Este documento apresenta 17 exercícios sobre funções de duas variáveis. Os exercícios abordam tópicos como determinação de domínio, derivadas parciais, equações de Laplace, funções harmônicas e resistores elétricos em paralelo.

1. Cálculo de Funções de Duas Variáveis
Prof. Claud Wagner
Lista1 (domínio, curvas de nível e derivadas parciais)
1. Determine e esboce o domínio das funções abaixo:
a) 2 2
2
( , )
16
f x y
x y
b) ( , )
2 8
x
f x y
x y
c) 2
( , )
1
x
f x y
y x
d) 2 2
( , ) 25f x y x y
e) 2 2
( , ) 1f x y x y f) ( , ) 1f x y x y
g) 2 2
( , ) 2 18 72f x y x y h) 2
( , ) 9f x y x y
i)
2 2
1
( , )
1
f x y
x y
j)
2 2
1
( , )
3
f x y
x y
k)
1
( , )
4 2
f x y
x y
l)
2 2
1
( , )
4 4
f x y
x y
m)
2
1
( , )
9
f x y
x y
n)
23
4
( , )
1
f x y
x y
o) 2 2
( , ) ln( 9)f x y x y p) 2 2
( , ) ln( 9 16 144)f x y x y
2. Faça o mapa de contorno das funções abaixo mostrando várias curvas de nível.
a) 2 2
( , )f x y x y b) 2 2
( , ) 2 3f x y x y
c) 2 2
( , )f x y x y d) ( , ) 2f x y x y
e) ( , )f x y xy f) ( , )
x
f x y
y
g) 2
( , )f x y x y h) 2 2
( , )f x y x y
i) 2 2
1
( , )f x y
x y
j) ( , )
1
y
f x y
x
k) 2 2
( , ) 2 5f x y x y l) 2
( , ) 2f x y x y

2. 3. As funções ,
2
x y
f x y e ( , )g x y xy calculam, respectivamente, a
média aritmética e a média geométrica dos números x e y. Determine:
a) A média aritmética e a média geométrica dos números 8e 2x y .
b) Os valores de x e y para os quais a média geométrica é igual a média
aritmética.
c) O domínio da função f. Faça um esboço.
d) O domínio da função g. Faça um esboço.
4. Uma empresa que aluga carros cobra R$40,00 por dia e 15 centavos por
quilômetros rodado.
a) Obtenha uma fórmula para o custo, C, do aluguel como função do número de
dias, d, e o número de quilômetros, q.
b) Calcule (5,300)C e interprete o resultado.
5. Em 1928 Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual
modelavam o crescimento da economia americana durante o período 1899-1922.
Eles consideravam uma visão simplificada onde a produção é determinada pela
quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de
existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo
provou-se impressionante razoável. A função utilizada para modelar a produção
era da forma 0,75 0,25
( , ) 1,01P T C T C , onde P é a produção total (valor
monetário dos bens produzidos no ano), T é a quantidade de trabalho (número
total de pessoas-hora trabalhadas em um ano) e C é a quantidade de capital
investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
a) Determine o domínio da função P. Faça um esboço.
b) Em 1920, os valores da produção, do trabalho e do capital, de acordo com
dados econômicos divulgados pelo governo americano, foram
respectivamente, 231,194 e 407 em unidades apropriadas. Utilize a função
de Cobb e Douglas para calcular a produção em 1920 e compare com o seu
valor real.
c) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investido forem
dobrados?
d) O que acontece com a produção se o trabalho e o capital investido forem
multiplicados por um número positivo k ?

3. 6. Quando injetamos um medicamento em um tecido musculoso, ele se espalha na
corrente sanguínea. A concentração do medicamento no sangue aumenta até
atingir um máximo, e depois decresce. A concentração C ( em mg por litro ) do
medicamento no sangue é uma função de duas variáveis: q, a quantidade ( em
mg ) do medicamento injetado, e t, o número de horas desde que a injeção foi
administrada. A concentração pode ser modelada pela seguinte fórmula
(5 )
( , ) para 0 4 e t 0t q
C q t te q .
a) Faça um esboço do domínio dessa função
b) Calcule a concentração 2 horas e 30 minutos após a injeção de 2,4mg do
medicamento.
c) Supondo que sejam injetados 4mg do medicamento, determine após quantas
horas o medicamento atinge a concentração máxima. Qual é a concentração
máxima? Faça um esboço do gráfico da concentração em função do tempo.
7. Nos exercícios abaixo, encontre
f
x
e
f
y
.
a) 3
( , ) 2 3 4f x y x y
b) 4 4 2 6
( , ) 3 5f x y x y x y
c) 2 2
( , )f x y x xy y
d) 2 2
( , ) 5 7 3 6f x y xy x y x y
e) 2
( , ) ( 1)f x y xy
f) 3
( , ) (2 3 )f x y x y
g) 2 2
( , )f x y x y
h)
1
( , )f x y
x y
i) 2 2
( , )
x
f x y
x y
j) ( , )
1
x y
f x y
xy
k) ( , ) sen cosf x y x y
l) ( , ) sen 2 3f x y x y
m) ( , ) ln(3 5 )f x y x y
n) 2
( , ) xy
f x y x e

4. 8. O Índice de Massa Corporal (IMC) é um índice do peso de uma pessoa em
relação à sua altura. Se uma pessoa tem massa m, em quilogramas, e altura h,
em metros, então 2
( , )
m
IMC f m h
h
. Com o resultado do cálculo do IMC e
por meio da tabela abaixo da Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade
você pode saber como está seu índice.
a) Calcule o seu índice e veja em que faixa você se encaixa.
b) Calcule
f
m
e
f
h
.
c) Qual é a altura de uma pessoa que pesa 80 kg e tem IMC igual a 23?
d) Calcule (70;1,7)
f
m
e interprete.
9. A fórmula de Dubois relaciona a área superficial de uma pessoa, S, em 2
m , para
o peso, w, em kg e a altura, h, em cm, por 0,25 0,75
( , ) 0,01S w h w h . Calcule:
a) (70,180)S
b)
S
w
e
S
h
c) (70,180)
S
w
. Interprete esse resultado
10. Considere que uma carga pontual de 10 C seja colocada na origem de um
sistema de coordenadas cartesianas e que uma segunda carga q positiva seja
colocada no ponto ( ,0)x , 0x . Se F é o módulo da força de atração entre as
cargas, determine:
a) ( , )F x q
b)
F
x
e
F
q
c)
F
x
quando 20q C e 0,1mx . Interprete esse resultado
d)
F
q
quando 20q C e 0,1mx . Interprete esse resultado
Cálculo IMC Situação
Abaixo de 18,5 Você está abaixo do peso ideal
Entre 18,5 e 24,9 Parabéns — você está em seu peso normal!
Entre 25,0 e 29,9 Você está acima de seu peso (sobrepeso)
Entre 30,0 e 34,9 Obesidade grau I
Entre 35,0 e 39,9 Obesidade grau II
40,0 e acima Obesidade grau III

5. 11. Considere que uma carga pontual de 20 C seja colocada na origem de um
sistema de coordenadas cartesianas e que uma segunda carga q positiva seja
colocada no ponto ( ,0)x , 0x . Se F é o módulo da força de atração entre as
cargas, julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F)
a) ( )
3
2
9.10 .
( , )
q
F x q
x
b) ( )
4
3
1,8.10 .F q
x x
c) ( )
3
2
9.10F
q x
d) ( ) Quando 2q C e 2
10 mx , tem-se 4
3,6.10
F
N m
x
e) ( )
2 2 4
2 2 4
5,4.10 .F F q
q x x
f) ( )
2 4
3
1,8.10f
q x x
12. De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P newtons por
metro quadrados for a pressão, V metros cúbicos for o volume e T graus for a
temperatura, teremos a fórmula PV kT onde k é uma constante de
proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja
100 3
m e que a temperatura seja 90º e 8k .
a) Ache a pressão no recipiente
b) Ache a taxa de variação de P por unidade de variação de T se V permanecer
fixo em 100 3
m .
c) Use o resultado da parte (b) para aproximar a pressão se a temperatura for
aumentada para 92º e compare com o seu valor real.
d) Ache a taxa de variação de V por unidade de variação em P se T permanecer
fixa em 90º.
13. Consideremos uma pequena editora, com N funcionários e cujos equipamentos
valem V (em unidades de R$ 25.000). Seja P a produção medida em milhares de
páginas por dia. Suponha que a função de produção da companhia seja
0,6 0,4
( , ) 2P N V N V .
a) Qual a produção da empresa se ela tem 100 funcionários e 200 unidades de
equipamento?
b) Calcule (100,200) e (100,200)
P P
N V
. Interprete suas respostas em termos
de produção.

6. 14. Nos exercícios abaixo, encontre
2
2
f
x
,
2
2
f
y
e
2
f
x y
a) 2 3 4
( , ) 2f x y x y x y
b)
2
3
( , )
x
f x y
y
c) ( , )
1
xy
f x y
y
15. A equação
2 2
2 2
0
f f
x y
é chamada equação de Laplace em homenagem a
Pierre Laplace (1749-1827). Soluções dessas equações são chamadas de
funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor,
escoamento de fluidos e potencial elétrico. Com base nessas informações,
determine se as funções abaixo são harmônicas.
a) ( , ) senx
f x y e y
b) 3 2
( , ) 3f x y x xy
c) ( , ) sen .cosf x y x y
16. Prove que se 0a b , então a função 2 2
,f x y ax by c é harmônica.
17. Suponha que dois resistores elétricos de r ohms e s ohms sejam colocados em
paralelo para formar um resistor equivalente de R ohm. Determine:
a) ( , )R r s
b) (8,2)R
c)
R
r
,
R
s
,
2
2
R
r
,
2
2
R
s
e
2
R
r s