O documento descreve como resolver equações do segundo grau incompletas, quando um ou mais dos coeficientes são iguais a zero. Existem dois casos: quando b=0, a raiz é encontrada dividindo c por a; quando c=0, uma raiz é sempre 0 e a outra é -b/a. Exemplos ilustram como encontrar as raízes passo a passo.

1. Função do 𝟐º 𝑮𝒓𝒂𝒖
Forma geral de uma função do 2º grau
𝒇(𝒙) = 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 + 𝒄
Onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números
Função do 𝟐º 𝑮𝒓𝒂𝒖 Incompleta
A função de segundo grau pode ser classificada como incompleta se um dos coeficientes b e/ou c, forem iguais
a 0 (zero).
Exemplos: 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 2 −> 𝑎 = 2, 𝑏 = 0 e 𝑐 = 2
𝑓(𝑥) = −𝑥2
− 8𝑥 −> 𝑎 = −1, 𝑏 = −8 e 𝑐 = 0
𝑓(𝑥) = 5𝑥² −> 𝑎 = 5, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0
Observe o esquema para determinação das raízes ou zeros das funções de segundo grau incompletas.
𝒇(𝒙) = 𝒂𝑥2
+ 𝒄 (𝒃 = 𝟎) ⇒ 𝒇(𝒙) = 𝟎 ⇒ 𝒂𝑥2
+ 𝒄 = 𝟎
𝒇(𝒙) = 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 (𝒄 = 𝟎) ⇒ 𝒇(𝒙) = 𝟎 ⇒ 𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 = 0
Temos, então, que resolver as equações incompletas do 2º 𝐺𝑟𝑎𝑢.
Vamos verificar alguns métodos de resolução de equações incompletas.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS EM ℝ.
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem
as equações incompletas do 2º grau:
1º CASO: 𝒃 = 𝟎
A forma mais indicada para resolver essa equação é levar o coeficiente 𝒄 para o segundo
membro e, em seguida, dividir esse valor pelo coeficiente 𝒂, o que resultará em uma
equação da seguinte forma.
𝒙𝟐
=
− 𝒄
𝒂
Podemos ainda extrair a raiz quadrada de ambos os
lados, ficando com:
𝒙 = √
−𝒄
𝒂
Exemplos:
Resolver as seguintes equações, sendo 𝑈 = ℝ:
1) x2 – 9 = 0
x2 = 9 passando – 9 para o 2º membro, trocando o sinal.
x =  √9
x =  3 Logo: S = {- 3, + 3}
− 𝟑 e + 𝟑 também podem ser chamados raízes da equação ou da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟗
2) 4x2 – 100= 0
4x2 = 100 passando – 100 para o 2º membro, trocando o sinal.
x2 =
100
4
passando o 4 para o 2º membro, dividindo.
x2 = 25
x =  √25
x =  5 Logo: S = {- 5, + 5 }
− 𝟓 e + 𝟓 também podem ser chamados raízes da equação ou da função 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝟎
𝒂𝑥2
+ 𝒄 = 𝟎
RECORDANDO!

2. 3) 7x2 – 14 = 0
7x2 = 14 passando – 14 para o 2º membro, trocando o sinal.
x2 =
14
7
passando o 7 para o 2º membro, dividindo.
x2 = 2
x =  √2 Logo: S = { – √2,+ √2 }
− √𝟐 e + √𝟐 também podem ser chamados raízes da equação ou da
função 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙𝟐
− 𝟏𝟒
4) 4x2 – 25= 0
4x2 = 25 passando – 25 para o 2º membro, trocando o sinal.
x2 =
25
4
passando o 4 para o 2º membro, dividindo.
x =  √
25
4
x = 
5
2
Logo: S = {−
5
2
, +
5
2
}
−
𝟓
𝟐
e +
𝟓
𝟐
também podem ser chamados raízes da equação ou da função 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓
5) x2 + 16 = 0
x2 = – 16 passando +16 para o 2º membro, trocando o sinal.
x =  √− 16 = nenhum real, pois (𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒓𝒆𝒂𝒍)2
= − 16 → não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte em um nº negativo.
Logo: 𝑆 = ∅ (−4)2
= +16 (+4)2
= +16
A função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 não tem raiz real.
2º CASO: 𝒄 = 𝟎
Nesse caso, podemos colocar o fator 𝒙 em evidência, da seguinte forma:
𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 = 0
Fatorando → 𝑥 . (𝒂𝑥 + 𝒃) = 0
Temos então uma multiplicação que resulta em zero, mas isso só é possível se um dos fatores for zero.
1ª opção: 𝒙 = 𝟎
2 ª opção: 𝒂𝑥 + 𝒃 = 𝟎
Na 1ª opção, não resta fazer nada, pois já temos declarado que um dos valores de 𝒙 será zero.
Dessa forma, precisamos apenas desenvolver a 2ª opção:
𝒂𝑥 + 𝒃 = 𝟎
𝒂𝑥 = −𝒃
𝑥 = −
𝒃
𝒂
Exemplos:
Resolver as seguintes equações, sendo 𝑈 = ℝ:
1) x² + 2x = 0
Colocando o x em evidência, temos:
x . (x + 2) = 0
x = 0
x + 2 = 0
x = – 2
Logo: S = { -2, 0 }
− 𝟐 e 𝟎 também podem ser chamados raízes da equação ou da
função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙
𝒂𝑥2
+ 𝒃𝑥 = 0
Para que um produto seja nulo é
preciso que um dos fatores seja zero.
𝒂 . 𝒃 = 𝟎, então:
𝒂 = 𝟎
ou
𝒃 = 𝟎
Observe que, nesse caso, uma das
raízes é sempre 0 (zero).
O conjunto solução é formado por
números opostos ou simétricos
Lembre-se:
O oposto ou simétrico de −5 é o +5.
O oposto ou simétrico de √2 é −√2.
O conjunto solução é formado por
números simétricos.

3. 2) 4x² – 5x = 0
Colocando o x em evidência, temos:
x . (4x – 5) = 0
x = 0
4x – 5 = 0
4x = 5
x=
5
4
Logo: S = {0,
5
4
}
𝟎 e
𝟓
𝟒
também podem ser chamados raízes da equação ou da função 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐
− 𝟓𝒙
3) 3x² + 6x = 0
Colocando o x em evidência, temos:
3x . (x + 2) = 0
3x = 0 ⇒ x =
0
3
⇒ x = 0
x + 2 = 0
x = -2
Logo: S = { -2, 0 }
− 𝟐 e 𝟎 também podem ser chamados raízes da equação ou da função 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙
4) 8x² + 2x = 0
Devemos identificar os termos comuns (maior número que divide o 2 e o 8 e a letra com o menor expoente), neste caso 2x:
÷ ÷
. ( 𝟒𝒙 + 𝟏
⏟
𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔
𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔ã𝒐
) = 0
2x = 0 ⇒ x =
0
2
⇒ x = 0
4x + 1 = 0
4x = -1
x= −
1
4
Logo: S = {−
1
4
, 0}
−
𝟏
𝟒
e 𝟎 também podem ser chamados raízes da equação ou da função 𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙
Exemplos:
Determine as raízes ou zeros das funções:
a) f(x) = x2 - 169
x2 – 169 = 0
x2 = 169
x =  √169
x =  13
− 13 e + 13 são as raízes ou zeros da função da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 169
b) f(x) = x2 + 12x
x2 + 12x = 0 x = 0
Fatorando: x(x + 12) = 0 ou
x + 12 = 0  x = - 12
− 12 e 0 são as raízes ou zeros da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 12𝑥
Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙² + 𝒄, podemos determinar sua raiz considerando 𝒇(𝒙) = 𝟎, dessa forma
obtemos a equação do 2º grau 𝒂𝒙² + 𝒄 = 𝟎.
Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙, podemos determinar sua raiz considerando 𝒇(𝒙) = 𝟎, dessa forma
obtemos a equação do 2º grau 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 = 𝟎.