Seqüências Numéricas
É uma seqüência composta por números
que estão dispostos em uma determinada
ordem pré-estabelecida.
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Para obtermos os elementos de uma seqüência é preciso
ter uma lei de formação da seqüência.
Por exemplo: an = 2n + 1, n Î ...
Para encontrar a razão de uma P.A.
Basta diminuir qualquer termo de seu anterior:

+r

+r

+r

+r

( 2 , 6 , 10 , 14 , 18,...
É uma P.A de razão 6!
a1 = 2

Quanto vale a91?

a91 = a1 + 90r
a91 = 2 + 90(6)
a91 = 2 + 540

a91 = 542

20 26 32 38 44 50...
Exemplo de Exercício de P.A.
Sabendo que uma P.A. tem a1 = 8 e sua
razão é igual a 5, determine a13:

Fórmula do
Termo Ger...
Exemplo de Exercício de P.A.
Sabendo que uma P.A. tem a9 = 22
e a5 = 10 determine sua razão e o
primeiro termo:

an = ak +...
Exercícios de Sala: pág. 2
02) Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcular a razão da P.A.:

a5 = 30

an = ak + ( n - k )r
...
Representações Especiais
Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar
os seguintes artifícios:

• para...
Propriedades da P.A.
• Um termo qualquer, excetuando os extremos é a
média aritmética entre o termo anterior e o posterior...
Interpolação Aritmética
• É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade
de meios aritméticos entre dois números que vão...
Soma de Termos da P.A.
• A soma de Termos
de uma P.A. é dada
pela fórmula:

a1 + an
2

Sn =

·n

exemplo: somar o números ...
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a – b) = ...
Exercícios de Sala: pág. 5
03) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição correta. A
soma dos múltiplos de 10, compreend...
Para encontrar a razão de uma P.G.
Basta dividir qualquer termo de seu anterior:

∙q

∙q

∙q

∙q

( 2 , 4 , 8 , 16 , 32, ....
Progressão Geométrica – P.G.
Pela fórmula do termo geral podemos relacionar qualquer termo
da P.G. com outro termo anterio...
Exercícios de Sala: pág. 7

Fórmula do
Termo Geral

01) A seqüência (2x + 5, x + 1, x/2, ...) é uma
progressão geométrica ...
Exercícios de Sala: pág. 7
03) Em uma progressão geométrica
o primeiro termo é 2 e o quarto é
54. O quinto termo dessa P.G...
Propriedades da P.G.
• Numa P.G. de três termos (a1, a2, a3) podemos dizer
que o termo central é a média geométrica entre ...
Interpolação Geométrica
• É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade
de meios geométricos entre dois números que vão...
Soma de Termos de uma P.G.
• Podemos somar os termos de uma P.G.
finita ou infinita.
Se for uma P.G. finita:

Sn =

a1 ( q...
Se for uma P.G. infinita:
Dada uma P.G. em que
0 < | q | < 1, sua soma
pode ser calculada
pela fórmula:

a1

S∞ =

1-q

1
...
Exercícios de Sala: pág. 10
02) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que a
razão vale 2, o valor do quinto ter...
P.A.

¸

x

–

+

x

¸

pot.

P.G.

a8 = a1 + 7r

a8 = a1 ∙ q(7)

a13 = a10 + 3r

a13 = a10 ∙ q(3)

Sn =

a1 + an

·n

2

...
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  1. 1. Seqüências Numéricas É uma seqüência composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem pré-estabelecida. Alguns exemplos de seqüências numéricas: • (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) • (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) • (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...) • (10, 15, 20, 25, 30) é uma seqüência de números pares positivos. é uma seqüência de números naturais. é uma seqüência de quadrados perfeitos. é uma seqüência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35. Vale para qualquer seqüência numérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an) seqüência finita. (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) seqüência infinita. primeiro termo segundo termo terceiro termo quarto termo enésimo termo 1
  2. 2. Para obtermos os elementos de uma seqüência é preciso ter uma lei de formação da seqüência. Por exemplo: an = 2n + 1, n Î N* Determine os cinco primeiros elementos dessa seqüência: an = 2n + 1 primeiro termo n=1 a1 = 21 + 1 a1 = 3 segundo termo n=2 a2 = 22 + 1 a2 = 5 n=3 23 a3 = 9 terceiro termo quarto termo n=4 quinto termo n=5 a3 = +1 24 a4 = + 1 a5 = 25 + 1 a4 = 17 a5 = 33 Logo a seqüência será: ( 3, 5, 9, 17, 33, ...) Progressão Aritmética – P.A. Observe as seqüências numéricas abaixo: 12 • ( 2, 4, 6, 8, 10, ___ , ... ) r= 2 13 • ( -7, -3, 1, 5, 9, ___ ) r= 4 40 • ( 90, 80, 70, 60, 50, ___, ... ) r = -10 • ( 2, -3, -8, -13, -18, -23 ) ___ r = -5 8 • ( 8, 8, 8, 8, 8, ___ , ...) r= 0 razão positiva P.A. crescente razão negativa P.A. decrescente razão nula P.A. constante Note que as seqüências acima obedecem uma lógica: cada termo, após o primeiro, é igual ao anterior somado sempre um mesmo número. Este número é chamado de razão (r). 2
  3. 3. Para encontrar a razão de uma P.A. Basta diminuir qualquer termo de seu anterior: +r +r +r +r ( 2 , 6 , 10 , 14 , 18, ...) a1 a2 a3 a4 a5 a2 - a1 = r a3 - a2 = r a4 - a3 = r 6–2=4 10 – 6 = 4 14 – 10 = 4 Progressão Aritmética – P.A. Observe um exemplo de P.A. abaixo: +r +r +r É uma P.A. onde r = 3 +r ( 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , ... , ___ , ...) a1 a2 a3 a4 a5 an a2 = a1 + ( 1 ) r a3 = a1 + ( 2 ) r a17 = a1 + (16 ) r a4 = a1 + ( 3 ) r a52 = a1 + ( 51 ) r Fórmula do Termo Geral an = a1 + (n - 1)r a5 = a1 + ( 4 ) r a91 = a1 + ( 91 - 1 ) r a6 = a1 + ( 5 ) r a91 = a1 + 90∙r 3
  4. 4. É uma P.A de razão 6! a1 = 2 Quanto vale a91? a91 = a1 + 90r a91 = 2 + 90(6) a91 = 2 + 540 a91 = 542 20 26 32 38 44 50 56 62 68 ( 2, 8, 14, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 104 110 116 122 128 134 140 74 80 86 92 98 __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 146 152 158 164 170 176 182 188 194 200 206 212 218 224 230 236 242 248 254 260 266 272 278 284 __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 290 296 302 308 314 320 326 332 338 344 350 356 __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 362 368 374 380 386 392 398 404 410 416 422 428 __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 434 440 446 452 458 464 470 476 482 488 494 500 506 512 518 524 530 536 542 548 554 560 566 572 __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, 578 584 590 596 602 608 614 ... ) Termo Geral de uma P.A. Fórmula do Termo Geral an = a1 + (n - 1)r enésimo termo razão da P.A. primeiro termo posição do enésimo termo 4
  5. 5. Exemplo de Exercício de P.A. Sabendo que uma P.A. tem a1 = 8 e sua razão é igual a 5, determine a13: Fórmula do Termo Geral an = a1 + (n - 1)r a13 = a1 + (13 - 1)r a13 = a1 + 12r a13 = 8 + 12(5) a13 = 8 + 60 a13 a13 = 68 ( 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, ...) Progressão Aritmética – P.A. Pela fórmula do termo geral podemos relacionar qualquer termo da P.A. com outro termo anterior. Observe: +r +r +r +r +r +r +r +r ( 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , ... , ___ , ... ) a1 a2 a3 a4 a7 = a1 + ( 6 ) r a7 = a5 + ( 2 ) r a7 = a2 + ( 5 ) r a5 a6 a7 a8 a9 an Podemos relacionar quaisquer dois termos da P.A. an = ak + ( n - k )r a7 = a4 + ( 3 ) r a9 = a3 + ( 6 ) r 5
  6. 6. Exemplo de Exercício de P.A. Sabendo que uma P.A. tem a9 = 22 e a5 = 10 determine sua razão e o primeiro termo: an = ak + (n - k)r a9 = a5 + (9 - 5)r -2 1 4 7 10 13 16 19 22 a9 = a5 + 4r a1 a2 a3 a4 22 = 10 + 4r a5 a6 a7 a8 a9 22 – 10 = 4r a5 = a1 + (5 - 1)r 12 = 4r a5 = a1 + 4r r = 12/4 10 = a1 + 4∙(3) r=3 10 = a1 + 12 10 - 12 = a1 a1 = - 2 Exercícios de Sala: pág. 2 01) A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é: a3 – a2 = r 19 – 6x 2 + 4x 1 + 6x a1 a2 a3 a3 – a2 = a2 – a1 (1 + 6x) – (2 + 4x) = (2 + 4x) – (19 – 6x) 1 + 6x – 2 – 4x = 2 + 4x – 19 + 6x a2 – a1 = r a3 – a2 = a2 – a1 Para confirmar! (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) ( 19 – 6·2 , 2 + 4·2 , 1 + 6·2 ) 2x – 1 = 10x – 17 ( 19 – 12 , 2 + 8 , 1 + 12 ) 8x = 16 ( 7 , 10 , 13 ) x=2 6
  7. 7. Exercícios de Sala: pág. 2 02) Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcular a razão da P.A.: a5 = 30 an = ak + ( n - k )r a16 = 118 a16 = a5 + ( 16 – 5 )r 118 = 30 + 11r 11r = 118 – 30 11r = 88 r = 88/11 r=8 Exercícios de Sala: pág. 2 03) Determine a razão de uma P.A. com 10 termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois últimos é 53? a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 an = a1 + (n - 1)r a2 = a1 + r a1 + a2 = 5 2a1 + r = 5 (-1) a9 + a10 = 53 a9 = a1 + 8r 2a1 + 17r = 53 a10 = a1 + 9r a1 + a1 + r = 5 a1 + 8r + a1 + 9r = 53 Fórmula do Termo Geral -2a1 – r = -5 + 2a1 + 17r = 53 16r = 48 r=3 7
  8. 8. Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios: • para três termos em P.A. x–r , x , x+r razão = r • para quatro termos em P.A. x – 3r , x – r , x + r , x + 3r razão = 2r • para cinco termos em P.A. x – 2r , x – r , x , x + r , x + 2r razão = r Exemplo: Três números estão em P.A.. A soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: x–r , x , x+r (x – r) + (x) + (x + r) = 12 x – r + x + x + r = 12 x + x + x = 12 3x = 12 x = 12/3 x=4 8
  9. 9. Propriedades da P.A. • Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior. ( 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 ) 4= 2+6 2 6= 4+8 2 10 = 8 + 12 2 Propriedades da P.A. • Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual a a soma dos termos eqüidistantes dos extremos. • Numa P.A. de quantidade de termos ímpar, o termo central é a média aritmética dos extremos e dos eqüidistantes aos extremos. ( 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 ) 8 + 14 = 22 5 + 17 = 22 2 + 20 = 22 9
  10. 10. Interpolação Aritmética • É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre dois números que vão se tornar extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é: an = ak + ( n - k )r exemplo: interpolar entre 2 e 20 cinco meios aritméticos: 2 a1 5 a2 a7 = a1 + 6r 8 11 14 17 20 a3 a4 a5 a6 20 = 2 + 6r a7 20 – 2 = 6r 18 = 6r r=3 Soma de Termos da P.A. • A soma de Termos de uma P.A. é dada pela fórmula: a1 + an 2 Sn = ·n exemplo: somar o números inteiros de 1 até 10: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 11 11 11 11 11 10
  11. 11. Soma de Termos da P.A. • A soma de Termos de uma P.A. é dada pela fórmula: a1 + an 2 Sn = ·n exemplo: somar o números inteiros de 1 até 10: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a1 = 1 S10 = a10 = 10 n = 10 S10 = 1 + 10 2 11 · 10 · 10 5 2 S10 = 55 Exercícios de Sala: pág. 5 01) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4? 100 104 108 a1 112 116 an = ak + ( n - k )r an = a1 + (n – 1)r 124 = 100 + (n – 1)4 24 = (n – 1)4 24/4 = (n – 1) 6 = (n – 1) 120 124 an se n = 7 , então a P.A. tem 7 termos, logo vamos interpolar 5 meios aritméticos. n=7 11
  12. 12. (a + b)2 = (a + b)(a + b) (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab - b2 (a + b)(a – b) = a2 - b2 Exercícios de Sala: pág. 5 02) O perímetro de um triângulo retângulo mede 60m. Sabendo que seus lados estão em P.A., o valor da hipotenusa, é: (x – r) + (x) + (x + r) = 60 20 + r 20 – r x – r + x + x + r = 60 3x = 60 20 (20 + r)2 400 + 40r + x = 60/3 = (20 – r)2 + (20)2 r2 = 400 – 40r + 40r = – 40r + 400 r2 x = 20 + 400 25 15 80r = 400 r=5 20 12
  13. 13. Exercícios de Sala: pág. 5 03) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1 e 1995, é: 01. 198.000 02. 19.950 04. 199.000 08. 1.991.010 16. 19.900 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1995 10 20 30 a1 Sn = 1980 = ( n – 1 )10 198 = ( n – 1 ) n = 199 a1 + an 1990 an ·n 2 an = a1 + ( n – 1 ) r 1990 = 10 + ( n – 1 )10 1970 1980 Sn = 10 + 1990 2 · 199 Sn = 2000 · 199 2 Sn = 1000 ∙ 199 Sn = 199000 Progressão Geométrica – P.G. Observe as seqüências numéricas abaixo: P.G. 64 • ( 2, 4, 8, 16, 32, ___ , ... ) q= 2 -1 • ( -81, -27, -9, -3, ___ ) q = 1/3 crescente a1 < 0 e 0 < q < 1 125 • ( 1000, 500, 250, ____ , ... ) q = 1/2 a1 > 0 e 0 < q < 1 • ( -10, -30, -90, -270, -810 ) ____ q= 3 P.G. a1 < 0 e q > 1 decrescente • ( 5, -10, 20, -40, 80, -160 ) ____ q = -2 q<0 P.G. alternante 8 • ( 8, 8, 8, 8, 8, ___ , ...) q= 1 q=1 P.G. constante a1 > 0 e q > 1 Observe que cada termo, após o primeiro, é igual ao anterior multiplicado sempre um mesmo número. Este número é chamado de razão (q). 13
  14. 14. Para encontrar a razão de uma P.G. Basta dividir qualquer termo de seu anterior: ∙q ∙q ∙q ∙q ( 2 , 4 , 8 , 16 , 32, ...) a1 a2 a3 a4 a5 a2 =q a1 a3 =q a2 a4 =q a3 4 =2 2 8 =2 4 16 =2 8 Progressão Geométrica – P.G. Observe um exemplo de P.G. abaixo: ∙q ∙q ∙q É uma P.G. onde q = 3 ∙q ( 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ... , ___ , ...) a1 a2 a3 a4 a5 a2 = a1 ∙ q ( 1 ) a3 = a1 ∙ q ( 2 ) a12 = a1 ∙ q (11 ) a4 = a1 ∙ q ( 3 ) a61 = a1 ∙ q (60 ) an Fórmula do Termo Geral an = a1 ∙ q ( n - 1 ) a5 = a1 ∙ q ( 4 ) a6 = a1 ∙ q ( 5 ) 14
  15. 15. Progressão Geométrica – P.G. Pela fórmula do termo geral podemos relacionar qualquer termo da P.G. com outro termo anterior. Observe: ∙q ∙q ∙q ∙q ∙q ( 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ... ___ , ... ) a1 a2 a3 a6 = a1 ∙ q ( 5 ) a6 = a4 ∙ q a4 a5 a6 an Podemos relacionar quaisquer dois termos da P.G. (2 ) a6 = a2 ∙ q ( 4 ) an = ak ∙ q ( n - k ) a6 = a3 ∙ q ( 3 ) a9 = a5 ∙ q ( 4 ) Exercícios de Sala: pág. 7 01) A seqüência (2x + 5, x + 1, x/2, ...) é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é: 2x + 5 a1 , x+1 , x/2 a2 a3 (a2)2 = a1 ∙ a3 a2 =q a1 a3 =q a2 a2 a = 3 a1 a2 (a2)2 = a1 ∙ a3 (x + 1)2 = (2x + 5) ∙ ( x ) 2 2x + 5 , x + 1 , x/2 2(2) + 5 , (2) + 1 , 2/2 x2 +2x +1 = x2 + 5x 2 9 , 3 , 1 , ... 4x + 2 = 5x 2 = 5x – 4x x=2 15
  16. 16. Exercícios de Sala: pág. 7 Fórmula do Termo Geral 01) A seqüência (2x + 5, x + 1, x/2, ...) é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é: 2x + 5 , x+1 , a1 a2 a3 9 , 3 , an = a1 ∙ q ( n - 1 ) x/2 1 , ... a13 = a1 ∙ q q = 1/3 a13 = 32 ∙ 3-12 (12) a13 = 32 + (-12) a13 = 9 ∙ ( 1 )(12) 3 32 a13 = 32 - 12 3-1 a13 = 3 -10 Exercícios de Sala: pág. 7 a2 =q a1 02) Determine o número de termos da P.G. (3, 6, ... , 768): ( 3 , 6 , . . . , 768) 256 128 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 28 a1 a2 an an = a1 ∙ q ( n - 1 ) 6 =q 3 q=2 768 = 3 ∙ 2( n - 1 ) 768 = 2( n - 1 ) 3 256 = 2( n - 1 ) A P.G. tem nove termos! 28 = 2( n - 1 ) 8=n-1 8+1=n n=9 16
  17. 17. Exercícios de Sala: pág. 7 03) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: a1 = 2 e a4 = 54 an = a1 ∙ q ( n - 1 ) a4 = a1 ∙ q(4 - 1) 54 = 2 ∙ q3 54 = q3 2 a5 = a4 ∙ q 27 = q3 √27 = q 3 a5 = 54 ∙ 3 a5 = 162 q=3 Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.G. podemos utilizar os seguintes artifícios: • para três termos em P.G. x , x , x∙q q razão = q • para quatro termos em P.G. x , x , x∙q , x∙q3 q q3 razão = q2 17
  18. 18. Propriedades da P.G. • Numa P.G. de três termos (a1, a2, a3) podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a1) e o posterior (a3), ou seja: ( a1 , a2 , a3 ) (a2)2 = a1 ∙ a3 Propriedades da P.G. • Numa P.G. limitada, o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. ( 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ) 8 ∙ 16 = 128 4 ∙ 32 = 128 2 ∙ 64 = 128 18
  19. 19. Interpolação Geométrica • É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios geométricos entre dois números que vão se tornar extremos de uma progressão geométricos. A fórmula utilizada é: (n-k) an = ak ∙ q exemplo: interpolar entre 1 e 243 quatro meios geométricos: 1 a1 3 a2 a6 = a1 ∙ q5 9 27 81 243 a3 a4 a5 243 = 1 ∙ q5 a6 243 = q5 243 √ =q 5 q=3 Produto dos termos de uma P.G. • O módulo do produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela fórmula: Pn = (a1∙ an)n 19
  20. 20. Soma de Termos de uma P.G. • Podemos somar os termos de uma P.G. finita ou infinita. Se for uma P.G. finita: Sn = a1 ( qn – 1) q–1 ou an ∙ q – a1 Sn = q–1 Se a razão da P.G. for igual a 1, basta calcular: Sn = n∙a1 Se for uma P.G. infinita: 1 1 1 1 1 8 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 . . . = 16 1 2 1/16 1/8 1/2 1/4 8 4 • área 8 completa do 4 quadrado 2 igual a 16 u.a. 1 0,5 0,25 0,125 4 0,0625 + 0,03125 4 15,968 7 5 20
  21. 21. Se for uma P.G. infinita: Dada uma P.G. em que 0 < | q | < 1, sua soma pode ser calculada pela fórmula: a1 S∞ = 1-q 1 1 1 1 1 8 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 . . . = 16 a1 a2 a3 S∞ = a1 1-q a4 a5 S∞ = a6 a7 8 1-½ sempre que q = ½ Exercícios de Sala: pág. 10 01) A soma de três termos em P.G. vale 14 e o produto 64. Calcule a razão dessa P.G.: x ∙ x ∙ x∙q = 64 q x∙x∙x∙q = 64 q a9 . . . S∞ = 8 ½ S∞ = 16 S∞ = 2∙a1 x + x + x∙q = 14 q 4 + 4 + 4∙q = 14 q 4 + 4∙q = 10 q 4 + 4q2 = 10q q q x3 = 64 x = 3 64 √ a8 x = 4 4q2 – 10q + 4 = 0 ¸(2) 2q2 – 5q + 2 = 0 se q = ½ se q = 2 8 , 4 , 2 q’ = ½ ou q” = 2 2 , 4 , 8 21
  22. 22. Exercícios de Sala: pág. 10 02) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que a razão vale 2, o valor do quinto termo é: Sn = S10 = a1 ( qn – 1) a1 = 3 e q = 2 q–1 a5 = a1 ∙ q 4 a1 ( 210 – 1) a5 = 3 ∙ 24 2–1 a5 = 3 ∙ 16 3069 = a1 ( 1024 – 1) 3069 = a1 ( 1023) 3069 = a1 1023 a5 = 48 a1 = 3 Exercícios de Sala: pág. 10 03) A solução da equação: x + S∞ = 15 = a1 1-q x 1-⅓ x x x + + + . . . = 15 é: 27 3 9 • trata-se da soma de infinitos termos de uma P.G. onde a1 = x e q = ⅓ 15 = x ⅔ 5 15 ∙ 2 = x 3 x = 10 22
  23. 23. P.A. ¸ x – + x ¸ pot. P.G. a8 = a1 + 7r a8 = a1 ∙ q(7) a13 = a10 + 3r a13 = a10 ∙ q(3) Sn = a1 + an ·n 2 x–r , x , x+r Pn = ( a1∙ an )n x , x , x∙q q 23

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