre os polígonos.
Os polígonos regulares (expressão, harmonia
e simetria) admitem uma circunferência inscri-
ta e circunscrita.
PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DE
TRIÂNGULOS.
1. Construir um triângulo eqüilátero de lado
⎯
AB = 3 cm, usando somente a régua e o par de
esquadros.
a) 1.o
passo:
Traçar o lado
⎯
AB = 3cm
b) 2.o
passo:
Posicione os esquadros de forma a obter a
partir de A e B ângulos de 600
cruzando-se
e obtendo-se o ponto C (vértice oposto à
base
⎯
AB).
2. Construir um triângulo eqüilátero de lado
⎯
AB = 3cm utilizando régua e compasso.
a) 1.o
passo:
Traçar o lado
⎯
AB = 3cm
b) 2.o
passo:
Abrir o compasso com a distância
⎯
AB e
colocar sua ponta seca em A, traçando um
arco a partir de B. Com a ponta seca em B
e a mesma abertura, traçar um arco a partir
de A, encontrando, assim, o ponto C, po-
dendo, então, ligar os pontos e definir o tri-
ângulo desejado.
3. Construir um triângulo eqüilátero inscrito sen-
do dada a circunferência de raio = 1,25cm.
a) 1.o
passo:
Traçar a circunferência e o seu diâmetro.
b) 2.o
passo:
Com a ponta-seca do compasso em uma
das extremidades do diâmetro e abertura
igual ao raio, traçar um arco cruzando a
circunferência duas vezes definindo,
assim, os dois pontos (vértices) que geram
o triângulo.
A B
A B
51
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
c) 3.o
passo:
Finalmente, ligam-se os pontos e define-se
o triângulo.
4. Construir um triângulo isósceles dado o lado
menor (base)
⎯
AB = 2cm e sua altura
⎯
MC = 3,2cm.
a) 1.o
passo:
Traçar o lado base
⎯
AB = 2cm.
b) 2.o
passo:
Pelo ponto médio de
⎯
AB, levantar uma per-
pendicular e nela marcar a altura
⎯
MC.
c) 3.o
passo:
Ligar os pontos ABC do triângulo isósceles.
5. Construir um triângulo isósceles dado o lado
(base)
⎯
AB = 3cm e um ângulo α = 700
adja-
cente à base.
a) 1.o
passo:
Traçar a base AB.
b) 2.o
passo:
Traçar o ângulo α a partir de A, estendendo
o traçado.
c) 3.o
passo:
Repetir a operação a partir de B obtendo-se o
ponto C pelo encontro dos ângulos le-
vantados, ligando os três pontos do triângulo.
6. Construir um triângulo retângulo isósceles ins-
crito à circunferência dada.
a) 1.o
passo:
Traçar a circunferência.
b) 2.o
passo:
Traçar pelo centro da circunferência o lado
AB igual a diâmetro.
M C
A B
A B
52
UEA – Licenciatura em Matemática
c) 3.o
passo:
Pelo centro da circunferência, levantar uma
perpendicular igual ao raio da circunferência.
d) 4.o
passo:
Finalmente, ligar os pontos A e B com o ponto C.
7. Construir um triângulo retângulo dados os
lados
⎯
AB = 4,4cm e
⎯
AC = 1,8cm.
a) 1.o
passo:
Traçar o lado AB.
b) 2.o
passo:
Traçar uma perpendicular à extremidade A.
c) 3.o
passo:
Ligar os pontos A, B e C, definindo o triân-
gulo pedido.
8. Construir um triângulo escaleno dados os
lados
⎯
AB = 5cm,
⎯
BC = 2,7cm e
⎯
AC = 2cm.
a) 1.o
passo:
Traçar o lado base
⎯
AB = 6cm.
b) 2.o
passo:
Abrir o compasso com a distância igual a AC
e com a ponta seca em B traçando um arco.
c) 3.o
passo:
Abrir o compasso com a distância BC, colo-
cando a ponta seca em A e traçando um arco
que cruze o arco BC definindo o ponto C.
d) 4.o
passo:
Ligar os pontos dos vértices A, B e C.
9. Construir um triângulo escaleno dado o lado
base
⎯
AB = 5cm e dois ângulos adjacentes a A
e B com ângulos α = 450
e 600
respectivamente.
a) 1.o
passo:
Traçar o lado (base) AB.
b) 2.o
passo:
A partir de
⎯
AB, levantar o ângulo de 450
pela
extremidade A.
c) 3.o
passo:
Levantar o ângulo de 600
pela extremidade
A B
53
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
B, cruzando a reta do ângulo de 450
no
ponto C.
10. Construir um triângulo eqüilátero de lado =
3cm, circunscrevê-lo e inscrevê-lo.
a) 1.o
passo:
Construir o triângulo por um dos processos
já vistos.
b) 2.o
passo:
Traçar as três alturas que também são as
bissetrizes do triângulo. O cruzamento des-
sas alturas determinará o centro inscritível e
circunscritível do triângulo.
c) 3.o
passo:
Com a ponta-seca do compasso no ponto
O (centro) e abertura a qualquer um dos
vértices, circunscrever o triângulo (por fora).
d) 4.o
passo:
Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir
a abertura do compasso
⎯
OM e inscrever o
triângulo.
Observe que, nesse caso, os lados do triân-
gulo são tangentes à circunferência.
1. Dado o triângulo retângulo isósceles circuns-
crevê-lo.
2. Desenhar um triângulo escaleno, dados os
lados
⎯
AB = 4cm,
⎯
BC = 3cm e
⎯
CA = 2cm.
3. Desenhar um triangulo dada a base
⎯
AB = 4cm e
dois ângulos adjacentes à base α = 450
e β = 600
.
4. Desenhar um triangulo retângulo dado o lado
maior
⎯
AB = 4cm, a hipotenusa = 4,5cm.
5. Dada a circunferência, circunscreva um triân-
gulo retângulo sabendo que seu lado maior
corresponde ao diâmetro.
6. Desenhar um triângulo dada a base
⎯
AB =5,5cm e
⎯
AC = 3,5cm e um ângulo adja-
cente à base a partir de A igual α = 600
.
7. Dividir com um traço o triângulo retângulo isós-
celes abaixo para obter outros dois triângulos
retângulos isósceles.
8. Complete o triângulo abaixo dado o seu lado
base
⎯
AB e a sua altura.
9. Classifique os triângulos existentes na figura
abaixo quanto à forma e quanto ao ângulo.
10. Complete a placa de sinalização “SIGA EM
FRENTE” para que não haja transtornos no
trânsito da rua.
11. O triângulo incompleto abaixo oculta um outro
triângulo idêntico. Defina este triângulo.
12. Quantos triângulos eqüiláteros há nesta figura?
13. Dado o módulo triangular, crie um módulo maior
repetindo-se quatro vezes, orientadondo-se pelo
eixo perpendicular.
14. Dado o triângulo eqüilátero, divida-o para obter
quatro triângulos eqüiláteros (basta usar três
traços).
15. A marca da Mercedes Bens (automóveis) é
mundialmente conhecida apresentando geome-
tria muito simples. Reproduza a marca abaixo
com precisão, citando o nome do triângulo base
da marca.
54
UEA – Licenciatura em Matemática
16. Dado o triângulo de base
⎯
AB, reproduza um
outro exatamente igual abaixo, usando a
mesma base.
17. Construir um triângulo eqüilátero circunscrito
de lado
⎯
AB = 5cm.
18. Construir um triângulo retângulo isósceles dado
o lado base
⎯
AB = 3cm e sua altura
⎯
MC = 5cm.
19. Construir um triângulo escaleno de lados
⎯
AB = 6cm,
⎯
AC = 4cm e
⎯
BC = 5cm.
20. Dado o triângulo retângulo isósceles, circuns-
creva-o.
TEMA 11
QUADRILÁTEROS
Quadrados e retângulos
BREVE HISTÓRICO
Tanto entre os Sumérios quanto entre os egíp-
cios, os campos primitivos tinham forma retan-
gular. Também os edifícios possuíam plantas
regulares, o que obrigava os arquitetos a cons-
truir muitos ângulos retos (de 90o
). Embora de
bagagem intelectual reduzida, aqueles homens
já resolviam o problema como um desenhista
de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na
terra, assinalavam um segmento de reta. Em
seguia, prendiam e esticavam cordas que fun-
cionava à maneira de compassos: dois arcos
de circunferência se cortam e determinam dois
pontos que, unidos, secionam perpendicular-
mente a outra reta, formando os ângulos retos.
Definição
São polígonos que possuem quatro lados, com
formas que apresentam aspecto de rigidez,
conservadorismo e estabilidade – no caso dos
quadrados, retângulos e trapézios.
São figuras poligonais fechadas, que limitam
uma área do espaço.
Podem ser côncavos ou convexos.
Tem ângulo Todos os ângulos
interno de 180º internos são
menores que 180º
a) Quadriláteros paralelogrâmicos
Quadriláteros que possuem lados opostos
paralelos entre si. Pertencem a este grupo:
o quadrado, o retângulo, o losango e o
paralelogramo.
55
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
b) Trapézios
Quadriláteros que possuem dois lados para-
lelos entre si chamados de bases (maior ou
menor). Os lados não-paralelos são chama-
dos de transversais. A distancia entre lados
paralelos é chamado de altura (h).
Podem ser divididas em: retângulo, isósce-
les e escaleno.
c) Trapezóides
Quadriláteros que não apresentam para-
lelismo entre os lados.
CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS
1. Construir um quadrado (regular) dado o lado
AB = 2,7cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma linha horizontal indefinida e nela
marcar a distância AB.
b) 2.o
passo:
Pelos pontos A e B, levantam-se duas per-
pendiculares.
c) 3.o
passo:
Com centro em A e raio
⎯
AB, corta-se a per-
pendicular que sobe de A no ponto D. Com
o mesmo raio e com centro em B, corta-se
a perpendicular que sobe de B no ponto C,
ligando-se os pontos C e D, obtendo-se,
assim, o quadrado pedido.
2. Construir um quadrado (regular), dadas suas
diagonais.
a) 1.o
passo:
Traçar as duas diagonais prolongadas,
cruzando-as no ponto O (centro).
b) 2.o
passo:
Com a ponta-seca do compasso em O e
abertura qualquer, traça-se uma circunfer-
ência, determinando quatro pontos.
c) 3.o
passo:
Ligam-se os pontos na ordem A, B e C, que
são os lados do quadrado.
56
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Construir um retângulo dados os lados
⎯
AB = 4,8cm e AD = 2cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma linha suporte horizontal e, sobre
ela, traçar o lado
⎯
AB = 4,8cm.
b) 2.o
passo:
Pela extremidade A, levanta-se uma per-
pendicular, marcando sobre esta o lado
⎯
AD = 2cm.
c) 3.o
passo:
Traçar uma paralela ao lado
⎯
AB partindo
por D.
d) 4.o
passo:
Levantar uma perpendicular a partir de B,
obtendo o quarto vértice C e o retângulo
pedido.
4. Construir um quadrado conhecendo-se a sua
diagonal
⎯
AB = 3,3cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma linha suporte horizontal, mar-
cando o segmento retilíneo
⎯
AB.
b) 2.o
passo:
Traçar uma perpendicular cortando o seg-
mento
⎯
AB ao meio (centro O).
c) 3.o
passo:
Marcar, com a medida do raio
⎯
AO, as dis-
tâncias
⎯
OC para cima e
⎯
OD para baixo.
Unindo-se os pontos A, B, C, e D, teremos
o quadrado pedido.
5. Construir um retângulo dado o lado
⎯
AB = 6cm
e sua diagonal
⎯
AC = 6,5cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma linha suporte horizontal, mar-
cando sobre ela a distância AB.
b) 2.o
passo:
Levantar duas perpendiculares ao segmen-
to
⎯
AB, pelas extremidades A e B.
c) 3.o
passo:
Com centro em qualquer de suas extremi-
dades, no caso A, e com raio igual ao com-
primento
⎯
AC da diagonal, descreve-se um
arco de círculo que cortará a outra perpen-
dicular no ponto C.
57
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
A D
A B
d) 4.o
passo:
Traçar uma paralela a AB passando pelo ponto
C, determinado, assim, o quarto vértice D do
retângulo pedido, ligando agora os vértices.
QUADRILÁTEROS
1. Construir um quadrado circunscrito, conhe-
cendo-se suas diagonais e seu raio = 3cm.
2. Utilizando quatro triângulos retângulos isósce-
les, construir dois quadrados: um externo e
outro interno.
3. Dadas os pares de paralelas perpendiculares
entre si, construa a cruz que simboliza a saúde
no mundo inteiro.
4. Que objeto surgirá a partir desta figura com-
posta de retângulos?
Escreva e/ou desenhe.
5. Construir um retângulo, dado o triângulo ABC
abaixo, sabendo que o ponto C é o cruzamen-
to das diagonais do retângulo pedido.
6. A construtora “JOÃO DE BARRO”, possui um
terreno em área valorizada, mas totalmente
fora de esquadro ou alinhamento, dificultando
sua venda. Faça a divisão do terreno e veja
quantos lotes de 1cm x 2cm (no desenho
abaixo), podemos conseguir.
7. Dada o cubo abaixo, como é o desenho dele
aberto (planificado), usando medidas reais do
cubo: largura, altura e comprimento?
8. A partir do retângulo ABCD e uma diagonal,
desenhe dois outros retângulos, sendo que o
retângulo interno tem lado menor igual a 1cm,
e o maior tem diagonal igual a 7cm.
9. A figura abaixo contém diversas formas: planas
e tridimensionais que se relacionam entre si. Cite
quais formas podemos encontrar nessa figura.
58
UEA – Licenciatura em Matemática
10. Construa dois quadrados sendo um interno e
outro externo, utilizando quatro trapézios
isósceles.
a) A figura abaixo é um exemplo de ilusão de
ótica. Olhando para ela, temos a impressão
de ver pequenos quadrados ou manchas
cinza nos cruzamentos das faixas brancas.
Você sabe por que isso ocorre?
R: Quando as faixas se cruzam, o contraste
entre o branco e o preto fica menor e,
assim, podemos ver essas manchas cinza
claras.
b) As diagonais AB e CD dos paralelogramos
são iguais.
R: Sim. Confira.
c) A figura ABCD é um quadrado?
R: Sim.
TEMA 12
TRAPÉZIOS
INTRODUÇÃO
Os trapézios são triângulos truncados com for-
mas que transmitem estabilidade e ascensão,
projeção.
Ao contrário dos Egípcios, as civilizações anti-
gas da América Central não construíram seus
monumentos com base na forma triangular,
mas na forma de trapézios.
CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS
1. Construir um trapézio isósceles conhecendo-
se o lado maior
⎯
AB = 4cm, a base menor
⎯
CD = 2cm e sua altura = 3,3cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e marcar a medida
⎯
AB, e em seguida marcar a metade de
⎯
AB
(ponto médio).
59
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
A B
b) 2.o
passo:
Levantar uma perpendicular a partir de M.
c) 3.o
passo:
Marcar a altura do trapézio MM e traçar uma
reta paralela a AB passando por M.
d) 4.o
passo:
Marcar sobre esta reta paralela a AB a me-
dida CD, sendo que a metade desta medida
MC está para a esquerda e MD para a dire-
ita. Unindo-se os pontos A, B, C e D, obtém-
se o trapézio pedido.
2. Construir um trapézio isósceles conhecendo-se
a base maior
⎯
AB = 4,8cm, sua altura = 2,8cm
e o ângulo adjacente à base maior é α = 600
.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e nela marcar a
medida
⎯
AB. Em seguida, marque a altura,
traçando-se uma paralela a
⎯
AB.
b) 2.o
passo:
Construir o ângulo α com origem em A e
depois com origem em B. Os ângulos le-
vantados cortarão a altura em C e D,
definindo, assim, o lado menor e o trapézio
(de lados A, B, C e D) pedido.
4. Construir um trapézio retângulo conhecendo-se
a base maior
⎯
AB = 4,8cm, o lado CD = 3,5cm
e sua altura = 2cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e nela marcar a
medida AB.
b) 2.o
passo:
Traçar a altura a partir do ponto A da base
maior, marcando-se a medida dada, obten-
do-se, assim, o ponto C.
c) 3.o
passo:
Traçar uma reta paralela a
⎯
AB passando
pelo ponto C.
d) 4.o
passo:
Medir, então, sobre a paralela traçada o
cumprimento da base menor
⎯
CD. Unindo-
se A, B, C e D respectivamente, teremos o
trapézio pedido.
60
UEA – Licenciatura em Matemática
h
4. Construir um trapézio escaleno sendo a base
maior
⎯
AB = 4,8cm, a base menor
⎯
CD = 1,5cm,
o lado
⎯
AC = 2,7cm e o ângulo adjacente à
base AB a partir de A, sendo α = 70°.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e nela marcar a
medida
⎯
AB.
b) 2.o
passo:
Medir e traçar o ângulo α sobre a base
⎯
AB
com origem em A.
c) 3.o
passo:
Marcar e medir
⎯
AC sobre o ângulo levanta-
do e, pelo ponto C, traçar uma paralela a
⎯
AB.
d) 4.o
passo:
Medir então, sobre a paralela traçada o
comprimento da base menor
⎯
CD. Unindo-
se então A, B, C e D respectivamente, tere-
mos o trapézio pedido.
5. Construir um trapezóide dada a base maior
⎯
AB = 4,85cm, sua base menor
⎯
CD = 2cm, o
lado
⎯
AC = 3cm, o lado
⎯
BD = 2,9cm e um ângu-
lo = 70° adjacente a AB com origem em A.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e nela marcar a dis-
tância AB.
b) 2.o
passo:
Medir e traçar o ângulo sobre
⎯
AB com cen-
tro em A.
c) 3.o
passo:
Marcar a medida
⎯
AC sobre o lado do ângu-
lo levantado.
d) 4.o
passo:
Com centro em C e abertura
⎯
CD = 3cm (feita
com compasso) faz-se um arco aleatório.
e) 4.o
passo:
Com centro em B e abertura do compasso
com a medida
⎯
BD, faz-se outro arco cortan-
do o arco anterior originando o ponto D.
Une-se, então, os pontos A, B, C e D para
obter o trapézio pedido.
61
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
TRAPÉZIOS
1. Construir um trapézio isósceles, dada a sua
base maior
⎯
AB = 5cm , sua altura h = 4cm e
um ângulo de 80° adjacente à base
⎯
AB.
2. Dado o triângulo eqüilátero A B C, construir um
trapezóide, sendo o lado
⎯
AD = 4cm e o lado
⎯
BE = 3cm.
3. Construir e identificar o trapézio conhecendo-se
o lado
⎯
AD = 4,5cm, suas diagonais
⎯
AC = 6,8cm
e
⎯
BD = 7,7 cm, com altura h = 4,4cm.
4. Construir um trapézio retângulo conhecendo-
se a base maior
⎯
AB = 6cm, a base menor
⎯
CD = 2cm e sua altura
⎯
AD = 3cm.
5. Construir um trapézio retângulo, dada a sua
base maior
⎯
AB = 6cm e o ponto médio dessa
base (metade de
⎯
AB).
6. Descreva as características de um trapézio
quanto:
Aos lados: ________________________________
Aos ângulos: _____________________________
7. Dada a circunferência abaixo, construir um
trapézio isósceles, sabendo-se que sua base
maior é o diâmetro da circunferência e seus
quatro pontos (A, B, C e D) tocam essa circun-
ferência.
8. Determine o perímetro do trapézio dado sobre
a linha abaixo.
9. Abaixo, temos um quadrado e uma de suas
diagonais. Com apenas um traço, divida o
quadrado em dois trapézios retângulos.
10. Construir um trapézio isósceles, dada a base
maior
⎯
AB = 6cm, base menor
⎯
CD = 4cm e
sua altura = 4cm.
11. Desenhar um trapézio isósceles circunscrito,
dada a base maior
⎯
AB = 6cm, um ângulo adja-
cente à base α = 60°, em que a base maior é
o diâmetro da circunferência.
12. Complete o desenho da barra de ouro unindo
os vértices das letras iguais.
13. Dado o trapézio, divida-o de forma a obter:
a) Um trapézio retângulo.
b) Um triângulo retângulo.
62
UEA – Licenciatura em Matemática
14. Construir um trapézio escaleno, dada a base
maior
⎯
AB =6cm, a base menor
⎯
CD = 2.5cm, o
lado
⎯
AC =3cm e dois ângulos adjacentes à
base maior, α = 60° e β = 45°.
15. Complete, com um trapézio isósceles, o dese-
nho da casa.
16. Dado o quadrado, divida-o para obter quatro
trapézios isósceles).
17. Dadas três figuras, monte um trapézio.
18. Decomponha a figura dada em:
a) Dois trapézios retângulos.
b) Um triângulo equilátero.
c) Um trapézio isósceles.
19. Vamos ligar os pontos na ordem alfabética e
ver que figura vai surgir.
20. No futebol de rua, a garotada jogou a bola con-
tra uma janela, estilhaçando a vidraça. Des-
taque as partes de vidro que formam trapézios.
63
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
TEMA 13
LOSANGOS E PARALELOGRAMOS
Diferenciam-se dos quadriláteros retangulares
pela sua inclinação ou angulação, proporcio-
nada pelas suas diagonais de tamanho, trans-
mitindo sensação de desequilíbrio e, ao
mesmo tempo, dinamismo, parecendo estar
em movimento ou deslocamento.
Sensação de movimento
O quadrado é estático.
O losango tem movimento diagonal.
Aplicações
CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMOS
1. Construir um losango dados um lado
⎯
AB = 2,7cm
e um ângulo α = 60°.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e, sobre esta, mar-
car o segmento retilíneo
⎯
AB, que é o lado
dado.
b) 2.o
passo:
Marca-se o ângulo a partir do segmento
⎯
AB,
tendo como origem a extremidade A, pro-
longando-se o outro lado do ângulo.
c) 3.o
passo:
Com centro em A e abertura igual a
⎯
AB, le-
vanta-se um arco, cruzando o lado do
ângulo levantado.
d) 4.o
passo:
Traçar, a partir de B, um segmento paralelo
a
⎯
AC (prolongado). Da mesma forma, traçar
uma reta paralela a
⎯
AB passando por C e
definindo o último ponto que é o D. Unindo
os pontos A, B, C, D, e A teremos o losan-
go desejado.
2. Construir um losango, dadas as duas diago-
nais, sendo a diagonal maior
⎯
AB = 4cm e a
diagonal menor
⎯
CD = 2,5cm.
a) 1.o
passo:
Traçar as duas diagonais perpendiculares
entre si (prolongadas) que se cruzam em
seus meios (origem).
64
UEA – Licenciatura em Matemática
b) 2.o
passo:
Marcar, a partir do cruzamento das diago-
nais (O), a metade da medida AB, sendo
⎯
AO = 2cm e
⎯
OB = 2cm (diagonal maior).
c) 3.o
passo:
Desta vez, marcar a partir de O a metade da
medida
⎯
CD, sendo
⎯
OC = 0,8cm e
⎯
OD=0,8cm
a diagonal menor. Obtido os quatro pontos,
liga-se e obtém-se o losango pedido.
3. Construir um losango sabendo-se o seu lado
⎯
AB = 2,7cm. (usar compasso e régua).
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e nela marcar o
segmento
⎯
AB.
b) 2.o
passo:
Com centro em A e abertura
⎯
AB, traça-se
um arco acima de B.
c) 3.o
passo:
Com centro em B e mesma abertura
⎯
BC,
traça-se um arco que cruzará o arco anteri-
or definindo o ponto C.
d) 4.o
passo:
Com centro em C e abertura (mesma)
⎯
CB,
traça-se um arco cruzando o arco
⎯
BA e
definindo o ponto D. Unindo-se os pontos
A, B, D e C, temos o losango desejado.
4. Construir um paralelogramo dado o lado
⎯
AB = 4,8cm, o lado
⎯
AC = 2,2cm e o ângulo
adjacente a AB, α = 45°
a) 1.o
passo:
Traça-se uma reta suporte e marca-se a
medida AB.
b) 2.o
passo:
Constrói-se o ângulo α sobre o segmento
⎯
AB com origem em A.
c) 3.o
passo:
Traça-se sobre o lado do ângulo α levanta-
do a medida
⎯⎯
AC.
65
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
O
O
d) 4.o
passo:
Traça-se uma paralela ao lado
⎯⎯
AB passan-
do por C e outra ao lado
⎯⎯
AC passando por
B, definindo o ponto D. Unem-se os pontos
com traço forte e obtém-se o paralelogramo
pedido.
5. Construir um paralelogramo, dados os lados
⎯⎯
AB = 4,8cm, um ângulo α = 45° adjacente ao
lado
⎯⎯
AB e sua altura = 1,4cm.
a) 1.o
passo:
Traçar uma reta suporte e marcar a medida
AB.
b) 2.o
passo:
Constrói-se o ângulo a partir do segmento
⎯⎯
AB com centro em A, alongando-se o lado
do ângulo aberto.
c) 3.o
passo:
Repete-se a mesma operação para a cons-
trução do ângulo, tendo a extremidade B
como centro.
d) 4.o
passo:
Traça-se a altura perpendicular ao segmen-
to
⎯⎯
AB. Em seguida constrói-se uma paralela
a
⎯⎯
AB cruzando os ângulos levantados nos
pontos C e D, onde A, B, C e D formam o
paralelogramo.
1. Desenhar um losango, dado o lado
⎯⎯
AB = 4cm.
2. Desenhar um losango, dadas as diagonais
⎯⎯
AC = 5cm e
⎯⎯
BD = 3cm.
3. Desenhar um paralelogramo, dado o lado
maior
⎯⎯
AB = 5,5cm e o lado menor
⎯⎯
AD = 2,5cm
e o ângulo adjacente à
⎯⎯
AB α = 45°.
4. Construir um paralelogramo, dado o lado
maior
⎯⎯
AB = 5cm, um ângulo adjacente à base
α = 60° e sua altura = 2cm.
5. Dada a circunferência e a sua divisão, construa
três losangos para obter uma figura a saber.
6. Divida o hexágono regular com dois losangos
para obter um cubo.
7. Complete o desenho da casa com um losango.
66
UEA – Licenciatura em Matemática
8. Dado o módulo abaixo, repita-o para formar
um painel (composição por repetição).
9. Dado o retângulo, divida-o para obter um para-
lelogramo.
10. Complete o desenho da bandeira do Brasil
sabendo que os lados do retângulo são
⎯⎯
AB = 7cm e
⎯⎯
BC = 4cm e o losango tem dia-
gonais
⎯⎯
AC = 6cm e
⎯⎯
BD =3,5cm.
11. Dados os quadrados e uma linha poligonal,
ligue as letras iguais para obter um objeto tridi-
mensional com um furo.
12. O desenho tridimensional do parafuso está
incompleto, restando duas faces em forma de
losangos; finalize-o.
13. Observe a linha poligonal abaixo e reproduza
este caminho, utilizando losangos.
14. Construa um triângulo eqüilátero e divida-o
para obter três losangos que, ao serem escure-
cidos, fará surgir a marca “MITSUBISHI”.
15. Monte pelo menos cinco combinações dife-
rentes com os dois paralelogramos abaixo.
67
Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
UNIDADE V
Polígonos e Poliedros
71
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
TEMA 14
POLÍGONOS
Introdução
É a região do plano limitada por uma linha poli-
gonal fechada.
Os polígonos estão presentes em quase todas
as coisas que usamos ou vemos, enchendo o
mundo que nos cerca, com suas variadas for-
mas e composições. Basta observar coisas
que você esta usando ou ao seu redor.
Ao longo do tempo, fomos aprendendo a ob-
servar, associar e aplicar as formas geométri-
cas naturais ao nosso mundo próprio.
1. Classificando os polígonos (com mais de
cinco lados)
1. Polígonos regulares e irregulares
a. Polígonos regulares – São formas inscritas
e circunscritas por circunferência. Possui
ângulos externos também iguais, sendo
que a soma dos ângulos internos é igual a
360°.
b. Polígonos não-regulares – Possuem lados
com tamanhos diferentes e ângulos inter-
nos e externos diferentes, sendo que a
soma dos ângulos internos é também de
360°.
2. Polígonos inscritos e circunscritos.
a. Polígonos inscritos – Os vértices do polí-
gono estão sobre a circunferência.
b. Polígonos circunscritos – Os lados do
polígono são tangentes à circunferência.
3. Polígonos convexos e côncavos.
a. Polígonos convexos – São polígonos que
não possuem vértices reentrantes, ou seja,
todas as diagonais estão na região interna.
72
UEA – Licenciatura em Matemática
b. Polígonos côncavos – São polígonos que
possuem ângulos reentrantes, ou seja, vér-
tices em direção ao interior do polígono.
Observação:
A tendência de um polígono, à medida que
aumenta o seu número de lados, é de se apro-
ximar da forma de uma circunferência.
Construção de Polígonos Regulares em
função do lado
1. Construir um pentágono regular, conhecendo-
se o seu lado
⎯
AB = 1,6cm.
1.o
passo:
Traçar o lado
⎯
AB e com centro em A e raio
⎯
AB,
construir uma circunferência.
2.o
passo:
Com centro em B e mesmo raio, traça-se outra
circunferência, cortando-se os pontos P e O,
pelos quais passam uma linha prolongada.
3.o
passo:
Com centro em O e raio
⎯
AB, traça-se a última
circunferência, que vai cortar o segmento
⎯
OP
no ponto G e as duas circunferências já
traçadas nos pontos 1 e 2.
4.o
passo:
Une-se o ponto 1 ao ponto G e prolonga-se a
linha assim obtida até a circunferência do cen-
tro A. Une-se depois o ponto 2 ao ponto G e
prolonga-se também esta reta até que ela corte
a circunferência do centro B.
5.o
passo:
As duas linhas traçadas determinarão, no en-
contro com as duas circunferências, os pontos
P
P
O
O
73
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
C e D que, unidos respectivamente a A e a B,
definindo mais dois lados sendo,
⎯
AC e
⎯
BD.
6.o
passo:
Com centro em C e raio
⎯
AB, traça-se um arco
X e, em seguida, com o mesmo raio e centro
em D, descreve-se o arco Y, cortando o arco X
no ponto E. Unindo-se o ponto E ao ponto C e
a D, teremos os dois lados restantes,
⎯
EC e
⎯
ED
do pentágono pedido.
2. Construir um hexágono regular conhecendo-
se o lado
⎯
AB = 1,6cm.
1.o
passo:
Traça-se o lado
⎯
AB e com centro em A e raio
⎯
AB, descreve-se o arco 2. Com o centro em B e
mesmo raio, traça-se o arco 1 que cortará o
primeiro arco em O.
2.o
passo:
Com centro em O e raio
⎯
AB, traça-se uma cir-
cunferência.
3.o
passo:
Com a distância
⎯
AB e centro em B, marca-se
sobre a circunferência o ponto C, utilizando-se
o ponto seguinte como centro, até marcar o
sexto ponto do hexágono, no caso F.
4.o
passo:
Finalmente, ligam-se os pontos A, B, C, D, E, F,
A, nessa ordem, para obter o hexágono regu-
lar pedido.
3. Construir um heptágono regular conhecendo-
se o seu lado
⎯
AB = 2cm.
1.o
passo:
Marca-se sobre uma linha suporte horizontal a
distancia
⎯
AB igual ao lado conhecido, e em
seguida a distância
⎯
BC igual a
⎯
AB na mesma
linha.
2.o
passo:
Admitindo-se o seguimento
⎯
AC como base de
um triângulo eqüilátero, constroe-se esta figura
de vértices A, C e D.
P
E P
74
UEA – Licenciatura em Matemática
3.o
passo:
Levanta-se uma perpendicular por B, que é o
meio da base
⎯
AC, e em seguida traça-se outra
perpendicular, desta vez pelo meio do lado
⎯
CD,
cortando a altura
⎯
BD em O.
4.o
passo:
Com centro em O e raio
⎯
OA, traça-se uma cir-
cunferência que circunscreverá o triângulo.
Aplique-se agora o lado
⎯
AB.
5.o
passo:
Com centro em A e distância
⎯
AB, marca-se
sobre a circunferência no ponto 1, onde A1 é o
primeiro lado da figura.
6.o
passo:
Marca-se a distância
⎯
AB sobre a circunferência
para obter os lados pelos pontos 1, 2, 3, 4, 5,
6, A, que unidos completarão o heptágono
pedido.
4. Construir um octógono conhecendo-se o seu
lado AB = 1,5cm.
1.o
passo:
Traça-se uma reta suporte e sobre esta marca-
se a medida do lado, levantando-se em segui-
da duas perpendiculares a este lado a partir de
A e de B.
2.o
passo:
Traçam-se as duas bissetrizes destes dois
ângulos retos, uma com origem em A e outra
com origem em B.
3.o
passo:
Marca-se sobre a reta do ângulo de origem A
medida
⎯
AC, e sobre a reta do ângulo de
origem B a medida
⎯
BD.
75
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
4.o
passo:
Levantam-se pelos pontos C e D duas perpen-
diculares à reta suporte de
⎯
AB, nas quais mar-
cam-se as distâncias
⎯
CE e
⎯
DF, respectivamente
iguais a
⎯
AB.
5.o
passo:
Com centro em E e raio
⎯
AB, corta-se a perpen-
dicular que passa por A no ponto G; com o
mesmo raio e centro em F, corta-se agora a
perpendicular a
⎯
AB que parte de B no ponto H.
Ligando-se agora os pontos A, B, D, F, H, G, E,
C e A teremos o octógono pedido.
2. CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS INSCRITOS
EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
1. Dividir a circunferência em três partes iguais e
construir um triângulo eqüilátero circunscrito.
1.o
passo:
Traça-se o diâmetro horizontal
⎯
AB da circunfer-
ência e levanta-se uma perpendicular pelo
meio(M) do raio
⎯
AO. Esta linha vai cortar a cir-
cunferência nos pontos C e D.
2.o
passo:
Os pontos B, C e D são os três lados do triân-
gulo inscrito.
2. Dividir a circunferência de raio
⎯
OA = 1,7cm em
quatro e oito partes iguais, ou então construir
um quadrado e um octógono inscritos.
1.o
passo:
Traçam-se, inicialmente, os diâmetros
⎯
AB e
⎯
CD
perpendiculares, dividindo a circunferência em
quatro partes iguais.
2.o
passo:
Traça-se uma circunferência com centro em O
e abertura
⎯
OA, que vai tocar os diâmetros nos
pontos A, B, C, e D.
3.o
passo:
A ligação dos pontos
⎯
AD,
⎯
DB,
⎯
BC e
⎯
CA deter-
mina o quadrado inscrito.
O
76
UEA – Licenciatura em Matemática
4.o
passo:
Traça-se uma perpendicular pelo meio dos
lados
⎯
AC e
⎯
BD, cortando a circunferência nos
pontos E e F, obtendo-se mais dois pontos da
figura.
5.o
passo:
Desta vez, traça-se uma perpendicular pelo
meio dos lados
⎯
AD e
⎯
BC, obtendo-se sobre a
circunferência os pontos G e H, que são os últi-
mos pontos da figura circunscrita.
6.o
passo:
Ligando-se, respectivamente, os pontos A, G, D,
F, B, H, C, E, A, teremos um octógono inscrito.
3. Construir um pentágono circunscrito conhe-
cendo-se a circunferência.
1.o
passo:
Traçam-se, em primeiro lugar, os dois diâme-
tros perpendiculares da circunferência, sendo
estes
⎯
AB e
⎯
CD.
2.o
passo:
Divide-se o raio
⎯
OD ao meio, determinando o
ponto X. Com raio
⎯
XA, descreve-se um arco que
vai cortar o diâmetro
⎯
AB (horizontal) no ponto P.
3.o
passo:
Agora, com o centro em A e raio
⎯
AP, traça-se
outro arco, que vai determinar na circunferên-
cia o ponto E, que unido com A dará o lado do
pentágono circunscrito.
4.o
passo:
Finalmente, com centro em E e medida con-
stante
⎯
AE, marcam-se sobre a circunferência
os pontos E, F, G, H, A restantes que ligados
definirão o pentágono regular inscrito.
E
E H
F G
77
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
4. Construir um hexágono regular conhecendo-
se a circunferência de diâmetro
⎯
AB = 3,4cm.
1.o
passo:
Traça-se uma reta suporte horizontal na qual
marca-se o diâmetro
⎯
AB e seu meio O (centro).
2.o
passo:
Traça-se a circunferência, e com centro em A e
raio
⎯
AO, descreve-se arco de círculo que cor-
tará a circunferência duas vezes, obtendo-se
os pontos C e D, onde
⎯
AC ou
⎯
AD já é o lado do
pentágono circunscrito.
3.o
passo:
Agora, com centro em B e raio
⎯
BO, descreve-se
um outro arco de circulo que cortará a circun-
ferência nos pontos E e F. Unindo-se os pontos
A, C, E, B, F e D, obtem-se o hexágono regular
inscrito.
5. Construir um heptágono regular circunscrito,
conhecendo-se o diâmetro da circunferência
AB = 3,4cm.
1.o
passo:
Traçar o diâmetro AB horizontal e sua circun-
ferência pelo meio de AB.
2.o
passo:
Com centro em A raio
⎯
AO, traça-se um arco do
círculo que cortará a circunferência nos pontos
1 e 3.
3.o
passo:
Unindo-se os pontos
⎯
13, teremos uma reta per-
pendicular que cortará o diâmetro
⎯
AB no ponto
2. O segmento
⎯
12 é o lado do heptágono.
4.o
passo:
Com centro em 1 e medida
⎯
12, traça-se um
arco que cortará a circunferência no ponto A,
repetindo-se, então, ao longo da circunferência
até o ponto 1. Unem-se os pontos 1, 4, 5, 6, 7,
8 e 9 para obter o heptágono regular inscrito.
6. Construir um noneágono regular circunscrito
conhecendo-se o diâmetro
⎯
AB = 3,4cm da cir-
cunferência.
9
8
7
6
5
78
UEA – Licenciatura em Matemática
1.o
passo:
Traça-se o diâmetro
⎯
AB e pelo seu meio O
(centro) constrói-se a circunferência de raio
AO.
2.o
passo:
Levanta-se uma perpendicular ao raio
⎯
OB pelo
ponto C, cortando a circunferência no ponto G.
3.o
passo:
Com centro em C o raio
⎯
OB, descreve-se um
arco que cortará a perpendicular traçada no
ponto D.
4.o
passo:
Com centro em D e mesmo raio
⎯
OB, corta-se o
arco que parte de D no ponto E.
5.o
passo:
Liga-se agora E a O. Essa linha corta a circun-
ferência no ponto F, que ligado a G determina o
segmento retilíneo que é o lado do eneágono.
Com abertura
⎯
FG marcam-se sobre a circunfer-
ência os nove lados (F, G, H, I, A, J, L, M e N)do
eneágono pedido.
POLÍGONOS
1. Construir um pentágono regular de raio
⎯
OA = 3cm pela divisão da circunferência.
2. Construir um hexágono regular circunscrito,
dado o triângulo abaixo.
3. Construir um octógono regular inscrito, dados
a circunferência e os dois diâmetros abaixo.
J
L
M
N
H
I
O
BA
A
C
E
G
79
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
4. Construir um heptágono regular circunscrito,
sabendo-se que
⎯
AB é o seu lado, e o ponto O
é o centro da figura pedida.
5. Construir um hexágono regular circunscrito,
dada a figura abaixo.
6. Construir um decágono (10 lados) regular cir-
cunscrito, dado o pentágono regular.
7. Construir um octógono regular circunscrito,
dadas as retas paralelas abaixo.
8. Construa a estrutura da roda gigante, saben-
do-se que ela possui lados iguais ao lado
⎯
AB.
9. Dado o eneágono regular circunscrito, ligar com
cordas de circunferência os pontos de quatro
em quatro para obter uma figura estrelada.
10. O proprietário de um automóvel esportivo pre-
cisou trocar-lhe os pneus e aproveitou e trocou
o jogo de aros dos pneus. Crie, então, um no-
vo modelo de aro tendo como base um hexá-
gono regular (há várias soluções).
11. Complete o desenho do parafuso cuja cabeça
tem forma de hexágono regular.
A
I
G
E
C
A B
80
UEA – Licenciatura em Matemática
12. Dado o pentágono regular circunscritível de
raio = 2,4cm, traçar um semelhante de mesma
origem e raio = 3cm.
13. Os lados do triângulo abaixo são lados de três
polígonos regulares inscritos sendo:
a) pentágono;
b) hexágono;
c) decágono.
Identifique o lado do triângulo com o lado-base
dos polígonos citados.
14. Uma pedra preciosa foi encontrada em sua
forma bruta (dodecágono irregular). Lapide-a
na forma de um pentágono irregular.
15. A figura seguinte é um polígono estrelado por
quê?
16. O proprietário da mesa abaixo, sem condições
de comprar uma nova, decidiu modificá-la para
uma forma de um octógono irregular inscritível
eliminando as quinas da mesa. Auxilie com o
desenho para evitar problemas no corte das
quinas da mesa.
81
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
TEMA 15
POLIEDROS
Histórico de poliedros
As primeiras construções geométricas surgi-
ram com problemas simples, como a medida e
a divisão de terra, e a construção da roda. Nes-
te estágio, a Geometria era um bando de recei-
tas para cálculos de perímetros e áreas. Cedo
o homem aprendeu que soluções retilíneas eram
mais econômicas, aprendeu a trabalhar com fi-
guras regulares e a fazer divisões que são fá-
ceis de construir. As primeiras construções, as
mais primitivas, já eram modelos de cones e
cilindros, como, por exemplo, as cabanas de
índios e os poços artesanais. Alguns sólidos
regulares, como pirâmides e prismas, talvez por
serem mais econômicos, foram sendo mais e
mais usados. Já por volta de 1000 a.C., monu-
mentos imensos, como pirâmides, já tinham sido
erguidos. Já se conhecia como construir ângu-
los retos e como retificar a circunferência. O
desejo de se sentir bem nos seus ambientes
levou o homem a desenvolver a estética por
meio da Arquitetura e da Decoração. A Geo-
metria encontra-se presente na Arquitetura
Egípcia, Assíria-Babilônica, Grega e Romana,
como também na decoração por meio do re-
conhecimento e da repetição de módulo e suas
simetrias, muito usado nas culturas Egípcia,
Grego-Romana e Árabe.
Os poliedros regulares fascinaram os antigos
como símbolo de perfeição da natureza. Os
Gregos, mais precisamente os Pitagóricos, já
sabiam da existência de três dos cinco po-
liedros regulares: o cubo, o tetraedro e o dode-
caedro. Cubos e tetraedros já eram conheci-
dos de Egípcios e Babilônios. Os Etruscos, por
volta do ano 1000 a.C., construíram um dado
em forma de um dodecaedro. Esses poliedros
foram muito estudados pela Escola de Platão,
que construiu uma teoria filosófica baseada
neles, comparando-os com os cinco elemen-
tos da natureza.
Introdução
Diz-se poliedro todo sólido limitado por polí-
gonos planos. Os polígonos são colocados
lado a lado, não-coplanares, definindo um tre-
cho fechado no espaço.
A palavra edro vem da palavra hedra, que em
grego quer dizer “face”.
No espaço, o pequeno não é pouco, nem o
grande é muito. É a forma, e não a dimensão
que define o espaço; “Um jarro se faz com a
massa palpável do envoltório externo; mas é o
espaço vazio do seu interior que o faz útil”.
O movimento no espaço tem três liberdades:
Em uma direção – A LINHA.
Em duas direções – O PLANO.
Em três direções – O VOLUME (tridimensional:
assim é o espaço).
Um poliedro ocupa três dimensões no espaço:
largura, altura e comprimento. Veja, então,
como é um poliedro.
Onde:
a) Vértice é o ponto onde três ou mais arestas
se encontram.
b) Aresta é a linha do encontro de duas faces
do poliedro.
c) Faces são figuras poligonais planas.
Os poliedros podem ser classificados de acor-
do com a forma, com o número de lados e os
ângulos formando faces, sendo:
a) Poliedros regulares ou platônicos.
b) Poliedros semi-regulares.
c) Poliedros irregulares.
d) Poliedros côncavos e convexos
Poliedros Platônicos
Entre os antigos gregos, os poliedros foram
chamados de corpos cósmicos ou sólidos
platônicos, devido à maneira pela qual Platão
os utilizou para explicar os fenômenos científi-
cos relativos ao universo.
Em 388 a.C., Platão foi à Sicília visitar o amigo
Arquitas e provavelmente , por intermédio deste,
tomou conhecimento dos cinco poliedros regu-
lares.
a) Poliedros platônicos ou regulares – São
os que possuem lados iguais, sendo estes:
1. Tetraedro regular – É o menor de todos os
poliedros. É formado por quatro triângulos
eqüiláteros que equivalem a uma pirâmide
de base triangular.
2. Hexaedro regular (6 lados) – É formado
por seis quadrados regulares e tem a forma
de um cubo.
3. Octaedro regular – É formado por oito tri-
ângulos eqüiláteros iguais e equivale a duas
pirâmides coladas pela base ou a um balão
junino.
4. Dodecaedro regular – É formado por doze
pentágonos regulares, e sua forma se apro-
xima de uma esfera.
5. Icosaedro regular – É formado por vinte
triângulos eqüiláteros e tem a forma de uma
pedra lapidada.
Durante muitos séculos, quatro desses polie-
dros foram associados aos quatro elementos
que os gregos acreditavam formar o universo:
terra, fogo, ar e água. Essa associação era re-
presentada por um esquema do tipo:
O quinto poliedro, o dodecaedro, foi conside-
rado por Platão como símbolo do universo. No
entanto foi Euclides, em sua principal obra, Os
elementos, que deu um tratamento mais rigo-
roso ao estudo desses poliedros.
b) Poliedro semi-regulares – São poliedros for-
mados por dois diferentes tipos de polígonos.
82
UEA – Licenciatura em Matemática
c) Poliedros irregulares – São os poliedros
formados por diferentes polígonos.
d) Poliedros côncavos e convexos – Polie-
dros convexos compreendem as formas que
não possuem ângulos entre os lados maior
que 180°.
Poliedros côncavos possuem como particu-
laridade a formação de lados internos ao
poliedro, formando furos, rebaixos, etc.
ÂNGULOS POLIÉDRICOS
Os poliedros são corpos geométricos em que
os ângulos são traçados de forma a permitir
que os lados criem entre si um vértice em for-
ma de bico. E para construir um bico, são ne-
cessários, no mínimo, três polígonos.
Se traçarmos, numa folha de papel (plano), po-
lígonos iguais formando num vértice comum
um ângulo final de 360°, torna-se impossível
que esses lados formem um bico, que é o
ângulo poliédrico; vejamos:
Seis triângulos eqüiláteros regulares;
6 x 60 = 360º
Quatro quadrados regulares;
4 x 90º = 360º
Três heptágonos regulares ou qualquer outro
polígono regular.
Vejamos, então, como se forma um ângulo po-
liédrico. Observe que a posição dos lados vai
determinar se os lados formaram um poliedro,
ou seja, um corpo geométrico tridimensional.
Veja também que a união dos lados do polígono
origina arestas que vão fazer que os lados se
fechem em torno de um vértice comum aos três
lados, produzindo uma forma não plana.
Vejamos algumas situações:
83
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
Vamos fazer?
Agora, vamos aprender como surge um ângu-
lo poliédrico.
Para começar, vale lembrar que o ângulo polié-
drico é formado pela união ou pelo encontro
de pelo menos três lados.
1.o
passo:
Uma folha de papel sem pautas.
2.o
passo:
Traçamos três quadrados regulares de lado
5cm.
3.o
passo:
Cortamos a figura pelo perímetro, sem dividir
os quadrados.
4.o
passo:
Marcamos e dobramos as arestas HE e HC
(tracejado).
As propriedades dos poliedros regulares
(platônicos)
Os poliedros são classificados segundo suas
propriedades, algumas delas sendo numéri-
cas, como segue abaixo:
84
UEA – Licenciatura em Matemática
Observação – Não só os poliedros regulares
possuem essa propriedade, mas todos os po-
liedros convexos!
CONSTRUINDO UM POLIEDRO
Inicialmente, é importante saber qual o tipo de
poliedro que se quer construir.
Para começar, serão necessários praticamente
os mesmos instrumentos utilizados no traçado
de figuras poligonais, acrescentando desta vez
um marcador para dobras e cola ou adesivo
transparente.
O marcador pode ser a ponta da lapiseira, uma
lâmina cega, a ponta de uma esferográfica se-
ca, etc., que não corte ou separe os lados do
poliedro.
POLIEDROS E SUAS FASES DE
CONSTRUÇÃO
RECOMENDAÇÕES E INSTRUÇÕES
a) Pegue uma folha de papel/cartolina, não
muito flexível ou mole, que seja suficiente
para planificar ou traçar o poliedro, pregan-
do-a sobre uma mesa.
b) Faça o traçado do poliedro desejado.
c) Faça todas as marcações antes de cortar a
figura planificada. É importantíssimo dife-
renciar as linhas de dobra das linhas de
corte. Vejamos:
d) Antes de cortar a figura, vamos traçar “abas”
para que, ao montar o poliedro, possamos
fixá-lo com mais segurança e facilidade,
melhorando sua aparência. Lembre-se,
então, de que os lados com abas devem ser
marcados para dobras e não para cortes.
e) Finalmente, cortamos a figura pelo seu
perímetro.
f) Ao dobrar a figura e as abas, veja que os
próprios lados vão-se deslocando para
suas posições finais. O último lado fechará
o poliedro por meio da aba.
Linha marcada para a do-
bra, sem cortar a folha.
Marcador de dobras
85
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
O traçado planificado
1. O tetraedro – quatro triângulos eqüiláteros re-
gulares.
2. O hexágono – seis quadrados.
3. O octaedro – oito triângulos eqüiláteros regulares.
4. O dodecaedro – dez pentágonos regulares.
5. O icosaedro – vinte triângulos eqüiláteros re-
gulares.
86
UEA – Licenciatura em Matemática
INSCRIÇÃO – UMA PROPRIEDADE
INTERESSANTE
A inscrição de figuras é bastante aplicada na
engenharia, na arquitetura, nas oficinas mecâ-
nicas, na arte, etc.
Essa propriedade permite que os cinco polie-
dros regulares sejam inscritos de acordo com
suas características já conhecidas: número de
faces, número de vértices e número de arestas.
O poliedro de dentro é denominado poliedro
inscrito, e o de fora é o poliedro circunscrito.
a) Um tetraedro regular, por sua vez, pode ser
inscrito num tetraedro regular.
b) Hexaedro (cubo) regular inscrito num octa-
edro.
Cada vértice do cubo é o centro de uma
face do octaedro.
Octaedro inscrito num cubo.
Cada vértice do octaedro é o centro da face
do cubo
c) O Dodecaedro inscrito num icosaedro.
E o dodecaedro circunscrito ao icosaedro.
A inscrição de uma figura em outra não é feita
somente com poliedros regulares, mas tam-
bém com corpos redondos, com figuras pla-
nas ou mesmo não-planas.
Uma circunferência inscrita num quadrado
Uma esfera inscrita num cubo
Para Saber...
Homem e o troncoctaedro
Serve como uma orientação segura para pré-
dimensionar os macro objetos a serem utiliza-
dos pelo homem, sejam armários, bancadas,
escrivaninhas, poltronas odontológicas, má-
quinas-ferramentas, e etc.
87
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
PRISMAS E PIRÂMIDES
Prismas – Poliedro irregular limitado por dois
polígonos que são as bases do prisma. Suas
faces, que são paralelogramos, variam de acor-
do com o número de lados que possuem as
bases (triangular, quadrada, pentagonal, etc.).
Prisma reto – O prisma é reto quando as
arestas são perpendiculares às bases.
Prisma oblíquo – O prisma é oblíquo (inclina-
do) quando as arestas forem oblíquas às
bases.
Prisma regular – O prisma é regular quando é
reto e suas faces são polígonos regulares.
Prisma irregular – O prisma é irregular quan-
do as suas bases são polígonos irregulares.
Pirâmide – Poliedro regular limitado por uma
base e um vértice comum a todas as faces.
Possui faces que são triângulos isósceles e
variam de acordo com o número de lados da
base (triangular, quadrada, pentagonal, etc.)
Pirâmide reta – A pirâmide é reta quando o
eixo que une o seu vértice é perpendicular à
base.
Pirâmide oblíqua – A pirâmide é oblíqua quan-
do o eixo que une o vértice ao centro da base
não é perpendicular à base.
88
UEA – Licenciatura em Matemática
Pirâmide regular – A pirâmide é regular quan-
do a base é um polígono regular.
Pirâmide irregular – A pirâmide é irregular
quando a base é um polígono irregular.
Vejamos algumas aplicações de prismas no
cotidiano.
Construções e edificações
Malhas de geométricas prismáticas usadas
em preenchimento (reforço) de divisórias de
ambientes
POLIEDROS
1. Construir um poliedro regular (platônico) de
lado igual a 5cm.
2. Construir um prisma regular de base hexago-
nal regular, de lado igual a 5cm.
3. Construir uma pirâmide de base pentagonal
regular de lado igual a 4cm e altura das faces
igual a 8cm.
89
Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
Anexos
93
Desenho Geométrico – Anexos
ANEXO 01
DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO
1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem:
• Saber e compreender o que o grupo está fazendo.
• Fazer perguntas se não entenderem.
• Participar ativamente na realização das tarefas.
• Ajudar os outros.
• Respeitar os outros.
2. Só devem chamar o professor:
• Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo após
utilizado vários argumentos.
• Quando tiverem concluído a atividade.
3. Ao final das atividades devem:
• Elaborar um relatório conforme anexo 30.
• Ler o que foi escrito.
• Organizar a apresentação à turma.
94
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 02
GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO
Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos:
Identificação do grupo de alunos, indicando:
1. NOME
2. NÚMERO DE MATRÍCULA
3. TURMA
4. MUNICÍPIO
Identificação do trabalho, indicando:
1. DATA DE REALIZAÇÃO
2. DISCIPLINA
3. TÍTULO
Atividade n.º ______:
1. NOME
2. OBJETIVOS
O que deseja alcançar com a realização das atividades?
3. MATERIAIS UTILIZADOS
Devem ser discriminados os materiais para cada atividade.
4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:
a. Relato de todos os passos de cada atividade.
b. Explicação dos raciocínios.
c. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas.
d. Apresentação dos resultados obtidos.
Conclusões
Apreciação crítica do trabalho proposto.
95
Desenho Geométrico – Anexos
ANEXO 03
TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO
ANEXO 04
FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO
A minha colaboração na elaboração do relatório foi:
A minha colaboração na apresentação foi:
O que aprendi com as atividades realizadas foi:
As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram:
Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?:
Nome:______________________________________________N.o
:____Turma:____
SIM NÃO
Consegui distribuir as tarefas no grupo.
Verifiquei o objetivo da atividade.
Cooperei com os outros elementos do grupo.
Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo.
Fui capaz de moderar a discussão no grupo.
Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema.
Selecionei as estratégias apropriadas.
Justifiquei as conjecturas.
Utilizei os materiais.
Registrei os resultados.
Fui perseverante na resolução do problema.
Obtive conclusões.
Tive boa comunicação com a turma.
Respostas dos Exercícios
Desenho Geométrico: Material e Instrumentos
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Desenho Geométrico: Material e Instrumentos

  • 1. Desenho Geométrico Alberto Luiz Fernandes Queiroga Claudio Barros Vitor Manaus 2007
  • 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Queiroga, Alberto Luiz Fernandes. Q3d Desenho geométrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga, Cláudio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 113 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia e anexo. 1. Desenho geométrico. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Série. III. Título. CDU (1997): 514.11 CDD (19.ed.): 604.2
  • 3. SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 UNIDADE I – Introdução ao desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – O material utilizado no desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 TEMA 02 – Entes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TEMA 03 – Operações com segmentos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 UNIDADE II – Construções de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 04 – Uso do esquadro, compasso e régua para construção de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 UNIDADE III – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 TEMA 05 – Divisão de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 TEMA 06 – Divisão em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 TEMA 07 – Média proporcional ou geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 TEMA 08 – Divisão harmônica e segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 UNIDADE IV – Figuras da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 TEMA 09 – Divisão de circunferência em duas partes iguais (pelo ângulo central) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 10 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 TEMA 12 – Trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 TEMA 13 – Lozangos e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 UNIDADE V – Polígonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 TEMA 14 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 TEMA 15 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
  • 4. Alberto Luiz Fernandes Queiroga Bacharel em Desenho Industrial – UFPB Especialista em Design, Propaganda e Marketing – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC PERFIL DOS AUTORES
  • 5. PALAVRA DO REITOR A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  • 6. UNIDADE I Introdução ao desenho geométrico
  • 7. TEMA 01 MATERIAL UTILIZADO NO DESENHO GEOMÉTRICO Um breve histórico Como linguagem de comunicação e expres- são, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita senão a combi- nação de pequenos símbolos desenhados? Por meio de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados ao seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os pesquisado- res modernos estudarem os ancestrais de nos- sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem. Não se sabe quando, ou onde, alguém formu- lou pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de moradia ou tem- plo, ou algo semelhante. Mas esse passo re- presentou um avanço fundamental na capaci- dade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia, que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, gradativamente aprimorada, foi muito impor- tante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônios e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas. Porém uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamento humano em que se propuseram a trabalhar, realizaram feitos que marcaram definitivamente a história da huma- nidade. Foram os gregos que deram um molde deduti- vo à Matemática. A obra Elementos, de Eucli- des (?300 a.C.), é um marco de valor inesti- mável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria gre- ga que nasce o Desenho Geométrico que aqui vamos estudar. Na realidade, não havia entre os gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geo- métricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta eucli- diana é seguida até hoje em países como a França, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmen- te, os problemas de construção foram há muito banidos dos nossos livros de Geometria. Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomé- trico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o com- passo, se propõe a resolver graficamente pro- blemas de natureza teórica e prática. Material de desenho e seu uso O lápis Em desenho geométrico, utilizaremos o lápis com grafite HB para os traçados de letras, con- tornos e esboços. Para seu desenho ter as linhas bem definidas, mantenha a grafite sempre bem-apontada, em forma cônica, usando para isso um pedaço de lixa. A lapiseira Você pode também utilizar as práticas lapisei- ras com grafites 0.5mm, pois elas têm grossura ideal para o desenho geométrico. A borracha Use borracha macia para não deixar marcas no papel. 11 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
  • 8. Para limpá-la, esfregue-a em um papel qualquer. A borracha não deve ser lavada. A régua Há réguas de vários comprimentos. Use uma de material acrílico transparente, graduada em centímetros e milímetros, que tenha um corte transversal chanfrado para facilitar a leitura. Os esquadros Esquadro de 450 e de 600 Devem ser de material acrílico e transparente. São utilizados para traçados de paralelas e de perpendiculares e para construção de ângulos. O transferidor De material acrílico transparente, em forma de um semicírculo, graduado de 00 a 1800 , é usa- do para medir e construir ângulos. O compasso É o instrumento usado para traçados de arcos de circunferência, transporte de medidas e construções de ângulos. TEMA 02 ENTES FUNDAMENTAIS Na construção de uma teoria geométrica, tomam-se, inicialmente, certos conceitos aos quais se acrescentam postulados e definições a fim de, então, deduzir teoremas e proprieda- des. Tais conceitos podem ser primitivos ou con- vencionados. Os conceitos primitivos consti- tuem-se num apelo à nossa intuição. Assim, são entes fundamentais da geometria: ponto, reta e plano. O ponto A idéia de ponto é primitiva. Não se define. O ponto não tem dimensão e fica determinado pelo encontro de duas linhas retas ou curvas. Indicamos o ponto utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino. A reta Da mesma forma que o ponto, não tem defi- nição. A idéia de linha reta é a de um ponto que se move numa mesma direção. Indicamos a reta utilizando letras minúsculas do alfabeto latino. A semi-reta Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes distintas chamadas semi-retas. Es- se ponto recebe o nome de origem. O segmento de reta Segmento de reta é o conjunto formado por dois pontos tomados sobre uma reta e todos os pontos da reta compreendidos entre os dois. A reta à qual pertence o segmento chama-se reta suporte do segmento. 12 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 9. ⎯ AB: é o segmento de reta; A e B: são os extremos; r: é a reta suporte do segmento AB. Segmentos que pertencem à mesma reta cha- mam-se colineares. Segmentos que possuem uma extremidade em comum chamam-se consecutivos. O plano A noção intuitiva de plano apóia-se na idéia de superfícies como a de um quadro ou a de uma parede. O plano é uma figura ideal. A partir da idéia que dele fazemos, deve-se entendê-lo como formado por infinitos pontos. Ele é aberto e infinito. A identificação do plano é dada por letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, ϕ, ψ, etc. TEMA 03 OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E ÂNGULOS Transporte de segmentos O transporte gráfico de segmento consiste em construir um segmento congruente ao segmen- to dado. Assim, dado o segmento ⎯ AB, para transportá- lo de modo a que tenha por extremidade M e esteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas- so em M e abertura ⎯ AB, descrevendo-se um arco de circunferência, obtendo-se N. Assim, obtém-se ⎯ MN ≡ AB. ⎯ MN ≡ ⎯ AB. Adição de segmentos A soma gráfica de segmentos é obtida pelo transporte sucessivo dos segmentos dados. ⎯ MN ≡ ⎯ AB e ⎯ NP ≡ ⎯ CD ⎯ MP é o segmento-soma. Subtração de segmentos Transportam-se os segmentos dados para uma reta suporte r, com centro em P. ⎯ PQ ≡ ⎯ AB e ⎯ PR ≡ ⎯ CD ⎯ QR é o segmento-diferença. 13 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
  • 10. Ângulos Um breve histórico O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações en- volvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates. Talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na deter- minação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.–194 a.C.) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cor- das. Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida na Terra e entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a pri- meira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática. Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Freqüentemente, o Sol servia como referência, e a determinação da hora dependia da incli- nação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de sol). Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distân- cia que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver esse problema, esticava-se o braço e calculavam-se quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte, ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e media-se a dis- tância. Os braços deveriam permanecer bem estica- dos para que a resposta fosse a mais fiel pos- sível. A medida era diferente de uma medida comum, e esse modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico. Algumas definições históricas Grécia antiga “Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta”. Euclides “Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento”. H. Schotten Em 1893, resumiu as definições de ângulo em três tipos: 1. A diferença de direção entre duas retas. 2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entre- mentes no outro lado do ângulo. 3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo. P. Henrigone Em 1634, definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição essa que tem sido usada com mais freqüência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo “<” para representar ângulo. 14 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 11. Ângulos Definição Ângulo é a figura plana formada por duas semi-retas de mesma origem. A origem comum chama-se vértice, e as semi- retas chamam-se lados. A medida usual ao ângulo é o grau, e o instru- mento usado para medi-lo é o transferidor. Ângulos de mesma medida dizem-se congru- entes. Indica-se o ângulo ou utilizando-se letras do al- fabeto grego ^α, ^β, ^γ, ou por três letras minús- culas do alfabeto, ou por três letras maiúsculas do alfabeto latino, indicando a letra do meio o vértice do ângulo e as outras duas os lados. Ângulo ^β ou ângulo R^OQ. Para obter a medida aproximada de um ângu- lo traçado em um papel, utilizamos um instru- mento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semi- círculo na parte superior marcado com uni- dades de 0 a 180. Alguns transferidores pos- suem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço. Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, ali- nhe o segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo, e o outro lado do ângulo determinará a medida do ângulo, como mostra a figura. O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura ante- rior, podemos ler diretamente as medidas dos seguintes ângulos: Transporte gráfico de ângulos Passo a passo 1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qual- quer, com centro no vértice do ângulo dado para a origem de uma semi-reta. 2. Ponta-seca do compasso em R e abertura do arco igual a ⎯ PQ, determinamos S e o ângulo ^α ≡ ^β. Adição gráfica de ângulos Transportam-se os ângulos ^α e ^β de modo que fiquem adjacentes. Ou seja, adicionam-se os arcos de mesmo raio, qualquer, de medidas ^α e ^β. Subtração gráfica de ângulos Dados os ângulos ^α e ^β, transportamos para uma semi-reta de origem P, determinando o ângulo-diferença. m(AÔB) = 27º m(AÔC)=70º m(AÔD)=120º m(AÔE)=180º m(EÔB)=153º m(EÔC)=110º m(EÔD)=60º m(EÔA)=180º 15 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
  • 12. 1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, ob- tenha o segmento de medida 2a + b + c. 2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cuja medida corresponde ao perímetro das figuras dadas. a) b) c) 3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obte- nha os segmentos de medidas (b – a) + (c – b). 4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e EF = 40mm, desenhe o segmento de medida 2AB – 10(EF – CD). 5. A partir de , dado graficamente abaixo, transporte A^OB e A^OC, em cada caso: a) b) 6. Tome um ângulo qualquer e transporte para uma outra semi-reta, usando o compasso, um ângulo congruente ao ângulo determinado. 7. Verifique, por transporte de ângulos, as rela- ções de ângulos congruentes na figura dada. 16 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 13. 8. Mostre, por transporte de ângulos, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso. 9. Dado o triângulo ABC, verifique se “o ângulo externo é a soma dos ângulos internos não- adjacentes”. 10. Dado α e β, encontre o que se pede: a) α + β b) β – α c) 3α – β 17 Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico
  • 14. UNIDADE II Construção de ângulos e retas
  • 15. TEMA 04 USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUA PARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS E RETAS. Bissetriz de um ângulo É a semi-reta que, partindo do vértice do ângu- lo, divide-o em dois ângulos congruentes. Determinar a bissetriz do ângulo dado Passo a passo 1. Ponta-seca em O e abertura qualquer, des- crevemos o arco AB. 2. Ponta-seca em A e depois em B e uma abertura maior do que a metade do arco AB, determinamos o ponto C. 3. A semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB. Bissetriz de um ângulo inacessível Determinar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s. Passo a passo 1. Traçamos um reta t qualquer determinando os pontos A e B. 2. Determinamos as bissetrizes dos ângulos formados, encontrando os pontos C e D. 3. A reta que passa por A e B é a bissetriz pro- curada. 21 Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas
  • 16. 22 UEA – Licenciatura em Matemática Construindo ângulos Ângulo de 600 Passo a passo 1. Determinamos uma semi-reta de origem O. 2. Ponta-seca em O e uma abertura qualquer, determinamos na semi-reta o ponto A. 3. Ponta-seca em A e raio ⎯ OA, encontramos B. AÔB = 600 Ângulo de 900 Passo a passo 1. Determinamos uma semi-reta de origem O. 2. Prolongamos a semi-reta e traçamos um ângulo raso AÔB. 3. Encontramos a bissetriz do ângulo AÔB. AÔC = 900 Ângulo de 1350 Passo a passo 1. Utilizando o processo anterior, determina- mos o ângulo reto AÔC. 2. Traçamos a bissetriz de BÔC. BÔD = 450 , logo DÔA = 1350 (suplementares) Esquadros e construção de retas Os esquadros são usados para traçar linhas pa- ralelas e linhas perpendiculares. Para a determi- nação desses traços, utilizamos os esquadros em conjunto, ficando um sempre fixo, enquan- to o outro se desloca, apoiado nele. Retas paralelas Passo a passo 1. Faça a borda maior do esquadro de 450 coincidir com a reta dada. 2. Encoste a borda maior do esquadro de 600 no esquadro de 450 . 3. Segure o esquadro de 600 , movimente o de 450 e trace as linhas paralelas.
  • 17. 23 Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas Retas perpendiculares Passo a passo 1. Faça a borda maior do esquadro de 450 coincidir com a reta dada. 2. Encoste a borda maior do esquadro de 600 no esquadro de 450 . 3. Mude a posição do esquadro de 450 , con- forme a figura. 4. Segure o esquadro 600 , movimente o de 450 até o ponto P e trace a perpendicular. Compasso e régua Perpendicular a uma reta Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r. Passo a passo 1. Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura maior que a distância de P a r, traçamos um arco de circunferência que intercepta a reta r em A e B. 2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber- tura maior que a semi-distância AB, traça- mos um arco e repetimos o processo, com a mesma abertura, em B, determinando o ponto Q. 3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que é a reta perpendicular à reta r. Observação: a reta s é a mediatriz do seg- mento AB. Dada a reta r e um ponto P, onde P ∈ r. Passo a passo 1. Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura qualquer, traçamos uma semicircunferência que intercepta a reta r em A e B.
  • 18. 24 UEA – Licenciatura em Matemática 2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber- tura maior que a semi-distância AB, traça- mos um arco e repetimos o processo, com a mesma abertura, em B. Determina-se, assim, o ponto Q. 3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, que é a reta perpendicular à r procurada. Dada a semi-reta , determinar a perpen- dicular passando por O. Passo a passo 1. Ponta-seca do compasso em O e uma aber- tura qualquer, traçamos uma semicircun- ferência. 2. Com a ponta-seca em P e a mesma abertu- ra, determinamos sobre a semicircunferên- cia o ponto Q. 3. Repetimos o processo em Q, determinando R, depois em R determinando S. 4. Temos ⊥ . Paralela a uma reta Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r, deter- mina a reta s // r onde P ∈ s. Passo a passo 1. Ponta-seca do compasso em P e uma aber- tura maior do que a distância a reta r, traça- mos um arco, determinando em r o ponto O. 2. Ponta-seca do compasso em O e a mesma abertura, traçamos um arco, passando por P, determinando em r o ponto Q. 3. Ponta-seca do compasso em O e abertura igual a PQ , traçamos um arco determinan- do ponto R. O
  • 19. 25 Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas 4. A reta que passa por P e R é a reta s para- lela a reta dada. 1. Dada a reta r e o ponto P, tal que P ∉ r, deter- mine as retas s (paralela) e t (perpendicular), passando por P. Utilize o jogo de esquadrados para traçar as retas s e t. 2. Resolva o exercício anterior utilizando o com- passo. 3. Trace m, pelo ponto A, tal que m ⊥ r. Trace n, pelo ponto B, tal que n ⊥ s. Chame {P} = m ∩ n. Pelo ponto P trace m’ // r e n’ // s. 4. Trace a reta t, tangente à circunferência dada, tal que t // r. 5. Trace a reta a perpendicular a r e a reta b per- pendicular a s, ambas passando por P. 6. Prolongando os lados do triângulo ABC, deter- mine a altura relativa a cada lado. 7. Faça o transporte do ângulo^B, do exercício an- terior, para a semi-reta e encontre a reta s, passando por P, paralela a essa nova semi-reta. 8. Trace um ângulo de 300 . 9. Trace um ângulo de 1500 . 10. Trace um ângulo de 220 30’.
  • 20. UNIDADE III Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
  • 21. 29 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais TEMA 05 DIVISÃO DE SEGMENTO Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. Ou- vira dizer até que Tales era capaz de uma in- crível façanha: podia calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela. Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pedi- ram-lhe que calculasse a altura de uma das pirâmides. Tales ouviu-os com atenção e dis- pôs-se a atendê-los imediatamente. Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fin- cou no chão uma vara, na vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu compri- mento. Depois, voltou a vara à posição vertical. “Vamos esperar alguns instantes”, disse ele. “Daqui a pouco, poderei dar a resposta”. Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse então aos egípcios: “Vão de- pressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentem ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma é a altura exata da pirâmide. Razão entre dois segmentos Consideremos os segmentos consecutivos da figura seguinte: Temos: ⎯ AB = 1mm, ⎯ AC = 2mm, ⎯ AD = 3mm, ⎯ AE = 4mm, etc. A razão entre dois segmentos é a razão entre as medidas desses segmentos em uma mes- ma unidade. Temos, na figura acima, por exemplo: 1. 2. ou 3. Segmentos proporcionais Sabemos que proporção é uma igualdade en- tre duas razões. Exemplo: Consideremos, agora, quatro segmentos, AB, CD, EF e GH, nessa ordem. Dizemos, então, que quatro segmentos, na or- dem, são proporcionais quando a razão de suas medidas (mesma unidade) forma uma pro- porção.
  • 22. 30 UEA – Licenciatura em Matemática Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas determina em duas retas transversais segmentos correspondentes proporcionais. Na figura, temos: e , logo, ⎯ PQ, ⎯ QR, ⎯ PS e ⎯ ST, nessa ordem, são proporcionais. Aplicando o Teorema de Tales Dividir um segmento em n partes de medidas iguais Dividir um segmento AB em três partes de medidas iguais. Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos três segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 3 à extremidade B, obten- do o segmento B3. 4. Traçamos por 2 e 1 paralelas a B3, determi- nando sobre ⎯ AB três segmentos congruen- tes. Dividir um segmento AB em sete partes de medidas iguais. 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos sete segmentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3) Unimos o ponto 7 à extremidade B, obten- do o segmento B7. 4. Traçamos por 6, 5, 4, 3, 2 e 1 paralelas a B7, determinando sobre ⎯ AB, sete segmentos con- gruentes.
  • 23. 31 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais Dividir um segmento numa razão dada Determinar M, sobre ⎯ AB tal que . Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos cinco (3 + 2 da razão dada) seg- mentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 5 à extremidade B, obten- do o segmento B5. 4. Traçamos em 3, para obtermos a razão , uma paralela a B5, determinando sobre ⎯ AB o ponto M. Assim . Determinar M sobre ⎯ AB tal que . Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos seis (1 + 5 da razão dada) seg- mentos consecutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 6 à extremidade B, obten- do o segmento B5. 4. Traçamos em 1, para obtermos a razão , uma paralela a B6 determinando sobre ⎯ AB o ponto M.
  • 24. 32 UEA – Licenciatura em Matemática Assim . 1. Divida o segmento dado em oito partes de me- didas iguais. 2. Divida o segmento dado em treze partes de me- didas iguais. 3. Dados os segmentos ⎯ AB = 3cm, ⎯ CD = 5cm e ⎯ EF = 2cm, trace a circunferência com centro em A e raio igual à sétima parte do segmento- soma ⎯ AB + ⎯ CD + ⎯ EF. 4. Divida o perímetro do triângulo ABC, em seis partes iguais. 5. Determine o quadrado de lado igual a do segmento AB. 6. Trace um segmento ⎯ PQ = 8,5 e determine o ponto R que divide ⎯ PQ na razão de . 7. Encontre os pontos M e N que dividem o seg- mento ⎯ AB nas razões e respectivamente. 8. Dado o segmento AB, determine dois segmen- tos AX e XB, de modo que: . 9. Dado a, divida-o por 3 e, em seguida, destaque o segmento de medida . 10. Dado o triângulo ABC com ⎯ AB já dividido em 5 partes de medidas iguais, divida ⎯ BC e ⎯ AC também em 5 partes de medidas iguais.
  • 25. 33 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais TEMA 06 DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS Dividir um segmento em partes proporcionais a 2, 4 e 3 Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos nove (2 + 4 + 3) segmentos con- secutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 9 à extremidade B, obten- do o segmento B9. 4. Traçamos em 2 e depois em 5 uma paralela a B9, determinando sobre ⎯ AB os ponto M e N, dividindo o segmento dado em partes proporcionais a 2, 3 e 4. Assim , etc. Dividir um segmento em partes proporcionais a 3, 5 e 7 Passo a passo 1. Por uma das extremidades, traçamos uma semi-reta qualquer. 2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer, traçamos quinze (3 + 5 +7) segmentos con- secutivos e congruentes sobre a semi-reta. 3. Unimos o ponto 15 à extremidade B, obten- do o segmento B15. 4. Traçamos em 3 e depois em 8 uma paralela a B15, determinando sobre ⎯ AB os ponto M e N, dividindo o segmento dado em partes proporcionais a 3, 5 e 7. M N
  • 26. 34 UEA – Licenciatura em Matemática Assim , etc. Quarta proporcional Dados três segmentos de medidas a, b e c, denomina-se quarta proporcional desses seg- mentos um segmento de medida x, tal que: Determinar a quarta proporcional aos segmen- tos AB = a, BC = b e AD = c, nessa ordem. Passo a passo 1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos AB e BC. 2. Traçamos pela extremidade A uma semi- reta s e marcamos o segmento AD = c. 3. Traçamos o segmento BD e por ele tra- çamos uma paralela passando por C, deter- minando na semi-reta o ponto X. O seg- mento DX é a quarta proporcional. Terceira proporcional Dados dois segmentos de medidas a e b, de- nomina-se terceira proporcional desses seg- mentos um segmento de medida x, tal que: Determinar a terceira proporcional aos segmen- tos AB = a e BC = b. Passo a passo 1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos AB e BC. 2. Por A, traçamos uma semi-reta s qualquer, ponta-seca do compasso em A e abertura igual a ⎯ AB, determinamos em s o segmento ⎯ AD. 3. Unimos os pontos B e D, obtendo o seg- mento BD. 4. Traçamos por C uma reta paralela a ⎯ BD, determinando em s o ponto E. O segmento DE é a terceira proporcional procurada.
  • 27. TEMA 07 MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA Dados dois segmentos de medidas a e b, denomina-se média geométrica ou propor- cional desses segmentos um segmento de medida x, tal que: Aplicação: Determinar a média geométrica dos segmen- tos AB e BC dados. Passo a passo 1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos os dois segmentos. 2. Determinamos M, ponto médio de ⎯ AC. 3. Ponta-seca em M e medida ⎯ AM, traçamos uma semicircunferência. 4. Por B traçamos uma perpendicular à reta r, determinando na semicircunferência o pon- to D. O segmento BD é a média geométrica dos segmentos dados. Outra forma de encontrar a média geométrica 1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos o segmento AB. 2. A partir do ponto A e para direita, marcamos o segmento AC. 3. Determinamos em r, o ponto M (ponto mé- dio do segmento AB). 4. Ponta-seca em M e uma abertura ⎯ AM, traçamos uma semicircunferência. 5. Traçamos por C uma perpendicular a r, deter- minando na semicircunferência o ponto D. D O segmento AD é a média geométrica pro- curada. 35 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
  • 28. 1. Marque os pontos M e N, no segmento AB dado, de modo que . 2. Construa um triângulo ABC cujo perímetro seja igual a 10,5cm, e os seus lados sejam propor- cionais aos segmentos que medem 2,5cm; 3,5cm e 5,0cm. 3. Construa a quarta proporcional entre os seg- mentos m, n e p dados. 4. Dados três segmentos de medidas a, b e c, obtenha, nessa ordem, um segmento x, de modo que . 5. Dados dois segmentos de medidas a = 5,0cm e b = 3,5cm, obtenha um terceiro segmento de medida x, de modo que . (terceira proporcional) 6. Construa a terceira proporcional entre os seg- mentos dados. 7. Construa a quarta proporcional entre os seg- mentos m, n e p: 8. Determine, graficamente, a média geométrica dos segmentos que medem a = 4,0cm e b = 3,0cm. 9. Dados os segmentos de medidas a e b, deter- mine, graficamente, a média geométrica entre eles. 10. Construa o quadrado de lado igual à média geo- métrica dos segmentos dados. 11. Construir o retângulo ABCD de lados de medi- das x e y, sabendo que x é a quarta propor- cional de a, b e c e que y é a média geométri- ca de b e c. 12. Construa o triângulo ABC retângulo, sabendo que as projeções dos catetos sobre a hipote- nusa medem 5,5cm e 3,5cm. 13. Construa o triângulo DEF retângulo, sabendo que a hipotenusa mede 8,0cm e a projeção de um dos catetos mede 2,5cm. 36 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 29. TEMA 08 DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO ÁUREO Em Alexandria, durante o reinado de Diocle- ciano (284 – 305), viveu um grande matemáti- co, seguidor das idéias de Eudoxo e Arqui- medes, Papus de Alexandria, como ficou con- hecido. Ele escreveu, por volta de 320, um livro muito importante com o título de Coleção (Synagoge). Deve-se a sua importância a vá- rios fatores. Contém conteúdos inéditos para época, é uma rica fonte histórica da matemáti- ca grega e apresenta provas novas e lemas suplementares para as obras de Euclides, Ar- quimedes, Apolônio e Ptolomeu. No livro III, seção 2 da Coleção, Papus teve como preocu- pação o problema de colocar num mesmo semi-círculo as três médias: aritmética, geo- métrica e harmônica, mas inicia a seção com as definições pitagóricas dessas médias. Assim, dados dois números a e c (com c < a), seja b, com c < b < a, então a razão (a-b):(b- c) deve ser proporcional a a:ac = c:c para a média aritmética, a a:b para a média geométri- ca e a a:c para a harmônica. Assim: Média aritmética: Média Geométrica: Média harmônica: Razão de seção Chama-se razão de seção de um ponto num segmento a razão das distâncias do ponto aos extremos do segmento. Quando o ponto é interior ao segmento, as duas partes por ele determinadas chamam-se segmentos aditivos; quando o ponto é exterior, as duas partes de- nominam-se segmentos subtrativos. Em am- bos os casos, o ponto estará à esquerda do ponto médio do segmento se a razão de seção for própria, isto é, menor que a unidade; o ponto estará à direita do ponto médio do seg- mento se a razão de seção for imprópria, isto é, maior que a unidade. Dado o segmento AB e seu ponto médio. Tomando os pontos M e N à esquerda do pon- to médio, como indicado na figura, determina- remos as seguintes razões. (razões próprias) Tomando os pontos M e N à direita do ponto médio, como indicado na figura, determinare- mos as seguintes razões. (razões impróprias) Dado um segmento AB, dividi-lo harmonicamente numa razão dada Na razão . Passo a passo 1. Efetuamos a divisão do segmento na razão determinada. 37 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
  • 30. 2. Por B traçamos uma paralela à semi-reta A5 e com ponta-seca em B e raio ⎯ A1, determi- namos 6 e 7. 3. A interseção entre → AB e → 37, o ponto Q, é o conjugado harmônico de P. Os pontos A, P, B e Q formam uma divisão harmônica. Dados um segmento AB e o conjugado harmônico interno M obter o outro Passo a passo 1. Ponta-seca em A e raio ⎯ AM e ponta-seca em B e raio ⎯ BM, determinamos dois arcos. 2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep- ta um dos semi-arcos em 1. 3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à → A1, encontrando 2. 4. A interseção entre → AB e → 12 é o conjugado harmônico de M. Dados um segmento AB e o conjugado harmônico externo M obter o outro Passo a passo 1. Ponta-seca em A e raio ⎯ AN e ponta-seca em B e raio ⎯ BN, determinamos dois arcos. 2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep- ta um dos semi-arcos em 1. 3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à → A1, encontrando 2. 4. A interseção entre → AB e → 12 é o conjugado harmônico de N. 38 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 31. DIVISÃO ÁUREA Euclides de Alexandria (365 a.C. – 300 a.C.) Também teve grande importância para a his- tória da geometria. Ele elaborou a teoria da proporção áurea, em que dois números (X e Y, por exemplo) estão em proporção áurea se a razão entre o menor deles sobre o maior for igual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja, X/Y = Y/X+Y). Esta proporção estabelece um coeficiente áureo, onde se pode analisar que, basicamente, tudo que se encontra na nature- za está inscrito nessa proporção, seja o corpo humano, uma colmeia de abelhas, uma estrela do mar, uma concha, etc. Segmento áureo Sejam ⎯ AB um segmento e P um ponto perten- cente a reta-suporte desse segmento. P é interior P é exterior Diz-se que um segmento está dividido por um ponto na razão áurea quando uma das partes por ele determinada é a média geométrica entre o segmento e a outra parte. ⎯ AP 2 = ⎯ AB . ⎯ PB O segmento ⎯ AP é o chamado áureo de ⎯ AB. Determinação algébrica do segmento áureo. 1.o caso: P é interior a ⎯⎯ AB. Por definição temos: ⎯ AP 2 = ⎯ AB . ⎯ PB ⇒ x2 = a .(a – x) ⇒ x2 + ax – a2 = 0, cujas raízes são: , descartamos a raiz negativa. 2.o caso: P é exterior a ⎯⎯ AB. Por definição temos: ⎯ AP 2 = ⎯ AB . ⎯ PB ⇒ x2 = a .(a + x) ⇒ x2 – ax – a2 = 0, cujas raízes são: , descartamos a raiz negativa. 39 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
  • 32. A razão entre cada segmento áureo e o seg- mento a que ele se refere é um número de ouro. e Resolução gráfica Dividir o segmento AB em média e extrema razão. Passo a passo 1. Por B traçamos uma perpendicular a ⎯ AB. 2. Ponta-seca em B e raio , encontramos na perpendicular o ponto O. 3. Traçamos a circunferência de centro O e raio ⎯ OB, e os pontos C e D (interseção da semi-reta AO com a circunferência). 4. Ponta-seca em A e raio ⎯ AC e depois ⎯ AD, determinamos sobre o segmento AB os pontos P e P’. ⎯ AP = 0,618 . ⎯ AB e ⎯ AP’ = 1,618 . ⎯ AB RETÂNGULO ÁUREO É o retângulo que tem os seus lados a e b na razão áurea a/b = f = 1,618034. Portanto o lado menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a). O retângulo áureo exerceu grande influência na arquitetura grega. As proporções do Par- tenon prestam testemunho dessa influência. Construído em Atenas, no século V a.C., o Partenon é considerado uma das estruturas mais famosas do mundo. Quando seu frontão triangular ainda estava intacto, suas dimen- sões podiam ser encaixadas quase exata- mente em um retângulo áureo. Construção do retângulo áureo Dado o quadrado ABCD 40 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 33. Passo a passo 1. Determinamos o ponto médio de ⎯ AB. 2. Ponta-seca em M e raio ⎯ MC, determinamos na semi-reta AB o ponto E. 3. Passando por E, traçamos uma semi-reta vertical a → AE, cuja interseção com → DC é o ponto F. O retângulo AEFD é um retângulo áureo. Arco capaz Dado um segmento AB e um ângulo k, pergun- ta-se: qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz. Construção do arco capaz 1. Traçar um segmento de reta AB. 2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo congruente a k. 3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t passando pelo ponto A. 4. Determinar o ponto médio M do segmento AB e traçar a reta mediatriz m ao segmento AB. O 5. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m. Ponta-seca no ponto O e abertura OA, traçar o arco de circunfe- rência localizado acima do segmento AB. O arco que aparece acima no gráfico é o arco capaz. 41 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais O
  • 34. 1. Divida, harmonicamente, o segmento AB nas razões dadas. a) b) c) 2. Dado o segmento, obtenha o conjugado har- mônico externo de P. 3. Dado o segmento, obtenha o conjugado har- mônico interno de Q. 4. Divida o segmento AB em média e extrema razão (seção áurea). 5. Divida o segmento AB em média e extrema razão (seção áurea). 6. Construa o arco capaz de um ângulo de 300, conhecendo o segmento GH. 7. O segmento RS mede 3,8cm e α forma com ele um ângulo de 600. Trace o arco capaz cor- respondente. 8. Determine os pontos da reta r que vêem o seg- mento PQ sob um ângulo de 350. 9. São dados o segmento EF, a reta x e um ângu- lo de 400 . Determine os pontos da reta x que vêem o segmento EF sob o mesmo ângulo. 10. Construa o arco capaz a um segmento de 5,0cm sob um ângulo de 450 . A língua é a expressão falada ou escrita do pensamento humano. A cada povo corres- ponde um idioma diferente variado, igual- mente, por meio da evolução peculiar a cada um, sua representação gráfica. Essa repre- sentação, principalmente no mundo ociden- tal, é feita por meio do alfabeto de origem fenícia, que passou à Grécia e à Roma, e pela sua simplicidade constituiu-se no principal veículo de transmissão do conhecimento hu- mano. Anteriormente, essa comunicação era feita por meio do desenho, às vezes bem rudi- mentar, do homem primitivo, por meio de hie- róglifos como no Egito ou no México, grava- dos ou esculpidos nos monumentos, ou por meio dos caracteres cuneiformes das civiliza- ções da Mesopotâmia, ou, ainda, por meio dos caracteres ideográficos sino-japoneses. Algumas tribos primitivas serviam-se de paus, pedras, fios tecidos, colares, e com eles fazi- am palavras, compondo frases e expressan- do idéias. É a escrita mnemônica. De origem americana, esta escrita transmite idéias ou fatos sem desenhá-los, isto é, não tem forma gráfica. Os principais exemplos deste sistema são os “quipos” dos índios do Peru e os “wampus” dos índios irogueses. Em síntese, a evolução da escrita pode ser resumida em: 42 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 35. Pictografia – Desenhos de figuras rudimenta- res – do latim “pictus” (pintado) e do grego “grafe” (descrição). Escrita figurada usada pelo homem primitivo para fixar, nas paredes das cavernas, seus principais feitos, cenas de caçadas, objetos de uso pessoal, etc. Res- tringia a linguagem gráfica, limitando-a ao re- gistro de fatos e coisas materiais com o máxi- mo de realidade possível. Se eles queriam exprimir a palavra “bisão”, desenhavam um ou vários bisões, e para a palavra “caça”, desen- havam homens com lanças ou arcos e animais. “Disco de Faisto”, século XIV a. C. Ele encerra uma espiral de hieróglifos da antiga Creta, que até hoje não foram decifrados. Ideografia – Fixação das idéias por meio dos símbolos – sinais que, muitas vezes, não signifi- cavam acontecimentos vistos e palpáveis. São signos convencionais correspondentes a deter- minadas expressões por meio das quais surgem idéias. Cada desenho isolado tem um significado, por onde o abstrato pode ser repre- sentado. A lua e as estrelas simbolizavam o mês; um olho, a vigilância; o desenho do sol, por exemplo, já não designava somente o astro, e sim, o tempo de luz solar entre duas noites, isto é, o dia. Fonetismo – Nesse sistema, as figuras lidas evocavam seu primitivo sentido acrescido da expressão sonora. Pássaro, ao invés de sim- bolizar apenas rapidez, adquiria o valor sono- ro de ave. Isto é, equivaliam ao som, processo seme- lhante ao usado atualmente nas cartas enig- máticas, onde é comum o símbolo do sol mais o do dado, representar a palavra soldado. A linguagem gráfica e o mundo das formas na nossa vida Esses mosaicos matemáticos nem sempre 43 Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais
  • 36. são construídos pelo homem. O surpreen- dente é que podemos observá-los também na natureza, vejamos: Nos favos de mel das abelhas, encontramos um mosaico de hexágonos regulares. (Hexágonos são polígonos de seis lados) Um mosaico de hexágonos aparece também na casca do abacaxi. 44 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 37. UNIDADE IV Figuras da geometria plana
  • 38. 47 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana TEMA 09 DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS PARTES IGUAIS (PELO ÂNGULO CENTRAL) 1 Divisão de circunferência em duas partes iguais. 3600 / 2 = 1800 2. Divisão de circunferência em três partes iguais. 3600 / 3 = 1200 3. Divisão de circunferência em quatro partes iguais. 3600 / 4 = 900 4. Divisão de circunferência em cinco partes iguais 3600 / 5 = 720 5. Divisão de circunferência em seis partes iguais 3600 / 6 = 600 6. Divisão de circunferência em sete partes iguais 3600 / 7 = 510 7. Divisão de circunferência em oito partes iguais 3600 / 8 = 450 8. Divisão de circunferência em nove partes iguais 3600 / 9 = 400 9. Divisão de circunferência em dez partes iguais 3600 / 10 = 360 10. Divisão de circunferência em doze partes iguais. 3600 / 12 = 180
  • 39. 48 UEA – Licenciatura em Matemática 1. Dividir a pizza em seis partes iguais. 2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam alguns raios para que possa pedalar entregando pães. Complete os raios faltantes. 3. No visor do relógio de parede caíram os pon- tos indicadores das horas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e 11 horas. 4. Para ver o sol nascer belo e vigoroso divida-o em vinte partes iguais, projetando seus raios em forma de triângulos a partir da circunferên- cia para fora. Seu centro coincide com a quina do muro. 5. A aranha está encontrando dificuldades para armar sua teia, pois faltam fios importantes que saem do centro e passam pelas bordas dos polígonos. 6. Complete o desenho da roda dentada de acor- do com a sua metade pronta. 7. As duas circunferências foram divididas em oito partes cada, e seus pontos não são coli- neares. Verifique que figura surgirá ao ligar os pontos das duas circunferências em seqüên- cia.
  • 40. 8. A partir dessa divisão de circunferência, usan- do todos os pontos como centros, a ligação dos números e a ligação das letras mostrarão duas figuras em sobreposição, de forma que o centro 1 ligará com um arco os pontos a e d, e assim por diante, pois o raio é constante. Os números darão origem à figura formada pelas letras, e as letras darão origem à figura forma- da pelos números. 9. A hélice do ventilado quebrou num desses dias de calor intenso, e, para piorar, o condicio- nador de ar não funciona. Coloque, então, uma nova hélice sabendo que o ângulo entre elas é de 600 (destacar as hélices). 10. Verifique se os ângulos α da divisão da circun- ferência têm ângulos medidos iguais. 11. Dada a circunferência, divida-a em nove partes iguais e construa um polígono estrelado regu- lar inscrito (eneágono estrelado) ligando os seus vértices em intervalos de dois em dois. 12. Construa um polígono estrelado regular inscrito de nove pontas (eneágono estrelado), ligando seus vértices em intervalos de três em três. 13. Complete o pentágono estrelado regular ins- crito dada uma de suas pontas. 49 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana β α
  • 41. 50 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 TRIÂNGULOS BREVE HISTÓRICO Os triângulos são formas geométricas que apre- sentam rigidez e estabilidade pela agudez de suas quinas e orientam-se por uma base. São figuras de grande influencia nas culturas hu- manas, como egípcios, babilônios e Pitágoras, enfim, seja nas construções, seja nas artes, na matemática, etc. O triângulo é o menor entre os polígonos. Os polígonos regulares (expressão, harmonia e simetria) admitem uma circunferência inscri- ta e circunscrita. PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS. 1. Construir um triângulo eqüilátero de lado ⎯ AB = 3 cm, usando somente a régua e o par de esquadros. a) 1.o passo: Traçar o lado ⎯ AB = 3cm b) 2.o passo: Posicione os esquadros de forma a obter a partir de A e B ângulos de 600 cruzando-se e obtendo-se o ponto C (vértice oposto à base ⎯ AB). 2. Construir um triângulo eqüilátero de lado ⎯ AB = 3cm utilizando régua e compasso. a) 1.o passo: Traçar o lado ⎯ AB = 3cm b) 2.o passo: Abrir o compasso com a distância ⎯ AB e colocar sua ponta seca em A, traçando um arco a partir de B. Com a ponta seca em B e a mesma abertura, traçar um arco a partir de A, encontrando, assim, o ponto C, po- dendo, então, ligar os pontos e definir o tri- ângulo desejado. 3. Construir um triângulo eqüilátero inscrito sen- do dada a circunferência de raio = 1,25cm. a) 1.o passo: Traçar a circunferência e o seu diâmetro. b) 2.o passo: Com a ponta-seca do compasso em uma das extremidades do diâmetro e abertura igual ao raio, traçar um arco cruzando a circunferência duas vezes definindo, assim, os dois pontos (vértices) que geram o triângulo. A B A B
  • 42. 51 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana c) 3.o passo: Finalmente, ligam-se os pontos e define-se o triângulo. 4. Construir um triângulo isósceles dado o lado menor (base) ⎯ AB = 2cm e sua altura ⎯ MC = 3,2cm. a) 1.o passo: Traçar o lado base ⎯ AB = 2cm. b) 2.o passo: Pelo ponto médio de ⎯ AB, levantar uma per- pendicular e nela marcar a altura ⎯ MC. c) 3.o passo: Ligar os pontos ABC do triângulo isósceles. 5. Construir um triângulo isósceles dado o lado (base) ⎯ AB = 3cm e um ângulo α = 700 adja- cente à base. a) 1.o passo: Traçar a base AB. b) 2.o passo: Traçar o ângulo α a partir de A, estendendo o traçado. c) 3.o passo: Repetir a operação a partir de B obtendo-se o ponto C pelo encontro dos ângulos le- vantados, ligando os três pontos do triângulo. 6. Construir um triângulo retângulo isósceles ins- crito à circunferência dada. a) 1.o passo: Traçar a circunferência. b) 2.o passo: Traçar pelo centro da circunferência o lado AB igual a diâmetro. M C A B A B
  • 43. 52 UEA – Licenciatura em Matemática c) 3.o passo: Pelo centro da circunferência, levantar uma perpendicular igual ao raio da circunferência. d) 4.o passo: Finalmente, ligar os pontos A e B com o ponto C. 7. Construir um triângulo retângulo dados os lados ⎯ AB = 4,4cm e ⎯ AC = 1,8cm. a) 1.o passo: Traçar o lado AB. b) 2.o passo: Traçar uma perpendicular à extremidade A. c) 3.o passo: Ligar os pontos A, B e C, definindo o triân- gulo pedido. 8. Construir um triângulo escaleno dados os lados ⎯ AB = 5cm, ⎯ BC = 2,7cm e ⎯ AC = 2cm. a) 1.o passo: Traçar o lado base ⎯ AB = 6cm. b) 2.o passo: Abrir o compasso com a distância igual a AC e com a ponta seca em B traçando um arco. c) 3.o passo: Abrir o compasso com a distância BC, colo- cando a ponta seca em A e traçando um arco que cruze o arco BC definindo o ponto C. d) 4.o passo: Ligar os pontos dos vértices A, B e C. 9. Construir um triângulo escaleno dado o lado base ⎯ AB = 5cm e dois ângulos adjacentes a A e B com ângulos α = 450 e 600 respectivamente. a) 1.o passo: Traçar o lado (base) AB. b) 2.o passo: A partir de ⎯ AB, levantar o ângulo de 450 pela extremidade A. c) 3.o passo: Levantar o ângulo de 600 pela extremidade A B
  • 44. 53 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana B, cruzando a reta do ângulo de 450 no ponto C. 10. Construir um triângulo eqüilátero de lado = 3cm, circunscrevê-lo e inscrevê-lo. a) 1.o passo: Construir o triângulo por um dos processos já vistos. b) 2.o passo: Traçar as três alturas que também são as bissetrizes do triângulo. O cruzamento des- sas alturas determinará o centro inscritível e circunscritível do triângulo. c) 3.o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto O (centro) e abertura a qualquer um dos vértices, circunscrever o triângulo (por fora). d) 4.o passo: Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir a abertura do compasso ⎯ OM e inscrever o triângulo. Observe que, nesse caso, os lados do triân- gulo são tangentes à circunferência. 1. Dado o triângulo retângulo isósceles circuns- crevê-lo. 2. Desenhar um triângulo escaleno, dados os lados ⎯ AB = 4cm, ⎯ BC = 3cm e ⎯ CA = 2cm. 3. Desenhar um triangulo dada a base ⎯ AB = 4cm e dois ângulos adjacentes à base α = 450 e β = 600 . 4. Desenhar um triangulo retângulo dado o lado maior ⎯ AB = 4cm, a hipotenusa = 4,5cm. 5. Dada a circunferência, circunscreva um triân- gulo retângulo sabendo que seu lado maior corresponde ao diâmetro. 6. Desenhar um triângulo dada a base ⎯ AB =5,5cm e ⎯ AC = 3,5cm e um ângulo adja- cente à base a partir de A igual α = 600 . 7. Dividir com um traço o triângulo retângulo isós- celes abaixo para obter outros dois triângulos retângulos isósceles.
  • 45. 8. Complete o triângulo abaixo dado o seu lado base ⎯ AB e a sua altura. 9. Classifique os triângulos existentes na figura abaixo quanto à forma e quanto ao ângulo. 10. Complete a placa de sinalização “SIGA EM FRENTE” para que não haja transtornos no trânsito da rua. 11. O triângulo incompleto abaixo oculta um outro triângulo idêntico. Defina este triângulo. 12. Quantos triângulos eqüiláteros há nesta figura? 13. Dado o módulo triangular, crie um módulo maior repetindo-se quatro vezes, orientadondo-se pelo eixo perpendicular. 14. Dado o triângulo eqüilátero, divida-o para obter quatro triângulos eqüiláteros (basta usar três traços). 15. A marca da Mercedes Bens (automóveis) é mundialmente conhecida apresentando geome- tria muito simples. Reproduza a marca abaixo com precisão, citando o nome do triângulo base da marca. 54 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 46. 16. Dado o triângulo de base ⎯ AB, reproduza um outro exatamente igual abaixo, usando a mesma base. 17. Construir um triângulo eqüilátero circunscrito de lado ⎯ AB = 5cm. 18. Construir um triângulo retângulo isósceles dado o lado base ⎯ AB = 3cm e sua altura ⎯ MC = 5cm. 19. Construir um triângulo escaleno de lados ⎯ AB = 6cm, ⎯ AC = 4cm e ⎯ BC = 5cm. 20. Dado o triângulo retângulo isósceles, circuns- creva-o. TEMA 11 QUADRILÁTEROS Quadrados e retângulos BREVE HISTÓRICO Tanto entre os Sumérios quanto entre os egíp- cios, os campos primitivos tinham forma retan- gular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a cons- truir muitos ângulos retos (de 90o ). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra, assinalavam um segmento de reta. Em seguia, prendiam e esticavam cordas que fun- cionava à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicular- mente a outra reta, formando os ângulos retos. Definição São polígonos que possuem quatro lados, com formas que apresentam aspecto de rigidez, conservadorismo e estabilidade – no caso dos quadrados, retângulos e trapézios. São figuras poligonais fechadas, que limitam uma área do espaço. Podem ser côncavos ou convexos. Tem ângulo Todos os ângulos interno de 180º internos são menores que 180º a) Quadriláteros paralelogrâmicos Quadriláteros que possuem lados opostos paralelos entre si. Pertencem a este grupo: o quadrado, o retângulo, o losango e o paralelogramo. 55 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
  • 47. b) Trapézios Quadriláteros que possuem dois lados para- lelos entre si chamados de bases (maior ou menor). Os lados não-paralelos são chama- dos de transversais. A distancia entre lados paralelos é chamado de altura (h). Podem ser divididas em: retângulo, isósce- les e escaleno. c) Trapezóides Quadriláteros que não apresentam para- lelismo entre os lados. CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS 1. Construir um quadrado (regular) dado o lado AB = 2,7cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha horizontal indefinida e nela marcar a distância AB. b) 2.o passo: Pelos pontos A e B, levantam-se duas per- pendiculares. c) 3.o passo: Com centro em A e raio ⎯ AB, corta-se a per- pendicular que sobe de A no ponto D. Com o mesmo raio e com centro em B, corta-se a perpendicular que sobe de B no ponto C, ligando-se os pontos C e D, obtendo-se, assim, o quadrado pedido. 2. Construir um quadrado (regular), dadas suas diagonais. a) 1.o passo: Traçar as duas diagonais prolongadas, cruzando-as no ponto O (centro). b) 2.o passo: Com a ponta-seca do compasso em O e abertura qualquer, traça-se uma circunfer- ência, determinando quatro pontos. c) 3.o passo: Ligam-se os pontos na ordem A, B e C, que são os lados do quadrado. 56 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 48. 3. Construir um retângulo dados os lados ⎯ AB = 4,8cm e AD = 2cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha suporte horizontal e, sobre ela, traçar o lado ⎯ AB = 4,8cm. b) 2.o passo: Pela extremidade A, levanta-se uma per- pendicular, marcando sobre esta o lado ⎯ AD = 2cm. c) 3.o passo: Traçar uma paralela ao lado ⎯ AB partindo por D. d) 4.o passo: Levantar uma perpendicular a partir de B, obtendo o quarto vértice C e o retângulo pedido. 4. Construir um quadrado conhecendo-se a sua diagonal ⎯ AB = 3,3cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha suporte horizontal, mar- cando o segmento retilíneo ⎯ AB. b) 2.o passo: Traçar uma perpendicular cortando o seg- mento ⎯ AB ao meio (centro O). c) 3.o passo: Marcar, com a medida do raio ⎯ AO, as dis- tâncias ⎯ OC para cima e ⎯ OD para baixo. Unindo-se os pontos A, B, C, e D, teremos o quadrado pedido. 5. Construir um retângulo dado o lado ⎯ AB = 6cm e sua diagonal ⎯ AC = 6,5cm. a) 1.o passo: Traçar uma linha suporte horizontal, mar- cando sobre ela a distância AB. b) 2.o passo: Levantar duas perpendiculares ao segmen- to ⎯ AB, pelas extremidades A e B. c) 3.o passo: Com centro em qualquer de suas extremi- dades, no caso A, e com raio igual ao com- primento ⎯ AC da diagonal, descreve-se um arco de círculo que cortará a outra perpen- dicular no ponto C. 57 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana A D A B
  • 49. d) 4.o passo: Traçar uma paralela a AB passando pelo ponto C, determinado, assim, o quarto vértice D do retângulo pedido, ligando agora os vértices. QUADRILÁTEROS 1. Construir um quadrado circunscrito, conhe- cendo-se suas diagonais e seu raio = 3cm. 2. Utilizando quatro triângulos retângulos isósce- les, construir dois quadrados: um externo e outro interno. 3. Dadas os pares de paralelas perpendiculares entre si, construa a cruz que simboliza a saúde no mundo inteiro. 4. Que objeto surgirá a partir desta figura com- posta de retângulos? Escreva e/ou desenhe. 5. Construir um retângulo, dado o triângulo ABC abaixo, sabendo que o ponto C é o cruzamen- to das diagonais do retângulo pedido. 6. A construtora “JOÃO DE BARRO”, possui um terreno em área valorizada, mas totalmente fora de esquadro ou alinhamento, dificultando sua venda. Faça a divisão do terreno e veja quantos lotes de 1cm x 2cm (no desenho abaixo), podemos conseguir. 7. Dada o cubo abaixo, como é o desenho dele aberto (planificado), usando medidas reais do cubo: largura, altura e comprimento? 8. A partir do retângulo ABCD e uma diagonal, desenhe dois outros retângulos, sendo que o retângulo interno tem lado menor igual a 1cm, e o maior tem diagonal igual a 7cm. 9. A figura abaixo contém diversas formas: planas e tridimensionais que se relacionam entre si. Cite quais formas podemos encontrar nessa figura. 58 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 50. 10. Construa dois quadrados sendo um interno e outro externo, utilizando quatro trapézios isósceles. a) A figura abaixo é um exemplo de ilusão de ótica. Olhando para ela, temos a impressão de ver pequenos quadrados ou manchas cinza nos cruzamentos das faixas brancas. Você sabe por que isso ocorre? R: Quando as faixas se cruzam, o contraste entre o branco e o preto fica menor e, assim, podemos ver essas manchas cinza claras. b) As diagonais AB e CD dos paralelogramos são iguais. R: Sim. Confira. c) A figura ABCD é um quadrado? R: Sim. TEMA 12 TRAPÉZIOS INTRODUÇÃO Os trapézios são triângulos truncados com for- mas que transmitem estabilidade e ascensão, projeção. Ao contrário dos Egípcios, as civilizações anti- gas da América Central não construíram seus monumentos com base na forma triangular, mas na forma de trapézios. CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS 1. Construir um trapézio isósceles conhecendo- se o lado maior ⎯ AB = 4cm, a base menor ⎯ CD = 2cm e sua altura = 3,3cm. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e marcar a medida ⎯ AB, e em seguida marcar a metade de ⎯ AB (ponto médio). 59 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana A B
  • 51. b) 2.o passo: Levantar uma perpendicular a partir de M. c) 3.o passo: Marcar a altura do trapézio MM e traçar uma reta paralela a AB passando por M. d) 4.o passo: Marcar sobre esta reta paralela a AB a me- dida CD, sendo que a metade desta medida MC está para a esquerda e MD para a dire- ita. Unindo-se os pontos A, B, C e D, obtém- se o trapézio pedido. 2. Construir um trapézio isósceles conhecendo-se a base maior ⎯ AB = 4,8cm, sua altura = 2,8cm e o ângulo adjacente à base maior é α = 600 . a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida ⎯ AB. Em seguida, marque a altura, traçando-se uma paralela a ⎯ AB. b) 2.o passo: Construir o ângulo α com origem em A e depois com origem em B. Os ângulos le- vantados cortarão a altura em C e D, definindo, assim, o lado menor e o trapézio (de lados A, B, C e D) pedido. 4. Construir um trapézio retângulo conhecendo-se a base maior ⎯ AB = 4,8cm, o lado CD = 3,5cm e sua altura = 2cm. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida AB. b) 2.o passo: Traçar a altura a partir do ponto A da base maior, marcando-se a medida dada, obten- do-se, assim, o ponto C. c) 3.o passo: Traçar uma reta paralela a ⎯ AB passando pelo ponto C. d) 4.o passo: Medir, então, sobre a paralela traçada o cumprimento da base menor ⎯ CD. Unindo- se A, B, C e D respectivamente, teremos o trapézio pedido. 60 UEA – Licenciatura em Matemática h
  • 52. 4. Construir um trapézio escaleno sendo a base maior ⎯ AB = 4,8cm, a base menor ⎯ CD = 1,5cm, o lado ⎯ AC = 2,7cm e o ângulo adjacente à base AB a partir de A, sendo α = 70°. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida ⎯ AB. b) 2.o passo: Medir e traçar o ângulo α sobre a base ⎯ AB com origem em A. c) 3.o passo: Marcar e medir ⎯ AC sobre o ângulo levanta- do e, pelo ponto C, traçar uma paralela a ⎯ AB. d) 4.o passo: Medir então, sobre a paralela traçada o comprimento da base menor ⎯ CD. Unindo- se então A, B, C e D respectivamente, tere- mos o trapézio pedido. 5. Construir um trapezóide dada a base maior ⎯ AB = 4,85cm, sua base menor ⎯ CD = 2cm, o lado ⎯ AC = 3cm, o lado ⎯ BD = 2,9cm e um ângu- lo = 70° adjacente a AB com origem em A. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar a dis- tância AB. b) 2.o passo: Medir e traçar o ângulo sobre ⎯ AB com cen- tro em A. c) 3.o passo: Marcar a medida ⎯ AC sobre o lado do ângu- lo levantado. d) 4.o passo: Com centro em C e abertura ⎯ CD = 3cm (feita com compasso) faz-se um arco aleatório. e) 4.o passo: Com centro em B e abertura do compasso com a medida ⎯ BD, faz-se outro arco cortan- do o arco anterior originando o ponto D. Une-se, então, os pontos A, B, C e D para obter o trapézio pedido. 61 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
  • 53. TRAPÉZIOS 1. Construir um trapézio isósceles, dada a sua base maior ⎯ AB = 5cm , sua altura h = 4cm e um ângulo de 80° adjacente à base ⎯ AB. 2. Dado o triângulo eqüilátero A B C, construir um trapezóide, sendo o lado ⎯ AD = 4cm e o lado ⎯ BE = 3cm. 3. Construir e identificar o trapézio conhecendo-se o lado ⎯ AD = 4,5cm, suas diagonais ⎯ AC = 6,8cm e ⎯ BD = 7,7 cm, com altura h = 4,4cm. 4. Construir um trapézio retângulo conhecendo- se a base maior ⎯ AB = 6cm, a base menor ⎯ CD = 2cm e sua altura ⎯ AD = 3cm. 5. Construir um trapézio retângulo, dada a sua base maior ⎯ AB = 6cm e o ponto médio dessa base (metade de ⎯ AB). 6. Descreva as características de um trapézio quanto: Aos lados: ________________________________ Aos ângulos: _____________________________ 7. Dada a circunferência abaixo, construir um trapézio isósceles, sabendo-se que sua base maior é o diâmetro da circunferência e seus quatro pontos (A, B, C e D) tocam essa circun- ferência. 8. Determine o perímetro do trapézio dado sobre a linha abaixo. 9. Abaixo, temos um quadrado e uma de suas diagonais. Com apenas um traço, divida o quadrado em dois trapézios retângulos. 10. Construir um trapézio isósceles, dada a base maior ⎯ AB = 6cm, base menor ⎯ CD = 4cm e sua altura = 4cm. 11. Desenhar um trapézio isósceles circunscrito, dada a base maior ⎯ AB = 6cm, um ângulo adja- cente à base α = 60°, em que a base maior é o diâmetro da circunferência. 12. Complete o desenho da barra de ouro unindo os vértices das letras iguais. 13. Dado o trapézio, divida-o de forma a obter: a) Um trapézio retângulo. b) Um triângulo retângulo. 62 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 54. 14. Construir um trapézio escaleno, dada a base maior ⎯ AB =6cm, a base menor ⎯ CD = 2.5cm, o lado ⎯ AC =3cm e dois ângulos adjacentes à base maior, α = 60° e β = 45°. 15. Complete, com um trapézio isósceles, o dese- nho da casa. 16. Dado o quadrado, divida-o para obter quatro trapézios isósceles). 17. Dadas três figuras, monte um trapézio. 18. Decomponha a figura dada em: a) Dois trapézios retângulos. b) Um triângulo equilátero. c) Um trapézio isósceles. 19. Vamos ligar os pontos na ordem alfabética e ver que figura vai surgir. 20. No futebol de rua, a garotada jogou a bola con- tra uma janela, estilhaçando a vidraça. Des- taque as partes de vidro que formam trapézios. 63 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
  • 55. TEMA 13 LOSANGOS E PARALELOGRAMOS Diferenciam-se dos quadriláteros retangulares pela sua inclinação ou angulação, proporcio- nada pelas suas diagonais de tamanho, trans- mitindo sensação de desequilíbrio e, ao mesmo tempo, dinamismo, parecendo estar em movimento ou deslocamento. Sensação de movimento O quadrado é estático. O losango tem movimento diagonal. Aplicações CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMOS 1. Construir um losango dados um lado ⎯ AB = 2,7cm e um ângulo α = 60°. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e, sobre esta, mar- car o segmento retilíneo ⎯ AB, que é o lado dado. b) 2.o passo: Marca-se o ângulo a partir do segmento ⎯ AB, tendo como origem a extremidade A, pro- longando-se o outro lado do ângulo. c) 3.o passo: Com centro em A e abertura igual a ⎯ AB, le- vanta-se um arco, cruzando o lado do ângulo levantado. d) 4.o passo: Traçar, a partir de B, um segmento paralelo a ⎯ AC (prolongado). Da mesma forma, traçar uma reta paralela a ⎯ AB passando por C e definindo o último ponto que é o D. Unindo os pontos A, B, C, D, e A teremos o losan- go desejado. 2. Construir um losango, dadas as duas diago- nais, sendo a diagonal maior ⎯ AB = 4cm e a diagonal menor ⎯ CD = 2,5cm. a) 1.o passo: Traçar as duas diagonais perpendiculares entre si (prolongadas) que se cruzam em seus meios (origem). 64 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 56. b) 2.o passo: Marcar, a partir do cruzamento das diago- nais (O), a metade da medida AB, sendo ⎯ AO = 2cm e ⎯ OB = 2cm (diagonal maior). c) 3.o passo: Desta vez, marcar a partir de O a metade da medida ⎯ CD, sendo ⎯ OC = 0,8cm e ⎯ OD=0,8cm a diagonal menor. Obtido os quatro pontos, liga-se e obtém-se o losango pedido. 3. Construir um losango sabendo-se o seu lado ⎯ AB = 2,7cm. (usar compasso e régua). a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e nela marcar o segmento ⎯ AB. b) 2.o passo: Com centro em A e abertura ⎯ AB, traça-se um arco acima de B. c) 3.o passo: Com centro em B e mesma abertura ⎯ BC, traça-se um arco que cruzará o arco anteri- or definindo o ponto C. d) 4.o passo: Com centro em C e abertura (mesma) ⎯ CB, traça-se um arco cruzando o arco ⎯ BA e definindo o ponto D. Unindo-se os pontos A, B, D e C, temos o losango desejado. 4. Construir um paralelogramo dado o lado ⎯ AB = 4,8cm, o lado ⎯ AC = 2,2cm e o ângulo adjacente a AB, α = 45° a) 1.o passo: Traça-se uma reta suporte e marca-se a medida AB. b) 2.o passo: Constrói-se o ângulo α sobre o segmento ⎯ AB com origem em A. c) 3.o passo: Traça-se sobre o lado do ângulo α levanta- do a medida ⎯⎯ AC. 65 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana O O
  • 57. d) 4.o passo: Traça-se uma paralela ao lado ⎯⎯ AB passan- do por C e outra ao lado ⎯⎯ AC passando por B, definindo o ponto D. Unem-se os pontos com traço forte e obtém-se o paralelogramo pedido. 5. Construir um paralelogramo, dados os lados ⎯⎯ AB = 4,8cm, um ângulo α = 45° adjacente ao lado ⎯⎯ AB e sua altura = 1,4cm. a) 1.o passo: Traçar uma reta suporte e marcar a medida AB. b) 2.o passo: Constrói-se o ângulo a partir do segmento ⎯⎯ AB com centro em A, alongando-se o lado do ângulo aberto. c) 3.o passo: Repete-se a mesma operação para a cons- trução do ângulo, tendo a extremidade B como centro. d) 4.o passo: Traça-se a altura perpendicular ao segmen- to ⎯⎯ AB. Em seguida constrói-se uma paralela a ⎯⎯ AB cruzando os ângulos levantados nos pontos C e D, onde A, B, C e D formam o paralelogramo. 1. Desenhar um losango, dado o lado ⎯⎯ AB = 4cm. 2. Desenhar um losango, dadas as diagonais ⎯⎯ AC = 5cm e ⎯⎯ BD = 3cm. 3. Desenhar um paralelogramo, dado o lado maior ⎯⎯ AB = 5,5cm e o lado menor ⎯⎯ AD = 2,5cm e o ângulo adjacente à ⎯⎯ AB α = 45°. 4. Construir um paralelogramo, dado o lado maior ⎯⎯ AB = 5cm, um ângulo adjacente à base α = 60° e sua altura = 2cm. 5. Dada a circunferência e a sua divisão, construa três losangos para obter uma figura a saber. 6. Divida o hexágono regular com dois losangos para obter um cubo. 7. Complete o desenho da casa com um losango. 66 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 58. 8. Dado o módulo abaixo, repita-o para formar um painel (composição por repetição). 9. Dado o retângulo, divida-o para obter um para- lelogramo. 10. Complete o desenho da bandeira do Brasil sabendo que os lados do retângulo são ⎯⎯ AB = 7cm e ⎯⎯ BC = 4cm e o losango tem dia- gonais ⎯⎯ AC = 6cm e ⎯⎯ BD =3,5cm. 11. Dados os quadrados e uma linha poligonal, ligue as letras iguais para obter um objeto tridi- mensional com um furo. 12. O desenho tridimensional do parafuso está incompleto, restando duas faces em forma de losangos; finalize-o. 13. Observe a linha poligonal abaixo e reproduza este caminho, utilizando losangos. 14. Construa um triângulo eqüilátero e divida-o para obter três losangos que, ao serem escure- cidos, fará surgir a marca “MITSUBISHI”. 15. Monte pelo menos cinco combinações dife- rentes com os dois paralelogramos abaixo. 67 Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana
  • 60. 71 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros TEMA 14 POLÍGONOS Introdução É a região do plano limitada por uma linha poli- gonal fechada. Os polígonos estão presentes em quase todas as coisas que usamos ou vemos, enchendo o mundo que nos cerca, com suas variadas for- mas e composições. Basta observar coisas que você esta usando ou ao seu redor. Ao longo do tempo, fomos aprendendo a ob- servar, associar e aplicar as formas geométri- cas naturais ao nosso mundo próprio. 1. Classificando os polígonos (com mais de cinco lados) 1. Polígonos regulares e irregulares a. Polígonos regulares – São formas inscritas e circunscritas por circunferência. Possui ângulos externos também iguais, sendo que a soma dos ângulos internos é igual a 360°. b. Polígonos não-regulares – Possuem lados com tamanhos diferentes e ângulos inter- nos e externos diferentes, sendo que a soma dos ângulos internos é também de 360°. 2. Polígonos inscritos e circunscritos. a. Polígonos inscritos – Os vértices do polí- gono estão sobre a circunferência. b. Polígonos circunscritos – Os lados do polígono são tangentes à circunferência. 3. Polígonos convexos e côncavos. a. Polígonos convexos – São polígonos que não possuem vértices reentrantes, ou seja, todas as diagonais estão na região interna.
  • 61. 72 UEA – Licenciatura em Matemática b. Polígonos côncavos – São polígonos que possuem ângulos reentrantes, ou seja, vér- tices em direção ao interior do polígono. Observação: A tendência de um polígono, à medida que aumenta o seu número de lados, é de se apro- ximar da forma de uma circunferência. Construção de Polígonos Regulares em função do lado 1. Construir um pentágono regular, conhecendo- se o seu lado ⎯ AB = 1,6cm. 1.o passo: Traçar o lado ⎯ AB e com centro em A e raio ⎯ AB, construir uma circunferência. 2.o passo: Com centro em B e mesmo raio, traça-se outra circunferência, cortando-se os pontos P e O, pelos quais passam uma linha prolongada. 3.o passo: Com centro em O e raio ⎯ AB, traça-se a última circunferência, que vai cortar o segmento ⎯ OP no ponto G e as duas circunferências já traçadas nos pontos 1 e 2. 4.o passo: Une-se o ponto 1 ao ponto G e prolonga-se a linha assim obtida até a circunferência do cen- tro A. Une-se depois o ponto 2 ao ponto G e prolonga-se também esta reta até que ela corte a circunferência do centro B. 5.o passo: As duas linhas traçadas determinarão, no en- contro com as duas circunferências, os pontos P P O O
  • 62. 73 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros C e D que, unidos respectivamente a A e a B, definindo mais dois lados sendo, ⎯ AC e ⎯ BD. 6.o passo: Com centro em C e raio ⎯ AB, traça-se um arco X e, em seguida, com o mesmo raio e centro em D, descreve-se o arco Y, cortando o arco X no ponto E. Unindo-se o ponto E ao ponto C e a D, teremos os dois lados restantes, ⎯ EC e ⎯ ED do pentágono pedido. 2. Construir um hexágono regular conhecendo- se o lado ⎯ AB = 1,6cm. 1.o passo: Traça-se o lado ⎯ AB e com centro em A e raio ⎯ AB, descreve-se o arco 2. Com o centro em B e mesmo raio, traça-se o arco 1 que cortará o primeiro arco em O. 2.o passo: Com centro em O e raio ⎯ AB, traça-se uma cir- cunferência. 3.o passo: Com a distância ⎯ AB e centro em B, marca-se sobre a circunferência o ponto C, utilizando-se o ponto seguinte como centro, até marcar o sexto ponto do hexágono, no caso F. 4.o passo: Finalmente, ligam-se os pontos A, B, C, D, E, F, A, nessa ordem, para obter o hexágono regu- lar pedido. 3. Construir um heptágono regular conhecendo- se o seu lado ⎯ AB = 2cm. 1.o passo: Marca-se sobre uma linha suporte horizontal a distancia ⎯ AB igual ao lado conhecido, e em seguida a distância ⎯ BC igual a ⎯ AB na mesma linha. 2.o passo: Admitindo-se o seguimento ⎯ AC como base de um triângulo eqüilátero, constroe-se esta figura de vértices A, C e D. P E P
  • 63. 74 UEA – Licenciatura em Matemática 3.o passo: Levanta-se uma perpendicular por B, que é o meio da base ⎯ AC, e em seguida traça-se outra perpendicular, desta vez pelo meio do lado ⎯ CD, cortando a altura ⎯ BD em O. 4.o passo: Com centro em O e raio ⎯ OA, traça-se uma cir- cunferência que circunscreverá o triângulo. Aplique-se agora o lado ⎯ AB. 5.o passo: Com centro em A e distância ⎯ AB, marca-se sobre a circunferência no ponto 1, onde A1 é o primeiro lado da figura. 6.o passo: Marca-se a distância ⎯ AB sobre a circunferência para obter os lados pelos pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, A, que unidos completarão o heptágono pedido. 4. Construir um octógono conhecendo-se o seu lado AB = 1,5cm. 1.o passo: Traça-se uma reta suporte e sobre esta marca- se a medida do lado, levantando-se em segui- da duas perpendiculares a este lado a partir de A e de B. 2.o passo: Traçam-se as duas bissetrizes destes dois ângulos retos, uma com origem em A e outra com origem em B. 3.o passo: Marca-se sobre a reta do ângulo de origem A medida ⎯ AC, e sobre a reta do ângulo de origem B a medida ⎯ BD.
  • 64. 75 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros 4.o passo: Levantam-se pelos pontos C e D duas perpen- diculares à reta suporte de ⎯ AB, nas quais mar- cam-se as distâncias ⎯ CE e ⎯ DF, respectivamente iguais a ⎯ AB. 5.o passo: Com centro em E e raio ⎯ AB, corta-se a perpen- dicular que passa por A no ponto G; com o mesmo raio e centro em F, corta-se agora a perpendicular a ⎯ AB que parte de B no ponto H. Ligando-se agora os pontos A, B, D, F, H, G, E, C e A teremos o octógono pedido. 2. CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS INSCRITOS EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 1. Dividir a circunferência em três partes iguais e construir um triângulo eqüilátero circunscrito. 1.o passo: Traça-se o diâmetro horizontal ⎯ AB da circunfer- ência e levanta-se uma perpendicular pelo meio(M) do raio ⎯ AO. Esta linha vai cortar a cir- cunferência nos pontos C e D. 2.o passo: Os pontos B, C e D são os três lados do triân- gulo inscrito. 2. Dividir a circunferência de raio ⎯ OA = 1,7cm em quatro e oito partes iguais, ou então construir um quadrado e um octógono inscritos. 1.o passo: Traçam-se, inicialmente, os diâmetros ⎯ AB e ⎯ CD perpendiculares, dividindo a circunferência em quatro partes iguais. 2.o passo: Traça-se uma circunferência com centro em O e abertura ⎯ OA, que vai tocar os diâmetros nos pontos A, B, C, e D. 3.o passo: A ligação dos pontos ⎯ AD, ⎯ DB, ⎯ BC e ⎯ CA deter- mina o quadrado inscrito. O
  • 65. 76 UEA – Licenciatura em Matemática 4.o passo: Traça-se uma perpendicular pelo meio dos lados ⎯ AC e ⎯ BD, cortando a circunferência nos pontos E e F, obtendo-se mais dois pontos da figura. 5.o passo: Desta vez, traça-se uma perpendicular pelo meio dos lados ⎯ AD e ⎯ BC, obtendo-se sobre a circunferência os pontos G e H, que são os últi- mos pontos da figura circunscrita. 6.o passo: Ligando-se, respectivamente, os pontos A, G, D, F, B, H, C, E, A, teremos um octógono inscrito. 3. Construir um pentágono circunscrito conhe- cendo-se a circunferência. 1.o passo: Traçam-se, em primeiro lugar, os dois diâme- tros perpendiculares da circunferência, sendo estes ⎯ AB e ⎯ CD. 2.o passo: Divide-se o raio ⎯ OD ao meio, determinando o ponto X. Com raio ⎯ XA, descreve-se um arco que vai cortar o diâmetro ⎯ AB (horizontal) no ponto P. 3.o passo: Agora, com o centro em A e raio ⎯ AP, traça-se outro arco, que vai determinar na circunferên- cia o ponto E, que unido com A dará o lado do pentágono circunscrito. 4.o passo: Finalmente, com centro em E e medida con- stante ⎯ AE, marcam-se sobre a circunferência os pontos E, F, G, H, A restantes que ligados definirão o pentágono regular inscrito. E E H F G
  • 66. 77 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros 4. Construir um hexágono regular conhecendo- se a circunferência de diâmetro ⎯ AB = 3,4cm. 1.o passo: Traça-se uma reta suporte horizontal na qual marca-se o diâmetro ⎯ AB e seu meio O (centro). 2.o passo: Traça-se a circunferência, e com centro em A e raio ⎯ AO, descreve-se arco de círculo que cor- tará a circunferência duas vezes, obtendo-se os pontos C e D, onde ⎯ AC ou ⎯ AD já é o lado do pentágono circunscrito. 3.o passo: Agora, com centro em B e raio ⎯ BO, descreve-se um outro arco de circulo que cortará a circun- ferência nos pontos E e F. Unindo-se os pontos A, C, E, B, F e D, obtem-se o hexágono regular inscrito. 5. Construir um heptágono regular circunscrito, conhecendo-se o diâmetro da circunferência AB = 3,4cm. 1.o passo: Traçar o diâmetro AB horizontal e sua circun- ferência pelo meio de AB. 2.o passo: Com centro em A raio ⎯ AO, traça-se um arco do círculo que cortará a circunferência nos pontos 1 e 3. 3.o passo: Unindo-se os pontos ⎯ 13, teremos uma reta per- pendicular que cortará o diâmetro ⎯ AB no ponto 2. O segmento ⎯ 12 é o lado do heptágono. 4.o passo: Com centro em 1 e medida ⎯ 12, traça-se um arco que cortará a circunferência no ponto A, repetindo-se, então, ao longo da circunferência até o ponto 1. Unem-se os pontos 1, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para obter o heptágono regular inscrito. 6. Construir um noneágono regular circunscrito conhecendo-se o diâmetro ⎯ AB = 3,4cm da cir- cunferência. 9 8 7 6 5
  • 67. 78 UEA – Licenciatura em Matemática 1.o passo: Traça-se o diâmetro ⎯ AB e pelo seu meio O (centro) constrói-se a circunferência de raio AO. 2.o passo: Levanta-se uma perpendicular ao raio ⎯ OB pelo ponto C, cortando a circunferência no ponto G. 3.o passo: Com centro em C o raio ⎯ OB, descreve-se um arco que cortará a perpendicular traçada no ponto D. 4.o passo: Com centro em D e mesmo raio ⎯ OB, corta-se o arco que parte de D no ponto E. 5.o passo: Liga-se agora E a O. Essa linha corta a circun- ferência no ponto F, que ligado a G determina o segmento retilíneo que é o lado do eneágono. Com abertura ⎯ FG marcam-se sobre a circunfer- ência os nove lados (F, G, H, I, A, J, L, M e N)do eneágono pedido. POLÍGONOS 1. Construir um pentágono regular de raio ⎯ OA = 3cm pela divisão da circunferência. 2. Construir um hexágono regular circunscrito, dado o triângulo abaixo. 3. Construir um octógono regular inscrito, dados a circunferência e os dois diâmetros abaixo. J L M N H I O BA A C E G
  • 68. 79 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros 4. Construir um heptágono regular circunscrito, sabendo-se que ⎯ AB é o seu lado, e o ponto O é o centro da figura pedida. 5. Construir um hexágono regular circunscrito, dada a figura abaixo. 6. Construir um decágono (10 lados) regular cir- cunscrito, dado o pentágono regular. 7. Construir um octógono regular circunscrito, dadas as retas paralelas abaixo. 8. Construa a estrutura da roda gigante, saben- do-se que ela possui lados iguais ao lado ⎯ AB. 9. Dado o eneágono regular circunscrito, ligar com cordas de circunferência os pontos de quatro em quatro para obter uma figura estrelada. 10. O proprietário de um automóvel esportivo pre- cisou trocar-lhe os pneus e aproveitou e trocou o jogo de aros dos pneus. Crie, então, um no- vo modelo de aro tendo como base um hexá- gono regular (há várias soluções). 11. Complete o desenho do parafuso cuja cabeça tem forma de hexágono regular. A I G E C A B
  • 69. 80 UEA – Licenciatura em Matemática 12. Dado o pentágono regular circunscritível de raio = 2,4cm, traçar um semelhante de mesma origem e raio = 3cm. 13. Os lados do triângulo abaixo são lados de três polígonos regulares inscritos sendo: a) pentágono; b) hexágono; c) decágono. Identifique o lado do triângulo com o lado-base dos polígonos citados. 14. Uma pedra preciosa foi encontrada em sua forma bruta (dodecágono irregular). Lapide-a na forma de um pentágono irregular. 15. A figura seguinte é um polígono estrelado por quê? 16. O proprietário da mesa abaixo, sem condições de comprar uma nova, decidiu modificá-la para uma forma de um octógono irregular inscritível eliminando as quinas da mesa. Auxilie com o desenho para evitar problemas no corte das quinas da mesa.
  • 70. 81 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros TEMA 15 POLIEDROS Histórico de poliedros As primeiras construções geométricas surgi- ram com problemas simples, como a medida e a divisão de terra, e a construção da roda. Nes- te estágio, a Geometria era um bando de recei- tas para cálculos de perímetros e áreas. Cedo o homem aprendeu que soluções retilíneas eram mais econômicas, aprendeu a trabalhar com fi- guras regulares e a fazer divisões que são fá- ceis de construir. As primeiras construções, as mais primitivas, já eram modelos de cones e cilindros, como, por exemplo, as cabanas de índios e os poços artesanais. Alguns sólidos regulares, como pirâmides e prismas, talvez por serem mais econômicos, foram sendo mais e mais usados. Já por volta de 1000 a.C., monu- mentos imensos, como pirâmides, já tinham sido erguidos. Já se conhecia como construir ângu- los retos e como retificar a circunferência. O desejo de se sentir bem nos seus ambientes levou o homem a desenvolver a estética por meio da Arquitetura e da Decoração. A Geo- metria encontra-se presente na Arquitetura Egípcia, Assíria-Babilônica, Grega e Romana, como também na decoração por meio do re- conhecimento e da repetição de módulo e suas simetrias, muito usado nas culturas Egípcia, Grego-Romana e Árabe. Os poliedros regulares fascinaram os antigos como símbolo de perfeição da natureza. Os Gregos, mais precisamente os Pitagóricos, já sabiam da existência de três dos cinco po- liedros regulares: o cubo, o tetraedro e o dode- caedro. Cubos e tetraedros já eram conheci- dos de Egípcios e Babilônios. Os Etruscos, por volta do ano 1000 a.C., construíram um dado em forma de um dodecaedro. Esses poliedros foram muito estudados pela Escola de Platão, que construiu uma teoria filosófica baseada neles, comparando-os com os cinco elemen- tos da natureza. Introdução Diz-se poliedro todo sólido limitado por polí- gonos planos. Os polígonos são colocados lado a lado, não-coplanares, definindo um tre- cho fechado no espaço. A palavra edro vem da palavra hedra, que em grego quer dizer “face”. No espaço, o pequeno não é pouco, nem o grande é muito. É a forma, e não a dimensão que define o espaço; “Um jarro se faz com a massa palpável do envoltório externo; mas é o espaço vazio do seu interior que o faz útil”. O movimento no espaço tem três liberdades: Em uma direção – A LINHA. Em duas direções – O PLANO. Em três direções – O VOLUME (tridimensional: assim é o espaço). Um poliedro ocupa três dimensões no espaço: largura, altura e comprimento. Veja, então, como é um poliedro. Onde: a) Vértice é o ponto onde três ou mais arestas se encontram. b) Aresta é a linha do encontro de duas faces do poliedro. c) Faces são figuras poligonais planas. Os poliedros podem ser classificados de acor- do com a forma, com o número de lados e os ângulos formando faces, sendo: a) Poliedros regulares ou platônicos. b) Poliedros semi-regulares. c) Poliedros irregulares. d) Poliedros côncavos e convexos Poliedros Platônicos Entre os antigos gregos, os poliedros foram chamados de corpos cósmicos ou sólidos
  • 71. platônicos, devido à maneira pela qual Platão os utilizou para explicar os fenômenos científi- cos relativos ao universo. Em 388 a.C., Platão foi à Sicília visitar o amigo Arquitas e provavelmente , por intermédio deste, tomou conhecimento dos cinco poliedros regu- lares. a) Poliedros platônicos ou regulares – São os que possuem lados iguais, sendo estes: 1. Tetraedro regular – É o menor de todos os poliedros. É formado por quatro triângulos eqüiláteros que equivalem a uma pirâmide de base triangular. 2. Hexaedro regular (6 lados) – É formado por seis quadrados regulares e tem a forma de um cubo. 3. Octaedro regular – É formado por oito tri- ângulos eqüiláteros iguais e equivale a duas pirâmides coladas pela base ou a um balão junino. 4. Dodecaedro regular – É formado por doze pentágonos regulares, e sua forma se apro- xima de uma esfera. 5. Icosaedro regular – É formado por vinte triângulos eqüiláteros e tem a forma de uma pedra lapidada. Durante muitos séculos, quatro desses polie- dros foram associados aos quatro elementos que os gregos acreditavam formar o universo: terra, fogo, ar e água. Essa associação era re- presentada por um esquema do tipo: O quinto poliedro, o dodecaedro, foi conside- rado por Platão como símbolo do universo. No entanto foi Euclides, em sua principal obra, Os elementos, que deu um tratamento mais rigo- roso ao estudo desses poliedros. b) Poliedro semi-regulares – São poliedros for- mados por dois diferentes tipos de polígonos. 82 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 72. c) Poliedros irregulares – São os poliedros formados por diferentes polígonos. d) Poliedros côncavos e convexos – Polie- dros convexos compreendem as formas que não possuem ângulos entre os lados maior que 180°. Poliedros côncavos possuem como particu- laridade a formação de lados internos ao poliedro, formando furos, rebaixos, etc. ÂNGULOS POLIÉDRICOS Os poliedros são corpos geométricos em que os ângulos são traçados de forma a permitir que os lados criem entre si um vértice em for- ma de bico. E para construir um bico, são ne- cessários, no mínimo, três polígonos. Se traçarmos, numa folha de papel (plano), po- lígonos iguais formando num vértice comum um ângulo final de 360°, torna-se impossível que esses lados formem um bico, que é o ângulo poliédrico; vejamos: Seis triângulos eqüiláteros regulares; 6 x 60 = 360º Quatro quadrados regulares; 4 x 90º = 360º Três heptágonos regulares ou qualquer outro polígono regular. Vejamos, então, como se forma um ângulo po- liédrico. Observe que a posição dos lados vai determinar se os lados formaram um poliedro, ou seja, um corpo geométrico tridimensional. Veja também que a união dos lados do polígono origina arestas que vão fazer que os lados se fechem em torno de um vértice comum aos três lados, produzindo uma forma não plana. Vejamos algumas situações: 83 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
  • 73. Vamos fazer? Agora, vamos aprender como surge um ângu- lo poliédrico. Para começar, vale lembrar que o ângulo polié- drico é formado pela união ou pelo encontro de pelo menos três lados. 1.o passo: Uma folha de papel sem pautas. 2.o passo: Traçamos três quadrados regulares de lado 5cm. 3.o passo: Cortamos a figura pelo perímetro, sem dividir os quadrados. 4.o passo: Marcamos e dobramos as arestas HE e HC (tracejado). As propriedades dos poliedros regulares (platônicos) Os poliedros são classificados segundo suas propriedades, algumas delas sendo numéri- cas, como segue abaixo: 84 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 74. Observação – Não só os poliedros regulares possuem essa propriedade, mas todos os po- liedros convexos! CONSTRUINDO UM POLIEDRO Inicialmente, é importante saber qual o tipo de poliedro que se quer construir. Para começar, serão necessários praticamente os mesmos instrumentos utilizados no traçado de figuras poligonais, acrescentando desta vez um marcador para dobras e cola ou adesivo transparente. O marcador pode ser a ponta da lapiseira, uma lâmina cega, a ponta de uma esferográfica se- ca, etc., que não corte ou separe os lados do poliedro. POLIEDROS E SUAS FASES DE CONSTRUÇÃO RECOMENDAÇÕES E INSTRUÇÕES a) Pegue uma folha de papel/cartolina, não muito flexível ou mole, que seja suficiente para planificar ou traçar o poliedro, pregan- do-a sobre uma mesa. b) Faça o traçado do poliedro desejado. c) Faça todas as marcações antes de cortar a figura planificada. É importantíssimo dife- renciar as linhas de dobra das linhas de corte. Vejamos: d) Antes de cortar a figura, vamos traçar “abas” para que, ao montar o poliedro, possamos fixá-lo com mais segurança e facilidade, melhorando sua aparência. Lembre-se, então, de que os lados com abas devem ser marcados para dobras e não para cortes. e) Finalmente, cortamos a figura pelo seu perímetro. f) Ao dobrar a figura e as abas, veja que os próprios lados vão-se deslocando para suas posições finais. O último lado fechará o poliedro por meio da aba. Linha marcada para a do- bra, sem cortar a folha. Marcador de dobras 85 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
  • 75. O traçado planificado 1. O tetraedro – quatro triângulos eqüiláteros re- gulares. 2. O hexágono – seis quadrados. 3. O octaedro – oito triângulos eqüiláteros regulares. 4. O dodecaedro – dez pentágonos regulares. 5. O icosaedro – vinte triângulos eqüiláteros re- gulares. 86 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 76. INSCRIÇÃO – UMA PROPRIEDADE INTERESSANTE A inscrição de figuras é bastante aplicada na engenharia, na arquitetura, nas oficinas mecâ- nicas, na arte, etc. Essa propriedade permite que os cinco polie- dros regulares sejam inscritos de acordo com suas características já conhecidas: número de faces, número de vértices e número de arestas. O poliedro de dentro é denominado poliedro inscrito, e o de fora é o poliedro circunscrito. a) Um tetraedro regular, por sua vez, pode ser inscrito num tetraedro regular. b) Hexaedro (cubo) regular inscrito num octa- edro. Cada vértice do cubo é o centro de uma face do octaedro. Octaedro inscrito num cubo. Cada vértice do octaedro é o centro da face do cubo c) O Dodecaedro inscrito num icosaedro. E o dodecaedro circunscrito ao icosaedro. A inscrição de uma figura em outra não é feita somente com poliedros regulares, mas tam- bém com corpos redondos, com figuras pla- nas ou mesmo não-planas. Uma circunferência inscrita num quadrado Uma esfera inscrita num cubo Para Saber... Homem e o troncoctaedro Serve como uma orientação segura para pré- dimensionar os macro objetos a serem utiliza- dos pelo homem, sejam armários, bancadas, escrivaninhas, poltronas odontológicas, má- quinas-ferramentas, e etc. 87 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
  • 77. PRISMAS E PIRÂMIDES Prismas – Poliedro irregular limitado por dois polígonos que são as bases do prisma. Suas faces, que são paralelogramos, variam de acor- do com o número de lados que possuem as bases (triangular, quadrada, pentagonal, etc.). Prisma reto – O prisma é reto quando as arestas são perpendiculares às bases. Prisma oblíquo – O prisma é oblíquo (inclina- do) quando as arestas forem oblíquas às bases. Prisma regular – O prisma é regular quando é reto e suas faces são polígonos regulares. Prisma irregular – O prisma é irregular quan- do as suas bases são polígonos irregulares. Pirâmide – Poliedro regular limitado por uma base e um vértice comum a todas as faces. Possui faces que são triângulos isósceles e variam de acordo com o número de lados da base (triangular, quadrada, pentagonal, etc.) Pirâmide reta – A pirâmide é reta quando o eixo que une o seu vértice é perpendicular à base. Pirâmide oblíqua – A pirâmide é oblíqua quan- do o eixo que une o vértice ao centro da base não é perpendicular à base. 88 UEA – Licenciatura em Matemática
  • 78. Pirâmide regular – A pirâmide é regular quan- do a base é um polígono regular. Pirâmide irregular – A pirâmide é irregular quando a base é um polígono irregular. Vejamos algumas aplicações de prismas no cotidiano. Construções e edificações Malhas de geométricas prismáticas usadas em preenchimento (reforço) de divisórias de ambientes POLIEDROS 1. Construir um poliedro regular (platônico) de lado igual a 5cm. 2. Construir um prisma regular de base hexago- nal regular, de lado igual a 5cm. 3. Construir uma pirâmide de base pentagonal regular de lado igual a 4cm e altura das faces igual a 8cm. 89 Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros
  • 80. 93 Desenho Geométrico – Anexos ANEXO 01 DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO 1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem: • Saber e compreender o que o grupo está fazendo. • Fazer perguntas se não entenderem. • Participar ativamente na realização das tarefas. • Ajudar os outros. • Respeitar os outros. 2. Só devem chamar o professor: • Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo após utilizado vários argumentos. • Quando tiverem concluído a atividade. 3. Ao final das atividades devem: • Elaborar um relatório conforme anexo 30. • Ler o que foi escrito. • Organizar a apresentação à turma.
  • 81. 94 UEA – Licenciatura em Matemática ANEXO 02 GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos: Identificação do grupo de alunos, indicando: 1. NOME 2. NÚMERO DE MATRÍCULA 3. TURMA 4. MUNICÍPIO Identificação do trabalho, indicando: 1. DATA DE REALIZAÇÃO 2. DISCIPLINA 3. TÍTULO Atividade n.º ______: 1. NOME 2. OBJETIVOS O que deseja alcançar com a realização das atividades? 3. MATERIAIS UTILIZADOS Devem ser discriminados os materiais para cada atividade. 4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: a. Relato de todos os passos de cada atividade. b. Explicação dos raciocínios. c. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas. d. Apresentação dos resultados obtidos. Conclusões Apreciação crítica do trabalho proposto.
  • 82. 95 Desenho Geométrico – Anexos ANEXO 03 TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO
  • 83. ANEXO 04 FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO A minha colaboração na elaboração do relatório foi: A minha colaboração na apresentação foi: O que aprendi com as atividades realizadas foi: As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram: Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?: Nome:______________________________________________N.o :____Turma:____ SIM NÃO Consegui distribuir as tarefas no grupo. Verifiquei o objetivo da atividade. Cooperei com os outros elementos do grupo. Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo. Fui capaz de moderar a discussão no grupo. Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema. Selecionei as estratégias apropriadas. Justifiquei as conjecturas. Utilizei os materiais. Registrei os resultados. Fui perseverante na resolução do problema. Obtive conclusões. Tive boa comunicação com a turma.