Aula sobre vetores - física 1

1. Introdução à Física I
Tema 1: Ferramentas matemáticas
para o estudo de Física
Noção de integral de uma função
Propriedades de integração
Tabela de integrais (Exempos de cálculo)
Grandezas físicas escalares e vectorias)
2019-02-25 1

2. 1.1 Noção de integral de uma função
• Definidas as funções f(x) e F(x) no intevalo x ∈ [a, b]
e F(x) diferenciável em todos os pontos [a b], se
para ∀ x ∈ [a, b],
= , diz-se que F(x) é primitiva de f(x).
Para a função f dependente de x, define-se diferencial
de f a expressão:
=
2019-02-25 2

3. Integral como operação inversa da
diferenciação
• Integrar uma função f(x) é realizar a operação
inversa da diferenciação (derivada) de F(x), ou seja,
procurar uma função F(x), tal que a sua derivada é
igual a função a integrar.
Procuremos as primitivas das seguintes funções:
= cos e =
= cos ⇒ = sin
= ⇒ =
2019-02-25 3

4. Relação diferencial entre primitiva e sua
função
• Para a função F(x), primitiva de f(x) é válida
arelação diferencial:
=
Se F(x) é primitiva da função f(x), para ∀ constante C,
a soma desta constante com F(x), é também primitiva
de f(x);
∀Primitiva de f(x), chama-se de integral indefinida de
f(x), e representa-se por
= +
2019-02-25 4

5. Integral como soma especial
• Espectro discreto (Ai) : Existindo várias entiadades
semelhantes, para calcular o número total dessas
entidades (por exemplo áreas), procede-se a soma
∑ ou ∑
;
• Espectro contínuo (dA): para função contínua
f(x)num determinado segmento [a,b], =
e =
2019-02-25 5

6. 2019-02-25 6
Integral definida
• Nalguns casos são colocadas as condições inicias
do problema de tal maneira que a const C fica
conhecida. Nestes casos utiliza-se a integral
definida (fórmula Newton-Leibz):
= /
Nota: veja exemplos adiante (exemplos 5, 6 e 7)!

7. Propriedades de integração
1. # = # ; # = $%'(
2. ± + = ± +
3. -
= -./
4. ± # =
5. # = #
2019-02-25 7

8. Tabela de integrais básicas
1. -
=
234
-5/
+ ; n ≠ −1
2.
/
= 9 + ;
3.
=
:
;-
+ ;
4.
=
+ ;
5. sin = − cos +
6. cos = sin +
2019-02-25 8

9. Tabela de integrais básicas_cont
7.
/
?@A
= tan +
8.
/
@DEA
= −Ctan +
9.
/
/5A = G$tan +
10.
/
/.A
= G$ sin +
11.
/
A5H
= 9 + + I , I = $%'(
2019-02-25 9

10. Exemplos de cálculo de integrais
• Ex1: 3 + = 3
+
A
+
• Ex2:
/
5J
=
5J
5J
= 9 + 5 +
• Ex3:
cos 3 = cos 3
/
+3 =
/
sin 3 +
• Ex4:
A5/
=
/
A5/
= 9 + 1 +
2019-02-25 10

11. Exemplos de aplicação de integrais
• Ex5: Uma partícula move-se ao longo de uma linha
recta com aceleração que varia com o tempo de
acordo com a expressão = 4 − ( , onde a é a
aceleração expressa em m/s2 e t, o tempo expresso
em segundos. Obtenha as expressões para a
velocidade e a posição, sabendo que no instante t =
3, a velocidade é v = 2 m/s e x = 9 m.
Resp: K ( = −
+ 4( − 1 M/' e
( = −
(N
12
+ 2( − ( +
3
4
M
2019-02-25 11

12. • Ex 6: A aceleração de um corpo em movimento
rectilíneo é dada por = −#K, onde k = constante.
Para o instante t = 0 s, v = v0. Obtenha a expressão
da velocidade em função do tempo.
Resp: K ( =
OP
/.QOPR
Ex 7: Um corpo move-se ao longo de uma recta. A sua
aceleração é dada no S.I. por a = -2x , onde x está em
metros e a em m/s2.Obter a relação entre a
velocidade e distância sabendo que para x = 0 , a
velocidade é v= 4 m/s.
Resp: K = 16 − 2
2019-02-25 12

13. 1.2 Grandezas físicas escalares e vectoriais
• Escalares: grandezas cuja informação fica completa
quando dado o valor numerico e a respectiva
unidade (massa, tempo, distancia percorrida, área,
volume, pressão, etc).
• Vectoriais: grandezas cuja informação fica completa,
quando para além do valor numérico e unidade, é
indicadaa direcçãoe sentido (velocidade, força,
quantidade de movimento, etc). Vectores
caracterizam-se por ter orgem e extremidade,
módulo, direcção e sentido.
2019-02-25 13

14. Componentes de um vector
• Todo o vector pode ser projectado nos eixos de
coordenadas de modo a encontrar as suas
componentes x, y e z [no plano (X,Y)ou no espaço
tri-dimensional(X,Y,Z)].
2019-02-25 14

15. • As componentes do vector são expressas,
respectivamente, no plano e no espaço do seguinte
modo:
=
S cos T ; U =
S sin T
Ou
V
=
S cos T sin W
U =
S sin T sin W
X = cos W
Conhecidas as componentes, o módulo determina-se
por
S = + U + X; az = 0 no plano
2019-02-25 15

16. • Importa referir que para um mesmo vector,
mudando o sistema de referencia, variam os valores
das componntes, mas o módulo do vector mantem-
se igual em ambos os sitemas (veja o caso do plano,
para simplificar):
•
S = + U = Y
+ Y
U.
2019-02-25 16

17. Vectores unitários (versores)
• Qualquer vector pode ser expresso através de suas
componentes e vectores unitários (Z
S, [
S e #):
S = Z
S + U[
S + X#
Para qualquer vector podemos expressar o vector
unitário (versor) relacionado com aqule vector:
=
S
S
2019-02-25 17

18. Operações sobre vectores
• Soma de vectores (método analítico e
geométrico)
• Multiplicação de vector por escalar
• Multiplição de vector por vector (produto
escalar e produto vectorial)
Soma de vectores: dados dois vectores
S e ,
2019-02-25 18

19. Método analítico
• Dados dois vectores
S e de forma analítica, o
vector soma $
S será dado por:
$
S = + Z
S + U + U [
S + X + X #
Sendo a diferençã de vectores a soma de um vector
com o oposto do segundo, o vector
S =
S − =
− Z
S + U − U [
S + X − X #
2019-02-25 19

20. Método geométrico
2019-02-25 20

21. Multiplicação de vector por escalar
• Multiplicando vector com escalar (
SZ) ,
obtem-se um vector ( )paralelo ao vector
originário e que obedece as seguintes
condições:
S se ^ 1;
S se ^ 1;
S e tem sentidos opostos se Z 0
S^ = Z Z
S + ZU [
S + ZX #
2019-02-25 21

22. Multiplicação de vector por
vector_produto escalar
• O produto escalar de
S e , (
S ∙ ), é um número
definido por:
S ∙ =
S ∙ ∙ cos T; T = ∠
S
S ∙ = + UU + XX;
Comparando as duas expressões, conclui-se que:
cos T =
::5 bb5 cc
∙
S ∙ = 0 , condição de perpendicularidade
2019-02-25 22

23. Multiplicação de vector por
vector_produto escalar
• O produto vectorial de
S e , (
S e ), é um terceiro
vector $
S definido por:
S e =
S ∙ sin T ∙ ; onde -vector unitário ⊥
ao plano formado por
S e ; T – é o menor ângulo
entre
S e .
S e = − e
S
2019-02-25 23

24. S e = 0 − condição de paralelismo
Analiticamente, o produto vectorial corresponde à:
S e = UX − XU Z
S − X − X [
S +
U − U # ou
S e =
Z
S [
S #
U X
U X
Geometricamente, o módulo do produto vectorial
equivale à área do paralelogramo formado na base
dos dois vectores.
2019-02-25 24

25. Produto misto
• O produto misto (escalar-vectorial) é um
escalar cujo módulo equivale ao volume do
paralelepípedo formado na base dos três
vectores:
S ∙ e $
S = ∙ $
S e
S = $
S ∙
S e
2019-02-25 25

26. Produto vectorial duplo
•
S e e $
S = e
S ∙ $
S − $
S e ∙ $
S
2019-02-25 26