1) O exercício calcula a integral dupla de uma função sobre uma região limitada no primeiro quadrante. A mudança de variáveis transforma a região em um retângulo no novo sistema de coordenadas.
2) A solução usa mudança de variáveis para transformar a integral dupla em uma integral simples em coordenadas polares.
3) A região é descrita em coordenadas polares e a integral é calculada nesse sistema.
1) O documento apresenta a resolução de seis exercícios de cálculo que envolvem o cálculo de integrais duplas e triplas em diferentes regiões. 2) No primeiro exercício, é calculada uma integral dupla sobre uma região limitada por curvas, obtendo-se uma expressão analítica para o valor da integral. 3) Nos demais exercícios, são calculados valores numéricos de integrais ou expressas integrais em diferentes coordenadas.
1) Cálculo de três integrais duplas em diferentes regiões de integração.
2) Resolução das integrais envolvendo mudança na ordem de integração e descrição geométrica das regiões.
3) Exercício sobre esboço das regiões de integração e troca na ordem de integração em quatro casos.
1) Cálculo de três integrais duplas em diferentes regiões de integração.
2) Resolução das integrais envolvendo mudança na ordem de integração e descrição geométrica das regiões.
3) Exercício sobre troca da ordem de integração em quatro regiões diferentes.
O documento apresenta 6 exercícios de cálculo envolvendo o cálculo de trabalho realizado por campos de força em diferentes curvas planas e superfícies. As soluções envolvem a parametrização das curvas, cálculo de derivadas e integrais de linha.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
Este documento fornece 7 exemplos resolvidos de como encontrar a equação da reta tangente a uma curva ou função em um ponto específico. A fórmula geral para a equação da tangente é apresentada e aplicada nos exemplos, que variam de parábolas, funções polinomiais e curvas implícitas.
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
1) O documento apresenta a resolução de seis exercícios de cálculo que envolvem o cálculo de integrais duplas e triplas em diferentes regiões. 2) No primeiro exercício, é calculada uma integral dupla sobre uma região limitada por curvas, obtendo-se uma expressão analítica para o valor da integral. 3) Nos demais exercícios, são calculados valores numéricos de integrais ou expressas integrais em diferentes coordenadas.
1) Cálculo de três integrais duplas em diferentes regiões de integração.
2) Resolução das integrais envolvendo mudança na ordem de integração e descrição geométrica das regiões.
3) Exercício sobre esboço das regiões de integração e troca na ordem de integração em quatro casos.
1) Cálculo de três integrais duplas em diferentes regiões de integração.
2) Resolução das integrais envolvendo mudança na ordem de integração e descrição geométrica das regiões.
3) Exercício sobre troca da ordem de integração em quatro regiões diferentes.
O documento apresenta 6 exercícios de cálculo envolvendo o cálculo de trabalho realizado por campos de força em diferentes curvas planas e superfícies. As soluções envolvem a parametrização das curvas, cálculo de derivadas e integrais de linha.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
Este documento fornece 7 exemplos resolvidos de como encontrar a equação da reta tangente a uma curva ou função em um ponto específico. A fórmula geral para a equação da tangente é apresentada e aplicada nos exemplos, que variam de parábolas, funções polinomiais e curvas implícitas.
1) O documento apresenta 6 exercícios de cálculo sobre cálculo de áreas, volumes e momentos de inércia de superfícies geométricas como cilindros, cones e esferas.
2) Nas soluções, são utilizadas técnicas de parametrização de superfícies, mudança de variáveis e integrais duplas para resolver as questões propostas.
3) Diversos gráficos e figuras geométricas são apresentadas para auxiliar na visualização e compreensão dos problemas.
O documento apresenta exemplos de resolução de equações diferenciais exatas. Primeiramente, define o que é uma equação diferencial exata e como encontrá-la. Em seguida, resolve exemplos ilustrando o processo de determinar se uma equação é exata e, caso seja, encontrar sua solução. Por fim, propõe exercícios para o aluno praticar.
1) O exercício calcula o centro de massa de uma chapa triangular homogênea.
2) Também calcula a massa, centro de massa e momento de inércia de uma lâmina com forma irregular e densidade variável.
3) Mostra que o momento de inércia de um disco circular em relação a um diâmetro é igual a sua massa vezes o raio ao quadrado dividido por 4.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento apresenta informações sobre funções polinomiais do 1o grau e suas características gráficas. Em menos de 3 frases:
O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como y=ax+b e apresentando suas formas gráficas de acordo com os valores de a, podendo ser crescentes ou decrescentes. Além disso, aborda conceitos como raiz, domínio e imagem dessas funções.
Este documento fornece exemplos resolvidos de equações de retas normais a curvas. Explica que a equação da reta normal é semelhante à equação da reta tangente, exceto que o coeficiente angular da reta normal é o oposto do inverso da reta tangente. Fornece dois exemplos, encontrando a equação da reta normal a uma função e mostrando que duas curvas se interceptam em ângulo reto em um ponto.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo com soluções detalhadas. O primeiro exercício pede para esboçar um sólido e escrever integrais iteradas equivalentes. Os demais exercícios calculam volumes e massas de sólidos usando integrais triplos.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1) O exercício 1 calcula o valor da integral independente do caminho I ao longo de uma curva fechada C dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t).
2) O exercício 2 calcula o valor da integral I ao longo de uma curva γ(t) = (t2, (t - 1)(t - 3), πt3) entre 0 e 1, usando o fato de que o campo é conservativo.
3) O exercício 3 calcula o valor da integral ao longo de uma curva fechada C, usando o Teorema de Green
1) O exercício calcula várias integrais de linha e de superfície usando o Teorema de Stokes.
2) É analisada a interseção de superfícies geométricas como esferas, cilindros e planos.
3) São calculadas circulações em curvas obtidas a partir dessa interseção e trabalhos realizados por campos de força.
O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoDiego Oliveira
1) O documento apresenta 9 exemplos resolvidos de problemas de máximos e mínimos utilizando cálculo.
2) Os exemplos envolvem encontrar áreas, volumes e distâncias máximas dadas certas restrições e funções objetivo.
3) As soluções utilizam derivadas de primeira e segunda ordem, testes de pontos críticos e análise de gráficos para localizar extremos.
Resolução I - Polinômios e números complexosFeefelipeeRS
1) O documento apresenta resumos comentados de questões sobre polinômios e números complexos de uma lista.
2) São abordados tópicos como demonstração de igualdade entre polinômios, determinação de raízes, resolução de sistemas lineares, aplicação do algoritmo de Briot-Ruffini, entre outros.
3) Cita teoremas como o fundamental da álgebra e das raízes complexas para auxiliar na resolução dos exercícios.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
1) O exercício 1 calcula o fluxo de um campo vetorial através de duas superfícies: um cilindro e uma esfera.
2) O exercício 2 calcula o fluxo de um campo vetorial através de uma meia-esfera superior.
3) O exercício 3 calcula o fluxo de um campo constante negativo no z através de parte de uma esfera.
O documento apresenta exercícios sobre curvas paramétricas, integral de linha e o teorema de Green no plano. Nos exercícios 4.1A-E são pedidos para esboçar gráficos de curvas paramétricas e verificar se são regulares. O exercício 4.1F calcula o comprimento de uma hélice. Os exercícios 4.2A-N calculam diferentes integrais de linha usando parametrizações de curvas ou o teorema de Green.
1. O documento descreve o método de integração por substituição trigonométrica, que pode ser usado para calcular integrais contendo radiciais.
2. Dois exemplos são dados para ilustrar o método, mostrando como substituir variáveis para eliminar radicais usando funções trigonométricas antes de integrar.
3. As etapas incluem substituir a variável original por funções trigonométricas, integrar em termos da nova variável, e substituir de volta para a variável original ao calcular a integral definida.
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoDiego Oliveira
Este documento explica como encontrar os máximos e mínimos absolutos de uma função em um intervalo. Ele fornece a definição de máximos e mínimos, os passos para encontrá-los e três exemplos resolvidos.
O documento apresenta 45 exemplos resolvidos de equações do segundo grau. As equações variam em grau de complexidade e são apresentadas de forma passo a passo com as soluções encontradas. O objetivo é servir como material de revisão para alunos aprenderem a resolver diferentes tipos de equações quadráticas.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
1) O exercício calcula o centro de massa de uma chapa triangular homogênea.
2) Também calcula a massa, centro de massa e momento de inércia de uma lâmina com forma irregular e densidade variável.
3) Mostra que o momento de inércia de um disco circular em relação a um diâmetro é igual a sua massa vezes o raio ao quadrado dividido por 4.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
O documento apresenta informações sobre funções polinomiais do 1o grau e suas características gráficas. Em menos de 3 frases:
O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como y=ax+b e apresentando suas formas gráficas de acordo com os valores de a, podendo ser crescentes ou decrescentes. Além disso, aborda conceitos como raiz, domínio e imagem dessas funções.
Este documento fornece exemplos resolvidos de equações de retas normais a curvas. Explica que a equação da reta normal é semelhante à equação da reta tangente, exceto que o coeficiente angular da reta normal é o oposto do inverso da reta tangente. Fornece dois exemplos, encontrando a equação da reta normal a uma função e mostrando que duas curvas se interceptam em ângulo reto em um ponto.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo com soluções detalhadas. O primeiro exercício pede para esboçar um sólido e escrever integrais iteradas equivalentes. Os demais exercícios calculam volumes e massas de sólidos usando integrais triplos.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1) O exercício 1 calcula o valor da integral independente do caminho I ao longo de uma curva fechada C dada por γ(t) = (1 + cos t, sen t).
2) O exercício 2 calcula o valor da integral I ao longo de uma curva γ(t) = (t2, (t - 1)(t - 3), πt3) entre 0 e 1, usando o fato de que o campo é conservativo.
3) O exercício 3 calcula o valor da integral ao longo de uma curva fechada C, usando o Teorema de Green
1) O exercício calcula várias integrais de linha e de superfície usando o Teorema de Stokes.
2) É analisada a interseção de superfícies geométricas como esferas, cilindros e planos.
3) São calculadas circulações em curvas obtidas a partir dessa interseção e trabalhos realizados por campos de força.
O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoDiego Oliveira
1) O documento apresenta 9 exemplos resolvidos de problemas de máximos e mínimos utilizando cálculo.
2) Os exemplos envolvem encontrar áreas, volumes e distâncias máximas dadas certas restrições e funções objetivo.
3) As soluções utilizam derivadas de primeira e segunda ordem, testes de pontos críticos e análise de gráficos para localizar extremos.
Resolução I - Polinômios e números complexosFeefelipeeRS
1) O documento apresenta resumos comentados de questões sobre polinômios e números complexos de uma lista.
2) São abordados tópicos como demonstração de igualdade entre polinômios, determinação de raízes, resolução de sistemas lineares, aplicação do algoritmo de Briot-Ruffini, entre outros.
3) Cita teoremas como o fundamental da álgebra e das raízes complexas para auxiliar na resolução dos exercícios.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
1) O exercício 1 calcula o fluxo de um campo vetorial através de duas superfícies: um cilindro e uma esfera.
2) O exercício 2 calcula o fluxo de um campo vetorial através de uma meia-esfera superior.
3) O exercício 3 calcula o fluxo de um campo constante negativo no z através de parte de uma esfera.
O documento apresenta exercícios sobre curvas paramétricas, integral de linha e o teorema de Green no plano. Nos exercícios 4.1A-E são pedidos para esboçar gráficos de curvas paramétricas e verificar se são regulares. O exercício 4.1F calcula o comprimento de uma hélice. Os exercícios 4.2A-N calculam diferentes integrais de linha usando parametrizações de curvas ou o teorema de Green.
1. O documento descreve o método de integração por substituição trigonométrica, que pode ser usado para calcular integrais contendo radiciais.
2. Dois exemplos são dados para ilustrar o método, mostrando como substituir variáveis para eliminar radicais usando funções trigonométricas antes de integrar.
3. As etapas incluem substituir a variável original por funções trigonométricas, integrar em termos da nova variável, e substituir de volta para a variável original ao calcular a integral definida.
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoDiego Oliveira
Este documento explica como encontrar os máximos e mínimos absolutos de uma função em um intervalo. Ele fornece a definição de máximos e mínimos, os passos para encontrá-los e três exemplos resolvidos.
O documento apresenta 45 exemplos resolvidos de equações do segundo grau. As equações variam em grau de complexidade e são apresentadas de forma passo a passo com as soluções encontradas. O objetivo é servir como material de revisão para alunos aprenderem a resolver diferentes tipos de equações quadráticas.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
Daveana Owens created a website about bullying to raise awareness and provide information on how to prevent it. Bullying affects over 160,000 students who miss school due to harassment. While males experience more physical bullying, all students can be targets. The website aims to educate peers and encourage children to speak up if they feel afraid or unsafe at school. Creating the site and spreading the message taught Daveana the impacts of bullying and how to promote a more peaceful environment.
This document provides a summary of a project report on water testing and distribution for a civil engineering diploma. It discusses various aspects of the project including water sources, treatment processes, and distribution systems. Specifically, it examines intake wells and surface water sources, the treatment plant and processes for filtration, and the use of gravity-fed distribution to supply consumers. Water quality tests covered include pH, turbidity, hardness, chlorine residual, chlorides, and sulfates. The report also discusses infiltration works, groundwater sources, and pump houses and treatment works.
This document provides an overview and business plan for a beauty blog called "Beauty at its Best". It discusses the blog's target audience and proposed posts. It also provides recommendations to improve the blog's social media presence, such as running a Facebook ad campaign offering free products for likes and promoting the Twitter account. Public relations strategies are suggested like contests and providing tutorial services. The rationale is that Canadians spend a lot of time online and on social media, making it a cost-effective way to advertise the beauty blog.
Megan Fox is an American actress and model. She began her acting career in 2001 and rose to fame after starring in the Transformers film franchise. Fox is known for her roles in films such as Jennifer's Body, Teenage Mutant Ninja Turtles, and New Girl.
Daveana Owens created a website about bullying to raise awareness of the issue. Bullying affects over 160,000 students who feel afraid to go to school due to harassment. While the average bullying episode is brief at 35 seconds, it can have long-lasting impacts. Daveana participated in anti-bullying events and researched statistics and solutions to inform others through her website on preventing bullying and creating a bully-free environment in schools.
Big Time Movie es una película sobre una estrella de cine que se enfrenta a desafíos en su carrera y vida personal. La película presenta las dificultades de la fama y el éxito en Hollywood. El actor principal debe lidiar con la presión de su próximo proyecto cinematográfico y problemas en su relación romántica.
Austin enjoyed learning to code through Code.org's Hour of Code, which made coding easier to understand. He also had fun using Toondoo to make free cartoons on the computer and thinks it would be a fun way for school projects. Additionally, Austin thought Wordle was cool as it allowed him to visualize important words in a clustered format.
O documento apresenta exercícios sobre curvas paramétricas, integral de linha e teorema de Green no plano. Nos exercícios 4.1A-E são propostos esboços de curvas paramétricas e verificação de regularidade. O exercício 4.1F pede para esboçar dois caminhos e analisar a relação entre eles. Nos exercícios 4.2A-G são propostos cálculos de integrais de linha ao longo de diversos caminhos. Por fim, os exercícios 4.3A-N abordam a aplicação
The document provides instructions for playing a game to test knowledge about pressure ulcers. Players click on dollar amounts corresponding to questions, and then click again to reveal the answers. Icons allow returning to the game board between questions. A variety of multiple choice questions are included covering topics like risk assessment tools, wound healing nutrients, pressure ulcer treatment categories, at-risk age groups, pressure ulcer statistics, and anatomical locations where pressure ulcers develop.
This document describes a proposed system to generate electricity from vehicle traffic by converting the kinetic energy of vehicles into rotational motion. It would use a rack and pinion mechanism connected to a dynamo to produce electricity as vehicles drive over it. The document discusses the various components of the system such as the dynamo, battery, and LED lights. It estimates that 100kg of vehicle weight could generate 1 watt of power. The goals are to produce low-cost, eco-friendly electricity to help address energy shortages and power street lights.
James Byron Dean, né le 8 février 1931 à Marion (Indiana) et mort le 30 septembre 1955 à Cholame (Californie), est un acteur américain.
Son interprétation d'un adolescent rebelle et fragile dans le film La Fureur de vivre a fait de lui, pour toute une génération, le symbole d'une jeunesse en désarroi. Son décès tragique et prématuré, aux prémices de sa gloire, participe au mythe et à son inscription au panthéon du cinéma américain.
Fait unique, il est nommé deux fois à l'Oscar du meilleur acteur à titre posthume. Il compte aussi parmi les rares acteurs (cinq au total) à avoir été nommés dans cette catégorie pour son premier rôle.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo que envolvem integrais em diferentes coordenadas. O exercício 1 calcula o volume de uma região cilíndrica entre planos utilizando coordenadas cilíndricas. O exercício 2 calcula outro volume utilizando coordenadas esféricas. O exercício 3 calcula a massa de um sólido com densidade dada em função das coordenadas. Os exercícios 4 e 5 calculam volumes, centróides e momentos de inércia de outros sólidos.
1) O documento apresenta três questões sobre cálculo de áreas e volumes de regiões planas e sólidos de revolução.
2) Na primeira questão, o aluno calcula áreas sob curvas definidas por funções explícitas e implícitas.
3) Na segunda questão, o aluno calcula volumes de sólidos de revolução gerados pelo giro de regiões planas em torno dos eixos.
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
1) A superfície é parametrizada por φ(u,v)=(vcosu,vsinu,1-v2), com 0≤u≤2π e v≥0, o que identifica a superfície como um paraboloide circular.
2) Encontra as equações da reta normal e do plano tangente em φ(0,1)=(1,0,0), sendo a reta dada por x=1-2λ e o plano por 2x+z-2=0.
3) Resolve exercícios de cálculo vetorial envolvendo parametriza
O documento apresenta os conceitos e propriedades das integrais duplas, incluindo: (1) integrais duplas como extensão do conceito de integral definida para funções de duas variáveis, (2) exemplos de cálculo de integrais duplas, (3) propriedades das integrais duplas, e (4) cálculo de integrais duplas para domínios retangulares e não retangulares.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
3. As técnicas apresentadas permitem calcular integrais de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e hiperbólicas.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
Integr com subst_trigonometricas__calculoBruna Lamas
1) O resumo calcula a integral I = ∫1/x3 - x2/9 dx aplicando substituição trigonométrica. O resultado é I = 1/54arctg(-x2/93) + 1/18x2 - x2/9.
2) O resumo calcula a integral I = ∫12x3 + 2x2/7 dx aplicando substituição trigonométrica. O resultado é I = -2x2 + 2x2/714 + 2x2/7.
3) O resumo calcula a integral I = ∫-x2/2x3 +
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo de integrais e aplicações, incluindo integrais duplas, triplas e em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
2. São solicitados cálculos de volumes de sólidos, áreas de regiões planas e integrais iteradas e suas representações geométricas.
3. As respostas são fornecidas no final, com os resultados das integrais calculadas.
O documento apresenta técnicas de integração como integração por substituição de variável, integração por partes e integração utilizando decomposição em frações parciais. Exemplos de exercícios são resolvidos utilizando essas técnicas.
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
O documento apresenta fórmulas e conceitos sobre aumentos e descontos de preços, funções quadráticas, progressões aritméticas e geométricas, logaritmos, matrizes, geometria analítica e trigonometria.
1. O documento discute derivadas de expressões na forma implícita. 2. Apresenta exemplos de derivadas de expressões implícitas como x^2y^3+3xy=2. 3. Pede para completar uma tabela com derivadas de outras expressões implícitas e calcular derivadas em pontos específicos.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo com integrais duplas e triplas, envolvendo funções como x2y3, exy(x2 + y2), z = x2 + y2, entre outras.
2) São propostos cálculos de volumes de sólidos delimitados por superfícies como z = f(x,y) e planos, utilizando integrais duplas e triplas.
3) Há exercícios que envolvem mudança de variáveis em integrais duplas e triplas.
O documento discute propriedades de continuidade e derivabilidade de funções. Resume-se:
1) A função f é contínua nos intervalos ]-∞,2[ e ]2,+∞[, mas não é contínua no ponto x=2. Logo, f é contínua em R\{2}.
2) A função g tem uma única assíntota vertical na reta x=0 e não possui assíntotas oblíquas.
3) A função f possui uma única assíntota oblíqua cuja equação é y=(
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
Este documento fornece o gabarito de uma prova de geometria analítica sobre circunferências. Nele, são resolvidos exercícios que envolvem determinar as coordenadas do centro e o raio de circunferências dadas por equações, encontrar a equação de circunferências com dados centro e raio, e analisar a posição de pontos em relação a circunferências.
Este documento apresenta conceitos básicos de mecânica dos fluidos e fenômenos de transporte. Discute escopo da disciplina, unidades do SI, propriedades de fluidos como massa específica, pressão e viscosidade. Apresenta exemplos numéricos simples para ilustrar os conceitos.
O documento discute a desigualdade de renda no Brasil ao longo do tempo. Analisa como programas de transferência de renda e investimentos em educação contribuíram para uma queda recente na desigualdade. Também compara a situação brasileira com países nórdicos que possuem uma distribuição mais equitativa.
1. O documento descreve o ciclo termodinâmico de Rankine, que é um ciclo reversível utilizado em centrais termelétricas.
2. São apresentadas as leis da termodinâmica para sistemas fechados e abertos, e sua aplicação para análise de ciclos termodinâmicos e termomecânicos.
3. São descritos os componentes básicos do ciclo de Rankine, como o gerador de vapor, turbina a vapor, condensador e bomba, e feitos os balanços
O documento descreve um livro didático sobre topografia aplicada à engenharia civil. Apresenta os principais tópicos abordados no livro, incluindo levantamentos planimétricos, sistemas de coordenadas, medições de ângulos horizontais, divisão de terras, determinação do norte verdadeiro e curvas de concordância e transição.
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilBowman Guimaraes
1. O debate teórico sobre a distribuição de renda no Brasil se iniciou nas décadas de 1960 e 1970, conhecido como "Controvérsia de 70". As principais teorias eram a compressão salarial de Fishlow, o efeito Kuznets e ineficiência do sistema educacional de Langoni, e a abertura do leque salarial de Bacha.
2. Na década de 1990, o debate se concentrou na elevada desigualdade pessoal da renda no mercado de trabalho, segundo Ricardo Paes de Barros, que e Langoni considerav
O documento discute a desigualdade de renda no Brasil ao longo do tempo. Analisa como programas de transferência de renda e investimentos em educação contribuíram para uma queda recente na desigualdade. Também compara a situação brasileira com países nórdicos que possuem uma distribuição mais equitativa.
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilBowman Guimaraes
1. This document discusses income inequality and education in Brazil from the 1970s onwards. It examines the theoretical debate around income distribution and analyzes the effects of expanding education on inequality.
2. It presents a preliminary empirical analysis of income inequality, education levels, and economic growth across Brazilian regions from 1995 to 2008. The analysis indicates that higher education levels contributed to the fall in income inequality, despite limitations.
3. It concludes that while expanding education could help reduce inequality, Brazil faces impediments in using education as a tool for greater equality, leaving inequality levels still high.
1. O documento descreve o ciclo termodinâmico de Rankine, usado em centrais termelétricas.
2. O ciclo de Rankine envolve a expansão isentrópica do vapor na turbina, seguida pela condensação e bombeamento do líquido de volta ao gerador de vapor.
3. O documento apresenta as equações da primeira e segunda lei da termodinâmica para análise de ciclos termodinâmicos e de plantas a vapor, e aplica as equações para calcular parâmetros como ef
Este documento apresenta os fundamentos da topografia, abordando conceitos como sistemas de coordenadas, medição de distâncias e ângulos, levantamento planialtimétrico e nivelamento. Inclui também revisões sobre trigonometria, escalas, normalização, equipamentos e técnicas topográficas.
O capítulo descreve métodos para determinar a interseção de retas em levantamentos topográficos. A interseção de retas oblíquas é calculada igualando equações trigonométricas que relacionam os azimutes e coordenadas dos pontos conhecidos com as coordenadas do ponto de interseção desconhecido. A interseção de retas perpendiculares é obtida geometricamente a partir das coordenadas dos pontos e da distância entre eles. Exemplos elucidativos são fornecidos.
O documento discute a desigualdade de renda no Brasil ao longo do tempo. Analisa como programas de transferência de renda e investimentos em educação contribuíram para uma queda recente na desigualdade. Também compara a situação brasileira com países nórdicos que possuem uma distribuição mais equitativa.
Este documento apresenta um guia didático para o curso de Materiais de Construção Básicos. O guia descreve os objetivos do curso, a metodologia de ensino, a avaliação e a programação das atividades ao longo do semestre. O curso abordará os principais materiais de construção, suas propriedades e usos mais adequados.
Este documento apresenta os fundamentos da topografia, abordando conceitos como sistemas de coordenadas, medição de distâncias e ângulos, levantamento planialtimétrico e nivelamento. Inclui também revisões sobre trigonometria, escalas, normalização, orientação e representação do relevo.
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Bowman Guimaraes
1. O documento apresenta indicações para projetos estruturais de edifícios de concreto armado, abordando concepção estrutural, ações, escolha da forma, análise estrutural e projeto de lajes maciças.
2. São descritos elementos estruturais lineares, bidimensionais, tridimensionais e sistemas compostos, além de subsistemas horizontais e verticais comuns em edifícios.
3. O capítulo 6 apresenta um exemplo de projeto de pavimento-tipo, com escolha da forma estr
Economia aplicada (distribuição de renda) a eng. civil. civilBowman Guimaraes
1. O debate teórico sobre a distribuição de renda no Brasil se iniciou nas décadas de 1960 e 1970, conhecido como "Controvérsia de 70". As principais teorias eram a compressão salarial de Fishlow, o efeito Kuznets e ineficiência do sistema educacional de Langoni, e a abertura do leque salarial de Bacha.
2. Na década de 1990, o debate se concentrou na elevada desigualdade pessoal da renda no mercado de trabalho, segundo Ricardo Paes de Barros, que e Langoni considerav
1) O documento apresenta notas de aula sobre conjuntos numéricos e funções reais para o pré-cálculo diferencial e integral. 2) Aborda tópicos como noção de conjunto, operações com conjuntos, sistemas de coordenadas e relações e funções no plano cartesiano. 3) Tem o objetivo de auxiliar os estudantes na revisão de conteúdos básicos para o estudo do cálculo diferencial e integral.
O documento descreve os diferentes tipos de projetos necessários para a construção de um prédio, incluindo o projeto básico, projeto executivo e projeto como construído. Também detalha os passos iniciais para a elaboração de projetos, como estudos preliminares do terreno, limpeza, levantamento topográfico e reconhecimento do subsolo.
1. O documento descreve o ciclo termodinâmico de Rankine, usado em centrais termelétricas.
2. O ciclo de Rankine envolve a expansão isentrópica do vapor na turbina, seguida pela condensação e bombeamento do líquido de volta ao gerador de vapor.
3. O documento apresenta as equações da primeira e segunda lei da termodinâmica para sistemas fechados e abertos, e sua aplicação na análise dos componentes do ciclo de Rankine.
1. O documento discute os conceitos básicos e métodos de topografia para engenheiros e arquitetos.
2. Apresenta as definições de topografia, geodésia e seus objetivos, além dos tipos de levantamentos topográficos.
3. Detalha os processos e instrumentos utilizados em levantamentos topográficos, medições de distâncias, ângulos, nivelamento e representação gráfica do relevo.
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Bowman Guimaraes
1. O documento apresenta orientações para projeto estrutural de edifícios de concreto armado, abordando concepção estrutural, ações, escolha da forma, análise estrutural e projeto de lajes maciças.
2. As seções discutem conceitos como identificação de elementos estruturais, sistemas estruturais, idealização de ações, custo e análise estrutural.
3. O capítulo 6 apresenta um exemplo prático de projeto de pavimento-tipo, incluindo escolha da forma estrut
1. Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica
Departamento de Matem´atica Aplicada
C´alculo 3A – Lista 2
Exerc´ıcio 1: Use a mudan¸ca u = x+y e v = x−y e calcule a integral de f(x, y) = (x+y)2
sen2
(x−y)
sobre a regi˜ao D : |x| + |y| ≤ π.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
x
y
D
x − y = −π
x + y = −π
x − y = π
x + y = π
π
π
−π
−π
De u = x + y e v = x − y temos x =
u + v
2
e y =
u − v
2
. Portanto, o jacobiano da mudan¸ca ´e dado
por:
J =
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
=
1
2
1
2
1
2
−
1
2
=
−1
4
−
1
4
= −
1
2
.
Como dxdy = |J| dudv ent˜ao dxdy =
1
2
dudv. A fun¸c˜ao f(x, y) = (x+y)2
sen2
(x−y) transforma-se
em u2
sen2
v.
Como D ´e limitada pelas retas x + y = π, x + y = −π, x − y = π e x − y = −π, ent˜ao Duv ´e
limitada pelas retas u = π, u = −π, v = π e v = −π.
2. C´alculo 3A Lista 2 24
u
v
Duv
π
π
−π
−π
Assim, pela f´ormula da mudan¸ca de vari´aveis temos:
D
f(x, y) dxdy =
D
(x + y)2
sen2
(x − y) dxdy =
=
Duv
(u2
sen2
v)
1
2
dudv =
1
2
π
−π
sen2
v
π
−π
u2
dudv =
=
1
2
π
−π
sen2
v
u3
3
π
−π
dv =
1
2
·
2π3
3
π
−π
sen2
v dv =
=
π3
3
·
1
2
v −
sen 2v
2
π
−π
=
π4
3
.
Exerc´ıcio 2: Use a mudan¸ca de vari´aveis u = xy e v = y/x, e calcule a integral dupla
D
(x2
+
2y2
) dA, sendo D a regi˜ao do plano xy no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas xy = 1,
xy = 2, y = x e y = 2x.
Solu¸c˜ao: Se u = xy e v = y/x vemos que uv = y2
e
u
v
= x2
. Assim, x2
+ 2y2
=
u
v
+ 2uv. Por
outro lado
J−1
=
1
J
=
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂u
∂v
∂y
=
y x
−y
x2
1
x
=
y
x
+
y
x
=
2y
x
= 2v .
Logo, J =
1
2v
. Como dA = |J| dudv, ent˜ao dA =
1
2v
dudv .
Como D est´a limitada por xy = 1, xy = 2, y = x (ou y/x = 1) e y = 2x (ou y/x = 2) ent˜ao Duv
est´a limitada por u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
UFF IME - GMA
3. C´alculo 3A Lista 2 25
u
v
Duv
2
2
1
1
Logo, pela f´ormula de mudan¸ca de vari´aveis, temos:
D
(x2
+ 2y2
) dA =
Duv
u
v
+ 2uv
1
2v
dudv =
=
1
2
Duv
u
v2
+ 2u dudv =
1
2
2
1
2
1
1
v2
+ 2 u dudv =
=
1
2
2
1
1
v2
+ 2
u2
2
2
1
dv =
3
4
2
1
1
v2
+ 2 dv =
=
3
4
−
1
v
+ 2v
2
1
=
3
4
−
1
2
+ 4 − (−1 + 2) =
15
8
.
Exerc´ıcio 3: Calcule
D
xy3
dA da regi˜ao D do primeiro quadrante, limitada por y = x, y = 3x,
xy = 1 e xy = 4.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
x
y
D
y = 3x
y = x
xy = 1
xy = 4
u
v
Duv
1
1
3
4
Com a transforma¸c˜ao u = y/x, v = xy, a regi˜ao D transforma-se na regi˜ao Duv limitada pelas retas
UFF IME - GMA
4. C´alculo 3A Lista 2 26
u = 1, u = 3, v = 1 e v = 4. Temos:
J−1
=
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
=
−y
x2
1
x
y x
= −
y
x
−
y
x
= −
2y
x
= −2u .
Logo:
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
J−1
=
1
−2u
= −
1
2u
.
De u = y/x e v = xy temos que uv = y2
. Portanto, o integrando xy3
= xy · y2
transforma-se em
v · uv = uv2
. Assim, da f´ormula da mudan¸ca de vari´aveis temos:
D
xy3
dA =
Duv
uv2 ∂(x, y)
∂(u, v)
dudv =
Duv
uv2
−
1
2u
dudv =
=
1
2
Duv
v2
dudv =
1
2
3
1
4
1
v2
dvdu =
1
2
3
1
v3
3
4
1
du =
=
1
6
(64 − 1)
3
1
du =
63
3
u
3
1
=
21
2
(3 − 1) = 21 .
Exerc´ıcio 4: Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
a)
D
x2 + y2 dxdy, sendo D o disco de centro na origem e raio 2.
b)
D
x2
+ y2 2
dA, onde D ´e a regi˜ao dada por x2
+ y2
≤ 4, com x ≥ 0.
c)
D
ln(x2
+ y2
)
x2 + y2
dxdy, sendo D : 1 ≤ x2
+ y2
≤ e2
, com y ≥ 0.
d)
a
−a
√
a2−x2
0
e−x2−y2
dydx.
e)
D
1
x2 + y2
dA, sendo D : 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.
f)
D
(x + y) dA, sendo D : x2
+ y2
− 2y ≤ 0.
Solu¸c˜ao:
a) O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
UFF IME - GMA
5. C´alculo 3A Lista 2 27
x
y
D
entra em r = 0
sai em r = 2
2
2
Em coordenadas polares temos x2 + y2 =
√
r2 = r e dxdy = rdrdθ.
Descri¸c˜ao de D em coordenadas polares
Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hor´ario, a partir do eixo x positivo, vemos que
0 ≤ θ ≤ 2π.
Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta entra em D na origem
onde r = 0 e sai de D em um ponto da circunferˆencia onde r = 2. Ent˜ao, 0 ≤ r ≤ 2. Assim, a
regi˜ao D ´e transformada na regi˜ao Drθ dada por Drθ :
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ 2π
.
r
θ
Drθ
2π
2
Logo:
D
x2 + y2 dxdy =
Drθ
r · r drdθ =
Drθ
r2
drdθ =
2
0
2π
0
r2
dθdr =
= 2π
2
0
r2
dr = 2π
r3
3
2
0
=
16π
3
.
Observa¸c˜ao: Notem que em coordenadas polares qualquer disco de centro na origem transforma-se
em um retˆangulo com os lados paralelos aos eixos coordenados.
b) O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
UFF IME - GMA
6. C´alculo 3A Lista 2 28
x
y
D
−2
2
2
Descri¸c˜ao de D em coordenadas polares
Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hor´ario, a partir do eixo y negativo, onde θ =
−π/2 at´e o eixo y positivo onde θ = π/2, vemos que −π/2 ≤ θ ≤ π/2.
Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta OP entra em D na
origem onde r = 0 e sai de D em um ponto da circunferˆencia onde r = 2. Logo, 0 ≤ r ≤ 2. Assim,
a regi˜ao D ´e transformada na regi˜ao Drθ dada por Drθ :
0 ≤ r ≤ 2
−π/2 ≤ θ ≤ π/2
.
r
θ
Drθ
−π
2
π
2
2
Logo:
D
(x2
+ y2
)2
dA =
Drθ
r4
· r drdθ =
Drθ
r5
drdθ =
=
2
0
r5
π/2
−π/2
dθdr = π
2
0
r5
dr = π
r6
6
2
0
=
32π
3
.
c) O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
UFF IME - GMA
7. C´alculo 3A Lista 2 29
x
y
D P
e
e
−e
1
1−1
entra em r = 1
sai em r = e
Em coordenadas polares temos
ln(x2
+ y2
)
x2 + y2
=
ln(r2
)
r2
=
2 ln r
r2
e dxdy = r drdθ.
Descri¸c˜ao de D em coordenadas polares
Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hor´ario, vemos que
0 ≤ θ ≤ π.
Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta OP entra em D em
um ponto da circunferˆencia x2
+ y2
= 1 onde r = 1 e sai de D em um ponto da circunferˆencia
x2
+ y2
= e2
onde r = e. Ent˜ao, 1 ≤ r ≤ e. Assim, a regi˜ao D ´e transformada na regi˜ao Drθ dada
por Drθ :
1 ≤ r ≤ e
0 ≤ θ ≤ π
.
r
θ
Drθ
1
π
e
Logo:
D
ln(x2
+ y2
)
x2 + y2
dxdy =
Drθ
2 ln r
r2
· r drdθ = 2
Drθ
ln r
r
drdθ =
= 2
e
1
ln r
r
π
0
dθdr = 2π
e
1
ln r
r
dr .
Fazendo u = ln r temos du =
1
r
dr. Por outro lado, para r = 1 temos u = ln 1 =
= 0 e para r = e temos u = ln e = 1. Ent˜ao:
e
0
ln r
r
dr =
1
0
u du =
u2
2
1
0
=
1
2
.
Substituindo acima temos:
D
ln(x2
+ y2
)
x2 + y2
dxdy = 2π ·
1
2
= π .
UFF IME - GMA
8. C´alculo 3A Lista 2 30
d) Temos
I =
a
−a
√
a2−x2
0
e−x2−y2
dydx =
D
e−x2−y2
dxdy
onde D ´e dada por D :
−a ≤ x ≤ a
0 ≤ y ≤
√
a2 − x2 ⇒ x2
+ y2
= a2
, y ≥ 0
cujo esbo¸co est´a represen-
tado na figura que se segue.
x
y
−a
D
a
a
Passando para coordenadas polares temos e−(x2+y2)
= e−r2
e dxdy = r drdθ e a regi˜ao D transforma-
se em Drθ :
0 ≤ r ≤ a
0 ≤ θ ≤ π
. Logo:
I =
Drθ
e−r2
r drdθ =
a
0
e−r2
r
π
0
dθdr = π
a
0
e−r2
r dr =
=
π
−2
a
0
e−r2
(−2r)dr = −
π
2
e−r2 a
0
=
π
2
1 − e−a2
.
e) O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
x
y
D
y = x
1 3
Por coordenadas polares temos
1
x2 + y2
dA =
1
√
r2
· r drdθ = drdθ.
Descri¸c˜ao de D em coordenadas polares
Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hor´ario, a partir do eixo x positivo onde θ = 0
at´e a reta y = x onde θ = π/4, vemos que 0 ≤ θ ≤ π/4.
Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta OP entra em D na
reta vertical x = 1 ou r cos θ = 1 donde r =
1
cos θ
= sec θ e sai de D na reta vertical x = 3 ou
UFF IME - GMA
9. C´alculo 3A Lista 2 31
r cos θ = 3 donde r =
3
cos θ
= 3 sec θ. Ent˜ao, sec θ ≤ r ≤ 3 sec θ. Assim, a regi˜ao D ´e transformada
na regi˜ao Drθ dada por Drθ :
sec θ ≤ r ≤ 3 sec θ
0 ≤ θ ≤ π/4
. Logo:
D
1
x2 + y2
dA =
Drθ
drdθ =
π/4
0
3 sec θ
sec θ
drdθ =
=
π/4
0
(3 sec θ − sec θ)dθ = 2
π/4
0
sec θ dθ = 3 ln(sec θ + tg θ)
π/4
0
=
= 3 ln sec
π
4
+ tg
π
4
− ln(sec 0 + tg 0) =
= 3 ln(
√
2 + 1) − ln(1 + 0) = 3 ln(
√
2 + 1) .
f) De x2
+ y2
− 2y = 0 temos x2
+ (y − 1)2
= 1. Assim, o esbo¸co da regi˜ao D est´a representado
na figura a seguir.
x
y
D
P
entra em r = 0
sai em r = 2 sen θ
1
2
Temos:
D
(x + y) dA =
D
x dA +
D
y dA .
Como f(x, y) = x ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar na vari´avel x e a regi˜ao D tem simetria em rela¸c˜ao ao eixo
y, ent˜ao:
D
f(x, y) dA =
D
x dA = 0 .
Assim:
D
(x + y) dA =
D
y dA .
Em coordenadas polares temos ydA = (r sen θ)r drdθ = r2
sen θ drdθ.
Descri¸c˜ao de D em coordenadas polares
Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hor´ario, a partir do eixo x positivo onde θ = 0
at´e o eixo x negativo onde θ = π, vemos que 0 ≤ θ ≤ π.
UFF IME - GMA
10. C´alculo 3A Lista 2 32
Considerando um ponto P qualquer no interior de D, n˜ao situado no eixo y, vemos que a semirreta
OP entra em D na origem onde r = 0 e sai de D em um ponto da circunferˆencia x2
+ y2
= 2y
ou r2
= 2r sen θ donde r = 2 sen θ, para r = 0. Ent˜ao, 0 ≤ r ≤ 2 sen θ. Assim, a regi˜ao D ´e
transformada na regi˜ao Drθ dada por Drθ :
0 ≤ r ≤ 2 sen θ
0 ≤ θ ≤ π
. Logo:
D
(x + y)dA =
D
y dA =
Drθ
r2
sen θ drdθ =
=
π
0
sen θ
2 sen θ
0
r2
drdθ =
π
0
sen θ
r3
3
2 sen θ
0
dθ =
=
8
3
π
0
sen4
θ dθ =
8
3
π
0
1 − cos 2θ
2
2
dθ =
=
8
12
π
0
1 − 2 cos 2θ + cos2
2θ dθ =
=
2
3
·
1
2
π
0
1 − 2 cos 2θ + cos2
2θ d(2θ) =
=
1
3
2θ − 2 sen 2θ +
1
2
2θ +
sen 4θ
2
π
0
=
1
3
(2π + π) = π .
Exerc´ıcio 5: Calcule a ´area da regi˜ao no primeiro quadrante, fora da circunferˆencia x2
+ y2
= 4 e
dentro da circunferˆencia x2
+ y2
= 4x.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura que se segue.
x
y
P
D
entra em r = 2
sai em r = 4 cosθ
(1,
√
3)
θ
42
2
θ
1
√
3
Da teoria, temos que:
A(D) =
D
dxdy =
Drθ
r drdθ .
Descri¸c˜ao de D em coordenadas polares
De x2
+y2
= 4 e x2
+y2
= 4x temos 4x = 4 donde x = 1 e, portanto, y =
√
3 . Assim, a interse¸c˜ao
UFF IME - GMA
11. C´alculo 3A Lista 2 33
´e o ponto (1,
√
3). No triˆangulo retˆangulo acima, temos que tg θ =
√
3
1
=
√
3 donde θ = π/3.
Assim, efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-hor´ario a partir do eixo x positivo, vemos
que 0 ≤ θ ≤ π/3.
Considerando um ponto P qualquer no interior de D vemos que a semirrreta OP entra em D na
circunferˆencia x2
+y2
= 4 donde r = 2 e sai de D na circunferˆencia x2
+y2
= 4x donde r2
= 4r cos θ
ou r = 4 cos θ, se r = 0. Assim, 2 ≤ r ≤ 4 cos θ. Logo temos Drθ :
2 ≤ r ≤ 4 cos θ
0 ≤ θ ≤ π/3
. Ent˜ao:
A(D) =
π/3
0
4 cos θ
2
r drdθ =
π/3
0
r2
2
4 cos θ
2
dθ =
1
2
π/3
0
(16 cos2
θ − 4) dθ =
=
1
2
16 ·
1
2
θ +
sen 2θ
2
− 4θ
π/3
0
=
1
2
8 ·
π
3
+ 4 sen
2π
3
− 4 ·
π
3
=
=
1
2
4π
3
+
4
√
3
2
=
2π
3
+
√
3 u.a.
Exerc´ıcio 6: Seja dada a integral dupla
D
f(x, y) dxdy =
1
0
x
0
f(x, y) dydx +
√
2
1
√
2−x2
0
f(x, y) dydx .
a) Esboce a regi˜ao D.
b) Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma s´o integral na qual a ordem de
integra¸c˜ao esteja invertida.
c) Calcule a integral dupla para a fun¸c˜ao f(x, y) = ln (1 + x2
+ y2
).
Solu¸c˜ao:
a) Temos I =
D
f(x, y) dxdy com D = D1 ∪ D2, onde D1 = (x, y); 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x e
D2 = (x, y); 1 ≤ x ≤
√
2 , 0 ≤ y ≤
√
2 − x2 . Os esbo¸cos de D1 e D2 s˜ao:
x
y
D1
y = x
(1, 1)1
1 x
y
D2
√
2
(1, 1)1
1
Logo, o esbo¸co de D est´a representado na figura que se segue.
UFF IME - GMA
12. C´alculo 3A Lista 2 34
x
y
Dx = y
√
2
(1, 1)1
1
x = 2 − y2
b) Enquadrando D como tipo II, temos D :
0 ≤ y ≤ 1
y ≤ x ≤ 2 − y2
. Ent˜ao:
I =
1
0
√
2−y2
y
f(x, y) dxdy .
c) Expressando D como coordenadas polares, temos D :
0 ≤ θ ≤ π/4
0 ≤ r ≤
√
2
. Ent˜ao:
I =
Drθ
ln 1 + r2
r drdθ =
√
2
0
π/4
0
ln 1 + r2
r dθdr =
=
π
4
√
2
0
ln 1 + r2
r dr .
Fazendo y = 1 + r2
, temos dy = 2r dr, donde r dr =
dy
2
. Para r = 0, temos y = 1 e para r =
√
2
temos y = 3. Ent˜ao:
I =
π
4
3
1
ln y
dy
2
=
π
8
3
1
ln y dy .
Aplicando integra¸c˜ao por partes, temos:
u = ln y , dv = dy ⇒ du =
1
y
dy , v = y .
Como u dv = uv − v du, ent˜ao:
I =
π
8
y ln y
3
1
−
3
1
y ·
1
y
dy =
π
8
3 ln 3 − ln 1 −
3
1
dy =
=
π
8
3 ln 3 − y
3
1
ou
I =
π
8
(3 ln 3 − 2) .
Exerc´ıcio 7: Passe para coordenadas polares e calcule:
UFF IME - GMA
13. C´alculo 3A Lista 2 35
a) I =
1
0
1+
√
1−y2
1−
√
1−y2
xy dxdy
b) I =
a
0
√
a2−x2
0
a2 − x2 − y2 dydx, a > 0
Solu¸c˜ao:
a) A integral I est´a definida sobre a regi˜ao D descrita pelas desigualdades
D :
0 ≤ y ≤ 1
1 − 1 − y2 ≤ x ≤ 1 + 1 − y2
. Observe que D est´a descrita como uma regi˜ao do tipo
II. Examinemos a fronteira da esquerda de D:
x = 1 − 1 − y2 , 0 ≤ y ≤ 1 ⇒ x − 1 = − 1 − y2 , 0 ≤ y ≤ 1(∴ x ≤ 1) .
Elevando ao quadrado, tem-se:
(x − 1)2
= 1 − y2
, 0 ≤ y ≤ 1 e x ≤ 1
o que implica
(x − 1)2
+ y2
= 1, 0 ≤ y ≤ 1 e x ≤ 1 .
Ent˜ao a fronteira da esquerda ´e a parte da circunferˆencia (x − 1)2
+ y2
= 1 com 0 ≤ y ≤ 1 e
x ≤ 1. Examinando a fronteira da direita, temos que consiste da parte da mesma circunferˆencia com
0 ≤ y ≤ 1 e x ≥ 1. Assim, o esbo¸co de D est´a representado na figura que se segue.
x
y
(x, y)
r = 0
r = 2 cosθ
1 2
Portanto D se transforma em:
Drθ = (r, θ); 0 ≤ r ≤ 2 cos θ , 0 ≤ θ ≤ π/2 .
Temos:
I =
Drθ
r cos θr sen θr drdθ =
Drθ
r3
cos θ sen θ drdθ =
=
π/2
0
2 cos θ
0
r3
cos θ sen θ drdθ =
π/2
0
cos θ sen θ
r4
4
2 cos θ
0
dθ =
= 4
π/2
0
cos5
θ sen θ dθ = −4
cos6
θ
6
π/2
0
=
2
3
.
UFF IME - GMA
14. C´alculo 3A Lista 2 36
b) A integral I est´a definida sobre a regi˜ao D descrita pelas desigualdades
D :
0 ≤ x ≤ a
0 ≤ y ≤
√
a2 − x2
que ´e do tipo I. A fronteira superior de D ´e a curva y =
√
a2 − x2
com 0 ≤ x ≤ a e y ≥ 0 que corresponde `a parte da circunferˆencia x2
+ y2
= a2
com 0 ≤ x ≤ a e
y ≥ 0.
A fronteira inferior de D ´e o segmento de reta y = 0 com 0 ≤ x ≤ a. Assim, o esbo¸co de D est´a
representado na figura que se segue.
x
y
(x, y)
r = 0
r = a
a
a
D
O ponto (x, y) = (r cos θ, r sen θ) ∈ D ´e tal que θ varia segundo
0 ≤ θ ≤ π/2 e r varia segundo 0 ≤ r ≤ a.
Portanto D se transforma em:
Drθ = (r, θ); 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ θ ≤ π/2 .
Ent˜ao:
I =
Drθ
√
a2 − r2 r drdθ =
a
0
π/2
0
√
a2 − r2 r dθdr =
=
π
2
a
0
a2
− r2 1/2
r dr = −
1
2
·
π
2
a
0
a2
− r2 1/2
d a2
− r2
=
= −
π
4
·
2
3
a2
− r2 3/2
a
0
= −
π
6
0 − a3
=
πa3
6
.
Exerc´ıcio 8: A base de um s´olido ´e a regi˜ao do plano xy delimitada pelo disco x2
+ y2
≤ a2
, com
a > 0. e a parte superior ´e a superf´ıcie do parabol´oide az = x2
+ y2
. Calcule o volume do s´olido.
Solu¸c˜ao: Seja D o disco x2
+ y2
≤ a2
e seja z = f(x, y) =
x2
+ y2
a
≥ 0 ,
que ´e cont´ınua em D. Ent˜ao o volume do s´olido W de base D e “teto”
z = f(x, y) =
x2
+ y2
a
´e dado por:
V (W) =
D
f(x, y) dxdy =
D
x2
+ y2
a
dxdy =
1
a
D
(x2
+ y2
) dxdy .
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15. C´alculo 3A Lista 2 37
Passando para coordenadas polares, temos (x2
+ y2
) dxdy = r2
r drdθ = r3
drdθ e o disco D
transforma-se em Drθ :
0 ≤ r ≤ a
0 ≤ θ ≤ 2π/
. Logo:
V (W) =
1
a
Drθ
r3
drdθ =
1
a
a
0
r3
2π
0
dθdr =
2π
a
a
0
r3
dr =
=
2π
a
r4
4
a
0
=
a3
π
2
u.v.
Exerc´ıcio 9: Achar o volume do s´olido limitado superiormente pela esfera x2
+ y2
+ z2
= 4,
inferiormente pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x2
+ y2
= 1.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de W est´a representado na figura que se segue.
x y
z
11
2
W
“teto”
D (“piso”)
Observemos que o “teto” do s´olido W ´e uma por¸c˜ao da esfera
x2
+ y2
+ z2
= 4, donde z = 4 − x2 − y2 = f(x, y). O “piso” de W ´e o disco D : x2
+ y2
≤ 1.
Ent˜ao
V (W) =
D
f(x, y) dxdy =
D
4 − x2 − y2 dxdy .
Passando para coordenadas polares, temos
x = r cos θ
y = r sen θ
dxdy = rdrdθ
x2
+ y2
= r2
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16. C´alculo 3A Lista 2 38
O conjunto Drθ ´e dado por: 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Ent˜ao:
V (W) =
Drθ
√
4 − r2 · r drdθ =
1
0
4 − r2 1/2
r
2π
0
dθdr =
= 2π
1
0
4 − r2 1/2
r dr .
Temos d(4 − r2
) = −2r dr, donde r dr = −
1
2
d(4 − r2
). Logo:
V (W) = 2π −
1
2
1
0
4 − r2 1/2
d(4 − r2
) =
= −π ·
2
3
· (4 − r2
)
3/2
1
0
= −
2π
3
33/2
− 43/2
=
2π
3
8 − 3
√
3 u.v.
Exerc´ıcio 10: Determine o volume do s´olido W limitado pelo parabol´oide z = 4 − x2
− y2
e pelo
plano xy.
Solu¸c˜ao: O esbo¸co de W est´a representado na figura que se segue.
x
y
z
W
“piso” D : x2
+ y2
≤ 4
4
2
2
x
y
D
2
2
Temos:
V (W) =
D
f(x, y) dxdy =
D
4 − x2
− y2
dxdy .
Passando para coordenadas polares temos
x = r cos θ
y = r sen θ
dxdy = r drdθ
x2
+ y2
= r2
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17. C´alculo 3A Lista 2 39
e Drθ :
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ 2
. Ent˜ao:
V (W) =
Drθ
4 − r2
r drdθ =
2
0
4r − r3
2π
0
dθdr =
= 2π
2
0
4r − r3
dr = 2π 2r2
−
r4
4
2
0
= 2π(8 − 4) = 8π u.v.
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