1. 1
Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica
ENGENHARIA AMBIENTAL
ÁLGEBRA LINEAR / GEOMETRIA ANALÍTICA
1º PERÍODO
2013/02
AULA 07
DETERMINANTES
- Determinante de matriz de ordem 1
- Determinante de matriz de ordem 2
- Determinante de matriz de ordem 3 (Sarrus)
Os determinantes apareceram há cerca de 300 anos (apesar de já existirem “esboços” do que seriam
determinantes na matemática chinesa de 2000 anos atrás) associados à resolução de equações lineares. Hoje em
dia, junto com as matrizes, são uma importante ferramenta matemática, com aplicações diversas. Há um detalhe
sobre este assunto que deve ser lembrado sempre: não existe determinante de matriz que não seja quadrada.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, e se indica por det A, o número
obtido de operações entre os elementos de A, de modo que:
I) Dada uma matriz com um único elemento, A = [a], definimos o determinante de A como det(A) = a.
 
 
8 det A = 8
B = 13 det B = -13
2 2
C = det C =
7 7
A  
 
 
 
 
II) Dada uma matriz quadrada A2×2, definimos o determinante de A como
  11 12
11 22 12 21
21 22
det det
a a
A a a a a
a a
 
   
 
1 4
det D = 1.3 - 4.2 = 3 - 8 = -5
2 3
5 6
E = det E = 5.3 - (-6).2 = 15 + 12 = 27
2 3
4 3
F = det F = 4.(-2) - 3.(-8) = -8 + 24 = 16
8 2
D
 
  
 
 
 
 
 
   

2. 2
Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica
Exemplo. Resolva a equação
2 4
01
8
16
x x
 .
 
 
4 2 3 4 2 3 4 2 3
2 4
1
0 2 4 8 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 21
168
16
4 2 3
2 4 3
7
7
x x
xx x x x x x x
x
x x
x
S
    
               
  
   
 
 
III) Dada uma matriz quadrada 3 3
a b c
d e f
g h i
xA
 
   
  
, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o valor de
det A:
a) copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas;
b) multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal,
multiplicamos separadamente, os elementos das outras duas “diagonais”;
c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a
direção da diagonal secundária, multiplicamos separadamente, os elementos das outras duas diagonais, também
trocando o sinal dos produtos;
d) somamos todos os produtos obtidos nos itens b e c.
Esse procedimento é conhecido como Regra de Sarrus.

3. 3
Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica
Exemplo
Observação: É interessante notar que somente as matrizes quadradas possuem determinante.
Nota: Gottfried Wilhelm Leibnitz (1642-1716) Matemático alemão, contribuiu para o desenvolvimento de
vários ramos da matemática. Foi também um dos precursores do cálculo de determinantes.
EXERCÍCIOS
01 – Calcule o determinante das matrizes:
a)
3 2
1 4
A
 
  
 
c)
6 2
3 1
C
 
   
e)
1 1
2 6
3 2
E
 
 
 
 
g)  47G 
b)
1 2
5 3
B
 
   
d)
5 4
2 3
D
 
   
f)
3 0
0 1
F
 
  
 
h)
2
H=
7
 
  
Resp. a) 14; b) -7; c) 12; d) -7; e) ½; f) 3; g) 47; h) 2/7;
02 – Calcule o valor de
11 7 4 5
3 2 2 3
y

 

. Resp. 1 + (-2) = -1.
03 – Determine x tal que:
a)
2
8
3 1
x

b)
2 1 3 4
3 5 2 1
x

c)
2 2 1 2
3 4 8 3
x x x 

d)
7 1 2 3 1
6 3 3 7 1
x
x
 
e)
2
5
4 3
x x
x


f)
3
2
1 1
x
x x

 
g)
3
2 33
1 2 5
3 1
x
xx
x




a) x = 14; b) x = 1/5; c) x= 27/5; d) x = 7 ; e) -4/3; f) {-1; 5}; g) x = -1/3;
04 – Calcule os determinantes das matrizes:
a)  2 2
2ij ijx
A a a i j  
b)   2
2 2ij ijx
B b b i j  
c)   2
2 2ij ijx
C c c i j  
d)   2 2
2 2ij ijx
D d d i j  
Resp. a) -2; b) 3; c) 3; d) 9;

4. 4
Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica
05 – Calcule o determinante das matrizes:
a)
2 1 4
1 3 5
1 1 2
A
 
   
  
b)
2 1 1
2 0 4
5 1 3
B
  
   
  
c)
3 1 0
1 2 5
7 2 4
C
 
   
  
d)  3 3
2 3ij ijx
D d d i j  
e)  3 3
3 2ij ijx
E E e i j  
f)   2
3 3ij ijx
F F f i j  
g)
2
1 1
1
1
a
G a a
a a
 
    
  
Resp. a) det A = – 3; b) det B = -4; c) det C = 93; d) 0; e) 0; f) 0; g) –a3
+ a;
06 – Determine o valor de x para que:
a)
1 3
2 1 4 0
1 2 3
x


b)
2 1 3
2 1 1 3
5 2 0
x
 
c)
1 3 0
2 3 1
0 1 2
x 
 
d)
3 1
2 1 3 2 1
4 1 2
x
x  

e)
2 1
3 2
4 3 1
1
1 2 1
x
x

 
f)
2 1 3 1 3 1
4 1 1 2
3 1 2 1 4 3
x x 
 
g)
4
0
1
0 1 2
2
x
x
x


h)
1 5 4
4
3 1 0
2
2 0 0
x
x
 
Resp. a) 1; b) -1/5; c) 7; d) -4/5; e) 19/8; f) 5/2; g) {1; 2}; h) {-4; 4};
07 – (Unipa-MG) A soma dos dois valores de x que satisfazem a igualdade abaixo é
1 1
4 1 3 16
0
x
x x
 
 
Resp.: e
08 – (FMJ-SP) Seja  ijA a a matriz quadrada de ordem 3, onde
3, se
, se 5
1, se 5 e
ij
i j
a x i j
i j i j


  
   
.
O valor de x, inteiro, para que o determinante da matriz A seja nulo é:
a) 6 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1
Resp.: c
a) 10 b) 6 c) 2 d) 0 e) -6

5. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 5
AULA 08
TEOREMA DE LAPLACE
- Submatriz/ Menor do elemento aij
- Cofator
- Teorema de Laplace
Menor do elemento aij / Submatriz
Dada uma matriz  ij n n
A a

 o menor do elemento ija , denotado
~
Aij , é a submatriz    1 1n n   obtida de A
eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
Observe a matriz
2 1 4 3
5 2 7 6
A
2 3 1 0
4 8 6 9
 
  
 
 
 
.
 Para determinarmos o menor do elemento 23a eliminamos a 2ª linha e a 3ª coluna da matriz.
Assim,
 Para determinarmos o menor do elemento 34a eliminamos a 3ª linha e a 4ª coluna da matriz.
Assim,
Cofator do elemento aij
Dada uma matriz  A ij n n
a

 o cofator do elemento ija , denotado cof ija , é o número
 
~
cof 1 det A
i j
ijija

  
Então, dada uma matriz quadrada An×n define-se o cofator (ou complemento algébrico) do elemento aij, e
escrevemos cof(aij ) , como cof(aij) = (-1)i+j
, ou seja, + ou − (conforme i + j seja par ou ímpar)
o determinante do menor elemento aij.

6. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 6
Observe:
Seja a matriz
1 4 2
2 3 5
7 1 6
A
 
   
  
. Determine:
a) 12cof a b) 23cof a c) 31cof a
Assim,
 
       
~
~
1 2 3
1212
12
a) cof 1 det A
2 5
cof 1 det A 1 1 12 35 1 23 23
7 6
cof 23
i j
ijija
a
a


  
              

 
       
~
~
2 3 5
2323
23
b) cof 1 det A
1 4
cof 1 det A 1 1 1 28 1 27 27
7 1
cof 27
i j
ijija
a
a


  
              

 
       
~
~
3 1 4
3131
31
c) cof 1 det A
4 2
cof 1 det A 1 1 20 6 1 14 14
3 5
cof 14
i j
ijija
a
a


  
           

Teorema de Laplace. Determinante de ordem n.
Uma matriz quadrada An×n tem um determinante igual à soma dos produtos dos elementos de uma qualquer
linha ou coluna, pelos seus cofatores. Escolhemos arbitrariamente uma de suas filas (linha ou coluna) e
somamos os produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos cofatores. Ou seja, o determinante de A pode
ser calculado em termos da expansão em cofatores da i - ésima linha
, ou da j - ésima coluna
O Teorema de Laplace se aplica a toda matriz quadrada de ordem n; entretanto, para os casos n = 2 e n = 3 é
mais simples, em geral, utilizar as regras práticas que foram vistas.
Exemplo

7. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 7
I) O determinante da matriz
1 4 2
2 0 5
7 0 6
A
 
   
  
, recorrendo, por exemplo, à expansão em cofatores da 1a
linha, é
II) Calcule
3 1 2 1
5 2 2 3
D=
7 4 5 0
1 1 11 2



.
Escolhemos a linha 3 de D. Pelo Teorema de Laplace vem:
Temos:
     
4 5 6
11 32 33
1 2 1 3 2 1 3 1 1
1 2 2 3 9, A 1 5 2 3 20 e A = 1 5 2 3 7
1 11 2 1 11 2 1 1 2
A
 
       
 
Observe que não é necessário calcular A34.
Daí, em (*) , temos que: 7.9 + 4.20 + (-5).7 = 108

8. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 8
EXERCÍCIOS
01 – Dada a matriz
4 7 0 1
5 3 9 4
M
1 8 8 5
9 4 6 0
 
   
 
 
 
determine:
a)
~
11M b)
~
24M c)
~
33M
Resp. a)
~
11
3 9 4
M 8 8 5
4 6 0
 
   
  
; b)
~
24
4 7 0
M 1 8 8
9 4 6
 
   
  
; c)
~
33
4 7 1
M 5 3 4
9 4 0
 
    
  
02 – Dada a matriz
1 3 1
1 2 1
3 4 0
A
 
   
  
, calcule o cofator dos elementos:
a) a12 b) a31 c) a23 d) a32 e) a11
Resp. a) 3; b) 1; c) 5; d) -2; e) -4;
03 – Dada a matriz
0 1 3
2 4 0
3 0 1
M
 
   
  
, calcule os cofatores 11 33 12, eC C C .
Resp.: 4, 2 e -2.
04 – Calcule o determinante das matrizes:
a)
0 1 0 1
2 1 3 1
1 2 1 3
2 1 0 1
A 

d)
1 2 3 1
1 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 1
D


 
g)
1 1 5 1
0 3 2 1
0 0 7 1
0 0 0 4
G



b)
1 0 1 0
2 1 3 4
1 0 1 2
0 1 0 1
B

 e)
3 2 1 2
1 0 1 1
E=
2 1 1 0
1 0 1 1



h)
0 a b 1
0 1 0 0
H
a a 0 b
1 b a 0

c)
0 2 0 0
1 5 4 1
0 3 7 9
0 1 6 2
C

 f)
4 1 2 3
5 1 3 0
F=
0 4 1 0
5 6 0 0


i)
-x y 1 0
-y 0 -1 x
I=
0 0 0 2
1 -1 x y
Resp. a) 6; b) -4; c) 80; d) 0; e) 6; f) 285; g) 84;

9. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 9
05 – Usando o teorema de Laplace, calcule o determinante das seguintes matrizes:
a)
4 3 2
4 5 1
0 2 3
A
 
 
  
 
 
c)
3 1 2
4 3 1
1 6 5
C
 
 
  
  
b)
2 3 5
1 2 0
4 1 6
B
 
 
  
  
d)
3 2 0
2 1 4
0 0 1
D
 
 
  
 
 
Resp.: a) 0; b) 51; c) -42; d) -7.
06 – (Ufop-MG) O determinante da matriz 2
3
cos2 sen sen
2
log1 log 2 tg
4
3
sen cos log 27
2

 



 
 
 
 
 
 
  
 
é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.d.a.
Resp.: c
AULA 09
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n , demonstra-se que:
a) Se A tem uma fila com todos os elementos nulos, seu determinante é nulo.
1 2 4 3
4 1 0
0 0 0 0
A= 2 6 0 det A=0 B= det B 0
0 4 9 8
4 3 0
5 6 7 1
 
   



b) Se A tem duas filas paralelas proporcionais, seu determinante é nulo.
c) Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas de A, obtemos uma matriz A’, tal que det A’ = -det A.
d) Se multiplicarmos os elementos de uma fila de A por um número real k, obtemos uma matriz A’, tal que
det A’ = k det A.

10. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 10
Multiplicando a 1a
linha por 2 obtemos:
Vamos calcular o determinante de 2A:
Observe que: det (2A) = 23
det A
Para uma matriz de ordem n, temos:
Det (k. A) = kn
. det A
e) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
det A = det AT
5 2 0 5 1 1
A= 1 1 3 det A = 43 A 2 1 2 det A =43
1 2 1 0 3 1
T T
    
        
       
f) O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos
determinantes dessas matrizes.
det (A . B) = det A . det B
2 1
A= det A = 5
1 3
1 5
B= det B = 2
0 2
2 8
A.B det (A.B) = 10
1 1
 
 
 
 
  
 
    
Observe que det (A.B) = det A. det B

11. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 11
g) Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente multiplicada por um número real, obtemos uma
matriz A’, tal que det A’ = det A.
Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando-a à primeira, obtemos A’:
0 3 0
A'= 1 3 2 det A'=15
2 2 1
 
   
  
EXERCÍCIOS
01 – Calcule os determinantes das matrizes a seguir, sem desenvolvê-los:
a)
1 2 0
A= 3 2 0
4 5 0
 
 
 
  
c)
1 3 2
C 2 2 4
1 4 2
 
   
  
e)
1 2 1
0 0 0
5 3 11
E
 
   
  
b)
1 2 5
B= 3 4 1
1 2 5
 
  
  
d)
6 2 4
D= 1 0 1
3 1 2
 
 
 
  
f)
1 3 0 2
5 7 0 4
F=
11 2 0 5
0 6 0 9


02 – Sabendo que = 4
x y
z w
, calcule, sem desenvolver o determinante:
a)
z w
x y
b)
5 5x y
z w
c)
5 5
x y
z w
d)
5 5
5 5
x y
z w
03 – Se
a b c
d e f =-10
g h i
, qual é o valor de:
a)
a b c
2d 2e 2f
3g 3h 3i
b)
b a 4c
e d 4f
h g 4i
04 – Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 5, qual é o valor de det (3A)?

12. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 12
AULA 10
MÉTODO DE CHIÓ
O método de Chió é utilizado para reduzir a ordem de uma matriz A mantendo o determinante da nova matriz B
obtida exatamente igual ao da matriz A anterior. O método de Chió só pode ser desenvolvido se o 1º elemento
da matriz A, ou seja, o elemento 11a for exatamente igual a 1.
1
A
a b
c d e
f g h
 
   
  
Assim, para obter a nova matriz B primeiramente será necessário identificar todos os elementos que não
compreendem a 1ª linha e a 1ª coluna da matriz.
Observe o esquema seguinte:
det A = det B
Confira agora os passos para obter B a partir de A, diretamente:
 Em primeiro lugar, “isolamos” a 1a
linha e a 1a
coluna de A (passaremos a chamar tais filas de
margens), obtendo assim uma matriz A*, do tipo 2x2, conforme indicado abaixo:
 Construímos a partir da matriz A* uma outra matriz 2x2 , em que cada um de seus elementos é dado
pela diferença entre um elemento de A* e o produto das respectivas margens. Chegamos, enfim, à
matriz B.

13. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 13
Vamos calcular:
Se quisermos desenvolver
3 7 4
1 2 1
0 3 2
 usando a Regra de Chió, precisamos trocar as posições da 1a
e 2a
linhas,
a fim de que se tenha a11 = 1.
Calculemos
2 2 2 2
2 2 2 3
D=
2 2 3 3
2 3 3 3
usando a Regra de Chió.
A fim de obter a11 = 1, dividimos por 2 (multiplicamos por
1
2
) os elementos da 1a
coluna.
Logo,
1
D= - 1 D= - 2
2


14. Inácio de Araujo Machado - Faculdade Araguaia – Engenharia Ambiental – 1º Período – Álgebra Linear / Geometria Analítica 14
EXERCÍCIOS
01 – Calcule os determinantes:
a)
1 2 3 4
2 3 1 6
4 1 0 5
3 2 7 1



b)
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
 
 
 
c)
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
 
  
 
Resp.: a) 769; b) -16; c) -8;
02 – Calcule, usando Chió:
a)
1 2 3
1 4 7
0 3 2
 d)
3 3 3
4 5 6
1 0 2
b)
1 0 0 0
5 4 3 2
1 3 2 0
0 1 0 1


e)
5 3 2 0
0 2 4 6
2 4 2 8
2 0 3 0


c)
0 1 3 0
3 5 1 1
1 4 0 0
0 2 1 1


f)
4 2 11
6 3 9
7 1 5

Resp. a) -18; b) -21; c) -55; d) 3; e) 460; f) -87.
APÊNDICE
Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
 det det detA B A B  
Determinante da matriz inversa
1 1
det
det
A
A

