Conjunto dos números reais em Matemática elementar II

Clício Freire da Silva
Cláudio Barros Vitor
Arnaldo Barbosa Lourenço
Manaus 2006

FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planej. e Administração
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Horácio Martins
Mário Lima
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Silva, Clício Freire da.
S586m Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros
Vitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. –
(Licenciatura em Matemática. 2. Período)
120 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.
Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título.
CDU (1997): 51
CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 03 – Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
TEMA 04 – Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
TEMA 05 – Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 06 – Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 07 – Frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 08 – Cálculo do mmc e do mdc de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
UNIDADE III – Potências e radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 09 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 10 – Usando potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
TEMA 11 – Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TEMA 12 – Equações do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
TEMA 13 – Equações literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
TEMA 14 – Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
UNIDADE IV – Inequações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 15 – Inequação do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 69
UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 18 – Equação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TEMA 20 – Intervalo reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
UNIDADE VI – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TEMA 21 – Função ou aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 22 – Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TEMA 23 – Função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
TEMA 24 – Raiz ou zero da função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TEMA 25 – Função do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
TEMA 26 – Inequação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
TEMA 27 – Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Clício Freire da Silva
Licenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF
Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Arnaldo Barbosa Lourenço
Licenciado em Matemática - UFPA
Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM
Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM
PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico-científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhes
uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

UNIDADE I
Conjuntos Numéricos

TEMA 01
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS:
INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS
1. Introdução.
É possível repartir igualmente vinte bolinhas de
gude entre três crianças carentes?
Vejamos:
Nesse caso, não é possível, pois cada criança
receberá seis bolinhas e ainda sobrarão duas
bolinhas.
Conclui-se, então, que a divisão de dois nú-
meros inteiros nem sempre é possível de ser
realizada no conjunto Z. Daí a necessidade
de ampliar o conjunto Z para o conjunto dos
números racionais (Q), pois não existe número
inteiro que represente o quociente 20 : 3.
No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formou
uma sociedade secreta e mística. Os membros
dessa sociedade dedicaram-se ao estudo dos
números, porque acreditavam que tudo que
existe no Universo podia ser explicado por
meio de números.
Os pitagóricos conheciam os números inteiros
e as frações, que representavam comparações
entre duas grandezas de mesma espécie.
Com a descoberta do Teorema de Pitágoras,
os pensadores verificaram que a razão entre a
medida d da diagonal do quadrado e a medida
do lado do quadrado não era um número
racional, pois essas medidas nunca podiam
ser ambas expressas por números inteiros.
Isso levou à criação dos números irracionais,
que não são inteiros e nem racionais, pois não
podem ser escritos como fração nem como
decimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje,
que
2. Número Racional (Q)
É qualquer número que pode ser escrito como
quociente de dois números inteiros, sendo o
divisor diferente de zero.
2.1 Forma decimal
Há duas formas de se representar um número
racional: a forma fracionária e a forma deci-
mal. Dada a forma fracionária, basta dividir o
numerador pelo seu denominador para obter a
forma decimal. Veja os exemplos:
a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços
de comprimentos iguais, qual será o comprimen-
to de cada pedaço?
→ representação fracionária.
1,875 → representação decimal.
O comprimento de cada pedaço de cabo será
de 1,875m.
b) → representação fracionária.
1,333... → representação decimal.
A representação decimal de um número
racional pode apresentar:
2.1.1 Um número finito de algarismos não-
nulos. Nesse caso, o número racional é
chamado de decimal exato, como no
exemplo a.
20 3
2 6
11
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

2.1.2 Um número infinito de algarismos que se
repetem periodicamente. Nesse caso, o
número racional é chamado de dízima
periódica, como no exemplo b.
Numa dízima, os algarismos que se repetem
periodicamente após a vírgula compõem o nú-
mero chamado de período. Veja os exemplos:
d) 3,444... – período: 4.
e) 2,535353... – período: 53.
f) 4,01215215215... – período: 215.
Quando a dízima não apresentar nenhum
algarismo entre a vírgula e o período (como
nos exemplos d e e), ela é chamada de dízima
periódica simples. Caso contrário (como no
exemplo f), ela é chamada de dízima periódica
composta.
2.2 Forma fracionária
Para transformar um número da representação
decimal para a representação fracionária, te-
mos dois casos a considerar:
1. O número dado é um decimal exato.
Nesse caso, a fração procurada tem como
numerador o número dado, sem vírgula, e
tem como denominador o algarismo 1 segui-
do de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do número dado. Veja os exemplos:
a) 0,38 = b) 1,743 =
duas casas três casas
decimais = dois zeros decimais = três zeros
2. O número dado é uma dízima periódica.
Nesse caso, a fração procurada recebe o
nome de fração geratriz da dízima periódica.
Exemplo sobre a determinação da fração
geratriz.
Encontrar a fração geratriz da dízima
0,777...
Solução:
Indicamos a dízima periódica 0,777... por x.
x = 0,777... (1)
Multiplicamos os dois membros dessa
igualdade por 10.
10x = 7,777... (2) → multiplicamos por 10,
pois o período tem um algarismo.
Subtraímos, membro a membro, a igual-
dade (1) da igualdade (2).
10x = 7,777... (2)
x = 0,777... (1)
9x = 7
Assim: x =
Logo, 0,777... =
Determine a geratriz da dízima 4,151515...
Solução:
Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x.
x = 4,151515... (1)
Multiplicamos os dois membros dessa igual-
dade por 100.
100x = 415,151515... (2) → multiplicamos por
100, pois o período tem dois algarismos.
Subtraímos, membro a membro, a igualdade
(1) da igualdade (2).
100x = 415,151515... (2)
x = 4,151515... (1)
99x = 411
Assim: x =
Logo, 4.151515... =
3. Números Irracionais (II)
São todos os números que têm uma represen-
tação decimal, infinita e não–periódica.
Os números irracionais não podem ser escritos
em forma de fração.
As raízes quadradas de números inteiros posi-
tivos, que não são quadrados perfeitos, são
números irracionais. Exemplos:
e
12
UEA – Licenciatura em Matemática

Alguns números irracionais são identificados
por símbolos especiais.
O número π (pi)
Há muitos anos, os egípcios descobriram
que a razão entre o comprimento de uma cir-
cunferência e o seu diâmetro é a mesma para
qualquer circunferência. É essa razão que
hoje chamamos de π, representando um
número irracional de valor aproximadamente
igual a 3,1415...
C
––– = π
2r
π = 3,1415...
Logo, C = 2.π.r
A roda de um automóvel tem 0,6m de
diâmetro. Nessas condições, responda:
a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da
circunferência da roda?
b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de
quantos metros será a distância percorrida pelo
automóvel?
Solução:
a) C = ? C = 2.π.r
d = 0,6 m
= 0,3 m
C = 2 . 3,14 . 0,3 →
C = 1,884m
b) N.° de voltas completas = 5000.
Distância percorrida pelo automóvel:
d = 5000 . 1,884
d = 9420m
4. Números Reais (IR)
É o conjunto formado por todos os números
racionais e por todos os números irracionais.
Em resumo, temos:
O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:
I ⊂ IR Q ∪ I = IR Q ∩ I = ∅ IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
4.1 Representação geométrica dos números
reais.
Para cada número real, há um ponto correspon-
dente na reta e, para cada ponto da reta, há um
número correspondente. Por isso, dizemos que
existe uma correspondência um a um entre os
números reais e os pontos de uma reta.
Escreva entre que números inteiros consecu-
tivos fica cada um dos números reais abaixo.
Identifique se ele é real racional ou real irracional.
a) b) c) 8,666...
Solução:
a) : real irracional; fica entre 5 e 6.
c) : real racional; fica entre 2 e 3.
d) 8,666...: real racional; fica entre 9 e 8.
4.2 Operações em IR
No conjunto dos números reais, podemos efe-
tuar as operações de adição, subtração, multi-
plicação e divisão (divisor diferente de zero).
13

Propriedades
Sendo a, b e c números reais quaisquer,
podemos escrever as propriedades das se-
guintes operações:
a) Adição
• Fechamento: (a + b) ∈ IR
Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR)
• Comutativa: a + b = b + a
Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17
• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12
• Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a
Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6
• Elemento oposto: a + (−a) = 0
Ex.: 4 + (−4) = 0
b) Subtração
• Fechamento: (a – b) ∈ IR
Ex.: 3 – 5 = 2 (−2 ∈ IR)
c) Multiplicação
• Fechamento: (a . b) ∈ IR
Ex.: 3 . 5 = 15 (15 ∈ IR)
• Comutativa: a . b = b . a
Ex.: 9 . 3 = 3 . 9 = 27
• Associativa: a .(b . c) = (a . b) . c
Ex: (4 . 5) . 6 = 4 .(5 . 6) = 120
• Elemento inverso: , a ≠ 0
Ex.:
• Elemento neutro: a . 1 = 1. a = a
Ex.: 3 . 1 = 1 . 3 = 3
• Distributiva: a . (b + c) = a.b + a.c
Ex.: 3 . (5 + 4) = 3 . 5 + 3 . 4
d) Divisão
• Fechamento: (a : b) ∈ IR, b ≠ 0
Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR)
1. Dados os números 0; 0,7; ; 7,7; –7;
0,70007... quais são:
a) reais e racionais?
b) reais e irracionais?
2. Represente os seguintes números na forma
decimal:
a) 5/4 b) 5/3 c) 5/6 d)
3. Represente com uma fração irredutível.
a) 0,45 b) 0,454545... c) 2,16 d) 5,444...
4. Considere – 1,444... e B = 0,7 – 0,777...
Determine .
5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso:
a) –3 + 8 = 8 + 3
b) 5 . 8 = 8 . 5
c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4
d) (4 . 3) . 2 = 4 .(3 . 2)
6. Represente na reta numérica real os seguintes
números.
a) b) c) d)
7. Determine o único conjunto cujos elementos
são todos números racionais:
a) { 1/2; ; 3, 5, } c) {–3, –2, , 0}
b) {–1, 2/7, 0, , } d) { 0, , ; 5,7}
8. Com auxílio de um diagrama, represente a
seguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos.
9. Utilizando a propriedade distributiva da multi-
plicação, desenvolva os produtos:
a) 2 . (b + 3) c) – 4 . (x + 4)
b) 17 . (c – 2) d) – 2 . (a – b)
10. Qual a correspondência existente entre os
pontos de uma reta e os números reais?
Justifique sua resposta.
11. Dê um exemplo de dois números irracionais
cuja soma seja um número racional.
12. O produto ou quociente de dois números irra-
cionais pode ser um número racional?
13. Quando um número decimal não–exato é um
número irracional?
14

14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocu-
padas pela plantação de guaraná. Que fração das
terras dessa fazenda representa essa plantação?
15. Uma roda de bicicleta tem raio de 40cm. Cal-
cule o comprimento da circunferência dessa
roda, considerando π = 3,14.
16. Numa caixa, há bolas numeradas de 1 a 7. Ro-
drigo retirou três bolas consecutivas sem reco-
locá-las na caixa, para representar um número
x. O número retirado na primeira bola repre-
sentará as unidades de x, o número da segun-
da bola irá representar os décimos de x e o da
terceira bola, os centésimos.
a) Rodrigo retirou os números 6, 4, 2, nessa or-
dem. Qual o número x formado nesse caso?
Indique-o por uma fração irredutível.
b) Se, em seguida, Rodrigo retirar mais três bolas,
qual o maior número x possível que poderá ser
sorteado com a retirada dessas bolas? E o me-
nor?
TEMA 02
POLINÔMIOS
1. Introdução
A álgebra é a parte da matemática em que se
empregam letras para representar e genera-
lizar situações envolvendo números.
Pense e descubra.
No retângulo da figura, usamos letras para in-
dicar as medidas da base e da altura.
Pela figura:
• a representa a medida da base do retângulo.
• b representa a medida da altura do retângulo.
Daí:
O perímetro do retângulo é igual a duas vezes
a medida da base mais duas vezes a medida
da altura.
Perímetro do retângulo: 2 . a + 2 . b ou 2a + 2b.
A área do retângulo é igual ao produto da me-
dida da base pela medida da altura.
Área do retângulo = a . b ou ab.
Logo, toda expressão matemática composta
de números e letras, ou somente letras, é de-
nominada expressão algébrica ou literal.
2. Valor numérico de uma expressão algébrica
Considere a seguinte situação:
Em um estacionamento, encontram–se x mo-
tos e y carros. A expressão que representa o
número total de rodas é 2x + 4y.
Se forem 12 motos e 15 carros, o número total
de rodas será: 2.(12) + 4.(15) = 24 + 60 = 84.
Dizemos, então, que o valor numérico da ex-
pressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y = 15
é 84.
Exemplos:
a) Calcular o valor numérico da expressão
, para x = 4.
15

portanto, o valor numérico da expressão
algébrica para x = 4 é 4.
b) A expressão não possui valor numérico real
quando a = 0, pois esse valor anula o deno-
minador.
3. Monômio ou termo algébrico
• Determinação do perímetro de um quadrado
de lado a.
Expressão algébrica: 4.a = 4a
• Determinação do volume de um paralelepí-
pedo retângulo de arestas a, b e c.
Expressão algébrica: a .b .c = abc
Portanto as expressões algébricas racionais
inteiras representadas por um único produto
são chamadas de monômios (ou termos algé-
bricos).
Exemplo:
a) 5x³y² → coeficiente: 5; parte literal: x³y²
b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc
c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa se-
mana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a y
reais cada. Qual a expressão algébrica que repre-
senta o total arrecadado na venda desses veículos?
• Total arrecadado com a venda dos automóveis:
5x.
• Total arrecadado com a venda das motos: 6y.
• Total arrecadado com a venda desses veículos
pode ser representado pela soma: 5x + 6y.
Temos, aí, uma adição de monômios.
Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica de
monômios denomina-se polinômio.
Exemplo:
a) 5x + 8 → é um polinômio de dois termos, tam-
bém chamado binômio.
b) y² – 7y + 10 → é um polinômio de três termos,
também chamado de trinômio.
c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³ → é um polinômio de
quatro termos.
Cuidado!!!
O grau de um monômio, com coeficientes não-
nulos, é indicado pela soma dos expoentes da
sua parte literal.
Exemplos:
4. Monômios semelhantes
Verifique:
• Os monômios 5a³b² e a³b² apresentam a
mesma parte literal: a³b².
• Os monômios 3m²n e m²n apresentam a
mesma parte literal: m²n.
Portanto conclui-se que dois ou mais monô-
mios são semelhantes quando apresentam a
mesma parte literal ou não possuem parte liter-
al.
5. Operações com monômios
5.1 Adição algébrica de monômios.
Uma expressão algébrica em que todos os mo-
nômios são semelhantes pode ser simplificada
somando-se algebricamente os coeficientes nu-
méricos e conservando-se a parte literal.
Observe a figura:
• Área do retângulo ACDF é expressa pelo
monômio: 9xy.
• Área do retângulo ABEF é expressa pelo
monômio: 5xy.
• Área do retângulo BCDE é expressa pelo
monômio: 4xy.
16

Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy.
Exemplos:
a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y
b) 6xy – xy + xy = (6 – + )xy = ( ) xy
5.2 Multiplicação de Monômios
O produto de dois ou mais monômios pode ser
obtido multiplicando-se os coeficientes numéri-
cos e as partes literais entre si.
Na figura:
O volume do paralelepípedo (V) é:
V = (2ab).(3b).(c)
V = (2 . 3 . 1) . (a . b . b . c)
V= 6ab²c
Logo, o monômio 6ab²c representa o volume
desse paralelepípedo.
Exemplo:
a)
b)
=
5.3 Divisão de monômios
O quociente de dois monômios pode ser obti-
do dividindo-se os coeficientes numéricos e as
partes literais entre si.
Exemplo:
a)
b)
=
5.4 Potenciação de monômios
A potência de um monômio pode ser obtida
elevando-se o coeficiente numérico e a parte li-
teral à potência indicada.
Exemplos:
a)
b)
5.5 Raiz quadrada de um monômio
A raiz quadrada de um monômio pode ser obti-
da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente
numérico e dividindo-se por 2 o expoente de
cada variável da parte literal.
Exemplos:
a) = 6 a²b³
b)
6. Grau de um polinômio
O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo
seu termo de maior grau não-nulo.
Exemplos:
• O polinômio x4y – x5y3 + 3x2yz é do 8.º grau.
• O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau.
6.1 Polinômio com uma só variável
O grau do polinômio corresponde ao maior
expoente com que a variável figura num dos
termos não-nulos do polinômio.
Exemplos:
• O polinômio 6x3
+ 2x2
+ 4 é do 3.º grau.
• O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau.
7. Operações com Polinômios
7.1 Adição de Polinômios
Pense e responda:
Qual o polinômio reduzido que dá o perímetro
do triângulo ao lado?
17

Solução:
Para encontrar o perímetro, vamos adicionar
os polinômios que representam as medidas
dos lados.
(3x + 5) + (2x + 1) + (x + 1) =
3x + 5 + 2x + 1 + x + 1 → eliminamos os
parênteses.
3x + 2x + x + 5 + 1 + 1 =
= 6x + 7 → reduzimos os termos semelhantes.
Assim, o perímetro da figura é dado pelo
polinômio 6x + 7.
Exemplo:
Sendo A = 4x² + 3xy + y², B = −3x² + 4xy e C
= x² − y², encontrar A + B + C.
Solução:
A + B + C = (4x² + 3xy + y²) + (−3x² + 4xy) +
(x² − y²)
= 4x² + 3xy + y² − 3x² + 4xy + x² − y² → elimi-
namos os parênteses.
= 4x² − 3x² + x² + 3xy + 4xy + y² − y²
= 2x² + 7xy → reduzimos os termos seme-
lhantes.
7.2 Subtração de polinômios
Para subtrair dois polinômios, devemos adicio-
nar o primeiro ao oposto do segundo, seguin-
do a mesma seqüência do item anterior.
Exemplo:
Determine a diferença entre os polinômios
A = 5x³ − 4x + 8 e B = 2x³ + 6x² – 2.
Solução:
A − B = (5x³ − 4x + 8) − (2x³ + 6x² − 2)
A − B = 5x³ − 4x + 8 − 2x³ − 6x² + 2 → eli-
minamos os parênteses trocando o sinal dos
termos do segundo polinômio.
A − B = 5x³ − 2x³ − 6x² − 4x + 8 + 2 → agru-
pamos os termos semelhantes.
A − B = 3x³ − 6x² − 4x + 10 → reduzimos os
termos semelhantes.
7.3 Multiplicação de polinômios
Observe a figura e determine a expressão al-
gébrica que representa a área total desses dois
espaços.
Solução:
Área I:
3a.2a = 6a2
Área II:
3a.b = 3ab
Total:
Área I + II = 6a2
+ 3ab
Ou, pela propriedade distributiva:
Área total é igual a:
3a.(2a+ b) = 3a . 2a + 3a . b = 6a² + 3ab.
Exemplo:
Calcular o produto: (−2x + 5).(6x² + 4x + 3).
Solução:
(−2x + 5).(6x² + 4x + 3) =
= –2x . 6x² – 2x . 4x – 2x . 3 + 5 . 6x² + 5 . 4x + 5 . 3
= –12x³ – 8x² – 6x + 30x² + 20x + 15
= –12x³ – 8x² + 30x² – 6x + 20x + 15
= –12x³ + 22x² + 14x + 15.
Pelo dispositivo prático, temos:
7.4 Divisão de polinômios
• Divisão de polinômio por monômio
Considere o retângulo abaixo:
A área desse retângulo é representada pelo
polinômio 6x² + 9x, e a medida da altura pelo
monômio 3x.
Vamos determinar o polinômio que representa
a base do retângulo.
Para isso, devemos dividir o polinômio:
6x² + 9x pelo monômio 3x, ou seja, achar o
18

polinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x.
Esse polinômio é 2x + 3, pois:
3x . (2x + 3) = 6x² + 9x.
Observe que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido
dividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x.
Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3
Exemplos:
a) (18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –1
b) (7x³y² – 5x²y4) : (–3x²y) = xy + y³
• Divisão de polinômio por polinômio
A divisão de polinômio por outro polinômio
não-nulo será feita, considerando apenas os
polinômios com uma variável.
Para facilitar essas divisões, devemos escrever
os polinômios segundo as potências decres-
centes da variável, e o polinômio dividendo de-
ve ser escrito na forma geral.
Exemplo:
Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por
(2x + 1).
• Começamos dividindo o primeiro termo do
dividendo (8x²) pelo primeiro termo do
polinômio divisor (2x). Obtemos 4x.
8x² – 10x + 5 |2x + 1
4x
• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo
divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² +
4x); subtraímos esse produto do dividendo:
8x² – 10x + 5 |2x + 1
–8x² – 4x 4x
–14x + 5
Repetimos os passos anteriores para calcular
o quociente de –14x + 5 por 2x + 1.
Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundo
termo do quociente (–7).
Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7.
Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obte-
mos o resto (12).
8x² – 10x + 5 |2x + 1
–8x² – 4x 4x – 7
–14x + 5
14x + 7
+12
Como o resto (12) tem grau zero, que é menor
que o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, fica
encerrada a divisão. Logo:
Quociente: 4x + 7
Resto: 12
1. Determine uma expressão algébrica que repre-
senta a área total de um cubo planificado.
Solução:
Área total do cubo planificado: At
At = a . a + a . a + a . a + a . a + a . a + a . a
At = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²
2. Determine o polinômio que, dividindo por
2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5.
Solução:
P |2x³ + 5x
x + 5 x² – 1
P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5
P = x² . 2x³ + x² . 5x – 1 . 2x³ – 1 . 5x + x + 5
P = 2x5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5
P = 2x5 + 3x³ – 5x + 5
3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1.
Solução:
Como o polinômio dividendo é incompleto,
vamos ordenar o polinômio segundo a ordem
decrescente das potências da variável x.
8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1
–8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1
4x² + 0x –1
–4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1
2x – 1 Resto: 0
–2x + 1
0
Quando o resto é zero, dizemos que a
divisão é exata.
19

1. Efetue as seguintes expressões algébricas,
reduzindo os termos semelhantes :
a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a
b) x²y – xy + 2x²y + 2xy – xy
2. Efetue os seguintes produtos:
a) (7m²n).(mn²).(–2mn) b)
3. Efetue as seguintes divisões:
a) (–30a3b2c4) : (–6ab2c3)
b)
4. Calcule as seguintes potências:
a) (–5a²bc³)³ b) (–4a3b4)2
c)
5. Calcule a raiz quadrada:
a)
b)
c)
6. De acordo com Lorentz, existe uma relação
ideal entre a altura T (em cm) e a massa M (em
kg) de um indivíduo. Essa relação é dada pela
seguinte expressão algébrica:
M = T – 100 – (T – 150), para um homem.
M = T – 100 – (T – 150), para uma mulher.
Com base nisso, responda:
a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m
de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura?
b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é
70kg? E de uma mulher de massa 55kg?
7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques e
acertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deu
y saques e acertou 60% desses saques menos
2. Nessas condições, determine:
a) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que Paulo acertou.
b) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que Lúcio acertou.
c) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que os dois acertaram juntos.
8. Calcule o valor numérico das expressões algé-
bricas:
a) , para x = 2 e y = 3.
b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.
9. Determine os valores das variáveis, para os
quais as seguintes expressões não possuem
valor numérico real:
a) b)
10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veícu-
lo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40,00
por hora de uso. Qual o polinômio que repre-
senta o preço a ser pago por um locador que
utilizou o carro durante t horas?
11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra
um caderno por x reais e o revende por y reais.
a) Qual a expressão algébrica que representa o lu-
cro de Cláudia por caderno vendido?
b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24
cadernos que foram comprados por R$ 3,20 e
vendidos por R$ 8,70?
12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4,
determine:
a) A . B b) B . C c) A . C
13. Determine os quocientes:
a) (9x5
– 12x4
+ 18x³ – x²) : (3x²)
b) (20x¹³ – 16x10
+ 8x5
) : (4x3
)
14. Determine o quociente e o resto:
a) (8x² – 10x + 5) : (2x – 2)
b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1)
15. Determine o polinômio que, dividido por
(x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3.
16. A área do retângulo abaixo é expressa pelo
polinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio que
representa a medida da altura desse retângulo?
20

UNIDADE II
Produtos Notáveis e Fatoração

23
TEMA 03
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. Introdução
Por volta do ano 300 a.C, a idéia de variável
ainda não fazia parte do mundo da matemática.
Mesmo assim, a matemática desenvolvia-se bas-
tante, porque matemáticos como Euclides eram
capazes de trabalhar com expressões algébric-
as por meio de construções geométricas.
A álgebra geométrica grega foi-nos transmitida
principalmente por meio do livro II da obra
Elementos, de Euclides (325 – 265 a.C)
2. Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos a, e b, é
indicada por (a + b)². Desenvolvendo esse
produto, obtemos:
(a + b)² = ( a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Demonstração geométrica:
A = Área do quadrado de lado c = a + b:
A = c2
A = (a + b)2
= (a + b) . (a + b)
A = a2
+ ab + ab + b2
A = a2
+ 2ab + b2
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9
b)
3. Quadrado da diferença de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos a, e b,
é indicado por (a – b)². Desenvolvendo esse
produto, obtemos:
(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Demonstração Gráfica
Considere a figura abaixo:
Qual o polinômio que representa a área do
quadrado cujo lado mede (a – b)?
Área do quadrado cujo lado mede (a – b) é
igual a (a – b)² = a² – 2ab + b².
Conclusão:
Exemplo:
a) (x – y)² = x² – 2xy + y²
b)
4. Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença de dois ter-
mos a, e b, é indicado por (a + b).(a – b).
Desenvolvendo esse produto, obtemos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo, menos duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo
O quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo mais o
quadrado do segundo termo.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

(a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
Demonstração Geométrica
Na figura abaixo, queremos conhecer o poli-
nômio que representa a área do retângulo em
negrito. A base desse retângulo mede (a + b),
e a altura (a – b).
Portanto a área é (a + b)(a – b).
Área do retângulo maior: a . (a + b)
a.(a + b) = b2
+ ab + b.(a – b) + a.(a – b)
a2
+ ab = b2
+ ab + b.(a – b) + a.(a – b)
a2
– b2
= b.(a – b) + a.(a – b)
a2
– b2
= (a + b).(a – b)
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + y)(x – y) = x² – y²
b)
TEMA 04
5. Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos a, e b, é indi-
cado por (a + b)³. Desenvolvendo esse produ-
to, obtemos:
(a + b)³ = (a + b)².(a + b)
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²).(a + b)
(a + b)³ = a² . a + a² . b + 2ab . a + 2ab . b +
b² . a + b² . b
(a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
b) (a² + 2b)³
= (a²)³ + 3(a²)².(2b) + 3.a².(2b)² +(2b)³ =
a6 + 6a4b + 12a²b² + 8b³
6. Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos a e b é
indicado por (a – b)³. Desenvolvendo esse pro-
duto, obtemos:
(a – b)³ = (a – b)².(a – b)
(a – b)³ = (a² – 2ab + b²).(a – b)
(a – b)³ = a² . a – a².b – 2ab . a + 2ab . b + b².
a – b² . b
(a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Conclusão:
Exemplos:
a) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
O cubo da diferença de dois termos é igual ao
cubo do primeiro termo, menos três vezes o
quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais
três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo
termo, menos o cubo do segundo termo.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo
do primeiro termo, mais três vezes o quadrado
do primeiro pelo segundo termo, mais três
vezes o primeiro pelo quadrado do segundo
termo, mais o cubo do segundo termo.
O produto da soma pela diferença de dois ter-
mos é igual ao quadrado do primeiro termo
menos o quadrado do segundo termo.
24

25
b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³
= a6
– 9a
4
b + 27a²b² – 27b³
7. O quadrado da soma de três termos
(a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c)
(a + b + c)² = a . a + a . b + a . c + b . a +
b . b + b . c + c . a + c . b + c . c
(a + b + c)² = a² + ab + ac + ab + b² + bc
+ ac + bc + c²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Conclusão:
Demonstração gráfica:
Calcular a área do quadrado, cuja medida do
lado mede: = a + b + c
A = ² = (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)
A = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
A = ( a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
Exemplos:
a) ( x + 2y + z)² = x² + (2y)² + z² + 2x . 2y + 2 . x
. z + 2 . 2y . z = x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz
b) (x + 3y + 5)² = x² + (3y)² + 5² + 2x . 3y + 2x .
5 + 2 . 3y . 5 = x² + 9y² + 25 + 6xy + 10x + 30y
8. Produto de Stevin
O produto de Stevin é indicado por (x +a)(x + b).
Desenvolvendo esse produto, obtemos:
(x + a)(x + b) = x . x + x . b + a . x + a . b
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
(x + a)(x + b) = x² + (a + b) . x + ab
Exemplos:
a) (x + 4)(x + 3) = x² + (4 + 3) . x + 4 . 3
= x² + 7x + 12
b) (x –1)(x + 5) = x² + (–1 + 5) x + (–1) . 5
= x² + 4x – 5
a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + ab²
+ ba² – b . ab + b . b²
(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² +
a²b – ab² + b³
Logo: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a
. b² – ba² – b . ab – b . b²
(a – b)(a² + ab + b² = a³ + a²b + ab² – a²b
– ab² – b³
logo: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³
c) a² + b² = (a + b) ² – 2ab
d) (a–b)par = (b–a)par
e) (a–b)ímpar
= – (b–a)ímpar
Exemplos:
a) (x + 5)(x² – 5x + 25) = x³ + 5³ = x³ + 125
b) (x – 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 3³ = x³ – 27
c) 52
+ 3² = (5 + 3)² – 2 . 5 . 3 ∴ 34 = 64 – 30 = 34
d) (5 – 3)² = (3 – 5)² ∴ 4 = 4
e) (5 – 3)³ = – (3 – 5)³ ∴ 8 = 8
1. Se a² + b² = 34 e (a + b)² = 64, calcule o valor
de 6ab.
Solução:
Sabemos que: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2ab = (a + b)² – (a² + b²)
2ab = 64 – 34
2ab = 30 ∴ ab = 30/2 ∴ ab = 15
logo 6ab = 6 . 15 = 90
2. Simplifique a expressão (2 a + b)² – (a – b)².
Solução:
(2a + b)² – (a – b)² =
O quadrado da soma de três termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais o quadrado
do segundo termo, mais o quadrado do terceiro
termo, mais duas vezes o primeiro pelo segun-
do termo, mais duas vezes o primeiro pelo ter-
ceiro termo, mais duas vezes o segundo pelo
terceiro termo.

26
= (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²]
= 4a² + 4ab + b² – a² + 2ab – b²
= 3a² + 6ab
3. Calcule o valor da expressão:
(5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4).
Solução:
(5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4) =
= (5x)² – 2 . 5x . 6 + 6² – [(5x)² – 4²]
= 25x² – 60x + 36 – [25x² – 16]
= 25x² – 60x + 36 – 25x² + 16
= – 60x + 52
1. Aplicando as regras dos produtos notáveis,
calcule:
a) (2x + 10)²
b)
c) (5x – 1)²
d) (x³ – 1/2)²
e) (x² + 1).(x² – 1)
f) (ab +
)
.(ab – )
2. Calcule os cubos:
a) (3x + 2)³ b) (x – 2)³
c) d) (1 – 2x)³
3. Desenvolva:
a) (x² + y + 1)² b) (2x – y – 1)²
4. Desenvolva:
a) (x – 3).(x² + 3x + 9)
b) (2a + b).(4a² – 2ab + b²)
5. Calcule:
a) (x + 5)( x – 3) b) (x + a).(x – 2b)
6. Se (a – b)² = 16 e a² + b² = 106, calcule o valor
de .
7. Sabe-se que a + b = 13 e a² – b² = 39, então
calcule o valor de a.
8. Qual a expressão que devemos subtrair de
a² + b² para obtermos o quadrado de (a – b)?
9. Sendo A = (x + 2)², B = (x + 3).(x – 3) e
C = (x – 1)², determine o valor de A + B + C.
10. Qual a expressão que deve ser somada a
a² + 6a²b² – 12 a²b para que resulte o quadra-
do de 2a – 3b?
11. Se a² + b² = 34 e ab = 15, calcule o valor de
.
12. Simplifique a expressão: (y + 5)² – y(y + 10).
13. Usando as regras dos produtos notáveis, de-
termine o polinômio que representa:
a) A área de um quadrado cujo lado mede (2x + y)
unidades.
b) O volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y)
unidades.
14. O professor de matemática pediu à classe para
desenvolver a expressão (4x – y³)². Um dos
alunos deu como resposta o polinômio
4x² – 8xy³ + y6
. A resposta desse aluno está cor-
reta? Se não estiver, escreva a resposta correta.
15. A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a:
a) (x – 1)5
b) x³ – 2x² + x
c) x³ + x² – 2 d) x³ + x² – 2x
e) x³ + 2x² + 1
16. Na figura, ABCD e EBFG são quadrados. A
área do quadrado menor é 9. Qual o trinômio
que representa a área do quadrado ABCD?

27
TEMA 05
FATORAÇÃO
1. Introdução
Fatorar um número significa escrevê-lo como
um produto de dois ou mais fatores.
Vejamos a forma fatorada completa do número
150 = 2 . 3 . 5².
Fatorar um polinômio, quando possível, signifi-
ca escrevê-lo na forma de um produto de poli-
nômios mais simples.
Vejamos:
A figura representa um retângulo de base b e
altura h.
O perímetro desse retângulo pode ser indicado
de duas maneiras:
2b + 2h (polinômio) ou 2(b + h), forma fatorada.
a) Qual o fator comum aos dois termos do po-
linômio?
b) Que posição ele ocupa na forma fatorada?
Na forma fatorada, notamos que 2, é um fator
comum a todos os termos do polinômio, que
foi colocado em evidência.
O outro fator (b + h) é o mesmo que:
(2b : 2) + (2h : 2) ou
2. Fatoração pela colocação de um fator em
evidência
Exemplos:
a) A área da figura pode ser indicada por: ax + bx
ou x.(a + b); fator comum (x).
b) a3 + 2a = a.(a2 + 2)
c) 12a4b6 − 20a5b8 + 8a³b² =
= 4a³b².(3ab4 − 5a²b6 + 2)
Na forma fatorada, os fatores são:
• Fator comum.
• O quociente da divisão da expressão pelo
fator comum.
3. Fatoração por agrupamento.
Calcular as áreas(A) das figuras que represen-
tam retângulos de base x + y e altura a + b:
A = A1 + A2 + A3 + A4 = ax + ay + bx + by
A = (A1 + A2)+ (A3 + A4)= a(x + y) + b(x + y)
A = base × altura = (x + y) . (a + b)
Como as três figuras têm a mesma área, pode-
mos escrever:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
= (x + y)(a + b)
Escrevendo o polinômio ax + ay + bx + by na
forma fatorada:
ax + ay + bx + by → agrupamos os termos
que possuem fator comum.
a(x + y) + b(x + y) → em cada grupo, colo-
camos o fator comum em evidência.
(x + y)(a + b) → colocamos, novamente, o
fator comum em evidência.
O polinômio ax + ay + bx + by foi fatorado por
agrupamento.

Exemplos:
Fatorar os polinômios:
a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2)
= (h – 2).(x + 5)
b) 2bc + 5c² – 10b – 25c
= c.(2b + 5c) – 5.(2b +5c) = (2b + 5c)(c – 5)
4. Fatoração da diferença de dois quadrados
Consideremos o quadro-de-giz de nossa sala
de aula de forma quadrada, de lado a, sobre o
qual colocamos um outro quadrado de lado b,
conforme figura abaixo.
A área maior da figura é (a² − b²), excluindo o
quadrado menor, que corresponde a uma dife-
rença de dois quadrados.
Recortando a figura e juntando as duas partes,
conforme o desenho, obtemos:
FIGURA 1 FIGURA 2
Observe que a área da figura 1, expressa por
a² – b², é igual a área da figura 2, que pode ser
expressa por (a – b)(a + b).
Logo a² – b² = (a – b)(a + b)
Exemplos:
a) a² – 25 = (a + 5).(a – 5)
b)
1. Sabendo que os números m e n representam
as medidas do comprimento e da largura de
um terreno de forma retangular, e que tem 32
unidades de área e 24 unidades de perímetro;
nessas condições, dado o polinômio
3m²n + 3mn², qual é o seu valor numérico?
Solução:
3m²n + 3mn² = 3.m.n(m + n)
Área = m.n = 32
Perímetro = 2m + 2n = 24; m + n = 12
Logo, o valor numérico é:
3 m²n + 3mn² = 3mn (m + n)
= 3.32.12 = 1152
2. A área de um sítio de forma retangular é dada
pelo polinômio 4x² − 1. Nessas condições,
pede–se:
a) As medidas do comprimento e da largura desse
sítio.
b) Qual o polinômio que expressa o perímetro des-
se sítio?
Solução:
A = 4x² − 1
A = 4x² − 1 = (2x + 1)(2x – 1)
a) 2x + 1 e 2x – 1
b) Perímetro: 2x + 1 + 2x + 1 + 2x – 1 + 2x – 1 = 8x
28

29
TEMA 06
5. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO
PERFEITO
Considere os quadrados nas figuras abaixo:
FIGURA 1 FIGURA 2
A área do quadrado da figura 1 pode ser indi-
cada de duas maneiras:
a² + 2ab + b² ou (a + b).(a + b)
Então, podemos escrever as igualdades:
a² + 2ab + b² = (a + b).(a + b) = (a + b)²
A área da parte sombreada na figura 2 pode
ser indicada por (a – b)².
Temos que:
a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b²
a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b²
Daí: a² – 2ab + b² = (a – b)²
Então, podemos escrever a igualdade:
a² – 2ab + b² = (a – b).(a – b) = (a – b)²
Identificando um trinômio quadrado perfeito:
a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 ∴ 6x = 2 . x . 3 = 6x (sim)
b) (x – 5)² = x² – 10x + 25 ∴ 10x = 2 . x . 5 (sim)
c) x² + 4x + 25 ∴ 4x ≠ 2 . x . 5 (não)
Na verificação, multiplicamos por 2 o produto
das duas raízes. Se o resultado for igual ao
termo restante do trinômio dado, dizemos que
o trinômio é quadrado perfeito.
Exemplos:
Fatorar os trinômios, quando possível:
a) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²
↓ ↓ Verificação
2x 3 2 . 2x . 3 = 6x
b) 4m²n² – 4mcn + c² = (2mn – c)²
2mn c 2 . 2m . n . c = 4mnc
c) a6 – 10a³b² + 25b² é diferente de (a³ – 5b)²
a³ 5b 2 . a³ . 5b ≠ 10a³b²
6. Fatoração da soma ou da diferença de dois
cubos
Observe as seguintes multiplicações:
a) (a + b).(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² +
a²b – ab² + b³ = a³ + b³
Logo, podemos escrever:
a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)
b) (a – b).(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² –
a²b – ab² – b³ = a³ – b³
Temos, então:
a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²)
Exemplos:
1) Fatorar os polinômios:
a) x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 3²)
= (x + 3).(x² – 3x + 9)
b)
7. Trinômio do 2.° grau
Sabemos, pelo produto de Stevin, que:
x² + (a + b).x + ab = (x + a).(x + b) ou
x² + Sx + P = (x + a).(x + b);
a + b = S e a . b = P
Exemplos:
a) x² + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4)
b) x² – 6x – 40 = (x – 10).(x + 4)
8. Fatorando mais de uma vez
Fatorar o polinômio a³ – ax².
Colocamos o fator comum em evidência:
a³ – ax² =a.(a² – x²)
Fatorando novamente o fator (a² – x²) que repre-
senta uma diferença de dois quadrados temos:
a³ – ax² = a.(a² – x²) = a.(a + x).(a – x)

30
Exemplo:
Fatorar a expressão: x³ – 4x² + 4x.
x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4)
Logo, podemos fatorar novamente o fator
(x² – 4x + 4).
Daí: x² – 4x + 4 = (x – 2)², pois 4x = 2. x. 2.
x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) = x.(x – 2)²
Observe a figura abaixo e:
a) Exprima a área da parte hachurada em
função de x.
b) Sendo a área da parte hachurada igual a
133, determine:
• a área do quadrado PQRS;
• o comprimento x do quadrado ABCD;
• o perímetro do quadrado PQRS.
c) Verifique que: x² + 12x = 133.
d) Desenvolva o produto (x – 7)(x + 19).
Solução:
a) Área do quadrado ABCD: x . x = x²
Área dos 4 retângulos: 4.(3.x) = 12x
Área da figura sombreada: x² + 12x
b) Área da figura sombreada = 133
Área do quadrado PQRS = Área da figura
sombreada + 4 x área do quadrado de lado 3
Área do quadrado PQRS = 133 + 4.9 = 169
Área do PQRS = 169 ∴ L² = = 13
Perímetro do quadrado PQRS = 4.13 = 52
O comprimento x do quadrado ABCD:
c) Verificação:
x2 + 12x = 133 ∴ 72 +12 . 7 = 49 + 84 = 133
d) (x − 7) .(x + 19) = x2 + Sx + P = x2 + 12x − 133
S = −7 + 19 = 12
P = (− 7) . 19 = − 133
1. Fatore os polinômios:
a) x³ – x² – xy
b) 6x²y + 8x
c) 2x + ax + 2y + ay
d) ax – y – x + ay
e) 4x² – 12x + 9
f) 36a² + 60ab + 25b²
g) m² – 100
h) x² – 6x – 16
i) x² + 7x + 10
j) 8a³ – 125b³
2. Fatore completamente as expressões:
a) 3x² – 75
b) x4 – 16
c) a² – x² + a + x
d) 2x² – 12x + 18
e) x³ + 14x² + 49x
3. X e Y são as medidas dos lados de um retân-
gulo de área 20 e perímetro 18. Qual o valor
numérico da expressão 5x²y + 5xy²?
4. Para que 9x² – 24x + n seja um trinômio
quadrado perfeito, devemos ter:
a) n = 4
b) n = 16
c) n = 36
d) n = 64
5. Sabendo que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45, cal-
cule o valor numérico da expressão a² – b².
6. Qual é a forma fatorada do trinômio
?
7. Se x + y = 13 e x – y = 10, calcule o valor
numérico da expressão
(x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²).

8. A área de um quadrado é representada pelo
trinômio y² + 14ya + 49a². Determine a medi-
da do lado.
9. Seja N o resultado da operação 375² – 374². A
soma dos algarismos de N é:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
10. A expressão (a + b)² – 2ab é igual a:
a) a² – b²
b) a² – 4ab + b²
c) a² + 4ab + b²
d) a² + b²
11. Fatorando a expressão ab + 2b – 3a – 6, obte-
mos:
a) (a – 2).(b + 3)
b) (a + 2).(b – 3)
c) (a – 2).(b – 3)
d) (a + 2).(b + 3)
12. Fatore:
a) x² – 5x + 6
b) x² + 2y² + 3xy + x + y
c) 4x² – 9y²
13. Calcule o valor de 54.321² – 54.320², sem efe-
tuar as potências.
14. Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, deter-
mine xy.
15. Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em
uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos
que descobrissem o valor da expressão
ac + ad + bc + bd; sendo que a, b, c e d são
as idades de seus filhos na ordem crescente,
levando em conta que a soma das idades dos
dois mais velhos é 59 anos e a soma das
idades dos dois mais novos é 34 anos. Qual o
valor numérico da expressão proposta pelo
professor?
TEMA 07
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1. Introdução
A história conta que as frações surgiram quan-
do o homem sentiu a necessidade de medir.
Tábua suméria de argila
Os babilônios usavam as frações para registrar
as transações comerciais, representando com
frações valores monetários próprios. Os hin-
dus, em meados do segundo milênio antes de
Cristo, usavam frações de numerador 1, como,
por exemplo, metade ou meio ( ), que
chamavam ardlha, e a quarta parte ou um
quarto ( ), que chamavam pada.
Os egípcios usavam frações da unidade para
representar outras frações, usadas em proble-
mas que envolviam colheitas.
Consideremos as seguintes situações:
1. A velocidade média de um veículo é obtida
dividindo-se a distância percorrida pelo
tempo gasto. Portanto, se um veículo per-
correu 400km em t horas, qual a expressão
algébrica que representa a velocidade
média, em quilômetros por hora, desse veí-
culo?
2. Qual a expressão que representa o quo-
ciente (20a²b) : (5ax)?
Conclusão: as expressões e
apresentam variáveis no denominador e, por
isso, são chamadas de frações algébricas.
31

32
O denominador de uma fração algébrica deve
representar sempre um número real diferente
de zero, pois não faz sentido dividir por zero.
2. Simplificação de uma fração algébrica
Para simplificar uma fração algébrica, devemos
dividir os seus termos por um divisor comum,
diferente de zero, de modo a obter uma fração
equivalente mais simples.
Exemplos:
Simplificar as frações algébricas.
a)
Só podemos simplificar os termos de uma
fração após transformá-las em produtos.
b)
c)
TEMA 08
3. CÁLCULO DO MMC E DO MDC DE
POLINÔMIOS.
• Máximo Divisor Comum (MDC)
Fatoramos as expressões algébricas conside-
radas e calculamos o m.d.c entre elas, que
será obtido pelo produto dos fatores primos
comuns tomados aos menores expoentes.
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Fatoramos as expressões consideradas e cal-
culamos o mmc entre elas, que será obtido
pelo produto dos fatores primos comuns e não
comuns, tomados aos seus maiores expoen-
tes.
Exemplos:
a) Achar o mdc e o mmc das expressões
abaixo:
8x4y²; 16x5yz³; 2x6y4z
Solução:
Fatorando cada termo, temos:
8x4y² = 23 x4y², 16x5yz³ = 24x5yz³ e 2x6y4z
mdc = 2. x4y
mmc = 24.x6y4z = 16 x6y4z
b) Calcule o m.d.c e o m.m.c dos polinômios:
2x + 10; x² –10x + 25; x² – 25
Solução:
Fatorando cada expressão
Observe que na forma fatorada não há fator
comum entre eles, exceto o valor 1, portanto, o
mdc é 1.
mdc = 1
mmc = 2(x + 5)(x – 5)²
4. Operações com frações algébricas
Efetuamos as operações com frações algébri-
cas da mesma maneira que operamos com
números fracionários.
Fatorando o numerador e
o denominador, temos:
Fatorando o numerador e
o denominador, temos:
Dividindo o numerador e
o denominador por
2.3.ab2

33
4.1 Adição e Subtração
As operações com frações algébricas são efe-
tuadas de modo semelhante ao das frações
numéricas.
Seqüencia Prática:
• Reduza as frações algébricas ao mesmo
denominador.
• Efetue as adições ou subtrações dos nume-
radores, mantendo o mesmo denominador.
• Simplifique, se possível, o resultado.
Exemplos:
Calcular:
a)
Solução:
mmc (2,x,4x²) = 4x²
b)
Solução:
mmc (4a,6b) = 12ab
4.2 Multiplicação e divisão de frações algébricas
Para multiplicar frações algébricas, efetue os
seguintes procedimentos:
• Indique o produto dos numeradores e de-
nominadores.
• Faça os cancelamentos possíveis.
• Faça as multiplicações restantes, obtendo o
resultado.
Exemplos:
1. Determine os seguintes produtos:
a)
Solução:
b)
Solução:
Para dividir frações algébricas, devemos
multiplicar a primeira fração pelo inverso da se-
gunda, simplificando o resultado, quando pos-
sível.
Exemplos:
2. Efetue as divisões:
a)
Solução:
b)
Solução:
4.3 Potenciação de frações algébricas
Para elevar uma fração algébrica a uma potên-
cia, elevamos o numerador e o denominador à
potência indicada.
Exemplos:
a)
Solução:
b)
Solução
c)
Solução:

34
1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$
100,00, perguntas-se:
a) Que fração algébrica representa o preço de uma
delas?
b) Alessandra deu y reais na compra de uma pizza.
Que fração algébrica representa o troco dessa
compra?
Solução:
a) Divide–se o valor total pela quantidade x de
pizza:
b) Valor de (y) pago por Alessandra, menos o
valor de uma pizza:
2. Laura, Lenara e Rodrigo reuniram-se para re-
solver a seguinte expressão:
Laura resolveu a expressão do primeiro parên-
tese, Lenara resolveu a expressão do colchete
e Rodrigo ficou encarregado de efetuar a mul-
tiplicação.
Determine a resposta encontrada por:
a) Laura b) Lenara c) Rodrigo
Solução:
a)
b)
c)
1. Um carro percorreu x quilômetros com y litros
de gasolina. Um segundo carro percorreu o
dobro dessa distância com y + 5 litros de ga-
solina. Registre, no caderno, a fração algébrica
que representa o consumo médio de gasolina:
a) do primeiro carro; b) do segundo carro.
2. Para que valores de a a expressão não
representa uma fração algébrica?
3. A fração algébrica pode ser reduzida
a um número inteiro. Que número é esse?
4. A fração algébrica pode ser
reduzida a um binômio.
a) Determine esse binômio.
b) Determine o valor numérico desse binômio para
x = .
5. Participando de uma gincana escolar, a equipe
de Ana recebeu a tarefa de resolver a seguinte
expressão: .
O resultado dessa expressão reverterá em
igual número de pontos para essa equipe. Se
alguém da equipe de Ana responder correta-
mente, quantos pontos a equipe dela ganhará?
6. Simplifique as seguintes expressões algébricas:
a) b) c)
7. Efetue as seguintes adições algébricas:
a) b)
8. Calcule os seguintes produtos:
a) b)
9. Calcule os seguintes quocientes:
a) b)

a) b) c)
11. Marcela nasceu no ano x, e Rodrigo no ano
, ambos no dia 9 de Janeiro.
a) Qual é a diferença de idades entre eles?
b) Quem é o mais velho?
12. Numa gincana de matemática, foram sortea-
das as seguintes questões para duas equipes
participantes:
EQUIPE AZUL EQUIPE VERMELHA
Que resposta devia dar cada equipe?
13. Simplificando a expressão
e calculando, a seguir, seu valor numérico para
x = 99, vamos obter:
a) 100 b) 99 c) 98 d) 97 e) 96
14. Dados os polinômios x² – 6x + 9 e x – 3, o mmc
entre eles é:
a) (x + 3)² b) (x – 3)²
c) (x – 3)³ d) (x+3).(x–3)
15. Se xy + x = 5 e y² + y = 20, qual é o valor da
fração ?
35

UNIDADE III
Potências e radicais

39
TEMA 09
POTENCIAÇÃO
1. Introdução
A história conta que os babilônios usavam as
potências como auxiliares da multiplicação; já
os gregos usavam os quadrados e os cubos.
No século III da nossa era, o matemático grego
Diofante usou notações de potências:
x para indicar a primeira potência;
xx para indicar a segunda potência;
xxx para indicar a terceira potência.
No século XVII, o matemático francês René
Descartes (1596 – 1650) utilizou as notações x,
x², x³, x4, ... para potências.
Vamos considerar o seguinte fato:
Elba fez a seguinte experiência:
a) Lançou ao ar uma moeda e obteve dois
resultados possíveis: cara (C), (K) coroa;
b) Em seguida, lançou ao ar, simultaneamen-
te, duas moedas e obteve quatro possibili-
dades: CC, CK, KC, KK;
c) E, finalmente, lançou ao ar, ao mesmo tem-
po, três moedas e verificou oito alternativas:
CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC;
Então, podemos estabelecer uma relação en-
tre o número de moedas lançadas ao ar e o
número de resultados possíveis.
Veja tabela:
Logo, no lançamento simultâneo de n moedas,
o número de resultados possíveis é dado por 2n
.
Agora podemos dizer que:
an = a . a . a . ... . a a : número real
n fatores n: número natural (n > 1)
Exemplos:
a) 5² = 5 . 5 = 25
b) (−1)³ = (−1).(−1).(−1) = −1
c) (−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16
Temos ainda que:
a) a1 = a para todo número real;
b) a0 = 1 para todo a ≠ 0;
c) a−n = para todo a ≠ 0 e todo n inteiro
positivo.
Exemplos:
a) (−8)¹ = −8
b) 50 = 1
c)
2. Propriedades
As propriedades estudadas no módulo anterior
são válidas também para potências de base
real e expoente inteiro.
• Produto de potências de mesma base:
am . an = am+n, com a ≠ 0.
Exemplos:
a) 74 . 73 = 74+3 = 77
b) 54 × 5−3 = 54+(−3) = 5
• Divisão de potências de mesma base:
am : an = am−n (a ≠ 0)
Exemplos:
a)
b)
• Potência de potência:
(am)n = am.n, com a ≠ 0.
N.º de moedas N.º de Resultados Possíveis
1 2 = 2¹
2 4 = 2 x 2 = 2²
3 8 = 2 x 2 x 2 = 2³
4 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
... ...
n 2 x 2 x 2 x ... X 2 = 2n
Matemática Elementar II – Potências e radicais

Exemplos:
a) (23)4 = 212
b) (3−1)−3 = 3(−1).(−3) = 33 = 27
Atenção!!!
Exemplos:
(23)2 = 26 e 232
= 29
• Potência do produto: an . bn = (a.b)n, com a,
b ≠ 0.
Exemplos:
a) 24.54 = (2.5)4 = 104
b)
• Potência do quociente: , (a, b ≠ 0).
Exemplos:
a)
b)
• Expoente negativo:
, com a, b ≠ 0.
Exemplos:
a)
TEMA 10
3. Usando potências de 10
Considere o seguinte fato:
Marcela pesquisou na Internet que o Sol é for-
mado por massas de gases quentes, sendo
1.000.000 de vezes maior do que a Terra e
300.000 vezes mais pesado que ela, e que a
distância média entre o Sol e a Terra é de
149.600.000km.
Para facilitar a escrita de números que contêm
muitos algarismos, dos quais grande parte de-
les é de zeros, Marcela usou as potências de
10, veja:
Exemplos:
a) 1 000 000 = 1 x 106
b) 300 000 = 3 x 105
c) 149 600 000 = 1496 x 105
4. A notação científica usada por cientistas (nú-
meros muito “grandes” ou “muito pequenos”).
Exemplos:
• O diâmetro do Sol é 1 390 000km.
• 1 390 000 Km = 1,39 . 106
km
• O comprimento de uma célula do olho é de
0,0045 cm = 4,5 . 10−³cm
• O número escrito em notação científica deve
ser escrito na seguinte forma:
• Deve ser escrito como um produto de dois
fatores.
• Um dos fatores deve ser um número de 1 a
10, excluído o 10.
• O outro fator deve ser uma potência de base
10.
1. Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz
dividindo−se em quatro bactérias a cada minuto.
Partindo de uma só bactéria, quantas serão pro-
duzidas em 6 minutos de divisão?
Solução:
1 bactéria dá origem a 4 novas bactérias em
um minuto.
(am)n ≠ amn
40

41
Em 6 minutos teremos:
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 46 = 4096 bactérias
2. Resolva as expressões, apresentando os resul-
tados em notação científica.
a) b)
Solução:
a)
b)
1. Usando as propriedades das potências, cal-
cule o valor de:
a)
b) (75 : 73) × 72
c)
d) (7 × 4)2
e)
2. Encontre o valor de .
3. Verifique se as sentenças são verdadeiras ou
falsas:
a) (2 × 5)3 = 23 × 53
b) (2 + 5)3 = 23 + 53
c) (17 − 1)2 = 172 − 12
d)
4. Calcule:
a) 11973 − 11888 +( −1)1789
b) [(−a4)]3
c)
5. A potência é igual a:
a) b) c) d)
6. Assinalar a alternativa correta:
a) 22
3
= 256 b) 232
= (23
)2
c) 325
= 325
d) 1201
= 1120
7. A massa do Sol é de aproximadamente
2 × 1030
kg. Expresse, em notação científica, es-
sa massa em toneladas.
8. A massa de um átomo de carbono é de aproxi-
madamente 1,99x10−26Kg. Expresse em nota-
ção científica essa massa em gramas.
9. Calculando , obtém−se:
a) b) c) d)
10. O quociente (0,016) : pode ser escrito na
forma:
a) 8² b) 2 c) 2² d) 4−² e) 0
11. Se x = −100 + 70 − (−6)0, qual é o valor do
número real x?
12. Qual é a potência que representa a metade de 2²²?
13. Sendo x = 24
, y = 8 e z = 232
, qual é a potên-
cia que representa a expressão x . y . z?
14. Devido ao desgaste, o valor de um carro vai
diminuindo com o tempo. A cada ano que
passa, o valor fica multiplicando por 0,8. Se
hoje o carro vale R$ 10.000,00, quanto valerá
daqui a 3 anos?
15. Uma turma organizou uma festa à qual com-
pareceram 15 alunos. Se cada um der um
abraço em todos os outros, quantos abraços
serão dados ao todo?

42
TEMA 11
RADICAIS
1. Introdução
A história conta que, no século XVI, o sinal de
raiz quadrada era o R (maiúsculo) seguido da
primeira letra da palavra latina quadratus, o q.
Na Europa, matemáticos dessa época escrevi-
am, por exemplo, R . q . 30 em vez da moder-
na expressão .
• (raiz quarta de 52)
• (raiz quinta de 1/4)
Veja as seguintes situações:
• Qual a área do quadrado de lado 3cm?
Área = L²
3² = 9 ⇒ Área = 9cm²
• Qual a medida do lado do quadrado de área
49 m²?
Situação inversa
Área = L²
49 = 7² ⇒ L = 7m
Então, podemos escrever que = 7, pois 7
é o número não-negativo cujo quadrado é 49.
• Qual a medida do lado do cubo de volume
125cm³?
Volume = L³
125 = L³ ⇒ L = 5 cm
Logo, pois 5³ = 125
De modo geral, uma expressão do tipo ,
sendo n um número natural diferente de zero e
a um real, dizemos que , se, e somente
se, bn = a.
raiz (lê−se: “raiz enésima de a é
igual a b”)
→ radical
a: radicando
n: índice
Exemplos:
a) → (raiz quarta de 1/81)
, pois
b) → ( raiz quinta de −32)
, pois (−2)5 = −32
Importante:
• Se n é par e a é negativo (a < 0), então .
Exemplos:
a) , pois não existe nenhum número
real elevado à quarta potência que resulte –1.
b)
c)
• Se n é ímpar e a negativo (a < 0), então
.
Exemplos:
a)
b)
7.2 Propriedades dos radicais
a)
Exemplo:
b)
Exemplo:
c)
Exemplo:

43
d)
Exemplo:
e)
Exemplo:
f)
Exemplo:
3. Expoente fracionário
Todo número real a elevado a um expoente fra-
−
cionário de forma (n ≠ 0) é igual à raiz ené-
sima do número real a elevado ao expoente m,
ou seja,
Exemplos:
a)
b)
4. Extração de fatores do radical
Exemplos:
a)
b)
4. Introdução de fatores no radical
Se .
.
Exemplos:
a)
b)
5. Redução de radicais ao mesmo índice
• Calcular a área do retângulo
Área = = ?
Precisamos de índices iguais:
mmc (2,3) = 6 → novo índice.
Assim, temos:
Agora, podemos calcular a área do retângulo:
Área =
• Comparando radicais:
Já vimos que e ; então,
podemos escrever:
Se 53 > 22, logo >
Exemplo:
Usando o sinal <, compare os radicais:
Solução:
mmc (3, 4, 6) = 12 → novo índice.
6. Operações com radicais
7.1 Adição e subtração de radicais.
Vamos calcular o perímetro do triângulo da fi-
gura ao lado:
Solução:
Perímetro =
Observe que os radicais têm o mesmo

44
índice e o mesmo radicando, por isso, são
denominados de radicais semelhantes, e só
podemos adicionar ou subtrair radicais
semelhantes.
Perímetro
Exemplos:
a)
b)
7.2 Multiplicação e divisão de radicais.
Considere as seguintes questões:
a) Determine a área do retângulo abaixo.
Solução:
Área =
b) A área do retângulo é . Qual é a
medida da altura desse retângulo?
Solução:
Área =
Exemplos:
Calcular:
a)
b)
c)
d)
mmc (3, 4) = 12
7.3 Potenciação com radicais
Observe que:
Então:
Exemplos:
a)
b)
c)
Usando as regras dos produtos notáveis, cal-
cule:
a)
b)
c)
Solução:
a)
b)
c)
8. Racionalização de denominadores
Sabendo que vale aproximadamente 1,414,
responda qual das duas divisões você acha
que é mais fácil fazer?
Solução:
Como você observou, as expressões e
são equivalentes, pois obtivemos o mesmo
resultado na forma decimal: 0,707. Logo, cos-

45
tuma−se transformar a expressão em ,
no qual o denominador é um número racional,
portanto, é mais fácil efetuar cálculos com rad-
icais quando eles não estão no denominador.
Por isso, racionalizando, quando necessário, o
denominador de uma expressão fracionária.
Exemplos:
Racionalizar os denominadores das seguintes
expressões fracionárias:
a) b)
c) d)
Solução:
a) , multiplicando o numerador
por , temos:
b) , multiplicando o nume-
rador e denominador por ,
temos:
c) , multiplicando-se
o numerador e denominador por ,
temos:
d) , multiplicando-se o
numerador e denominador por , temos:
1. Observe a figura abaixo
Determine:
a) a soma das medidas de todas as arestas do pa-
ralelepípedo;
b) a soma das áreas das faces;
c) a volume desse paralelepípedo.
Solução:
a) Observe que a figura acima possui quatro
arestas de medidas iguais a .
Logo, a soma das medidas de todas as
arestas do paralelepípedo é igual a:
b) Observe as áreas das faces laterais do
paralelepípedo.
c) O volume de um paralelepípedo é igual ao
produto de suas dimensões (largura, altura
e comprimento).
2. O passo de um robô mede exatos cm.
Quantos passos ele deverá dar para percorrer
m?
Solução:
Comprimento do percurso: 18,5 m = cm
Comprimento do passo: cm
Número de passos = passos.

46
1. A área de uma das placas de um cubo é 6cm².
Determine:
a) a medida da aresta desse cubo;
b) a soma das áreas de todas as suas faces;
c) o volume do cubo.
2. Classifique cada sentença como verdadeira
ou falsa:
a) b)
c) d)
4. Efetue:
a) d)
b) e)
c) f)
5. Racionalize o denominador das expressões:
a) c)
b) d)
6. A expressão é equivalente a:
a) b)
c) d)
e)
7. Racionalizando-se o denominador de
,
obtém−se:
a) b)
c) d)
e)
8. Simplificando a expressão , obtemos:
a) b)
c) d)
9. Considerando que = 1,73, a área deste
triângulo é:
a) 30cm² c) 28cm²
b) 25,95cm² d) 23,12cm²
10. Dados os números e , podemos
afirmar que:
a) >
c) =
b) <
d) não é possível compará-las.
11. Os resultados de e são,
respectivamente:
a) e 4 c) e 4
b) e 4 d) e
12. O valor de é:
a) 3 b) 4 c) 7 d) 14
13. Transforme num único radical e, quando pos-
sível, simplifique:
a) b)
c)
d)
14. Márcia possui 30 cubos de aresta, medindo
cm.
a) Quantos desses cubos Márcia deve utilizar para
formar o maior cubo possível?
b) Calcule o volume desse cubo formado.

47
TEMA 12
EQUAÇÕES DO 1.0
GRAU
1. Introdução
Muitas vezes, para facilitar a resolução de um
problema, podemos reduzi-lo por meio de uma
sentença matemática chamada equação.
Equação é uma igualdade (expressão que tem
sinal =) em que há pelo menos uma letra que
representa um número desconhecido.
O uso de letras para representar números des-
conhecidos começou há muito tempo, com os
matemáticos da Antigüidade.
Diofante foi um matemático grego que viveu
no século III d.C. Naquela época, os matemáti-
cos gregos preferiam estudar Geometria, mas
Diofante dedicou-se à Álgebra. Ele usou a idéia
de representar um número desconhecido por
uma letra e, por isso, acredita-se que tenha
influenciado outros matemáticos, como Al−
Khowarizmi e Viète, no estudo da álgebra.
Al−Khowarizmi (783−850), o maior matemáti-
co árabe de todos os tempos, resolvia as
equações de uma maneira semelhante à que
usamos hoje. A diferença é que tudo, até mes-
mo os números, eram expressos por palavras.
Ele escreveu um livro chamado Al−jabr, que
significa “restauração”. Esse livro trazia expli-
cações minunciosas sobre a resolução de
equações. Da expressão Al−jabr originou−se a
palavra Álgebra.
Os passos mais decisivos para a introdução
dos símbolos na matemática foram dados pelo
advogado francês François Viète (1540−
1603). Foi Viète quem começou a substituir as
palavras por símbolos matemáticos nas equa-
ções. Essa substituição, porém, não aconte-
ceu de uma só vez.
Além de Viète, outros matemáticos de sua época
contribuíram para aperfeiçoar a Álgebra até que
ela tomasse a forma que conhecemos hoje.
Antes de falarmos em resolução de uma equa-
ção do 1.o
grau, precisamos entender o signifi-
cado de sentença matemática.
Sentença é um conjunto de palavras com sen-
tido completo, por exemplo:
a) Quem não tem colírio usa óculos escuros.
b) O pirarucu é o maior peixe de água doce.
Quando uma sentença envolve números ela é
denominada sentença matemática; exemplos:
a) Um mais um é igual a dois.

48
b) O produto de 7 por 5 é igual a trinta e cinco ou
7 x 5 = 35.
c) Duzentos e quarenta e três dividido por vinte e
sete é igual a treze ou 243 : 27 = 13.
Isso mesmo, 243 : 27 = 9, é que as sentenças
matemáticas podem ser verdadeiras, como
nos exemplos a e b, ou falsas como em c.
Essas sentenças em que se pode atribuir um
sentido verdadeiro ou falso são chamadas de
sentenças fechadas.
Agora, vejamos outro exemplo de sentença
matemática:
A sentença apresenta um elemento desconhe-
cido (y) , chamado variável ou incógnita. Não
podemos classificá-la em verdadeira ou falsa,
porque depende do valor a ser atribuído a (y).
Sentenças desse tipo são chamadas de sen-
tenças abertas.
Vejamos outros exemplos:
a) 12x + 3 = 9 é uma sentença aberta na variável x;
b) 2z + w < 8 é uma sentença aberta nas variáveis
z e w;
c) 31 – 9 = 23 é uma sentença fechada falsa;
d) 101 + 57 = 158 é uma sentença fechada ver-
dadeira;
e) x + 3 > 7 é uma sentença aberta, que é falsa
para x ≤ 4.
2. A equação do 1.0
grau com uma variável
Chamamos de equação com uma variável toda
sentença aberta definida por apenas uma in-
cógnita, e o grau da equação é determinado
pelo maior expoente de coeficiente não-nulo
(coeficiente dominante).
Exemplos:
1) x2
– 7x + 6 = 0 é uma equação do 2.º grau na
variável x, cujo coeficiente dominante é o
número 1;
2) 2y5
– 3 y7
+ 2 = 0 é uma equação de grau 7 na
variável y, cujo coeficiente dominante é o
número – 3;
3) 0z10
– 5z – 10 = 0 é uma equação do 1.º grau na
variável z, cujo coeficiente dominante é o
número – 5.
Observe que no 3.o
exemplo, apesar de apre-
sentar um expoente igual a 10, o grau da equa-
ção não é definido por ele, pois o coeficiente
de x10
é igual a zero.
3. Resolvendo as equações de 1.o
grau
O conjunto formado por todos os valores que a
variável pode assumir, determinando uma sen-
tença verdadeira ou não, é denominado con-
junto universo (U).
Resolver uma equação é encontrar os nú-
meros, do universo considerado, que substituí-
dos pelas variáveis determinam uma sentença
verdadeira. Esses números são chamados de
raízes da equação.
Para resolver uma equação do 1.o
grau a uma
variável, primeiramente iremos definir duas
propriedades operatórias:
1. Aditiva: Podemos somar ou subtrair um nú-
mero do universo considerado nos dois
membros de uma equação, encontrando
uma outra equivalente (mesmo conjunto-
solução);
Exemplo:
Dada a equação x + 5 = 9, aplique o princí-
pio aditivo e encontre a raiz.
Solução:
É fácil verificar que 4 é raiz da equação da-
da, pois 4 + 5 = 9, que é uma sentença ver-
dadeira.
Pelo princípio aditivo, temos:
x + 5 = 9, adicionando (−5) aos dois mem-
bros: x + 5 − 5 = 9 − 5 ⇒ x = 4, que é a raiz
da equação.
Após encontrarmos as raízes de uma equação,
devemos finalizar o exercício escrevendo o
3y – 7 = 11

49
conjunto das raízes, chamado de conjunto-
solução ou conjunto-verdade
No último exemplo: S = {4}.
2. Multiplicativa: Podemos multiplicar ou divi-
dir um número diferente de zero nos dois
membros de uma equação, encontrando
outra equivalente.
Exemplos:
a) Resolva a equação 3x – 9 = 0, sendo U =
IN.
Solução:
Somando 9 aos dois membros da equação,
propriedade aditiva, obtemos:
3x – 9 + 9 = 0 + 9
3x = 9
Dividindo por 3, ou multiplicando por os
dois membros, propriedade multiplicativa,
obtemos:
x = 3
S = {3}
b) Resolva a equação 2x + 5 = 0, sendo U =
IN.
Solução:
2x + 5 – 5 = 0 – 5
2x = – 5
Como x ∉ IN, temos S = ∅.
b) Resolva a equação ,
sendo U = Q.
Solução:
igualando os denominadores:
, multiplicando por 6
a equação obtemos:
2x − 3x = 21 ⇒ −x = 21, multiplicando por
(– 1) ⇒ x = −21.
S = {−21)
Método Prático
Verificamos que a resolução de uma equação
do 1.o
grau utilizando as propriedades é muito
importante, pois são elas que justificam as
operações para a simplificação da equação até
a sua solução. No entanto podemos “escon-
der” a explícita aplicação dessas propriedades,
“passando” os números de um membro para o
outro com a inversão de suas operações.
Exemplos:
1. Resolver as equações em IR:
a) 5(x – 1) + 11 = – 9
Solução
5x – 5 + 11 = – 9
5x + 6 = – 9
5x = – 6 – 9
5x = – 15
x =
x = –3
S = {–3}
b) 10 – 3x – 9 = – 3x + 11 – 2x
Solução
1 – 3x = 11 – 5x
5x – 3x = 11 – 1
2x = 10
x = 10/2
x = 5
S = {5}
c) 4 – 3(x – 2) = x – 2(x – 1)
Solução
4 – 3x + 6 = x – 2x + 2
10 – 3x = 2 – x
– 3x + x = 2 – 10
– 2x = – 8, multiplicando a equação por
– 1:
2x = 8
x = 8/2
x = 4
S = {4}

d)
Solução:
, multiplican-
do por 12:
3x − 2x + 10 = 4(3 + 2x − 10)
x + 10 = 8x − 28 ⇒ x − 8x = −28 −10
−7x = −38, multiplicando por (–1)
e)
Solução:
, usando a
propriedade funcamental da proporção,
temos:
.
TEMA 13
4. EQUAÇÕES LITERAIS
São equações cuja solução está condicionada
a outras letras.
Observe as equações do 1.º grau na incógnita x:
2ax − 5 = 0 e 3b(x + 2) = −3.
Nessas equações, aparecem outras letras
além da incógnita. Devemos resolvê-las utili-
zando os mesmos princípios das equações
anteriores. Devemos “olhar” para as outras
letras como se fossem números reais, a so-
lução da equação literal fica condicionada às
letras dadas na equação.
Nos exemplos dados, temos:
1.
2.
Exemplos:
1. Sendo x a incógnita, resolva as equações
em IR:
a)
Solução:
b)
Solução:
S ={2ac}
50

51
1. Classifique com A as sentenças abertas e com
F as sentenças fechadas:
a. ( ) 13 – 5 = 8
b. ( ) 12x + 3y < 0
c. ( ) 8.9 = 72
d. ( ) 8 + 3 > 5
e. ( ) x + y + z = 2
f. ( ) 2a – 76 = 15
g. ( ) x2
– 5x + 6 = 0
2. Verifique quais das seguintes sentenças são
verdadeiras:
a. ( ) 2x – 6 > 5, para x = 4
b. ( ) 8 – 5y = – 7, para y = 3
c. ( ) 3y – 2x < 6, para y = – 1 e x = 1
d. ( ) 5x + 3y – 2z = 12, para x = 3, y = – 1 e z = 1
3. Resolva as equações, onde U = IR, usando as
propriedades aditiva e multiplicativa:
a) 2x – 8 = 0
b) 5(x – 1) + 7 = 3(x – 6)
c)
d) 7x2 − 8x + 13 = −9x + 7x2 − 12
e)
4. Qual o valor do número racional que, multipli-
cado por 7, é igual – 3?
5. O dobro de um número racional é igual a 13.
Que número é esse?
6. Helena tem 54 anos. Seus três filhos têm, res-
pectivamente, 20 anos, 14 anos e 12 anos.
Daqui a quantos anos, a idade de Helena será
igual à soma das idades de seus filhos?
7. Resolva as equações em IR:
a)
b) 5(3x − 2) = 2(6x + 3)
c) 4(X − 2) + 3(2x − 1) = 6(2x − 3)
d) 5X − 7 − 2x − 2 = 0
e)
f)
g) x − (x + 1) = 12 − (3x − 2)
h)
8. Encontre os valores de x, y e z, sabendo−se
que:
• 2(z + 4,5) = 18,5 + 0,5
• 3y + 4(y – 1) = 26 – 2(z + 3)
• x – y(x +4) + 10 = 2(z + 3,5)
9. Identifique a equação equivalente a
:
a) 4x = 15
b) 4x = – 15
c) 4x = 35
d) 4x = – 35
10. A raiz da equação é um número
inteiro:
a) igual a – 5;
b) maior que – 5;
c) compreendido entre – 5 e – 2;
d) menor que – 5.
11. (UEPI) A solução racional da equação
é um número com-
preendido entre:
a) – 6 e – 3;
b) – 3 e 0;
c) 0 e 3;
d) 3 e 6;
e) 6 e 9.
12. A resistência R total de um circuito elétrico, for-
mado por duas resistências de a e b ohms,
conectadas em paralelo, é dada pela equação
.

52
Expresse:
a) R em termos de a e b;
b) a em termos de R e b;
c) b em termos de R e a.
13. Qual é o conjunto solução da equação
6hx + 14 = 18 +2hx, sendo x a incógnita?
14. Expresse t em termos de b e c:
bt − ct = b2 − 2bc + c2.
15. Sabendo que a ≠ 0, b ≠ 0 e x é a incógnita, resol−
va, no conjunto IR, a equação .
16. Na igualdade , sabendo
que a ≠ ± b, expresse x em termos de a.
17. Sendo x ≠ b e x ≠ −b, dê o conjunto-solução da
equação no conjunto IR.
18. Resolva a equação , sendo x a
incógnita e a ≠ −1 e a ≠ −3.
5. PROBLEMAS DO 1.o
GRAU
Papiro de Rhind
O Papiro de Rhind está escrito em hierático, da
direita para a esquerda, tem 32cm de largura por
513cm de comprimento. É datado de cerca de
1650 a.C., embora o texto diga que foi copiado
de um manuscrito, de cerca de 200 anos antes.
O papiro tem o nome do escocês Alexander
Henry Rhind, que o comprou por volta de
1850, em Luxor, no Egito. É também designa-
do por papiro de Ahmes, o escriba egípcio que
o copiou. Encontra-se, atualmente, no Museu
Britânico.
O papiro contém uma série de tabelas, 84
problemas e as suas soluções.
Vejamos alguns problemas do papiro de
Rhind:
Problema 27
Uma quantidade e a sua quinta parte adi-
cionadas dão 21. Qual é a quantidade?
Solução
ou , como era
escrito.
Problema 28
Uma quantidade e os seus dois terços são adi-
cionados, e da soma um terço é subtraído, e
ficam 10. Qual é a quantidade?
Solução:
É obvio que o método de resolução original
não foi o apresentado, mesmo porque naquela
época as propriedades que aqui utilizamos
ainda não estavam definidas dessa forma, e
muito menos a notação usada.
O objetivo com estes exemplos é evidenciar a
importância de equacionar problemas para fa-
cilitar a sua resolução.
Para resolver um problema matemático, quase
sempre, devemos transformar uma sentença
apresentada com palavras em uma sentença
que esteja escrita em linguagem matemática.
Esta é a parte mais importante e talvez seja a
mais difícil da Matemática.

53
Exemplos:
1. Um certo número foi somado com 8, e o
resultado multiplicado por 6. No fim,
obteve-se 30. Qual é esse número?
Solução:
S = {−3}
2. Gabriel foi pescar no rio Negro, pegou 18
peixes entre tucunarés e jaraquis. Sabendo-
se que o número de jaraquis é o dobro da
quantidade de tucunarés, quantos peixes
de cada espécie Gabriel pescou?
Solução:
t + j = 18 e j = 2t
Substituindo j = 2t em t + j = 18 obtemos:
, como
j = 2t, temos j = 12.
Portanto, Gabriel pescou 6 tucunarés e 12
jaraquis.
3. Você vê a planta de uma casa cujo perí-
metro é de 45m.
Qual é a largura e o comprimento dessa casa?
Solução:
O perímetro é igual a 45m, então
2x + 2,5x + 2x + 2,5x = 45 ⇒ 9x = 45 ⇒
x = 5
Portanto, a casa tem 10m de largura por
12,5m de comprimento.
19. Qual é o número que, somado com o triplo de
seu antecessor, resulta em 41?
20. Sabendo que o quádruplo de um número so-
mado com 9 é igual ao número somado com 6,
descubra qual é esse número.
21. Uma estante custa três vezes o preço de uma
cadeira. Qual o preço da estante, se as duas
mercadorias juntas custam R$ 64,00?
22. Ana e Maria são irmãs, e a soma de suas ida-
des é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria
é 5 anos mais nova?
23. Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
24. Uma indústria produziu este ano 600.000 uni-
dades de um certo produto. Essa produção re-
presentou um aumento de 20%, em relação ao
ano anterior. Qual a produção do ano anterior?
25. Quanto devo acrescentar ao número 37,5 para
obter o número natural mais próximo de
126,725?
26. Na balança da figura, sabe-se que a bandeja
onde se encontra o carro está 12 vezes mais
pesada do que a bandeja em que se encontra
o rapaz. Acrescentando 880kg à bandeja do
rapaz, a balança fica equilibrada. Calcule o
peso do rapaz.
27. Observe as figuras:

54
Com 3 copos de água, enche-se totalmente a
garrafa. Colocando−se no garrafão 4 garrafas
de água e mais um copo de água, ainda assim
faltarão 0,75 litros de água para enchê-lo total-
mente.
a) Quantos litros de água cabem nesse copo?
b) Quantos litros de água cabem nessa garrafa?
28. Qual a idade da vovó?
29. O engenheiro calculou: se forem asfaltados x
quilômetros por dia, em 16 dias faltarão 18km
para completar o asfaltamento da estrada. Mas
se forem asfaltados x + 1 quilômetros por dia,
em 14 dias faltarão apenas 16km para comple-
tar a asfaltagem. Qual é o comprimento da
estrada?
30. Joana tem 28 anos e sua sobrinha Vanessa
tem 10 anos. Daqui a quantos anos o dobro da
idade de Vanessa será igual à idade de Joana?
31. José repartiu certa quantia em dinheiro entre
seus quatro filhos da seguinte maneira.
• Paulo recebeu da herança;
Sílvia recebeu da herança mais R$ 9.000,00;
Renato recebeu da herança menos R$
30.000,00;
Teresa recebeu da herança menos R$
42.000,00.
a) Qual foi a quantia que José repartiu entre
seus filhos?
b) Quanto cada filho recebeu?
32. Um terreno retangular tem 150m2 de área a
mais que um terreno quadrado. Sabendo-se
que o terreno retangular tem de frente 10m a
mais que o quadrado e, de fundo, possuem a
mesma medida, determine:
a) a medida do lado menor do terreno;
b) a área de cada terreno.
33. No Brasil, a população jovem (0 a 17 anos) é
de aproximadamente da população adulta
(18 a 59 anos) menos 1 162 431 habitantes. A
população idosa (mais de 60 anos) é de apro-
ximadamente 14 512 803 habitantes.
Sabendo-se que a população total do Brasil é
de, aproximadamente, da soma das popu-
lações adulta e idosa, mais de 23 393 329 habi-
tantes, calcule:
a) a população adulta;
b) a população jovem;
c) a população total brasileira.
34. O epitáfio de Diofante, maior algebrista grego:
“Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta
parte de sua vida e somando uma duodécima
parte a isso cobriu-lhe as faces de penugem.
Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma
sétima parte e, cinco anos após seu casamen-
to, concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz criança tar-
dia, depois de chegar à medida da metade da
vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois
de se consolar de sua dor durante quatro anos
com a ciência dos números, ele terminou sua
vida.” Quanto tempo viveu Diofante?

55
Pitágoras e sua genialidade
Pitágoras descobriu que existe outra forma de
calcular potências: por meio da soma de
números ímpares. Ele descobriu que n2 é
igual a soma dos n primeiros números natu-
rais ímpares. Exemplo:
32
= 1 + 3 + 5 = 9
52
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
62
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
112
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +
17 + 19 + 21 = 121
Tente você...
TEMA 14
9. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
Chamamos de equações fracionárias, todas as
equações que apresentam variável no deno-
minador. Vamos observar um problema:
Foram distribuídos 52 cartões azuis e 60 vermel-
hos entre as pessoas de um grupo, de modo
que cada pessoa recebeu cartões de uma só
cor e todas ficaram com a mesma quantidade.
Havia quatro pessoas a menos com cartões
azuis do que com cartões vermelhos.
Experiências matemáticas: 7.ª série.
São Paulo, SE/ CENP, 1996.
Quantas pessoas havia no grupo?
Solução:
Chamando de x o número de pessoas que
receberam cartões azuis, temos a seguinte
equação:
Como temos uma igualdade entre razões, po-
demos utilizar a propriedade fundamental da
proporção, “ o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos”. Então, temos:
60x = 52(x + 4)
Procedemos, agora, como nos casos anteri-
ores de equações do 1.o
grau:
.
Ou tirando o mmc dos denomidores:

56
Portanto 26 pessoas receberam cartões azuis,
e 30 pessoas receberam cartões vermelhos,
totalizando 56 pessoas.
Outro problema:
Um carro, desenvolvendo certa velocidade,
percorre 240km em t horas. Mantendo a mes-
ma velocidade média, vai percorrer 400km em
(t + 2) horas. Qual é o numero t de horas?
Solução:
Portanto t = 3 horas.
Uma peculiaridade das equações fracionárias
é a possibilidade de encontrarmos raízes que
geram indeterminação na sentença; por isso, é
muito importante que o conjunto-universo este-
ja bem definido. Nos dois problemas ante-
riores, isso não ocorre porque, ao substi-
tuirmos a raiz nas respectivas equações, não
anulamos nenhum denominador.
Nem sempre o conjunto-universo é colocado
de forma explicita. Nesse caso, cabe a quem
estiver resolvendo a equação determinar o
conjunto-universo.
Vamos estudar uma equação em que ocorre
esse problema.
Resolvendo a equação .
Solução:
O conjunto-universo dessa equação é
IR – {– 2, 0, 2}
Vamos simplificar a equação para aplicar a
propriedade fundamental da proporção. Para
isso, encontraremos o mmc no 1.o
membro:
Encontramos uma equação impossível, por-
tanto S = ∅.
Outra questão:
Resolver a equação .
Solução:
O conjunto-universo é IR – {– 1, 1}.
multiplicando a equação por
(1 − t), temos:
Mas para t = 1, a equação não cria uma iden−
tidade , que é uma indeter-
minação, logo S = ∅.
1. Determine o conjunto solução das seguintes
equações, sendo U = IR:
a) (x ≠ −3)
b) (y ≠ 0)
c) (x ≠ 0 e x ≠ −6)
d) (x ≠ −7)
e) (x ≠ ±7)
f) (y ≠ ±3)
2. Determine o conjunto solução das seguintes
equações, sendo U = IR:

a) (x ≠ ±5)
b) (x ≠ 1, x ≠ 2 e x ≠ 3)
c) (x ≠ ±1)
d) (x ≠ ±4)
e) (y ≠ ±1 e y ≠ 0)
f) (x ≠ 2)
3. A 7.a
série A tem x alunos. Nessa série, foram
distribuídos 320 livros de forma que todos re-
ceberam a mesma quantidade. A 7.a
série B
tem (x – 2) alunos, e nessa série foram dis-
tribuídos 300 livros, e todos os alunos recebe-
ram a mesma quantidade. Nessas condições,
faça o que se pede:
a) Escreva a fração que representa o número de
livros que cada aluno da 7.a
série A recebeu.
b) Escreva a fração que representa o número de
livros que cada aluno da 7.a
série B recebeu.
c) Quantos alunos há em cada sala, se cada
aluno das duas salas recebeu a mesma
quantidade de livros?
4. Alice comprou certa quantidade de calças por
R$ 120,00 e 2 blusas a mais que a quantidade
de calças por R$ 100,00.
O preço de uma calça é o dobro do preço de
uma blusa.
Sabendo-se que todas as calças custaram o
mesmo preço e que todas as blusas também,
quantas calças e quantas blusas Alice comprou?
5. A diferença entre o quociente de 4 por um nú-
mero real e o inverso desse número é 2. Qual
é o número?
6. Um ciclista, pedalando a certa velocidade, per-
corre 195km em x horas. Mantendo a veloci-
dade média, ele percorre 260km, pedalando 1
hora a mais.
Escreva e resolva a equação que permite cal-
cular o valor de x, ou seja, quanto tempo o
ciclista leva para percorrer 195km.
7. Um número adicionado a 10 e dividido por ele
mesmo é equivalente à fração . Que número
é esse?
8. Determine y, para que o quociente
seja igual a .
9. Segundo uma pesquisa realizada num grupo
de pessoas, foi constatado que, ao longo de x
meses, o número de pessoas que contrairá
certa doença é dada pela expressão matemáti−
ca . Após quantos meses, o número de
pessoas infectadas por essa doença será de
4000?
57

59
UNIDADE IV
Inequações e Sistemas

61
TEMA 15
INEQUAÇÃO DO 1.O
GRAU
Toda sentença aberta, expressa por uma
desigualdade, chama−se inequação. O grau
da inequação é determinado da mesma forma
que o fizemos para as equações.
Uma inequação relaciona o primeiro membro
com o segundo por um dos símbolos:
Vamos considerar o seguinte problema:
Numa escola, é adotado o seguinte critério: a
nota da primeira prova é multiplicada por 1, a
nota da segunda prova é multiplicada por 2, e
a da última prova é multiplicada por 3. Os
resultados, após somados, são divididos por
6. Se a média obtida por este critério for maior
ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das ativi-
dades de recuperação. Suponha que um aluno
tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na
segunda. Quanto precisará tirar na terceira pa-
ra ser dispensado da recuperação?
Solução:
é a inequação que verifica
se o aluno foi ou não aprovado sem precisar
fazer a recuperação.
Para resolver essa inequação, utilizaremos os
princípios aditivo e multiplicativo, que vimos na
resolução das equações.
Substituindo as notas da primeira e da segun-
da prova, temos:
Neste problema, o princípio multiplicativo é uti-
lizado sem complicações, pois multiplicamos a
inequação por um número positivo. Quando a
multiplicação é por um número negativo, deve-
se mudar o sentido da desigualdade. Isto ocor-
re devido à “mudança” de posição na reta: ao
multiplicarmos por um número negativo en-
contramos o simétrico do número dado.
Veja:
– 2 < 4
Multiplicando por (– 1), temos:
2 > – 4
Vamos generalizar esta propriedade:
Para todos os números reais x, y e z, se x < y,
vale:
a) xz < yz, se z > 0
b) xz > yz, se z < 0
c) , se z > 0
d) , se z < 0
Exemplos:
1. Resolva a inequação 2(3x − 5) > 3(x − 12),
sendo U = Z.
Solução:
Como x ∈ Z, então S{−8, −7, −6, −5,...}
2. Resolva a inequação ,
Sendo U = IR.
Solução:
Multiplicando a inequação por 18 (mmc de 9 e
6), temos:
2(19 − 4x) ≤ 3(2x − 3) ⇒ 38 − 8x ≤ 6x − 9 ⇒
−8x − 6x ≤ − 9 − 38 ⇒ −14x ≤ −47,
Multiplicando por (−1), temos:
.
3. Qual é o menor número inteiro que satisfaz a
desigualdade ?
< > ≥ ≤ ≠
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

62
Solução:
Multiplicando a desigualdade por 4, temos:
Portanto o menor inteiro que satisfaz a
inequação é o número 4.
4. Doze atores, entre garotas e rapazes, serão es-
colhidos para trabalhar em uma peça de teatro.
O diretor resolveu que o triplo do número de
rapazes menos 1 deverá ser menor que o total
de atores da peça. Quantas garotas e quantos
rapazes serão escolhidos, se deve haver pelo
menos dois rapazes como atores?
Solução:
Chamaremos de x os rapazes e de y as garo-
tas. Temos, então:
x + y = 12 e
.
Com isso, temos as seguintes possibilidades:
4 rapazes e 8 garotas, 3 rapazes e 9 garotas e
2 rapazes e 10 garotas. Lembre−se de que a
peça deve apresentar pelo menos 2 rapazes.
5. José tem o dobro da idade de Paulinho. Se
Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua
idade seria maior que a de José. Quantos
anos, no máximo, Paulinho deve ter?
Solução:
Consideremos a idade de Paulinho igual a x,
então a idade de José é 2x.
Se Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua
idade passaria a x + 10. Como, nessas con-
dições, Paulinho é mais velho que José, te-
mos:
x + 10 > 2x ⇒ x − 2x > −10 ⇒ −x > −10 ⇒ x < 10
Portanto:
Paulinho tem, no máximo, 9 anos.
1. Resolva as desigualdades, sendo U = IR:
a)
b)
c) 4(x − 2) + 32 > 16x
d)
e) 4 + 8x ≥ 16
f) 5x − (x − 2) ≤ 6
g)
h)
i)
2. Qual é o menor número inteiro que é solução
da inequação ?
3. Qual é o maior número inteiro que é solução
da desigualdade ?
4. Para estudar um projeto, será formada uma co-
missão mista de deputados e senadores, num
total de oito membros. O dobro do número de
senadores mais 1 deverá ser menor que o total
de membros da comissão. Quantos deputados
e senadores terá a comissão?
5. Um feirante, após ter vendido x melões a R$
3,00 cada, vendeu os últimos 21 por um total
de R$ 40,00. Qual a menor quantidade de me-
lões que ele deveria vender a R$ 3,00 para
obter mais de R$ 280,00 nessa venda?

6. Subtraindo-se 2 anos da idade de uma pes-
soa, e multiplicando-se a diferença por 7,
obtém−se um número menor que o sêxtuplo
da idade dela aumentado de 8. Qual a idade
máxima dessa pessoa?
7. Considere a sentença: o dobro de um número
somado com a sua terça parte é maior que 14.
O conjunto-verdade dessa sentença é:
a) {x ∈ Q | x < 6}
b) {x ∈ Q | x > 6}
c) {x ∈ Q | x > 2}
d) {x ∈ Q | x < 2}
8. (F. SANTO ANDRÉ−SP) Dos conjuntos abaixo,
aquele que representa um conjunto unitário é:
a) {x ∈ IN | x − 8 < −8}
b) {x ∈ Z | x + 3 ≤ 3}
c) {x ∈ IN | 2x − 2 < 0}
d) {x ∈ Z | x + 3 > 2}
e) {x ∈ IN | 5x − 5 ≤ 0}
9. (FGV−SP) Quantas raízes inteiras e menores do
que 5 admite a inequação ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) n.d.a.
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
DO 1.O
GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
Equação do 1.o
grau com duas variáveis
Observe o problema:
Évana e Cláudio têm juntos 16 anos. Sabendo-
se que a idade de Évana é o triplo da idade de
Cláudio, qual a idade dos dois?
Solução:
Chamando de x a idade Cláudio e de y a idade
de Évana, temos a equação: x + y = 16. Ora,
a idade de Évana é o triplo da idade de
Cláudio, logo y = 3x. Substituindo a equação
que relaciona as idades na equação da soma
das mesmas, obtemos:
x + y = 16 ⇒ x + 3x = 16 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4
Portanto Cláudio tem 4 anos, e Évana tem 12
anos.
Observando apenas a equação que relaciona
as idades, y = 3x, chegaremos a algumas con-
clusões importantes:
Tomemos a equação: y = 3x
Montemos uma tabela com uma coluna para a
variável x e outra para variável y. Atribuamos
valores arbitrários para x e encontremos o valor
correspondente para y.
Poderíamos continuar indefinidamente atribuin-
do valores para uma das variáveis e encontran-
do o valor correspondente para outra, de modo
que cada par, na ordem x e y, de valores deter-
minados satisfaça a equação dada (y = 3x).
A partir deste exemplo, podemos verificar
condições bem definidas. Por exemplo:
• A cada valor atribuído para uma variável, existe
um único valor correspondente para a outra.
x y
2 6
−1 −3
0 0
−10 −30
4 12
4
63
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

64
• As soluções da equação são dadas aos
pares, 2 e 6, – 1 e – 3, 0 e 0, etc.
• Podemos encontrar tantos pares quantos
desejarmos, a equação tem infinitas solu-
ções.
• A ordem em que substituímos os valores nas
variáveis, em geral, não coincide. Por exem-
plo, quando x = 4 ⇒ y = 12 e quando
y = 4 ⇒ x= . Portanto a ordem importa.
Cada solução de uma equação do 1.o
grau
com duas variáveis é um par de números cuja
ordem deve ser respeitada, que é denominado
de “par ordenado”.
PLANO CARTESIANO
René Descartes nasceu na França. De família
nobre, recebeu suas primeiras instruções no
colégio jesuíta de La Flèche, graduando-se
em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de
várias campanhas militares como a de Mau-
rice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Ma-
ximiliano I da Baviera e a do exército francês
no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos mai-
ores sábios da época como Faulhaber,
Desargues e Mersenne, e é considerado o
“Pai da Filosofia Moderna”.
Em 1637, escreveu seu mais célebre tratado,
o Discurso do Método, em que expõe sua
teoria de que o universo era todo feito de
matéria em movimento, e qualquer fenômeno
poderia ser explicado por meio das forças
exercidas pela matéria contígua. Esta teoria
só foi superada pelo raciocínio matemático
de Newton. Suas idéias filosóficas e científi-
cas eram muito avançadas para a época,
mas sua matemática guardava características
da antigüidade, tendo criado a Geometria
Analítica numa tentativa de volta ao passado.
Os pares ordenados são representados por
pontos num plano formado por dois eixos reais
(retas) perpendiculares entre si, o plano carte-
siano.
O eixo horizontal é chamado de eixo das
abscissas ou eixo x, e o eixo vertical é chama-
do de eixo das ordenadas ou eixo y.
Para localizar um ponto num plano cartesiano,
utilizamos a seqüência prática:
• O 1.o
número do par ordenado deve ser loca-
lizado no eixo das abscissas.
• O 2.o
número do par ordenado deve ser loca-
lizado no eixo das ordenadas.
• No encontro das perpendiculares aos eixos x
e y, por esses pontos, determinamos o ponto
procurado.
Exemplo:
• Localize os pontos (4, 3), (−4, 1) e (1, −1).
Geometricamente, o conjunto-solução de uma
equação do 1.o
grau com duas variáveis em IR,
é uma reta que contém todos os pares ordena-
dos que satisfazem a equação dada.
Exemplo:
Representar, geometricamente, o conjunto-
solução da equação y − x = 2.

Conjunto dos números reais em Matemática elementar II

Conjunto dos números reais em Matemática elementar II

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (15)

Semelhante a Conjunto dos números reais em Matemática elementar II

Semelhante a Conjunto dos números reais em Matemática elementar II (20)

Mais de Everton Moraes

Mais de Everton Moraes (20)

Último

Último (20)

Conjunto dos números reais em Matemática elementar II