O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas. A questão 1 envolve operações algébricas com funções. A questão 2 calcula f(g(x)) para uma função composta e encontra suas raízes. A questão 3 calcula valores de uma função polinomial em diferentes pontos.

1. TD 03 - Matemática II – GABARITO
1)
3
1
1342241))(())(()
42)21.(2)21())((
241)2(21)2())((
)






kkkxkxxfgxgfii
kxkxxgxfg
kxkxkxfxgf
i
2) f(g(x)) = f(x – 1) = (x – 1 )2 – 2(x - 1)
f(g(x)) = x2 – 2x +1 – 2x + 2 = x2 – 4x +3
f(g(x)) = (x – 3).(x – 1). Esse produto é nulo se x= 3 ou x = 1.
Calculando f(g(0)) = 1. Observando os gráficos o que representa esse ponto (0,1) coma concavidade para cima (a > 0) e
as raízes no eixo positivo é o da letra (a).
3) C
i) f(1) = (1)2 – 5(1) + 6 = 1 – 5 +6 = 2
ii) f(2) = (2)2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
iii) f(0) = (0)2 – 5(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6
iv) f(g(2)) = f[2(2) + 1)] = f(4 + 1) = f(5) = (5)2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6
2)(0)(2
6
0
6
)(2
)0(
)2(
)]2([
)()1(




xgxg
xg
f
f
gf
xgf
4) Pelo gráfico temos que:
i) f(1) = 3
ii) f(f(1)) = f(3) = 5. O valor de f(5) deverá ser calculado na reta.
iii) Pelos pontos da reta y = ax + b, temos:
5 = 3a + b e 0 = 6a + b. Logo, a = -b/6.
Substituindo na 1ª: 5 = 3(-b/6) + b. Logo, b = 10.
A reta é: bxy 


6
10
.
5) Escrevendo a expressão para f(x), vem: f(x) = 2.f(2x+1) + 5. Como a única indicação é f(31) = 0, procuramos
escrever 31 como (2x + 1). Isso é possível com31 = 2.(15) + 1. Logo x = 15. Seguindo esse raciocínio, temos:
i) f(15) = 2.f(2.15 + 1) + 5 = 2.f(31) + 5 = 5. (Lembre que f(31) = 0). Mas, 15 = 2.(7) + 1.
ii) f(7) = 2.f(2.7 + 1) + 5 = 2.f(15) + 5 = 2.(5) + 5 = 15. (Lembre que f(15) = 5). Mas, 7 = 2.(3) + 1.
iii) f(3) = 2.f(2.3 + 1) + 5 = 2.f(7) + 5 = 2.(15) + 5 = 35. (Lembre que f(7) = 15). Mas, 3 = 2.(1) + 1.
iv) f(1) = 2.f(2.1 + 1) + 5 = 2.f(3) + 5 = 2.(35) + 5 = 75. (Lembre que f(3) = 35). Mas, 1 = 2.(0) + 1.
Finalmente, vem o cálculo pedido:
f(0) = 2.f(2.0 + 1) + 5 = 2.f(1) + 5 = 2.(75) + 5 = 155. (Lembre que f(1) = 75).

2. 6) 4
6
)(
2


m
mf
4
228
4
6)4(
)4(
22




mmm
mf
2
8
16
8
622
2286
4
228
4
6
)4()( 22
22






 mmmm
mmm
mfmf
7)
a) (1)f go = f(1 + 1) = f(2) = (2)2 – 2 (2) = 4 – 4 = 0.
b) (2)g fo = g[(2)2 – 2(2)] = g(4 – 4) = g(0) = 0 + 1 = 1.
c) ( ( (4)))f g f = f(g[(4)2 – 2(4)] = f(g(16 – 8)) = f(g(8)) = f(8 + 1) = f(9) = (9)2 – 2(9) = 81 – 18 = 63.
d) ( ( 1))f f  = f[(-1)2 – 2(- 1)] = f(1 + 2) = f(3) = (3)2 – 2(3) = 9 – 6 = 3.
8) E
Basta analisar o gráfico e ler as coordenadas.
i) f(2) = - 3 (observe que a ordenada y = 3 não pertence)
ii) f(f(2)) = f(- 3) = 1.
9) C
Pelo diagrama B, temos que f(x) = 2x + 1. E pelo C, g(f(x)) = 6x + 5.
i) Se t = 2x + 1, x = (t – 1)/2
ii) g(f(x)) = g(2x + 1) = g(t) = 5
2
1
.6 
t
Logo, g(t) = 3t – 3 + 5 = 3t +2.
10) B