O documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções quadráticas, incluindo definições, gráficos, pontos máximos e mínimos, e situações aplicadas como custos, vendas, produção e população. Quatro problemas são propostos para cálculos e análises envolvendo funções quadráticas.

1. 2016- MATEMÁTICA I Prof Julio Cezar
F U N Ç Õ E S
Q U A D R Á T I C A S
FUNÇÕES DO 2º GRAU
E SUAS APLICAÇÕES.

2. Considere a seguinte situação aplicativa envolvendo a quantidade de produtos vendidos
por uma empresa em função do preço aplicado ao produto. E também, a receita mensal total que
a empresa obtém com esses dados.
Em março deste ano uma empresa vendeu determinado produto por R$ 20,00 e totalizou
no mês, 20.000 unidades vendidas.
Em abril deste ano a empresa aumentou o preço do produto para R$ 22,00 e totalizou no
mês, 18.000 unidades vendidas.
Com essas informações, utilizando-se dos conceitos de Funções Lineares, podemos
determinar a fórmula matemática que pode calcular o total de unidades vendidas em qualquer
outro momento, em função do preço aplicado ao produto ( y = a.x + b )
Sejam p = preço aplicado ao produto (em reais) e
Q = quantidade de produtos vendidos por mês.
(resolução e obtenção da regra da função Linear)
Sabemos que a Receita é determinada multiplicando-se o valor do preço pela quantidade,
ou seja, R = p X Q
Nesse caso, temos:
R = p X Q
Observamos, portanto, que a Receita é uma nova fórmula matemática, que é calculada em função
do preço aplicado ao produto. E essa fórmula contém a variável (p) elevada ao quadrado (Função
do 2º grau)
Assim, as Funções do 2º grau (Funções Quadráticas) também serão funções estudadas por
apresentarem situações aplicadas extremamente importantes, especialmente na áreas
administrativas, de gestão e de negócios.

3. FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DO 2º GRAU)
Considerando-se três números reais a, b, c, com (a) diferente de zero,
denomina-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º. GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA, toda função definida
pela forma:
y = a x² + b x + c , para todo x real.
Exemplos:
I) y = 3x² - 2x + 1 onde a = 3; b = (-2) ; c = 1
II) y = -4x² + x - 5 a = (-4); b = 1 ; c = (-5)
III) f(x)= x² - 4 a = 1 ; b = 0 ; c = (-4)
IV) f (x)= - x² + 100 x a = (- l) ; b = 100; c = 0
V) y = 20 x² a = 20 ; b = 0 ; c = 0
VI) f ( t ) = 9 - t² a = ( -1); b = 0 ; c = 9
GRÁFICO CARTESIANO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU- Função Quadrática.
( I ) y = x² - 6x + 9 Domínio: [ 0 , 5 ]
( II ) f ( x ) = 12x - 3x² Domínio: [ 0 , 4 ]
Propostos:
a) y = x² + 2x Dom: [ -1 , 3 ]
b) y = 9 - x² Dom: [ -3 , 3 ]
c) y = x² - 5.x + 6 Dom: [ 0 , 5 ]
Análise dos elementos do gráfico de uma FUNÇÃO QUADRÁTICA
( I ) Concavidade da curva (Parábola) (para cima ou para baixo?)
( II ) Ponto onde a curva (parábola) intercepta o eixo vertical (Y)_.
( III ) Ponto(s) onde a curva intercepta o eixo horizontal (X)
( IV ) Domínio e Imagem da função.
OBTENÇÃO DO VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
(VÉRTICE DA PARÁBOLA).
Exemplos:
I. y = 2x² - 8x + 20
II. F ( x )= 3 + 18x – 3x²
III. L ( t ) = 6t² + 30t - 50

4. Exemplos aplicativos:
1. Considere a situação aplicativa onde o Custo total diário de produção; C de uma empresa,
depende da quantidade total de peças ( q ) produzidas diariamente ( em milhares de unidades).
O cálculo desse custo é feito pela seguinte fórmula:
C = 200 + 20q – 2q²
Assim, por exemplo, para se produzir 2 mil peças o custo total é de 232 mil reais, ou seja
C ( 2 ) = 232. Para se produzir 5 mil peças, o custo total é de 250 mil reais, ou seja C ( 5 ) = 250.
E para se produzir 3 mil e 500 peças, o Custo total é de 235 mil e 500 reais, ou seja, C(3,5)=235,5
Nessas condições:
a) Qual será o custo total ao se produzir 2 500 peças por dia?
b) Calcule o custo máximo dessa empresa e o total de unidades produzidas para se obter esse
custo?
c) Sabendo–se que, por dia, podem ser produzidas, no máximo 5 mil peças, calcule qual será
a variação total do custo de produção? (considerando o mínimo e máximo de produção
diária)
d) Apresentando o Domínio e a Imagem dessa função, construa o gráfico cartesiano .
....e) Determine a quantidade de unidades que devem ser produzidas diariamente para que o
custo total seja de 247 mil reais?
2. Considere a função F que calcula o Faturamento (Receita) mensal de uma empresa, que
depende do número de unidades vendidas por mês.
F = 300x - 20x² , sendo:
F o Faturamento mensal da empresa, em milhares de reais e x o número de unidades
vendidas por mês, em milhares de unidades. Nessas condições, responda o que se pede:
a) Calcule o Faturamento mensal dessa empresa se forem vendidas 4 mil unidades. E se
forem vendidas 7.500 unidades, que é o número máximo possível ?
b) Qual deve ser a quantidade de unidades vendidas para se ter o Faturamento mensal
máximo possível? E qual é o valor desse Faturamento?
c) Considerando o total de vendas máximo possível, apresente o Domínio e a Imagem dessa
função, bem como construa o gráfico cartesiano apresentando os principais pontos (ponto
inicial, ponto final, ponto de máximo e ponto de mínimo)
d) Se o total de vendas mensais variar entre 4 mil unidades e 7.500 unidades, qual será a
variação do faturamento dessa empresa?
....e) Determine a quantidade de unidades que devem ser vendidas mensalmente para que o o
faturamento atinja um milhão de reais?
3. Seja E = 2t² - 14t + 140 a fórmula que registra e calcula o valor das
exportações (em milhões de dólares) de determinada empresa, em função do tempo (t anos a
partir de 01/06/2013 – momento zero). Considere o período de análise de 01/06/2013 a
01/06/2017.
a) Calcule o valor das Exportações dessa empresa estimado para 01/06/2017.
E em 01/09/2016. (Apresente o valor por extenso).
Por exemplo: 10,5 Bi U$ = 10 bilhões e 500 milhões de dólares.
b) Calcule o valor mínimo das exportações e apresente a data em que esse valor será ( ou
foi ) atingido.
c) Apresente o valor máximo das exportações e a data em que isso ocorreu ( ou ocorrerá).
d) Apresente o Domínio e a Imagem dessa função e construa o gráfico cartesiano
....e) Determine em que momento (data ___/___/____ as exportações dessa empresa atingiram a
126,5 bilhões de dólares?

5. 4. Um estudo sobre a audiência dos telespectadores de um determinado canal de televisão,
no período das (19h às 23 h), indica que o número de telespectadores (T), em milhões de pessoas,
que assistem televisão, depende do horário, a partir das 19 horas ( x = 0) . A regra que faz esse
cálculo é dada por:
T ( x ) = 60 + 5 x - x ² , onde x é o nº de horas após às 19:00h.
Considere as afirmativas abaixo, sabendo que todas estão INCORRETAS. Faça a análise e cálculos
e apresente a devida correção do valor apresentado em Negrito.
I) O número de telespectadores previsto para as 23 horas é de 96 milhões
II) O número de telespectadores previsto para as 20h 15 min é de 64 milhões, 960 mil .
III) A maior audiência registrada ocorre às 21 horas.
IV) E o menor número de telespectadores é registrado às 22 horas?
Nesses itens a seguir execute e responda ao que se pede.
V) Construa o gráfico cartesiano dessa função apresentando os pontos principais (ponto inicial,
ponto final, ponto de máximo e ponto de mínimo)
VI) Em que momento (horário) será registrada uma audiência de 64,56 milhões de telespectadores?
FUNÇÕES QUADRÁTICAS – FUNÇÕES DO 2º GRAU - MATEMÁTICA I -Prof Julio Cezar
PROBLEMAS PROPOSTOS.
1. Uma indústria tem um custo total mensal de produção que é calculado pela fórmula:
C ( x ) = 600 – 120x + 10x²
Sendo C = Custo total mensal (em milhares de reais) e
x = nº de peças produzidas por mês (em milhares de unidades), responda o que se pede:
a) Qual será o custo total mensal para se produzir 6000 unidades por mês?
b) E para se produzirem 2 500 unidades por mês?
c) Qual será Custo mínimo de produção?
d) Sabendo que a produção máxima é de 6 000 unidades por mês, apresente o Domínio e a
Imagem dessa função e construa o gráfico cartesiano , apresentando os pontos mais
importantes desse evento (ponto inicial, final e o ponto de máximo e mínimo)
e) Quantas unidades devem ser produzidas para se ter um custo mensal de 400 mil reais?
2. Sabe-e que o fluxo de passageiros de uma empresa de ônibus (transporte coletivo), em
média, depende do horário do dia. Suponha que esses ônibus saiam da garagem às 10 horas da
manhã e circulam até 15 horas .
Por observações, definiu-se que total de passageiros que utilizam esses ônibus
é calculado pela fórmula: N = 50 + 25h – 5h²
na qual : N é o total de número de passageiros (em milhares de pessoas)
h é o número de horas de realização do transporte no período das 10 às 15 horas.
Assim, por exemplo, às 11 horas, temos h = 1 . Assim, temos 70 mil de passageiros que utilizam
os ônibus nesse horário. Nessas condições responda:
a) Qual é, em média, a quantidade de passageiros , às 15:00 horas? E às 12h30minutos?
b) Qual é a quantidade máxima e mínima de passageiros transportados e em que horários do
dia isso ocorre?
c) Construa o gráfico cartesiano dessa função, apresentando o Domínio e Imagem.
d) Em que momento( horário=horas e minutos do dia) o fluxo de passageiros atinge 50 % do
máximo possível no dia?

6. 3. Certa indústria, após observações na quantidade de sua produção semanal estima
que a quantidade de peças produzidas pode ser calculada por:
Q = 90x – 10x²
onde Q(x) é a quantidade produzida semanalmente (em milhares de unidades e
x é o valor investido em matéria prima (em milhares de reais). Determine:
a) Qual é a produção estimada com R$ 4 500,00 de investimento em matéria prima?
b) Qual é o valor de investimento que se deve fazer para se obter a quantidade de produção
semanal máxima? E qual será essa produção máxima?
c) Sabe-se que o Domínio dessa função é D = 0 ≤ x ≤ 5 . Assim, apresente a Imagem dessa
função e explique o que esses valores representam para essa situação.
d) Construa o gráfico cartesiano dessa função apresentando os principais pontos (ponto
inicial, ponto final, ponto de máximo e ponto de mínimo).
e) Qual é o valor investido em matéria prima para se ter uma produção semanal de 200 mil
unidades?
4. Calcula-se que daqui a um certo tempo (x anos) a população de uma cidade será de
P = 420 + 90t – 10 t² mil habitantes;
onde P é a população e t é o número de meses transcorridos, a partir deste
momento. (hoje: ___/___/2016) (data que estiver realizando o exercício proposto. Assim,
a) Calcule a população dessa cidade daqui a 5 meses. E daqui a 3 semanas ?
b) Sabendo-se que essa fórmula tem eficácia para um período de um ano de análise,
apresente o Domínio e Imagem dessa função e explique o que esses valores representam
para esse evento.
c) Construa o gráfico cartesiano dessa função.
d) Em que momento essa população será 10 % superior a população atual?

7. 3. Certa indústria, após observações na quantidade de sua produção semanal estima
que a quantidade de peças produzidas pode ser calculada por:
Q = 90x – 10x²
onde Q(x) é a quantidade produzida semanalmente (em milhares de unidades e
x é o valor investido em matéria prima (em milhares de reais). Determine:
a) Qual é a produção estimada com R$ 4 500,00 de investimento em matéria prima?
b) Qual é o valor de investimento que se deve fazer para se obter a quantidade de produção
semanal máxima? E qual será essa produção máxima?
c) Sabe-se que o Domínio dessa função é D = 0 ≤ x ≤ 5 . Assim, apresente a Imagem dessa
função e explique o que esses valores representam para essa situação.
d) Construa o gráfico cartesiano dessa função apresentando os principais pontos (ponto
inicial, ponto final, ponto de máximo e ponto de mínimo).
e) Qual é o valor investido em matéria prima para se ter uma produção semanal de 200 mil
unidades?
4. Calcula-se que daqui a um certo tempo (x anos) a população de uma cidade será de
P = 420 + 90t – 10 t² mil habitantes;
onde P é a população e t é o número de meses transcorridos, a partir deste
momento. (hoje: ___/___/2016) (data que estiver realizando o exercício proposto. Assim,
a) Calcule a população dessa cidade daqui a 5 meses. E daqui a 3 semanas ?
b) Sabendo-se que essa fórmula tem eficácia para um período de um ano de análise,
apresente o Domínio e Imagem dessa função e explique o que esses valores representam
para esse evento.
c) Construa o gráfico cartesiano dessa função.
d) Em que momento essa população será 10 % superior a população atual?